Figura Cuestión 9 - personal.us.espersonal.us.es/boix/uploads/pdf/electromagnetismo/examenes_0304_a... · °c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 1 CUESTIONES Y PROBLEMAS

c©Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 1

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE EXÁMENES DE LOS CURSOS 2003-2004 A 2006-2007

CUESTIONES Y PROBLEMAS DEL TEMA 1

Cuestión 1.- Considere el campo vectorial escrito en coordenadas cilíndricas que se muestra a continuación:

E(ρ, ϕ) =σ0ρ

4ε0R[− cos(2ϕ)uρ + sen(2ϕ)uϕ] ; r < R

E(ρ, ϕ) =σ0R

2ε0ρ

[(1 +

R2

2ρ2cos(2ϕ)

)uρ +

R2

2ρ2sen(2ϕ)uϕ

]; r > R

a) Demuestre que el campo vectorial cumple TODAS las condiciones para ser un campo electrostático.

b) Calcule las densidades de carga superficial y volumétrica que crean ese campo electrostático.

Cuestión 2.- Se dispone de dos discos cargados superficial-mente con densidades de carga uniformes +σ0 y -σ0. Los dis-cos son paralelos y comparten el mismo eje de revolución. Losdiscos tienen radio a y están separados una distancia d, siendod << a. Sin hacer muchos cálculos, determine:

a) El campo eléctrico en la porción del eje de revolucióncomún que queda entre los dos discos (esto es, en lospuntos del eje z de la figura para los que |z| ≤ d/2).

a) El campo eléctrico en los puntos del eje de revolucióncomún que están muy alejados de los dos discos enrelación con su tamaño (esto es, en los puntos del ejez de la figura para los que |z| >> a.

a

ax

y

z

d/2

d/2

+s0

-s0

Figura Cuestión 2: Pareja de discos par-alelos con distribución superficial de cargauniforme y de signos opuestos.

Cuestión 3.- Una carga puntual positiva q > 0 se encuentraa una distancia d del centro de una esfera conductora de radioa, que también está cargada positivamente con carga Q > 0.Indique razonadamente si será atractiva o repulsiva la fuerzaque ejerce la esfera conductora sobre la carga puntual cuando:

a) La carga puntual está muy cerca de la superficie de laesfera conductora (esto es, cuando d− a << a).

b) La carga puntual está lejos de la esfera conductora (estoes, cuando d >> a).

Figura Cuestión 3: Carga puntual positivafrente a esfera conductora aislada y cargadapositivamente.

Cuestión 4.- Nueve cargas puntuales idénticas, de valor q, seencuentran situadas en los vértices de un polígono regular denueve lados (vea la figura). La distancia de cada carga al centrodel polígono vale a. ¿Cuál es la fuerza neta sobre una carga Qsituada en el centro del polígono?. Suponga que la carga q situ-ada sobre el eje x de la figura es eliminada. ¿Cuánto vale ahorala fuerza sobre Q?. Explique detalladamente los razonamientosutilizados.

Figura Cuestión 4: Nueve cargas pun-tuales uniformemente distribuidas sobre unacircunferencia y una carga en su centro.


Cuestión 5.- Sobre la superficie de una esfera de radio a sedistribuye una carga superficial de forma no uniforme, siendoσ(θ, ϕ) la densidad superficial de carga con respecto a un sis-tema de coordenadas esféricas con origen en el centro de laesfera (vea la figura). Demuestre que el potencial en el centrode la esfera vale:

φ(r = 0) =Q

4πε0a

siendo Q la carga total sobre la esfera. Demuestre también queel campo eléctrico en el centro de la esfera vale:

E(r = 0) = − p4πε0a3

siendo p el momento dipolar eléctrico de la distribución de car-ga sobre la esfera.

Figura Cuestión 5: Distribución superfi-cial esférica de carga no uniforme.

Cuestión 6.- En el origen de coordenadas se encuentra situadauna carga puntual positiva de valor + 4q. A una distancia a a lolargo de cada uno de los ejes coordenados x e y (véase la figu-ra) se encuentran situadas cuatro cargas negativas de valor −q.Encuentre el término dominante del desarrollo multipolar parael potencial en puntos alejados de la distribución de cargas.

Figura Cuestión 6: Distribución de cargaspuntuales.

Cuestión 7.- Dos superficies planas cargadas uniformementecon densidades de carga superficial +σ0 y -σ0 se disponen per-pendicularmente como se muestra en la figura. Calcule el cam-po eléctrico en todos los puntos del espacio y dibuje las líneasde campo.

Figura Cuestión 7: Dos planos que inter-sectan en el eje z con cargas superficialespositiva y negativa.

Cuestión 8.- Un anillo está uniformemente cargado con unacarga total Q. El anillo está contenido en el plano z = 0 y sucentro coincide con el origen de coordenadas (vea la figura).

a) Calcule el campo eléctrico creado en el eje del anillo yobtenga la posición de los puntos del eje donde el módu-lo de este campo eléctrico se hace máximo.

b) Si se coloca una carga puntual q de masa m en el eje delanillo de forma que pueda moverse a lo largo del mismo,demuestre que existe un valor umbral de m por debajodel cual es posible encontrar un punto del eje en el quela carga puntual levita. ¿Cuánto vale ese valor umbral dem?.

Figura Cuestión 8: Circunferencia carga-da frente a carga puntual con masa no nula.


Cuestión 9.- Una carga puntual de valor q se encuentra situadaen uno de los vértices de un cubo. Determine razonadamente elflujo de campo eléctrico que atraviesa cada una de las caras delcubo.

Figura Cuestión 9: Carga puntual en ori-gen de coordenadas y cubo a través de cuyascaras hay que calcular el flujo.

Cuestión 10.- Una esfera de radio a, cargada uniformementeen volumen con densidad de carga ρ0, se encuentra sometidaal campo eléctrico creado por una carga puntual q. La cargapuntual está situada a una distancia d del centro de la esfera(d > a). Calcule la fuerza que actúa sobre la esfera.

Figura Cuestión 10: Carga puntual frentea esfera con carga volumétrica.

Problema 1.- Considere una anilla de radio a que está cargada uniformemente con carga positiva Q (Q > 0).

a) Calcule el campo eléctrico y el potencial eléctrico cread-os por la anilla en su eje de revolución (eje z en la figura),suponiendo que el centro de la anilla coincide con el ori-gen de coordenadas.

b) Considere una carga puntual negativa, -q (q > 0), conuna masa m, situada en el eje de revolución de la anilla auna distancia prácticamente infinita de ésta. Si se sueltala carga -q partiendo del reposo, demuestre que la cargase moverá por el eje de la anilla bajo la atracción de éstay calcule la velocidad que tendrá la carga puntual al pasarpor el centro de la anilla.

c) Si la carga -q se encuentra en el centro de la anilla yse la desplaza desde este punto a lo largo del eje z unadistancia pequeña z0 (z0 << a), demuestre que la cargaseguirá un movimiento oscilatorio y calcule la frecuenciade las oscilaciones.

d) Considere ahora una carga puntual positiva +q (q > 0)situada sobre el eje de revolución de la anilla a una dis-tancia prácticamente infinita de ésta. Si se obliga a estacarga a moverse a lo largo del eje de la anilla en direcciónhacia la misma, ¿qué velocidad inicial habrá que comu-nicarle a la carga q para que llegue con velocidad nula alcentro de la anilla?.

Figura Problema 1: Anilla circular carga-da y cargas puntuales que se mueven a lolargo del eje z.


Problema 2.- La región del espacio comprendida entre losplanos z = −d/2 y z = +d/2 está ocupada por una distribu-ción volumétrica de carga uniforme de densidad de carga ρ0

(vea la figura).

(a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espa-cio.

(b) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio tomando el plano z = 0 como origen de potencial.

(c) Calcule el par de fuerzas y la fuerza neta que actúa sobreun dipolo de momento dipolar p = p0uz situado en elorigen de coordenadas.

Figura Problema 2: Distribución laminarvolumétrica de carga uniforme y dipolo eléc-trico.

Problema 3.- Considere los dos campos vectoriales escritos en coordenadas esféricas que se muestran a contin-uación:

Caso 1

E = −E0 cos θ ur + E0 sen θ uθ ; r < R

E = E0

(2R3

r3cos θ ur +

R3

r3sen θ uθ

); r > R

Caso 2

E = E0

(6r

R− 4

)cos θ ur + E0

(4− 3r

R

)sen θ uθ ; r < R

E = E0

(2R3

r3cos θ ur +

R3

r3sen θ uθ

); r > R

a) Demuestre que los campos vectoriales cumplen TODAS las condiciones para ser campos electrostáticos.

b) Calcule las densidades de carga superficiales y volumétricas causantes de esos campos electrostáticos.

Problema 4.- Consideremos una anilla de radio a que estácargada uniformemente con una densidad de carga lineal λ0.Supongamos que se coloca un dipolo eléctrico en el eje de rev-olución de la anilla a una distancia d del centro de la anilla, ysupongamos que el momento dipolar del dipolo es paralelo alplano que contiene la anilla (vea la figura). Sea p0 el módulode dicho momento dipolar.

a) Calcule el par de fuerzas que actúa sobre el dipolo.Suponiendo que el dipolo está sujeto por su centro peropuede girar libremente alrededor de ese punto, indiquecuál será la dirección y sentido que tomará momentodipolar del dipolo en el equilibrio.

b) Una vez que el dipolo ha girado hasta alcanzar la posi-ción de equilibrio, calcule la fuerza eléctrica que actúasobre el dipolo. Obtenga asimismo el valor de d para elcual dicha fuerza se anula.

Figura Problema 4: Distribución lineal decarga en forma de circunferencia frente adipolo.


Problema 5.- Dos hilos infinitos cargados uniformemente condensidades lineales de carga +λ0 están contenidos en el planoy =0, son paralelos al eje z y equidistan de dicho eje, tal ycomo se muestra en la figura.

a) Calcule el campo eléctrico creado por los hilos sobre lospuntos del eje y.

b) Calcule la fuerza que ejercen los hilos sobre un dipolo demomento dipolar p= p0 uy , situado sobre el eje y a unadistancia ddel origen de coordenadas.

c) Demuestre que hay dos puntos del eje y en los que elcampo eléctrico creado por los hilos cargados se hacemáximo, y determine esos puntos.

d) Demuestre que si el dipolo citado en el apartado b) seubica en alguno de esos puntos, estará en equilibrio.¿Es la posición del dipolo una posición de equilibrio es-table?.

Figura Problema 5: Pareja de hilos in-finitos cargados interactuando con un dipoloeléctrico.


Cuestión 11.- Considere un cuerpo conductor en equilibrioelectrostático y conectado a masa (tierra), que está rodeado porotros cuerpos conductores cargados positivamente (vea la figu-ra). Indique razonadamente si las siguientes afirmaciones sonverdaderas o falsas.

a) La carga total del conductor a masa es nula.

b) La densidad superficial de carga tiene el mismo signo entoda la superficie del conductor a masa.

c) El potencial eléctrico del conductor a masa es nulo.

d) El campo eléctrico es nulo tanto en el interior del con-ductor a masa como en su superficie.

Figura Cuestión 11: Conductores car-gados positivamente frente a conductor amasa.

Cuestión 12.- Considere un conductor en el seno de un campoelectrostático.

a) ¿Puede una línea de campo que sale de la superficie delconductor retornar a dicha superficie?.

b) ¿Pueden existir simultáneamente líneas de campo queterminan en la superficie del conductor y líneas de campoque parten de dicha superficie?.

Figura Cuestión 12: (a) Conductor del quesalen líneas de campo eléctrico que vuelvensobre él. (b) Conductor al que llegan y delque salen líneas de campo eléctrico.


Cuestión 13.- Una esfera conductora de radio a se encuentrasituada en el centro del hueco esférico de radio b de otra es-fera conductora de radio exterior c (véase figura). Mediante unabatería se pone la esfera interna a V0 voltios. Teniendo en cuen-ta que la esfera conductora hueca está descargada, determine elpotencial de la misma y la carga que adquiere la esfera interior.

Figura Cuestión 13: Dos esferas conduc-toras concéntricas con la interior a potencialV0.

Cuestión 14.- Considere un condensador de capacidad C cuyasarmaduras están cargadas con cargas +Q y -Q (Q > 0). Calculeel trabajo necesariopara transferir un elemento infinitesimal decarga positivo, ∆q > 0 (∆q << Q), desde la armadura carga-da negativamente hasta la armadura cargada positivamente.

Figura Cuestión 14: Carga infinitesimaltransportada desde la armadura negativa a lapositiva de un condensador.

Cuestión 15.- Considere una esfera conductora de radio c quetiene un hueco esférico de radio b. El hueco esférico y la su-perficie externa de la esfera conductora no son concéntricos.Una segunda esfera conductora de radio a < b está situada enel interior del hueco esférico de forma que la superficie de es-ta segunda esfera y el hueco esférico sí son concéntricos. Sila esfera conductora de radio a está puesta a tierra y la esferaconductora de radio c tiene una carga Q, calcule:

a) La carga de la esfera de radio a.

b) El potencial de la esfera de radio c.Figura Cuestión 15: Esfera conductoracargada con hueco. Dentro del hueco hayuna esfera conductora a masa.

Cuestión 16.- Un conductor esférico de radio c tiene en su in-terior una cavidad, también esférica, de radio b. La superficieexterior del conductor y la cavidad no son concéntricas (veala figura). El conductor esférico hueco está descargado. En elinterior de la cavidad y concéntrico con ésta, hay un segundoconductor esférico macizo de radio a que está cargado con unacarga Q (vea la figura). Calcule la energía electrostática alma-cenada en este sistema. Figura Cuestión 16: Esfera conductora

descargada con hueco esférico descentradoque encierra a otra esfera conductora carga-da con carga Q.


Cuestión 17.- Se dispone de un recipiente cilíndrico de vidriocuya base es un círculo metálico. El recipiente tiene un émbo-lo circular metálico que puede deslizar manteniendo contactohermético con las paredes de vidrio. El recipiente está lleno deaire (cuya permitividad se supone igual a ε0). En el equilibriola presión dentro del recipiente vale p0 y la separación entre labase del recipiente y el émbolo vale d0 (vea la figura). Si a tem-peratura constante se establece una diferencia de potencial ∆Φentre el émbolo y la base del recipiente, demuestre que la nuevaseparación entre ambos, d, satisface la siguiente ecuación:

12

ε0(∆Φ)2)p0

+ d2 − d0d = 0

Nota: desprecie en los cálculos los efectos de borde y supongaque el aire se comporta como un gas ideal.

Figura Cuestión 17: Émbolo con pistonesmetálicos sujetos a una diferencia de poten-cial.

Cuestión 18.- Considere dos conductores macizos C1 y C2, yun conductor hueco C3. Los conductores C1 y C2 se hallanalojados en el interior del conductor C3, tal y como muestrala figura. Establezca relaciones entre los coeficientes de po-tencial pij (i, j =1,2,3) y los coeficientes de capacidad Cij

(i, j =1,2,3) del conjunto de tres conductores. Figura Cuestión 18: Sistema de tres con-ductores arbitrarios en el que dos de ellosse encuentran encerrados en una cavidad deltercero.

Cuestión 19.- Utilizando el teorema de reciprocidad, calculeel potencial de una esfera conductora de radio R con carga Qcuyo centro dista una distancia d, (d > R) de una carga puntualq.

Figura Cuestión 19: Carga puntual frentea esfera conductora aislada pero cargada conuna carga Q.

Problema 6.- Un conductor plano infinito puesto a tierra poseeuna protuberancia semicilíndrica de radio a. Se coloca un hilocargado con densidad de carga lineal λ0 a una distancia d de laparte plana de la superficie del conductor, dispuesto paralela-mente a la protuberancia semicilíndrica, tal y como se muestraen la figura.

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio.

b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que ejerce lacarga inducida en el conductor sobre el hilo cargado.

Figura Problema 6: Línea de carga infinitasobre plano de masa con protuberancia cilín-drica.

Problema 7.- Considere dos esferas conductoras concéntricas, una maciza de radio a y otra hueca de radio interiorb y radio exterior c (a < b < c). Partimos de una situación (situación (a) en la figura) en la que la esfera interna estácargada con una carga Q y la externa se encuentra descargada y aislada. Calcule en esta situación los potenciales delas esferas interna y externa.A continuación, mediante un hilo conductor, se ponen en contacto las esferas interna yexterna (situación (b) en la figura), manteniendo aislado el conjunto de las dos esferas. Acto seguido, se desconectael hilo conductor de la esfera externa y se utiliza el mismo hilo para poner a masa la esfera interna, manteniendoaislada la esfera externa (situación c) en la figura). Calcule en esta última situación la carga de la esfera interna yel potencial de la esfera externa.


Figura Problema 7: Conductores esféricos concéntricos en diversas situaciones.

Problema 8.- Considere una esfera conductora de radio c quetiene dos huecos esféricos de radios b1 y b2. Dentro de esosdos huecos hay dos esferas conductoras macizas de radios a1 ya2 (a1 < b1 y a2 < b2), siendo estas dos esferas conductorasconcéntricas con los huecos en los que están ubicadas (vea lafigura). Calcule la matriz de coeficientes de capacidad del con-junto de las tres esferas conductoras. El espacio entre esferases aire. Figura Problema 8: Conjunto de tres con-

ductores esféricos de distintos tamaños, dosde los cuales se encuentran en el interior desendos huecos esféricos de un tercero.

Problema 9.- Considere dos discos conductores circulares deradio a y espesor e, situados uno encima del otro y separadosuna distancia t (t <<< a). Los discos están situados dentro deuna cavidad cilíndrica practicada en un conductor esférico, deforma que el conjunto formado por los discos y el conductoresférico hueco posee simetría de revolución alrededor del eje z(vea la figura). La cavidad cilíndrica tiene radio b (b = 4a < c),– siendo c el radio del conductor esférico –, y altura 2e+2h+t(h <<< a), siendo h la distancia de los discos conductores alas superficies planas que limitan la cavidad por arriba y porabajo. Despreciando los efectos de borde, calcule la matriz decapacidad del sistema de tres conductores descrito.

Figura Problema 9: Dos discos conduc-tores circulares paralelos y muy próximos encavidad cilíndrica practicada en esfera con-ductora.

Problema 10.- Una lámina plana infinita está cargada con den-sidad superficial de carga σ0. La lámina es paralela a un planoconductor a tierra situado a una distancia d de la lámina.

a) Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espa-cio.

b) Calcule la diferencia de potencial entre la lámina cargaday el plano conductor a tierra.

c) Si se sitúa una carga puntual q a una distancia a del planoconductor a tierra (a < d), calcule la fuerza que actúasobre dicha carga puntual.

d) Calcule la energía potencial electrostática de la cargapuntual citada en el apartado anterior.

s0

d

Apartados a) y b)

s0

da

Apartados c) y d)

q

Figura Problema 10: Plano de carga su-perficial frente a plano de masa sin y concarga puntual.


Problema 11.- Considere una esfera conductora de radio b quetiene un hueco esférico concéntrico de radio a. La esfera con-ductora está puesta a tierra. Se sitúa una carga puntual q enel interior del hueco a una distancia d del centro de la esferahueca, siendo d < a (vea la figura).

a) Calcule el potencial en todos los puntos del espacio.

b) Calcule la fuerza que actúa sobre la carga puntual.

c) Indique cómo se modifican los resultados anteriores si laesfera conductora se coloca a un potencial V0.

Figura Problema 11: Carga puntual enhueco esférico practicado en esfera conduc-tora a masa.

Problema 12.- Considere tres láminas conductoras planasiguales de espesor despreciable. Las tres láminas son paralelaspero, mientras que las dos láminas de los extremos están fijas,la lámina que está en medio se puede mover libremente en di-rección perpendicular a las tres láminas. Se conectan las lámi-nas a tres generadores que las ponen a potenciales V1 = V2/4,V2 y V3 = V2/2 (vea la figura). Si la separación entre las lámi-nas de los extremos vale d, encuentre cuánto valen en el equi-librio las distancias entre la lámina que está en medio y lasláminas de los extremos (a y b en la figura).

Figura Problema 12: Tres placas conduc-toras paralelas a potenciales distintos.

Problema 13.- Considere dos semiplanos conductores que for-man una cuña. En la arista de la cuña se coloca una varilla dematerial aislante que impide que los dos semiplanos se toquen(vea la figura). Uno de los semiplanos conductores se coloca aun potencial +V , y el otro a un potencial −V . En esas condi-ciones:

a) Dibuje las líneas de campo eléctrico en la región exis-tente entre los dos semiplanos conductores. Consejo: siutiliza las coordenadas adecuadas, la simetría del prob-lema le dará información sobre la orientación del campoeléctrico.

b) Si se coloca un dipolo en el plano bisectriz de la cuñade forma que su momento dipolar apunta perpendicular-mente a dicho plano bisectriz (vea la figura), ¿cuál es ladirección y sentido de la fuerza que actúa sobre el dipo-lo? Razone la respuesta.

x

y

a

a

V

V

p

Figura Problema 13: Dos placas conduc-toras semiinfinitas que forman un ángulo 2α

a potenciales +V y -V .


Problema 14.- Una superficie esférica de radio b está carga-da uniformemente con una densidad superficial de carga σ0.La superficie esférica encierra un conductor esférico macizo deradio a conectado a masa. La superficie esférica y el conduc-tor esférico a masa son concéntricos. El conjunto formado porla superficie esférica y el conductor a masa está situado en elinterior de un conductor esférico hueco de radio interior c y ex-terior d, de forma que el conductor hueco, la superficie esféricacargada y el conductor esférico a masa son también concéntri-cos (vea la figura). Sabiendo que el conductor esférico huecoestá descargado, determine:

(a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

(b) El potencial eléctrico en todos los puntos del espacio.

(c) La densidad de carga superficial sobre el conductor ma-cizo, y las densidades de carga superficiales sobre las su-perficies exterior e interior del conductor hueco.

Figura Problema 14: Distribución super-ficial de carga esférica entre esferas conduc-toras.

Problema 15.- En la figura se muestran tres placas conductorasidénticas dispuestas paralelamente y separadas unas distanciaspequeñas en comparación con las dimensiones de las placas.

a) Calcule la matriz de capacidad.

b) Si V1 = V3 = 0 y V2 = V , calcule la fuerza que seejerce sobre la placa central en direcciones horizontal yvertical.

Desprecie los efectos de borde en la resolución del problema.Figura Problema 15: Tres placas conduc-toras planas y paralelas próximas entre sí.

Problema 16.- Se dispone de una esfera conductora maciza deradio a y de otra esfera conductora concéntrica y hueca de radiointerno b y externo c (a < b < c). La esfera interna está a unpotencial V y la esfera externa está a tierra.

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio así como la carga de los dos conductores.

b) Se desconecta la esfera externa de tierra dejándola aisla-da. Asimismo, se desconecta la esfera interna del gener-ador que la mantiene a potencial V y se conecta a tierra.Calcule de nuevo el potencial eléctrico en todos los pun-tos del espacio y la carga de los dos conductores.

c) Calcule la variación de energía electrostática.

a

b

c

e0

aislada

a

b

c

e0

V

Figura Problema 16: Esferas conductorasconcéntricas en dos situaciones consecuti-vas.


Problema 17.- Considere un conductor semiinfinito puesto atierra cuya superficie es un plano que posee una protuberan-cia semiesférica de radio a. Se coloca una carga puntual q auna distancia d (d > a) de la parte plana de la superficie delconductor (vea la figura).

a) Calcule el potencial eléctrico en todos los puntos del es-pacio.

b) Calcule la fuerza que ejerce la carga inducida sobre lasuperficie del conductor sobre la carga puntual.

Figura Problema 17: Carga puntual sobresuperficie conductora plana con protuberan-cia semiesférica.

Problema 18.- Una partícula cargada con carga q y masa m esmantenida en reposo a una distancia d de un plano conductora tierra. Si la partícula se libera, calcule el tiempo que tarda enchocar contra el plano conductor a tierra.

Figura Problema 18: Carga puntual sobresuperficie conductora plana en movimientobaja la acción de la fuerza apropiada.


Cuestión 20.- Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta:

a) Dos puntos de una línea de campo eléctrico están al mismo potencial eléctrico si en el tramo de línea situadoentre los dos puntos no hay ninguna carga.

b) Como una carga puntual no ocupa volumen, el campo eléctrico que crea la carga tiene divergencia nula entodos los puntos del espacio.

c) Si se tiene un cuerpo polarizado en ausencia de cargas libres, el vector D necesariamente es cero en todoslos puntos del espacio.

d) La componente del vector desplazamiento eléctrico perpendicular a la superficie de separación entre dosdieléctricos es siempre continua.

Cuestión 21.- La superficie plana de un dieléctrico está en con-tacto con el aire, cuya permitividad supondremos igual a ε0.Se sabe que la dirección del campo eléctrico en el aire formaun ángulo π/6 con la normal a la superficie del dieléctrico, yque el módulo del campo eléctrico en el aire vale 100 V/m.Asimismo, la dirección del campo eléctrico en el interior deldieléctrico forma un ángulo π/3 con la normal (vea la figura).Calcule:

a) La permitividad relativa del dieléctrico.

b) El módulo del campo eléctrico en el interior del dieléc-trico.

c) La densidad superficial de carga de polarización en lasuperficie del dieléctrico.

Figura Cuestión 21: Refracción de líneade campo eléctrico al atravesar la fronteraentre un dieléctrico de permitividad relativaεr y el vacío.


Cuestión 22.- Una línea de campo eléctrico se refracta al atrav-esar la superficie de separación entre dos dieléctricos diferentesde permitividades ε1 y ε2 (vea la figura). Si θ1 y θ2 son los án-gulos que forma la línea de campo eléctrico en cada medio conla normal a la superficie de separación y se cumple que θ2 > θ1

(vea la figura), indique razonadamente cuál de los dos dieléc-tricos tiene mayor permitividad.

Figura Cuestión 22: Refracción de líneade campo eléctrico al atravesar la fronteraentre dos dieléctricos de permitividades dis-tintas.

Cuestión 23.- Una carga puntual q se encuentra situada enla frontera plana de separación entre dos medios dieléctricossemiinfinitos de permitividades ε1 y ε2. Calcule el campo eléc-trico, el vector desplazamiento y la polarización en todos lospuntos del espacio.

Figura Cuestión 23: Carga puntual en lafrontera de separación entre dos dieléctri-cos.

Cuestión 24.- Considere un condensador de placas planas yparalelas entre las cuales sólo hay aire. Se conectan las placasdel condensador a los polos de una pila de V voltios. A con-tinuación se desconecta la pila. Una vez desconectada la pila,se introduce entre las placas una lámina dieléctrica de permi-tividad ε = 3 ε0 que ocupa todo el espacio entre las placas.Despreciando los efectos de borde, determine cómo se modi-fica el campo eléctrico, el vector desplazamiento, la diferenciade potencial entre las placas, la carga libre de las placas, la ca-pacidad y la energía electrostática. En caso de que ésta últimahaya variado, razone cuál es el origen de tal variación. Figura Cuestión 24: Condensador de pla-

cas paralelas antes y después de ser cargadocon una lámina dieléctrica.

Cuestión 25.- Considere un condensador de placas planas yparalelas entre las cuales sólo hay aire. Se conecta una pila alas placas del condensador. Manteniendo conectada la pila, seintroduce entre las placas una lámina dieléctrica de permitivi-dad ε =3ε0 que ocupa todo el espacio entre las placas. Des-preciando los efectos de borde, determine cómo se modificanal introducir la lámina dieléctrica el campo eléctrico, el vec-tor desplazamiento, la diferencia de potencial entre las placas,la carga libre sobre las placas, la capacidad y la energía elec-trostática.

Figura Cuestión 25: Condensador de pla-cas paralelas antes y después de ser cargadocon una lámina dieléctrica a potencial con-stante.


Cuestión 26.- Considere un cilindro dieléctrico infinito de sec-ción circular de radio a (permitividad del material ε). En eleje de ese cilindro hay un hilo de radio despreciable cargadocon una densidad de carga lineal uniforme λ0 C/m. Calcule elcampo eléctrico, el vector desplazamiento, la polarización y lasdensidades de carga de polarización en TODOS los puntos delespacio.

a

e

e0

l0

Figura Cuestión 26: Densidad de cargalineal en el eje central de un cilindro dieléc-trico.

Cuestión 27.- Considere un condensador formado por unapareja de placas conductoras circulares de radio a dispues-tas paralelamente. Las placas están separadas una distanciad, significativamente menor que a (se pueden despreciar losefectos de borde). El condensador está cerrado mediante unapared dieléctrica lateral de espesor despreciable (cuya permi-tividad relativa vale aproximadamente uno). Se rellena el con-densador hasta la mitad con un líquido dieléctrico de permi-tividad εrε0. A continuación se conecta a una pila de f.e.m.V0 voltios. ¿Cuánto vale la capacidad del condensador?. ¿Y laenergía electrostática almacenada entre las placas?. Si se retirala pila y se orienta el condensador verticalmente, tal y comose muestra en la figura, ¿cuánto valen ahora la capacidad y laenergía electrostática?.

d/2

d/2

2a

e0

e er 0

V0

e0

e er 0

Figura Cuestión 27: Condensador de pla-cas paralelas circulares parcialmente rellenode un dieléctrico líquido hasta la mitad colo-cado horizontal y verticalmente.

Cuestión 28.- Un condensador esférico de radio interno a yradio externo b está completamente lleno de un líquido dieléc-trico de permitividad ε =2ε0. Mediante una pila se colocan lasarmaduras del condensador a una diferencia de potencial V .Desconectamos la pila del condensador y, a continuación, ex-traemos el líquido dieléctrico mediante una jeringuilla. Indiquecuánto valen la carga de las armaduras, la diferencia de poten-cial y la energía electrostática almacenada antes y después deextraer el líquido. ¿Cómo justificaría la variación de energíaelectrostática que ha tenido lugar en términos mecánicos?.

Figura Cuestión 28: Condensador esféri-co con un dieléctrico en su interior al quese aplica una diferencia de potencial medi-ante una batería que, posteriormente, se de-sconecta. Acto seguido se extrae el líquidodieléctrico mediante una jeringuilla.


Cuestión 29.- Las placas de un condensador plano se sumergenparcialmente en un líquido dieléctrico, como se muestra en lafigura. Al aplicar una diferencia de potencial entre las placasel líquido dieléctrico experimenta un empuje que le hace subirpor encima del nivel del líquido fuera del condensador. ¿Cuáles el origen físico de la fuerza responsable de este fenómeno?.

Figura Cuestión 29: Condensador de pla-cas paralelas parcialmente sumergido en unlíquido dieléctrico y conectado a una bateríade f.e.m. V .

Cuestión 30.- Una carga puntual q se encuentra situada en elcentro de un hueco esférico de radio a y relleno de aire (cuyapermitividad se supone igual a ε0), practicado en el seno de unmedio infinito de constante dieléctrica relativa εr.

a) Calcule los campos E, D y P en todos los puntos delespacio.

b) Calcule las cargas de polarización.Figura Cuestión 30: Carga puntual en elcentro de un hueco esférico vacío practica-do en un dieléctrico de extensión infinita depermitividad relativa εr .

Problema 19.- Considere un condensador esférico compuestopor dos conductores esféricos concéntricos, uno macizo de ra-dio a y otro hueco de radio interno b (a < b). El espacio entrelos conductores está ocupado por un dieléctrico de permitivi-dad ε. Se conecta una pila entre los conductores que estableceentre ellos una diferencia de potencial V0. Manteniendo conec-tada la pila, el conductor externo se dilata por efecto del calory se despega del dieléctrico de manera que su forma esférica semantiene y su radio interno pasa a valer b′ = b(1 + δ) (δ > 0),tal y como muestra la figura. Calcule:

a) Los vectores campo eléctrico y desplazamiento en el es-pacio existente entre los conductores, antes y después dela dilatación.

b) La relación entre los valores de la capacidad antes y de-spués de la dilatación y el valor aproximado que tomaesta relación cuando δ << 1.

e

2a

2b

e0

e

2b

2b´

Figura Problema 19: Condensador esféri-co relleno de dieléctrico sólido antes y de-spués de dilatarse la armadura esférica exte-rior.


Problema 20.- Un condensador cilíndrico está formado por dosconductores cilíndricos concéntricos, uno macizo de radio ay otro hueco de radio interior b (a < b). Las dos bases delcilindro así formado están cerradas por láminas dieléctricas depermitividad relativa aproximadamente igual a uno. Estando elespacio entre las placas ocupado por aire y estando el conden-sador apoyado sobre una de sus bases, se llena éste de un líqui-do dieléctrico de permitividad ε hasta la mitad. A continua-ción, mediante una batería de corriente continua, se estableceuna diferencia de potencial V0 entre los conductores. ¿Cuántovalen la carga libre en los conductores, lacapacidad y la energíaelectrostática almacenada?. Ahora se desconecta la batería y sevuelca el condensador apoyándolo sobre su superficie lateral.Diga cuánto valen ahora la carga libre, la capacidad, la diferen-cia de potencial entre los conductores y la energía electrostáti-caalmacenada. Nota: en la realización del problema, desprecielos efectos de borde en los extremos del condensador cilíndri-co.

Figura Problema 20: Condensador cilín-drico parcialmente relleno de dieléctricolíquido en posiciones vertical y horizontal.

Problema 21.- Considere un condensador esférico formadopor dos esferas metálicas, una maciza de radio a y otra hue-ca de radio interior b (b > a).

a) Se establece con un generador una diferencia de poten-cial V entre los dos conductores del condensador. Actoseguido, se desconecta el generador y se llena la mitaddel hueco existente entre las dos esferas con un líquidodieléctrico de permitividad ε (vea la figura). Calcule losvectores E, D y P en la región comprendida entre las dosesferas después de introducir el líquido. Calcule tambiénlas variaciones de capacidad y de energía electrostáticacon respecto a la situación inicial. ¿Aumenta o dismin-uye la energía electrostática?. ¿Por qué?.

b) Repita el apartado anterior si se introduce el líquido sindesconectar el generador.

Figura Problema 21: Condensador esféri-co que, tras ser cargado mediante una bateríade f.e.m. V se rellena hasta la mitad de unlíquido dieléctrico.


Problema 22.- Considere dos conductores esféricos concéntri-cos, uno macizo de radio a y otro hueco de radio interno b yradio externo c (a < b < c). La mitad del espacio entre losconductores está ocupada por un dieléctrico de permitividad εy la otra mitad está ocupada por aire (cuya permitividad supon-dremos igual a ε0), siendo la superficie de separación entre eldieléctrico y el aire una superficie plana ortogonal a la super-ficie de los conductores esféricos (vea la figura). El exteriordel conductor esférico hueco está también ocupado por aire (depermitividad ε0).

a) Si el conductor esférico macizo se coloca a un potencialV1 y el conductor esférico hueco se conecta a tierra, cal-cule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio yla carga total que adquiere cada uno de los dos conduc-tores.

b) Si el conductor esférico macizo se conecta a tierra y elconductor esférico hueco se coloca a un potencial V2,calcule el campo eléctrico en todos los puntos del es-pacio y la carga total que adquiere cada uno de los dosconductores.

c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados a) yb), determine la matriz de capacidad del conjunto de dosconductores descrito.

a

c

b

e0

e

apartado a)

V1

apartado b)

c

V

a

b

e

e0

V2

Figura Problema 22: Sistema de dos con-ductores esféricos con dieléctrico no ho-mogéneo con dos excitaciones diferentes.

Problema 23.- Se dispone de un condensador de placas parale-las rectangulares que están separadas una distancia s. El con-densador se sumerge parcialmente en un líquido dieléctrico depermitividad ε, manteniendo las placas perpendiculares a la su-perficie de separación entre el líquido y el aire (vea la figura).Si se aplica una diferencia de potencial V entre las placas delcondensador mediante una batería de corriente continua, se ob-serva que el líquido asciende una altura h en la región com-prendida entre las placas. Sabiendo que la densidad másica dellíquido vale ρm, calcule cuánto vale h. Al determinar h supon-ga que la permitividad del aire vale ε0.

Figura Problema 23: Condensador deplacas paralelas parcialmente sumergidasen líquido dieléctrico y conectado a unabatería.


Cuestión 31.- Entre dos discos conductores perfectos de radioa se coloca otro disco de espesor d y del mismo radio fabricadocon un material semiaislante de permitividad ε = εrε0 y con-ductividad σ. Decimos que la capacidad del condensador asíformado es C = επa2/d, y la resistencia de fugas del mismoes R = d/(σπa2). Diga cuál de esas expresiones es aproxima-da y cuál es exacta, explicando razonadamente su respuesta.

Figura Cuestión 31: Condensador de pla-cas paralelas circulares con dieléctrico conpérdidas óhmicas en su interior.


Cuestión 32.- Se dispone de dos electrodos metálicos esféricosconcéntricos, uno macizo interior de radio a y otro hueco de ra-dio interno b (b > a). Tres cuartas partes del espacio entre loselectrodos está ocupada por un dieléctrico ideal de permitivi-dad ε1 y conductividad nula, siendo la cuarta parte restante unmaterial de permitividad ε2 y conductividad σ2 (mucho menorque la conductividad del metal). Calcule la resistencia existenteentre los dos electrodos metálicos.

Figura Cuestión 32: Sistema de dos con-ductores esféricos concéntricos separadospor dos medios diferentes, uno aislante idealy el otro aislante con pérdidas óhmicas.

Cuestión 33.- Se dispone de un recipiente cilíndrico lleno demercurio cuya altura vale h, y cuya sección transversal tiene unárea A. Entre los extremos del recipiente se aplica una diferen-cia de potencial V mediante un generador de resistencia inter-na despreciable. Si el mismo volumen de mercurio se vierte enotro recipiente cilíndrico cuya sección transversal tiene un áreaA′ = A/2 y aplicamos la misma diferencia de potencial Ventre los extremos, ¿cómo se modifican el campo eléctrico, laresistencia, la densidad de corriente y la intensidad de corrientecomo consecuencia del cambio de forma del recipiente?.

Figura Cuestión 33: Dos resistores demercurio con diferentes longitudes y sec-ciones pero con el mismo volumen.

Cuestión 34.- Considere un resistor con forma de media coronacircular, que ha sido fabricado con un material conductor po-bre de conductividad σ (típicamente en la práctica se usa grafitomezclado con un aglutinante). El resistor tiene un espesor h, ya y b son los radios interior y exterior de la media corona cir-cular (vea la figura). Si los extremos del resistor se conectana dos electrodos metálicos como se muestra en la figura, cal-cule la resistencia entre los electrodos en función de σ y de lasdimensiones del resistor. Figura Cuestión 34: Resistor en forma de

corona semicircular con sus electrodos decontacto de muy alta conductividad.


Cuestión 35.- Una corriente pasa a través de la interfase planaentre dos aleaciones metálicas de nicromo (níquel 65 %, hierro23 % y cromo 12 %) y constantán (cobre 60 % y níquel 40 %).En el nicromo las líneas de corriente forman un ángulo de 45o

con la normal a la interfase, y en el contastán, de 64o.

a) Si la conductividad del nicromo vale σ1= 106 (Ωm)−1,¿cuánto vale la conductividad del constantán?.

b) Si el campo eléctrico en el nicromo tiene un módulo de10−4 V/cm, ¿cuánto vale el módulo del campo eléctri-co en el constantán?. Calcule también el módulo de ladensidad de corriente en las dos aleaciones.

Figura Cuestión 35: “Refracción” de unalínea de corriente eléctrica al atravesar lafrontera plana de separación entre dos mues-tras de diferentes conductores.

Problema 24.- Un cable de longitud infinita está fabricado con dos conductores cilíndricos coaxiales, uno macizode conductividad σ1 y radio a, y otro hueco de conductividad σ2, radio interno a y radio externo b (vea la figura).Por el cable circula una corriente de intensidad I en la dirección del eje de revolución de los conductores.

a) Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente enel interior de los conductores.

b) Calcule la intensidad de corriente que circula por cadaconductor.

c) Calcule la resistencia de un tramo de longitud l, la difer-encia de potencial entre los extremos y la potencia con-sumida por efecto Joule.

d) Obtenga el valor numérico de las magnitudes requeri-das en los apartados b) y c) cuando a = 0,5 cm,b = 1,5 cm, σ1 = 1,03×107 (Ωm)−1 (acero), σ2 =3,77×107 (Ωm)−1 (aluminio), I = 1.000 A y l = 300m.

Figura Problema 24: Cable conductorfabricado con dos conductores diferentes através del cuál circula una corriente.


Cuestión 36.- Considere una espira no plana cuyo contornocoincide con seis de las aristas de un cubo (como se muestra enla figura). La espira transporta una corriente de intensidad I ycada arista del cubo tiene una longitud l. Aplicando el principiode superposición, calcule:

a) Un vector unitario que nos dé la dirección y sentido delcampo magnético en el vértice A del cubo que se muestraen la figura.

b) El momento dipolar magnético de la espira.Figura Cuestión 36: Espira no plana sobrelas aristas de un cubo.

Cuestión 37.- Un electrón tiene masa me y carga -e. Se va a utilizar para medir un campo eléctrico y un campomagnético (uniformes y estáticos) que hay en una cierta región del espacio.

a) Se sitúa el electrón en reposo en dicha región y se observa que adquiere una aceleración a = a2uy , siendoa2 constante.

b) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v0ux, y en ese instante, adquiere una acel-eración a = a2uy + a3uz .

c) Se introduce el electrón en la región con velocidad inicial v = v0uy y adquiere una aceleración a = a2uy .

Calcule los campos eléctrico y magnético en la región considerada en función de los datos del problema.


Figura Cuestión 37: Electrón que se mueve en diferentes circunstancias bajo la acción de un campo eléctrico y un campomagnético desconocidos.

Cuestión 38.- Una espira circular de radio a por la que circulauna corriente de intensidad I2 se encuentra situada en el interiorde un solenoide cilíndrico de longitud h y radio b (h >>> b >a), de forma que el centro de la espira coincide con el centrodel solenoide. El solenoide se ha fabricado con un bobinado deN vueltas de hilo de cobre esmaltado, y por el hilo circula unacorriente de intensidad I1. Si el eje de revolución de la espiraforma un ángulo α con el eje del solenoide, calcule el par defuerzas que actúa sobre la espira.

Figura Cuestión 38: Espira circular planaen el interior de un solenoide recto cilíndri-co.

Cuestión 39.- En la figura se muestra una espira que transportauna corriente estacionaria de intensidad I .

a) Calcule el campo magnético creado por la espira en elorigen de coordenadas.

b) Si se coloca un dipolo de momento dipolar m = m0ux

en el origen de coordenadas de forma que esté sujeto porsu centro, calcule el par de fuerzas sobre el dipolo. In-dique asimismo la dirección y sentido que debe tomar elmomento dipolar para que el dipolo se encuentre en unaposición de equilibrio estable. Figura Cuestión 39: Espira plana con for-

ma de sector de corona circular y dipolomagnético.

Cuestión 40.- Con un hilo de un material conductor de conduc-tividad σ se construye un solenoide de N vueltas, radio a y lon-gitud h. A continuación, se conecta el solenoide a un generadorde corriente continua de fuerza electromotriz V0 y resistenciainterna despreciable (vea la figura). Si con el mismo hilo con-ductor se construye un segundo solenoide de 2N vueltas, radioa y longitud h, y este segundo solenoide se conecta al mismogenerador que el primero (vea de nuevo la figura), establez-ca una relación entre las resistencias de los dos solenoides, lasintensidades de corriente que los atraviesan, los campos mag-néticos existentes en su interior, y las potencias disipadas porefecto Joule. Desprecie los efectos de borde en el cálculo de loscampos magnéticos.

V0

h

2N

vu

elta

s

V0

h

N v

ue

lta

s

2a 2a

Figura Cuestión 40: Dos solenoides con-struidos con el mismo tipo de hilo conductory con diferente número de vueltas.


Cuestión 41.- Sea el potencial vector magnético siguiente:

A = µ0J0

(aρ

2− ρ2

3

)uϕ ; ρ < a ; A =

µ0J0a3

6ρuϕ ; ρ > a

a) Calcule el campo magnético.

b) Calcule la densidad de corriente que crea el campo magnético.

c) Calcule el flujo magnético a través de un círculo de radio R > a centrado en el eje z y situado en un planoperpendicular a dicho eje.

Problema 25.- Estudie las siguientes situaciones:

a) Considere un conductor laminar con forma de mediasuperficie cilíndrica de radio c y longitud infinita (veala figura a). Por el conductor circula una corriente uni-formemente distribuida de intensidad I en la direccióndel eje de revolución de la superficie cilíndrica (eje z enla figura). Calcule el campo magnético en los puntos dedicho eje.

b) Considere ahora un conductor volumétrico con forma demedio cilindro hueco de radio interno a y radio externob. Por el conductor circula una corriente uniformementedistribuida de intensidad I en la dirección del eje z dela figura. Utilizando los resultados del apartado anterior,calcule de nuevo el campo magnético producido por esadistribución de corriente en los puntos del eje z.

c) Si al conductor del apartado anterior le añadimos la mi-tad que le falta para formar un cilindro hueco completopor el que circula una corriente de intensidad 2I , ¿cuán-to valdría ahora el campo magnético en los puntos deleje z (eje de revolución del cilindro hueco completo)?.¿Podría calcular en este caso de forma sencilla el campomagnético creado en todos los puntos del espacio (estoes, no sólo en el eje)?. ¿Por qué no sería tan fácil calcu-larlo en el caso tratado en el apartado (b)?.

c

z

y

x I

Caso a)

z

y

x

a

I

b

Caso b)

Figura Problema 25: Distribuciones su-perficial (a) y volumétrica (b) de corrientecon forma semicilíndrica.


Problema 26.- Calcule el coeficiente de inducción mutua entrelas parejas de espiras siguientes:

a) Un solenoide toroidal de sección rectangular y un hi-lo conductor infinito situado en el eje de revolución delsolenoide. El solenoide toroidal se ha fabricado con unbobinado de N vueltas, y sus dimensiones son las que semuestran en la figura. El hilo infinito puede considerarseparte de una espira que se cierra por el infinito.

b) Dos hilos conductores infinitos paralelos separados unadistancia d (que forman parte de una misma espira que secierra por el infinito, y por lo tanto, transportan la mismacorriente en sentidos contrarios) y una espira rectangularque se encuentra en el mismo plano que los hilos. Lasdimensiones de la espira rectangular y su distancia a loshilos se muestran en la figura.

I1

I2

a

b

N vueltas

h

Caso (a)

I1 I1I2

a

b

c

d

Caso (b)

Figura Problema 26: Dos casos de pare-jas de circuitos eléctricos cerrados acopladosmagnéticamente.

Problema 27.- Aunque es habitual suponer que la corriente enlos solenoides lleva siempre dirección perpendicular al eje, enla práctica eso no suele ocurrir. Considere un solenoide cilín-drico infinito de radio a en el que el hilo conductor enrolladoalrededor del solenoide tiene forma helicoidal, y en el que ladirección de la corriente forma un ángulo α con el plano per-pendicular al eje de revolución del solenoide (vea la figura).Sea I la intensidad de corriente que circula por el hilo conduc-tor. Si el bobinado del hilo conductor es denso y uniforme, sepuede demostrar que el solenoide se puede modelar medianteun conductor cilíndrico laminar por el que circula una corrientesuperficial de densidad de corriente:

K = K0 (cos αuϕ + senαuz)

siendo K0 = I/(2πasenα), y siendo el eje z el eje de rev-olución del solenoide. Utilizando el modelo que se acaba dedescribir basado en el conductor cilíndrico laminar, obtenga elcampo magnético creado por el solenoide en todos los puntosdel espacio.

Figura Problema 27: Tramo de solenoidecilíndrico con bobina enrollada de forma he-licoidal.

Problema 28.- Una espira circular de radio a está recorrida por una corriente estacionaria de intensidad I . Si sehace coincidir el centro de la espira con el origen de coordenadas y se hace coincidir el eje de revolución de laespira con el eje z (vea la figura), es posible demostrar que el campo magnético creado por la espira en todos lospuntos del espacio admite en coordenadas cilíndricas una expresión del tipo B = Bρ(ρ, z)uρ + Bz(ρ, z)uz .

a) Obtenga el valor del campo magnético en el eje de revolución de la espira.

b) Demuestre que en puntos próximos al eje de revolución de la espira (esto es, en puntos para los que ρ <<<a), la componente radial del campo magnético se puede aproximar por:

Bρ(ρ, z)]ρ<<<a ≈ ρf1(z)

Obtenga el valor de la función f1(z).


c) Utilizando el resultado obtenido en el apartado c), de-muestre que en puntos próximos al eje de revolución dela espira, la componente axial del campo magnético sepuede aproximar por:

Bz(ρ, z)]ρ<<<a ≈ f2(z) + ρ2f3(z)

Obtenga los valores de las funciones f2(z) y f3(z).

Consejo: utilice las expresiones de la divergencia y el rota-cional del campo magnético creado por la espira para resolverlos apartados b) y c). Figura Problema 28: Espira circular cen-

trada en el origen y situada en el plano z =0.

Problema 29.- Considere un conductor cilíndrico hueco delongitud infinita cuyo eje de revolución coincide con el eje z(vea la figura). El radio interno del conductor cilíndrico vale a,y el radio externo vale b. Por el conductor circula una corrientede densidad volumétrica J = J0uϕ.

a) Calcule el campo magnético creado por el conductorcilíndrico en todos los puntos del espacio.

b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espa-cio, tomando como origen de potencial vector el eje delconductor cilíndrico.

c) Calcule la fuerza que actúa sobre un dipolo de momentodipolar m = m0uz , situado dentro del conductor a unadistancia c de su eje (a < c < b).

mu

= m

0z

z2

a2

b

ju

= J

0j

Figura Problema 29: Corriente cilíndricaazimutal que fluye en un cilindro hueco condipolo magnético en su interior.

Problema 30.- Un electrón de carga −e y masa me sigue unmovimiento rectilíneo uniforme en el sentido positivo del ejex con velocidad v = v0ux. El electrón entra en una región decampo magnético uniforme B=B0uz que está limitada por losplanos x = 0 y x = b. Al salir de esta región, el electrón con-tinúa moviéndose hasta impactar sobre una pantalla detectorasituada en el plano x = b+c. El electrón impacta en la pantallaen un punto situado a una distancia d del plano y = 0 (vea lafigura).

a) ¿Cuál es el valor máximo que puede tener b para que elelectrón pueda alcanzar la pantalla?

b) Para los valores de b inferiores al obtenido en el apartadoa), determine el valor de d.

Figura Problema 30: Electrón queatraviesa una región de campo magnéti-co uniforme e impacta en una pantallaposterior.



Cuestión 42.- ¿Puede acelerarse una partícula cargada mediante un campo magnético estacionario?. ¿Puede estecampo cambiar la energía cinética de dicha partícula? ¿Es posible cambiar la energía cinética de la partícula cargadamediante un campo magnético variable en el tiempo? Justifique las respuestas.

Cuestión 43.- Una barra metálica de longitud l gira alrededorde un eje perpendicular a uno de sus extremos (eje z en la figu-ra) con velocidad angular constante ω0. Si la barra está situadaen una región donde existe un campo magnético uniforme B =B0 uz , calcule la diferencia de potencial entre los extremos dela barra (puntos A y B en la figura).

Figura Cuestión 43: Barra metálica gira-toria en el seno de un campo uniforme par-alelo a la velocidad angular.

Cuestión 44.- ¿Es posible obtener un campo eléctrico cuyas líneas de campo sean cerradas (circunferencias, porejemplo)?. Razone la respuesta. En caso de que la respuesta sea afirmativa, sugiera un ejemplo de sistema físicoque sea capaz de crear un campo eléctrico con líneas de campo cerradas.

Cuestión 45.- El estudio de la energía magnetostática se posterga hasta que ha concluido el estudio de la ley deFaraday. ¿Puede explicar por qué?.

Cuestión 46.- Se dispone de dos anillos metálicos R y S quecuelgan de dos hilos idénticos. Los anillos son iguales exceptoen el hecho de que S está partido como se muestra en la figura.Se hace oscilar a los anillos alrededor de un eje que pasa porcada hilo (esto es, se convierten en sendos péndulos de torsión)en presencia de un campo magnético uniforme perpendicular adicho eje (vea la figura). ¿Cuál de los dos anillos se detendráantes?. Razone la respuesta.

Figura Cuestión 46: Par de anillos con-ductores que pueden oscilar alrededor del hi-lo del que se suspenden en el seno de uncampo magnético estático. Uno está comple-to y el otro está partido.

Cuestión 47.- En la figura se muestra un imán cilíndrico situa-do frente a un solenoide cilíndrico cortocircuitado. Si el imán seacerca al solenoide (vea la figura), indique razonadamente cuálserá el sentido de la corriente inducida en el solenoide. Asimis-mo, indique razonadamente cuál será el sentido de la fuerzamagnética que ejerce la corriente inducida en el solenoide so-bre el imán. Repita la cuestión para el caso en el que el imán sealeja del solenoide (vea de nuevo la figura).

Figura Cuestión 47: Imán que se acerca ose aleja a un solenoide cortocircuitado.

Problema 31.- Un hilo conductor de resistencia despreciable con forma de U está conectado a un interruptor y aun generador de fuerza electromotriz (fem) V0 y resistencia interna despreciable. Sobre el hilo conductor descansauna barra conductora de longitud a, masa m y resistencia eléctrica R. La barra puede deslizar sin rozamiento sobreel hilo conductor de forma que la barra se mantiene siempre paralela a uno de los lados del hilo conductor conforma de U (paralela al eje y en la figura). La autoinducción del circuito formado por el hilo con forma de U y labarra es despreciable. En la región donde se encuentran el hilo conductor y la barra conductora se ha aplicado uncampo magnético uniforme B = B0 uz dirigido perpendicularmente al plano que contiene al hilo en U y a la barradeslizante (véase la figura). Si en el instante t = 0 se cierra el interruptor, calcule:


a) La velocidad de la barra en función del tiem-po, v = vx(t) ux.

b) La intensidad de la corriente I(t) que circulapor el circuito formado por el hilo en U y labarra.

c) La energía cinética que adquiere la barra en elestado estacionario, la energía total disipadaen la barra por efecto Joule y la energía totalentregada por el generador. Compruebe quese satisface el principio de conservación dela energía.

x

y

z

B u=B0 z

m, R

v u=v (t)x x

V0

t=0

I(t)

Figura Problema 31: Barra conductora de resistenciaR y masa m que desliza sin fricción sobre unos raíles enel seno de un campo magnético uniforme.

Problema 32.- Una espira cuadrada de lado a se mueve uniformemente con velocidad v = v0ux en el plano quecontiene al origen de coordenadas y a los ejes x e y (vea la figura). En t = 0 la espira empieza a introducirse enuna región semiinfinita (x > 0 en la figura) en la que existe un campo magnetostático uniforme B = B0uz . Laespira tiene masa m, resistencia R y autoinducción despreciable. Sabiendo que v0 = (2a3B2

0)/(mR):

a) Justifique el sentido de la corriente induci-da mediante la ley de Lenz. ¿Qué efectosmecánicos tiene esta corriente inducida?.

b) Calcule el tiempo que tarda la espira en entrarcompletamente en la región de campo mag-nético uniforme. Calcule también la intensi-dad de corriente inducida en la espira en fun-ción del tiempo.

c) Calcule la velocidad de la espira en funcióndel tiempo.

d) Demuestre que la diferencia entre la energíacinética que poseía la espira antes de entraren la región de campo magnético y la energíacinética que posee la espira después de entrarcompletamente en la región de campo mag-nético coincide con el calor disipado en la es-pira por efecto Joule (esto es, demuestre quese cumple el principio de conservación de laenergía).

Figura Problema 32: Espira cuadrada que se aproximacon velocidad constante v=v0ux a una región semiinfini-ta con campo magnético estático y uniforme .

Problema 33.- Considere un conductor laminar plano infinito que ocupa todo el plano z = 0. Por el conductorlaminar circula una corriente estacionaria que en t = 0 empieza a disminuir gradualmente hasta hacerse cero. Lavariación con el tiempo de la densidad superficial de corriente en el conductor se modela mediante la ecuación

K(t) =

K0 uy t < 0

K0

(1− t

τ

)uy 0 < t < τ

0 t > τ

Suponiendo que la variación con el tiempo de K(t) es cuasiestacionaria:


a) Calcule el campo magnético en todos los puntos del espacioen función del tiempo.

b) Calcule el potencial vector en todos los puntos del espacio enfunción del tiempo. Tome como origen de potencial vector elplano z = 0.

c) Calcule el campo eléctrico creado por la corriente en todos lospuntos del espacio en función del tiempo.

d) Considere una carga puntual q de masa m que se mantiene su-jeta a una distancia d del conductor laminar cuando t < 0, ysuponga que en t = 0 se libera dicha carga puntual, permitien-do que se mueva libremente a partir del reposo. Suponiendoque la fuerza magnética que actúa sobre la carga puntual esdespreciable frente a la eléctrica, calcule la aceleración queactúa sobre la carga puntual y obtenga la energía cinética queadquiere una vez que se ha alcanzado el estado estacionario.

Figura Problema 33: Distribuciónplana de corriente superficial variableen el tiempo de forma lineal. Una car-ga q de masa m se encuentra en susproximidades.

Problema 34.- Considere una espira circular de radio b que yace en el plano xy y cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas. Asimismo, considere también una pequeña espira circular de radio a (a << b) por la quecircula una corriente de intensidad I0 (impuesta por una fuente ideal de intensidad), cuyo centro también coincidecon el origen de coordenadas. La espira pequeña rota en torno al eje x con velocidad angular constante ω0 de modoque en t = 0 las dos espiras son coplanares.

a) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las espi-ras como función del tiempo.

b) Calcule la intensidad de la corriente inducida en la espi-ra de radio b suponiendo que su resistencia vale R y suautoinducción es despreciable (L ≈ 0).

c) Calcule el par de fuerzas que hay que aplicar a la espirade radio a para mantenerla en rotación con velocidad an-gular constante (consejo: trate la espira de radio a comoun dipolo magnético).

d) Calcule la potencia mecánica entregada a la espira de ra-dio a y demuestre que coincide con la potencia disipadapor efecto Joule en la espira de radio b.

Figura Problema 34: Espira circular pe-queña con corriente constante que rota demanera que el vector velocidad angular seencuentra contenido en el plano de otra es-pira circular fija de tamaño mucho mayor.

Problema 35.- Una varilla conductora de masa mv está en contacto permanente con dos raíles conductores verti-cales y perpendiculares a la varilla. Por uno de sus dos extremos, los raíles están conectados a través de un resistorde resistencia R (vea la figura). Se supone que la resistencia de la varilla y de los raíles es despreciable, y que laautoinducción del circuito formado por la varilla, los raíles y el resistor también es despreciable. Los raíles sonparalelos a un hilo conductor rectilíneo infinito por el que circula una corriente estacionaria de intensidad I0. Losraíles y el hilo están en un mismo plano, estando un rail a una distancia a del hilo, y el otro a una distancia b (veala figura). Si se deja caer la varilla por acción de la gravedad en presencia del campo magnético creado por el hilo(de forma que la varilla se aleja del resistor, tal y como se muestra en la figura), calcule:


a) La intensidad de la corriente inducida en el circuito for-mado por la varilla, los raíles conductores y la resistenciaR en función de la velocidad de caída. ¿Cuál es el sentidode la corriente inducida?.

b) La fuerza magnética que actúa sobre la corriente induci-da.

c) La ecuación diferencial para la velocidad de caída y lasolución de esa ecuación diferencial.

d) Los valores límite que toman la intensidad de la corrienteinducida y la velocidad de caída cuando ha pasado untiempo suficientemente largo.

Figura Problema 35: Varilla conductoraperfecta de masa mv que cae apoyada endos hilos conductores perfectos en el senodel campo magnético producido por un hilode corriente.

Problema 36.- Una espira conductora de radio a, masa M , re-sistencia eléctrica R y autoinducción despreciable cae partien-do del reposo de forma que el plano de la espira es siempre per-pendicular al eje z y su centro está contenido en dicho eje (veala figura). Esta caída se lleva a cabo en la presencia del campomagnético creado por un dipolo magnético situado en el origende coordenadas de momento dipolar magnético m = m0uz .

a) Calcule el potencial vector y el campo magnético creadopor el dipolo sobre los puntos de la espira en términos delos vectores unitarios del sistema de coordenadas cilín-dricas.

b) Obtenga la intensidad de la corriente inducida en térmi-nos de la posición de la espira y de su velocidad. ¿Quésentido tiene la corriente inducida si m0 > 0?.

c) Calcule la fuerza magnética que actúa sobre la corrienteinducida.

d) Obtenga la ecuación de movimiento de la espira(ecuación diferencial para za(t)) sin resolverla.

Figura Problema 36: Espira conductorade masa M y resistencia R que cae en elseno del campo magnético producido por undipolo magnético situado en el origen de co-ordenadas sobre su vertical.


Problema 37.- Considere un campo magnético B = Bρuρ +Bzuz (Bρ y Bz son las componentes del campo en coorde-nadas cilíndricas) que tiene simetría de revolución alrededordel eje z. En las proximidades del eje z la componente Bz sepuede aproximar por Bz ≈ B0 + kz (B0 y k son constantes).

a) Sabiendo que el campo magnético está acotado en lospuntos del eje z, demuestre que en las proximidades deeste eje se cumple que Bρ ≈ −kρ/2.

b) Considere ahora un pequeño anillo conductor de radioa, masa m, resistencia R y autoinducción despreciable.Suponga que este anillo se sitúa en el seno del campomagnético anteriormente descrito de manera que su cen-tro esté situado sobre el eje z y el anillo esté contenido enun plano perpendicular a este eje (vea la figura). Supon-ga que, a continuación, se deja caer el anillo. Calcule lavelocidad del anillo en función del tiempo, así como laintensidad de la corriente inducida en el anillo.

c) ¿Cuál es el valor límite que toman la velocidad y de laintensidad de la corriente cuando ha pasado un tiemposuficientemente largo?

Figura Problema 37: Espira conductorade masa m, resistencia R, radio pequeño a

y autoinducción despreciable, que cae en elseno del campo magnético a que se refiere elenunciado.

Problema 38.- Considere una espira cuadrada de lado l que yace en el plano xy, cuyo centro coincide con elorigen de coordenadas. Asimismo, considere también una pequeña espira circular de radio a por la que circula unacorriente de intensidad I0 (impuesta por una fuente de intensidad, tal y como se muestra en la figura), cuyo centrotambién coincide con el origen de coordenadas. La espira circular rota en torno al eje x con una velocidad angularconstante ω.

a) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre las espi-ras, suponiendo que a ¿ l.

b) Calcule la intensidad de corriente inducida en la espiracuadrada, suponiendo que su resistencia vale R y que suautoinducción es despreciable (L ≈ 0).

c) Calcule el par de fuerzas que hay que aplicar a la espirapequeña para mantenerla en rotación a velocidad angu-lar constante (consejo: trate la espira pequeña como undipolo magnético).

d) Calcule la potencia mecánica entregada a la espira pe-queña y demuestre que coincide con la potencia disipadapor efecto Joule en la espira cuadrada.

Figura Problema 38: Pequeña espira cir-cular de corriente que gira en torno al ejex en la presencia de una espira cuadrada demayor tamaño.

Problema 39.- En el plano x = 0 hay un conductor laminar infinito que transporta una corriente estacionaria dedensidad superficial K = K0uy . Una espira rectangular de dimensiones a × b se mueve en el plano z = 0 convelocidad constante v = v0ux, tal y como muestra la figura. En el instante t = 0 el lado derecho de la espiratoca el conductor laminar y, a continuación, la espira atraviesa el conductor laminar sin que en ningún momentosu movimiento deje de ser uniforme.


a) Si la espira tiene una resistencia R y una autoinduccióndespreciable, calcule la intensidad de corriente inducidaque circula por la espira en función del tiempo e indiqueel sentido de dicha corriente.

b) Bajo las condiciones del apartado a), calcule la energíamecánica entregada a la espira en movimiento uniformey demuestre que esta energía coincide con el calor disi-pado en la espira por efecto Joule.

c) Si la espira tiene una resistencia R y una autoinducciónL, calcule la intensidad de la corriente inducida en la es-pira en función del tiempo. Figura Problema 39: Espira rectangular

que se aproxima a velocidad constante alámina de corriente superficial uniforme.

Problema 40.- En la figura se muestra un circuito formado por un rail rígido doblado en forma de U con una barramóvil que puede deslizar sin fricción sobre dicho rail. Los materiales considerados son conductores perfectos yla autoinducción global del circuito viene dada exclusivamente por la de la bobina que se muestra (L). La barramóvil está unida a los railes en forma de U mediante un resorte ideal no conductor de constante de recuperación k.La posición de la barra móvil cuando no actúan fuerzas externas sobre ella es x = x0. La fuerza con la que actúael resorte es

Fx = −k(x− x0)

El conjunto se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme B=B0 uz . Supongamos que la barra móvilse coloca en la posición inicial x0 + ∆x0, esto es, se actúa contra el resorte aplicando una elongación inicial deamplitud ∆x0. En ausencia de efectos electromagnéticos, al soltar la barra, ésta, que tiene una masa m, describiríaun movimiento armónico simple en torno a la posición x = x0 de amplitud ∆x0 y frecuencia angular ω0 =

√k/m.

Se pide:

a) Ecuación de movimiento de la barra en presencia delcampo magnético demostrando que el movimiento es ar-mónico simple con una frecuencia angular dada por

ω0 =

√B2

0b2

mL+

k

m

b) Calcule la posición de la barra en función del tiempox(t), resolviendo la ecuación diferencial correspondientesujeta a las condiciones iniciales apropiadas. Determinela amplitud de las oscilaciones y el valor de x en torno alcual se producen dichas oscilaciones.

Figura Problema 40: Barra conductoraideal que desliza sobre raíles conductoresideales. La barra y los raíles están sometidosa un campo magnético perpendicular uni-forme. Un resorte controla el movimiento dela barra.

Problema 41.- En una región del espacio cuya sección transversal es rectangular y tiene dimensiones a× l (vea lafigura) existe un campo magnético variable en el tiempo dado por:

B(t) = B0uz ; t < 0

B(t) = B0

(1− t

τ

)uz ; 0 < t < τ

B(t) = 0 ; t > τ

Sobre las superficies que limitan inferior y superiormente la región anteriormente descrita se colocan dos cables delongitud l, conductividad σ y sección transversal de área A en dirección perpendicular al campo magnético (vea lafigura).


a) Si dos de los extremos de los cables se conectan medi-ante un cable de resistencia despreciable y los otros dosextremos mediante un amperímetro de resistencia tam-bién despreciable, calcule el sentido y el valor absolutode la intensidad que registra el amperímetro.

b) Repita el apartado a) para el caso en que el amperímetrose conecte entre los puntos medios de los dos cables orig-inales, tal y como muestra la figura.

Desprecie la autoinducción de los circuitos formados por loscables y el amperímetro.

Figura Problema 41: Circuitos cerradosen el seno de un campo magnético variableen el tiempo.

Problema 42.- Una varilla metálica de longitud l y masa m puede deslizar sin rozamiento sobre dos raíles metálicosparalelos que están conectados por uno de sus extremos a través de un resistor de resistencia R (vea la figura). Losraíles metálicos descansan sobre una superficie horizontal. Se supone que tanto la resistencia de la varilla como lade los raíles es despreciable. En la región donde se encuentran la varilla y los raíles se aplica un campo magnéticouniforme B = B0uz , que está dirigido perpendicularmente a la superficie plana sobre la que descansan los dosraíles.

a) Si la varilla se mueve hacia la derecha con una velocidadv = vx(t)ux, ¿cuánto valdrá la intensidad de la corri-ente inducida I(t) que circula por el resistor? ¿Cuál es elsentido de esa corriente inducida?

b ¿Cuál es el módulo, dirección y sentido de la fuerza mag-nética que actúa sobre la varilla en las condiciones delapartado a)?

c) Si en t = 0 se le comunica a la varilla una velocidadinicial v = v0ux (v0 > 0) y a continuación, se permite ala varilla moverse libremente, ¿cuál será la velocidad dela varilla en función del tiempo v = vx(t)ux para t > 0?

d) Demuestre que en las condiciones del apartado c), la en-ergía cinética inicial comunicada a la varilla se transfor-ma en calor disipado en el resistor por efecto Joule.

Nota: Desprecie en los cálculos la autoinducción del circuitoformado por la varilla, los raíles y el resistor.

Figura Problema 42: Varilla conductorade longitud l y masa m que desliza sin fric-ción sobre raíles conductores en presencia decampo magnético uniforme.


Problema 43.- Considere una espira superconductora (re-sistencia eléctrica nula) cuadrada de lado a y autoinducción L,que está centrada en el origen de coordenadas y está contenidaen el plano z = 0. La espira está inmersa en una región del es-pacio donde existe un campo magnético uniforme B = B0ux,y por ella no circula corriente. Si la espira se rota un ángulo αalrededor del eje y tal y como muestra la figura:

a) Calcule la intensidad de la corriente inducida en la espirae indique el sentido de dicha corriente inducida.

b) Calcule el par de fuerzas que actúa sobre la espira.

c) Si se libera la ligadura mecánica que sostiene la espira,¿hacia dónde se moverá? Figura Problema 43: Espira cuadrada en

el seno de un campo magnético uniforme.

Problema 44.- Considere un solenoide cilíndrico de radio a ylongitud h, siendo a <<< h. El solenoide ha sido construidocon un bobinado de N vueltas de hilo de material supercon-ductor. Suponga que los extremos del solenoide están cortocir-cuitados, y suponga también que cuando t < 0, por el solenoideno circula corriente. En el interior del solenoide existe una espi-ra circular de radio b (b < a). La espira circular está conectadaa una fuente ideal de intensidad que hace que por la espira cir-cule una corriente de intensidad I0. Cuando t < 0, la espiraestá en reposo y su eje de revolución coincide con el eje de rev-olución del solenoide cilíndrico. En t = 0 la espira empiezaa girar con velocidad angular constante ω alrededor de un ejeperpendicular al eje de revolución del solenoide cilíndrico (veala figura).

a) Calcule la autoinducción del solenoide cilíndrico.

b) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre elsolenoide cilíndrico y la espira circular cuando t > 0.

c) Calcule la intensidad de corriente variable en el tiempoIs(t) que circula por el solenoide cilíndrico cuando t >0.

Figura Problema 44: Espira pequeña concorriente I0 que rota dentro de un solenoidelargo recto cortocircuitado.

Problema 45.- Dos circuitos acoplados magnéticamente A y B contienen dos solenoides en los que los hilosconductores van enrollados en sentidos contrarios en torno a núcleos cilíndricos de alta permeabilidad relativa (veala figura). Los solenoides comparten el mismo eje.

En el circuito A el hilo conductor que forma parte del solenoideestá conectado a un resistor de resistencia variable R y a ungenerador de corriente continua de f.e.m. ε y resistencia inter-na Rg. En el circuito B el hilo conductor que forma parte delsolenoide está conectado únicamente a un resistor. Indique elsentido de la corriente inducida en el circuito B cuando:

a) Estando cerrado el interruptor S del circuito A, elsolenoide del circuito A se aproxima al solenoide del cir-cuito B.

b) Estando cerrado el interruptor S del circuito A, se reducela resistencia R del resistor del circuito A.

c) Se abre el interruptor del circuito A.

e,Rg

R

circuito A circuito B

S

Figura Problema 45: Par de circuitos(solenoides) magnéticamente acoplados.


Problema 46.- En una región del espacio existe un campo mag-nético uniforme B = B0uz . En dicha región se coloca un discoconductor de conductividad σ, radio a y altura d, de manera queel eje de revolución del disco es paralelo al campo magnético(vea la figura). En t = 0 el campo magnético empieza a dis-minuir gradualmente siguiendo la ley B(t) = B0(1− t/τ)uz ,y finalmente B = 0 si t > τ .

a) Determine el campo eléctrico en el interior del disco con-ductor y la densidad volumétrica de corriente inducida.

b) Calcule el calor disipado en el disco por efecto Joule.Figura Problema 46: Disco conductor enel seno de un campo variable en el tiempo.


Cuestión 48.- Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique brevemente su respuesta:

a) El flujo del campo magnético, B, a través de una superficie cerrada sólo es cero si no hay corrientes dentrode esa superficie.

b) Un campo magnetostático no puede cambiar la energía cinética de una partícula cargada y, por tanto, nopuede producir aceleración en dicha partícula.

c) Las líneas del campo magnético B en un imán se dirigen del polo norte al polo sur por fuera del imán, peropor dentro del imán es al revés, las líneas van del polo sur al polo norte.

d) En un material ferromagnético, para un valor de la intensidad magnética H en cada punto puede haber variosvalores distintos de la magnetización.

Cuestión 49.- Una muestra de material magnetizado tiene for-ma de toro con sección transversal rectangular, tal y como semuestra en la figura. La distribución de magnetización en elinterior del toro viene dada por la expresión siguiente:

M = M0

(a

ρ

)uϕ.

siendo ρ la coordenada radial de un sistema de coordenadascilíndricas con origen en el eje de revolución del toro. Calculelas densidades de corriente de magnetización volumétricas ysuperficiales. ¿Existen en el material magnetizado fuentes es-calares del vector intensidad de campo magnético H?. Tenien-do en cuenta la respuesta a esta pregunta, calcule el campo deinducción magnética, B, y la intensidad magnética, H, en todoslos puntos del espacio.

Figura Cuestión 49: Toro magnetizado endirección azimutal.


Cuestión 50.- Considere un solenoide cilíndrico por el que cir-cula una corriente estacionaria. En las proximidades de uno delos extremos se coloca un cilindro macizo de un cierto material(vea la figura). Indique razonadamente la dirección y sentido dela fuerza magnética que se ejerce sobre este cilindro cuando:

a) El material del que está hecho el cilindro es paramagnéti-co.

b) El material del que está hecho el cilindro es diamagnéti-co.

Figura Cuestión 50: Muestra de ma-terial diamagnético/paramagnético sobresolenoide excitado por una corrientecontinua.

Cuestión 51.- Un juguete para niños consiste en dos imanespermanentes con forma de anilla que pueden deslizar sin fric-ción sobre una barra vertical. Los imanes se pueden modelarcomo dipolos magnéticos cuyo momento dipolar tiene un mó-dulo m0. Los imanes tienen una masa M . Si los imanes secolocan sobre la barra de forma que sus momentos dipolarestengan sentidos opuestos (vea la figura), es posible conseguirque el imán superior quede suspendido en el aire. ¿A qué al-tura h debe estar el imán superior del imán inferior para que seproduzca la levitación del imán superior?

Figura Cuestión 51: Par de imanestoroidales enfrentados.

Cuestión 52.- Considere una esfera hueca de radio interno a yradio externo b que ha sido magnetizada en dirección radial, deforma que la magnetización en el interior de la esfera vale:

M = M0

(b

r

)2

ur

a) Calcule las densidades de corriente de magnetización.

b) Calcule el campo magnético en todos los puntos del es-pacio.

c) Calcule la intensidad magnética en todos los puntos delespacio.

Figura Cuestión 52: Esfera hueca magne-tizada con magnetización radial.


Cuestión 53.- Un conductor laminar cilíndrico de radio a ylongitud infinita transporta en su superficie una corriente de in-tensidad I uniformemente distribuida. El conductor atraviesa lasuperficie plana de separación entre dos medios semiinfinitos,de los cuales uno es el vacío y otro es un medio l.i.h. de per-meabilidad magnética µ. El eje del conductor cilíndrico es per-pendicular a la superficie de separación entre los dos medios,tal y como se muestra en la figura.

a) Calcule los campos B, H y M en todos los puntos delespacio.

b) Calcule las corrientes volumétricas y superficiales demagnetización.

Figura Cuestión 53: Conductor laminarcilíndrico que transporta una corriente deintensidad I atravesando dos medios difer-entes.

Cuestión 54.- Se tienen dos muestras de materiales A y B desconocidos. Se miden sus susceptibilidades magnéti-cas a diversas temperaturas. Se observa que para el material A la susceptibilidad magnética es pequeña en valorabsoluto e independiente de la temperatura. Para el material B, la susceptibilidad magnética es también pequeñaen valor absoluto pero depende de la temperatura. Indique a qué categoría de materiales magnéticos pertenecen lasmuestras A y B, indicando que signo toma la susceptibilidad magnética en dichos materiales.

Problema 47.- Considere dos hilos conductores infinitos por los que circulan corrientes de la misma intensidad envalor absoluto.

a) Si las corrientes en los hilos conductores llevan elmismo sentido, indique la dirección y sentido delcampo magnético en el plano que es perpendicu-lar al plano de los conductores y equidista de el-los (plano que contiene al origen de coordenadas,y a los ejes y y z en la figura). Asimismo, haga unbosquejo de las líneas de campo magnético entrelos conductores.

b) Repita el apartado a) para el caso en que las corri-entes en los hilos conductores llevan sentidos con-trarios.

c) Utilizando los resultados obtenidos en los aparta-dos a) y b), explique cómo se podría aplicar elmétodo de las imágenes para calcular el campomagnético creado por un hilo conductor paraleloa la superficie plana de un medio superconductor(µ = 0), y para calcular el campo magnético crea-do por un hilo conductor paralelo a la superficieplana de un ferromagnético blando ideal (µ →∞).

Figura Problema 47: Par de hilos conductoresque transportan la misma intensidad de corriente,en el mismo sentido (apartado a) y en sentidos con-trarios (apartado b).


Problema 48.- Considere una esfera magnetizada de radio aque posee una magnetización M = M0 (r/a) senθuϕ con re-specto a un sistema de coordenadas esféricas con origen en elcentro de la esfera.

a) Obtenga las fuentes escalares y vectoriales del vector in-tensidad magnética H creado por la esfera magnetizada,y a partir de dichas fuentes, obtenga el valor de H entodos los puntos del espacio.

b) Utilizando el apartado anterior, obtenga el campo mag-nético creado por la esfera magnetizada en todos los pun-tos del espacio y haga un esbozo de las líneas de campomagnético.

c) Calcule las densidades de corriente de magnetización ex-istentes en la esfera magnetizada y haga un esbozo de laslíneas de corriente de magnetización.

Figura Problema 48: Esfera magnetizadade radio a con magnetización en direcciónazimutal.


Cuestión 55.- Dos conductores ideales están sumergidos en unlíquido pobremente conductor de permitividad ε y conductivi-dad σ. Cuando se conectan estos dos conductores a los termi-nales de una batería de corriente continua de resistencia internadespreciable y fuerza electromotriz V0, circula a través de lamisma una corriente de intensidad I0 (vea la figura). Si sustitu-imos la batería de corriente continua por un generador de cor-riente alterna de fuerza electromotriz V ′

0 cos(ωt) ¿cuánto valeahora la corriente que atraviesa el generador?.

Figura Cuestión 55: Par de electrodosconductores ideales sumergidos en un líqui-do pobremente conductor.

Problema 49.- Por un hilo conductor rectilíneo infinito circula una corriente cuasiestacionaria de intensidad I(t) =I0 cos(ωt). Por un conductor laminar cilíndrico infinito de radio a, cuyo eje coincide con el hilo conductor, circulauna corriente superficial de la misma intensidad I(t) en sentido contrario al de la corriente en el hilo (vea lafigura). La corriente superficial está uniformemente distribuida el perímetro transversal del conductor laminar. Elhilo conductor y el conductor laminar están situados en el vacío.

a) Calcule el campo magnético en todos los puntos del espacio.

b) Calcule el potencial vector magnético en todos los puntos del espacio, tomando como origen de potencialvector la superficie del conductor laminar.


c) Calcule el campo eléctrico inducido en todos los puntosel espacio.

d) Calcule la densidad de corriente de desplazamiento entodos los puntos del espacio.

e) Calcule la intensidad de la corriente de desplazamientoId(t) que fluye a través del interior del conductor lami-nar.

f) Calcule la razón Id(t)/I(t). Si el conductor laminar tu-viera un radio de 1 mm, ¿cuál debería ser la frecuenciade I(t) para que Id(t) fuera un 1 % de I(t)?.

Nota: este problema está concebido para mostrarle por quéFaraday nunca descubrió la corriente de desplazamiento, y porqué es usualmente unabuena aproximación despreciar la corri-ente de desplazamiento cuando se trabaja con corrientes alter-nas de frecuencias no demasiado altas. Figura Problema 49: Corriente alterna

en hilo conductor y corriente superficial ensentido contrario por un conductor laminarcilíndrico, coaxial con el hilo conductor.

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Figura Cuestión 9 - personal.us.espersonal.us.es/boix/uploads/pdf/electromagnetismo/examenes_0304_a... · °c Francisco Medina Mena y Rafael Rodríguez Boix 1 CUESTIONES Y PROBLEMAS