α A⃗ -

B⃗

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 02 FÍSICA

01. En la expresión mostrada, determinar el valor de: x+y+z, donde A = densidad, F = fuerza, K = número, B = Velocidad y C = Área.

F= K Ax By Cz

P) 1 Q) 2 R) 3 S) 4 T) 5Resolución:A = L- 3 M ; F = L M T – 2 ; K = 1 ; B = L T -1 ; C = L 2

F=K A xB yC z

LMT−2=(1 ) (L−3 M )x ( LT−1 )y (L2 )z=L−3x M x . Ly T− y . L2 z

M=M x→x=1;T−2=T− y→ y=2 ; L=L−3x + y+2 z→z=1∴ x+ y+z=1+2+1=4

Respuesta: (S)

02. En la ecuación homogénea hallar [x] si:

h=4 K ( x−m )3

3 t 2 +Vy

Dónde: m = Masa; t = Tiempo; h = Altura; V = VelocidadP) M Q) MT1 R) MT2 S) MT2 T) MT3

Resolución:

x−m→ [ x ]=MRespuesta: (P)

03. La ecuación dimensional de C en la expresión; donde v = velocidad; m = masa; e = energía; t = temperatura; PO = potencia1.

P=Po(e −mV 2

2CT E−1 )P) 1 Q) R) 1 S) L T) M 1

Resolución:

mV 2

CT E=1→ [C ]=mV 2

T E= M L2T−2

θ L2MT−2=θ−1

Respuesta: (R)

04. Para la siguiente fórmula: 2 H=( a2bx

2c y ); donde : H = altura ; b = radio ; a =

velocidad ; c = aceleración, sea dimensionalmente correcta, el valor de “x + y” está contenido en la alternativa:P) 2 Q) 1/2 R) 1 S) 0 T) 3

RESOLUCIÓN (A)

H = L H=( a2bx

c y )⇒LT o= L2T−2Lx

Ly T−2 y =L2+ x− y T−2+2 y

b = La = L T -1 T : 0 = - 2 + 2y ⇒ y = 1c = L T -2 L : 1 = 2 + x – y ⇒ x = 1 – 2 + 1 ⇒ x = 0 x + y = 1 + 0 = 1

Respuesta: (R)ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 03 FÍSICA

05. Un objeto que realiza un movimiento periódico tiene la siguiente ecuación:

X =A e t .cos ( t + )

Donde X es la posición, t el tiempo y e 2,82. Determine la dimensión de [A ]. P) L T 2 Q) L T 1 R) L2 T 1 S) L 2 T 2 T) L 2 T 1

Resolución:Los exponentes son adimensionales:

[X ]=A e−γ t→L=[A ] (1 )→ [A ]=L−γ t=1→ [−1 ] [γ ] [ t ]=1→ [γ ]=T−1

Los ángulos son adimensionales:

ωt=∅→ω=T−1

∴ [Aγ ω ]=LT−1T−1=LT−2

Respuesta: (P)

06. A es un vector de módulo igual a 8; se le resta otro perpendicular a él, de módulo igual a 6. El módulo del vector diferencia y el ángulo que este forma con el vector A , están contenidos en la alternativa:P) 11,7 ; 30º57’ Q) 12,8 ; 43º15’ R) 17 ; 40º S) 10 ; 37º T) 17 ; 50ºRESOLUCIÓN: (P)

|A⃗|=8|B⃗|=6 ;|⃗A−B⃗|=? ; α = ?

|A⃗−B⃗|=√A2+B2=√82+62=√64+36=√100=10

tanα=C .OC . A

=68=0,75α=arctan0,6=36o86 ,=37o

A⃗

B⃗

Respuesta: (S)

07. Dos vectores de 14u y 30u dan como resultante un vector de módulo 40. Hallar el ángulo que hace el vector resultante con el de menor modulo.P) 53º Q) 16º R) 37º S) 72º T) 53º/2

Resolución:

R2=A2+B2+2 ABcos θ402=(14 )2+(30 )2+2 (14 ) (30 )cosθ

cosθ=1600−10962 (14 ) (30 )

=504840

=35→θ=53o

Respuesta: (P)ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 04 FÍSICA

08. Encontrar la resultante de los vectores mostrados P) C⃗

Q) 2 C⃗R) d⃗S) 3 d⃗T) 3 C⃗

Resolución:

R=a⃗+b⃗+ c⃗+ d⃗+e⃗+ f⃗ + g⃗ →c⃗=a⃗+ b⃗+e⃗ → c⃗= e⃗+ f⃗ + g⃗R=c⃗+ c⃗+ c⃗=3 c⃗

Respuesta: (T)

09. El módulo de los vectores mostrados, si A = 5 y B = 10, es (el ángulo entre A y B es 60o) P) 52,4 FQ) 41,8R) 37,7 E A CS) 22,9T) 18,3 D BResolución:R = A + B + C + D + E + F - - - - (1)Como: A + C = B y D + E + F = ASustituyendo en (1) se tiene:R = B+ B + A = A + 2B = 5 + 2(10) = 5 + 20

|R⃗|=√ (5 )2+(20 )2+2 (5 ) (20 )cos 60o=√25+400+2 (100 ) 12=√525=22,9

Respuesta: (S)

10. En el sistema vectorial mostrado, la resultante es nula. Halle la medida del ángulo “” y el módulo del vector F.P) 30º y 15Q) 37º y 20R) 37º y 15S) 37º y 25T) 53º y 15

Resolución:

F senθF cosθ

= 912

→tg θ=34→θ=37o

F cos 37o=12→F=12(5)

4=15

Respuesta: (R)ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 05 FÍSICA

11. Si la figura es un paralelogramo. Hallar la expresión de la resultante.

P) 2(A +B )

Q) 2(A -B )

R) 3(A +B )

S) (A +B ) / 2

T) (A -B ) / 2Resolución:

2 A⃗+2 B⃗

2( A⃗+ B⃗) Respuesta: (P)

12. Si la ecuación es dimensionalmente correcta y "Z" es volumen, las dimensiones de "A" son:A + B² + C² = D + Z/C + 1/EP) L² Q) L R) L³ S) L- 2 T) L- 1

Resolución:A + B² + C² = D + Z/C + 1/EEntonces: C² = Z/C Z = C3 ; como Z = L3 → C3 = L3 → C = L

B

B

B

B

A = C² = L²Respuesta: (P)

13. Las ecuaciones dimensionales de P y Q en la siguiente expresión homogénea es:

P (m2−n2)1/2

b13−b2

3 =E(t+ f

Q)

2

(d1−d2)2K

+ hf(m+d1)

2

Donde: m = masa; t = tiempo; h = altura; f = frecuencia; E = energía; b 1= aceleraciónP) M-3L4T-7 ; T-2 Q) M-3L4T-5 ; T-2 R) M-3LT-3 ; L2

S) M-3L4T-6 ; T2 T) M-3L4T-6 ; T-1

Resolución:m = M ; t = T ; h = L ; f = T -1 ; E = L2 M T -2 ; b1 = L T -2

t+ fQ→T=T−1

Q→Q=T−2

Por principio de HomogeneidadP (m2)1 /2

b13 = hf

(m)2→

P.mb1

3 = hf(m)2

→P=h . f . b1

3

m3

P= L .T−1 . L3 . T−6

M 3 →P=L4 .M−3 . T−7

Respuesta: (P)ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 06 FÍSICA

14. En la siguiente expresión: x = DWAh

, donde D = densidad; W = Trabajo; A =

Área; h = altura; el valor de la ecuación dimensional de “x” está indicado en la alternativa:P) ML- 1T - 3 Q) ML T - 2 R) MLT S) ML2T - 2 T) MResolución:D = L- 3 M ; W = L2.M.T -2 ; A = L2 ; h = L

[X ]= L−3 M . L2M T−2

L2 . L

10. Dadas las condiciones: W = trabajo; m = masa ; v = velocidad; h = altura; g = aceleración; P = potencia; A y B son dimensionalmente desconocidas; α

exponente desconocido; las dimensiones que debe tener Q = Aα.α√B para que la

expresión W = 0,5 mvα + Agh + BP sea dimensionalmente correcta, están indicadas en la alternativa: P) M2T1/2 Q) M1/2 T3/2 R) LT3/2 M2/3 S) M3/2T5/2 T) MT-1

Resolución: (P)W = L2.M.T -2 ; m = M ; V = L.T -1 ; g = L.T -2 ; H = L ; P = L2.M.T -3

W = 0,5.m.V α + A.g.H + BP 1 = 2 : M.Lα. T-α = L2.M.T -2 → α = 2 1 2 3 4 1 = 3 ; L2.M.T -2 = A.L.T-2.L → A = M 1 = 4 ; L2.M.T -2 = B.L2.M.T-3 → B = T

Sustituyendo valores: Q=Aα α√B=M 2√T=M 2 .T 1/2

Respuesta: (P)

16. En el sistema de vectores mostrado M y N son puntos medios de los respectivos lados. Expresar X⃗ en términos de A⃗ y B⃗

P) A⃗−B⃗

6

Q) A⃗−B⃗

4

R) A⃗−B⃗

3

S) A⃗−2⃗ B

3

T) 2 A⃗−3 B⃗

6

Resolución: A⃗B⃗+3 a⃗+3 b⃗= A⃗

A⃗−B⃗=3 (a⃗+ b⃗ ) 2 a⃗

A⃗−B⃗=3 ( X⃗ ) a⃗

X⃗= A⃗−B⃗3

b⃗ X⃗ N

Respuesta: (R)

2 b⃗ B⃗

MANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 07 FÍSICA

17. Si AB = 4cm y CD = 3cm; entonces el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados es:

P) 1cmQ) 5cmR) 7cmS) 10cm

R=√62+82=10

R = 2 A + 2D = 2(3) + 2(4)= 6 + 8C + X = D

R = A + A + X + D – X + D

X

A + X = B

X

C

DB

A

R=A+B+C+D

44

33

R=√82+62=10

A

B

D

T) 14cmResolución:

Respuesta: (S)

18. En la figura: el vector D, expresado en función de los vectores A y B, está indicado en la alternativa:P) √2( A + B) /2

Q) 8√2¿)

R) 4√2 A x |D|=x=A+BS) 4√5(A+B) xT) 4√10 Resolución:

u= A+B√ x2+ x2

= A+Bx√2

. √2√2

=√2 ( A+B )2 x

|D|=x y u= D|D|

→D=u .|D|

D=√2 (A+B )2x

. x=√2 ( A+B )2

Respuesta: (P)

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 08 FÍSICA

19. Sabiendo que la expresión: n√ E1+E2+ .. . En

An+Bn+1+Cn+2+VTiene como unidad el

segundo, entonces la unidad de:

7n12√ A B

C es: siendo: Ei = energía / i = 1;2;3:…;n

V = potencia

P) unidad de potencia Q) unidad de energía R) unidad de potencia elevado al cuadrado S) unidad de velocidad elevado al cubo T) unidad de energía elevado al cuadrado

Resolución:

n√ E1+E2+ .. . En

An+Bn+1+Cn+2+V=T→

EV=T n

→L2 MT−2

L2 MT−3=T n→Tn=T→n=1

i) An=V→ A=L2MT−3

ii) Bn+1=V→B2=L2M T−3→B=√L2M T−3=LM12T

−32

iii) Cn+2=V →C3=L2MT−3→C=3√L2M T−3=L

23 M

13 T−1

7n12√ A B

C=

712√ L2 MT−3 . L M

12T

−32

L23 M

13T−1

=

712√L7

3 M76T

−72 =L4M 2T−6=(L2 MT−3 )2

Respuesta: (R)20. La siguiente expresión da la magnitud de la velocidad de una partícula, en

función del tiempo “ t ”1: V = A1 Cos(2 A2 t) + A3 sen(A4t2) + A5 t3

La dimensión de:

K=

A1A5

A 2A3 A4

Es:P) LT Q) LT 1 R) LT 2 S) LT 3 T) LT 4

Resolución: V = A1 Cos(2 A2 t) + A3 sen(A4t2) + A5 t3

Los ángulos son adimensionales:

2 A2t=1→A2=T−1

A4t2=1→A4=T−2

V=A1 (1 )→A1=LT−1

C

A = 8√2

B = (-2, -1)

5(2) = 10

4(2) = 8

3(2) = 6

37o8- 8

- 2

45o

- 1

V=A5t3 (1 )→A5=LT−4

V=A3 (1 )→A3=LT−1

K=A1 A5

A2 A3 A4

=(LT−1 ) (LT−4 )

(T−1 ) (LT−1 ) (T−2 )=LT−1

Respuesta: (Q)ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 09 FÍSICA

21. El valor de θ para que la resultante del siguiente sistema: se ubique en la dirección del eje x, está indicado por la alternativa: P) 12ºQ) 15ºR) 30ºS) 45º T) 60ºResolución:

Respuesta: (Q)

22. En el sistema de vectores. Si el vector resultante tiene una magnitud de 10u y una dirección de 37°; entonces el vector c⃗ es:

P ¿13 i⃗−16 j⃗

Q ¿11 i⃗−2 j⃗

R ¿18 i⃗− j⃗

S¿15 i⃗−4 j⃗

T ¿18 i⃗+3 j⃗

Resolución:

R⃗=A⃗+B⃗+C⃗→8 i⃗+6 j⃗=−8 i⃗+8 j⃗−2 i⃗− j⃗+C⃗

R⃗=18 i⃗− j⃗Respuesta: (R)

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORIAL 10 FÍSICA

23. En un experimento de laboratorio se determina que un sistema físico almacena energía E proveniente de una cierta variable α; E = K (α). El gráfico E versus α es una recta cuya pendiente tiene las mismas dimensiones que la constante de

Hooke.(F = K . x) Entonces la dimensión de √∝ es: F = fuerza ; x = metros)

P) L-1 Q) L R) L2 S) L3 T) √LResolución:E : energía = L2 M T -2 [F] = [K] . [x] ⇒ L M T -2 = [K] . L ⇒ [K] = M T -2

F : fuerza = L M T -2 X : metros = L [E] = [K] [α] ⇒ L2 M T -2 = M T -2 [α] ⇒ [α] = L2

√∝=√L2⇒ √α=LRespuesta: (Q)

24. Dado los vectores A; B y C de magnitudes; 2√2 ; 5 y 2, cuyas direcciones respectivas son: -45º; 37º y 180º. Determine el modulo del vector A+3B-5C: P) 20Q) 25R) 30 S) 35T) 40

24. se tiene tres vectores A; B y C. si se sabe que el vector A es ortogonal con el vector B y a su vez este último forma ángulo de 67º con el vector C, entonces el módulo de la resultante, sabiendo que A=80N; B=60N C=100N, es:P) 100NQ) 60NR) 80NS) 140NT) 20NResolución:

60º

3

√3√3

X45º

θ

Y

30º30º

√3 .

√3

3

√3

X45º

θ

Y

30º + Θ + 45º = 15º30º

√3 .

3

X45º

Θ

Y