Principio de conservacion de la energıa mecanica1. Desde una altura h dejamos caer un cuerpo. Hallar en que punto de su recorrido se

cumple

Ec =1

4Ep

2. Desde la parte inferior de un plano inclinado lanzamos hacia arriba un cuerpo conuna velocidad inicial de 10 m/s, tal y como indica la figura. El cuerpo recorre unadistancia de 4 metros sobre el plano hasta que se detiene. Calcular, aplicando elprincipio de conservacion de la energıa mecanica, cual es el valor del coeficiente derozamiento.

45º

v0=10 m/s Δe=4 m

3. Desde el suelo lanzamos hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 20 m/s.Vamos a suponer que el rozamiento con el aire es una fuerza constante y de valor10 N. Hallar a que altura maxima llega, y que esta es menor que si no hubierarozamiento. (Masa del cuerpo 10 kg)

4. Una masa de 30 g comprime un muelle de constante elastica 100 N/m una longitudde 15 cm, ver figura. Cuando se suelta, el muelle empuja la masa hacia arriba deun plano inclinado 20o. El coeficiente de rozamiento en todo el recorrido es µ=0.2.Calcula la velocidad que tiene la masa en el momento en el que el muelle recuperasu longitud natural.

20º

1

5. Un automovil de 1200 kg sube una pendiente del 10% a 90 km/h. Si el coeficiente derozamiento dinamico es µ=0.4, calcular cual es la potencia en caballos desarrolladapor el motor.

6. Si dejamos caer un cuerpo desde una altura H llega al suelo con una velocidad v.¿Si duplicamos la altura se duplicara la velocidad con que llega al suelo? Justi-ficar usando el principio de conservacion de la energıa mecanica. (El rozamiento seconsidera despreciable)

7. Desde un plano inclinado 45!, tal y como muestra la figura se deja caer un cuerpo.Usando el principio de conservacion de la energıa calcular que distancia recorre elcuerpo sobre el plano horizontal hasta que se detiene. Hay rozamiento tanto en elplano inclinado como en el tramo horizontal. h=5 m, µ=0.2, m=2 kg.

45º

e=?

2 kg

2 kg

5 m

Resolucion de los problemas

Problema 1Como nos preguntan en que punto de su recorrido ocurre la relacion indicada, es decir,que su energıa cinetica es la cuarta parte de la energıa potencial, vamos a suponer que laaltura maxima a la que asciende el cuerpo es H. En el punto mas alto la velocidad a laque llega es nula, por lo tanto, usando el principio de conservacion de la energıa mecanica,en ese punto tendremos que

EM = Ec + Ep =1

2mv2 + mgh =

1

2m 02 + mgH = mgH (1)

Sustituyendo en la formula de la energıa mecanica la condicion del problema

EM = Ec + Ep =1

4Ep + Ep =

5

4Ep =

5

4mgh (2)

Como la energıa mecanica segun la ecuacion (1) es mgH, sustituyendo en la ecuacion (2)

mgH =5

4mgh

de donde simplificando m y g calculamos h

h =4

5H

Problema 2

Como ahora existe rozamiento, el principio de conservacion de la energıa toma ahorala forma

EMi= EMf

+ WR (3)

La energıa mecanica inicial EMisera la suma de la energıa cinetica mas la potencial.

Como el cuerpo parte desde el suelo su energıa potencial es nula, por lo tanto su energıamecanica vendra dada solo por la cinetica, es decir

EMi=

1

2mv2

0

De la misma manera, en el instante final el cuerpo se detiene despues de subir una alturah, por lo que su energıa mecanica final solo sera energıa potencial gravitatoria

EMf= mgh

La altura h que asciende el cuerpo puede hallarse sabiendo la distancia !e que recorresobre el plano. Por trigonometrıa, la altura a la que sube el cuerpo no es mas que elcateto opuesto del triangulo y la hipotenusa la distancia recorrida sobre el plano, luego

sin ! =h

!e, de donde despejando, h = !e sin ! (4)

El trabajo de rozamiento, WR, se calcula con la formula

WR = FR !e

pues el desplazamiento y la fuerza en este caso son paralelos y llevan el mismo sentido(cos " = 1). Sustituyendo en la ecuacion (3) todo lo obtenido y teniendo en cuenta queFR = µmg cos ! llegamos a que

1

2mv2

0 = mgh + µ mg cos !!e

3

En esta ultima ecuacion, simplificando las masas de todos los miembros, sustituyendo elvalor de h de la ecuacion (4) y multiplicando todo por dos, llegamos a

v2

0 = 2 g sin !!e + 2 µg cos !!e

Despejando µ de esta ultima

µ =v2

0 ! 2 g sin !!e

2 g cos !!e(5)

Sustituyendo en la ecuacion (5) los datos del problema

µ =102 ! 2 · 9, 8 · sin 45 · 4

2 · 9, 8 · cos 45 · 4=

44, 563

55, 437= 0, 803

Problema 3

En este problema tambien interviene la fuerza de rozamiento del aire, ası pues, una vezmas

EMi= EMf

+ WR

La fuerza de rozamiento es constante y su valor nos lo dan. En nuestro caso, la distanciasobre la que actua el rozamiento es igual a la altura que asciende el cuerpo (!e = h). Laenergıa mecanica inicial sera solo energıa cinetica y la final solo energıa potencial ya queel cuerpo se detiene. Sustituyendo todo esto en la ecuacion anterior

1

2mv2

0 = mgh + FR h

Sacando factor comun a h1

2mv2

0 = h (mg + FR)

y despejando

h =mv2

0

2(mg + FR)(6)

Sustituyendo los valores del problema en la ecuacion (6)

h =10 · 202

2 · (10 · 9, 8 + 10)=

4000

216= 18, 51 m

Para demostrar el ultimo apartado del problema, al no haber fuerza de rozamiento, sihacemos FR = 0 en la ecuacion (6) nos queda

h =mv2

0

2mg=

v20

2g=

202

2 · 9, 8=

400

19, 6= 20, 4 m

altura que es mayor que cuando considerabamos la fuerza de rozamiento.

Problema 4

A diferencia de los problemas considerados antes, ahora, al tener un muelle hemos deconsiderar la energıa potencial elastica que posee cuando esta comprimido. Si un muellese comprime una distancia y respecto de su posicion de equilibrio, la energıa potencialque almacena es, como ya sabemos,

Ep =1

2k y2 (7)

donde k es la constante elastica del muelle. Como tambien tenemos rozamiento una vezmas el principio de conservacion de la energıa se escribe

EMi= EMf

+ WR (8)

con la diferencia de que en la energıa mecanica hemos de contar esta vez la energıacinetica, la energıa potencial gravitatoria (pues el cuerpo asciende por el plano) y laenergıa potencial elastica. Nos piden hallar que velocidad adquiere el cuerpo cuando elmuelle se destensa. Tomando como origen de alturas el punto donde se halla el cuerpounido al muelle, la energıa inicial vendra dada por la energıa potencial elastica, ya que elcuerpo no posee velocidad. Por lo tanto

EMi=

1

2k y2

La energıa mecanica final vendra dada por la potencial gravitatoria y por la cinetica, puesal destensarse el muelle, este no tiene energıa elastica, luego

EMf=

1

2mv2 + mgh

El trabajo de rozamiento sera como siempre WR = FR !e. Sustituyendo todo en laecuacion (8)

1

2ky2 =

1

2mv2 + mgh + FR !e (9)

Vamos a hacer ahora algunas consideraciones respecto a la ecuacion (9). La distanciay que esta comprimido el muelle es igual al espacio !e que recorre el cuerpo, entoncesy = !e. Por otra parte la distancia recorrida sobre el plano inclinado y la altura h estanrelacionadas por el sin!, como ya demostramos en el Problema 2, formula (4), de dondepor lo dicho se deduce que

h = !e sin ! " h = y sin !

5

Teniendo en cuenta todo esto, la ecuacion (9) se convierte en

1

2ky2 =

1

2mv2 + mg y sin ! + µmg cos ! y (10)

en la que hemos sustituido el valor de de FR. Multiplicando la ecuacion (10) por dos

ky2 = mv2 + 2mg y sin ! + 2µmgy cos !

y despejando la velocidad

v =

!

ky2 ! 2mg y sin ! ! 2µmgy cos !

m(11)

Sustituyendo en (11) los datos del problema, expresados en unidades del SI (30 g=0,03 kgy 15 cm =0,15 m)

v =

"

100 · 0, 152 ! 2 · 0, 03 · 9, 8 · 0, 15 · sin 20 ! 2 · 0, 2 · 0, 03 · 9, 8 · 0, 15 · cos 20

0, 03

=

!

2, 20325

0, 03=

#

73, 441 = 8, 57 m/s

Problema 5

Como el coche sube con velocidad constante, la potencia P desarrollada por el motores

P = F · v (12)

Al ascender por la pendiente, la fuerza necesaria para conseguirlo vendra de sumar lacomponente tangencial del peso y la fuerza de rozamiento

F = FT + FR = mg sin ! + µmg cos ! (13)

La pendiente es de un 10%, lo cual significa que por cada 100 m subidos a lo largo delplano se suben 10 m en altura, o sea, el porcentaje de la pendiente nos da el valor delseno del angulo de la pendiente,

sin ! =10

100= 0, 1, " cos ! =

#

1 ! sin2 ! =#

1 ! 0, 12 =#

0, 99 = 0, 9949

Sustituyendo los datos en la ecuacion (13)

F = 1200 · 9, 8 · 0, 1 + 0, 4 · 1200 · 9, 8 · 0, 9949 = 5856, 42 N

Y con la velocidad, 90 km/h " 25 m/s, sustiuyendo en (12)

P = 5856, 42 · 25 = 146410, 52 W

Para pasar la potencia a caballos, como 1 CV=735 W, dividiendo el ultimo resultadoentre 735

P =146410, 52

735= 199, 19 CV

Problema 6

En un punto situado a una altura H, la energıa mecanica de un cuerpo en reposo (v=0)sera

EMi= Ec + Ep =

1

2mv2 + mgH = 0 + mgH = mgH (14)

Cuando el cuerpo llega al suelo toda la energıa mecanica sera ahora energıa cinetica puesla altura es nula

EMf= Ec + Ep =

1

2mv2 + mg · 0 =

1

2mv2 (15)

Como la energıa mecanica se conserva, EMi= EMf

, igualando (14) y (15)

1

2mv2 = mgH

Eliminando m, podemos determinar con que velocidad llega el cuerpo al suelo, resultandoser

v =#

2gH (16)

Ahora nos dicen que la altura la multiplicamos por 2, por lo tanto la velocidad, llamemoslav", con que el cuerpo llega ahora al suelo sera

v" =#

2g · 2H =#

4gH = 2#

gH (17)

Dividiendo (17) entre (16) sabremos la relacion entre las velocidades

v"

v=

2#

gH#

2gH=

2#

gH#

2#

gH=

2#

2=

#2

y entoncesv" =

#2v

Al multiplicar la altura por 2, la velocidad no se multiplica por 2 sino por#

2

Problema 7

La conservacion de la energıa mecanica, como tenemos rozamiento, sera de nuevo

EMi= EMf

+ WR

Vamos a fijarnos en el dibujo para comprender bien cuales son los valores iniciales yfinales. Al principio el cuerpo se halla en reposo y a una altura de 5 m por lo que suenergıa mecanica sera solo potencial gravitatoria.

45º

e=?

2 kg

2 kg

5 m

Al final el cuerpo ha vuelto al suelo y esta en reposo por lo que su energıa potencial esnula y la cinetica tambien, luego la energıa mecanica final sera cero.

El trabajo de rozamiento habra que dividirlo en dos partes ya que la fuerza de roza-miento no vale lo mismo sobre el plano inclinado y sobre el plano horizontal. Por todoello, el principio de conservacion de la energıa mecanica se escribe ahora

mgh = WR1+ WR2

donde WR1es el trabajo sobre el plano inclinado y WR2

sobre el plano horizontal. Enfuncion de estos trabajos pues

mgh = FR1!e1 + FR2

!e2 (18)

El espacio que hemos de calcular es !e2 y es el que en la figura hemos representado por e.El espacio !e1 podemos ponerlo una vez mas en funcion de la altura con la ecuacion (4),h = !e sin !, de donde

!e1 =h

sin !(19)

Teniendo en cuenta el valor de la fuerza de rozamiento en cada plano y sustituyendo en(18)

mgh = µmg cos !h

sin !+ µmg!e2 (20)

8

En la ecuacion (20) podemos eliminar el factor mg de todos sus miembros, obteniendo

h = µhcos !

sin !+ µ!e2 = µh cot ! + µ!e2 (21)

Y finalmente el valor del espacio recorrido sobre el plano horizontal es

!e2 =h ! µh cot !

µ(22)

Sustituyendo en (22) todos los valores

!e2 =5 ! 0, 2 · 5 · cot 45

0, 2=

5 ! 0, 2 · 5 · 10, 2

=4

0, 2= 20 m

FORMULAS

TrabajoW = F!e cos "

Energıa cinetica

Ec =1

2mv2

Energıa potencial gravitatoriaEp = mgh

Energıa potencial elastica

Epe =1

2ky2

Trabajo de rozamientoWR = FR!e

Energıa mecanica

EM = Ec + Ep =1

2mv2 + mgh

Conservacion de la energıa mecanica

EMi= EMf

Conservacion de la energıa mecanica en presencia de fuerzas de rozamiento no conserva-tivas

EMi= EMf

+ WR

9

1. Determina que distancia se ha desplazado un cuerpo sobre el que actua una fuerzaconstante de 1600 N formando un angulo de 60o con la horizontal, si el trabajorealizado es de 19200 J.

2. Un camion circula inicialmente a 18 km/h, cuando su motor acelera realizando untrabajo de 1.500.000 J. Calcula la velocidad final del camion si su masa es de 5000 kg.

3. Sobre un vehıculo de 1000 kg de masa, que circula con una velocidad de 20 m/s,actua una fuerza constante de 100 000 N en el sentido de su movimiento. El vehıculorecorre 100 m. El coeficiente de rozamiento entre los neumaticos y el suelo esµ = 0, 3. Calcula: a) El trabajo realizado por la fuerza aplicada, b) el trabajorealizado por el rozamiento, c) el trabajo realizado por la fuerza resultante, d) lavelocidad del coche cuando ha recorrido 100 m.

4. Un cuerpo de 4 kg posee una energıa cinetica de 5000 J. a) Calcula su velocidad.b) Calcula el trabajo necesario para frenarlo por completo.

5. Un cuerpo de 8 kg se halla a una altura de 100 m y el trabajo realizado por la fuerzade la gravedad es de 7056 J. ¿Que significa que el trabajo tenga signo positivo?Calcula hasta que altura llega el cuerpo.

6. Un cuerpo de 15 kg se encuentra a 10 m de altura en reposo. a) Calcula en esepunto su energıa potencial, cinetica y mecanica. b) Ahora se deja caer el cuerpo.Calcula su velocidad al llegar al suelo. c) ¿A que altura la energıa cinetica es eldoble de la potencial?

7. Desde un plano inclinado 45o, tal y como muestra la figura, se deja caer un cuerpo.Usando el principio de conservacion de la energıa calcular que distancia recorre elcuerpo sobre el plano horizontal hasta que se detiene. Hay rozamiento tanto en elplano inclinado como en el tramo horizontal. h=5 m, µ = 0.2, m=2 kg.

45º

e=?

2 kg

2 kg

5 m

1

8. Deseamos lanzar desde 20 m de altura un cuerpo hacia arriba. a) Averigua cualdebe ser la velocidad inicial de lanzamiento para que al llegar al suelo su velocidadsea de 30 m/s. b) Calcula en que punto de su recorrido la velocidad es de 2 m/s.

9. Desde la parte inferior de un plano inclinado 30o lanzamos hacia arriba un cuerpo auna velocidad de 10 m/s. El cuerpo asciende por el plano inclinado y por efecto delrozamiento se detiene, volviendo luego a deslizarse hacia abajo. a) Determina quedistancia recorre el cuerpo sobre el plano hasta detenerse. b) Calcula que velocidadtiene el cuerpo al llegar de nuevo abajo. µ = 0, 3, m = 1 kg.

10. Una grua es capaz de elevar una carga de 800 kg a una altura de 50 metros en20 segundos a velocidad constante. a) Calcula la potencia realizada por la gruaen watios y en caballos. b) Desarrollando la misma potencia, ¿cuanto tiempo lecostarıa subir una carga de 1200 kg a 80 m de altura?

11. Calcula cuanto tiempo le cuesta acelerar a un todo terreno de 36 km/h a 90 km/hsi su masa es de 2000 kg y el motor tiene una potencia de 110 CV. Se consideradespreciable la fuerza de rozamiento.

12. Una bala de plomo de 50 gr se mueve con una velocidad de 100 m/s, cuando seincrusta en un bloque madera. Si la fuerza de resistencia que ofrece el bloque demadera es de 5000 N, calcula la distancia que se ha introducido la bala en la madera.

Soluciones

1. !e = 24 m

2. v = 25 m/s

3. a) W = 1000000 J; b) Wr = !300000 J; c) W = 700000 J; d) v = 42, 4 m/s

4. a) v = 50 m/s, b) W = !5000 J

5. Que lo realiza la fuerza de la gravedad. h = 10 m

6. a) Ec = 0, Ep = 1470 J, Em = 1470 J; b) v = 14 m/s; c) h = 3, 3 m

7. e = 20 m

8. a) v = 22, 538 m/s; b) h = 45, 71 m

9. e = 6, 715 m; b) v = 5, 62 m/s

10. a) P = 19600 W= 26, 66 CV; b) t = 48 s

11. t = 6, 494 s

12. d = 5 cm

Trabajo

W = F!e cos ! W = !Ec =1

2mv2

!

1

2mv2

o W = !!Ep = !(mgh ! mgho)

Energıa cinetica

Ec =1

2mv2

Energıa potencial gravitatoria

Ep = mgh (g = 9, 8 m/s2)

Trabajo de rozamientoWR = FR!e

Energıa mecanica

EM = Ec + Ep =1

2mv2 + mgh

Conservacion de la energıa mecanica

1

2mv2

o + mgho =1

2mv2 + mgh

Conservacion de la energıa mecanica en presencia de fuerzas de rozamiento

1

2mv2

o + mgho =1

2mv2 + mgh + WR

Potencia

P =W

tP = Fv

3