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Como mínimo desde los trabajos de Leibniz y Maupertuis, la magnitud física “accion” (dimensionalmen-te, energía por tiempo) ha jugado un papel determinate en la construcción de nuestra imagen física de la naturaleza (Arana, 1990). Generalizando en Matemáticas el concepto de función se llega a la idea de funcional, que –toscamente hablando– puede entenderse como una “función de funcio-nes”. El problema de los calculistas del siglo XVIII consis-tía en hallar una función f tal que sustituida en un funcional de la forma y = F(f) se obtuviera un valor estacionario (máximo, mínimo, punto de inflexión, o valor constante). El método empleado para ello se conoció como calculo de variaciones –hoy día parte de la teoría de funcionales– fundado por el suizo Leonard Euler (1707–1783) y el italo-francés Joseph Louis Lagrange (1736–1813). Estos geniales matemáticos descubrieron que una función f proporciona un valor extremo a un funcional F siempre y cuando satisfaga una cierta ecuación diferencial (ecuacio-nes de Euler-Lagrange).

La importancia de este resultado sobrepasaba el mero ámbito de la matemática pura, pues pronto se comprobó que muchas de las ecuaciones diferenciales de la Mecánica y de la Física en general son precisamente del tipo Euler-Lagrange. Y claro esta, de inmediato se concluyó que tales ecuaciones físicas podían tomarse como condiciones de Euler-Lagrange para ciertos funcionales elegidos conve-nientemente. De esta forma multitud de leyes físicas se refor-mularon sustituyéndolas por enunciados en los que se exigía un valor extremo, normalmente un mínimo, a determinadas cantidades. Así, en lugar de afirmar que un sistema físico obedecía una ley dada por una cierta ecuación diferencial de las variables del sistema, se comenzaba construyendo un funcional con dichas variables. A continuación se requería que este funcional alcanzase un valor mínimo, por ejemplo, y se deducía por ello –mediante el cálculo variacional– que las ecuaciones así obtenidas coincidían con las del planteamiento tradicional.

La ventaja de esta formulación de las situaciones físicas es que multitud de leyes naturales, sin aparente relación entre sí, son susceptibles de expresarse por medio de un principio variacional. Y con ello, además de una viva impre-sión unificadora, ganamos la posibilidad de simplificar buen número de problemas utilizando las herramientas de la teo-

ría de funcionales para resolverlos. El funcional escogido, por supuesto, es distinto según el caso físico considerado, aunque en todos ellos se cumple que sus unidades han de ser iguales al producto de la energía por el tiempo, llamado también acción.

Este fue el camino escogido por Lagrange en su monu-mental tratado Mecánica Analítica, publicado por primera vez en 1788. En él se afirmaba que los sistemas físicos evo-lucionan con el tiempo de modo tal que la magnitud de su acción –representada por una función denominada lagran-giana, cuya integral es el funcional deseado– sea míni-ma. El británico William Rowan Hamilton (1805–1865) aquilató el principio de mínima acción introducido por Lagrange al advertir que en bastantes casos la realidad física no involucraba un mínimo de la acción en absoluto. Amplió las ideas de Lagrange y desembocó en el principio de acción estacionaria que, como se ha señalado antes, exige un valor estacionario para la acción, o dicho de otro modo, que la variación de primer orden de la integral de la acción sea nula.

Hamilton desarrolló incluso un nuevo juego de ecua-ciones, equivalentes a las de Lagrange si bien matemáti-camente más sencillas, en las que insertando una función de las variables del sistema (la hamiltoniana) se llegaba a las mismas conclusiones que con el método lagrangiano. Las variables escogidas en las ecuaciones de Hamilton no son las coordenadas de posición, q, y sus derivadas temporales, dq/dt, sino las coordenadas q y los impulsos –o momentos lineales– deducidos de ellas pq (en mecánica el impulso de una partícula consiste simplemente en el producto de su masa por su velocidad). Es obvio que en un sentido estricto las q y las pq no son variables independientes, pero la esencia del procedimiento hamiltoniano estriba en ope-rar como si lo fueran. Así obtenemos doble número de ecuaciones que con Lagrange, a cambio de que todas ellas contengan solo derivadas de primer orden, menos compli-cadas de resolver.

En ambos planteamientos es necesario representar la evolución del sistema estudiado mediante el auxilio de un espacio abstracto de muchas dimensiones: 3n dimen-siones en el espacio de configuraciones de Lagrange, y 6n en el espacio fásico de Hamilton (además del tiempo) para n partículas.

Enseñanza

La importancia física de la “Mínima Acción”Rafael Andrés Alemañ Berenguer

Variational calculus applied to physical action, sometimes known –inexactly– as “principle of the least action”, has helped us quite a lot to construct our scientific picture of the natural world. From Leibniz and Maupertuis to Planck and Einstein, this method has repetedly shown its effectiveness, but only with Feynmann path-integrals do we begin to understand the underlying explanation.

2 Temas de Física

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El siglo XX

Las investigaciones de Karl Weierstrass (1815–1897) demostraron el sutil vínculo existente entre el princi-pio de mínima acción y las ecuaciones de él deduci-das. Apoyándose en semejante resultado, hizo notar que los razonamientos físicos empleados para resolver la mayoría de los casos relevantes deslizaban implícita-mente condiciones suplementarias que permitían llegar a dichas ecuaciones. Fue Weierstrass quien halló la primera condición suficiente para que la integral variacional alcan-zase de hecho su valor mínimo. El vigésimo tercer proble-ma de Hilbert, propuesto por este gran matemático alemán a comienzos del siglo XX, reflejaría su preocupación por los futuros desarrollos del cálculo variacional en la dirección señalada por Weierstrass.

No obstante, la mecánica estadística, fundada por Ludwig Boltzmann (1844–1906), entreabrió la posibilidad de que los procesos fundamentales de la naturaleza revistiesen un carácter en cierto modo aleatorio. Y nadie discutió que la aplicabilidad del principio de mínima acción debía res-tringirse a los procesos reversibles a fin de garantizar su efectividad. Nadie excepto, curiosamente, el mismo Boltzmann, quien trató de enlazar durante algún tiempo el principio de mínima acción con la segunda ley de la termo-dinámica. Su éxito resulto ciertamente exiguo, pues tan solo logró algún avance en los sistemas estrictamente periódicos, un caso nada representativo en la termodinámica general.

Mucho más prudente fue la postura de otro gigante de la Física, Max Planck, quien consideró que los principios de mínimo no expresaban más que una comodidad práctica en el cálculo de las ecuaciones ordinarias de la Física, en los casos en que tales principios resultasen aplicables. En la Física Matemática, por ejemplo, es muy común man-tener variables redundantes con el propósito de preservar la simetría de las ecuaciones y facilitar su cómputo. Planck enfatiza el hecho de que sólo tras una especificación mate-mática precisa de la lagrangiana y de las condiciones para los desplazamientos virtuales, el principio de mínima acción deja de ser “una forma vacía” y adquiere pleno significado físico. Y añade (Planck, 1915, p. 76): “La importancia fun-damental del principio de mínima acción se hace universal-mente reconocida sólo cuando demuestra su aplicabilidad en aquellos sistemas cuyo mecanismo o bien es completamente desconocido, o bien resulta demasiado complejo para plan-tearse su reducción a las coordenadas ordinarias.”

El agudo pensamiento de Planck se mostró de nuevo cuando, enfrentado al problema del cuerpo negro (Kuhn, 1980; Sánchez Ron, 2001), decidió que en todo caso las contradicciones experimentales con los postulados de la Física Clásica signi-ficaban no la refutación del principio de mínima acción, sino la posible invalidez de las ecuaciones de Hamilton, deducidas de él suponiendo que todo proceso físico puede reducirse a pequeños cambios continuos en el tiempo.

Philipp Frank (1884–1966), miembro del Círculo de Viena y uno de los primeros impulsores de la teoría rela-tivista de Einstein, señaló posteriormente que incluso pueden darse curvas mínimas para la acción que no sean trayectorias reales (Frank, 1932, p. 83–91). Como expone

el vigésimo problema de Hilbert, la clave radica en dar con el conjunto apropiado de soluciones tras aplicar el principio de mínima acción, excluyendo las incorrectas mediante prescripciones físicas razonables, cuyo hallazgo nadie garantiza. La práctica nos muestra, sin embargo, que la solución suele hallarse imponiendo condiciones adicio-nales con sentido físico. Normalmente se adopta el requi-sito de trayectorias analíticas (continuas, derivables y con derivada continua con respecto al tiempo) a fin de evitar fuerzas infinitas en algún punto.

Principios variacionales en Relatividad

Planck fue el primer científico en publicar un trabajo en 1906 acerca de la teoría relativista propuesta por Einstein el año anterior (Planck, 1906). En él se estudiaba la acción de un campo electromagnético sobre una partícula puntual cargada partiendo de la lagrangiana L = –cmc2 donde m es la masa propia (la medida por un observador que se mueva junto a la partícula), c es la velocidad de la luz, c = [1 –(o2 /c2)]1/2 y o la velocidad de la partícula respecto a nuestro sistema de referencia. Con frecuencia se utiliza como parámetro varia-cional la noción de tiempo propio1 (el medido por un reloj que se mueva con la partícula) dx = cdt, y la de intervalo relativista ds = cdx.

La dificultad estriba en que tanto la formulación de Lagrange como la de Hamilton distinguen nítidamente entre las coordenadas espaciales por un lado y el tiempo por otro. De hecho, nadie antes de Einstein había tratado el tiempo como una coordenada; la mecánica clásica lo consideraba un parámetro, una simple variable numérica con la que estudiar la evolución de los sistemas físicos, ya fuese en el espacio tridimensional ordinario o en los espacios auxiliares inven-tados por los matemáticos. No ocurre así en la Relatividad –como ya sabemos– donde la coordenada temporal juega un papel básico en la esencia de la teoría.

La solución admitida consistió en definir la lagrangia-na y la hamiltoniana de tal manera que suministrasen las ecuaciones del movimiento relativistas en un sistema de referencia particular. Si al aplicar un principio variacional de ese modo obtenemos magnitudes físicas que obedezcan las transformaciones de Lorentz, carece de importancia práctica que el tiempo no se maneje como una coordenada equiparable a las coordenadas espaciales. Actuando así renunciamos a un planteamiento en el que todos los siste-mas de referencia inerciales se hallan por completo en pie de igualdad (el caso llamado “covariante”) y nos confor-mamos con adoptar en cada ocasión el punto de vista par-ticular de un observador inercial, quien obtendrá sin duda ecuaciones del movimiento que satisfagan las trasforma-ciones de Lorentz, pero separando netamente entre espacio y tiempo. Una alternativa es la de inventar un parámetro

1 El parámetro x sólo se identifica con el tiempo propio sobre la línea de universo cuyas variaciones se calculan (en las demás es una mera va-riable matemática), pues el parámetro usado en las ecuaciones variacio-nales ha de recorrer exactamente el mismo rango de valores sobre todas la curvas. Esto no se podría lograr si cada una de ellas se parametrizase con su tiempo propio.

La importancia física de la “Mínima Acción”

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abstracto, a, del cual dependa t, e incluir el tiempo como una coordenada más en el espacio fásico o el de configura-ciones. Esta posibilidad, no obstante, encierra sus propios escollos (Goldstein 1990, p. 394, 401, 437–443).

Una de las razones por las que el principio de acción estacionaria también funciona en la Física Relativista, está relacionada con el hecho de que la acción es una magnitud invariante bajo transformaciones de Lorentz. La acción es el producto de una energía por un tiempo, y la energía –por su equivalencia con la masa– puede asociar-se a una distribución continua de materia en un volumen tridimensional. Multiplicando ahora ese volumen tridi-mensional por un lapso de tiempo obtenemos un volumen tetradimensional, que sí es un invariante relativista. Como de costumbre, la descomposición de este volumen espacio-temporal en parte espacial y parte temporal depende del sistema de referencia escogido, pero el volu-men 4-dimensional en sí es un “escalar de universo” que no cambia de un referencial a otro.

Y si recordamos que estudiando un volumen espacio-temporal podemos conocer su curvatura 4-dimensional en esa región, al pasar al ámbito de la Relatividad General resulta que la propia curvatura espacio-temporal nos sirve como acción. La curvatura del espacio-tiempo en una región concre-ta, dada por el escalar de Ricci, R, también es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarla.

El movimiento de una partícula sumergida en un campo de gravedad y libre de cualquier otra fuerza, desde el punto de vista de la Relatividad, no será más que la determinación de su línea de universo sobre un espacio-tiempo cuya métrica es curva. La aplicación de un principio variacional en este contexto, como es obvio, se reduce a calcular las líneas de espacio-tiempo que entre dos puntos dados cumplan la condi-ción de longitud estacionaria, d∫ds = 0, conociendo su métrica gno y que el elemento de línea se define por ds2 = gnodxndxo. Se comprende de inmediato que buscamos simplemente la geodésica entre esos dos puntos, cuya determinación nos pro-porcionará la trayectoria seguida por la partícula.

¿Por qué minimizar la acción?

Uno de los más firmes cauces a recorrer en los métodos variacionales fue abierto por el célebre físico estadouniden-se y premio Nobel Richard P. Feynmann, quien desarrolló su método de las integrales de camino (Feynmann, 1948, 1951, 1965) consistente en considerar los cuantones como corpúsculos clásicos tomando en cuenta sus propiedades ondulatorias al asignar a cada uno de ellos una infinidad de trayectorias a recorrer en un espacio abstracto de 6n dimen-siones (siendo n el número de cuantones a estudiar), o “espacio de fases”. A cada una de estas trayectorias, a las que usualmente se llama “historias”, se atribuye un peso estadís-tico en la combinación final asignándole un número comple-jo (en el sentido matemático del término “complejo”).

Desde esta perspectiva cuántica, una “historia de geo-metría”, H, es un espacio-tiempo en sí; es decir, una varie-dad tetradimensional con una métrica pseudo-riemaniana indefinida que cumple dos condiciones: (a) reducción sobre

una hipersuperficie de simultaneidad a un valor inicial especificado, A, de la geometría tridimensional sobre dicha superficie, con métrica definida positiva; y (b) reducción sobre otra hipersuperficie espacial a otro valor especificado de la 3-geometría, asimismo de métrica definida positiva, llamado ahora “valor final”, B. El principio variacional reformulado proporciona una descripción para la longitud del camino dinámico IH, de cualquier historia concebible –clásicamente permitida o no– que conecte A y B.

La Física Clásica afirma que una historia H sólo está permitida si sobre ella se hace extremo (máximo o míni-mo) el valor de I comparado con cualquier otra historia adyacente. La Física Cuántica establece, por el contrario, que todas las historias poseen la misma amplitud de pro-babilidad en el sentido siguiente. La amplitud de proba-bilidad, P, para una “geometría dinámica espacial en la transición de A a B” por medio de la historia H con integral de acción IH y de las historias vecinas dentro de un rango infinitesimal dH, de la historia H, se calcula mediante la expresión P ~ exp(iIH / ')NdH en la que aparecen el factor de normalización N, el mismo para todas las historias con-cebibles H, permitidas o no, que lleven de A a B (“princi-pio de democracia de las historias”), y ' = h/2r, donde h es la constante de Planck.

De entre todas las historias contabilizadas, la permitida clásicamente recibe lo que los expertos llaman en sus juegos de palabras “preferencia sin preferencia”. Esa historia, y todas las que difieran de ella tan poco que dI = IH – Iclásica es del orden de ' o menor, suministran contribuciones a la amplitud de probabilidad que interfieren constructivamente. En cambio, la interferencia destructiva rebaja la contribu-ción proveniente de las que difieren en mayor medida de la historia clásicamente permitida. Así pues, hay fluctuacio-nes cuánticas en la geometría espacio-temporal, pero son fluctuaciones de una magnitud limitada. La pequeñez de ' garantiza que esas fluctuaciones resulten imperceptibles en la escala de las distancias cotidianas. En ese sentido se juzga que la geometría espacio-temporal clásica es una buena aproximación a la geometría del mundo cuántico.

En la teoría de Feynman todos los caminos contribuyen con una cierta amplitud de probabilidad, y el resultado se calcula mediante unas integrales que por ello se denomi-nan “integrales de camino”. Sin embargo, puesto que las contribuciones de cada camino se suman de acuerdo con las reglas cuánticas usuales para la combinación de ampli-tudes de probabilidad, aquellos que se apartan mucho de la trayectoria clásica contribuyen muy poco. El principio de mínima acción quedaba así explicado en el caso de una partícula libre. No es que el sistema conociese por alguna misteriosa teleología la trayectoria a escoger entre la infinidad de posibilidades entre un origen y un destino prefijados. Es la cancelación cuántica de las trayectorias más improbables la que otorga una probabilidad máxima a la trayectoria prescrita por la Física Clásica.

De cuanto se ha dicho no debe deducirse que la trayectoria clásica domina siempre, cosa que no sucede salvo si esta-mos en el limite apropiado (Nieto y Sánchez-Gómez, 1987). El límite clásico corresponde a la aproximación '→0, de modo que aumenta la interferencia entre las fase de los

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distintos caminos y sólo perduran aquellos cuya acción es estacionaria. Los caminos muy próximos al clásico no intervienen en primer orden (condición estacionaria), y en segundo orden introducen una corrección igual a exp(iS/') a través de un factor de normalización que sólo depende de los extremos. Esta aproximación semiclásica es exacta en aquellos casos en que todas las fluctuaciones son cuadráticas, como, por ejemplo, en el movimiento libre. Cuando no sucede así, no puede garantizarse que con el formalismo de Feynman se llega siempre a la tra-yectoria clásica, y hemos de recurrir a la imposición de restricciones –“ligaduras” podríamos decir– cuyo signifi-cado físico asegure el oportuno paso a un comportamiento macroscópico clásico.

Sin embargo, la viabilidad del mismo razonamiento para sistemas compuestos por gran cantidad de partículas en interacción, está lejos de haber sido aclarada sin sombra de duda. Nos encontramos aquí de nuevo que la respuesta a la preguntas sobre el motivo por el cual el mundo físico parece obedecer principios de mínima acción, nos con-duce al no menos espinoso asunto de la transición entre el mundo cuántico y el clásico. Y es que, como decía Einstein, la naturaleza no revela con facilidad sus más íntimos secretos.

Referencias[1] ArAnA, J. Apariencia y Verdad. Estudios sobre la filosofía de

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[9] PlAnck, m. Verh. Deutsch. Phys. Ges., 4, p. 136 (1906).[10] PlAnck, m. Das Prinzip der kleinsten Wirkung, en Wege zur

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[11] sáncHez ron, J.m. Historia de la física cuántica, vol. I, Bar-celona: Crítica (2001).

Rafael Andrés Alemañ Berenguer Dpto. Ciencia de Materiales, Universidad Miguel Hernández, Elche