Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Finitisme og Konstruktivisme
22. November 2010
Fraktaler
HilbertMandelbrot
Feigenbaum Lorenz
Lorenz-Ligningerne
σ
= 10
β
= 8/3
ρ
=28
Logistisk vækst
x -> rx(1-x)
Mandelbrots fraktal
z -> Pc
(z) = z2+c
0-> Pc
(0) ->Pc
(Pc
(0))-> …
Sammenhæng mellem Mandelbrot og Feigenbaum
fraktalerne
4)1(1 2−−
=rc
z -> Pc
(z) = z2+c
z -> rz(1-z)
Mængden
af
uendelige
binære
følger
er
ikke tællelig
33323130
23222120
13121110
03020100
aaaaaaaaaaaaaaaaa0
=
a1
=
a2
=
a3
=...
{ }1,0∈ija
bn
=1‐ann
Følgen (bn
) kan ikke være med i nummereringen a0
, a1
, a2
, …
Thi, hvis (bn
) = an
, så
ville vi have
bn
= 1‐ann
= ann
hvilket er en modstrid.
Mængden
af
de reelle
tal
er
ikke tællelige
C0
= [0,1]
Cn+1
= Fjærn
den miderste
tredjedel I alle intervallerne i Cn
, dvs.
erstat alle intervaller [a,b] i Cn
med følgende to intervaller
V[a,b] = [a,a+1/3(b‐a)]
H[a,b] = [a+2/3(b‐a),b]
Svarenden
til
en binær
følge
c, definer følgen
(Fc0
, Fc1
, Fc2
, …) af
lukkede
intervaller
⎩⎨⎧
==
=
=
+ 1)(0)(
]1,0[
1,
0,
nchvisHFnchvisVF
F
F
cn
cnnc
c
Mængden
af
de reelle
tal
er
ikke tællelige
2
∩∞
=
=0
,)(n
ncFcf
Funktionen f fra mængden af binære følger ind i de reelle tal defineres ved
Cantors mængde
defineres
som
∩∞
=
=0n
nCC
Funktionen f er en en-en-korrespondance
mellem mængden af binære følger og Cantors
mængde.
Da C er en delmængde af R og C er ækvipotent
med mængden af binære følger, som ikke er tællelig, kan R heller ikke være tællelig.
En vigtig Binomial-formel(−1)i
i=0
n
∑ ni
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= 0
Bevis
(−1)i
i=0
n
∑ ni
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= (−1)0 n
0⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)i
i=1
n−1
∑ ni
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)n n
n⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
= 1+ (−1)i
i=1
n−1
∑ n −1i −1
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ n −1
i⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥+ (−1)n
= 1+ (−1)i
i=1
n−1
∑ n −1i −1
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)i
i=1
n−1
∑ n −1i
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)n
= 1+ (−1)i+1
i=0
n−2
∑ n −1i
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)i
i=1
n−1
∑ n −1i
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)n
= 1+ (−1)1 n −10
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)i+1
i=1
n−2
∑ n −1i
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)i
i=1
n−1
∑ n −1i
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)n
= 1−1+ (−1)n−1 n −1n −1
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟+ (−1)n
= 1−1+ (−1)n−1 + (−1)n
= 0
The Sieve Principle
Hvis A1
, A2
, … An
er endelige mængder, så
gælder
hvor αi
er summen af kardinaliteterne
af fællesmængderne af i eksemplarer af
mængderne A1
, A2
, … An
, dvs
1 11 2 1 2
1
( 1) ( 1)n
i nn i n
i
A A A α α α α− −
=
∪ ∪ ∪ = − = − + + −∑
1 2
1 2
i
i
i k k kk k k
A A Aα≠ ≠ ≠
= ∩ ∩ ∩∑
Hvis
A og
B er
endelige
mængder, så
gælder
Hvia
A, B og
C er
endelige
mængder, så
gælder
A∪ B = A + B − A∩ B
A∪ B∪C = A + B + C − ( A∩ B + A∩C + B∩C ) + A∩ B∩C= α1 −α2 +α 3
DerangerproblemetLad A være en mængde med n elementer. Vi betegner elementerne i
A
med tallene 1,2,3,…,n. En permutation på
A er en bijektiv
afbildning på
A. Vi skriver en permutation p således
1 2
1 2
n
np p p
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Sætning: Antallet dn
af permutationer, p, hvor intet element overføres i sig selv, dvs. hvor
pi
≠
i er
0
1 1 1 1!(1 ( 1) ) ! ( 1)1! 2! ! !
nn k
nk
d n nn k=
= − + − + − = −∑Bevis: Lad P(n) være mængden af alle permutationer på
A. Lad Ai
være mængden af permutationer p, hvor pi
= i. Nu er
hvor
αr
er antallet af permutationer, som fikserer r givne elementer, for alle mulige valg af r symboler. Dvs.
Indsættes værdien for αr
, fås det ønskede resultat.
2
1 2
( )
! ( 1)n i n
nn
d P n A A A
n α α α
= − ∪ ∪ ∪
= − + − + −
α r =nr
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟(n − r)!=
n!r!
1 2 nhvor p p p≠ ≠ ≠
Opgaver
1.
En sekretær i en virksomhed skal putte 6 forskellige breve i konvolutter til 6 forskellige kunder. Hun putter brevene tilfældigt i konvolutter. Hvad er sandsynligheden for at alle breve kommer i forkerte konvolutter? (Løsning: 265/720)
2.
Find antallet af måder bogstaverne A, D, E, G, J, U kan arrangeres i en række på, så
ordene DU og JEG ikke forekommer. (Løsning: 582)
Derangerproblemetn d(n) n!/e1 0 0,3678794412 1 0,735758882
3 2 2,2072766474 9 8,8291065885 44 44,145532946 265 264,87319767 1854 1854,1123848 14833 14832,899079 133496 133496,0916
10 1334961 1334960,91611 14684570 14684570,0812 176214841 176214840,913 2290792932 229079293214 32071101049 3207110104915 4,81067E+11 4,81067E+1116 7,69706E+12 7,69706E+1217 1,3085E+14 1,3085E+1418 2,3553E+15 2,3553E+1519 4,47507E+16 4,47507E+1620 8,95015E+17 8,95015E+17
0
1 1 1 1!(1 ( 1) ) ! ( 1)1! 2! ! !
nn k
nk
d n nn k=
= − + − + − = −∑
Rekursionsformel
for dnd1
= 0d2
= 1
dn
= (n-1)(dn-1
+ dn-2
), n>2
Approximation
til dndn
= n!/eidet
e−1 =(−1)k
k!k=0
∞
∑
Fibonacci-Tallene
Leonardo Fibonacci1170 -
1250
F0
= 0, F1
= 1, F2
= 1, Fn
= Fn-1
+
Fn-2
Fibonacci-Tallene
Fn F1 +…+Fn-21123 25 48 7
13 1221 2034 3355 5489 88
144 143233 232377 376610 609987 986
1597 15962584 25834181 41806765 6764
F0
= 0, F1
= 1, F2
= 1, Fn
= Fn-1
+
Fn-2
, n>2
Fn+2
= F1
+F2
+…+Fn
+1
Turing-Maskine
Operation: si
qj
ql
skAlan Turing
1912 -
1954
Endelig
mange tilstande:
q1
, q2
, …,qn
Tape
Læsehoved
Kodning
af
Turing-maskiner
og symbolsystemer
Alfabetet
a1
, a2
, a3
, …
, an kodes
således
Koden
af
symbolet
ak
betegnes
g(ak
).
1 2
1 2
na a a
n
⎛ ⎞⎜ ⎟↓ ↓ ↓⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
En symbolstreng ak1
ak2
ak3
…akm
kodes således1 2( ) ( ) ( )
1 2( ) 2 3 ...k k kmg a g a g ak k km mg a a a p=
En Turing-maskine
med alfabet
B,0,1,q1,…,qn
giver koderne
0 1 1
1 2 3 4 3
B q qn
n
⎛ ⎞⎜ ⎟↓↓↓ ↓ ↓⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
(1) ( 2) ( 3) ( )(1 2 3 ) 2 3 5 7g g q g q g Bg q q B = ⋅ = 212625000
Rekursive Funktioner
A. Klassen af Primitive rekursive funktioner
Nul-funktionen: z(x)=0,for all xEfterfølgerfunktionen: s(x)=x+1,for all xProjektioner: πi,n
(x1
,…xn
)=xi
, for all xi
, 1≤i≤n. Komposition: f(x1
,…,xn
)=g(h1
(x1
,…,xn
),…, hm
(x1
,…,xn
)),for alle g,h1
,…,hmPrimitiv Rekursion: f(x,0)=g(x),for given g
f(x,s(y))=h(x,y,f(x,y)),for
given h
B. Klassen af parielt rekursive funktionerMinimization: h(x1
,…,xn
)=y, hvis f(x1
, …,xn
,y)=0 og ∀t<y(f(x1
, …,xn
,t) er defineret og positiv)= udefineret i andre tilfælde.
Ackermanns funktion
Church-Turings Tese
Der
finder mange forskellige
forsøg
på
at karakterisere
klassen
af algoritmer: Turing-maskiner, Churchs
λ-kalkyle, Post-algoritmer, Markov-
algoritmer, Kleenes
partielt rekursive
funktioner, klassen af algoritmer, som kan defineres i et fornuftigt programmeringssprog som f.eks. Pascal eller C, osv
. Det kan ved simple kombinatoriske metoder (igen algoritmiske)
vises,
at alle disse karakteriseringer giver samme klasse af algoritmer. Church- Turings
tese siger derfor, at denne fælles klasse netop udgør klassen af
algoritmer.
Church-Turings
tese er ikke en matematisk sætning, men antages den, har vi en model af klassen af alle algoritmer.
Klassen af algoritmer kan nummereres
Enhver algoritme er defineret ved en endelig tekst (dens program, som f.eks. kan være en endelig følge af Turingmaskine
instruktioner si
qj
ql
sk
, sm
qn
qr
st
,…). Disse tekster han nummereres på
en effektiv måde, så
man ud fra et nummer
kan identificere algoritmen, og omvendt ud fra en algoritme man identificere dens nummer. En sådan nummerering kaldes en Gödel-nummerering.
Px
er algoritmen med Gödel-nummer
x. Den partielle funktion, som Px
beregner, betegnes φx
. φx
kaldes partielt rekursiv, algoritmisk eller effektivt beregnelig.
Der findes højst nummerabelt
(tælleligt uendeligt) mange effektivt beregnelige funktioner.
Klassen af alle funktioner på
de naturlige tal er ikke nummerabel, men har en højere grad af uendelighed.
Der findes funktioner, som ikke er effektivt beregnelige.
Ikke
alle
algoritmer
kan
være totale
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 2 3(1) (2) (3)(1) (2) (3)(1) (2) (3)
(1) (2) (3) ( )n n n n n
P P P PP P P PP P P P
P P P P P nP(m) = Pm
(m)+1
P er
klart
en algoritme. Den må
derfor
forekomme
I skemaet
som en Pk
. Men så
får
vi Pk
(k) = P(k) = Pk
(k)+1. Pk
er
derfor
ikke defineret
for værdien
k.
Cantor’s paring function
Vi skriver
<k1
,k2
> for π(k1
,k2)
Den Universelle Algoritme
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
1 2 3(1) (2) (3)(1) (2) (3)(1) (2) (3)
(1) (2) (3) ( )n n n n n
P P P PP P P PP P P P
P P P P P n
U(x) = Pa
(b), hvor
x=<a,b>
U(x) dekoder
x som
et par <a,b> og
lader algoritmen
Pa
virke på b.
Afgørlige
mængder af tal
En mængde af naturlige tal A er rekursivt
afgørlig, såfremt der findes en algoritme P med egenskaben
P(x)=1 hvis x tilhører A
P(x)=0 hvis x ikke tilhører A
En mængde A er rekursivt
afgørlig, hvis der findes to algoritmer P1
og P2
, hvor P1 nummererer A, og P2 nummererer komplementet til A, dvs. N\A.
Der findes mængder, som er ikke rekursivt
afgørlige
(dvs. rekursivt uafgørlige).