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•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •1
FLEXÃO DE PLACAS
FINAS (Kirchhoff)
e
SEMI-ESPESSAS(Mindlin/Reissner)
Flexão de placasn Serão analisados problemas de geometria
plana (curvatura nula). n Os carregamentos levam em conta momentos e
cargas transversais, apenas.n O problema referente a cargas longitudinais
(membrana) podem ser resolvidos separadamente e superpostos aos resultados de placa (regime linear elástico).
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •2
n A teoria de placas é uma das mais importantes teorias estruturais:
Barras
Vigas
Placas
Cascas
Membranas
uTeoria de Kirchhoff-Love.
uContrapartida 2D da teoria de vigas de Euler-Bernoulli (hipótese das seções planas).
uDespreza o efeito das deformações cisalhantes transversais.
uBons resultados para espessura < 10 vezes as dimensões laterais da placa.
n Teoria de placas finas:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •3
n Aspectos indispensáveis para compreensão das teorias de placas:
uAs placas podem ser consideradas finas ou não (influência do cisalhamento).
u “All you need is love...” (Beatles, 1968).
uKirchhoff se escreve com dois h’s.
uFlambagem não tem apenas significado culinário.
n Definições geométricas - placa plana:
x
y
z
2h
2h
Superfície de referência
Premissa: O comportamento de qualquer ponto (x,y,z) da placa pode ser completamente descrito pelo comportamento da superfície de referência (x,y).
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •4
n Campo de deslocamentos:
uHipótese das seções planas:
F “As linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície de referência da placa permanecem retas e perpendiculares à esta após a flexão ocorrer”.
F “Quaisquer linhas originalmente paralelas ao eixo zpemanecem inextensíveis”. Ou seja, a espessura hpermanece constante.
'A
yθ
x
dx
y
z
A
),( yxw),( yxu
B
'B 'A
xθ
y
dy
z
z
A
),( yxw),( yxv
B
'B
h
uGraficamente:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •5
),(),,(),(),,(
),(),,(
yxwzyxwzyxzyxv
zyxzyxu
x
y
=
θ−=
θ−=
uCampo de deslocamentos:
0
2
2
2
2
=ε∂∂
−=ε
∂∂
−=ε
zz
yy
xx
ywz
xwz
0
22
=γ=γ
∂∂∂
−=γ
yzxz
xy yxwz
uCampo de deformações:
xwyx
ywyx
y
x
∂∂
=θ
∂∂
=θ
),(
),(
ywzv
xwzu
∂∂
−=
∂∂
−=
uCampo de tensões:
yx,
z
z
yx,
yyxx σσ ,
yzxz ττ ,xyτ
{ } [ ]{ }ε=σ C
00
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≅σ=τ=τ
∂∂
=τ
∂∂
υ−∂∂
υ−−
=σ
∂∂
υ−∂∂
υ−−
=σ
zzyzxz
xy
yy
xx
xywGz
xw
ywzE
yw
xwzE
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •6
uEsforços internos (tensões resultantes):
dzQ
dzQ
h
hyzy
h
hxzx
∫
∫+
−
+
−
τ=
τ=
2/
2/
2/
2/
dzzM
dzzM
dzzM
h
hxyxy
h
hyyyy
h
hxxxx
∫
∫
∫
+
−
+
−
+
−
τ=
σ=
σ=
2/
2/
2/
2/
2/
2/
Membrana Esforço cortante Flexão
dzN
dzN
dzN
h
hxyxy
h
hyyyy
h
hxxxx
∫
∫
∫
+
−
+
−
+
−
τ=
σ=
σ=
2/
2/
2/
2/
2/
2/
x
yz
uEquações diferenciais de equilíbrio:
xQ
yQyyM
xxM
xyMxyN
xxN
yyN
xyM
xyN
zq
zF
dx
dy
h
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •7
0=+∂
∂+
∂∂
zyx q
yQ
xQ
0
0
=+∂
∂+
∂
∂
=+∂
∂+
∂∂
yxyyy
xxyxx
Qx
My
M
Qy
Mx
M
Substituindo-se as duas últimas na primeira:
022
2
2=+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
zyyxyxx q
yM
yxM
xM
Equação diferencial de placas finas em termos dos esforços internos.
Substituindo-se as definições de esforços internos:
∂∂
υ+∂∂
=
∂∂
υ+∂∂
=
2
2
2
2
2
2
2
2
xw
ywDM
yw
xwDM
yy
xx
( )yx
wDM xy ∂∂∂
υ−=2
1
∂∂
+∂∂
∂∂
= 2
2
2
2
yw
xw
xDQx
∂∂
+∂∂
∂∂
= 2
2
2
2
yw
xw
yDQy
Onde:
( )2
3
112 υ−=
EhD
Módulo de rigidez à flexão da placa
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •8
Dq
yw
yxw
xw z−
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
42
Equação diferencial de placas finas em termos dos deslocamentos.
- Equação de Navier -
Substituindo as últimas equações na equação diferencial do problema:
Ou:
Dqw z−=∇4
uProblemas:
FAo se verificar o equilíbrio de um elemento diferencial da placa contendo um canto vivo, conclui-se que o equilíbrio não é verificado na direção z . Isto é, somente o esforço cortante não é suficiente para equilibrar qz.
FEntão define-se o esforço cortante efetivo:
• Levam ao aparecimento de cargas concentradas nos cantos.
∂
∂−=
xM
QV xyxx
∂
∂−=
yM
QV xyyy
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •9
uPor que precisamos desta nova variável ?
FEstá se impondo um estado plano de deformações (EPD) a um estado plano de tensões (EPT), o que é incoerente do ponto de vista da elasticidade.
FCausa: o efeito das deformações cisalhantes está sendo desprezado.
FConsequência: Ficam sobrando condições de contorno para serem impostas. A solução então é condensar duas condições de contorno em uma (momento torçor e esforço cortante) - o esforço cortante efetivo.
uCondições de contorno clássicas:
tn
tn
t
n
0== nn VM
0== nMw
0=∂∂
=nww
Aresta livre
Aresta apoiada
Aresta engastada
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •10
uTensões:
2
3
3
6
12
12
max hM
hN
hMz
hN
hM
zh
N
xyxyxy
xxyyyy
yyxxxx
+=τ
+=σ
−=σyx,
z
yyxx σσ ,
yx,
zyyxx σσ ,
Flexão
Membrana
uSoluções típicas:
FPlacas circulares: Permitem solução analítica fechada para muitos casos (coordenadas polares).
FPlacas retangulares: Normalmente utilizam soluções baseadas em séries infinitas (Navier, Levy, Marguerre etc.).
FOutras geometrias: • Existem soluções para algumas (placas elípticas,
triangulares, trapezoidais, rômbicas...).• Técnicas de mapeamento conforme.• Outros métodos aproximadados (Rayleigh-Ritz)
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •11
Apêndice
ALGUMAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA
PLACAS
A.1 Placas retangulares apoiadasn Carregamento senoidal:
n E.D.:
bπy
aπxqq sinsin0=x
y
a
b
bπy
aπx
Dqw sinsin02 =∇
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •12
n Condições de contorno:
n Solução geral:
b,Mwa,xMw
yy
xx
0y em000 em00
======
00 2
2
2
2=
∂∂
=∂∂
yw
xw
by
axCw ππ
= sinsin
n Deslocamento transversal:
n Momentos fletores:
by
ax
Dqw ππαπ
= sinsin40
( )by
ax
abqM
by
ax
baqM
by
ax
baqM
xy
yy
xx
ππαπ
υ−=
ππ
+
υαπ
=
ππ
υ
+απ
=
coscos1
sinsin1
sinsin1
40
2240
2240
2
2211
+=α
ba
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •13
n Esforços cortantes:
n Reações vinculares:
by
ax
bqQ
by
ax
aqQ
y
x
πππα
=
πππα
=
sinsin
coscos
0
0
ax
babqV
by
baaqV
y
x
π
+
υ−πα−
=
π
υ−
+πα−
=
sin12
sin21
220
220
ax
xyxx y
MQV
=∂∂
−=
by
xyyy x
MQV
=∂∂
−=
xV
yV
n Soma das reações:
( )ab
qabqdyVdxVdsVb
xa
y απυ−−
−π
−=+= ∫∫∫ 20
20
00
18422
20
0 0 04sinsin
π== ∫ ∫∫ ∫
abqdxdybπy
aπxqdAq
a b?
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •14
ε
n Reações nos cantos:
tMQV nt
tt ∂∂−= ( )
( )
( )baM
dsVR
xy
ba
ba t
,2
lim,
,0
−=
= ∫ε−
ε−→ε
( )ab
qRαπυ−
= 2012
R
RR
No mesmo sentido do
carregamento
Solução de Navier (1820)
( )yxfq ,=
( ) ∑∑∞
=
∞
=
ππ=
1 1cossin,
m nmn b
yna
xmayxf
n Carregamento genérico:
n Expansão - série dupla:
x
y
a
b
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •15
n Coeficientes de Fourier:
n Deslocamento transversal:
( )∫ ∫=a b
nm dxdyb
nππa
mππyxfab
a0 0
sinsin,4
byn
axma
Dw
m n
mn ππαπ
= ∑ ∑∞
=
∞
=
sinsin1
,...3,1 ,...3,14
2
2
2
2
2
+=α
bn
am
x
y
n Caso particular: 0qq =
∑ ∑∞
=
∞
=
ππαπ
=,...3,1 ,...3,1
40 sinsin116
m n byn
axm
mnDqw
Série converge rapidamente
ímpar) ,(
161 1
2
2
2
2
260
nmbn
ammn
bynsen
axmsen
Dqw
m n∑∑∞
=
∞
=
+
ππ
π=
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •16
x
y
x
y
x
y
x
y
w xxM
yyM xyM
x
yxQ
x
yyQ
n Esforços:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •17
n Caso particular - placa quadrada sob carregamento uniforme:
uUsando apenas o primeiro termo da série:
uErro 2,5%.
n Caso particular - placa retangular com carga distribuída sobre uma área retangular.
3
40
max 0454,0Eh
aqw =
Solução de Lévy (1899)
x
y
a
b
( )yxfq ,=
( )yYYa
xmYw mmm
m =π
= ∑∞
=1sin
n Carregamento genérico:
n Expansão - série simples:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •18
n Coeficientes de Fourier:
n Deslocamento transversal:
02 4
44
2
22=
π+′′
π− m
IVm Y
amY
amY
axm
by
by
by
mDqaw
m
m
m
m
m
m
mm
π
αα
α+
+
αα
+αα−
π= ∑
∞
=
sin2sinhcosh2
2
2coshcosh2
2tanh114
,...3,155
4
abm
m 2π
=α
x
y
n Caso particular: 0qq =
Série converge rapidamente
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •19
x
y
x
y
x
y
x
y
w xxM
yyM xyM
n Esforços:
x
yxQ
x
yyQ
n Esforços:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •20
n Soluções tabulares:
uPlaca quadrada sob carga uniforme:
uCuidado com parametrizações diferentes:
uPlacas retangulares:
Daqw
40
max 00406,0=
Naviermax3
40Lévy
max 98,00443,0 wEh
aqw ==
Daqw
40
max α=Tabelas - f(a/b)
100Navier
LévyNavier
×−
w
ww
x
n Comparação - w:
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •21
100Navier
LévyNavier×
−
x
xx
QQQ
100Navier
LévyNavier×
−
xx
xxxx
MMM
x
x
n Comparação - Mxx:
n Comparação - Qx:
A.2 Placas retangulares com condições de contorno diversas
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •22
A.3 Placas finas circularesn Coordenadas polares
n Axissimetria
n E.D.:
Dq
drdwr
drd
rdrdr
drd
r=
11
r
a
+υ−=
υ+−=
drdw
rdrwdDM
drdw
rdrwdDM ttnn
12
2
2
2
n Momentos:
n Esforço cortante:
=
drdwr
drd
rDQ 1
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •23
n Caso particular:
n Solução geral:
022 qrQr π=π
0qq =
32
21
40 log
464C
arCrC
Drqw +++=
20rqQ =
r
a
Placas fina circular engastada
n Carregamento uniforme
n Solução:224
0 164
−=
ar
Daqw
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]υ+−υ+=υ+−υ+= 31116
3116
220220 raqMraqM ttnn
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •24
r
a
Placas fina circular apoiada
n Carregamento uniforme
n Solução:
( )
−
υ+υ+−
= 2222
0
15
64ra
Draqw
( )( ) ( ) ( )[ ]υ+−υ+=−υ+= 31316
316
220220 raqMraqM ttnn
r
a
Placas semi-espessa circular engastada
n Carregamento uniforme
n Solução (Dym pp.339):
( )
−
υ−κ+
−=
2
2
220
2240 1
1241
64 ar
Dhaq
ar
Daqw
Kirchhoff parcela devido ao cisalhamento
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •25
Solução unificada para placas circulares engastadas:
−+
−=
22240 211
64 arC
ar
Daqw
0
116
230
=φ
−=φ
t
n ar
ar
Daq
n Deslocamento transversal:
n Rotações:
( ) ( )
( ) ( )
υ+−′+υ+=
=
υ+−′+υ+=
220
220
311116
031116
arCaqM
MarCaqM
tt
ntnn
n Momentos:
n Esforços cortantes:
020
=
−=
t
n
QaraqQ
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •26
n Constantes:
uModelo de Kirchhoff:
uModelo de Mindlin:
uModelo de Reissner:( )
CCahC
=′
υ−κ=
2
2 134
( )0
134 2
2
=′
υ−κ=
CahC
0=′= CC
100=ha
r
w
n Deslocamentos:
Reissner
Mindlin
Kirhhoff
•Rogério José Marczak
•Resistência dos Materiais Avançada •27
r
r
10=ha
5=ha
w
w
ReissnerMindlin
Kirhhoff
ReissnerMindlin
Kirhhoff
r
r
100=ha
5=ha
nnM
nnM
ReissnerMindlinKirhhoff
Mindlin
Kirhhoff
Reissner
n Momentos: