Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" Ia³i 7 June 2017Facultatea de Matematic  Working time: 2 h

Exam paper for Financial Mathematics

All questions are compulsory.Maximum points will NOT be awarded for the formulae alone, without appropriate numerical calculation.

1 The current price of a non-dividend paying asset is 20 RON, and it is changing in time following abinomial model with a one week period. At each time period, the price can increase by 2% or decrease by 1%.The annual risk-free rate is r = 0.04 (compound interest).

(a) Find the actual value of a right to sell this asset at-the-money after exactly 6 weeks. [1p](b) What are the chances that the derivative instrument will expire without being exercised? [1p]

2 The price of a non-dividend paying asset follows a geometric brownian motion with drift 0.15 andvolatility 0.2. The current price per share is 36 RON and the annual continuously compounded risk-freeinterest rate is r = 0.03.

(a) Find the probability that the asset price will not differ from its current value with more than 5%. [1p](b) Find the actual value of the right to buy 100 shares from this asset, with 37 RON per share, after exactly8 weeks. [1p]

3 (a) A European put with strike price 200 RON and maturity 6 months on a non-dividend paying assetis traded today with 4 RON. The actual value of the asset is 185 RON and the risk-free rate is 10% p.a.Investigate the possibility of arbitrage opportunities and, if appropriate, build an arbitrage opportunity. [2p]

(b) A bank offer to its clients a saving account with 5% p.a. interest, monthly compounded. A client wishesto deposit a certain fixed montly sum in this account, at the beginning of each month, such that after exactly2 years he will gather 5000 RON in this account. If no other transactions are to be made to this account, findthe fixed montly sum. [1.5p]

(c) The actual wealth of a von Neumann-Morgenstern investor is 1 million EUR. He is tempted to invest ina risky project that pays a net of 500 000 EUR if successful, or one can lose 100 000 EUR if unsuccsessful.If the investor’s preferences are represented by the utility function U(w) = ln w , find the minimum probabilityof success for the risky project which will determine the investor to accept it. [1.5p]

. 1p extra

[IS]

Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" Ia³i 7 Iunie 2017Facultatea de Matematic  Timp de lucru: 2 ore

Examen la Matematici FinanciareToate subiectele sunt obligatorii.

Doar scrierea formulelor, fără rezultatul numeric ataşat, NU va fi punctată cu maximum de puncte.

1 Preţul actual al unui activ financiar ce nu generează dividende este de 20 RON. Preţul acestuia semodifică după un model binomial cu perioada de o săptămână. În fiecare perioadă, preţul activului poatecreşte cu 2% sau poate scădea cu 1%. Rata dobânzii anuale unitare este r = 0.04 (dobândă compusă).

(a) Aflaţi valoarea actuală a dreptului de a vinde acest activ la paritate, după exact 6 săptămâni. [1p](b) Care sunt şansele ca această opţiune să expire neexercitată? [1p]

2 Preţul unui activ financiar ce nu generează dividende evoluează după o mişcare browniană geometricăcu driftul 0.15 şi volatilitatea 0.2. Preţul actual al activului este de 36 RON pentru o unitate de activ şi ratadobânzii anuale lipsite de risc este r = 0.03 p.a. (dobândă continuă).

(a) Care este probabilitatea ca, după exact 8 săptămâni, preţul activului să nu difere cu mai mult de 5% faţăde valoarea sa actuală? [1p](b) Aflaţi valoarea actuală a dreptului de a cumpăra 100 de unităţi din acest activ cu 37 RON fiecare, dupăexact 8 săptămâni. [1p]

3 (a) Un put european cu preţul de exerciţiu de 200 RON şi scadenţa de 6 luni, asupra unui activ suportce nu generează dividende, se tranzacţionează acum cu 4 RON. Valoarea actuală a activului suport este de185 RON şi dobânda anuală lipsită de risc este de 10% p.a.Investigaţi dacă există oportunităţi de arbitraj. În caz afirmativ, construiţi o astfel de strategie. [2p]

(b) O bancă oferă un cont de economii cu dobânda de 5% compusă lunar. Un client doreşte să depoziteze înacest cont o sumă fixă, la începutul fiecărei luni, astfel încât după exact 2 ani să acumuleze suma de 5000 RON.Dacă nu se mai operează alte tranzacţii în legătură cu acest cont, determinaţi această sumă lunară. [1.5p]

(c) Un investitor raţional (în sensul teoriei von Neumann-Morgenstern) deţine o avere totală de 1 milion deeuro. Acestuia i se propune să investească într-un proiect riscant care, în caz de succes, îi poate aduce unprofit net de 500 000 de euro. În cazul în care proiectul nu ar avea succes, el ar pierde 100 000 de euro. Ştiindcă preferinţele sale sunt caracterizate de funcţia de utilitate U(w) = ln w , determinaţi probabilitatea minimăde succes a proiectului riscant pentru care investitorul l-ar accepta. [1.5p]

. 1p din oficiu[IS]