Fisica 25° lezione

Programma della lezione

• Angolo solido

• Flusso del campo elettrico

• Legge di Gauss

Angolo solido

• Consideriamo una superficie sferica di raggio r

• Una curva chiusa definisce una superficie

• L’area è proporzionale al quadrato del raggio

• L’angolo solido è definito come il rapporto tra area e raggio al quadrato

• L’angolo corrispondente a tutto lo spazio è

44

2

2

2

r

r

r

Asferaspazio

2r

A

Flusso del campo elettrico

• Procediamo per generalizzazioni successive• Campo uniforme perpendicolare ad una

superficie• Campo uniforme inclinato rispetto alla

superficie

• Campo non uniforme

EASE )|(

EAESAESE cos)|(

S

AdESE

)|(

Flusso di E: carica al centro di una sfera

• Flusso del campo di una carica puntiforme positiva attraverso una superficie sferica centrata sulla carica

• Idem per una carica negativa • Il flusso non dipende dal raggio della sfera

kQdkQdrr

QkEdAAdESE

SS SS

4)|( 22

Flusso di E: carica interna ad una superficie chiusa

• Flusso del campo di una carica puntiforme attraverso una superficie chiusa qualunque che la contiene

kQdkQ

drr

Qk

EdAEdA

AdESE

S

S

SS

S

4

cos

)|(

22

Flusso di E: carica esterna ad una superficie chiusa

• La superficie chiusa si può considerare come l’unione di due superfici aperte che sono viste dalla carica secondo uno stesso angolo solido

• I due flussi sono uguali e contrari, perché i prodotti scalari elementari hanno segno opposto sulle due superfici

0

)|(

21

21

21

kQkQ

EdAEdA

AdEAdE

AdEAdESE

SS

SS

SSS

Legge di Gauss

• Flusso del campo di più cariche puntiformi attraverso una superficie qualunque

• Legge di Gauss• 1a equazione

dell’e.m.

0

intint

1

int

1

11

4

4)|(

)|(

tottot

n

jj

n

jj

n

j S

j

S

n

jj

S

QkQ

kQSE

AdEAdE

AdESE

Forma differenziale della legge di Gauss

• Consideriamo l’equazione• Applicando il teorema della

divergenza, l’integrale di superficie si può trasformare in un integrale di volume

• La carica si può pure esprimere come un integrale di volume

• La legge di Gauss si può quindi riscrivere

• L’uguaglianza degli integrali implica l’uguaglianza degli integrandi

0

int

tot

S

QSdE

dVESdESVS

)(

)(

int

SV

tot dVQ

)( 0)( SVSV

dVdVE

0

E

Esercizi sulla legge di Gauss

• Campo elettrico di– Piano indefinito con densità superficiale di

carica uniforme– Filo indefinito con densità lineare di carica

uniforme– Sfera, con densità di carica spaziale uniforme

• Campo all’interno di conduttori pieni e cavi– Caso particolare di sfere concentriche

Campo E sulla superficie di un conduttore

• Consideriamo una superficie dG cilindrica S di base molto piccola parallela alla superficie del conduttore

• Superficie laterale: parallela al campo esterno

• Il flusso del campo E attraverso S è dato dal solo termine relativo alla base esterna (di area A)

• Detta Q(S) la carica contenuta in S, per la LdG

• Quindi il campo sulla superficie vale

EAE )(

E=0

EAE )(

00

)()(

ASQ

E

0

E

S

Variazione discontinua di En attraverso uno strato di carica

• Una superficie cilindrica S con base piccola e altezza ancor più piccola

• Il flusso di E attraverso S ha tre pezzi: base 1, base 2, superficie laterale

• Trascuriamo il flusso sulla SL, in quanto l’altezza può essere presa piccolissima

• Nota la carica contenuta in S, per la LdG

• La variazione della componente normale En di E è

),(),( 2211 latSEAEAESE

+++++++++++++++++++++

n

1211

2211),(

AEAE

AEAESE

nn

nn

0

1

0

)()(

ASQ

E

021

nn EE

1

2