Filtrage du signal - Freetsi.ljf.free.fr/ATS/docs/S2I/CI2B/Filtrage.pdf · 2018. 3. 25. · Filtre passe-haut du 1er ordre B.2.1.Fonction de transfert On considère à présent le

FILTRAGE DU SIGNAL

CI2 : Acquisition et conditionnement des informationsCI2 : Acquisition et conditionnement des informations

FILTRAGE DU SIGNAL COURS

Edition 1 - 20/03/2018

Lycée Jules Ferry - 06400 Cannes [email protected] 1/23

CHAÎNE D’ENERGIE

ALIMENTER DISTRIBUER CONVERTIR TRANSMETTRE

ACTI

ON

CHAÎNE D’INFORMATION

ACQUERIR TRAITER COMMUNIQUER

mailto:[email protected]:[email protected]

PROBLEMATIQUE

« Les signaux électrique véhiculent des signaux de

fréquences très diverses. Afin d’exploiter la bonne information parmi toutes ces fréquences, il est nécessaire de

privilégier certaines fréquences et de rejeter les autres.

Le filtrage, élément de la chaîne de conditionnement du

signal, remplit cette fonction.»

B - MODELISERB - MODELISERB - MODELISERB1 : Identifier et caractériser les grandeurs physiques agissant sur un système

Identifier la nature de l’information et la nature du signal



Problématique Edition 1 - 20/03/2018



SommaireA. _______________________________________________________________Généralités! 4

A.1.Problématique et classification du filtrage 4

A.2.Types de filtres 4

A.3.Notion de bande passante / bande atténuée 5

A.4.Notion de gabarit de filtre 5

B. __________________________________________________Filtres analogiques passifs! 6

B.1.Filtre passe-bas du 1er ordre 6B.1.1. Fonction de transfertB.1.2. Effets sur un signal électrique

B.2.Filtre passe-haut du 1er ordre 8B.2.1. Fonction de transfertB.2.2. Effets sur un signal électrique

B.3.Filtre passe-bas du 2d ordre 10B.3.1. Premier circuit : Double circuit RCB.3.2. Second circuit : Circuit RLCB.3.3. Forme générale

B.4.Filtre passe-haut du 2d ordre 13

B.5.Filtre passe-bande 13B.5.1. Fonction de transfertB.5.2. Conséquences sur le signalB.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtreB.5.4. Recherche de la bande passanteB.5.5. Influence du facteur de qualité

B.6.Filtre réjecteur de bande (coupe-bande) 17B.6.1. Fonction de transfertB.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre

B.7.Détermination rapide de la nature du filtre 19

C. ___________________________________________________Filtres analogiques actifs! 21

C.1.Filtre passe-bas 21

C.2.Filtre passe-haut 22

C.3.Filtre passe-bande 23



Sommaire Edition 1 - 20/03/2018



A. Généralités

A.1. Problématique et classification du filtrage

A l’issue de l’acquisition d’une grandeur physique par un capteur, la chaîne de conditionnement a pour fonction de mettre en forme le signal délivré afin de le rendre exploitable par le bloc de traitement des données.

Le signal issu du capteur n’est jamais purement constitué du seul signal utile, mais d’une superposition de plusieurs signaux de fréquences très différentes

La chaîne de conditionnement doit permettre de ne transmettre que les informations utiles, en conservant la bande de fréquences véhiculant l’information utile, et en rejetant les autres fréquences : c’est le rôle du filtre.

Tous les systèmes électroniques comportent au moins un filtre. Les applications de ces filtres sont très variées :

• Acquisition et traitement des données• Communications• Alimentations électriques

On distingue les filtres analogiques et les filtres numériques, ces derniers n’étant pas étudiés en CPGE ATS.

Parmi les filtres analogiques, nous étudierons les filtres passifs (composés de composants R, L et C) et les filtres actifs (composés des composants R, L, C et ALI).

Les outils utilisés dans l’étude des filtres sont les fonctions de transfert complexes, avec leurs diagrammes de Bode associés.

A.2. Types de filtres

L’objectif du filtrage est de conserver une bande de fréquence particulière. Il peut s’agit :

• des fréquences inférieures à un seuil : filtre passe-bas• des fréquences supérieures à un seuil : filtre passe-haut• des fréquences comprises entre deux seuils : filtre passe-bande• de toutes les fréquences à l’exception d’une bande : filtre réjecteur de bande



Généralités Edition 1 - 20/03/2018

Notes



A.3. Notion de bande passante / bande atténuée

L’étude du comportement harmonique d’un filtre fait apparaître un gain maximal GdBMAX

Nous appellerons bande passante d’un filtre l’ensemble des fréquences telles que le gain du filtre pour ces fréquences est supérieure ou égal à GdBMAX − 3

GdBMAX GdBMAX − 3dB

Bande passante

Les fréquences rejetées sont regroupées dans la bande atténuée

A.4. Notion de gabarit de filtre

Un filtre idéal devrait rendre infini le gain dans la bande passante, et nul dans la bande atténuée. Un tel filtre n’est toutefois pas réalisable en pratique. Il faut donc définir un gain GMAX et GMIN tels que :

• les gains du filtre dans la bande passante doivent vérifier G >Gc

• les gains du filtre dans la bande atténuée doivent vérifier G

B. Filtres analogiques passifs

B.1. Filtre passe-bas du 1er ordre

B.1.1. Fonction de transfert

On applique sur le circuit ci-contre le principe du pont diviseur de tension :

Vs =ZC

ZC + ZRVe avec ZC =

1jCω

et ZR = R

La fonction de transfert s’écrit donc :

VsVe=

11+ jRCω ou encore

VsVe=

1

1+ j ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Il s’agit d’une fonction du 1er ordre, dont :

* le gain vaut GdB = 20 log1

1+ (RCω)2= −10 log 1+ (RCω)2( )

* la pulsation de cassure, qui est également la pulsation de coupure, est ω0 =1/ RC

Pulsation de coupure

-3 dB

Pente -20 dB/decade

Gabarit

Gabarit

La fréquence de coupure de ce filtre est donc fc = 2π /ω0

R

CVe Vs



Filtres analogiques passifs Edition 1 - 20/03/2018

Notes



B.1.2. Effets sur un signal électrique

Le filtre passe-bas est particulièrement efficace pour éliminer les bruits d’une mesure

Considérons le signal ci-dessous :

Il est constitué de la superposition de 4 signaux sinusoïdaux différents, tel que le montre le spectre de Fourier ci-contre :

Un filtre passe-bas de pulsation propre 20 rad/s délivrera le signal filtré suivant :




Notes



B.2. Filtre passe-haut du 1er ordre


On considère à présent le circuit ci-contre, sur lequel on appliquera une nouvelle fois le principe du pont diviseur de tension :

Vs =ZR

ZC + ZRVe

La fonction de transfert s’écrit alors :

VsVe=

jRCω1+ jRCω ou encore

VsVe=

j ωω0

1+ j ωω0

Il s’agit encore d’une fonction du 1er ordre, dont :

* le gain vaut GdB = 20 logω /ω0

1+ (ω /ω0 )2

* la pulsation de cassure est ω0 =1/ RC

Pulsation de coupure

-3 dB

Pente +20 dB/decade

Gabarit

Gabarit

R

C

VsVe




Notes



B.2.2. Effets sur un signal électrique

Le filtre passe-haut permet de ne conserver que les fréquences élevées d’un signal. Pour le signal brut précédent, l’application d’un filtre passe-haut de pulsation de coupure 200 rad/s délivre le signal filtré ci-contre.

L’ensemble des basse et moyenne fréquences ont été rejetées.

Ce filtre est utile lorsqu’il s’agit par exemple de corriger les dérives lentes d’un capteur, pour ne fournir que le signal utile.

Il permet également de supprimer la compostante continue des signaux, comme le montre la figure ci-dessous, dans laquelle la composante continue du signal d’entrée a été supprimée. Le déphasage de +90° est également visible.




Notes



B.3. Filtre passe-bas du 2d ordre

B.3.1. Premier circuit : Double circuit RC

Soit le circuit suivant :

R1

C1Ve VsC2

R2

VC1

Il est constitué de 2 filtres passe-bas du 1er ordre, dont les pulsations de coupure sont respectivement ω01 =1/ R1C1 et ω02 =1/ R2C2

Le comportement de ce filtre peut s’étudier en étudiant chacun des filtres successivement.

VC1Ve

=1

1+ j ωω01

avec ω01 =1/ R1C1

VsVC1

=1

1+ j ωω02

avec ω02 =1/ R2C2

On en déduit alors la fonction de transfert globale :

VsVe=

1

1+ j ωω01

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ 1+ j

ωω02

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

=1

1+ jω 1ω01

+1ω02

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟−

ω 2

ω01ω02

Il s’agit d’une fonction du second ordre, dont les pulsations de cassure sont ω01 et ω02




Notes



Le diagramme de Bode de ce filtre est également déduit des diagrammes de chacun des filtres du 1er ordre :

Le filtrage est plus efficace avec un filtre du second ordre. Les réponses ci-dessous montrent l’application d’un filtre du 1er ordre et d’un filtre du second ordre dont les pulsations de coupure sont identiques.




Notes



B.3.2. Second circuit : Circuit RLC

Considérons à présent le circuit RLC suivant :

R

CVe Vs

L

En appliquant le pont diviseur de tension, on obtient :

VsVe=

1jCω

1jCω

+ R+ jLω=

11+ jRCω − LCω 2

Cette fonction de transfert peut se mettre sous la forme suivante :

VsVe=

1

1+2 R2

CLj ωω0

−ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

Le comportement de ce second circuit est similaire au premier circuit

B.3.3. Forme générale

Les fonctions de transfert des filtres passe-bas du second ordre auront toujours la forme suivante :

VsVe=

K

1+ 2m jω( )ω0

+ j ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

ω0 est la pulsation propre du filtre

m est son facteur d’amortissement

K est son gain statique




Notes



B.4. Filtre passe-haut du 2d ordre

Soit le circuit suivant :

R C

Ve VsL

Sa fonction de transfert est :

VsVe=

jLω

jLω + 1jCω

+ R=

LC jω( )2

1+ jRCω + LC jω( )2

Les fonctions de transfert des filtres passe-haut du second ordre auront toujours la forme suivante :

VsVe=

K j ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1+ 2m jω( )ω0

+ j ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

B.5. Filtre passe-bande


Associer en série un filtre passif passe-bas et un filtre passe-haut revient à construire un filtre passe-bande :

(Notons qu’il existe d’autres structures de filtres passe-bande)

R1

C1Ve Vs

C2

R2VC1




Notes



La fonction de transfert d’un filtre passe-bande est souvent exprimée comme suit :

VsVe=

K

1+ jQ ωω0

−ω0ω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

où Q = 12m

est appelé facteur de qualité

Mais on peut également trouver la forme plus classique en SII :

VsVe=

jK ωω0

1+ j 2mωω0

+ j ωω0

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

B.5.2. Conséquences sur le signal

Ce filtre conserve les composantes des fréquences centrées sur une certaine valeur, avec une bande passante plus ou moins étendue.

Par exemple, un filtre passe-bande centré sur la pulsation ω0 = 20 rad.s

−1 appliqué au signal du B.2.2 délivre le signal ci-contre.

Il conserve uniquement la composante de la pulsation concernée, en excluant les autres bandes de fréquence.




Notes



B.5.3. Diagrammes de Bode et gabarit du filtre

GdBMAXGdBMAX − 3dB

Bande passante

Gabarit

Gabarit Gabarit

ωcB ωcH

B.5.4. Recherche de la bande passante

La bande passante est définie par la bande de fréquence pour laquelle le gain est supérieur ou égal à GdBMAX − 3dB

La méthode de détermination de la bande passante d’un filtre passe-bande est :

1. Recherche de la pulsation propre ω0 telle que G(ω0 ) est maximal : GMAX

2. Résolution de G(ω)= GMAX2




Notes



B.5.5. Influence du facteur de qualité

Le facteur de qualité traduit la sélectivité du filtre autour de la fréquence de coupure. Plus le facteur de qualité est élevé, plus le filtre est sélectif, ainsi que le montre les diagrammes de Bode de gain ci-dessous :

Q=1

Q=2

Q=5Q=10

Q=20




Notes



B.6. Filtre réjecteur de bande (coupe-bande)


Le circuit ci-contre représente un exemple de filtre réjecteur de bande.

Appliquons le théorème de Millmann en A :

VA =VR2 =jC1ω( )Ve + jC2ω( )VsjC1ω + jC2ω +

1R2

=jR2C1ω( )Ve + jR2C2ω( )Vs1+ jR2 C1 +C2( )ω

(1)

Appliquons maintenant le théorème de Millmann en B :

VB =Vs =jC2ω( )VR2 +

1R1Ve

jC2ω +1R1

=jR1C2ω( )VR2 +Ve1+ jR1C2ω

(2)

Dans le cas particulier où C1 =C2 =C , R1 = 2R et R2 = R / 2 , on tire de l’équation (1) :

1+ jRCω( )VR2 = jR2Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ve + j

R2Cω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Vs

VR2 =j R2Cω

1+ jRCωVe +Vs( )

Expression que l’on exploite alors dans (2) :

1+ j2RCω( )Vs = j2RCω( )VR2 +Vs = j2RCω( )j R2Cω

1+ jRCωVe +Vs( )+Ve

1+ j2RCω( ) 1+ jRCω( )Vs = jRCω( )2 Ve +Vs( )+ 1+ jRCω( )Ve

1+2 jRCω( ) 1+ jRCω( )− jRCω( )2⎡⎣⎤⎦Vs = jRCω( )

2+ 1+ jRCω( )⎡⎣

⎤⎦Ve

R1

Ve Vs

C2

R2 VR2

C1 A B




Notes



Soit finalement la fonction de transfert du filtre :

VsVe=1+ jRCω + jRCω( )2

1+ 3 jRCω + jRCω( )2

B.6.2. Diagramme de Bode et gabarit du filtre

Gabarit

GdBMAX

GdBMAX − 3dBBande passante

Gabarit Gabarit

Bande passante




Notes



B.7. Détermination rapide de la nature du filtre

Avant de mener une étude détaillée d’un filtre, et ainsi connaître sa fonction, il est possible dans la majorité des cas d’identifier sa nature par une étude de son modèle équivalent à basse et haute fréquence.

Il faut pour cela exploiter les équivalences suivantes :

• une bobine est assimilable à basse fréquence à un interrupteur fermé, et à haute fréquence à un interrupteur ouvert

• un condensateur est assimilable à basse fréquence à un interrupteur ouvert, et à haute fréquence à un interrupteur fermé

Composant Equivalence BF Equivalence HF

Avec cette équivalence, l’étude du comportement à basse et haute fréquence d’un permet d’identifier sa fonction :

Composant Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre

BF : Vs ≈VeHF : Vs = 0

FILTRE PASSE-BAS

BF : Vs = 0HF : Vs =Ve

FILTRE PASSE-HAUT




Notes



Composant Equivalence BF Equivalence HF Type de filtre

BF : Vs ≈VeHF : Vs = 0

FILTRE PASSE-BAS

BF : Vs = 0HF : Vs ≈Ve

FILTRE PASSE-HAUT

BF : Vs = 0HF : Vs = 0

FILTRE PASSE-BANDE

BF : Vs ≈VeHF : Vs =Ve

FILTRE COUPE-BANDE




Notes



C. Filtres analogiques actifs Les filtres analogiques peuvent exploiter les propriétés des Amplificateurs Linéaires Intégrés (ALI). Ils

permettent de ne plus avoir recours aux bobines, composants encombrants et onéreux.

En contrepartie, les filtres actifs nécessitent une alimentation électrique, contrairement aux filtres passifs.

Dans les études qui vont suivre, l’ALI sera systématiquement supposé parfait.

C.1. Filtre passe-bas

Il existe une boucle de réaction sur l’entrée inverseuse, l’ALI fonctionne donc en mode linéaire

Le signal est relié à l’entrée inverseuse, le montage est donc un montage inverseur

Appliquons le théorème de Millmann sur E- :

V − =

1R1Ve +

1R2+ jCω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Vs

1R1+1R2+ jCω

=R2Ve + R1 + jR1R2Cω( )Vs

R1 + R2 + jR1R2Cω

V − =R2Ve + R1 + jR1R2Cω( )Vs

R1 + R2 + jR1R2Cω

L’ALI étant supposé parfait, on tire V − =V + = 0

Alors R2Ve + R1 + jR1R2Cω( )Vs = 0

D’où on tire finalement la fonction de transfert :

VsVe= −

R2R1 + jR1R2Cω

= −R2 / R1

1+ jR2Cω

R1

VeVs

C

+

- ∞

R2

ε



Filtres analogiques actifs Edition 1 - 20/03/2018

Notes



Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bas du 1er ordre, de pulsation de cassure ω0 =1R2C

C.2. Filtre passe-haut




V − =

1R2Vs +

1

R1 +1jCω

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟Ve

1R2+

1

R1 +1jCω

=1+ jR1Cω( )Vs + jR2CωVe1+ j R1 + R2( )Cω


Alors 1+ jR1Cω( )Vs + jR2CωVe = 0


VsVe= −

jR2Cω1+ jR1Cω

Il s’agit bien ici d’un filtre passe-haut du 1er ordre, de pulsation de cassure ω0 =1R1C

R1

VeVs

C

+

- ∞

R2

ε




Notes



C.3. Filtre passe-bande




V − =

1

R+ 1jCω

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟Ve +

1R+ jCω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Vs

1

R+ 1jCω

+1R+ jCω

=

jRCω1+ jRCω⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ve + 1+ jRCω( )Vs

jRCω1+ jRCω

+1+ jRCω=jRCωVe + 1+ jRCω( )

2VsjRCω + 1+ jRCω( )2


Alors jRCωVe + 1+ jRCω( )2Vs = 0


VsVe= −

jRCω1+ jRCω( )2

Il s’agit bien ici d’un filtre passe-bande, de pulsation de cassure ω0 =1RC

R

VeVs

C

+

- ∞

R

ε

C




Notes


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