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CLASE I
Unidad 1Introducción a la física
Concepto de mecánica y su importancia
La física es el estudio de las propiedades de la materia y la energía. Trata de cuantificación de los fenómenos naturales.
Históricamente la física se divide en cuatro periodos
Física antigua o medieval (3000 Ac – 1500 Dc)El nuevo despertar de la física (1500 Dc a 1700 Dc)Física Clásica (1700 Dc a 1890 Dc)Física Moderna (1890 Dc al presente)
Ramas de la física
Acústica = Estudio del sonidoÓptica = Estudio de la radiaciones y la luzMecánica = Estudio del movimiento y sus causas
Cinemática = Estudio del movimiento en síDinámica = Estudio de las fuerzas que causan el movimiento Estática = Estudio de la ausencia del movimiento
Termodinámica = Estudio del calorElectromagnetismo = Estudio de los fenómenos eléctricos y magnéticos
Sistema internacional de unidades ( S I )
En 1960 un comité internacional estableció los estándares del sistema internacional, en 1973 fue adoptado por Costa Rica
Magnitud Unidad Símbolo longitud metro mtiempo segundo scantidad de sustancia mole molmasa Kilogramo kgtemperatura Kelvin KIntensidad luminosa candela cdcarga eléctrica Columbio Ccorriente eléctrica Ampere Afuerza Newton Nvelocidad Metros por segundo m/sárea Metros cuadrados m2
volumen Metros cúbicos m3
aceleración Metros entre segundo cuadrado
m/s2
densidad Kilogramos entre metro cúbico
kg/m3
presión Pascal PaEnergía Julio JDefiniciones modernas
Las definiciones de las unidades del sistema internacional han ido variando en el tiempo de tal forma que no lleguen a variar con el ambiente, por ejemplo el primer metro estaba hecho de oro, pero este era susceptible a encogerse y estirarse con las variaciones de temperatura del ambiente, así que se redefinió del la siguiente forma
Metro = Distancia que viaja la luz en el vacío en 1/299 792 458 segundos
Kilogramo = Masa de un cilindro prototipo de platino e iridio guardado en la oficina de pesas en Francia
Segundo = Duración de 9 192 631 770 ciclos ( periodos) de la radiación asociadas a la transición particular de isótopo de cesio- 133
Mas definiciones modernas en las páginas 4-5 del libro de texto
Análisis dimensional
La palabra dimensión denota la naturaleza física de una cantidad
Dimensión | metro (m)Longitud | pie (ft)
| Pulgada (in) | Yarda (yd)
todas denotan longitud
Ej
Muestre que las expresión V=aº t es dimensionalmente correcta. (Pag 9, Serway, Sétima edición )
Solución
V= m/s = L/T a = m/s2 = L/T2
t = s = T
V=aº t
EjMuestre que las expresiones son dimensionalmente equivalentes
P = F/A y P = ρ (densidad) º g (aceleración gravitacional) º h (altura)
Solución
F = N = kgm/s2 = ML/T2
A = m2 = L2
ρ = kg/m3 = M/L3
g = m/s2 = L/T2
h = m = L
P = F P = ρ º g º h A
Conversiones de unidades
Aún no ha sido posible unificar los criterios de los sistemas de medición, por lo que ha sido necesario conocer las equivalencia del sistema ingles
Masa1 Tonelada (Ton) = 1000 kg1 libra (lb) = 453,6g1 libra (lb) = 16 onzas (oz)
Volumen1 cm3 = 1 ml1 galón = 3,785 litros
Longitud1 pie (ft) = 12 pulgadas (in)1 pulgada (in) = 2,54 cm1 milla = 5 280 pies = 1609m1 yarda (yd) = 3 pies (ft)
1 año luz = 9.5x10 12km
Tiempo1 día = 24 h1 h = 60 min = 3600 s1 año = 365 días1 siglo = 100 años
También es necesario conocer las equivalencia del sistema métrico
1g = 10dg1g = 100cg1g = 1000mg
1dag = 10g1 hg = 100g1kg = 1000g
1 litro = 10dl1 litro = 100cl1 litro = 1000ml
1dal = 10 litros1 hl = 100 litros1kl = 1000 litros
1m = 10dm1m = 100cm1m = 1000mm
1dam = 10m1 hm = 100m1km = 1000m
Ejemplos
Convierta 15 pulgadas (in) a pies (ft)
En este caso el factor de conversión se forma a partir de la primer equivalencia de nuestra tabla de longitud, se acomoda de tal forma que la unidad que se desea cancelar aparezca en el denominador, 15 es multiplicado por el numerador y dividido por el denominador, es posible cancelar la unidad pulgadas aplicando principios de álgebra.
Si no poseemos el factor de conversión directo, podemos relacionar varios
EjemploConvierta 16 años a segundos
Nuevamente se multiplica por los numeradores y se divide entre denominadores.
Convierta 80mm3 a m3
80mm3 x . (1m) 3 = 8x10-8m3
(1000mm)3
Convierta 380m/s a millas/hora
Prefijos
Son valores de uso común en notación científica
Prefijo símbolo significadoExa E 1018
Peta P 1015
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo k 103
hecto h 102
deca da 101
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro μ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
Es posible cambiar el valor de notación científica por el respectivo símbolo
Ejemplo: Exprese 3,56x106 g utilizando prefijos, indique el nombre de la magnitud a la que corresponde la unidad
Solución: Buscamos en la tabla, la base diez corresponde al prefijo mega por lo tanto la respuesta es 3,56 Mg ( megagramos), gramos es una magnitud de masa
Ejemplo 6,25x10-2m (m es la unidad metros)
6,25 cm (c = 10-2 y m la unidad metros que no cambia), longitud es la magnitud física
Ejemplo
Se tiene una balanza de platos, de un lado se coloca un cilindro de vidrio de radio 2in y altura 0,25ft. En el otro extremo se colocara un cubo de cobre. ¿Cuánto debe medir la arista del cubo en cm para tener ambos platos a igual altura?
Solución
ρvidrio= 2600kg/m3 ρcobre = 8,89g/cm3 Cilindro
2in 2,54cm = 5,08cm 1 in
0,25ft 12in 2,54cm = 7,62cm 1ft 1 in Vcilindro = π r3 h = π (5,08)2 º 7,62 = 617,77cm3
ρ = 2600kg 1000g 1m 3 = 2,6g/cm3
m3 1kg (100)3 cm3
ρºV=m
2,6 º 617,77 = m 1606,20g = m
El equilibrio se logra con igual masa asi que la masa de cobre es la misma
V = m/ ρ = 1606,20/8089 = 180,67 cm3
V = l3
180,67 = l3
5,65 = l
Problemas recomendados del capítulo 1 del Serway
10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23
Problema 10Suponga que su cabello crece a una proporción de 1/32 pulgadas cada día. Encuentre la proporción a la que crece en nanómetros por segundo. Dado que la distancia entre átomos en una molécula es del orden de 0,1 nm, su respuesta sugiere cuan rápido se ensamblan las capas de átomos en esta síntesis de proteínas. (problema 10, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
(1/32)in/día a nm/s
Problema 11Un lote rectangular mide 100ft por 150 ft. Determine el área de este lote en metros cuadrados. (problema 11, pag 15, serway, sétima edición)
Solución100 ft x 150 ft = 15000 ft2
Problema 12Un auditorio mide 40mx20mx12m. La densidad del aire es 1,2kg/m3. ¿Cuáles son a) el volumen de la habitación en pies cúbicos y b) el peso en libras del aire en la habitación? (problema 12, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
V = 40x20x12 = 9600m3
m= ρºV
m= 1,20 º 9600
m= 11520kg 1000g 1 lb = 25396,8 lb 1kg 453,6g
Problema 14Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30 galones tarda 7 min a) calcule la rapidez a la cual es tanque se llena en metros cúbicos por segundo. b) Calcule la rapidez a la cual se llena el tanque en metros cúbicos por segundo. c) determine el intervalo, en horas que se requiere para llenar un volumen de 1m3 a la misma rapidez ( 1 gal = 231 pulg3 ) (problema 14, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
7min 60s = 420s 1 min
rapidez = 30gal = 0,071 gal/s 420s
0,071gal 231 in 3 (2,54) 3 cm 3 1m 3 = 2,70x10-4 m3/s 1 gal 1 in3 1003 cm3
1m3 = 1s 1h = 1,02h 2,70x10-4 m3 3600s
Problema 15Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23,94g y un volumen de 2,10 cm3. A partir de estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades del SI. (kg/m3 ) (problema 15, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
ρ = m = 23,94g 1kg ( 100cm)3 = 11400kg/m3
V 2,10cm3 1000g 1 m3
Problema 16Un cargador de mineral mueve 1200 ton/h de una mina a la superficie. Convierta esta relación a libras por segundo, 1ton=2000lb. (problema 16, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
1200ton 2000 lb 1h = 666,6 ton/s h 1 ton 3600s
Problema 18Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre un área de 13 acres. El volumen de una pirámide está dado por la expresión V= 1/3Bh, donde B es el área de la base y h es la altura. Encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos ( 1 acre= 43560ft2) . (problema 18, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
h= 481ft V= 1/3BhAb=13 acre 43560 ft 2 = 566280 ft2
1 acre
V= 1/3 º 566280 º 481 = 90793560 ft3
Problema 19La pirámide descrita en el problema 18 contiene aproximadamente 2 millones de bloques de piedra que en promedio pesan 2,50 toneladas cada uno. Encuentre el peso de esta pirámide en libras. (problema 19, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
2x106 bloque 2,5 ton 1000kg 1000g 1 lb = 1,10x1010 lb 1 bloque 1 ton 1kg 453,6g
Problema 21Un galón de pintura ( volumen = 3,78x10-3 m3) cubre un área de 25m2 ¿Cuál es el grosor de la pintura fresca sobre la pared? (problema 21, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
1 gal = 3,78x10-3 m3
A= 25m2
V = Ab º h 3,78x10-3 = 25 º h0,0001512 = h
h= 151,2μm
Problema 22El radio medio de la Tierra es de 6,37x106 m y el de la luna es 1,74x108 cm. A partir de estos datos calcule a) la razón del área superficial de la Tierra con la de la Luna y b) la relación del volumen de la Tierra con la de la Luna. Recuerde que el área superficial de una esfera es de 4πr2
y el volumen de una esfera es 4/3πr3. (problema 22, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
AT = 4πr2 = 4π (6,37x106)2 =5,09x1014 m2
1,74x108 cm = 1m = 1,74x106 m 100cm
AL = 4πr2 = 4π (1,74x106)2 =3,80x1013 m2
Razón = 5,09x10 14 = 13,39 veces más el área de T que la L 3,80x1013
Problema 23
Un metro cúbico (1,0m3) de aluminio tiene una masa 2,70x103 kg, y el mismo volumen de hierro tiene una masa de 7,86x103 kg. Encuentre el radio de una esfera de aluminio sólida que equilibraría una esfera de hierro sólida de 2cm de radio sobre una balanza de brazos iguales. (problema 23, pag 15, serway, sétima edición)
Solución
ρAl = 2,70x103 kg/m3 ρFe = 7,86x103 kg /m3
rFe= 2cm 1m 100cm
VFe = 4/3 π r3 = 4/3 π (2x10-2)3 = 33,51x10-6 m3
mfe = ρFe º VFe = 7,86x103 kg /m3 º 33,51x10-6 m3 = 0,263kg
mfe = mAl = 0,263kg
VAl = mAl / ρAl = 0,263/2,70x103 = 97,55x10-6m3
VAl = 4/3 π r3
97,55x10-6m3 = 4/3 π r3
r = 0,0028m o 2,85cm
Unidad 2 Vectores
Las cantidades físicas se dividen en dos grandes grupos, vectores y escalares
Ej Vectores
Velocidad = 3m/s EsteDesplazamiento = 4m izquierda
Ej Escalares
Rapidez = 3m/sDistancia = 4mTiempo = 30s
El vector posee magnitud y dirección, y el escalar solo magnitud.
Coordenadas polares y rectangulares
Los vectores pueden trabajarse distintos sistemas de coordenadas, los más usuales son las coordenadas polares (r, θ) y rectangulares ( x,y)
polar rectangular
Para convertir coordenadas polares a rectangulares se utiliza las funciones trigonométricas seno y coseno
Por trigonometría
El cateto adyacente al ángulo es el eje X
X= 50cos30 = 43;3N
Al estar al lado izquierdo del eje de coordenadas se aplica signo negativo
X=-43,3N
El cateto opuesto al ángulo es el eje Y
Y=50sen30 = 25N
Al estar sobre el eje de coordinas el signo es positivo
Respuesta( -43,3 N X + 25N Y )
Por ángulo total
En la posición donde se encuentra el ángulo, obtenemos el ángulo total como 180-θ180-30=150°
X = 50 cos 150°X = -43,30N
Y = 50 sen 150Y = 25N
Respuesta ( -43,3 N X + 25N Y )
Para convertir de coordenadas rectangulares a polares se utiliza pitágoras y tangente
EjemploConvierta ( -43,3 N î + 25 N ĵ ) a coordenadas polares
Magnitud
________|R| = √ (x2 + y2)
_____________|R| = √ (-43,3)2 +(25)2
|R| = 50N
Direccióntan-1 θ = Y X
tan-1 θ =( |25| ) |43,3|
θ = 30°
Respuesta: 50N, Oeste 30º Norte, pero también es valido 50 N,
Propiedades de los vectores
a) suma de vectores
La suma de dos vectores es la resultante de dos vectores consecutivos. La suma de vectores es conmutativa
→ → → →A + B = B + A
→ → → → → → A + (B + C) = ( A + B) + C
Ej
Encuentre la resultante de 3m E y 4m N30ºE
Por ley de cosenos y senosMagnitudd2 = a2 + b2 – 2abcosθ
d2 = 32 + 42 – 2°3°4°cos120
d2 = 9 + 16 – 24cos120 . .
√d2 = ٧37
d = 6,08m
Dirección senβ = senα
d a
sen120 = senα 6,08 4
4°sen120 = senα 6,08
0,569 = senα
Shif sen (0.569)
34,73° = α
El mismo problema resuelto por los componentes
3m Este
( 3m i + 0m j)
( 2 mi + 3,46 mj )
Resultante de ( 3m i + 0m j) + ( 2 mi + 3,46 mj ) = ( 5mi + 3,46mj)
h2 = a2+b2
h2= 52+3,462
√( 52 + 3,462) = 6,08m
tan-1(3,46/5)= 34,7º
Negativo de un vector
Un negativo delante de un vector invierte su dirección
Si A = 3m E entonces –A= 3m Oeste
Si B = 8m N40ºE entonces –B = S40ºO
Multiplicar un vector por un escalar
Al no tener dirección, el escalar unicamente varia el tamaño del vector y/o cambia su dirección
Vector unitario
Es un vector que tiene una magnitud de 1→ → →U= A / |A|
<X= cos-1 α<Y= cos-1 β<Z = cos-1 γ
Ej
→ A= 2i + 3j
→ B= 4i - 2j
→ C= 2j + 5k → → →Encuentre la magnitud de | 2 A – 3B + C |
2 (2i + 3j + 0k) -3 (4i - 2j + 0k) + 0i + 2j + 5k
4i + 6j + 0k -12i -6j + 0k + 0i + 2j + 5k
-8i + 14j + 5k
Magnitud = √( 82 + 142 +52) = 16,88
Determine el vector unitario
( -8i + 14j + 5k ) / 16,88 = -0,47i + 0,82j + 0,29k
Ejercicios recomendados capítulo 3
2,4,9,14,15,21,23,25,27,29,30,31,34,35,37,39,49,57.
Problema 2Dos puntos en un plano tiene coordenadas polares (2,5m, 30º) y ( 3,80m, 120º). Determine a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y b) la distancia entre ellos.(problema 2, pag 65, serway, sétima edición)
Solución(2,5m, 30º)
x=2,5cos30=2,16mXy=2,5sen30=1,25Y
( 2,16mi + 1,25mj)
( 3,80m, 120º).x=3,8cos120=-1,9mXy=3,8sen120=3,29mY
(-1,9mi+3,29mj)
Δx=xf-xi=2,16-(-1,9)=4,06mXΔy=yf-yi=1,25-3,29=-2,04mY
d=√ (x2+y2) = √4,062+(-2,04)2 = 4,54m
Problema 4Las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2,Y) y sus coordenadas polares son (r,30º) Determine Y y r.(problema 4, pag 65, serway, sétima edición)
Solución
cos 30 = 2/r
r=2/cos30 = 2,30 u.l. (unidades lineales)
tan 30 = y/2
2tan30 = y = 1,15m
Problema 9Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de 5m de radio. Si realiza medio circulo, encuentre a) la magnitud del vector desplazamiento y b) que distancia ha patinado. C) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si patina alrededor de todo el círculo? problema 9, pag 65, serway, sétima edición)
Solución
a) despl. = 10m al ladob) despl. = 2π.5/2 =15,7mc) depl = 0m (vuelve al origen)
Problema 14Un comprador que empuja un carrito a lo largo de una tienda se mueve 40m por un pasillo, luego da una vuelta de 90º y se mueve 15m. Luego da otra vuelta de 90º y se mueve 20m ) ¿A qué distancia está el comprador de su posición original? B) ¿Qué ángulo forma su desplazamiento total con su dirección original? Advierta que no se especificó si el comprador da vuelta a la derecha o a la izquierda. Explique cuantas respuestas son posibles para los incisos a y b y dé las posibles respuestas.(problema 14, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
d= 40+15+20 (independiente de donde doble)
un posible ángulo
tan θ= 15/20θ = 36,86º
otro posible ángulo
tan θ = 15/60θ = 14,03º
Problema 15Un vector tiene una componente X de -25 unidades y otra componente Y de 40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.(problema 15, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
X=-25 y=40 r= √ (-25)2 + 402 = 47,16m
Tan θ = 40/25
θ = 57,99º pero estaba ubicado en el segundo cuadrante
La respuesta es 47,16m 122,01º
Problema 21Mientras explora una cueva, un espeleólogo comienza en la entrada y se mueve las siguientes distancias. Va 75m al norte, 250m al este, 125m a un ángulo de E30ºN y 150m sur. Encuentre el desplazamiento resultante desde la entrada de la cueva..(problema 21, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
X=0 X=250 X= 125cos 30 X=0Y=75 Y = 0 Y= 125sen30 Y= -150
ΣX= 0+250+108,25+0=358,25mΣY=75+0+62,5+-150=-12,5m
R=√ ( 358,252+(-12,5)2 )= 358,46mTan θ = -12,5/358,25
θ = E1,99ºS pero estaba ubicado en el cuarto cuadrante
Problema 23Un hombre empuja una podadora por el suelo hace que experimente dos desplazamientos. El primero tiene una magnitud de 150cm y forma un ángulo de 120º con el eje X positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140cm y se dirige a un ángulo de 35º con el eje X positivo. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.(problema 23, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
→ → → → r = A + B r = 140cm,. 35º
→ → → → r - B = A A= 150cm,120º
→ → → rx - Bx = Ax 140cos35-150cos120=189,68cm
→ → → ry - By = Ay 140sen35-150sen120=-49,60cm
| B | = √( 189,682 + (-49,6)2 )= 196,05cm
θ = tan -1 (-49,6/189,68) = -14,65º
pero estaba ubicado en el cuarto cuadrante
360 – 14,65º = 345º
→B = 196,05cm,345º
Problema 25 → →Considere los dos vectores A= 3i-2j y B –i-4j Calcule → → → → → → → →→ → → → →a) A+B, b) A - B, c) | A+B | d) | A - B | e) las direcciones de A+B y A - B(problema 25, pag 66, serway, sétima edición)
a) 3i-2j + –i-4j = 2i-6jb) 3i-2j – ( –i-4j ) = 4i+2jc) magnitud de la parte a =√ (22 + (-62)) = 6,32d) magnitud de la parte b =√ (42 + 22) = 4,47e) θ = tan -1 (-6/2) = -71,56º que en el cuarto cuadrante es 360-71,56=288ºf) θ = tan -1 (2/4) = 26,56º
Problema 27 Una partícula se somete a los siguientes desplazamiento consecutivos 3,5m al sur, 8,2m al noreste y 15m oeste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante? (problema 27, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
X=0 X=8,2cos45=5,8 X=-15Y=-3,5 Y=8,2cos45=5,8 Y=0
ΣX= 0+5,8+-15 = -9,2mΣY= 4+1,41-0,86 = 4,55m
√ ( 0,912 + 4,552) = 4,64m
θ = tan -1 (4,55/0,91) = 78,69º
despla = 4,64m 78,69º
Problema 30 →
El vector A tiene componentes X y Y de -8,7cm y 15cm respectivamente, el vector B → → → tiene componentes X y Y de 13,2cm y -6,6cm respectivamente. Si A - B +3C=0, cuales →son los componetes del vector C.
(problema 30, pag 67, serway, sétima edición)
Solución
Ax - Bx +3Cx=0 Ay - By +3Cy=0-8,7 – 13,2 + 3Cx =0 15-(-6,6)+3Cy=0Cx=7,3 → Cy= -7,2
C= 7,3cmx-7,2cmy
Problema 31 La vista aérea desde el helicóptero en la figura muestra a dos personas jalando una mula terca. Encuentre a) la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se muestran y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. (problema 31, pag 67, serway, sétima edición)
Solución
a) ΣFx= -80cos75 + 120 cos60 = 39,29N ΣFy= 80sen75 + 120 sen60 = 181,19N
√ ( 39,292+181,192) θ = tan-1 (181,19/39,29)
185,4N,78ºb) misma magnitude y dirección contraria
185,40N y dirección 180+78 = 258º o en coordenadas rectangulares (-39,28Nx-181,19Ny)
Problema 34 → → →
Considere los tres vectores desplazamiento A=(3i-3j)m, B=(i-4j)m y C=(-2i+5j)m. Use el método de componentes para determinar a) magnitud y dirección del vector → → → → → → → →D = A +B + C y b) la magnitud y dirección del vector E = -A-B+C. (problema 34, pag 67, serway, sétima edición)
Solución
Dx=Ax+Bx+Cx = 3+1-2= 2 √ (22+(-2)2)=2,82Dy=Ay+By+Cy = -3+4+5= -2 (2,-2) θ= tan-1 (-2/2) = -45
θ=360-45 = 315º
Ex=-Ax-Bx+Cx = -3-1+-2= -7 √ ((-7)2+(12)2)=13,89Ey=-Ay-By+Cy = 3+4+5= 12 (-7,12) θ= tan-1 (12/-7) = -59,74
θ=180-59,74 = 120,26ºProblema 35 → → Dados los vectores desplazamiento A=(3i-4j+4k)m y B=(2i+3j-7k)m, encuentre las magnitudes de los vectores → → → → → → C = A +B y b) D = 2A-B. y también exprese cada uno en términos de sus componentes rectangulares (problema 35, pag 67, serway, sétima edición)
Solucióna) → → → C = A +B =(3i-4j+4k) + (2i+3j-7k) = 5i -1j-3k √(52 +(-1)2 +(-3)2) = 5,91mb)→ → → D = 2A-B. =2(3i-4j+4k) - (2i+3j-7k) = 4i-11j+15k√(42 +(-11)2 +(15)2) = 19,02m
Problema 37 → El vector A tiene componentes X, Y y Z de 8,12 y -4 unidades respectivamente. A) Escriba una expresión vectorial para A en notación de vector unitario. B) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector B de un cuarto de la longitud de A . c) Obtenga una expresión en vectores unitarios para un vector C tres veces la longitud de A que apunte en dirección opuesta a la dirección de A. (problema 37, pag 67, serway, sétima edición)
Solución
a)8i+12j-4k√(82+122+(-4)2) = 14,96ul
(8x+12y-4z)/14,96 = 0,53i+0,8j-0,26k
b) 14,96*1/4*(0,53x+0,8y-0,26z) = 1,98i+2,99j-0,97k
c) 14,96*-3*(0,53x+0,8y-0,26z) = -23,78i-35,9j+11,66k
Problema 39
Una estación de radar ubica un barco hundiéndose en un intervalo de 17,3km y orientación de 136º en sentido de la manecillas del reloj desde el norte. Desde la misma estación, un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6km, 153º en sentido de la manecillas del reloj desde el norte, con una elevación de 2,2km a) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión, con i que representa el este, j el norte y k hacia arriba. B) ¿qué tan separados están el avión y el barco? (problema 39, pag 67, serway, sétima edición)
Solución
12,01x-12,44y 8,89x-17,46y+2,2z
a)(12,01x-12,44y)-( 8,89x-17,46y+2,2z) 3,12x+5,02y-2,20z
b) √ (3,122+5,022+(-2,2)2) = 6,30km
Problema 49 Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla del radar. La primera está a una altitud de 800m, 19,2km de distancia horizontal y O25ºS. La segunda está a una altitud de 1100m, 17,6km de distancia horizontal y O20ºS ¿Cuál es la distancia entre las dos aeronaves? (Coloque el eje X al oeste, el eje Y al sur y el eje Z vertical (problema 49, pag 68, serway, sétima edición)
Solución
800m =z 1100m=z
-17401x+-8114y+800z -16538,59x-6019,55y+1100z
(-17401x+-8114y+800z) – ( -16538,59x-6019,55y+1100z)
-863x+-2094,45y-300z
√((-863)2 +(-2094,45)2+(-300)2 ) = 2285,05m
Problema 57 Una persona que sale a caminar sigue la trayectoria que se muestra en la figura. El viaje total consiste en cuatro trayectorias en línea recta. Al final de la caminata. ¿cuál es el desplazamiento de la persona medido desde el punto de partida? (problema 57, pag 69, serway, sétima edición)
Σx= 100+0-150cos30-200cos60=-129,9Σy=0-300-150sen30+200sen60=-201,79
√ ((-129,9)2 + (-201,79)2 ) = 240m θ=tan-1 (-201,79/-129,9) = 57 +180 = 237º
R/ 240m 237ºCLASE II
Unidad 3Movimiento en una dimensión
Es el movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta, para fines prácticos se utilizará el modelo de partícula, el objeto se considera un punto.
ConceptosDistancia = Es la longitud de una trayectoria seguida por una partícula.Desplazamiento = Cambio de posición en un intervalo de tiempo. Distancia en línea
recta de la posición inicial a la final.Δx= xf-xiRapidez promedio= Distancia total recorrida entre el intervalo de tiempo total.
V = d/t
Velocidad promedio = Desplazamiento de la partícula entre el intervalo de tiempo Vx prom = Δx/Δt
Velocidad o velocidad instantanea = Es el límite de la proporción Δx/Δt conforme Δt tiende a cero
Vx = lim Δx = dx Δt =0 Δt dt (derivada)
Rapidez instantanea = Es la magnitud de la velocidad instantanea
Ej
d= 4+6,92 = 10,92m Vm=10,92/6=1,82m/s V(1,5)=4/2=2m/s
→ → →d= 8m E60ºN Vm=8mE60ºN/6 V(3)=6,92/4=1,73m/sN
Ej
Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión X=3t3-2t2+6 con X en metros y t en segundos.
1) ¿Cuál es la posición de la partícula a los 2s
X=3t3-2t2+6X=3*23-2*22+6=22m
2) ¿Cuál es el la magnitud del desplazamiento de los 2s a los 3s
X=3*23-2*22+6=22m X=3*33-2*32+6=69m
V=dx/dt= d(3t3-2t2+6)/dt
V= 9t2-4t+0
V= 9*22-4*2+0 = 28m/s
La derivada de X es V La derivada de V es a
¿Cuál es la magnitud de la velocidad media de 2 a 3?
Vm= d/t = 47/1 =47m/s
Aceleración promedia= Es el cambio de la velocidad instantánea en un intervalo de tiempo
ax prom = ΔVx/Δt
Aceleración instantánea= Limite de la velocidad promedio conforme Δt tiende a cero
ax = lim ΔVx/Δt = dV/dt t0
Si la velocidad y aceleración tienen la misma dirección el objeto aumenta su velocidad, si son contrarias frena.
Ej Una partícula se mueve de acuerdo a la expresión
X=2*t3+3*t2-5t + 2
a) Encuentre la expresión de la velocidad
V=dx/dt= d(2*t3+3*t2-5t + 2)/dt
V= 6*t2+6*t -5
b) Encuentre la expresión de la aceleración
a=dV/dt= d(6*t2+6*t -5)/dt
a= 12t+6
c) Encuentre la aceleración promedio de 2s a 5s
V(2) = 6*t2+6*t -5=6*22+6*2 -5=31m/s
V(5) = 6*t2+6*t -5=6*52+6*5 -5=175m/s
ax prom = ΔVx/Δt = (175-31)/(5-2) = 48m/s
Partículas bajo aceleración constante
Ej Un auto viaja a 20km/h y en 3km aumenta su velocidad a 40km/h. Determine la aceleración en km/h2
Vf2=Vi2+2 a d
602=202+2 a 3
3200=6 a
533,3 km/h2=a
La aceleración del auto es 533,3 km/h2
Un auto arranca y acelera a 3 m/s2 durante 4s. Luego viaja con velocidad constante 150m. Finalmente desacelera por 100m hasta detenerse. ¿Cuánto tiempo tarda el viaje? ¿Qué distancia viajó?
SoluciónEn este problema el comportamiento del móvil cambia tres, veces ( tres tramos o
intervalos), debemos representar la situación para comprender mejor el problema.
La velocidad inicial del punto a y final del punto d son datos que se obtienen partir de la interpretación del enunciado del problema ( arranca entonces Vi =0, se detiene entonces Vf = 0).
En el primer tramo desconocemos el valor de la velocidad final y la distancia que avanza, los datos que tenemos son
Vo = Om/s a = 3 m/s2 t= 4s Vf = ? d=?
Al aplicar fórmulas tenemos
Vf = Vi + aºt
Vf = 0 + 3º4
Vf = 12 m/s
d= (Vf + V0) º. t 2
d= (12+0)º 4 = 24m 2
Note que este valor final para el primer tramo es el valor inicial para el segundo tramo, como la velocidad se mantiene constante ahí, la velocidad del punto c también es 12 m/s.
El segundo intervalo es con velocidad constante.
V= 12m/s d= 150m t= ?
Siendo movimiento rectilíneo uniforme MRU,la fórmula a utilizar es
t= d/v
t= 150/12
t = 12,5s
En el tercer intervalo la rapidez inicial también es 12m/s, por ser el tramo anterior con velocidad constante, falta encontrar aceleración y tiempo
a = ? Vf = 0 m/s Vi = 12 m/s d=100m t=?
Vf2=Vi2+2 a d
02 = 122 + 2 a 100
0 = 144 + 200 a
-144/200 = a
-0,72m/s2 = a
d= Vi t + 1/2 a t2
100= 12 t + 1/2 -0,72 t2
0= 12 t + -0,36 t2-100
t=16,66s
Ya teniendo analizados todos los tramos podemos encontrar el tiempo total y la distancia total.
t total = 4s +12,5s + 16,66s = 33,16s
d total = 24m + 150m + 100m = 274m
Respuesta:. Recorre una distancia total de 274m en un tiempo de 33,16s
Ej
Dos autos separados 1000m salen a la vez a su encuentro, el auto A viaja con velocidad constante de 8m/s, el auto B parte del reposo y acelera a 5m/s2. En cuanto tiempo se encuentran? ¿Qué distancia viaja c/u? ¿Qué velocidad alcanza c/u?
a)
d1=Vi*t d2=vi t + ½ a t2
d1= 8t d2=0t+ ½ 5 t2
d2=2,5 t2
d1+d2=1000m8t + 2,5 t2 = 10002,5 t2+8t-1000=0
t=18,46s t=-21,66s
R/ 18,46s b) d1= 8t d2=0t+ ½ 5 t2
d1=8*18,46 d2=2,5 t2
d1=147,68m d2=2,5*18,472
d2=851,92m
c) V1 = constant = 8m/s Vf=Vi+a t
Vf=0+5*18,46Vf=92,3m/s
Ej
Es la recta final de una competencia, el auto A persigue al auto B que esta a 250m delante de él. El B viaja a 40m/s y acelera a 2m/s2, el A viaja a 20m/ y acelera a 3m/s2 ¿Qué distancia debe haber a la meta para que gane A?
250+d=20t+ ½ 3 t2 d=40t+ ½ 2 t2
250+(40t+ ½ 2 t2)=20t+ 1,5 t2
250+40t+ 1 t2-20t-1,5 t2=0- ½ t2+20t+ 250=0t=50 t=-10
t = 50s porque se descarta el valor negative
d=40*50+ ½*2*502=4500m
Para que gane A debe haber más de 4500m medidos desde B o mas de 4750m medidos desde A
Un auto viaja con rapidez constante de 45m/s, pasa al lado de un patrullero oculto que está detenido y sale en su persecución un segundo después de ver el auto pasar a su lado, acelerando a 3m/s2 ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?
No salen a la vez, para que el tiempo de movimiento sea el mismo es necesario calcular la ventaja que le saca el auto en 1s a la moto
V=d/t45=d/1
45=d
d=vi t + ½ a t2 d=vi t 45+d= 0t+ ½ 3 t2 d=45 t
45+45t= 1,5 t2
0= 1,5 t2 - 45t -45tt=30,96 se descarta el valor negativo
El tiempo total es 1+30,96=31,96s
Caída libre
Un objeto en caída libre es aquel que se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad.
La aceleración en la tierra es 9,8m/s2 y siempre apunta hacia abajo.
A la misma altura el móvil posee la misma magnitud de la velocidad subiendo y bajando, pero la dirección es contraria, en el punto más alto la velocidad es cero el tiempo en subir es el mismo en bajar
Se lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio de 50m con una velocidad de 20m/s, la piedra libra el borde del edificio y cae
a) Altura máxima medida desde la base del edificio
Vi=20m/s Vf2=Vi2+2 a dVf=0m/s 02=202+2*-9,8*da=-9,8m/s -400=19,6*dd=? 20,40m=d
la altura máxima medida desde la base = 50+20,40=70,40m
b) Velocidad al llegar al suelo
Vi=20m/s Vf2=Vi2+2 a dVf=? Vf2=202+2*-9,8*-50a=-9,8m/s Vf=√1380 d=-50 Vf=+/- 37,14m/s
en este caso la respuesta es 37,14m/s hacia abajo interpretando el menos
c) Tiempo en llegar a la mitad de la altura del edificio
Vi=20m/s d=vi t + ½ a t2
t=? -25=20*t + ½ -9,8 t2
a=-9,8m/s 0=20*t + ½ -9,8 t2 +25d=-25m t=5,08s
El tiempo en caer es de 5,08s (se descarta el valor negative del tiempo)
Práctica
Desde 100m de altura se deja caer una bola y al mismo tiempo se lanza al aire otra verticalmente hacia arriba a 50m/s ¿Qué velocidad lleva cada una al cruzarse en el aire?
t1=t2
d=vi t + ½ a t2 d=vi t + ½ a t2
d1=0 t + ½ -9,8 t2 d2=50 t + ½ -9,8 t2
d1= -4,9 t2 d2=50 t + -4,9 t2
│d1│+d2=100 4,9 t2 +50 t + -4,9 t2 =100
50 t = 100t=100/50 = 2s
Vf=Vi+at Vf=Vi+atVf=0+-9,8*2 Vf=50+-9,8*2Vf=-19,6m/s Vf=30,4m/s
Ej
Desde un edificio de 100m se lanza hacia el suelo una piedra verticalmente hacia abajo a 3m/s, al mismo tiempo se lanza una segunda piedra verticalmente hacia arriba a 5m/s.
a) Cuando la primera llega al suelo ¿Cuál es la velocidad de la segunda?
d=vi t + ½ a t2 -100=-3 t + ½*-9,8 t2
0=-3t -4,9 t2 +100t=4,22s (t=-4,83s descartado)
Vf=Vi+atVf=5+-9,8*4,22Vf=-36,35m/s
b) A los 2s de estar en el aire ¿Cuál es la separación entre ambas?
d=vi t + ½ a t2 d=vi t + ½ a t2
d=-3*2 + ½*-9,8* t2 d=5*2 + ½*-9,8*t2
d=-25,6m d=-9,6m
d=-25,6-(-9,6) │d│= 16m
Ej
EjemploSe lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba a 10m/s desde un precipicio de 100m. Determine a) el tiempo en subir b) el tiempo en el aire c) altura máxima medida de la base del precipicio d) la velocidad al llegar al suelo e) la velocidad a los 4s de lanzado
a) tiempo en subir al punto más alto
Vf = Vi + aº t0 = 10 + -9,8 º t-10 = -9,8 º t-10/-9,8 = t1,02s = t
b) tiempo en el aire
No podemos decir que es el doble del tiempo en subir ya que las distancias subida y bajada por la piedra no son las mismas
d = V0º t + ½º aº t2
-100=10º t + ½º -9,8º t2 (ecuación cuadrática, para resolverla 0=100 +10º t + -4,9º t2 igualamos a cero y ordenamos)
C B A
0 = -4,9t2 +10t + 100 A B Ct= -3,61s t=5,65s descartamos el valor negativo
c) altura máxima medida desde la base del precipicio
Vf2=Vi2+2 a d02=102+2*-9,8*d-100=-19,6d-100/-19,6=d5,1=dR/ 5,1 + 100 = 105,1m
d) Velocidad al llegar a 15m del suelo
Vf2 = Vi2 + 2ºaºdVf2 =(10)2 + 2º –9,8º -85Vf2 = √1766Vf = +/- 42,02m/s (tomamos la respuesta negativa, por moverse hacia
abajo)
R/ Llega al suelo con una velocidad de 42,02m/s hacia abajo
Ejercicios recomendados
3, 9,10, 13, 20, 23, 24, 25, 32, 38, 39, 41,51
Problema 3 Una persona camina, primero, con rapidez constante de 5m/s a lo largo de una línea recta desde el punto A al punto B y luego de regreso a lo largo de la línea B a A con una rapidez constante de 3m/s. a) ¿cuál es su rapidez promedio durante todo el viaje? b)¿Cuál es su velocidad promedio durante todo el viaje? (problema 3, pag 66, serway, sétima edición)
Solución
Veloc=5m/s Veloc=3m/s
AB BA
d=x d=xv=5 v=3t=d/v=x/5 t=d/v=x/3
a)v= distancia total = x+x = 2x = 3,75m/s tiempo total (x/5+x/3) (8x/15)
b) V = d = x+x = 0 = 0m/s t (x/5+x/3) (8x/15)
Problema 9
Una liebre y una Tortuga compiten en una carrera en una ruta de 1km de largo. La tortuga paso a paso continuo y de manera estable a su máxima rapidez de 0,2m/s se dirige hacia la línea de meta. La liebre corre a su máxima rapidez de 8m/s hacia la meta durante 0,8km y luego se detiene para fastidiar a la tortuga. ¿Cuán cerca de la meta la liebre puede dejar que se acerque la tortuga antes de reanudar la carrera, que gana la tortuga en un final de fotografía? Suponga que ambos animales, cuando se mueven, lo hacen de manera constante a su rapidez máxima. (problema 9, pag 46, serway, sétima edición)
Solución
Vtortuga =0,2m/sVliebre=8m/s
200-d=0,2t d=8t
200-8t=0,2t
200= 0,2t+8t
200=8,2t
200/8,2=t
24,39m/2
d=8td=8*24,39= 195,12m
dTortuga=200-195,12=4,87m
Problema 10
Una superbola de 50g que viaja a 25m/s bota en una pared de ladrillo y robota a 22m/s. Una cámara de alta rapidez registra este evento. Si la bola está en contacto con la pared durante 3,5ms ¿Cuál es la magnitud de la aceleración promedio de la bola durante este intervalo de tiempo? Nota: 1ms=10-3s(problema 10, pag 46, serway, sétima edición)
Solución
m=50g a=(Vf-Vi)/tvi=25m/s a=(-22-25)/3,5x10-3
vf=-22m/s (rebota) a= -12428,5m/s2
t=3,5ms = 3,5x10-3s
Problema 13
Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acedo con la ecuación x=2+3t-1t2, donde x está en metros y t en segundos. En t=3s, encuentre a) la posición de la partícula b) su velocidad y c) su aceleración (problema 13, pag 47, serway, sétima edición)
Solución
a)x=2+3t-1t2
x=2+3*3-1*32
x=2m
b) V=x’=3-2t V=3-2*3
V=-3m/s
c) a=V’=-2m/s2
Problema 20
Un camión cubre 40m en 8,5s mientras frena de manera uniforme a una rapidez de 2,8m/s a) Encuentre la rapidez original y la aceleración (problema 20, pag 47, serway, sétima edición)
Solución
Vi=? a=? d=40m a=-2m/s2 vf=2,8m/s t=8,5
d=(Vf+vi)t 2
40=(2,8+vi)*8,5 2
Vi=6,61m/s
Vf=vi+at2,8=6,61+a*8,5-0,44=a
Problema 23
Un jet se aproxima para aterrizar con una rapidez de 100m/s y una aceleración con una magnitud máxima de 5m/s2 conforme llega al reposo. a)Desde el instante cuando el avión toca la pista, ¿Cuál es el intervalo de tiempo mínimo necesario antes de que llegue al reposo? b) ¿Este avión puede aterrizar en el aeropuerto de una pequeña isla tropical donde la pista mide 0,8km de largo? (problema 23, pag 48, serway, sétima edición)
Solución
Vf=0m/s a=-5m/s2 vi=100m/s t=? d=?
Vf= vi + a t0=100+-5t-100/-5=t20s=t
d=(Vf+vi)t 2d=(0+100)*20 2d=1000m (no puede aterrizar porq la pista es menor)
Problema 24
En t=0,un carro de juguete se pone a rodar en una pista recta con posición inicial de 15cm, velocidad inicial de -3,5cm/s y aceleración constate de 2,4cm/s2.En el mismo momento, otro carro de juguete se pone a rodar en una pista adyacente con posición inicial de 10cm, una velocidad inicial de +5,5cm/s y aceleración constante cero.
a) En que tiempo, si alguno, los dos carros tienen iguales rapideces?b) ¿Cuáles son las rapideces en dicho tiempo?c) ¿En que tiempo(s), si alguno, los carros se rebasan mutuamente?d) ¿Cuáles son sus ubicaciones en dicho tiempo?
(problema 24, pag 48, serway, sétima edición)
Solución
vi = 3,5cm/s vi=5,5cm/sa=2,4cm/s2 a=0cm/s2
a) La aceleración y la velocidad tienen diferente signo, el movil desacelera, se detienen e inicia un movimiento hacia la derecha
vf=5,5cm/s vi =-3,5cm/s a=2,4cm/s2 t?
vf=vi+at5,5=-3,5+2,4*t t=3,75s
b) las rapideces son 5,5m//s ya que uno es constantec) d = V0º t + ½º aº t2 d=v*td+5=-3,5t+½º 2,4º t2 d=5,5t
d+5=-3,5t+½º 2,4º t2
5,5t+5=-3,5t+1,2º t2
0=-9t+1,2º t2-5t=8,02m
d)
d=v*td=5,5*8,02= 44,05 d=44,11+15=59,11m de Xo
y debe ser la misma para el otro pero se puede comprobar si el problema esta bien resuelto
d = V0º t + ½º aº t2 = d = -3,5*8,02 + ½º 2,4º 8,022=49,11+10=59,11m de Xo
Problema 25
El conductor de un automóvil aplica los frenos cuando ve un árbol que bloquea el camino. El automóvil frena uniformemente con una aceleración de -5,6m/s2 durante 4,2s y hace marcas de derrape rectas de 62,4m de largo que terminan en el árbol ¿Con que rapidez el automóvil golpea el árbol? (problema 25, pag 48, serway, sétima edición)
Solución
t=4,2s a=-5,6m/s2 d=62,4m vf= ? vi=?
62,4 = V0º 4,2 + ½º -5,6º 4,22
(62,4+49,39)/4,2=Vi26,61m/s=Vi
Vf=Vi+atVf=26,61+-5,6*4,2Vf=3,09m/s
Problema 32
Speedy Sue, que conduce a 30m/s, entra en un túnel de un carril. En seguida observa una camioneta lenta 155m adelante que se mueve a 5m/s. Sue aplica los frenos pero sólo puede acelerar a -2m/s2 porque el camino está húmedo. ¿Habrá una colisíón? Establezca cómo llega a su respuesta. Si es sí, determine cuán lejos en el túnel y en que tiempo ocurre la colisión. Si es no, determine la distancia de acercamiento más próxima entre el automóvil de sue y la camioneta (problema 32, pag 49, serway, sétima edición)
Solución
d = V0º t + ½º aº t2 d=v*t155+d = 30º t + ½º -2º t2 d=5t155+5t = 30t - 1t2
0=25t - 1t2-155t=11,38s y t= 13,61s
hay dos tiempo positivos porque hay dos tiempos en los que la posición es la misma
para que no choquen el auto debe igualar la velocidad del otro así que
vf =vi +at5=30+-2tt=12,5s
Si hay colisión porque ocupa más tiempo para reducir la velocidad del de encuentro
d=vtd=5*11,38d=56,9m + 155 = 211,9m desde la entrada del túnel al choque
Problema 38Una bola se lanza directamente hacia arriba, con una rapidez inicial de 8m/s, desde una altura de 30m ¿Después de qué intervalo de tiempo la bola golpea al suelo?(problema 38, pag 49, serway, sétima edición)
Solución:
d = V0º t + ½º aº t2
-30=8t+½º -9,8º t2
0=30+8t+½º -9,8º t2
t=3,42s
Problema 39Un estudiante lanza un conjunto de llaves verticalmente hacia arriba a su hermana de fraternidad, quien está en una ventana a 4m arriba. Las llaves las atrapa 1,5s después con la mano extendida. A) ¿Con qué velocidad inicial se lanzaron las llaves? b)¿Cuál fue la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas? (problema 39, pag 49, serway, sétima edición)
Solución
d = V0º t + ½º aº t2
4=Vi*1,5+½º -9,8º 1,52
(4+11,02)/1,5=10,01m/s=viVf=vi+atVf=10,01+-9,8*1,5Vf=-4,69m/s (hacia abajo)
Problema 41Se golpea una pelota de beisbol de modo que viaja recto hacia arriba después de ser golpeada por el bat. Un aficionado observa que la bola le toma 3s llegar a su máxima altura. Encuentre a)la velocidad inicial de la bola y b)la altura que alcanza (problema 41, pag 49, serway, sétima edición)
Solución
Vf=vi+at0=vi+-9,8*3Vi=29,4m/s
d=(Vf+vi)t 2d=(29,4+0)*3 2d=44,1m
Problema 51 Un cohete de prueba se dispara verticalmente hacia arriba desde un pozo. Una catapulta le da una rapidez inicial de 80m/s a nivel del suelo. Después se encienden sus motores y acelera hacia arriba a 4m/s2 hasta que llega a una altitud de 1000m. En este punto sus motores fallan y el cohete entra en caída libre, con una aceleración de-9,8m/s2 a)¿Para que intervalo el cohete está en movimiento sobre el suelo? b)¿cuál es su altitud máxima? c)¿Cuál es la velocidad justo antes de tocar la tierra? (Necesitará considerar el movimiento mientras el motor funciona separado del movimiento en caída libre) (problema 51, pag 50, serway, sétima edición)
Solución
Mientras el motor funciona
d = V0º t + ½º aº t2
1000=80º t + ½º 4º t2
0= -1000+80º t + ½º 4º t2
t=10s (subida con el motor funcionando)
pero continua subiendo por el impulso, el valor de ese impulso es
vf=vi+at
vf=80+4*10vf=120m/s
de este punto al suelo
d = V0º t + ½º aº t2
-1000 = 120º t + ½º -9,8º t2
0=1000 + 120º t + -4,9º t2
t=31,06s
t total= 10+31,06=41,06s
Vf2=Vi2+2ad02=1202+2*-9,8*dd=734
734+1000=1734m es la altura maxima
Vf2=Vi2+2adVf2=1202+2*-9,8*-1000Vf=√34000Vf=184,39m/s hacia abajo
CLASE IIIUnidad 4
Movimiento en dos dimensiones
Vectores desplazamiento y velocidad
Si desde un satélite geoestacionario se toman dos fotos de un auto en la carretera con 4s de diferencia y se hace un montaje fotográfico veríamos el cambio de posición del auto en dos ejes
¿Cuál es el desplazamiento en coordenadas polares? ri + r = rf
r = rf - ri
Por componentes
X=5-2=3Y=3-4=-1
(3x-1y)ul
√(32+12)=3,16ul
Tan-1(-1/3) = -18,43º o 161, 57º
¿Cuál es la velocidad en coordenadas rectangulares?
V = d = (3x-1y)ul = (3/4 x -1/4 y ) ul/s t 4
De igual manera, de haber tenido un cambio de velocidad sería posible calcular la aceleración en función del tiempo.
Ejemplo 4.1 Serway Sétima edición
Una partícula parte del origen en t=0s con una velocidad inicial que tiene una componente x de 20m/s y otra componente y de -15m/s. La partícula se mueve en el plano xy y acelera en x a 4m/s2
a) Encuentre la expresión de la velocidad en cualquier tiempo en coordenadas rectangulares
Vy = const = 15m/s
Vx inicial= 20m/sax = 4m/s2 Vf=Vix+a*tt=t Vf=20+4tvf=?
R/ ((20+4t)i+-15j)m/s
b) ¿Cuál es la velocidad a los 5s en coordenadas polares?
((20+4t)i+-15j)m/s ((20+4*5)i+-15j)m/s(40i-15j)m/s
r=√(402 + -152)=42,72m/s
ϴ=tan-1(-15/40) = -20,55º
El ángulo está en el cuarto cuadrante y es negativo
c) Determine la posición en cualquier tiempo
D= vi*t+1/2 a t2
Para x Para y
X= vix*t+1/2 ax t2 Y= viy*t+1/2 ay t2
X=20t+1/2*4*t2 Y=-15t+1/2*0*t2
X= 20t+2t2 Y=-15t
R/((20t+2t2)i+ -15tj )m
Movimiento de proyectil
Un proyectil presenta movimiento rectilíneo uniforme en el avance y movimiento uniformemente acelerado al subir y bajar
El alcance o rango, tiene un valor máximo cuando se lanza a 45º, los lanzamientos con ángulos cumplementarios permiten el mismo alcance
R = vi2 sen(2ϴ)/g
Esta fórmula para determinar el rango, únicamente es funcional para problemas en los que el cuerpo viaja desde el lanzamiento sobre una superficie horizontal.
Ejemplo
Un golfista golpea una pelota con una velocidad de 15m/s y un ángulo de 60° en un campo plano
SoluciónLa velocidad inicial debe descomponerse
Vy = V senθVy = 15 sen 60Vy = 12,99m/s
Vx = V cosθVx = 15 cos 60Vx = 7,5 m/s
a)¿Qué altura máxima alcanza?
Vf2=vi2 + a*t02=132+2*-9,8*d0 =169+-19,6*d -169/-19,6=d8,6m=d
Logra una altura máxima de 8,60 m
b)¿Cuánto tiempo está en el aire?
Para determinar el tiempo en el aire, debemos recordar que por el tipo de movimiento, la velocidad con la que sale es igual en magnitud a la velocidad con la que llega al suelo.
Vf = Vi + at Note que se trabaja con -12,99 = 12,99 + -9,8.t la velocidad en Y-12,99-12,99 = -9,8t-25,98=-9,8t-25,98/-9,8 = t2,65s = t
c)¿Qué alcance logra?El alcance es un movimiento horizontal con velocidad constante (Vx), puede calcularse
de dos formas distintas
d = V°td = 7,5.2,65 d = 19,87m
R = Vo 2 sen(2 ºθ) Este método no pierde9,8 decimales
R= 15 2 sen (2º60) = 19,88m 9,8
d)¿Cuáles son las componentes rectangulares de la posición de la pelota a los 2,0 segundos?
Para obtener los componente de la posición, requerimos calcular la altura que lleva la pelota los 2,0 segundos y su alcance.
alcance (t=2)d = V°td = 7,5.2 d = 15m
h (t=2)d = Vit + ½ a t2
d= 12,99.2+ ½ –9,8.22
d= 6,38m
Las componentes son (15m X+ 6,38m Y)
¿Cómo se puede aumentar el alcance?
Se puede mejorar el alcance aumentando la velocidad inicial de la pelota o utilizando un ángulo de disparo de 45°
f) ¿Cuáles son las componentes rectangulares de la velocidad a los 1,5s? La velocidad horizontal siempre es constante La velocidad vertical se calcula
Vx=7,5m/s Vf=Vi + aº t
Vf=12,99+-9,8º 1,5
Vf= -1,71m/s
Las componentes rectangulares de la velocidad son 7,5m/s X + -1,71m/s Y
Ej Desde un precipicio de 45m de altura se dispara un proyecti a 20m/s con un ángulo de elevación de 30º, determine
Vy = 20 sen 30 = 10m/sVx = 20 cos 30 = 17,32 m/s
a) La altura máxima medida desde la base
Vf2 = Vi2 + 2 a d
02 = 102 + 2*-9,8*d
-100/-19,6 = d
5,1m = d
45+5,1 = 50,1m desde la base
b) Componentes de la posición en el suelo
dx? dy=-45m ( es el suelo)
dy = Vit + ½ a t2
-45 = 10*t + ½ -9,8 t2
0 = 10*t + -4,9 t2 + 45
t=4,21s t = -2,17s (no es valido)
dx= Vx*t
dx = 17,32*4,21
dx=72,91mc) Velocidad al llegar al suelo
Vx= 17,32m/s Vf2 = Vi2 + 2 a d
Vf2 = 102 + 2*-9,8*-45
Vf = √982
Vf = 31,33 m/s d) Angulo con el que golpea el suelo
el ángulo se obtiene a partir de las componentes de la velocidad, no de la posición
ϴ=tan-1 (Vy/Vx)
ϴ=tan-1 (31,33/17,32)
ϴ=61,06º
EjUna esfera que viaja a una velocidad desconocida sobre una superficie horizontal cae por un precipicio de 10 m de altura, si cae a 8m de la base del precipicio, ¿Cuál era la velocidad de la bola antes de salir por el precipicio
dy = Vit + ½ a t2 dx=Vx *t
10 = 0t + ½ -9.8 t2 8=Vx*1,42
0= -4.9t2 +0 t+10 5,63m/s = nVx
t=1,42s
Ej
Desde un precipicio de 6m de altura se lanza un proyectil a una velocidad de magnitud Vi con un ángulo ϴ, si tarda 2,5s en llegar al punto al 10m de la base, determine Vi y ϴ
Vy = Visen ϴVx = Vicos ϴ
dy = Vit + ½ a t2 dx=Vx*t
-6= Visen ϴ *2,5 + ½* -9,8* 2,52 10= Vicos ϴ*2,5
-6= Visen ϴ *2,5 +-30,625 10/ 2,5cos ϴ = Vi
-6= 10 * sen ϴ *2,5 +-30,625 2,5cos ϴ
-6=10 tan ϴ -30,625 10/ 2,5cos 67,89 = Vi
-6+30,625 = 10 tan ϴ 10,62m/s = Vi
24,625/10 = tan ϴ
2,46= tan ϴ
67,89 = ϴ
Movimiento circular uniforme
El móvil en este tipo de trayectoria, describe un trayectoria circular con rapidez constate, algunos conceptos importantes son:
Frecuencia= Es el número de vueltas que dé el móvil por unidad de tiempo, sus unidades en el sistema internacional son los hertz (Hz)
f=1/T
Periodo=Es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta (s)
T=1/f
Velocidad tangencial=Es la velocidad que lleva el móvil viajando sobre la superficie de la circunferencia(m/s)
V=d/t V=2πr/T V=2πrf
Velocidad angular= Es el cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo (rad/s)
w=2π/T w=2π*f V=w*r
Aceleración centrípeta= El cambio constante en la dirección de la velocidad tangencial origina la aceleración centrípeta, esta aceleración se dirige siempre al centro de la circunferencia
ac=V2/r ac=w2*r
Ej
¿Cuál es el diámetro de un circulo en el que un móvil gira en forma constate a 5 rad//s y 100m/s2?
ac=w2*r
100=52*r
100/25 =r
4=r Ø=8m
Movimiento circular uniformemente acelerado
Si el cuerpo gira cada vez a más velocidad significa que además de la aceleración centrípeta, aparece una aceleración tangencial. Esta aceleraciones se suman formando una aceleración resultante
aT= Vf-Vi t
Al existir un cambio en la velocidad angular asociado, se produce una aceleración angular α (rad/s2) , con fórmulas similares a las de la cinemática.
wf=wi+ α t
wf2 =wi2+2 α ϴ
ϴ= (wf+wi)t 2
ϴ=wi t + ½ α t2
La aceleración angular y la tangencial se relacionan entre si por medio del radio
aT= α*r
Una rueda de esmeril gira inicialmente con una velocidad angular de 6rad/s y recibe una aceleración constante de 2 rad/s2
a) ¿Cuál será su desplazamiento angular en 3s?
ϴ=wi t + ½ α t2
ϴ=6*3 + ½ *2*32
ϴ= 27 rad
b) ¿Cuántas revoluciones ha dado?
27 rad 1 rev = 4,3 rev 2π rad
c) ¿Cuál es la velocidad angular final?
wf=wi+ α t
wf=6+ 2*3
wf=12rad/s
d) Si el radio del esmeril es 10cm, a los 3s ¿Cuál es la aceleración total?
ar = aT + ac
aT= α*r ac=w2*raT=2rad/s2*0,1m ac=122*0,1aT=0,2 m/s2 ac=14,4m/s2
notese que ambas aceleraciones son perpendiculares
pol(0,2 ; 14,4)
14,4 m/s2 < 89,19°
Ejercicios recomendados cap 4
5, 13, 17, 21, 25, 27, 29
Problema 5 Un pez que nada en un plano horizontal tiene velocidad vi=(4i+1j)m/s en un punto en el océano donde la posición relativa a cierta roca es r1= (10i-4j)m. Después de que el pez nada con aceleración constante durante 20s su velocidad es vf=(20i-5j)m/s a)¿Cuáles son las componentes de la aceleración? b)¿Cuál es la dirección de la aceleración respecto a un vector unitario i c)Si el pez mantiene la aceleración constante, ¿Dónde está en t=25s y en qué dirección se mueve? (problema 5, pag 93, serway, sétima edición)
Solución
vi=(4i+1j)m/sx=r=(10i-4j)mt=20svf=(20i-5j)m/s
ax = vf-vi ay = vf-vi t t
ax = 20-4 ay = -5-1 20 20
ax=0,8m/s2 ay=-0,3m/s2
a= (0,8 i – 0,3j)m/s2
b)
pol(0,8 , 0,3) <-20,55°360-20,55=340°
c)dx = Vixt + ½ a t2 dy = Viyt + ½ a t2
dx = 4*25 + ½*0,8*252 dy = 1*25 + ½*-0,3*252
dx=350m dy=-68,75m
(350i-68,75j)+(10i-4j)=(360i+-72,75j)
Tan-1(-5/20) = -15°
Problema 13 Un proyectil se dispara en tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de proyección? (problema 13, pag 93, serway, sétima edición)
t en subir es la mitad del tiempo total en el aireVx =d = 3x t t d=(vf+vi)t
2
x=(0+Vy) * t2 2
x=Vy t 4
4x = Vy t
ϴ=tan-1(4x / 3x) = tan-1(4/ 3) t t
ϴ=53,13°
Problema 17 Un pateador debe hacer un gol de campo desde un punto 36m de la zona de gol, y la mitad de los espectadores espera que la bola libre la barra transversal, que tiene 3,05m de alto. Cuando se patea la bola deja el suelo con una rapidez inicial de 20m/s y un ángulo de 53º de la horizontal. ¿Por cuánto resulta insuficiente para librar la barra? ¿La bola se aproxima a la barra horizontal mientras aúns se eleva o mientras va de caída? (problema 17, pag 94, serway, sétima edición)
x=20cos53=12,0363y=20sen3=15,9727
d=V*t dy = Vit + ½ a t2
36=12,03*t dy = 15,9727*2,9909 + ½ -9,8*2,99092
36/12,03=t dy=3,9398m2,9909s=t
3,9398-3,05=0,889m
Problema 19Un patio de juego está en el techo plano de una escuela, 6m arriba del nivel de la calle. La pared vertical del edificio tiene 7m de alto y forma una barda de 1m de alto alrededor del patio. Una bola cae en la calle y un peatón la regresa lanzándola en un ángulo de 53° sobre la horizontal a un punto 24m desde la base en la pared del edificio . La bola tarda 2,2s en llegar a un punto vertical sobre la pared. a) encuentre la rapidez a la que se lanzó la bola. b) Encuentre la distancia vertical sobre la que libra la pared c) Encuentre la distancia desde la pared al punto en el techo donde aterriza la bola. (problema 19, pag 94, serway, sétima edición)
Vx=Vcos53°
a)d=Vx*t
24=Vcos53*2,2
24/(cos53*2,2)=V
18,12= V
b) dy = Viy*t + ½ -9,8*t2
dy = 18,12sen53*2,2 + ½ -9,8*2,22
dy=8,12m
8,12-7=1,12m
c) dy = Viy*t + ½ -9,8*t2
6 = 18,12sen53*t + ½ -9,8*t2
0=-4,9*t2 + 14,47t-6
t=2,45sd=Vx*t
d=18,12cos53*2,45
d=26,71m
26,71-24=2,71m
Problema 21 Un jugador de futbol patea una roca horizontalmente de un montículo de 40m de alto en un estanque. Si el jugador escucha el sonido del chapoteo 3s después ¿Cuál fue la rapidez inicial dada a la roca? Suponga que la rapidez del sonido es 343m/s. (problema 21, pag 94, serway, sétima edición)
dy = Viy*t + ½ -9,8*t2
-40 = 0*t + ½ -9,8*t2
t=2,857s
3-2,857=0,14s
T total=3s
V=d/t
343=d/0,14
49m=d
x=√(492-402)
x=√(801)
x=28,3m
v=d/t=28,3/2,85=9,90m/s
Problema 25El atleta rota un disco de 1kg a lo largo de una trayectoria circular de 1,06m de radio. La rapidez máxima del disco es 20m/s. Determine la magnitud de la aceleración radial máxima del disco. (problema 25, pag 94, serway, sétima edición)
r=1,06m m=1kg v=20m/s
ac=v2/r
ac=202/1,06
ac=377,35m/s2
Problema 27 El joven David, quien mató a Goliat, experimentó con hondas antes de derribar al gigante. Encontró que podría hacer girar una honda de 0,6m de longitud con una relación de 8 rev/s. Si aumentaba la longitud a 0,9m podría girar la honda sólo 6 veces por segundo. a) ¿Qué relación de rotación da la mayor rapidez a la piedra en el extremo de la honda? b) ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la piedra a 8rev/s? c) ¿Cuál es la aceleración centrípeta a 6 rev/s?(problema 27, pag 95, serway, sétima edición)
r=0,6m v=2π*r*ff=8rev/s v=2π*0,6*8=30,15m/s
r=0,9m v=2π*r*ff=6rev/s v=2π*0,9*6=33,92m/s (mayor velocidad)
b) ac=v2/r
ac=30,152/0,6
ac=1515m/s2
c) ac=v2/r
ac=33,922/0,9
ac=1278,4 m/s2
Problema 29 Un tren frena mientras entra a una curva horizontal cerrada, y frena de 90km/h a 50km/h en los 15s que tarda en cubrir la curva. El radio de la curva es de 150m Calcule la aceleración en el momento en que la rapidez del tren alcanza 50km/h. Suponga que sigue frenando a este tiempo con la misma relación.
Vi=90km/h 25m/sVf=50km/h 13,88m/sT=15sR=150m
ac=v2/r
ac=13,882/150
ac=1,28 m/s2
aT= vf-vi t
aT= 13,88-25 = 0,74 15
a=√(1,282 + 0,742) = 1,47m/s2
ϴ=tan-1(0,74/1,28) = 30° Preguntas teóricas adicionales
Coloque una F si la expresión es falsa y una V si es verdadera
Si se deja caer una piedra de un precipicio de 100m,
1) ( ) a la mitad de la caída lleva la mitad de la velocidad que tendrá en el fondo
2) ( ) Por cada segundo que pase su velocidad se incrementa en 9,8m/s
3) ( ) Al llegar al suelo su velocidad es cero
4) ( ) a la mitad de la caída lleva la mitad del tiempo que estará en el aire
5) ( ) el último segundo avanza más distancia que en cualquiera de los anteriores
6) ( ) Si se dejan caer de la misma altura una masa de 2kg y otra de 3kg llegan al suelo a la vez
7) ( ) Si se lanza hacia abajo una masa de 2kg a 2m/s y se deja caer otra de 3kg de la misma altura llega primero la de 3kg
8) ( ) Si se lanza un objeto al aire siempre en el punto más alto la aceleración es 0m/s
9) ( ) Si se lanza un objeto al aire a la misma altura la rapidez de subida tendrá la misma magnitud que la velocidad de bajada
10) ( ) Si en la luna se lanza un objeto al aire la aceleración con el que es atraído a la superficie es de -9,8m/s2
11) ( ) Si se lanza un proyectil a 100m/s con un ángulo de 20º, logra el mismo alcance que al ser lanzado a 70º
12) ( ) En el punto más alto la velocidad de un proyectil siempre es cero
13) ( ) En el eje horizontal la velocidad de un proyectil no se incrementa
14) ( ) Un proyectil que se dispara de una superficie horizontal tarda el mismo tiempo subiendo y bajando
15) ( ) Si un proyectil se dispara con un ángulo de 30º logra mayor altura que al ser dispara a 60º a la misma velocidad
16) ( ) Si un proyectil se dispara con un ángulo de 30º pasa menos tiempo en el aire que al se dispara a 60º a la misma velocidad
17) ( ) Si un proyectil se dispara desde una superficie horizontal, a la mitad del tiempo en el aire su componente de la velocidad vertical es cero
18) ( ) Si un proyectil se dispara desde una superficie horizontal con un ángulo de 30º, cae al suelo con el mismo ángulo en condiciones ideales
19) ( ) Si un proyectil se dispara desde una superficie horizontal con un ángulo de 45º , no hay modificación que permita mejorar el alcance
20) ( ) Para cualquier proyectil, en condiciones ideales, la componente horizontal de la velocidad siempre es constante
21) ( ) Un proyectil disparado desde una superficie horizontal, describe una trayectoria elíptica
22) ( ) Para un proyectil disparado desde una superficie horizontal, antes de la mitad del
tiempo en el aire, la magnitud de su velocidad vertical disminuye
23) ( ) Una bola rueda por una mesa horizontal y cae, el alcance de esta sólo depende de la altura de la mesa
24) ( ) Una bola rueda por una mesa horizontal y cae, la componente vertical de la velocidad inicial es cero
25) ( ) Si se dispara una flecha horizontalmente y desde la misma altura se deja caer una moneda a la vez, ambas llegan al suelo a la vez
26) ( ) La teoría de proyectiles puede utilizarse para resolver crímenes y accidentes de transito
27) ( ) Newton fue el primero en proponer que al dejarse caer dos objetos de diferente masa de la misma altura, caen a la vez
28) ( ) Una bola rueda por una mesa horizontal y cae, el tiempo en el aire sólo depende de
la altura de la mesa
Respuestas 1) F 2) V 3) F 4) F 5) V 6) V 7) F 8) F 9) V 10) F 11) V 12) F 13) V 14) V 15) F 16) V 17) V 18) V 19) F 20) V 21) F 22) V 23) F 24) V 25) V 26) V 27) F 28) V
Ejercicios adicionales
EjemploSe lanza una bola al aire verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10m/s. Si esta
regresa al mismo punto de lanzamiento. Determine a) el tiempo en el aire b) la altura máxima c) velocidad a los 0,3s de lanzada d) velocidad con la que regresa a la mano e) velocidad a 1m del suelo
a) el tiempo en el aire puede se calculado de inicio a fin o hasta el punto más alto
Vf = Vi + aº t-10 = 10 + -9,8 º t-20 = -9,8 º t-20/-9,8 = t2,04s = t (este es el tiempo total en el aire)
Vf = Vi + aº t0 = 10 + -9,8 º t-10 = -9,8 º t-10/-9,8 = t1,02s = t (este es el tiempo hasta el punto más alto, todo el tiempo en el aire es el doble)R= 1,02º 2 = 2,04s
b) la altura máxima también puede calcularse por dos métodosVf2 = V0
2 + 2ºaºd 0 = 102 + 2 º –9,8ºd-100 = -19,6ºd-100/-19,6 = d 5,1 m = d
Hmax = Voy 2 (fórmula de 19,6 proyectiles)
Hmax = 10 2 = 5,1m 19,6
c) velocidad a los 0,3s de lanzadaVf= Vi + aº tVf = 10 + -9,8º 0,3Vf=7,06m/s
d) Velocidad al regresar a la mano Es una pregunta teórica, vuelve a 10m/s hacia abajo
e) velocidad a un metro del suelo Vf2 = V0
2 + 2ºaºd Vf2 = 102 + 2º-9,8º1
Vf2 = √80,4 Vf = +/- 8,96m/s
En este caso ambas son respuestas ya que se la velocidad es (+)8,96m/s cuando sube y (-) 8,96m/s cuando baja.Ejemplo
Se lanza una piedra al aire verticalmente hacia arriba a 10m/s desde un precipicio de 100m. Determine a) el tiempo en subir b) el tiempo en el aire c) altura máxima medida de la base del precipicio d) la velocidad al llegar al suelo e) la velocidad a los 4s de lanzado
e) tiempo en subir
Vf = Vi + aº t0 = 10 + -9,8 º t-10 = -9,8 º t-10/-9,8 = t1,02s = t
f) tiempo en el aire
No podemos decir que es el doble del tiempo en subir ya que las distancias subida y bajada por la piedra no son las mismas
d = V0º t + ½º aº t2
-100=10º t + ½º -9,8º t2 (ecuación cuadrática, para resolverla 0=100 +10º t + -4,9º t2 igualamos a cero y ordenamos)
C B A
0 = -4,9t2 +10t + 100 A B Ct= -3,61s t=5,65s descartamos el valor negativo
g) altura máxima medida desde la base del precipicio Hmax = Voy 2 (fórmula de 19,6 proyectiles)
Hmax = 10 2 = 5,1m 19,6 pero esta altura sería desde la cima del
precipicio
R/ 5,1 + 100 = 105,1m
h) Velocidad al llegar al suelo
Vf2 = Vi2 + 2ºaºdVf2 =(10)2 + 2º –9,8º -100Vf2 = √2060
Vf = +/- 45,38m/s (tomamos la respuesta negativa, por moverse hacia abajo)
R/ Llega al suelo con una velocidad de 45,38m/s hacia abajo
i) Velocidad a los 4s de lanzadoVf = Vi + aº tVf = 10 + -9,8 º 4Vf = -29,2m/s
R/ A los 4s viaja a 29,2m/s hacia abajo
Ejemplo
Un tanque de agua tiene un agujero por el cual sale agua horizontalmente, si este se encuentra a 5 m sobre el suelo y el agua sale a 6m/s. Determine: a)Las componentes rectangulares de la velocidad inicial b) el tiempo que le toma al agua caer c) el alcance logrado por el agua d) las componentes rectangulares del la velocidad al llegar al suelo e) el ángulo con el que impacta el suelo.
Solucióna)Las componentes rectangulares de la velocidad inicial
Este es caso el agua cae desde el punto de altura máxima, por lo tanto la velocidad inicial del agua en el eje Y es de 0 m/s. La velocidad horizontal siempre es constante, por lo que las componentes obtenidas por teoría son (6m/sX+0m/s Y)
b) el tiempo que le toma al agua caer
d = vit + ½ a t2
-5 = 0 + ½ . –9,8 t2
-5 = 0 + -4,9t2
-5/-4,9 = t2
√1,02 = t2
1,00 = tc) el alcance logrado por el agua
Con este tiempo y el alcance podemos determinar la velocidad Vx, que es constante en todo el movimiento.
d = Vx°td = 6º1 d = 6m (para este tipo de proyectil no se puede usar la otra fórmula)
d) las componentes rectangulares del la velocidad al llegar al sueloLa velocidad horizontal siempre es constante
Vx=6m/s
La velocidad vertical se calcula
Vf=Vi + aº t
Vf=0+-9,8º 1
Vf= -9,8m/se) el ángulo con el que impacta el suelo.
tan-1 θ =Vy Se calcula con base en las velocidades, no con las distancias Vx
tan-1 θ =( 9,8 ) = 58,52º 6
Práctica para examenFisica 1 II 225Ing Andrés Ulate Ruiz
1. Un auto viaja a 150km/h con rapidez constante, pasa al lado de una patrulla de transito que se encuentra detenida, la patrulla decide seguirlo y acelera a 3m/s2 en forma constante ¿ A qué distancia del punto de partida de la patrulla alcanza al auto?
2. Desde un precipicio de 20m se lanza verticalmente hacia abajo un globo con agua a 5m/sA que distancia del punto de lanzamiento esta a los 2s de lanzadaCon que velocidad llega a la mitad del precipicioEn cuanto tiempo esta a 15m del suelo
3. Un avión vuela en forma horizontal a 200km/h a 1km de altura, desea lanzar una carga sobre un barco que viaja a 20km/h. A que distancia atrás del barco hay que soltar la carga para que caiga sobre el barco
4. Un cascarón esférico tiene un radio interno de 5 in y de diámetro externo de 0.5yd. Si su interior es hueco y la densidad del material es 2,6g/ cm3, ¿Cuál es la masa en libras del cascarón
5. Un agricultor necesita exportar café a Europa, su primer envío fue de 60 quintales y el segundo de 300 arrobas. El precio de mercado es $1,5 por libra. ¿Cuántos kilos adicionales envió la segunda vez? ¿ Cuántas veces mayor es el pago la segunda vez?. 1 quintal= 100lb=4 arrobas. $1=596 colones 1lb=453,6g
6. Una rueda gira inicialmente a 6 rad/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s. ¿Cuál es la velocidad angular después de 5s? ¿Cuántas revoluciones completará?
7. Determine el coeficiente de fricción estático mínimo necesario para que la caja de 3kg no sea arrastrada por la de 2kg
8. Un proyectil se dispara a 10m/s con 30º sobre una superficie horizontal hacia un blanco que esta a 6m del punto de disparo y a una altura determinada, ¿A qué altura debe estar el blanco para acertar en el?
9. Dos autos compiten, salen simultáneamente del reposo, el primero acelera a 5m/s2 y el segundo a 3m/s2. En cuanto tiempo la distancia entre ellos es de 25m. ¿Qué velocidad llevan en ese momento cada uno?
