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Fisica Subnucleare di Gauge. Università di Padova II anno laurea specialistica T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011 Tommaso Dorigo [email protected] Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707. http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor. Struttura del corso e logistica. - PowerPoint PPT Presentation
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Fisica Subnucleare di Gauge
Università di Padova
II anno laurea specialistica
T.Dorigo / U.Gasparini, AA 2010/2011
Tommaso [email protected]
Stanza 3L0, tel. 049-8277230, 346-8671707.http://www.science20.com/quantum_diaries_survivor
Struttura del corso e logistica• 40 ore in 8 settimane di 5 ore ciascuna (mercoledì 15.30-17.15, giovedì 14.30-
16.15, venerdì 14.30-15.15)– 20-22, 27-29 ottobre; 3-5, 10-12, 17-19, 24-26 novembre; 1-3, 8-10 dicembre– solo una settimana di “buffer” per lezioni mancate (13-17 dicembre)– 6 di queste settimane di corso le tengo io; 2 le terrà il prof. Ugo Gasparini
• Taglio “sperimentale”– Si danno per acquisite le nozioni del corso di Riccardo Brugnera– L’enfasi non è sui calcoli ma sui fenomeni fisici e la loro interpretazione
• Trasparenze distribuite alla fine di ogni parte (5 parti in totale)
• Esercizi di complemento– siete consigliati a provarli prima della lezione successiva– possono essere chiesti all’esame (solo orale)
• E-mail e numero di telefono vi sono richiesti per potervi avvertire di eventuali assenze improvvise o altre comunicazioni
– Mandatemeli al più presto a [email protected] ! – Subject: Fisica Subnucleare
Miscellanea• Il corso ha un taglio sperimentale enfasi sulla fenomenologia e le indagini
sperimentali, quando possibile– fate attenzione ai (pochi) valori numerici di osservabili che incontreremo– è difficile farmi arrabbiare, ma un modo è venire all’esame a dire che il quark b ha una
massa di 30 GeV (è successo a due vostri colleghi in passato)• Nel corso cercherò di inserire alcune nozioni di base di statistica e discussione delle
problematiche sperimentali nella stima delle grandezze misurate– non compaiono esplicitamente nel programma, ma sono comunque richieste
• Le parti I, II, III sono abbastanza “standard” – non ascolterete nulla che non possiate rileggere in forma equivalente nei testi consigliati; le parti IV e V contengono materiale che non trovate facilmente altrove
• Durante la lezione siete fortemente invitati a interrompere per chiedere maggiori spiegazioni o quant’altro
– chi fa una domanda dimostra ignoranza solo momentaneamente; chi non la fa rimane ignorante per sempre.
– Non sono un’enciclopedia! Potrò in casi particolari rimandare la risposta alla lezione seguente.
– se vado troppo veloce o troppo lento DITELO!
• Per le lezioni di 2 ore, preferisco farle tutte di fila senza intervallo.
• Infine una precisazione...
Mi presentoRicercatore INFN, partecipo all’esperimento CMS al Large Hadron
Collider del CERN dal 2001, e all’esperimento CDF al Tevatron di Fermilab (Chicago) dal 1996.
Mi occupo di ricerche di fisica di alto PT: quark top, bosone di Higgs, nuova fisica
Sono anche membro di:– CMS Statistics Committee Board– CDF Publication Review Group
Tengo da 5 anni un blog dove cerco di spiegare la fisica delle particelle in maniera semplice
Sommario
1) Dal modello a partoni alla QCD– Diffusione, deep inelastic scattering, funzioni di struttura, Bjorken scaling,
Lagrangiana di QCD, il colore, violazioni di scaling, rinormalizzazione e running di s
2) Dalle interazioni deboli al modello GSW– La teoria V-A, Fermi e GT transitions; determinazioni della costante di Fermi;
correnti cariche e neutre
3) Il Modello GSW e i suoi tests sperimentali– sin2w dal neutrino scattering, correzioni radiative, fisica della Z, interferenza e
asimmetrie a LEP, misure a LEP II
4) La rottura della simmetria e il bosone di Higgs– modello di Goldstone, meccanismo di Higgs, Lagrangiana del Modello
Standard, fenomenologia dell'Higgs, ricerche sperimentali, stato e prospettive
5) Fisica ai colliders adronici– fisica ai colliders adronici (Tevatron e LHC), evidenze indirette del top, ricerca
e proprieta' del top quark e bosoni vettori, ricerche di nuova fisica, supersimmetria, limiti sperimentali e prospettive
Testi consigliati
• F. Halzen, A.D. Martin, “Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics”, Wiley 1984
• W.E. Burcham, M. Jobes, “Nuclear and Particle Physics”, Longman 1995
• R.K. Ellis, W.J. Stirling, B.R. Webber “QCD and Collider Physics”, Cambridge U.P. 1996
– Cap. 8, 10, 11
• Appunti dalle lezioni (specie per le parti 4 e 5): disponibili alla fine di ogni parte
• Altri testi utili (livello più avanzato):
– L.B. Okun, “Leptoni e Quarks”, Ed. Riuniti 1986• Cap.19,20
– F. Mandl, G. Shaw, “Quantum Field Theory”, Wiley 1984• Cap. 11,12,13
– J.F. Donoghue, E. Golowich, B.R. Holstein, “Dynamics of the Standard Model”, Cambridge U.P. 1992
• Cap.15
PARTE PRIMADeep Inelastic Scattering e QCD
• Brevi richiami di QED, l’eq. di Dirac, quadricorrente, matrice di transizione
• Diffusione elastica, scattering elettrone-muone, variabili di Mandelstam
• Scattering elettrone-protone e fattori di forma• Scattering inelastico; Bjorken scaling; relazione di
Callan-Gross• Struttura a quark dei nucleoni• La QCD e il colore. Violazioni dello scaling• Running di s e rinormalizzazione
Invarianza di gauge U(1) e QED• La costruzione della Lagrangiana del Modello Standard verrà vista nella
parte IV del corso; tuttavia partiamo proprio con un accenno alla sua proprietà più fondamentale in quanto è alla base dell’interazione elettrone-fotone che ci serve a descrivere lo scattering
• Alla base di tutto c’è la richiesta FISICA che i campi spinoriali che descrivono i fermioni, che dobbiamo rappresentare con funzioni complesse, descrivano la stessa fisica indipendentemente da una fase arbitraria:
• La Lagrangiana di QED per un elettrone libero
(da cui )ci assicura che ciò valga.
• La famiglia di trasformazioni di fase U() = eiforma un gruppo unitario Abeliano U(1). La simmetria sottostante delle funzioni d’onda fisicamente implica la presenza di una quantità non misurabile. Possiamo quindi “fissarla”: una volta deciso il valore di , esso vale in tutto lo spazio.
GLOBAL GAUGE INVARIANCE.• Va notato che sarebbe ancora meglio per la teoria se potesse variare da
punto a punto senza cambiare la fisica: =(x).
)()( xex i
mi L
(1.1)
(1.2) 0)(
mi
• Se vogliamo invarianza di gauge locale, ci serve che L rimanga la stessa per
• Questo non funziona, perché la derivata di (x) compare nella trasformazione.Possiamo imporre la “non fisicità” della fase arbitraria indipendentemente in tutto lo spazio solo se modifichiamo il modo in cui deriviamo il campo, introducendo la derivata covariante
ove A trasforma secondo
• La proprietà del campo A garantisce che L è ora invariante di gauge locale (esempio 1)– Abbiamo avuto bisogno di A per “compensare” le differenze di fase da punto
a punto. Dato che possiamo pensare di dover compensare la fase a distanze arbitrarie, il campo A ha range infinito! Inoltre esso non può avere un termine di massa nella Lagrangiana, per non rompere di nuovo la invarianza di gauge locale.
Discuteremo in dettaglio queste proprietà e le implicazioni fra alcune settimane.
• L’invarianza di gauge locale implica che i nostri fermioni interagiscano, con intensità proporzionale al quadrato della carica elettrica. La Quantum Electrodynamics si basa dunque su una invarianza di gauge U(1) locale.
ieAD
AA
)()( )( xex xie (1.3)
(1.4)(1.5)
La QED è quindi il “prototipo” di teoria quantistica di campo di gauge, basata sul gruppo abeliano U(1).La QED descrive l’interazione elettromagnetica tra particelle cariche ‘point-like’ di spin ½ ( e.g. elettroni, muoni, quarks, la cui equazione del moto “libera” è data dall’ eq. di Dirac) mediata dal fotone, il quanto del campo elettromagnetico A.
matrici di Dirac:
0
0
k
kk
10
010
01
101
0
02 i
i
10
013[ k matrici di Pauli: ]
L’equazione del moto di un elettrone (carica elettrica -e ) in presenza di un campo e.m. è
0])([
meAi
dove A = ( , A) è il quadri-potenziale del campo e.m. :
t
AE
AB
(1.6)
(1.7)
Generalità sullo scattering• Lo scattering di elettroni da una regione di carica elettrica è un
metodo di indagine della sua struttura interna– si può rivelare sia l’angolo di scattering che l’energia finale dell’elettrone
esprimibili in funzione del quadrimomento trasferito, q– si esprime la sezione d’urto di scattering , differenziale nell’angolo
solido d, in relazione alla sezione d’urto per lo scattering da una sorgente puntiforme di carica
• Il rapporto fra le due fornisce informazioni sulla distribuzione incognita di carica, espresse in funzione del quadrimomento trasferito q funzione di struttura
• Vedremo in maniera formale come si calcolano le funzioni di struttura per gli adroni, e scopriremo che lo scattering ad alta energia (“deep inelastic”) ci permette di descrivere gli adroni in termini dei loro costituenti
• La descrizione estesa del calcolo è utile in quanto il DIS è a tutt’oggi utilizzato in esperimenti di alta energia (PDF, fisica dei neutrini, fisica elettrodebole di precisione...)
Concetti di base per lo scattering di elettroni
Siamo interessati al processo di diffusione tra due fermioni carichipuntiformi, ad esempio: e-e- e-e-, e-- e-, e-q e-q.
Per illustrare la tecnologia di indagine, calcoleremo lo scatteringelettrone-muone, che ne è l’archetipo anche se non si misura direttamente!
Nella teoria perturbativa dello scattering da un potenziale, l’ampiezza di transizione tra uno stato iniziale (spinore i con 4-impulso (Ei,pi) ) ad uno stato finale (spinore f con 4-impulso (Ef,pf) ) è data da:
xdxxVxiTifif
4)()()( (1.9)
dove V(x) è il potenziale che perturba l’Hamiltoniana di particellalibera Ho : H = H0 + Ve si è introdotto lo spinore coniugato 0
(la quantità è definita positiva e ha il significato di una densità di probabilità)
0
)()( xVAemi
In QED, per la quale l’eq. del moto è:
(1.6)
il potenziale è: AexV )(
ossia:
xdxAxji
xdxxAxieTifif
4
4
)()(
)()()(
)()()( xxexj if
dove si è introdotta la “corrente elettromagnetica”:
(1.10)
(1.11)
i(x) f (x)
e- e-
A(x)
Che abbia il significato fisico di densitàdi 4-corrente j= (,j) deriva dal fatto che vale l’eq. di continuità , come si può verificare dall’eq. di Dirac e dalla sua equazione aggiunta per lo spinore coniugato (esempio 2)
)()()( xxexj if 0
j
Nello scattering elettrone-muone, possiamo considerare il campo A
come il 4-potenziale del campo e.m. associato alla presenza del muone: la sorgente del campo è la corrente e.m. del muone:
)()()( xxexjmuonmuon
muon
i(x) f (x)e- e-
A(x)
muon(x)
k k’
p p’
4-impulsoiniziale dell’elettrone
4-impulsoiniziale del muone 4-impulso finale
Vediamo come si esprime il propagatore del campo A.
La relazione tra il campo e la sua sorgente jmuon è datadall’ eq. di Maxwell, espressa nella gauge di Lorentz
0
A
)()(2
2
2 xjAt
muon
(1.12) (c = 1)
Al primo ordine della teoria perturbativa, possiamo prendere per jmuon la soluzione del campo muon che viene dalla eq. libera di Dirac:
ipx
muonmuonepux )()( )( xpEtxppx
ossia: xppi
muonmuonmuonmuon
muon
epupuexxexj )'()()'()()()(
= q (4-momentotrasferito nel processo)Nota: la conservazione del 4-impulso, k+ p = k’+p’
implica che vale q = p’-p = k-k’
Da tale soluzione libera, si vede che )()( 2
2
2
2 xjqjt
muonmuon
)()(
22
2
2 xjq
xj
tmuon
muon
e confrontando con (1.12) si trova 2/)()( qxjxAmuon
L’ampiezza di transizione, al primo ordine perturbativo, è allora:
xdq
xjxjixdxAxjiT
muon
if
4
2
4 )()()()(
Questa esprime il campo elettromagnetico in termini della sua sorgente,la densità di quadricorrente del muone.
xppi
muonmuonmuonmuon
muon
epupuexxexj )'()()'()()()(
Esprimendo anche la corrente dell’elettrone in termini di soluzione dell’equazione di particella libera di Dirac:
ikxe ekux )()(
)()()( xxexj
si ha:
if
muonmuonee
xppi
muonmuon
xkki
ee
muon
if
Mpkpki
pupuq
kukupkpkie
xdepupueq
ekukuei
xdq
xjxjiT
)''()2(
)()'(1
)()'()''()2(
)()'(1
)()'(
)()(
44
2
442
4)'(
2
)'(
4
2
dove si è definito l’ elemento di matrice di transizione:
)]()'()][()'([2
2
pupukukuq
eM
muonmuoneeif
(1.13)
Il calcolo dell’elemento di matrice nel caso di proiettili senza polarizzazione netta comporta prendere il modulo quadro, mediato sugli spin iniziali, e sommata sugli spin finali (se questi non vengono osservati):
I tensori della corrente di elettrone e muone sono
Per la corrente dell’elettrone, che si riduce usando le proprietà delle matrici gamma, dobbiamo allora calcolare
per la quale ci servono le relazioni di completezza degli spinori. Con brevi calcoli (esempio 3) si trova
muonespin
BA
LLq
eM
ssM
4
422
)12)(12(
1
*
*
)]()'([)]()'([2
1
)]()'([)]()'([2
1
pupupupuL
kukukukuL
spinmuon
spinee
)'()()()'(2
1 )'()()(
'
)'(
kukukukuLs
s
ss
s
s
e
)()'(2
1
)()()'()'(2
1 )()(
'
)'()'(
mkmkTr
kukukukuLs
ss
s
ss
e
Quindi ci serve calcolare la traccia del prodotto di quattro matrici. Poiché la traccia di elementi con un numero dispari di matrici gamma è nulla, rimangono solo due termini:
e con i teoremi di traccia si trova (esempio 4):
Lo stesso calcolo, per il tensore della corrente muonica, fornisce la analoga espressione
Inserendo nell’elemento di matrice, e trascurando i termini proporzionali alla massa dell’elettrone, si ottiene (esempio 5):
]')')('())(''[(8 2
4
42
kkMpkpkpkpkq
eM
][2
1][
2
1 2 TrmkkTrLe
])'(''[2 2
gmkkkkkkLe
])'(''[2 2
gMppppppL
muon
Per procedere dobbiamo scegliere un sistema di riferimento. Risulta comodo quello “del laboratorio” (difficile con muoni!), in cui il “bersaglio” è a riposo.
Con alcuni calcoli (esempio 6) si trova l’espressione:
Raccogliendo un furbo fattore 2M2EE’ e tenendo conto che
q2 = -2k*k’ ~ -2EE’(1-cos) = -4 EE’ sin2/2,
e che l’energia del fotone è = E-E’ = -q2/2M, si ottiene infine (esempio 7)
]2
1'2)'(
2
1[
8 2222
4
42
qMMEEEEMqq
eM
2sin
22cos'2
8 2
2
2
22
4
42
M
qEEM
q
eM
k = (E,k)
k’ = (E’,k’)
q=(,q)
p = (M,0)
p’ = (E’,p’)
• Abbiamo ottenuto l’elemento di matrice dell’interazione e.m. fra un elettrone e un muone (o un altro fermione puntiforme di massa M), mediato sugli stati di spin
• Da questa espressione si ricava la sezione d’urto per lo scattering, che è la quantità osservabile sperimentalmente, espressa in funzione dell’unica grandezza indipendente, l’angolo di scattering .
• Bisogna far attenzione alla normalizzazione delle funzioni d’onda, e esprimere il tutto in forma covariante per trasformazioni di Lorentz
• Vediamo allora come sono normalizzate le funzioni d’onda nei casi non relativistico (Schroedinger) e relativistico (Klein-Gordon).
• Schroedinger:
l’eq. di continuità per un flusso di particelle si scrive
, e con
si trova che che segue da
che segue (esercizio 1.6) da
• Klein-Gordon:
sommando l’equazione moltiplicata per –i* alla coniugata moltiplicata per -i, la stessa eq. di continuità, e la stessa equazione di particella libera di energia E e impulso p, portano alle espressioni
0
jt
iEtxpiNe
2
2
Nm
pj
N
2
)(2
** m
ij
02
1 2
mti
22
2
2
mt
2
2
2
2
Npj
NE
Che sia proporzionale a E dipende dalla contrazionerelativistica del volume d3x d3x (1-v2)0.5 che obbligala densità di probabilità a bilanciare la diminuzione
Dunque possiamo normalizzarci a 2E particelle in un volume V, e questo manterrà la covarianza. Da =2EN2 si trova quindi
Riprendiamo allora l’ampiezza di transizione espressa in funzione dell’elemento di matrice:
e normalizzando come deciso, e prendendo la frequenza di transizione per unità di volume
tenendo conto di
Si ottiene
EdVV
2V
N1
)()2( 44
BADCfippppiMT
tV
TW fi
fi
2
tVpppp
pdepppp
pppp
BADC
ppppi
BADC
BADC
BADC
)()2(
)2()()2(
)]()2[(
44
4
4)(
48
244
2
4
4
4 )()2( M
V
ppppW BADC
fi
La sezione d’urto si calcola dalla frequenza di transizione per unità di volume Wfi moltiplicandola per il numero di stati finali disponibili e dividendo per il flusso iniziale di particelle. ha il significato di “area efficace” ove l’interazione ha luogo.
Il numero di stati finali disponibili (C,D) per elemento di impulso d3p è Vd3p/(2)3 , ma noi abbiamo 2E particelle per unità di volume quindi gli stati finali per ciascuna particella sono Vd3p/[2E(2)3]
Per il flusso incidente si prende il numero di particelle incidenti (A) per unità di area e tempo, |vA|2EA/V , e lo si moltiplica per il numero di bersagli per unità di volume, 2EB/V
Si trova quindi l’espressione infinitesima della sezione d’urto:
DC
DC
BADC
BAAEE
pdpdpppp
V
M
EEv
Vd
4)(
)2(2
33
4
22
22
Il volume arbitrario con cui abbiamo fatto i conti sparisce, come deve.
Facendo i conti nel sistema del laboratorio si trova, con semplici calcoli (esempio 8):
'4
''')'(
44
1
0
3
4
2
2
p
pdddEEpqp
M
MEd
Finalmente possiamo inserire l’elemento di matrice calcolato in precedenza. Tenendo conto di alcune proprietà della delta di Dirac,in particolare che
M
q
MM
q
M
qp
MqqpMqp
22
1
22
1)2())((
22
222 e che
si trova l’espressione
M
q
M
q
q
E
ddE
d
22sin
22cos
)'2(
'
2
2
2
2
4
2
2222
0
4
0
34
0
3
)(')'()'('')'('2
'MqpMpppqpdppdpqp
p
pd
Possiamo anche integrare in dE’ e usare ancora le proprietà della delta di Dirac, esprimendo:
)/'(2
1
2
)cos1('2'
2
2
AEEMAM
EEEE
M
q
ove si è espresso con A il fattore di rinculo 2
sin2
1 2 M
EA
per ottenere la formula di Mott:
)2/(sin2
)2/(cos)2/(sin4
)/'(
)2/(sin2
)2/(cos)/'('4
2
2
2
2
42
2
2
2
2
2
4
22
M
q
E
EE
M
q
q
EEE
d
d
La formula di Mott esprime nel laboratorio la sezione d’urto di scatteringdi elettroni da fermioni puntiformi massivi. Si può verificare (vedi H.M. es.6.8) che l’aver assunto spin ½ per il bersaglio porta al fattore sin2(/2) (scattering dal momento magnetico del bersaglio)
E’ importante sottolineare che per un fissato valore dell’ energia incidente E,la sezione d’ urto è solo funzione dell’angolo di scattering , essendo
detto “fattore di rinculo” (esempio 9))]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE
Infine, è utile esprimere la sezione d’urto elementare di Mott in formaLorentz-invariante, utilizzando le variabili di Mandelstam:
pkkppkpku
qkkt
pkkppkpks
'2'2)'()'(
)'(
''22)''()(
22
22
22
k
p p’
k’
kk’
pe quark
2
22
4
22
2
4
4
42
244
2
)]')('())(''[(8
t
use
us
t
e
kppkkppkq
eM
if
Dalla forma Lorentz-invariante (1.15) dell’ ampiezzadi transizione (trascurando la massa del muone):
La possibilità di “crossing” dell’elemento di matrice usando le variabili di Mandelstam è conveniente, e permette di ottenere subito dall’espressione precedente (non verificabile sperimentalmente!) l’elemento di matrice per la produzione di coppie di muoni da scattering e+e-
– Lo scambio necessario è k’-p, cioè st:
Otteniamo così la previsione della sezione d’urto:
che integrata in d e d dà
)cos1(4
)]cos1(2
1[2
64
1
64
1
2
2
24
2
2
2
s
es
Mp
p
sd
d
i
f
CM
2
22
42
2s
uteM
if
see
3
4)(
2
La costante di struttura fine
La costante fondamentale dell’interazione e.m.: 4/2e
detta “costante di struttura fine” si misura con grande precisione osservandola struttura fine dei livelli energetici atomici. E’ espressa in unità naturali nel sistema di unità di misura “razionalizzato” di Heaviside-Lorentz, nel quale la 1a equazione di Maxwell per il campo E (la legge di Gauss) è espressa nella forma
(ossia 0=1 ; nel S.I. invece ), o equivalentemente lalegge di Coulomb che definisce il valore della carica elettrica è:
La costante è adimensionale: essa entra in (1.16) [eq. espressa in unitànaturali ] come rapporto tra una sezione d’ urto (dimensione: [] = m2)e l’inverso del quadrato di un’energia ([1/s] = J-2 ); queste quantitàsono tra loro omogenee, essendo [h] = Js e [c] = m s-1. Nel S.I., l’espressione di è
)1( c
E
0/ E
22 4/ reF
ce 02 4/
Infatti: mJmNe
2
0
2
(dalla legge di Coulomb)
mJsmsJc 1
e quindi la combinazione è adimensionale.
Numericamente:
ce 02 4/
137
11073.0
10997.21005.11085.84
)106.1( 2
83412
219
Lo scattering elastico elettrone-nucleone
Il processo di scattering elettromagnetico epep non è un processo point-like (come eq eq o e e)
La sezione d’urto di Mott, che nel sistema del laboratorio èdata dalla (1.16):
)2/(sin
2)2/(cos 2
2
22
M
q
d
d
d
d
Rutherford
va modificata. La corrente adronica diventa e- e-
k k’
p p’
protone
)()'( pupuej qqqquark
)()(2
)()'( 22
21 puqqF
M
ikqFpuej pp
hadr
(1.17)
con 2/)( i ed M è ora la massa del nucleone.
Va notato che la corrente vettoriale dell’elettrone si scrive normalmente
ma questo equivale, per la decomposizione di Gordon della corrente (vedi HM esercizio 6.2), a
da cui si vede che la scrittura concisa dell’accoppiamento contiene già una parte che descrive lo scattering elettrico (come per una particella senza spin) e una che descrive l’interazione magnetica. Quest’ultima contribuisce solo quando k-k’ è grande, ovvero quando l’interazione è ad alto q2.
La parte che permette lo scattering dal momento magnetico del bersaglio, contenuta nella quadricorrente dell’elettrone, è quella dovuta allo spin dell’elettrone.
Quando scriviamo la corrente del sistema adronico, al termine corrispondente si va a sommare la parte “anomala” dovuta al momento magnetico anomalo dell’adrone.
)()'( kukueje
e
)()'()'()(2
)()'( kukkikkkum
ekukue
ee
(1.18)
Si dimostra (esempio 10) che il termine entro parentesi nella corrente (1.17)
è il più generale 4-vettore che può essere costruito dalle matrici di Dirac e dai 4-momenti in gioco p, p’ e q = k-k’ = p’-p, tenendo conto che la 4-corrente jhadr deve essere conservata: , ossia qj = 0.
Le funzioni F1(q2), F2(q2) descrivono la struttura dell’adrone, e non siamo in grado di scriverle: esse devono essere determinate sperimentalmente, come verrà discusso in seguito.
Si noti anche che il fattore k che moltiplica F2(q2) è il momento magnetico anomalo del nucleone: misura la parte aggiuntiva del momentomagnetico del nucleone rispetto a quello di una particella point-like dispin ½ come l’elettrone.
Notiamo anche che per q20 il fotone virtuale ha lunghezza d’onda grandee il protone gli appare come una particella di carica +e e momento magnetico(1+k)e/2m . Deve anche aversi F1(0)=F2(0)=1.
0 j
)()(2
)()'( 22
21 puqqF
M
ikqFpuej pp
hadr
xdxAxjTif
4)()(
In effetti si dimostra che nel limite non relativistico, l’interazione (1.10) trauna corrente e il 4-potenziale:
si decompone in una parte elettrica e una magnetica. Ciò discende dalladecomposizione di Gordon della corrente
)()'()'()'(2
)()'( puppipppuM
epupuej ifif (1.18)
(1.10)
e dal fatto che il 2o termine in (1.18) inserito in (1.10) dà, nel limite nonrelativistico:
xdB
M
exdAppi
M
eifif
3)2()2(4
2)'(
2
dove (2) è uno spinore bidimensionale, sono le matrici diPauli; il termine a destra dà l’interazione B di una particella di momentomagnetico =e/2M col campo magnetico B
),,( 321
[per maggiori dettagli, vedi Halzen-Martin, cap.6.2]
)2/(tan)()()2/(cos
)2/(sin)(2
)2/(cos4
2222
.
22212
222
22
222
1.
qBqAd
d
kFFM
qF
M
qkF
d
d
d
d
Ruth
Ruth
(1.19)
hadrelettr
ifj
qjM
2
1 (ricordiamo che: ))]()'([ kukuej eeelettr
la sezione d’urto che si ottiene è data dalla “formula di Rosenbluth”:
Se si inserisce jhadr nell’ elemento di matrice (1.13):
)()(2
)()'( 22
21 puqqF
M
ikqFpuej pp
hadr
Riscriviamo la forma più generale della corrente adronica:
Per piccoli q2, non riusciamo a vedere struttura nel protone: ci apparecome una carica puntiforme +e con momento magnetico 2.79e/2M.
La formula di Rosenbluth può essere riscritta come segue (per casa) :
)2/(tan
24/14)2/(cos
' 22
2
2
22
2
2
2
2
2
.
M
ME
Ruth
GM
q
Mq
GMq
G
E
E
d
d
d
d(1.19’)
)(4
)()(
)()()(
222
22
12
22
21
2
qFM
kqqFqG
qkFqFqG
E
M
che sono, come vedremo, interpretabili come ‘fattori di forma’ magneticoed elettrico del nucleone. Non sono interpretabili direttamente cometrasformate di Fourier delle distribuzioni di carica e momento magnetico,perché il bersaglio non è più statico; tuttavia ne sono vicini parenti.
L’introduzione di GE e GM ci permette di “disaccoppiare” F1 e F2 nellaformula di Rosenbluth: spariscono i termini di interferenza F1F2.
(1.20)
E’ utile introdurre le combinazioni lineari:
Negli esperimenti di scattering elastico su targhetta fissa, ilmomento trasferito è determinato dalla misura dell’ energia E’ dell’elettrone diffuso e dall’ angolo di diffusione:
)2/(sin'4)'( 222 EEkkq
Nel “diagramma di Rosenbluth” costruito selezionando dati a q2 fissato:
)2/(cos
'/ 2
.
E
E
d
d
d
d
Ruth
)2/(tan2
[Perkins, fig.6.4]
la pendenza misura direttamente il fattore di forma magnetico GM(q2)al valore scelto di q2; dall’ intercetta A(q2) si determina GE(q2).
e-
E
E’
M
Esperimenti allo Stanford Linear Accelerator (SLAC) sono stati fatti su targhette di idrogeno (=> protoni) e su deuterio (=>neutroni+protoni)). Per sottrazione, da questi ultimi è possibile ottenere la sezione d’urto su neutroni:
epepededenen d
d
d
d
d
d
e quindi determinare i fattori di forma anche del neutrone, nonostantealcuni problemi con la struttura nucleare del deuterio.GE,M
p,n(q2) sono stati misurati in un esteso intervallo di momenti trasferiti[vedi, e.g., Phys.Rev.139B(458),1965]
[Burkham-Jobes, Fig.12.8]
GMp
GEp
GMn/(1.91)
GEn
1.0
2.0
2.79
Tutti i dati sono descritti da un unico andamento di dipolo:
0)(
)()(
)/1(
1)(
2
22
2222
qG
qGqG
mqqG
nE
n
nM
p
pMp
E
dove il fit ai dati sperimentali dà: m2 = 0.71 GeV2
e le quantità:)0( 2 qG p
Mp )0( 2 qGnMn
misurano i momenti magnetici del protone e del neutrone:
NNp m
e
279.279.2
Nn 91.1
1141015.32
JMevm
e
NN
è il ‘magnetone nucleare’, momentomagnetico di una particelle di Dirac point-like di massa mN ; si ricordi che il
“magnetone di Bohr” vale: 1111079.518362
JMevmm
eN
eB
(1.21)
(1.22)
Come detto, GE e GM sono i ‘fattori di forma’ elettrico e magneticodel nucleone, sono cioè in relazione con la sua distribuzione di densità di carica elettrica e di momento magnetico. Osserviamo infatti che dalla (1.20):
)()( 210
22 qFqG
qE
e inoltre, dalla formula di Rosenbluth (1.19’), per q2 0 :
)()2/(cos 222 qGd
d
d
dE
Mottepep
(1.23)
xdxAxjTif4)()(
a bassi q2( basse velocità), l’elettrone ‘vede’ solo il potenzialeelettrostatico (la parte magnetica è trascurabile), ossia nell’ ampiezzadi scattering
possiamo porre con)0),(( xA )(),()( rtrx
)(4
)()(
)()()(
222
22
12
22
21
2
qFM
kqqFqG
qkFqFqG
E
M
rdredtekukue
xdxekukuexdxxjT
rkkitEEi
xkkiif
3)'()'(
0
4)'(0
40
)()()'(
)()()'()()(
(x) elettrostatico,non dipende dal tempo
)'(2 EE
rdreEEkukueT rqiif
3
0 )()'(2)()'(
Utilizzando l’ integrazione per parti:
rderrderde rqirqirqi 323232 )(
rderq rqi 32 )( 0
rqie
e l’ eq. di Poisson per il potenziale: )(2 r ( è la densità
di carica elettrica)
kkq
'
dove:
rderq
rder rqirqi
3
2
3 )(1
)(
Inserendo in Tif tale espressione si ottiene:
if
rqiif MEErderEE
q
kukueT )'(2)()'(2
)()'( 3
20
con: rderq
kukueM rqi
if
3
20 )(
)()'(
Se inserisce questa espressione di Mif nel calcolo della sezione d’urto:
dE
dppM
d
dif 4
22
2)2(
1
si ottiene:232
.
)()2/(cos
rdere
d
d
d
d rqi
Ruthepep
(1.24)
e confrontando con (1.23) si vede che rdereqG rqiE
32 )()(
ossia il fattore di forma elettrico GE(q2) è la trasformata di Fourierdella densità di carica elettrica e(r) del nucleone.
Sperimentalmente, si trova che i dati sperimentali sui fattori di formasono ben descritti da una formula di dipolo:
2222
)/1(
1)(
mqqG p
E
Con m2=0.71 GeV2; questo risultato può essere direttamente messo inrelazione con le dimensioni del nucleone. Consideriamo una distribuzione a simmetria sferica:
(la costante di normalizzazione è A = m3/8, imponendo )
mrAerr )()(
(1.25)
Dalla (1.25) si ha:
0 0
2cos32 sin)(2)()(r
iqrrqi
EddrrerrdereqG
drdr 2sin2
-dcos
14)( 2drrr
0
2
0
21
10
22
)(2
)(2)(2)(
r
iqriqr
r
iqr
iqr
ziqrx
r
E
driqr
eerr
drdzeiqr
rrdrdxerrqG
In definitiva, inserendo si ottiene:mrAer )(
222222222
0
)(
0
)(2
)/1(
1
)(
42
)(
1
)(
12
2)(
mqqim
iqm
iq
A
iqmiqmiq
A
rdrerdreiq
AqG
r
riqm
r
riqmE
dove per brevità negli integrali si è sempre inteso q=|q| e quindi q2= |q|2 >0;nell’ espressione
2222
)/1(
1)(
mqqG p
E
con q2 si intende invece il modulo quadro del 4-impulso trasferito
q=(k’-k): q2 -2kk’=-|q|2 <0, e quindi le due espressioni coincidono.
x
coscon:
8/3mA
Il valore m2=0.71 GeV2 è quindi legato al “raggio” R della distribuzionedi carica: Rrmr AeAer /)(
fmGeVm
R 235.071.0
112
(vedi esercizio 1.5)
Il raggio del nucleone misurato dal fattore di forma elettrico delprotone è dell’ ordine di qualche frazione di Fermi.Più precisamente, il valor medio del quadrato del raggio della distribuzionedi carica è:
24
3
43
222
12
2
48
4)(
mdrre
m
drrem
drrrrr
mr
mr
fmm
rrrms 80.0122
SLAC,Hofstadter et al.
=(4!) / m5
Sommario delle sezioni d’urto• Abbiamo fin qui visto cosa succede nello scattering elastico di un
elettrone (o altro fermione carico) da un altro fermione a riposo nel laboratorio
• Riepiloghiamo brevemente le caratteristiche principali previste dal modello (QED, approssimazione single-photon exchange):
– scattering da fermione puntiforme (e-m-): formula di Mott
(notare il comportamento per q20 e che il secondo termine è assente per bersagli statici spinless)
– scattering da fermione con struttura (e-p) - carica e momento magnetico anomalo: formula di Rosenbluth
)2/(tan
24/14)2/(cos
' 22
2
2
22
2
2
2
2
2
.
M
ME
Ruth
GM
q
Mq
GMq
G
E
E
d
d
d
d
)2/(sin
2)2/(cos
)2/(sin4
)/'( 2
2
2
2
42
2
M
q
E
EE
d
d
Esperimenti di scattering elastico e-N a Stanford
LINAC da 550 MeV di energia massima entrato in funzione aStanford (California) a metà degli anni ’50:
Spettrometro supiattaforma rotante
contatore dielettroni
[R.Taylor, J.Friedman, W.Kendall, Lectures for Nobel Prize, 1990; Rev.Mod.Phys. 63 (1991),573 ]
Lo Stanford Linear Accelerator (SLAC)
Alla fine degli anni ’60, entra in funzione l’acceleratore lineare (lungo 2 miglia)con Ebeam=20 GeV - l’intervallo di q2 è notevolmente esteso rispetto al passato - si ha accesso allo scattering inelastico (il nucleone viene spaccato con produzione di adroni nello stato finale)
Furono realizzati3 spettrometridedicati per elettroni da 1.6,8 e 20 GeV
Gli esperimenti a SLAC
Spettrometri a piccolaaccettanza angolare (d 1 msterad)posizionabili a diversiangoli di diffusione(1,5 - 250 per E=20 GeV)
separatore e/
1GeV2
Esperimenti precedenti:
Spettrometro da 20 GeV
Primo uso massicciodi computer nelcontrollo on-line…
Esercizio 1.1: variabile s di Mandelstam
2222
22222
4)cos(2
)(22)(
CM
qeqeqeqeqeqe
Eppp
ppEEmmpppppps
e-e-
pepe’
pq
pq’
per me, mq << E
essendo ECM=2p
In un esperimento su taghetta fissa: pq=(m,0)
mEs e2 mEE eCM 2Ad esempio, negli esperimenti a SLAC:
Ee=20 GeV, m= mN=0.94 GeV ECM 6 GeV
Ad un collisore con fasci “simmetrici” invece: ECM = 2 Ebeam
(esempio: LEP1 ,2 : Ebeam:44-47 GeV, 80 -105 GeV; Tevatrone: 0.98 TeV );
con fasci asimmetrici di energie E1, E2 :(esempio: collisore e-p HERA (Desy,Amburgo): Ee=27.5 GeV, Ep=920 GeV ECM 320 GeV )
212 EEECM
)2/(sin'4)'( 222 EEkkq
Esercizio 1.2: momento trasferito e angolo di scattering
Dimostrare che:
e-E’
ME
)2/(sin'4)cos1('2
'2')'(2
2222
EEEE
kkkkkkq
angolo di scatteringnel laboratorio )2/(sin)cos1(
2
1 2
Si ha:
Esercizio 1.3: formula di Mott
2/sin
22/cos'2]')')('())(''[( 2
2
2222
M
qEEMkkmkppkkppkA q
Dimostrare che:
Utilizzando la conserv. del 4-impulso: p’ = p+q = p+k-k’ , si ha:
2'2)'(
2
2))('(2)'(
2
2]
2)['()]('
2[
2]')['()]('''[
')]'()['())]('('[
222
2
22
2
22
22
2222
2
qMEEMEEM
q
qMkppkpkkp
q
qMkp
qpkkppk
q
qMkpkkkpkkppkkkk
kkMpkkkpkkppkkk
0 0
[ q2=(k-k’)2 -2kk’ ]
Nel laboratorio:p=( M, 0)k=( E , k)k’=(E’, k’)
2/sin12/sin2
'2
'41
'22
)'('2
2'2)'(
2
222
22
2
2
22
222
2
M
qEEM
EE
q
EEM
EEMqEEM
qMEEMEEM
qA
Allora:
)2/(sin'4 22 EEq [es. 1.2]
2/sin'2
)'( 2
EE
EEMMEEpkkqp
EEq
)'(2)'(22
)2/(sin'4 22
'ppq 0'2 222 pkppq kpq 22 [si osservi:
0
]In definitiva:
2/sin
22/cos'2 2
2
222
M
qEEMA
Esercizio 1.4: energia dell’ elettrone uscente nello scattering elastico e-p
Dimostrare:)]2/(sin)/2(1/[' 2 mEEE
MEEpkkqp
EEq
)'(2)'(22
)2/(sin'4 22
Abbiamo visto che [es. 1.3]:
2/sin'2
)'( 2
EE
EEM
Allora:2/sin
'2' 2
M
EEEE 2/sin
21
'2
M
E
E
E
2/sin2
1
1'
2 MEE
E
Esperimento a SLAC:
E= 401 MeV, =75o
M=939 MeV(targhetta di idrogeno) E’ = 305 MeV[Hofstadter e collab.,
1956]
Esercizio 1.5: raggio del nucleone
Ricordiamo che in “unità naturali”:
1/103
11005,18
34
smc
sJ
sm
Js8
134
1033,01
1095,01
inoltre: JGeV 10106,11 1101 106,11 GeVJ1103488 106,11095,01033,01033,01 GeVsmPertanto:
1151007.51 GeVm
mGeV 151 1007,5
1 fmGeV 197.01
Allora: fmGeVGeVm
R 235.071.0
1
71.0
11 1
2
fmm
rrrms 80.0122 Come già discusso:
[Nota: un altro utile fattore di conversione è il seguente: infatti: 1 barn = 10-24 cm2= 10-28 m2 1 mb = 10-31 m2 = 0.1 fm2 ]
mbGeV 388.02
Esercizio 1.6
Calcolare la densità di corrente nel caso non relativistico dell’eq. di Schroedinger
L’equazione di Schroedinger e la sua coniugata si scrivono
02
1 2
mti 0
2
1 *2
*
mt
i
02
1
02
1
*2
*
2*
mtii
mtiiMoltiplicandole
opportunamente e sommando:
02
022
*22*
2***2
*
m
i
t
m
i
tm
i
t
)(2
** m
ij
e quindi da 0
jt
si trova
Parte I Capitolo 2Dal Deep Inelastic Scattering
al modello a Quark
Sommario:
• Scattering inelastico eN• Bjorken scaling• Relazioni di Callan-Gross• Modello a quark del nucleone
Deep Inelastic ScatteringNel processo di diffusione fortemente inelastico (“DIS”) eNeX il sistema adronico X nello stato finale non è più il nucleone, che viene distrutto dall’urto; il sistema ha una massa invariante arbitraria W2=(P+q)2
(nello scattering elastico era W2=MN2 )
dove P è il 4-momento iniziale del nucleone (nel laboratorio: P = (MN,0) ) eq=(k’-k) è il 4-momento trasferito nell’urto con l’elettrone.
e- e-k
k’
P=(MN,0)
nucleoneX
q=k’-k
L’energia del sistema adronico finale ed ilmomento trasferito:
22 )'(
'
kkq
M
qPEEE
Nadr
(2.1)
sono ora variabili cinematiche indipendenti.[Nota: l’invariante Pq calcolato nel sistema del laboratorio dà: ])'(0 EEMqMqP NN
Infatti: qPqPqPW 2)( 2222
)(2
1)(
2
1 222222 qMWqPWMqP NN
In definitiva:2222 qMWM NN (2.2)
dove la massa invariante W può essere arbitraria(nella diffusione elastica era invece fissa: W2 = MN
2 da cui )22 qM N
Da un punto divista puramente fenomenologico, si può ottenere la sezioned’urto di diffusione in maniera analoga a quanto fatto per la sezione d’urtoelastica, modificando la corrente adronica nell’ampiezza di scattering rispetto all’ampiezza point-like; le funzioni che sostituiscono i fattori di formaelastici F1(q2) e F2(q2) sono ora funzioni, a priori, delle due variabili cinematiche indipendenti q2 e.
La sezione d’urto di scattering va ora scritta in forma doppio differenziale:
)2/(sin)(2
)2/(cos4
22212
222
22
222
1.
kFF
M
qF
M
qkF
d
d
d
d
RutheNeN
Scattering elastico[eq. (1.19)]
Scattering inelastico:
)2/(sin),(2)2/(cos),('
221
222
.
qWqW
d
d
ddE
d
RutheXeN
(2.3)
4
22
422
22
42
2
.
'4
)2/(sin'4
'
)2/(sin4 q
E
EE
E
Ed
d
Ruth
[ricordiamo, eq. (1.16):
)2/(sin'4 22 EEq ]
Le “funzioni di struttura inelastiche” W1(q2,) e W1(q2,) vannodeterminate sperimentalmente.
• Per comprendere la differenza e le caratteristiche cinematiche del processo di scattering elastico e inelastico è utile costruire un diagramma ove in ascissa c’è la variabile 2M e in ordinata il Q2 dello scattering.
Fermiamoci un attimo a ragionare su cosa stiamo descrivendo. Nello scattering eP, all’aumentare del Q2 la sezione d’urto elastica decresce,come visto dalla formula di Rosenbluth. Invece vi è una sempre maggiorprobabilità di rompere il protone.
Per Q2 intermedi lo stato finale comprenderà una “eccitazione barionica”, che può decadere in protone-pione. Per Q2 ancora maggiori la QCD cipresenta uno stato finale molto complicato, che non si può descriverecon facilità.
Questo sistema adronico non si misura: si rivela solo l’elettrone, il suoangolo, e la sua energia, oltre alla frequenza del processo.
La variabile indipendente = -Q2/2M non è più unica in quanto la massa invariante del sistema adronico è anch’essa variabile. Usando x = Q2/2m sidescrive il processo elastico a x=1, inelastico per x<1.
2M
Q2x=1, W=M
x=0.5
W=M’
W=M’’
DIS:Q2, grandi
Zona cinematicamente inaccessibile
W’’2-M2
• Hoftstadter et al., scattering di elettroni da nuclei di 4He. A 45° si osserva un picco elastico (corrispondente a x=1), e un bump meno definito a x=0.25, che corrisponde allo scattering dai nucleoni. Il bump non è stretto per via del moto di Fermi dei nucleoni nel nucleo di elio.
• A maggior angolo di scattering (60°), il quadrimomento trasferito è maggiore, e si osserva una riduzione della parte elastica, dovuta alla diminuzione col Q2 del fattore di forma; lo scattering inelastico invece “scala”.
66
(2.4)
Vediamo ora a quale predizione porta per le funzioni di struttura l’ “ipotesi partonica” sulla struttura del nucleone, ossia la supposizione che il processo di diffusione inelastica eN eX risulti dalla sovrapposizione incoerente delle sezioni d’urto di processi di scattering elastico ‘point-like’ su singoli partoni, oggetti ‘puntiformi’ (come l’ elettrone) di spin ½ e carica elettrica frazionaria, che identificheremo successivamente con i quarks.
)2/(sin2
)2/(cos)/'('4 2
2
22
4
222
m
q
q
EEEe
d
d q
eqeq
(1.16’)
può essere riscritta ( ) :''dE
dEd
d
d
d
m
q
m
q
q
EEEe
dEd
d q
eqeq 2)2/(sin
2)2/(cos
)/'('4
'
22
2
22
4
222
La funzione in (2.4) esprime il fatto che E’ deve essere tale da soddisfare larelazione di elasticità : , dove ora però con pq momento del partone e m massa del partone (vedi prossima slide).Il fotone deve avere il giusto q2 per interagire con il quark!
mq 2/2 mqpq /
La sezione d’urto di Mott (1.16’) per lo scattering elastico elettromagnetico eq eq :
Il partone i-esimo all’interno del nucleone porta una frazione x del momentototale: pq = xP; valgono le relazioni:
mq2 = x2P2 = x2MN
2, ossia mq = xMN e quindi = pqq/mq = xPq/ xM = Pq/M
ossia la variabile = pqq/mq che entra nell’ espressione dello scattering Mott elettrone-quark è la stessa variabile = E-E’ che compare nella cinematica dello scattering del nucleone.
La conservazione del momento impone inoltre:
dove fi(x) sono le funzioni di densità partoniche (“PDF”) che danno ladensità di probabilità di trovare il partone i-esimo con momento frazionario xall’ interno del nucleone. Non stiamo sommando ampiezze: questa è unasomma incoerente! (lo scattering elastico è azione coerente dei partoni!)
1)( xdxxfi
i
Se si confronta l’espressione della sezione d’urto inelastica (2.3) con (2.4),si vede che ponendo:
(2.5)
i eqeqeXeN iidEd
d
dEd
d
''
deve essere:
iii
i Mqx
ii
ii
ii
ii
xxfev
xq
Me
xf
dxMx
qe
xfdx
m
qexfqW
)(12)(
)2
1()(
)2
()(),(
2
2/
22
2
22
222
2
2
(z)=(z)/= g(x)
|)('|
)()]([)(
xg
xfdxxgxf
e analogamente:
i
ii
i Mqx
ii
i
ii
M
xfex
q
M
xM
qexf
dxMx
q
xM
qexfqW
)(2
2)(
)2
(2
)(),(2
2
2/
2222
22
2
22
222
1
2
In definitiva:
)()(),(
)(2
)(),(
222
2
122
1
xFxxfeqW
xFxf
eqMW
iii
i
ii
(2.6)
ossia l’ipotesi che il DIS eN eX sia la sovrapposizione incoerente
di scattering elastici eq eq su oggetti puntiformi di spin ½ porta a prevedere che le funzioni di struttura W1(q2,), W2(q2,) sianofunzioni dell’ unica variabile adimensionale x = -q2/2M, detta“variabile di Bjorken”:
Inoltre dalla (2.6) segue la relazione:
detta “relazione di Callan-Gross”, che è verificata sperimentalmente.La relazione verifica che i quarks sono fermioni di spin ½.
)(2)( 12 xxFxF (2.7)
“invarianza di scala” (o “Bjorken scaling”) delle funzioni di struttura
E’ importante notare che mentre nello scattering elastico elettrone-protone avevamo usato dei fattori di forma GE e GM che dipendevano dal q2 del processo –una variabile con dimensione e scala fissata dal valore empirico Q2 = 0.71 GeV2, ovvero una scala di massa che riflette la dimensione inversa della distribuzione di carica e momento magnetico del nucleone, ora ci troviamo invece con funzioni di struttura che dipendono da una variabile adimensionale x = -q2/2M.
E’ chiaro cosa questo significa: sono funzioni che descrivono oggetti puntiformi all’interno del protone.
Possiamo comprendere appieno l’importanza del DIS e la relazione fra scattering elastico e inelastico, e lo scaling, ipotizzando di fare scattering elettrone-nucleo a valori sempre maggiori di Q2.
Man mano che si aumenta il Q2, si “vede” più in profondità nel nucleo, risolvendo i singoli N nucleoni, e poi all’interno di questi i nN partoni che li costituiscono. Il moto di Fermi diventa irrilevante quando l’energia della sonda diventa molto superiore.
Gli esperimenti a SLAC hanno verificato l’invarianza di scala[Ann.Rev.Nucl.Sci. 22 (203) 1972]:
W2
x=q2/ 2M(E-E’) fissato
)2/(sin'4 22 EEq
e la validità della relazione di Callan-Gross:
2xF1/F2
x=-q2/ 2M
[da: Burcham-Jobes, Fig.12.15]
[da: Burcham-Jobes, Fig.12.18]
La relazione di Callan-Gross ha conseguenze interessanti sulla
espressione della sezione d’urto (2.3):
'2
11'4)2/(sin)2(
'4
)2/(sin),(2)2/(cos),('4
'
22
4
222
2124
22
221
2224
22
E
xyM
MxF
F
q
EWWW
q
E
qWqWq
E
ddE
d
eXeN
1-sin2/2
=F1/M =F2/ )(2)( 12 xxFxF
dove si è introdotta la “ variabile di inelasticità” :EE
EE
E
Ey adr
'
(2.8)
da cuiMy
E
MEy
EE
M
qx
2/sin'2
2
2/sin'4
2
222
'2
2/sin 2
E
Mxy
Nel CM invece, la relazione tra y e l’ angolo di scattering * è: 1 – y = (1/2)(1+cos*) [esercizio 2.1 ]
e si è usato
In definitiva:
'22'1
'4
'21
'4
'2
11'4
'2
24
22
24
22
22
4
22
E
Mxyy
E
E
Ey
F
q
E
EE
MxEyEy
Ey
F
q
E
E
xyM
MxF
F
q
E
ddE
d
eXeN
E’ conveniente esprimere la sezione d’urto doppio-differenziale in funzionedelle variabili x ed y; utilizzando:
ydxdyE
EMddE
'2'
si ha:
'22'1
'4
2
' 22
4
22
E
Mxyy
E
E
Ey
F
q
E
ydxdyME
dE
eXeN
21
4
22
'4
'22'1
'4
2
24
2
2
24
22
24
2
yyF
q
s
E
Mxyy
E
EF
q
s
E
Mxyy
E
EF
E
E
q
s
dxdy
d
eXeN
= s (stiamoconsiderandoE>>M)
= 1-y
= 0 per E>>M
[esercizio 2.2]
Ey
)()1(12
22
4
2
xFyq
s
dxdy
d
eXeN
Sviluppando: 22
)1(12
1
21 y
yy
si ottiene infine:(2.9)
dove, ricordiamo dalla (2.6): i
ii xxfexF )()( 22
La sezione d’urto di DIS elettromagnetico eNeX misura le densità partoniche f(x) all’ interno del nucleone. Dal modello statico a quark delnucleone sappiamo che possiamo descrivere p=(uud), n=(udd); tuttaviail modello rimane valido se aggiungiamo ai quarks di valenza una componentedel “mare”, quarks e antiquarks che elidano il loro contributo alle proprietàstatiche.
Se indichiamo con:
)()()(
)()()(
xdxuxq
xdxuxq
pp
pp
le densità di quark e di antiquark nel protone(up(x) e dp(x) sono le densità di quark di tipo “up”,con carica 2/3, e di tipo “down”, con carica -1/3)
(2.10)
si ha
per il protone:
)()(9
1)()(
9
4
)()(3
1)()(
3
2)()(
222)(
2
xdxdxuxux
xdxdxuxuxxxfexF
pppp
ippppii
p
e per il neutrone, utilizzando l’ invarianza di isospin, per cui un(x)=dp(x) e dn(x)=up(x):
)()(9
1)()(
9
4
)()(9
1)()(
9
4)()(
2
xuxuxdxdx
xdxdxuxuxxF
pppp
nnnnn
Per il nucleone in un processo di scattering su una “targhetta isoscalare”, in cui:
npN ||2
1|
)()(9
5)()(
9
5
2
1
)()(2
1)( )(
2)(
22
xdxdxuxux
xFxFxF
pppp
np
Possiamo quindiprevedere che sei quarks di valenzadominano, il rapportofra F2 del neutronee F2 del protonedeve valere ¼;viceversa =1
Il modello a partoni, con l’assegnazione di carica elettrica ai quark up e downderivata dal modello statico a quark degli adroni, predice quindi:
xxqxqxF )()(18
5)(2
xxqxqyq
s
dxdy
d
eXeN
)()(18
5)1(1
2 24
2
(2.9’)
Confronteremo questa predizione con quella che deriva dall’ analogo processodi diffusione da interazione debole N X (in cui non sono in gioco le cariche elettriche), per il quale viene predetto lo stesso andamento nelle variabili y e xma senza il fattore 5/18, che è una conseguenza delle assegnazioni dicarica ai quark.
Lo scattering elettromagnetico non permette di separare il contributo dei quark(di valenza) da quello degli antiquark (dal ‘mare’) dei processi di annichilazioneqq all’interno del nucleone; ciò come vedremo sarà possibile usando i neutrini al posto degli elettroni come ‘sonde’ per scandagliare la struttura subnucleare.
Per un bersaglio isoscalare abbiamo quindi
Si osserva che a basso x dominano i quark del “mare”, e ad alto x dominano invece i quarks di valenza.
Esercizio 2.1: la variabile di inelasticità
pk
pk
Em
Em
E
Ey
q
q'''
1
Dimostriamo la relazione: )cos1(2
11 * y
Si ha:
k=(E,k)
k’=(E’, k’)
-
d*
up
p’
( E, E’ si intendono misurate nel laboratorio, in cui p=(mq,0) e quindi pk’=mqE’ e pk = mqE )
)cos1(||
))cos(1(||'|'|||'*2
*2
p
pkpkppk
||2)cos1(|| 22 pppk
)cos1(2
1 *'
pk
pke quindi:
p
k’-
d
**
per la variabile di inelasticitàE
EEy
'
[ *: angolo di diffusione nel CM; nel laboratorio: ]
Allora:
2/sin'2 2
Mx
Ey
Esempio 2.2: calcolo di dE’d
Dimostriamo la relazione: ydxdyE
EMddE
'2'
Ricordiamo:
E
E
E
EE
Ey
'1
'
EdydE '
cos2' dEdyddE
cos2sin2 ddd
Inoltre: )cos1)(2/1()2/(sin 2
cos)2/(sin2 2 dd )2/(sin4' 2 dEdyddE
Ricordiamo inoltre:My
E
MEy
EE
M
qx
2/sin'2
2
2/sin'4
2
222
Ad` un fissato y :My
dEdx
2/sin'2 2
e quindi: ydxdyE
EM
E
MydxEdyddE
'2
'24'
'22/sin 2
E
Mydxd
Esercizio 2.3: relazioni tra variabili di Mandelstam
Ricordiamo le relazioni tra le variabili di Mandelstam:
pkkppkpku
qkkt
pkkppkpks
'2'2)'()'(
)'(
''22)''()(
22
22
22
k
pp’
k’
In funzione dell’ angolo di scattering nel CM:k
k’
p quark
)cos(2
)(22)(22
2
kk
pkEEkppks q
)cos1(2)cos''(2
'2)'(2
2
kkkEE
kkkkt)cos1(
2
st
)cos1(2))cos(1(2
'2)'(22
2
kk
kppku)cos1(
2
su
224 CMEks
p’