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FısicaDavid Giuliodori

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Indice general

1. Movimiento Rectilıneo 7

1.1. Movimiento Rectilıneo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Movimiento Rectilıneo Uniformemente Variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Tiro Oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Alcance y Encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. Movimiento Circular Uniforme 23

2.1. Aceleraciones y Velocidades en MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Relacion entre velocidad angular y velocidad lineal o tangencial . . . . . . . . . . 24

2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Trabajo y Energıa 29

3.1. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2. Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Impulso - Cantidad de Movimiento - Colisiones 37

4.1. Impulso y Cantidad de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1. Colisiones elasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.2. Colisiones inelasticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Dinamica 45

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3. Peso de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.1. Fuerzas de Friccion o Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4.2. Plano Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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4 INDICE GENERAL

6. Fluidos 536.1. Presion de un Fluido en Reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2. Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.3. Principio de Arquımides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4. Ecuacion de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.5. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7. Termodinamica 617.1. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1.1. Medicion de la Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2. Capacidad Calorıfica en los Solidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2.1. Calores de Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3. Ecuacion de Estado - Ley de los Gases Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4. Trabajo efectuado sobre un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5. Capacidad Calorıfica de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8. Electricidad 718.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2. Formas para electrizar un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.3. Fuerza Electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.4. Campo Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.5. Energıa potencial electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.5.1. Potencial Electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9. Matematica Avanzada 839.1. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.1.1. Punto de Acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839.1.2. Lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.2.1. Ecuacion de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.2.2. Maximos y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.2.3. Derivada de un polinomio y una constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.2.4. Regla de la Derivada de una Suma y Resta de funciones . . . . . . . . . . 909.2.5. Aplicacion a la cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10.Astronomıa 9510.1. Historio del Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9610.3. Ley de Gravitacion Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.3.1. Variacion de la intensidad de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.3.2. La masa de los planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.3.3. Movimiento de los satelites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.4. Distancias en Astronomıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.5. Magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.5.1. Magnitud Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

INDICE GENERAL 5

10.5.2. Magnitud Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10110.6. Universo, Galaxias y Estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.6.1. Galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10210.6.2. Estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Movimiento Rectilıneo

En este movimiento, el cuerpo considerado como partıcula, solo podra moverse en una di-mension (trayectoria rectilınea). Vamos a disntiguir dos tipos de MR:

1. Movimiento Rectilıneo Uniforme (MRU)

2. Movimiento Rectilıneo Uniformemente Variado (MRUV)

Empezaremos definiendo dos conceptos que son fundamentales en este tipo de movimiento:

Definicion 1 (Velocidad) La velocidad de un cuerpo es la relacion que existe entre el espacioque recorre y el tiempo que emplea en recorrerlo. Esta podra ser constante o variable, dependiendodel tipo de movimiento que se trate.

v =∆x

∆t=x2 − x1

t2 − t1(1.1)

donde x1 y x2 son los espacios inicial y final respectivamente, y t1 y t2 los tiempos iniciales yfinales.

Definicion 2 (Aceleracion) La velocidad de un cuerpo es la relacion que existe entre el cambiode velocidad que experimenta y el tiempo que tarda en experimentarlo. Un cuerpo que modificasu velocidad a medida que transcurre el tiempo, esta asumiendo que tiene una cierta aceleracion.

a =∆v

∆t=v2 − v1

t2 − t1(1.2)

donde v1 y v2 son las velocidades inicial y final respectivamente.

1.1. Movimiento Rectilıneo Uniforme

Los cuerpos que se mueven con movimiento rectilıneo uniforme, se caracterizan por reco-rrer espacios iguales en tiempos iguales. En otras palabras, la velocidad es constante y comoconsecuencia, la aceleracion es nula. Por lo tanto:

v =∆x

∆t=x2 − x1

t2 − t1= k (1.3)

7

8 CAPITULO 1. MOVIMIENTO RECTILINEO

a =∆v

∆t=v2 − v1

t2 − t1= 0 (1.4)

Si despejamos x2 de la ecuacion 1.3 se obtiene:

x2 = x1 + v ·∆t (1.5)

esta ecuacion es la que llamaremos ecuacion del espacio.

Recordemos como era la ecuacion de una funcion lineal:

y = a+ b · x (1.6)

Por lo tanto, se puede observar que x2 es una funcion lineal respecto de ∆t, donde el espacioinicial x1 es la ordenada al origen, y la velocidad la pendiente de la recta. Graficamente tenemos:

Figura 1.1: Grafico del Espacio en funcion del Tiempo

Si la velocidad es positiva la recta es creciente, si la velocidad es negativa la recta decrece.Cabe destacar que los graficos del espacio en funcion del tiempo solo tienen sentido en el primercuadrante, debido a que no existen ni tiempos ni espacios negativos.

Dado que en MRU la velocidad es constante a lo largo del tiempo, cuando graficamos tenemos:

En este grafico, el area representa el espacio recorrido, es decir:

Area = Base ·Altura

= ∆t · v = ∆x (1.7)

1.1. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME 9

Figura 1.2: Grafico de la Velocidad en funcion del Tiempo

Ejemplo 1 Un auto se desplaza a 80 km/h durante 3 horas. Calcular la distancia recorrida porel auto.

SolucionUsando la ecuacion 1.5 tenemos,

x2 = v ·∆t = 80km/h · 3h = 240km (1.8)

�

Ejemplo 2 Escribir la ecuacion del espacio del siguiente grafico 1.3.

SolucionUsando la ecuacion 1.5 tenemos,

x2 = 10m+10m

12s·∆t = 10m+ 0, 83m/s ·∆t (1.9)

�

1.1.1. Ejercicios

1. Pasar de unidades las siguientes velocidades:

a) de 36 km/h a m/s.

b) de 10 m/s a km/h.

c) de 30 km/min a cm/s.

d) ) de 50 m/min a km/h.


Figura 1.3: Grafico del Espacio en funcion del Tiempo

2. Un movil recorre 98 km en 2 h, calcular:

a) Su velocidad.

b) ¿Cuantos kilometros recorrera en 3 h con la misma velocidad?.

Respuestas: 49 km/h y 147 km

3. Se produce un disparo a 2,04 km de donde se encuentra un policıa, ¿cuanto tarda el policıaen oırlo si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s?

Respuestas: 6,18 s

4. La velocidad de sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300.000 km/s. Se produce unrelampago a 50 km de un observador.

a) ¿Que recibe primero el observador, la luz o el sonido?

b) ¿Con que diferencia de tiempo los registra?

Respuestas: La luz. La diferencia de tiempo es 151,51 s

5. ¿Cuanto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?, si la velocidad de la luz es de 300.000km/s y el sol se encuentra a 150.000.000 km de distancia.

Respuestas: 500 s

6. Un auto de formula 1, recorre la recta de un circuito, con velocidad constante. En el tiempot1 = 0,5 s y t2 = 1,5 s, sus posiciones en la recta son x1 = 3,5 m y x2 = 43,5m. Calcular:

a) ¿A que velocidad se desplaza el auto?

1.2. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO 11

b) ¿En que punto de la recta se encontrarıa a los 3 s?

Respuestas: 40 m/s y 123,5 m

7. ¿Cual sera la distancia recorrida por un movil a razon de 90 km/h, despues de un dıa ymedio de viaje?

Respuestas: 3240 km

8. ¿Cual de los siguientes moviles se mueve con mayor velocidad: el (a) que se desplaza a 120km/h o el (b) que lo hace a 45 m/s?

Respuestas: El movil b

9. ¿Cual es el tiempo empleado por un movil que se desplaza a 75 km/h para recorrer unadistancia de 25.000 m?

Respuestas: 0,33 hs

10. ¿Que tiempo empleara un movil que viaja a 80 km/h para recorrer una distancia de 640km?

Respuestas: 8 hs

1.2. Movimiento Rectilıneo Uniformemente Variado

Es aquel en el que un movil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a unaaceleracion constante, como consecuancia experimenta cambios de velocidades iguales en inter-valos de tiempo iguales. Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caıda libre vertical, enel cual la aceleracion interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

Tambien puede definirse el movimiento como el que realiza una partıcula que partiendo delreposo es acelerada por una fuerza constante.

Por lo tanto podemos escribir:

a =∆v

∆t=v2 − v1

t2 − t16= 0 (1.10)

Despejando v2 de la ecuacion 1.10 tenemos:

v2 = v1 + a ·∆t (1.11)

Nuevamente aquı sucede algo similar a lo visto en MRU con la ecuacion del espacio, es decirque v1 es la ordenada al origen, y la aceleracion la pendiente (que puede ser positiva o negativa).

A la ecuacion 1.11 la llamaremos la ecuacion de la velocidad. El grafico de esta ecuaciones equivalente a la ecuacion del espacio del MRU (1.5), por lo que el grafico de esta ecuacion esel siguiente:


Figura 1.4: Grafico del Velocidad en funcion del Tiempo

Nuevamente, el area del grafico representa el espacio total recorrido. Calculando las areastenemos:

Area 1 = Base ·Altura

= ∆t · v1 (1.12)

Area 2 =Base ·Altura

2

=∆t · (v2 − v1)

2(1.13)

Area = Area 1 + Area 2

= ∆t · v1 +∆t · (v2 − v1)

2= ∆x (1.14)

Ahora, reemplazando el resultado obtenido en la ecuacion 1.11 por v2, tenemos:

∆x = ∆t · v1 +∆t · (v2 − v1)

2

= ∆t · v1 +∆t · (v1 + a ·∆t− v1)

2(1.15)

Simplificando y reescribiendo la ecuacion, se obtiene:

∆x = ∆t · v1 +a ·∆t2

2(1.16)

Por ultimo, descomponemos ∆x = x2 − x1, por lo que:

x2 = x1 + v1 ·∆t+1

2a ·∆t2 (1.17)


La ecuacion 1.19 es la que llamaremos ecuacion del espacio del MRUV.

Ahora, recordemos como era la ecuacion de la funcion cuadratica:

y = a · x2 + b · x+ c (1.18)

Por lo que se puede observar, de la ecuacion 1.19, x2 es una funcion cuadratica respecto deltiempo, donde la ordenada al origen (coeficiente c) viene dado por x1; 1/2 ·a, que se correspondecon el coeficiente a de la funcion cuadratica, determina si las parabolas van hacia arriba (acele-racion positiva) o hacia abajo (aceleracion negativa); y por ultimo, la velocidad inicial v1 es elcoeficiente b de la funcion.

Figura 1.5: Grafico del Espacio en funcion del Tiempo con aceleracion positiva

Cabe destacar que si la aceleracion toma el valor cero, la ecuaciones 1.11 y 1.19 son lassiguientes:

x2 = x1 + v1 ·∆tv2 = v1 (1.19)

que son efectivamente las ecuaciones correspondiente al MRU, donde la velocidad es constante(velocidad inicial y final iguales) y el espacio es lineal respecto del tiempo.

Existe una relacion muy importante y que es muy util en muchos casos practicos que surge decombinar las ecuaciones 1.11 y 1.19, que relaciona las velocidades con la aceleracion y el espacio:

v22 − v2

1 = 2a∆x (1.20)

Ejemplo 3 Usted frena su Porsche desde la velocidad de 85 km/h hasta los 45 km/h en unadistancia de 105 m. Calcular a) la aceleracion suponiendo que sea constante durante el intervalo


b) ¿Que tanto tiempo transcurrio durante el intervalo? c) Si usted fuera a seguir frenando con lamisma aceleracion, ¿que tiempo le tomara detenerse y que distancia adicional le tocara recorrer?

SolucionUsando la ecuacion 1.20 y despejando la aceleracion tenemos,

a =v2

2 − v21

2 ·∆x=

(12, 5m/s)2 − (23, 61m/s)

2

2 · 105m= −1, 91m/s2 (1.21)

Para calcular el tiempo usamos la ecuacion 1.11 y despejamos el tiempo,

∆t =v2 − v1

a=

12, 5m/s− 23, 61m/s

−1, 91m/s2= 5, 8s (1.22)

Si fueramos a seguir frenando, tendrıamos que calcular lo siguiente:

∆t =v2 − v1

a=

0− 12, 5m/s

−1, 91m/s2= 6, 5s (1.23)

Para calcular el espacio recorrido hasta frenar usamos la ecuacion 1.19,

x2 = x1 + v1 ·∆t+1

2a ·∆t2

= 12, 5m/s · 6, 5s+1

2

(−1, 91m/s2

)· (6, 5s)2

= 41m (1.24)

�

En resumen, podemos escribir las dos variantes del moviemiento rectilıneo en el siguientecuadro:

MRU MRUVAceleracion 0 ConstanteVelocidad Constante v2 = v1 + a ·∆t

Funcion lineal respecto al tiempoEspacio x2 = x1 + v ·∆t x2 = x1 + v1 ·∆t+ 1

2a ·∆t2

Funcion lineal respecto al tiempo Funcion cuadratica respecto al tiempo

1.2.1. Ejercicios

1. Un automovil que viaja a una velocidad constante de 120 km/h, demora 10 s en detenerse.Calcular:

a) ¿Que espacio necesito para detenerse?


b) ¿Con que velocidad chocarıa a otro vehıculo ubicado a 30 m del lugar donde aplico losfrenos?

Respuestas: x2 = 166, 6m y v2 = 30m/s

2. Un ciclista que va a 30 km/h, aplica los frenos y logra detener la bicicleta en 4 segundos.Calcular:

a) ¿Que desaceleracion produjeron los frenos?

b) ¿Que espacio necesito para frenar?

3. Un avion, cuando toca pista, acciona todos los sistemas de frenado, que le generan unadesaceleracion de 20 m/s2, necesita 100 metros para detenerse. Calcular:

a) ¿Con que velocidad toca pista?

b) ¿Que tiempo demoro en detener el avion?

4. Un camion viene disminuyendo su velocidad en forma uniforme, de 100 km/h a 50 km/h.Si para esto tuvo que frenar durante 1.500 m. Calcular:

a) ¿Que desaceleracion produjeron los frenos?

b) ¿Cuanto tiempo empleo para el frenado?

5. La bala de un rifle, cuyo canon mide 1,4 m, sale con una velocidad de 1.400 m/s. Calcular:

a) ¿Que aceleracion experimenta la bala?

b) ¿Cuanto tarda en salir del rifle?

6. Una partıcula se encuentra en reposo en el instante t=0 s. Si su grafica a − t es la que semuestra en la figura, determinar las graficas v − t y x− t.

7. Un movil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos durante 25 s, y recorreuna distancia de 400 m hasta detenerse. Determinar:

a) ¿Que velocidad tenıa el movil antes de aplicar los frenos?

b) ¿Que desaceleracion produjeron los frenos?

8. Un auto marcha a una velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instanteen que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en los 4 s que tarda en llegaral pozo. Determinar a que distancia del obstaculo el conductor aplico los frenos, suponiendoque la aceleracion fue constante.


9. Un automovil parte del reposo con una aceleracion constante de 3 m/s2, determinar:

a) ¿Que velocidad tendra a los 8 s de haber iniciado el movimiento?

b) ¿Que distancia habra recorrido en ese lapso?

10. A partir del grafico v − t mostrado a continuacion, calcular la velocidad inicial (v0) delmovil, si se sabe que la distancia total recorrida es de 102 m.

1.3. Tiro Oblicuo

Un ejemplo de tiro oblicuo es el movimiento de un proyectil, el movimiento ideal de unapelota de beisbol o el de una pelota de golf. En nuestro analisis supondremos que se despreciael rozamiento del aire. Ademas, por simplificacion, consideraremos solo el movimiento de caıdadel objeto. Entonces, en el eje vertical (lo llamaremos y) solo actuara la gravedad, es decir unmovimiento variado, mientras que en el eje horizontal (lo llamaremos x) sera un movimientorectilıneo uniforme.

Por lo que tenemos:

Eje Vertical (y) Eje Horizontal (x)Espacio x2 = x1 + v1 ·∆t+ 1

2a ·∆t2 x2 = x1 + v ·∆t

Velocidad v2 = v1 + a ·∆t v = constante

Si consideramos la velocidad inicial en y igual a cero, y teniendo en cuenta que el espaciorecorrido en el eje vertical corresponde a la altura desde donde es lanzado el objeto, entonces:

Eje Vertical (y) Eje Horizontal (x)Espacio h = 1

2g ·∆t2 x2 = v ·∆t

Velocidad v2 = g ·∆t v = constante

Despejando el tiempo de la ecuacion de espacio del eje vertical, podemos calcular el tiempode caıda o de impacto del objeto:

1.3. TIRO OBLICUO 17

∆t =

√2 · hg

(1.25)

Ademas, la velocidad de impacto o velocidad de caıda del eje y es:

v2 =√

2 · h · g (1.26)

Cabe destacar, que el tiempo de caıda es el tiempo de alcance del objeto, es decir el tiempoque tarda en recorrer el espacio en el eje x, que es el mismo tiempo que tarda en caer.

Ejemplo 4 En un concurso en dejar caer un paquete sobre un blanco, el aeroplano de unos delos concursantes esta volando a una velocidad constante de 155 km/h y a una altura de 225 mhacia el punto directamente arriba del plano. ¿Cual es el tiempo de caıda y a que distancia seencuentra el blanco?

SolucionHallaremos el tiempo de caıda usando la ecuacion 1.25,

∆t =

√2 · hg

=

√2 · 225m

9, 8m/s2= 6, 78s (1.27)

La distancia horizontal recorrida por el paquete en este tiempo viene dada por:

x2 = v ·∆t = 43, 05m/s · 6, 78s = 291, 9m (1.28)

�

1.3.1. Ejercicios

1. Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080 km/h, lanza una bomba.Calcular:

a) ¿Cuanto tarda en oır la explosion?

b) ¿A que distancia se encontraba el objetivo?

2. Un avion que vuela a 2000 m de altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bombacuando se encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:

a) ¿A que distancia del objetivo cae la bomba?

b) ¿Cuanto tarda la bomba en llegar al suelo?

c) ¿Donde esta el avion al explotar la bomba?

3. Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de altura en direccion paralela alrıo, este hace impacto en el agua a 2000 m del lugar del disparo. Determinar:

a) ¿Que velocidad inicial tenıa el proyectil?


b) ¿Cuanto tardo en tocar el agua?

4. Una pelota esta rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a los0,5 s de haberse caıdo de la mesa esta a 0,2 m de ella. Calcular:

a) ¿Que velocidad traıa?

b) ¿A que distancia de la mesa estara al llegar al suelo?

c) ¿Cual era su distancia al suelo a los 0,5 s?

5. Un avion vuela horizontalmente con velocidad vA = 900 km/h a una altura de 2000 m,suelta una bomba que debe dar en un barco cuya velocidad es vB = 40 km/h con igualdireccion y sentido. Determinar:

a) ¿Que tiempo tarda la bomba en darle al barco?

b) ¿Con que velocidad llega la bomba al barco?

c) ¿Que distancia recorre el barco desde el lanzamiento hasta el impacto?

d) ¿Cual sera la distancia horizontal entre el avion y el barco en el instante del lanza-miento?

e) ¿Cual sera la distancia horizontal entre el avion y el barco en el instante del impacto?

1.4. Alcance y Encuentro

En este caso particular, en el momento de encuentro/alcance los cuerpos cumplen con lacondicion de que el espacio y el tiempo son los mismos. Entonces igualando las ecuaciones deespacio de los cuerpos generalmente se resuelve el problema.

Ejemplo 5 Pasa un auto a 72 km/h por un puesto de control policial. En el mismo instantesale en su persecucion una moto de policia, que parte del reposo, con una aceleracion de 3 m/s2.¿Donde y cuando lo alcanzara?

SolucionPara hallar la solucion, primero hay que identificar el tipo de movimiento en cada vehıculo.

La moto, dado que tiene aceleracion de 3 m/s2, es un MRUV, y el auto, que se mueve a velocidadconstante, es MRU.

Para el auto tenemos que la ecuacion de espacio viene dada por:

x2 = x1 + v ·∆tx2 = 72km/h ·∆t (1.29)

Para la moto tenemos:

x2 = x1 + v1 ·∆t+1

2a ·∆t2

x2 = 0 ·∆t+1

23m/s2 ·∆t2

e =1

23m/s2 ·∆t2

(1.30)

1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO 19

Igualando ambas ecuaciones (transformando todo a las mismas unidades), dado que en elmomento de ecuentro la moto y el auto han recorrido el mismo espacio, se tiene:

20m/s ·∆t =1

23m/s2 ·∆t2 (1.31)

Despejando ∆t, se llega a:

∆t =20m/s

0,5 · 3m/s2

∆t = 13, 33s (1.32)

Una vez calculado el tiempo, se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones 1.29 o 1.30 esevalor para ası obtener el espacio recorrido. Por ejemplo usaremos la ecuacion del espacio corres-pondiente al auto (1.29), entonces:

x2 = 20m/s · 13, 33s

x2 = 266, 6m (1.33)

La conslusion del problema es que la moto alcanza al auto luego de recorrer 266,6 m en 13,33s.

�

1.4.1. Ejercicios

1. En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su auto a una velocidad de 20m/s. Diez segundos despues, una patrulla de la policıa pasa por la misma esquina persi-guiendolo a 30 m/s. Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolvergrafica y analıticamente:

a) ¿A que distancia de la esquina, la policıa alcanzara al muchacho?

b) ¿En que instante se produce el encuentro?

2. En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilıneo uniforme de 20 m/s. Cincosegundos despues, pasa en su persecucion, por el mismo punto A, otro cuerpo animadode movimiento rectilıneo uniforme, de velocidad 30 m/s. ¿Cuando y donde lo alcanzara?,resolver grafica y analıticamente.

3. Un movil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, en el mismoinstante sale de la localidad B hacia A otro a 60 km/h, A y B se encuentran a 600 km.Calcular:

a) ¿A que distancia de A se encontraran?

b) ¿En que instante se encontraran?

4. Un movil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de 80 km/h, 90 minutosdespues sale desde el mismo lugar y en su persecucion otro movil a 27,78 m/s. Calcular:

a) ¿A que distancia de A lo alcanzara?


b) ¿En que instante lo alcanzara?

5. Dos moviles pasan simultaneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entresi 3 km, con velocidades va = 54 km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y delmismo sentido. Hallar analıticamente y graficamente:

a) La posicion del encuentro.

b) El instante del encuentro.

6. Dos moviles pasan simultaneamente, con M.R.U., por dos posiciones A y B distantes entresi 6 km, con velocidades va = 36 km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y delsentido opuesto. Hallar analıticamente y graficamente:

a) La posicion del encuentro.


7. Dos puntos A y B estan separados por una distancia de 180 m. En un mismo momentopasan dos moviles, uno desde A hacia B y el otro desde B hacia A, con velocidades de 10m/s y 20 m/s respectivamente. Hallar analıticamente y graficamente:

a) ¿A que distancia de A se encontraran?


8. En una obra en construccion se tira verticalmente hacia arriba desde los 15 m de altura unmartillo con velocidad inicial de 40 m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube unmontacarga con velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado, ¿cuantotiempo despues y a que altura chocara con el montacarga?

9. Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40 km/h, el otro partiendo delreposo con una aceleracion de 1000 km/h2, calcular:

a) ¿Cuando el primer ciclista sera alcanzado por el segundo?

b) ¿A que distancia de la salida?

c) ¿Que velocidad tendra el segundo ciclista en el momento del encuentro?

10. Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h superando la velocidad permi-tida, a los 4 s un policıa sale a perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los6000 m, calcular:

a) ¿Cuanto dura la persecucion?

b) ¿Que aceleracion llevaba el policıa?

c) ¿Que velocidad tenıa el policıa en el momento del encuentro?

11. Un motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleracion de 0, 003m/s2. Enel mismo momento un automovil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h,calcular:

a) ¿Cuanto tarda el motociclista en alcanzar al automovil?

b) ¿A que distancia de la esquina ocurre esto?

1.4. ALCANCE Y ENCUENTRO 21

12. El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1 advierte delante de el, a unadistancia d, la cola de un tren de carga que se mueve en su mismo sentido, con una velocidadv2 constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleracion constante, determinar elmınimo valor del modulo de dicha aceleracion, para evitar el choque.

13. Un jugador de futbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un angulo de 30 gradoscon respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador correpara alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que elladesde 20 m mas delante de la posicion de disparo. Despreciando el tiempo que necesitapara arrancar, calcular con que velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando estallegue al suelo.

14. En el instante en que un semaforo da luz verde, un automovil, que habıa estado detenidoen el cruce, arranca recto con una aceleracion constante de 2m/s2. Al mismo tiempo unacamioneta, con velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa. Determinar:

a) ¿A que distancia de su punto de partida el automovil alcanzara a la camioneta?

b) ¿A que velocidad lo hara?


Capıtulo 2

Movimiento Circular Uniforme

En fısica, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando,con rapidez constante, una trayectoria circular.

2.1. Aceleraciones y Velocidades en MCU

Definicion 3 Aceleracion centrıpetaLa aceleracion centrıpeta es una magnitud relacionada con el cambio de direccion de la ve-

locidad de una partıcula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilınea. Cuando unapartıcula se mueve en una trayectoria curvilınea, aunque se mueva con rapidez constante (porejemplo el MCU), su velocidad cambia de direccion, ya que es un vector tangente a la trayectoria,y en las curvas dicha tangente no es constante.

ac =v2

R(2.1)

Definicion 4 Velocidad angularLa velocidad angular es la variacion del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

ω =∆θ

∆t(2.2)

Definicion 5 FrecuenciaLa frecuencia mide el numero de revoluciones o vueltas completadas por el movil dividido el

tiempo que tarda en realizarlas.

f =vueltas

∆t(2.3)

Definicion 6 PerıodoTiempo necesario para realizar una vuelta

f =1

T(2.4)

23

24 CAPITULO 2. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Figura 2.1: Esquema de los vectores que componen el MCU

Por otra parte, dado que el perımetro de una circunferencia viene dado por P = 2πR, entoncesla distancia total recorrida viene dada por:

∆x = 2πR · vueltas (2.5)

2.2. Relacion entre velocidad angular y velocidad lineal otangencial

La velocidad angular y la velocidad lineal se relacionan a traves del radio de la circunferencia,es decir:

v = ω ·R (2.6)

Esta relacion es sumamente util a la hora de resolver ejercicios en los que, por ejemplo no seconoce el angulo recorrido.

Ejemplo 6 Un moto circula a velocidad constante por una curva de 150 m de radio. Si la velo-cidad de la moto es de 72 km/h, calcular la aceleracion centrıpeta de la moto.

SolucionUsando la ecuacion 2.1 tenemos:

ac =v2

R=

(20m/s)2

150m= 2, 67m/s2 (2.7)

�

Ejemplo 7 Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 7rad/s, se enrollan 21m de hilo, siempre con el mismo radio r = 0, 18 m. Calcular:

a) El tiempo que tarda en enrollar los 21 m

b) El numero de vueltas que ha dado el carrete

2.3. EJERCICIOS 25

c) El angulo girado en radianes

d) La velocidad lineal del hilo

e) La aceleracion centrıpeta que sufre un punto de la periferia del carrete

Solucion

a)

∆t =∆x

v=

∆x

ωR=

21m

7rad/s · 0, 18m= 16, 66s (2.8)

b)

P = 2πR = 2π0, 18m = 1, 13m (2.9)

Por regla de tres simple se calcula que la cantidad de vueltas es 18,56.

c)

θ = ωt = 7rad/s · 16, 66s = 116, 66rad (2.10)

d)

V = ωR = 7rad/s0, 18m = 1, 26m/s (2.11)

e)

ac =V 2

R=

(1, 26m/s)2

0, 18m= 8, 82m/s2 (2.12)

�

2.3. Ejercicios

1. Un disco de 8 cm de diametro, ha girado 81 vueltas en un tiempo total de 108 s. Suponiendocontante la velocidad angular, calcular:

a) La distancia recorrida por un punto de la periferia

b) El angulo girado en radianes

c) La velocidad lineal o tangencial de un punto de la periferia

d) La velocidad angular del disco

e) La aceleracion centrıpeta

Respuestas: 2035,75 cm; 508,88 rad; 18,85 cm/s; 4,71 rad/s; 88,74 cm/s2

2. Sobre un carrete que gira a velocidad angular constante ω = 5rad/s, se enrollan 18 m dehilo, siempre con el mismo radio r = 0, 15 m. Calcular:

a) El tiempo que tarda en enrollar los 18 m


b) El numero de vueltas que ha dado el carrete

c) El angulo girado en radianes

d) La velocidad lineal del hilo

e) La aceleracion centrıpeta que sufre un punto de la periferia del carrete

Respuesta: 24 s; 19,10 vueltas; 120 rad; 0,75 m/s; 3,75 m/s2

3. Un auto circula a velocidad constante por una curva de autopista de 1000 m de radio. Sila aceleracion centrıpeta no debe exceder 1,2 m/s2, calcular:

a) La maxima velocidad permitida

Respuesta: 34 m/s

4. Un coche circula por una curva de autopista de 300 m de radio a una velocidad de 90 km/h.Calcular:

a) Cuanto vale la componente normal (centrıpeta) de su aceleracion

Respuesta: 2,1 m/s2

5. La Luna gira alrededor de la Tierra haciendo una revolucion completa en 27,3 dıas. Supo-niendo que la orbita es circular y que tiene un radio de 3, 82× 108m. ¿Cual es la magnitudde la aceleracion de la Luna hacia la Tierra?

6. Calcule la velocidad de un satelite artificial de la Tierra, suponiendo que esta viajando auna altitud de 210 km, donde la g = 9, 2 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km.

7. Un tren realiza un viaje entre Parıs y Le Mans, en Francia, donde puede adquirir unavelocidad maxima de 310 km/h.

a) Si el tren toma una curva a esta velocidad, y la aceleracion experimentada por lospasajeros no debe superar los 0,05 g (9,8 m/s2) ¿cual es el radio de la vıa mas pequenaque puede tolerarse?

b) Si existiese una curva con radio de 0,94 km ¿A que valor deberıa disminuir el tren suvelocidad?

8. Un nino hace girar una piedra en un cırculo horizontal situado a 1,9 metros sobre el suelopor medio de una cuerda de 1,4 metros de longitud. La cuerda se rompe y la piedrasale disparada horizontalmente, golpeando el suelo a 11 metros de distancia. ¿Cual fue laaceleracion de la piedra mientras estaba en movimiento circular?

9. Un automovil, cuyo velocımetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perımetro deuna pista circular en un minuto. Calcular:

a) La velociadd angular

b) El radio de la circunsferencia

c) La aceleracion centrıpeta

10. Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que lospuntos situados a 50cm de su eje esten sometidos a una aceleracion que sea 500 veces la dela gravedad.

2.3. EJERCICIOS 27

11. Un piloto de avion bien entrenado aguanta aceleraciones de hasta 8 veces la de la gravedad,durante tiempos breves, sin perder el conocimiento.

a) Para un avion que vuela a 2300 km/h, ¿cual sera el radio de giro mınimo que puedesoportar?

b) ¿Que sucede con el piloto, si el radio de giro es de 4800 m a la velocidad calculada enel punto anterior? Justifique su respuesta con el planteo y calculo correspondiente.

12. Una bicicleta recorre 40 m en 5 s.

a) Hallar el perıodo de sus ruedas si el radio es de 50 cm.

b) Determinar el tiempo que tardara en recorrer 300 m.

Respuestas: 0,4 s ; 37,5 s

13. Una varilla de 3 m de longitud gira respecto a uno de sus extremos a 20 r.p.m.: Calcular:

a) El perıodo y el no de vueltas que dara en 15 s.

b) La velocidad del otro extremo de la varilla.

c) La velocidad de un punto de la varilla situado a 1 m del extremo fijo.

d) La velocidad de un punto de la varilla situado a 2 m del extremo fijo.

Respuestas: 3 s; 5 rev; 2π m/s; 2,1 m/2; 4,2 m/s

14. Hallar el periodo de la aguja horaria de un reloj.

Respuestas: 43200 s

15. Una rueda de coche tarda 20 s en recorrer 500 m. Su radio es de 40 cm. Hallar el no devueltas que dara al recorrer los 500 m y las r.p.m. con que gira.

Respuestas: 199 rev; 596,8 rpm

16. La velocidad angular de una rueda es de 2 rad/s y su radio, 60 cm. Hallar la velocidad yla aceleracion centrıpeta de un punto del extremo de la rueda.

Respuestas: 1,2 m/s; 2,4 m/s2

17. Un auto se desplaza a 124 km/h ve que hay un cartel de curva a 250 metros, por lo quefrena hasta la velocidad adecuada para tomar una curva de 252,52 metros de radio, queadmite una aceleracion centrıpeta maxima de 1,1 m/s2. Una vez finalizada la curva, el autovuelve a acelerar hasta llegar a los 110 km/h en un tiempo de 10 segundos. Calcular:

a. Tiempo empleado para frenar antes de llegar a la curva

b. Aceleracion durante el frenado

c. Velocidad lineal durante la curva

d. Velocidad angular

e. Espacio recorrido despues de la curva

f. Aceleracion alcanzada despues de la curva

g. ¿Que hubiese sucedido si el auto frenaba hasta los 80 km/h antes de llegar a la curva?


Capıtulo 3

Trabajo y Energıa

3.1. Trabajo

Definicion 7 TrabajoEn mecanica clasica, el trabajo que realiza una fuerza se define como el producto de esta por

el camino que recorre su punto de aplicacion y por el coseno del angulo que forman el uno con elotro.1 El trabajo es una magnitud fısica escalar que se representa con la letra (del ingles Work)y se expresa en unidades de energıa, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacionalde Unidades.

W = F · d · cosα (3.1)

La unidad del W es el Joule (J = Kg·m2

s2 )

Figura 3.1: Esquema del trabajo realizado sobre un bloque

Definicion 8 PotenciaPotencia (sımbolo P) es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo

P =W

t(3.2)

La unidad de la potencia es el Watts (W = Js )

29

30 CAPITULO 3. TRABAJO Y ENERGIA

3.2. Energıa

Se define como la capacidad para realizar un trabajo. La energıa por ser justamente la capa-cidad de realizar un trabajo, se mide con las mismas unidades que el trabajo (J).

Definicion 9 Energıa CineticaEn un sistema fısico, la energıa cinetica de un cuerpo es energıa que surge en el fenomeno

del movimiento. Esta definida como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masadada desde el reposo hasta la velocidad que posee. Una vez conseguida esta energıa durante laaceleracion, el cuerpo mantiene su energıa cinetica salvo que cambie su rapidez o su masa. Paraque el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitudque su energıa cinetica. Suele abreviarse con letra Ec.

Ec =1

2m · v2 (3.3)

Figura 3.2: Esquema de la energıa cinetica

Definicion 10 Energıa ElasticaLa energıa elastica o energıa de deformacion es el aumento de energıa interna acumulado

en el interior de un solido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas queprovocan la deformacion. Suponiendo que tenemos un resorte con constante elastica K, y conuna deformacion ∆X, entonces la energıa elastica se define como:

EE =1

2K ·∆X2 (3.4)

La unidad con la que se mide K generalmente sera N/m.

Figura 3.3: Esquema de la energıa elastica

3.2. ENERGIA 31

Definicion 11 Energıa PotencialLa energıa potencial gravitatoria es la energıa asociada con la fuerza gravitatoria. Esta de-

pendera de la altura relativa de un objeto a algun punto de referencia, la masa, y la fuerza de lagravedad.

Ep = m · g · h (3.5)

Figura 3.4: Esquema de la energıa potencial

Ley de conservacion de la energıaLa ley de la conservacion de la energıa constituye el primer principio de la termodinamica y

afirma que la cantidad total de energıa en cualquier sistema aislado (sin interaccion con ningunotro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energıa puede transformarse enotra forma de energıa. En resumen, la ley de la conservacion de la energıa afirma que la energıano puede crearse ni destruirse, solo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuandola energıa potencial se transforma en energıa cinetica en la caıda libre de un objeto. Dicho deotra forma :la energıa puede transformarse de una forma a otra o transferirse de un cuerpo aotro, pero en su conjunto permanece estable (o constante).

Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2 (3.6)

Ejemplo 8 El resorte de un rifle se comprime 3,2 cm desde su estado de relajacion, y en elcanon se introduce una bala de 12 g de masa. ¿A que velocidad saldra la bala del canon al dis-parar el arma? La constante del resorte es 7,5 N/cm. Suponga que no existe friccion y que elcanon del rifle esta horizontal.

SolucionAplicando la ley de conservacion de la energıa tenemos,

Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2

0 + 0 +1

2KX2 =

1

2mv2 + 0 + 0 (3.7)


Resolviendo para v nos da:

v = X

√K

m= 0, 032m

√750N/m

12× 10−3kg= 8, 0m/s (3.8)

�

Ejemplo 9 Una montana rusa eleva lentamente una carrito lleno de pasajeros a una altura de25 m, desde donde se deja caer hacia abajo. Despreciando la friccion en el sistema, ¿a que velo-cidad llegara el carrito al fondo?

Solucion

Aplicando la ley de conservacion de la energıa tenemos,

Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2

0 +mgh+ 0 =1

2mv2 + 0 + 0 (3.9)

Resolviendo para v nos da:

v =√

2gh =√

2 · 9, 8m/s225m = 22m/s (3.10)

�

Ejemplo 10 Una persona le gusta realizar el deporte extremo de caıda libre. Si la persona pesa70 kg, y sabiendo que la altura a la que se larga del avion es a 4000 metros sobre el nivel delsuelo, calcular

a) ¿Que velocidad tendra la persona cuando esta a 1500 m de altura?

b) Si la velocidad maxima a la cual se debe abrir el paracaıdas es a los 250 km/h, ¿a que alturadebera abrir el paracaıdas?

Solucion

Aca se usa la ley de conservacion de la energıa para resolver el problema.

a)

Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2

0 +m · g · h1 + 0 =1

2mv2 +m · g · h2 + 0

0 + g · h1 + 0 =1

2v2 + g · h2 + 0

v =√

2g (h1 − h2)

v =√

2 · 9, 8m/s2 (4000m− 1500m) = 221, 39m/s (3.11)

3.3. EJERCICIOS 33

b) Exactamente igual, pero ahora tenemos que calcular la altura a la cual llegara a los 250 km/h.

Ec1 + Ep1 + EE1 = Ec2 + Ep2 + EE2

0 +m · g · h1 + 0 =1

2mv2 +m · g · h2 + 0

0 + g · h1 + 0 =1

2v2 + g · h2 + 0

h2 =g · h1 − 1

2v2

g

h2 =9, 8m/s2 · 4000m− 1

269, 44m/s

9, 8m/s2= 3753, 98m (3.12)

�

Ejemplo 11 Sobre la cascada de un rıo se coloca una turbina para generar energıa electrica. Sila cascada tiene una altura de 30 metros, y sabiendo que caen 250000 m3 por minuto, calcularla potencia que entrega la turbina suponiendo que transforma el 53 % de la energıa potencial enelectrica.

Ayuda: recordar que la densidad del agua es 1000 kg/m3 y que se define comoρ = m/V ol

SolucionAca hay que tener en cuenta que la energıa es el trabajo realizado para calcular la potencia.

Ademas debemos calcular la masa usando la densidad del agua.

P =Eelectrica

t

P =0, 53Ep

t

P =0, 53 ·mgh

t

P =0, 53 · 250000000kg · 9, 8m/s230m

60s= 649250000W = 649, 25MW (3.13)

(3.14)

�

3.3. Ejercicios

1. Se dispara horizontalmente una bala de 55 g a corta distancia hacia adentro de un montıculode arena. La bala ingresa con una rapidez de 350 m/s y alcanza el reposo en la arena despuesde recorrer 18 cm. Determinar:

a) ¿Cual es la energıa cinetica inicial de la bala?


b) ¿Que fuerza promedio ejerce la arena sobre la bala?

Respuestas: 3369 J; -18715,28 N

2. Un cuerpo de masa 1 kg en caıda libre tiene una velocidad de 10 m/s cuando esta a 80 mde altura.

a) ¿Que velocidad tendra cuando esta a 20 m de altura?

b) ¿Desde que altura cayo suponiendo que la velocidad inicial es igual a cero?

Respuestas: 36 m/s; 85 m

3. Un cubo de hielo muy pequeno cae desprendido desde el borde de una cubetera semiesfericasin firccion y cuyo radio es de 23,6 cm. ¿A que velocidad se mueve el cubo en el fondo dela cubetera?

Respuesta: 2,15 m/s

4. Una bola de 112 g es arrojada desde una ventana a una velocidad de 8,16 m/s y un angulode 34,0 grados sobre la horizontal. Usando la conservacion de la energıa determinar:

a) energıa cinetica de la bola en la parte mas alta de su vuelo

b) su velocidad cuando esta a 2,87m debajo de la ventana.

Despreciar la fuerza de arrastre del aire.

Respuesta: 2,56 J; 11,1 m/s

5. Una varilla delgada de longitud 2,13 m y de masa despreciable, esta pivotada en un extremode modo que pueda girar en circulo vertical. La varilla se separa en un angulo de 35,0 gradosy luego se suelta. ¿A que velocidad se mueve la bola de plomo que esta en el extremo de lavarilla en su punto mas bajo?

Respuesta: 2,75 m/s

6. Una piedra de 7,94 kg descansa sobre un resorte. El resorte se comprime 10,2 cm por lapiedra.

a) Calcule la constante de fuerza del resorte

b) La piedra es empujada hacia abajo 28,6 cm mas y luego se suelta. ¿Cuanta energıapotencial hay almacenada en el resorte en el momento antes de que sea soltada lapiedra?

c) ¿A que altura se elevara la piedra sobre esta nueva posicion (la mas baja)?

7. Por las cataratas del Niagara caen aproximadamente cada minuto 3,3×105 m3 de agua,desde una altura de 50 m.

a) ¿Cual serıa la salida de potencia de una planta generadora de electricidad que pudieraconvertir el 48 % de la energıa potencial del agua en energıa electrica?

Respuesta: 1300 MW

3.3. EJERCICIOS 35

8. Un bloque de 1,93 kg se coloca contra un resorte comprimido sobre un plano inclinado de27,0 grados son friccion. El resorte, cuya constante de fuerza es de 20,8 N/cm, se comprime18,7 cm, despues de lo cual el bloque se suelta. ¿Que tanto subira el bloque antes de alcanzarel reposo?

Respuesta: 4,24 m

9. Un bloque de 2,14 kg se deja caer desde una altura de 43,6 cm contra un resorte de constantede fuerza de 18,6 N/cm. Hallar la distancia maxima de compresion del resorte.

Respuesta: 9,9 cm

10. Una pequena bola de acero de 1 kg esta amarrada al extremo de un alambre de 1 mde longitud. El alambre se lo hace girar desde el otro extremo a una velocidad angularconstante de 120 rad/s en circulos horizontales a 2,2 metros de altura

a) Calcular la energıa cinetica en el momento que la bola de acero esta girando

b) Calcular la energıa potencial que posee la bola cuando esta girando

c) Si el alambre se corta, ¿con que velocidad caera la bola al piso? (Considerar unicamentela velocidad del eje vertical y)

11. Calcular el trabajo efectuado por un hombre que arrastra un saco de harina de 65 kg por10 m a lo largo del piso con una fuerza de 250 N y que luego lo levanta hasta un camioncuya plataforma esta a 75 cm de altura. ¿Cual es la potencia promedio desarrollada si elproceso entero tomo 2 minutos?

Ayuda: Tener en cuenta que para calcular la potencia hay que considerar eltrabajo realizado por el hombre para arrastrar el saco y para luego levantarlo.


Capıtulo 4

Impulso - Cantidad deMovimiento - Colisiones

4.1. Impulso y Cantidad de Movimiento

Definicion 12 ImpulsoEs el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que se aplica esa fuerza sobre el cuerpo.

I = F ·∆t (4.1)

Definicion 13 Cantidad de MovimientoSe define como el producto de la masa del cuerpo y su velocidad en un instante determinado.

CM = m ·∆v (4.2)

Ley de conservacion de la cantidad de movimientoSi tenemos un sistema de muchos cuerpos (por ejemplo dos), la cantidad de movimiento, en

ausencia de fuerzas externas, se conserva.

m1 ·∆v1 +m2 ·∆v2 = 0

m1 · v11 +m2 · v21 = m1 · v12 +m2 · v22 (4.3)

donde el subındice indica la partıcula y el segundo subındice distintos momentos del tiempo.

Ejemplo 12 Un canon cuya masa es de 1300 kg dispara una bala de 72 kg en direccion hori-zontal con una velocidad de salida de 55 m/s. El canon esta montado de modo que pueda recularlibremente. ¿Cual es la velocidad del canon al recular con la salida de la bala?

SolucionUsando la ley de conservacion de la cantidad de movimiento tenemos,

m1 ·∆v1 +m2 ·∆v2 = 0

m1 · v11 +m2 · v21 = m1 · v12 +m2 · v22

0 + 0 = 1300kg · v + 72kg · 55m/s (4.4)

37

38 CAPITULO 4. IMPULSO - CANTIDAD DE MOVIMIENTO - COLISIONES

Despejando v,

v = −72kg · 55m/s

1300kg= −3, 05m/s (4.5)

�

4.2. Colisiones

En una colision, una fuerza relativamente grande actua sobre cada partıcula que interviene enel choque durante un tiempo relativamente corto. La idea basica de la colision consiste en que elmovimiento de las partıculas que colisionan (o al menos una de ellas), cambia de forma brusca, yque podemos hacer una separacion relativamente clara del momento antes y despues de la colision.

En toda colision siempre existe conservacion del ımpetu o cantidad de movimiento.

4.2.1. Colisiones elasticas

En una colision elastica, ademas de la conservacion de la cantidad de movimiento, tambiense conserva la energıa cinetica antes y despues del choque. Es decir, en el caso de dos partıculastenemos:

m1 · v11 +m2 · v21 = m1 · v12 +m2 · v22 (4.6)

1

2m1 · v2

11 +1

2m2 · v2

21 =1

2m1 · v2

12 +1

2m2 · v2

22 (4.7)

Reescribiendo las ecuaciones 4.6 y 4.7 de la siguiente forma:

m1 · (v11 − v12) = m2 · (v22 − v21) (4.8)

m1 · (v211 − v2

12) = m2 · (v222 − v2

21) (4.9)

Descomponiendo la diferencia de cuadrados de la ecuacion 4.9 tenemos:

m1 · (v11 − v12) · (v11 + v12) = m2 · (v22 − v21) · (v22 + v21) (4.10)

Ahora, dividiendo la ecuacion 4.10 por la ecuacion 4.8 tenemos:

m1 · (v11 − v12) · (v11 + v12)

m1 · (v11 − v12)=

m2 · (v22 − v21) · (v22 + v21)

m2 · (v22 − v21)

v11 + v12 = v22 + v21 (4.11)

Entonces, si conoces las masas y las velocidades iniciales, podemos calcular las velocidadesfinales o velocidades despues de la colision.

4.2. COLISIONES 39

Figura 4.1: Esquema de una colision elastica frontal

Combinando las ecuaciones 4.6 y 4.11 y despejando para calcular las velocidades despues delchoque, se tiene que:

v12 =m1 −m2

m1 +m2· v11 +

2m2

m1 +m2· v21 (4.12)

v22 =2m1

m1 +m2· v11 +

m2 −m1

m1 +m2· v21 (4.13)

Existen algunos casos particulares en los que se pueden aproximar las velocidades despues delchoque (ecuaciones 4.12 y 4.13), siempre que se cumplan las condiciones planteadas (se omitiranlas demostraciones):

1. Masas Iguales (m1 = m2): En este caso las velocidades despues del choque vienen dadaspor:

v12 = v21 (4.14)

v22 = v11 (4.15)

2. Partıcula Blanco en Reposo (v21 = 0): La partıcula blanco, a la cual se impactara, laconsideraremos a la segunda masa. Las velocidades finales para este caso son:

v12 =

(m1 −m2

m1 +m2

)v11 (4.16)

v22 =

(2m1

m1 +m2

)v11 (4.17)


3. Blanco de masa muy grande (m2 � m1): En este caso, la masa del blanco (m2) esmucho mas grande que la del proyectil (m1), entonces las velocidades son:

v12 = −v11 + 2v21 (4.18)

v22 = v21 (4.19)

Observar que en este caso la velocidad del blanco no cambia.

4. Proyectil de masa muy grande (m1 � m2): En este caso, la masa del proyectıl (m1)es mucho mas grande que la del blanco (m2), entonces las velocidades son:

v12 = v11 (4.20)

v22 = 2v11 − v21 (4.21)

Observar que en este caso la velocidad del proyectil no cambia.

4.2.2. Colisiones inelasticas

En este caso, las partıculas permanecen “pegadas” despues de la colision, por ejemplo lacolision de una bala sobre un bloque de madera. La conservacion total de la energıa se cumple,pero se anaden otras energıas distintas a la cinetica, por lo que la ecuacion 4.7 no se cumple eneste tipo de choque.

En el caso especial de que el choque sea inelastico puro, entonces la velocidad finales de lasdos partıculas es la misma, por lo que existe una sola incognita y la ecuacion 4.6 se transformaen:

m1 · v11 +m2 · v21 = (m1 +m2) · v2 (4.22)

Ejemplo 13 Una bala de 3,8 g, se dispara horizontalmente con una velocidad de 1100 m/s con-tra un gran bloque de madera de masa igual a 12 kg que inicialmente esta en reposo sobre unamesa horizontal. Si el bloque puede deslizarse sin friccion por la mesa, ¿que velocidad adqui-rira despues de que se le ha incrustado la bala?

SolucionUsando la ley de conservacion de la cantidad de movimiento y teniendo en cuenta que es un

choque inelastico tenemos,

m1 · v11 +m2 · v21 = m1 · v12 +m2 · v22

0 + 0, 0038kg · 1100m/s = 12kg · v + 0, 0038kg · v0 + 0, 0038kg · 1100m/s = (12kg + 0, 0038kg) v (4.23)

Despejando v,

v =0, 0038kg · 1100m/s

12kg + 0, 0038kg= 0, 35m/s (4.24)

�

4.3. EJERCICIOS 41

Figura 4.2: Esquema de una colision inelastica frontal

4.3. Ejercicios

1. Dos bloques de 1,6 kg y otro 2,4 kg, se deslizan sin friccion con unas velocidades de 5,5m/s y 2,5m/s en la misma direccion y sentido. Luego de la colision, la velocidad del bloquemayor es de 4,9 m/s ¿Cual es la velocidad del bloque de 1,6 kg despues de la colision? ¿Esuna colision elastica?

Respuesta: 1,9 m/s a la derecha

2. Un elefante furioso embiste a razon de 2,1 m/s contra una mosca que revolotea. Suponiendoque la colision sea elastica, ¿a que velocidad rebota la mosca?

Respuesta: 4,2 m/s

3. Un carrito de 342g de masa se dirige sin friccion a una velocidad de 1,24 m/s contra otrocarrito de masa desconocidad, que se encuentra en reposo, con el cual colisiona. El choqueentre los carritos es elastico. Despues de la colision, el primer carrito continua con unavelocidad de 0,636 m/s. ¿Cual es la masa y la velocidad despues del impacto del segundocarrito?

4. Se cree que el Meteor Crater, en Arizona, se formo por el impacto de un meteorito con laTierra hace unos 20.000 anos. La masa del meteorito se calcula que fue de 5× 1010 kg y suvelocidad en 7,2 km/s. ¿Que velocidad impartirıa a la Tierra tal meteorito en una colisionfrontal?

5. Un objeto de 2,0 kg de masa choca elasticamente contra otro objeto en reposo y continuamoviendose en la direccion original pero a un cuarto de su velocidad inicial. ¿Cual es lamasa del objeto golpeado?

Respuesta: 1,2 kg

6. La cabeza de un palo de golf que se mueve a 45,0 m/s, golpea una pelota de golf (masaigual a 46,0 g) que descansa sobre el tee (punto donde se coloca la pelota). La masa efectivade la cabeza del palo es de 230 g.


a) ¿A que velocidad deja el tee la bola?

b) ¿A que velocidad dejarıa el tee si se duplicara la masa de la cabeza del palo?

c) ¿Y si se triplicara?

d) ¿Que conclusiones puede sacarse de los palos pesados?

Supongase que las colisiones son perfectamente elasticas y que el golfista puede manejarlos palos mas pesados a igual velocidad en el impacto.

Respuesta: 74,4 ms; 81,8 m/s y 84,1 m/s

7. Un carro de carga del ferrocarril que pesa 35,0 toneladas (1000 kg) choca contra un furgonque esta estacionado. Se acoplan entre sı y el 27 % de la energıa cinetica inicial se disipacomo calor, sonido y vibraciones. Halle el peso del furgon.

Solucion

Planteando las ecuaciones de la cantidad de movimeinto para una colision inelastica y laconservacion de la energıa cinetica (teniendo en cuenta la perdida de energıa cinetica comoconsecuencia del calor, sonido y vibraciones), tenemos:

m1v11 = (m1 +m2) v2 (4.25)

1

2(m1 +m2) v2

2 = 0,731

2m1v

211 (4.26)

Combinando ambas ecuaciones, se puede llegar a:

m1

m1 +m2= 0, 73 (4.27)

m2 = 12, 9tn (4.28)

�

8. Un canon de 3000 kg descansa sobre un estanque congelado. Se carga el canon con unabala de 30 kg y se dispara de manera horizontal. Si el canon retrocede hacia la derechacon una velocidad de 1,8 m/s. ¿Cual es la velocidad de la bala del canon inmediatamentedespues que es disparada?

Respuesta: -180 m/s

9. Un auto de masa 1800 kg se encuentra en reposo frente a un semaforo, en el momento quees colisionado por otro vehıculo de masa 900 kg. Los autos quedan enredados despues delchoque. Se pide:

a) Si el segundo auto se mueve a 20 m/s antes del choque, ¿cual sera la velocidad deambos autos despues de la colision?

b) ¿Cuanta energıa cinetica se pierde en el choque?

Respuestas:‘6,67 m/s; 1,20×105 J

4.3. EJERCICIOS 43

10. Un objeto de 0,30 kg viaja con una velocidad de rapidez 2,0 m/s en la direccion positivadel eje x y tiene una colision frontal elastica con otro cuerpo en reposo de masa 0,70 kglocalizado en x = 0. ¿Cual es la distancia que separa los cuerpos colisionados 25 s despuesdel encuentro?

Respuesta: 50 m


Capıtulo 5

Dinamica

5.1. Introduccion

Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinamica. Estos conceptos son los de fuerza,masa y aceleracion.

Definicion 14 (Fuerza) En dinamica, vamos a considerar a la fuerza como un vector que haceque algo que esta quieto se empiece a mover.

Cuando la fuerza empieza a actuar, el cuerpo que estaba quieto se empieza a mover. Si uno nodeja que el cuerpo se mueva, lo que hace la fuerza es deformarlo o romperlo. Cuando uno empujaalgo con la mano o cuando uno patea un objeto, uno ejerce una fuerza sobre dicho objeto. Loque pasa es que este tipo de fuerzas no son constantes.

Cuanto mas masa tiene un cuerpo, mas difıcil es empezar a moverlo, y si el cuerpo vienemoviendose, mas difıcil va a ser frenarlo. Entonces vamos a definir a la masa como:

Definicion 15 (Masa) La masa se define como una medida de la tendencia de los cuerpos alcambio de movimiento o inercia del cuerpo

De manera que la masa es una cantidad que me da una idea de que tan difıcil es acelerar ofrenar a un cuerpo.

Definicion 16 (Aceleracion) La aceleracion es una cantidad que me dice que tan rapido esta au-mentando o disminuyendo la velocidad de un cuerpo.

Esto ya se sabe de cinematica. Digamos que si un objeto tiene una aceleracion de 10 m/s2,eso querra decir que su velocidad aumenta en 10 m/s por cada segundo que pasa. Si al principiosu velocidad es cero, despues de un segundo sera de 10 m/s, despues de 2 seg sera de 20 m/s,etc.

Las unidades con la que se miden la Fuerza, la Masa y la Aceleracion.

1. A la aceleracion la vamos a medir en m/s2. (igual que en cinematica). A la unidad m/s2

no se le da ningun nombre especial.

2. A la masa la medimos en Kilogramos. Recordemos que un kilogramo equivale a 1000 gramos.

45

46 CAPITULO 5. DINAMICA

3. A la fuerza la vamos a medir en dos unidades distintas: el Newton y el Kilogramo fuerza(kgf)

Un objeto que tiene un kilogramo de masa, ejerce un peso de un kilogramo fuerza. Un porel contrario, si un objeto tiene un kilogramo fuerza de peso, entonces tiene una masa de unkilogramo.

Masa y peso NO son la misma cosa, pero en La Tierra, una masa de 3 Kg pesa 3 Kgf

La otra unidad de fuerza que se usa es el Newton. Un Newton es una fuerza tal que si unose la aplica a un cuerpo que tenga una masa de 1 Kg, su aceleracion sera de 1 m/s2.

1N = 1Kg × 1m/s2

Por otra parte, la equivalencia entre Kgf y N viene dada por:

1Kgf = 9, 8N

5.2. Leyes de Newton

I. Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilıneo uniforme a menosque otros cuerpos actuen sobre el.

II. La sumatoria de las fuerzas que actuan sobre un cuerpo es directamente proporcional a suaceleracion.

∑F = m · a (5.1)

III. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este ejerce sobre el primero una fuerza igualy de sentido opuesto.

5.3. Peso de un cuerpo

La Tierra atrae a los objetos. La fuerza con que La Tierra atrae a las cosas se llama fuerzaPeso. De la segunda ley de Newton tenıas:

F = m · a (5.2)

Ahora, a la fuerza F la vamos a llamar Peso P y a la aceleracion la denotaremos con g, porser la aceleracion de la gravedad (9, 8m/s2), entonces:

P = m · g (5.3)

Por lo que podemos definir al peso como:

Definicion 17 (Peso) El peso es la fuerza con la que la Tierra atrae a un objeto.

5.4. APLICACIONES 47

5.4. Aplicaciones

Los problemas se dinamica no son todos iguales. Pero en gran cantidad de ellos se pide calcularla tension de la cuerda y la aceleracion del sistema. Para ese tipo de problema hay una serie depasos que conviene seguir

1. Hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen en el pro-blema. Si hay un solo cuerpo, habra un solo diagrama. Si hay 2 cuerpos habra 2 diagramas,etc.

Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama vectorial que describe todas las fuerzas queactuan sobre un cuerpo u objeto en particular. Consiste en colocar la partıcula en el origende un plano de coordenadas, y representar a las fuerzas que actuan sobre ella por mediode los vectores correspondientes, todos concurrentes en el origen.

La mayor aplicacion de los diagramas de cuerpo libre es visualizar mejor el sistema defuerzas que actuan sobre un cuerpo; ademas, se identifican mejor las fuerzas pares, comola de accion - reaccion y las componentes de las fuerzas.

Si en un sistema existen dos o mas cuerpos de interes, estos se deben separar y cada unotiene un diagrama propio con sus respectivas fuerzas actuando.

2. De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, planteo la 2a ley de Newton:

∑F = m · a (5.4)

3. Para cada diagrama de cuerpo libre voy a tener una ecuacion. De la ecuacion (o sistemade ecuaciones) se calcula la incognita en cuestion.

Este metodo para resolver problemas de dinamica sirve para cualquier tipo de problema, seacon rozamiento, sin rozamiento, plano horizontal, plano inclinado, etc.

5.4.1. Fuerzas de Friccion o Rozamiento

Si lanzamos un bloque de masa m a una velocidad inicial v0 a lo largo de una mesa horizontallarga, al final llegara al reposo. Esto significa que mientras se esta moviendo experimenta unaaceleracion promedio que apunta en direccion contraria al movimiento. En este caso afirmamosque la mesa ejerce una fuerza de friccion sobre el bloque, cuyo valor viene dado por la segundaley de Newton.

La fuerza de friccion es directamente opuesta al movimiento relativo del objeto.

Por otra parte, las fuerzas de friccion que actuan sobre superficies estaticas, se llaman fuer-zas de friccion estaticas. Una vez que se ha iniciado el movimiento, las fuerzas de friccion queactuan sobre las superficies de los cuerpos generalmente disminuyen, de manera que solo es nece-sario una fuerza mas pequena para mantener un movimiento uniforme (velocidad constante). Lasfuerzas que actuan sobre superficies en movimiento, se llaman fuerzas de friccion dinamica.

La fuerza de friccion es proporcional a la fuerza normal que ejerce el cuerpo sobre la superficiey es aproximadamente independiente del area de contacto.


Si fe representa la magnitud de la fuerza de friccion estatica, podemos escribir:

fe = µeN (5.5)

donde µe es el coeficiente de friccion estatico y N es la magnitud de la fuerza normal.La fuerza de friccion dinamica fd entre superficies secas no lubricadas, sigue las mismas leyes

que la fuerza de friccion estatica. Si fd representa la magnitud de la fuerza de friccion dinamica,podemos escribir:

fd = µdN (5.6)

donde µd es el coeficiente de friccion dinamica.

Tanto µe como µd son constantes sin dimension, cuyos valores dependen de la naturaleza delos cuerpos. Siempre se cumple que µe > µd.

Ejemplo 14 Un cuerpo de masa 5 kg se mueve con velocidad 10 m/s por una zona con roza-miento. Suponiendo que el µd = 0, 3, calcular la aceleracion que hace frenar al cuerpo.

SolucionEl diagrama de cuerpo libre en este caso va a ser:

Planteando que la segunda ley de Newton sobre el eje x tenemos que:

∑Fx = m · afc = m · a

µdN = m · a (5.7)

Teniendo en cuenta que en este caso la magnitud de la fuerza normal coincide con el peso, ysabiendo que P = m · g, podemos escribir:

µdP = m · aµdm · g = m · a

µdg = a

a = 9, 8m/s2 · 0, 3a = 2, 94m/s2 (5.8)

�

5.4. APLICACIONES 49

5.4.2. Plano Inclinado

Supongamos que tenemos un cuerpo que esta apoyado en un plano que esta inclinado unangulo α. Entonces, la fuerza peso apunta para abajo de esta manera:

Para resolver este tipo de problema, hay que descomponer el peso en las direcciones de los ejescartesianos, que en este caso hay que orientar la direccion del eje x paralela al plano inclinado,y el eje y perpendicular a este. Graficamente,

donde se puede verificar por simple trigonometrıa que el angulo α es el mismo angulo que tieneek plano inclinado. Por lo que, la descomposicion de las fuerzas que intervienen en el diagramade cuerpo libre, utilizando los ejes cartesianos propuestos, toma la forma:

∑Fx = m · ax

Px = = m · axP · sinα = = m · ax (5.9)∑

Fy = m · ayN − Py = = m · ay

N − P · cosα = = m · ay (5.10)

En el caso de existir rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado, esta fuerza estara en ladireccion del eje x y tendra un sentido opuesto al movimiento del cuerpo, por lo qe las ecuacionestomaran la siguiente forma:

P · sinα− fd = = m · ax (5.11)

N − P · cosα = = m · ay (5.12)

En el caso de que el cuerpo no se encuentre en movimiento, es decir este en reposo, lasecuaciones se pueden sintetizar de la siguiente manera:


P · sinα− fe = = 0 (5.13)

N − P · cosα = = 0 (5.14)

dado que las aceleraciones en ambos ejes son nulas.

Ejemplo 15 Un bloque esta en reposo sobre un plano inclinado que forma un angulo α con lahorizontal. Cuando el angulo se eleva por encima de los 15o empieza el desplazamiento. Calcularel coeficiente de friccion estatico.

SolucionTeniendo en cuenta que el cuerpo se encuentra en reposo, por lo que la segunda ley de Newton

es igualada a cero, es decir∑F = 0, y resolviendo las fuerzas que actuan en las componentes x

e y (a lo largo del plano inclinado y normal al plano, respectivamente), obtenemos:

∑Fx = P · sinα− fd = 0 (5.15)∑Fy = N − P · cosα = 0 (5.16)

Suponiendo que el angulo α corresponde al angulo justo antes de que el bloque comience sudesplazamiento, y reordenando las ecuaciones, tenemos que:

P · sinα = fd (5.17)

P · cosα = N (5.18)

Dividiendo ambas ecuaciones, se puede llegar a:

P · sinαP · cosα

=fdN

(5.19)

Pero como fd = µdN , entonces:

µd = tanα = tan 15o = 0, 27 (5.20)

Como conclusion, la medicion del angulo de un plano inclinado puede ser usado como unexperimento para medir el coeficiente de friccion estatico entre dos superficies. Por otra parte,cabe destacar que el coeficiente de friccion no depende del peso del cuerpo.

�

Ejemplo 16 Consideremos un auto que se desplaza a lo largo de una ruta recta horizontal conuna velocidad inicial de 72 km/h. Suponiendo que el coeficiente de friccion dinamico entre lasllantas y el pavimento es de 0,23, calcular la distancia mas corta en que puede ser detenido elauto sin utilizar los frenos.

SolucionSabiendo que es un movimiento rectilıneo uniformemente variado, y haciendo uso de la rela-

cion 1.20

5.5. EJERCICIOS 51

v22 − v2

1 = 2a∆x (5.21)

Eligiendo una posicion inicial x1 = 0 y suponiendo que el auto se detuvo (v2 = 0), entoncesse puede llegar a:

x2 = − v21

2a(5.22)

Para determinar el valor de a usaremos la segunda ley de Newton, donde:

∑Fx = −fd = m · ax (5.23)∑Fy = N − P · cosα = 0⇒ N = mg (5.24)

Haciendo uso de la definicion de la fuerza de friccion, tenemos que:

fd = µdN = µdm · g (5.25)

por lo que reemplazando en la ecuacion del eje x y despejando a, se tiene:

a = −µdg (5.26)

Sustituyendo en el valor de la aceleracion en la ecuacion 5.22, se llega a:

x2 = − v21

2a=

v21

2µdg=

(20m/s)2

2 · 0, 23 · 9, 8m/s2= 88, 7m (5.27)

Cabe destacar que:

Cuanto mayor es la velocidad inicial, mayor sera la distancia requerida para frenar. Masaun, esta distancia varıa con el cuadrado de la velocidad.

Cuanto mas grande sea el coeficiente de friccion, menor sera la distancia requerida parafrenar el auto.

�

5.5. Ejercicios

1. A un cuerpo de masa m=10Kg se le aplica una fuerza horizontal F=40 N si el coeficientede rozamiento es µd = 0, 1 calcular

a. La acelaracion

b. Espacio recorrido a los 5 segundos.

2. Se arrastra un cuerpo de masa m=25 Kg por una mesa horizontal , con una fuerza F=80N que forma un angulo de 60 grados y coeficiente de rozamineto µd = 0, 1 calcular :


a. La acelaracion

b. Velocidad a los 3 segundos.

3. Un cuerpo de masa m=80 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s se para despues derecorrer 50 m en un plano horizontal con rozamiento. Calcula µd.

4. Calcular la aceleracion del sistema de la figura y la tension en la cuerda, suponiendo quemA = 10kg, mB = 5kg y µd = 0, 2.

5. Una grua eleva una masa m=800 kg mediante un cable q soporta una tension de 12000 N

a. ¿Cual es la maxima aceleracion con que se puede elevar?

b. Si se eleva con una a=2 m/s2 ¿que tension soporta el cable?

6. Sobre una superficie horizontal se desliza un cuerpo de masa m=12Kg mediante una cuerdaque pasa por una polea fija y lleva colgado del otro extremo una masa m= 8 Kg . Si µd = 0, 1.Calcular:

a. Aceleracion del sistema

b. Tension de la cuerda

7. Se quiere subir un cuerpo de masa m= 5 kg por un plano inclinado de angulo de inclinacion30o y con un coeficiente de rozamiento dinamico de 0,2 mediante la aplicacion de una fuerzaparalela al plano inclinado F=45 N. Calcular la aceleracion del cuerpo.

8. Si el coeficiente de rozamiento estatico entre la masa y el plano inclinado es 0,4. ¿Cualsera angulo de inclinacion del plano?

9. Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una aceleracionde 5m/s2.

10. Un cuerpo de 15 kg se encuentra sobre una superficie horizontal. Calcula los coeficientes derozamiento estatico y dinamico si hay que aplicar paralelamente a dicho plano una fuerzade 51,45 N para que comience a deslizarse y otra de 36,75 N para que mantenga un MRU.

11. A lo largo de una rampa inclinada 30o sobre la horizontal se sube una carretilla de 10 kgde masa aplicandole una fuerza de 100 N paralela a la rampa. Si el coeficiente dinamico derozamiento es de µd = 0, 5, hacer un esquema detallando las fuerzas que actuan y calcula:

a. La fuerza normal que ejerce la superficie.

b. La fuerza de rozamiento.

c. Calcula la aceleracion con la que sube la carretilla.

Capıtulo 6

Fluidos

Sin entrar en demasiado detalle, vamos a distinguir entre un fluido y un solido con la siguientecaracterıstica:

El solido conserva su forma, pero el fluido fluye para adoptar la forma del recipiente

Definicion 18 PresionLa magnitud de la fuerza normal por unidad de area superficial se llama presion, es decir:

P =F

A(6.1)

La unidad con la que se mide la presion es el Pascal y equivale a N/m2.

Figura 6.1: Esquema la fuerza ejercida sobre un area

Ejemplo 17 Supongamos un cuerpo C que ejerce, sobre la superficie que ocupa, una fuerza ver-tical igual a 500 N que es en este caso, su peso. Si la superficie de la base es 33 cm2, el peso serepartira en toda ella. ¿Cual sera la presion que se ejerce?

53

54 CAPITULO 6. FLUIDOS

Solucion

P =F

A=

500N

0, 0033m2= 151515, 1Pa (6.2)

�

Definicion 19 DensidadLa densidad se define como la masa de un elemento divido por el volumen que dicho elemento

ocupa.

ρ =m

V(6.3)

6.1. Presion de un Fluido en Reposo

Consideremos un fluido que esta en equilibrio, entonces la relacion que nos dice como varıala presion con la elevacion sobre cierto nivel de referencia viene dado por:

P2 − P1 = ρg (h2 − h1) (6.4)

Si el fluido tiene una superficie libre, entonces la presion P1 es ejercida por la atmosfera dela Tierra, por lo que se puede escribir:

P = P0 + ρgh (6.5)

Ejemplo 18 Un tubo en U, en el cual ambos extremos estan abiertos a la atmosfera, contienecierta cantidad de agua. En el otro lado se vierte aceite, sustancia que no se mezcla con el agua,hasta llegar a una distancia de d = 12, 3mm sobre el nivel del agua, del otro lado, nivel que seha elevado mientras tanto a una distancia de a = 67, 5mm desde su nivel original. Hallar ladensidad del aceite en el punto mas bajo del agua (union de aceite y agua).

SolucionIgualando las presiones de cada uno de los lados del tubo en forma de U, tenemos que:

P0 + ρagua · 2a = P0 + ρaceite · (2a+ d)

ρaceite = 1000kg/m3 2 (67, 5mm)

2 (67, 5mm) + 12, 3mm(6.6)

�

6.2. Principio de Pascal

La presion aplicada a un fluido confinado se transmite ıntegramente a todas las partes delfluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

6.3. PRINCIPIO DE ARQUIMIDES 55

Figura 6.2: Esquema del tubo en forma de U

Es decir, si aumentamos la presion en alguna parte del fluido, cualquier otra parte del fluidoexperimenta el mismo aumento de presion.

F1

A1=F2

A2(6.7)

Ejemplo 19 Gato hidraulico empleado para elevar un auto. Se emplea una bomba de mano, conla cual se aplica una fuerza al embolo menor de 2,2 cm de diametro. La masa combinada delauto que va a ser elevado con la plataforma de elevacion es de 1980 kg, y el embolo grande tiene16,4 cm de diametro. Calcular la fuerza necesaria para elevar el auto.

SolucionUsando el principio de Pascal,

F1

A1=

F2

A2

F1 = m · gA1

A2

F1 = 1980kg · 9, 8m/s2π (1, 1cm)2

π (8, 2cm)2

F1 = 349N (6.8)

�

6.3. Principio de Arquımides

Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido sufre un empuje de abajo haciaarriba por una fuerza de magnitud igual al peso del fluido que desaloja.


Ejemplo 20 ¿Que fraccion del volumen total de un iceberg queda expuesta?

SolucionEl peso del iceberg es:

W = ρiVig (6.9)

donde Vi es el volumen del iceberg. El peso del volumen del agua desalojada es la fuerza deflotacion, es decir:

Fb = ρaguaVdg (6.10)

Pero Fb es igual a W porque el iceberg esta en equilibrio, por lo que:

ρiVig = ρaguaVdg (6.11)

Usando las densidades del agua de mar (1024 kg/m3) y del hielo (917 kg/m3),

VdVi

=ρi

ρagua=

917kg/m3

1024kg/m3= 0, 896 = 89, 6 % (6.12)

�

6.4. Ecuacion de Continuidad

Supongamos un fluido entra en un tubo por uno de los lados con mayor diametro y sale porel otro lado, el cual tiene menor diametro. Ademas, se supone que entre los dos extremos deltubo no puede ni entrar ni salar fluido, y que el fluido tiene densidad constante. Entonces,

A1v1 = A2v2 (6.13)

donde A es el area de cada uno de los extremos del tubo y v es la velocidad del fluido al pasarpor cada uno de los extremos respectivamente. El producto del area por la velocidad tambien esllamado razon de flujo volumetrico.

La razon de flujo volumetrico tambien puede ser escrita como:

R = A · v =V olumen

t(6.14)

Ejemplo 21 Un grifo cuya corriente de agua se angosta desde un area de 1,2 cm2 hasta los0.35 cm2. Los dos niveles donde se miden las areas estan separados 45 mm. ¿En que cantidadfluye el agua de la llave?

Solucion

6.5. ECUACION DE BERNOULLI 57

Figura 6.3: Ecuacion de continuidad. Esquema de la entrada de un fluido en un tubo.

A1v1 = A2v2 (6.15)

Teniendo en cuenta la ecuacion 1.3, se puede escribir:

v22 = v2

1 + 2 · gh (6.16)

Eliminando la v2 y resolviendo para v1, se tiene:

v1 =

√2ghA2

2

A21 −A2

2

= 28, 6cm/s (6.17)

Luego, la razon de flujo volumetrico viene definida como:

R = A1v1 = 1, 2cm2 · 28, 6cm/s = 34cm3/s (6.18)

�

6.5. Ecuacion de Bernoulli

La ecuacion de Bernoulli es una relacion fundamental en la mecanica de los fluidos y se derivade las leyes de la mecanica de Newton. Omitiendo la demostracion de como se deriva la ecuacion,tenemos:

P1 +1

2ρv2

1 + ρgy1 = P2 +1

2ρv2

2 + ρgy2 (6.19)


Ejemplo 22 Un tanque elevado de altura h = 32 m y diametro D = 3, 0 m, abastece de aguauna casa. Una tuberıa horizontal en la base del tanque tiene un diametro de d = 2, 54 cm. Parasatisfacer las necesidades del hogar, la tuberıa de abastecimiento debe ser capaz de sustituir aguaa razon de R = 0, 0025 m3/s. Si el agua estuviese fluyendo a la cantidad maxima, ¿cual serıa lapresion en la tuberıa horizontal?

SolucionAplicando la ecuacion de Bernoulli, tenemos:

P1 +1

2ρv2

1 + ρgy1 = P2 +1

2ρv2

2 + ρgy2 (6.20)

En 1, la presion es la atmosferica (parte superior del tanque). Con y1 = h y y2 = 0, obtene-mos:

Patm +1

2ρv2

1 + ρgh = P2 +1

2ρv2

2

P2 = Patm +1

2ρ(v2

1 − v22

)+ ρgh (6.21)

Por otro lado, podemos hallar las velocidades a partir de la igualdad del flujo volumetrico, esdecir:

R = A1v1 = A2v2

v1 =R

A1= 3, 5× 10−4m/s

v2 =R

A2= 4, 9m/s (6.22)

Entonces,

P2 = Patm +1

2ρ(v2

1 − v22

)+ ρgh (6.23)

= 101325Pa+1

21000kg/m3

(1, 16× 10−7m2/s2 − 24, 01m2/s2

)+ (6.24)

+1000kg/m39, 8m/s232m (6.25)

= 4, 03× 105Pa (6.26)

�

6.6. Ejercicios

1. Supongamos que tenemos una cama de agua que mide 2 m de lado y 30 cm de profundidad,teniendo en cuenta que la densidad del agua es igual a 1000 kg/m3. ¿Cual sera el peso dela cama de agua? Exprese el resultando en Newton.

Respuesta: 11760 N

6.6. EJERCICIOS 59

2. El tubo de entrada que suministra aire a presion para que funcione un elevador hidraulicotiene 5 cm de diametro. El embolo de salida tiene un diametro de 44 cm. ¿Cual sera lapresion que debe utilizarse para elevar un automovil que pesa 2300 kg?

Respuesta:

3. Se desea construir un elevador hidraulico para ejercer fuerzas de 12000 N. ¿Cual deberıaser el area del piston grande, si sobre el menor, que es de 20 cm2 de area, se aplica unafuerza de 80 N?

Respuesta:

4. Por un conducto recto, circula agua a una velocidad de 25 m/seg. Si la seccion del tubo esde 8 cm2. ¿Cual es el caudal circulante de la corriente de agua?

Respuesta:

5. Por un conducto que tiene 15 cm2 de seccion, circula agua a razon de 50 cm/s. ¿Cual sera elvolumen de agua que paso en 55 segundos?

Respuesta:

6. Un tubo de 34,5 cm de diametro conduce agua que circula a razon de 2,62 m/s. ¿Cuantotiempo le tomara descargar 1600 m3 de agua?

Respuesta: 49 min

7. A veces se prueban modelos de torpedos en un tubo horizontal por el que fluye agua, muysimilar al tunel de viento que se emplea para probar modelos de aeroplanos. Considere untubo circular de 25,5 cm de diametro interno y un modelo de torpedo alineado a lo largodel eje del tubo, con un diametro de 4,80 cm. El torpedo va a ser probado con el agua quecircula a razon de 2,76 m/s. Calcular:

a) ¿A que velocidad debera fluir el agua en la parte no reducida del tubo?

b) Hallar la diferencia de presion entre la parte no reducida y la reducida del tubo.

Respuesta: 2,66 m/s; 271 Pa

8. Las ventanas de un edificio de oficina tienen 4,26 m por 5,26 m. En un dıa tempestuoso,el aire sopla a razon de 28,0 m/s al pasar por una ventana en el piso 53. Calcule la fuerzaneta sobre la ventana. La densidad del aire es de 1,23 kg/m3

Respuesta: 10800 N


Capıtulo 7

Termodinamica

7.1. Temperatura

Definicion 20 TemperaturaExiste una cantidad escalar, llamada temperaturam, que es una propiedad de todos los si-

temas termodinamicos en equilibrio. Dos sistemas estan en equilibrio termico sı y solo si sustemperaturas son iguales

7.1.1. Medicion de la Temperatura

La temperatura y una de las siete unidades basicas (las otras unidades son longitud, tiempo,masa, intensidad de corriente electrica, cantidad de sustancia e intensidad luminosa).

Las escalas Celsius y Fahrenheit

En casi todos los paıses del mundo se emplea la escala Celsius. La escala Celsius se baso ori-ginalmente en dos puntos de calibracion, el punto de cengelacion del agua que se definio en cerogrado, y el punto de ebullicion del agua, que se definio en 100 grados. Estos dos puntos se emplea-ron para calibrar termometros, y luego se dedujeron las demas temperaturas por interpolaciony extrapolacion.

La escala Fahrenheit, originalmente tambien se baso en dos puntos: el punto de congelacionde una mezcla de agua y sal, y la temperatura media del cuerpo humano. En esta escala, lospuntos de congelamiento y ebullicion del agua son 32oF y 212oF respectivamente.

TF =9

5TC + 32 (7.1)

Escala Kelvin

Para la calibracion de esta escala, se escogio el punto triple del agua, que es la temperaturaen la que coexisten el gua, el hielo y el vapor, el cual es muy cercano al punto de congelacion delagua.

TC = T − 273, 15 (7.2)

61

62 CAPITULO 7. TERMODINAMICA

7.2. Capacidad Calorıfica en los Solidos

Definicion 21 Calor

El calor es energıa que fluye entre un sistema y su entorno en virtud de una diferencia detemperatura entre ellos.

Ya que el calor es una forma de energıa, sus unidades son las de la energıa. La unidad que sesuele usar para medir el calor es la calorıa, donde:

1 cal = 4, 186J (7.3)

La cantidad de calor que se transmite por cada grado de temperatura que se aumenta, sepuede calcular como:

Q = mCe (Tf − Ti) (7.4)

donde Ce es el calor especıfico una caracterıstica propia de cada material o sustancia que componeel cuerpo, m la masa del cuerpo, y Ti y Tf son las temperaturas iniciales y finales respectivamente.Las unidades que se mide generalmente el calor especıfico son cal/goC.

Definicion 22 Capacidad Calorıfica

Es el calor especıfico multiplicado por la masa del cuerpo, es decir:

C = Cem (7.5)

La capacidad calorıfica es caracterıstica de un objeto en particular, a diferencia del calorespecıfico que carecteriza a la sustancia.

Principio Cero de la Termodinamica

En un sistema aislado, la cantidad de calor es igual a cero. Es decir, si un objeto cedecalor (negativo), el otro objeto lo absorve (positivo). En otras palabras,

Qabsorvido = Qcedido o bien∑Q = 0

Ejemplo 23 Una muestra de cobre, cuya masa es de 75g se calienta en una estufa de laboratorioa una temperatura de 312oC. El cobre se deja luego caer en un vaso que contiene agua (masade 220g) a una temperatura de 12oC. ¿Cual es la temperatura final del cobre y del agua luego deque llegan al equilibrio?

SolucionPartiendo que la energıa que sale de un objeto en un sistema aislado es absorvida por otro

objeto, entonces tenemos que:

7.2. CAPACIDAD CALORIFICA EN LOS SOLIDOS 63

∑Q = 0

Qagua +Qcobre = 0

maguaCaguae (Tf − T agua

i ) +mcobreCcobree

(Tf − T cobre

i

)= 0

220g · 1cal/goC (Tf − 12oC) + 75g · 0, 092cal/goC (Tf − 312oC) = 0 (7.6)

Despejando Tf tenemos:

Tf =220g · 1cal/goC · 12oC + 75g · 0, 092cal/goC · 312oC

220g · 1cal/goC + 75g · 0, 092cal/goC= 21, 12◦C (7.7)

�

7.2.1. Calores de Transformacion

Cuando entra calor a un solido o lıquido, la temperatura de la muestra no se eleva necesa-riamente. En cambio, la muestra puede cambiar de una fase o estado (solido, lıquido o gaseoso)a otro. Por lo tanto, el hielo se funde, y el agua hierve, absorviendo calor en cada caso sin uncambio de temperatura. En los precesos inversos (el agua se congela y el valor se condensa), lamuestra libera calor a una temperatura constante.

La cantidad de calor por unidad de masa transferido durante un cambio de fase, se llamacalor de transformacion, y se calcula como:

Q = L ·m (7.8)

donde m es la masa de la muestra en cada fase y L es un valor que depende de la sustancia y dela fase. A continuacion se presenta una tabla con algunos valores de L para distintas sustancias:

Sustancia Punto de fusion Calor de fusion Punto de ebullicion Calor de vaporizacion(K) (kJ/kg) (K) (kJ/kg

Hidrogeno 14,0 58,6 20,3 452,0Oxıgeno 54,8 13,8 90,2 213,0Mercurio 234,0 11,3 630 296,0Agua 273,0 333,0 373,0 2256,0Plomo 601,0 24,7 2013,0 858,0Plata 1235,0 105,0 2485,0 2336,0Cobre 1356,0 205,0 2840,0 4730,0

Ejemplo 24 Una persona prepara una cantidad de te helado mezclando 520 g de te caliente(esencialmente agua) con una masa igual de hielo a 0oC. ¿Cuales son la temperatura final y lamasa de hielo restante si el te caliente esta inicialmente a una temperatura de a) 70oC y b) 90oC?


SolucionVamos a suponer que el hielo se derrite completamente y calcularemos la temperatura de

equilibrio del sistema, entonces podemos escribir:

∑Q = 0

Qagua +Qfusion del hielo +Qaguaderretida = 0

magua · Ce (Tf − T aguai ) +mhielo · L+mhielo · Ce

(Tf − Thielo

i

)= 0

0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · (Tf − 70oC) + 0, 52kg · 333kJ/kg +

+0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · (Tf − 0oC) = 0 (7.9)

Despejando Tf tenemos:

Tf =−0, 52kg · 333kJ/kg + 0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · 70oC

0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC + 0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC= −4, 77oC (7.10)

Este resultado no es logico fısicamente hablando. Es decir, un sistema aislado no puede te-ner una temperatura de equilibrio que fue menor a la menor de las temperaturas, ni mayor a lamayor de las temperaturas de las sustancias que componen el sistema. En este caso particular,la temperatura de equilibrio esta por debajo de cero grado. Como conclusion, no se derrite todoel hielo, teniendo que calcular la cantidad de hielo que se derrite, y la temperatura de equilibriosera cero grados.

Entonces, ahora podemos escribir:

∑Q = 0

Qagua +Qfusion del hielo = 0

magua · Ce (Tf − T aguai ) +mhielo · L = 0

0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · (0oC − 70oC) +m · 333kJ/kg = 0 (7.11)

Despejando m de la ecuacion anterior, tenemos:

m =0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · (0oC − 70oC)

333kJ/kg

m = 0, 4576kg (7.12)

Como la masa de hielo es de 520 g, entonces nos queda sin derretir m = 520g − 457, 6g =62, 4g.

Ahora analizaremos el caso en el que el te caliente este inicialmente a 90oC. Supondremosinicialmente que se derrite todo el hielo, entonces usando la ecuacion 7.9 tenemos:

Tf =−0, 52kg · 333kJ/kg + 0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · 90oC

0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC + 0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC= 5, 22oC (7.13)

Si hubiesemos planteado el problema suponiendo que la masa de hielo no se derrite completa-mente, entonces usando la ecuacion 7.12 para una temperatura inicial del te de 90oC, tenemos:

7.3. ECUACION DE ESTADO - LEY DE LOS GASES IDEALES 65

m =0, 52kg · 4, 186kJ/kgoC · (0oC − 90oC)

333kJ/kg

m = 0, 588kg (7.14)

Si analizamos un poco este resultado, vemos que es contradictorio al supuesto que no sederrite toda la masa de hielo. Ademas, la masa de hielo que se derrite es mayor que la inicial(520 g), algo ilogico. Como conclusion, el sistema esta en equilibrio a los 5, 22oC y se derritetodo el hielo.

�

7.3. Ecuacion de Estado - Ley de los Gases Ideales

La ecuacion de estado de un sistema da una relacion fundamental entre las cantidades ter-modinamicas macroscopicas. Esta ecuacion viene dada por:

pV = nRT (7.15)

donde R = 8, 3145 J/mol ·K y es llamada la contante universal de los gases. Esta constante esidentica para todos los gases.

Cuando la cantidad n es constante, podemos escribir a la ecuacion 7.15 como:

pV

T= constante (7.16)

Ejemplo 25 Un cilindro aislado equipado con un embolo, contiene oxıgeno a una temperaturade 20oC y una presion de 15 atm en un volumen de 22 litros. Al descender el embolo, disminuyeel volumen del gas a 16 litros y simultaneamente la temperatura se eleva a 25oC. Suponiendo queel oxıgeno se comporta como un gas ideal bajo estas condiciones, ¿cual es la presion final del gas?

Solucion

Partiendo de la ecuacion 7.16, dado que la cantidad de gas permanece sin cambio, tenemosque:

piViTi

=pfVfTf

pf =pi · Vi · TfTi · Vf

pf =15atm · 22l · 20oC

25oC · 16l= 21atm (7.17)

�


7.4. Trabajo efectuado sobre un gas ideal

Definicion 23 Gas IdealUn gas ideal es un gas teorico compuesto de un conjunto de partıculas puntuales con despla-

zamiento aleatorio que no interactuan entre sı. El concepto de gas ideal es util porque el mismose comporta segun la ley de los gases ideales.

Un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0oC de temperatura y 1 atmosfera de presion.

Consideremos, por ejemplo, un gas dentro de un cilindro. Las moleculas del gas chocan contralas paredes cambiando la direccion de su velocidad. El efecto del gran numero de colisiones quetienen lugar en la unidad de tiempo, se puede representar por una fuerza F que actua sobre todala superficie de la pared.

Si una de las paredes es un embolo movil de area A y este se desplaza una cantidad ∆x, elintercambio de energıa del sistema con el exterior puede expresarse como el trabajo realizado porla fuerza F a lo largo del desplazamiento ∆x (ver Capıtulo 3). Por lo tanto, se puede escribir eltrabajo como:

W = F ·∆x (7.18)

teniendo en cuenta que la presion es fuerza por unidad de area, y que el volumen es area pordistancia (en nuestro caso ∆x), entonces se puede reescribir el trabajo como:

W = F ·∆x = −∫pdV (7.19)

El signo negativo de la fuerza entra porque la fuerza esta en direccion opuesta al desplaza-miento.

Trabajo efectuado a volumen constante

El trabajo efectuado es cero en cualquier proceso que el volumen permanesca constante.

W = 0 (7.20)

Trabajo efectuado a presion constante

Cuando la presion es constante se puede demostrar que el trabajo realizado es el siguiente:

W = −p (Vf − Vi) (7.21)

Trabajo efectuado a temperatura constante

En el caso de que la temperatura sea constante, el trabajo realizado sera:

W = −nRT lnVfVi

(7.22)

7.5. CAPACIDAD CALORIFICA DE UN GAS IDEAL 67

7.5. Capacidad Calorıfica de un gas ideal

Introduzcamos cierta energıa como calor Q en un gas que esta confinado dentro de un cilindroequipado con un embolo. El gas puede entonces (1) almacenar la energıa en forma de energıacinetica al azar en sus moleclas, o bien (2) usar la energıa para hacer un trabajo sobre el embolo.

Capacidad Calorıfica a volumen constante

Consideremos primero el caso en el que el embolo esta fijo, de modo que el volumen del gaspermanece constante y no se efectua ningun trabajo externo. En este caso, la energıa termica Qse transforma en energıa cinetica (o tambien llamada energıa interna), es decir:

Q = ∆Eint (7.23)

Llamemos Cv a la capacidad calorıfica a volumen constante, y llamemos n a la cantidad demoles que contiene el gas, entonces:

Cv =Q

n∆T=

∆Eint

n∆T(7.24)

El valor que toma la capacidad calorıfica dependera de la cantidad de atomos que forman lamolecula, por lo que se puede demostrar:

Tipo de atomo Valor de Cv

Monoatomico 3/2 ·RDiatomico 5/2 ·R

Poliatomico 3 ·R

Capacidad Calorıfica a presion constante

Cuando mantenemos constante la presion, existen dos tipo de contribuciones al cambio deenergıa interna, (1) el calor transferido al gas, (2) el trabajo W realizado sobre el gas. Es decir:

Q = ∆Eint −W (7.25)

Aca estamos considerando que el calor transferido desde el entorno es positivo y tiende aincrementar la energıa interna. Si el volumen disminuye (manteniendo la presion constante), eltrabajo efectuado sobre el gas por el entorno es positivo y tiende a incrementar la energıa interna.Si el volumen aumenta, el gas efectua un trabajo sobre el entorno, lo cual tiende a disminuir laenergıa interna del gas.

El calor trasnferido en un proceso a presion constante puede escribirse como:

Q = nCp∆T (7.26)

donde Cp es la capacidad calorıfica a presion constante. Puede demostrarse la siguiente igualdad:

Cp = Cv +R (7.27)


Tipo de atomo Valor de Cp

Monoatomico 5/2 ·RDiatomico 7/2 ·R

Poliatomico 4 ·R

Ejemplo 26 Una familia entra en una cabana de vacaciones de invierno que no ha sido calen-tada en un tiempo tan largo que la temperatura del interior es la misma que la temperatura delexterior (0oC). La cabana cuenta con una sala de 6 m por 4 m en la superficie y una altura de3 m. La sala contiene un calefactor electrico de 2 kW. Suponiendo que la sala sea perfectamentehermetica y que todo el calor del calefactor es absorbido por el aire, no escapando nada a travesde las paredes o absorvido por el mobiliario, ¿cuanto tiempo despues de que haya sido encendidoel calefactor se alcanzara la temperatura de 21oC? Suponer que el aire se comporta como un gasdiatomico ideal.

SolucionPrimero calculamos el volumen de la sala:

V = 6m · 4m · 3m = 72m3 = 72000l (7.28)

Sabiendo que un mol de un gas ideal ocupa 22,4 litros a 0oC y 1 atm, entonces, el numero demoles es:

n =72000l

22, 4l= 3214mol (7.29)

Dado que estamos considerando que la sala es hermetica, entonces el volumen es constante,por lo que la absorcion de calor es a volumen constante (recordando que el valor de Cv = 5/2·R =20, 8J/mol ·K), entonces:

Q = nCv∆T = 3214mol · 20, 8J/mol ·K21K

Q = 1, 4× 106J (7.30)

Como el calefactor entrega una potencia de 2 kW, entonces:

P =Q

t(7.31)

Despejando t,

t =Q

P=

1, 4× 106J

2000W= 700s (7.32)

�

7.6. Ejercicios

1. En cierta casa con energıa solar, se almacena energıa del sol en barriles de agua. En unlapso de cinco dıas nublados de invierno, se necesitaron 5,22 GJ para mantener el interior

7.6. EJERCICIOS 69

de la casa a 22oC. Suponiendo que el agua de los barriles estuiera a 50oC, ¿que volumende agua se necesito?

Respuesta: 44,5 m3

2. Si la masa del cuerpo es de 300 g, y el calor especıfico del Cobre es de 0.092 cal/g◦C.Considerando que el cuerpo en principio se encontraba a 55 ◦C y luego se estabilizo a 30◦C¿Cual sera la cantidad de calor cedida por el cuerpo?

Respuesta: -690 cal

3. Se colocan 250g de un material a 165oC en 500g de agua a 20oC que se encuentra en unrecipiente. La temperatura final a la que llega todo el sistema es de 40oC. ¿Cual es el calorespecıfico del material?

Respuesta: 0,32 cal/goC - Carbon Mineral

4. Suponga que un cuerpo se encuentra a 120oF. Calcular la temperatura en grados Celsiusy grados Kelvin.

5. En un recipiente aislado, se agregan 250 g de hielo a 0oC a 600 g de agua a 18oC. Calcularla temperatura final del sistema y la cantidad de hielo que queda sin derretirse.

Respuesta: Quedan 135 g y el sistema esta a 0oC


Capıtulo 8

Electricidad

8.1. Introduccion

Los fenomenos electrostaticos, como escuchar chasquidos al sacarnos una prenda de vestir,peinar varias veces nuestro cabello seco y luego acercarlo a pequenos trozos de papel, por ejem-plo, se producen por la interaccion de la carga electrica de un cuerpo con la de otro. La palabraelectricidad proviene del termino elektron, palabra con que los griegos llamaban al ambar.

Cuando un atomo, o un cuerpo, tiene la misma cantidad de cargas positivas (protones) y ne-gativas (electrones) se dice que esta electricamente neutro. Si se produce un desequilibrio entrela cantidad de electrones y protones, se dice que esta electrizado. El cuerpo que pierde electronesqueda con carga positiva y el que recibe electrones queda con carga negativa. Se llama cargaelectrica (q) al exceso o deficit de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. Lacarga neta corresponde a la suma algebraica de todas las cargas que posee un cuerpo.

La carga electrica permite cuantificar el estado de electrizacion de los cuerpos siendo su unidadmınima la carga del electron. Esto significa que la carga electrica q de un cuerpo esta cuantizaday se puede expresar como nq, en que n es un numero entero (incluyendo el cero); sin embargo,como la carga del electron es muy pequena, se utiliza un multiplo de ella: el coulomb (C), quees la carga obtenida al reunir 6, 24× 1018 electrones. Tambien se usan con mayor frecuencia lossubmultiplos del coulomb: el microcoulomb (µC) que equivale a 10−6C.

Definicion 24 (Carga electrica) La carga electrica es una propiedad fısica intrınseca de al-gunas partıculas subatomicas que se manifiesta mediante fuerzas de atraccion y repulsion entreellas. La materia cargada electricamente es influida por los campos electromagneticos, siendo asu vez, generadora de ellos. La denominada interaccion electromagnetica entre carga y campoelectrico es una de las cuatro interacciones fundamentales de la fısica. Las cargas del mismosigno se repelen y las de signo contrario se atraen.

8.2. Formas para electrizar un cuerpo

Al observar lo que sucede cuando frotamos con nuestra ropa una regla plastica y la acercamosa las hojas de un cuaderno o al ?hilo? de agua que cae por una llave de agua, o cuando notamosuna chispa al tocar a una persona luego de caminar por una alfombra en un dıa de verano, entre

71

72 CAPITULO 8. ELECTRICIDAD

otros ejemplos, podemos inferir que la materia se puede electrizar.

Un cuerpo electricamente neutro se electriza cuando gana o pierde electrones.

Existen tres formas basicas de modificar la carga neta de un cuerpo: electrizacion por frota-miento, contacto e induccion. En todos estos mecanismos siempre esta presente el principio deconservacion de la carga, que nos dice que la carga electrica no se crea ni se destruye, solamentese transfiere de un cuerpo a otro.

1. Frotamiento. En la electrizacion por friccion, el cuerpo menos conductor saca electronesde las capas exteriores de los atomos del otro cuerpo quedando cargado negativamente yel que pierde electrones queda cargado positivamente.

2. Contacto. En la electrizacion por contacto, el que tiene exceso de electrones (carga -)traspasa carga negativa al otro, o el que tiene carencia de ellos (carga +) atrae electronesdel otro cuerpo. Ambos quedan con igual tipo de carga.

3. Induccion. Al acercar un cuerpo cargado al conductor neutro, las cargas electricas semueven de tal manera que las de signo igual a las del cuerpo cargado se alejan en elconductor y las de signo contrario se aproximan al cuerpo cargado, quedando el conductorpolarizado. Si se hace contacto con tierra en uno de los extremos polarizados, el cuerpoadquiere carga del signo opuesto.

8.3. Fuerza Electrica

Dos cargas electricas del mismo signo se repelen, mientras que si son de signos contrarios seatraen. Esta fuerza electrica de atraccion o repulsion, depende de las cargas electricas y de ladistancia entre ellas.

8.3.1. Ley de Coulomb

Las primeras experiencias que permitieron cuantificar la fuerza electrica entre dos cargas sedeben al frances Charles Coulomb, en el ano 1785. A partir de sus resultados, Coulomb enun-cio una ley que describe esta fuerza, de atraccion o de repulsion, la que es conocida como ley deCoulomb, y que es un principio fundamental de la electrostatica.

Los experimentos de Coulomb y de sus contemporaneos demostraron que la fuerza electricaejercida por un cuerpo cargado sobre otro depende directamente del producto de sus magnitudese inversamente del cuadrado de su separacion. En otras palabras,

F = K · q1q2

r2(8.1)

donde K = 8,99× 109Nm2/C2. Nosotros nos detendremos en los casos unidimensionales.

Debemos tener en cuenta que el signo de las cargas nos indicara si la fuerza es de atraccion(cargas con distinto signo) o de repulsion (cargas con igual signo). El sentido y direccion de lafuerza neta se infiere a partir del diagrama de fuerzas

8.3. FUERZA ELECTRICA 73

Ejemplo 27 Suponga que hay tres cargas q1 = −1, 2µC, q2 = 3, 7µC y q3 = −2, 3µC. Si q2

se encuentra a la derecha de q1 a una distancia de 15cm y un angulo de cero grado, y q3 a laizquierda de q1 a 10cm de distancia y un angulo de 32 grados respecto a la vertical. Calcular lafuerza electrica actuante sobre q1.

Figura 8.1: Esquema de la distribucion de las cargas

SolucionComencemos calculando la fuerza que ejerce q2 sobre q1, es decir:

F12 =Kq1q2

r212

=8, 99× 109Nm2/C2 · 1, 2× 10−6C · 3, 7× 10−6C

(0, 15m)2

F12 = 1, 77N (8.2)

Estas dos cargas tienen signos opuestos, por lo que la fuerza es atractiva. Ahora, calculandola fuerza que ejerce q3 sobre q1, tenemos:

F13 =Kq1q3

r2=

8, 99× 109Nm2/C2 · 1, 2× 10−6C · 2, 3× 10−6C

(0, 10m)2

F13 = 2, 48N (8.3)

Teniendo en cuenta que las cargas tienen los mismos signos, entonces la fuerza es repulsiva.Por otra parte, descomponiendo las fuerzas sobre los ejes cartesianos, tenemos:

F1x = F12x + F13x = F12 + F13 sen θ

= 1, 77N + 2, 48N sen 32o = 3, 08N (8.4)

En el eje y se tiene:


F1y = F12y + F13y = 0 + F13 cos θ

= 0− 2, 48N cos 32o = −2, 10N (8.5)

Luego, sumando vectorialmente los resultados de ambas componentes, utilizando el teoremade Pitagoras:

F1 =√F 2

1x + F 21y =

√(3, 08N)2 + (−2, 10N)2 = 3, 73N (8.6)

Por otro lado, se puede calcular, usando trigonometrıa, el angulo de la fuerza F1:

tanα =F1x

F1y=

3, 08N

−2, 10N= −1, 466 (8.7)

donde sacando el arcotangente de −1, 466 se obtiene un angulo de −56o.

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8.4. Campo Electrico

Las cargas electricas generan en torno a ellas, un campo electrico de caracter vectorial quedisminuye con la distancia. Este campo produce una fuerza electrica sobre una carga que seubique en algun punto de el.

Fue Michael Faraday (1791-1867) quien introdujo la nocion de campo en la Fısica para poderexplicar la interaccion a distancia (interactuar sin tocarse) que ocurre entre cuerpos, como sucedepor ejemplo al aproximar dos imanes, y que Newton no pudo aclarar. En Fısica, el concepto decampo senala un sector del espacio en el que a cada punto de el, se le puede asociar un vector ouna cantidad escalar.

Por ejemplo, la Tierra genera un campo gravitatorio en el espacio que la circunda ejerciendouna fuerza (el peso, que es un vector) sobre los cuerpos situados en sus cercanıas. Del mismomodo, una partıcula cargada Q, llamada carga generadora, produce un campo electrico a sualrededor. Este campo se puede detectar si colocamos una pequena carga de prueba +q0 puestaen el punto del espacio donde se desea medir. En ese punto, la intensidad del campo electrico Ees igual a la fuerza electrica que experimenta la carga de prueba y tiene la misma direccion quela fuerza, si q0 es positiva; por tanto:

E = KQ

r2(8.8)

El campo generado por una carga puntual Q disminuye con el cuadrado de la distanciadesde la carga. Cualquier campo electrico que varıe con la distancia se denomina campo electricovariable y su intensidad solo depende de la carga generadora y de la distancia entre la carga y elpunto del espacio donde se calcula, independiente de que haya o no una carga de prueba en esepunto.

8.5. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA 75

8.5. Energıa potencial electrica

Para levantar un objeto desde el suelo hasta cierta altura es necesario efectuar un trabajosobre el para vencer la fuerza de gravedad debida al campo gravitacional terrestre. El objetoen esa posicion, adquiere energıa potencial gravitatoria. Si levantamos un cuerpo del doble demasa, la energıa potencial sera tambien el doble, si la masa es el triple, la energıa requeridasera tambien el triple, y ası sucesivamente.

Lo mismo ocurre en el caso de las cargas electricas. Si se quiere mover una carga de pruebaq desde el infinito (region alejada donde el potencial electrico de la carga generadora es practi-camente nulo) hasta cierto punto dentro de un campo electrico generado por una carga Q, esnecesario ejercer una fuerza por un agente externo, y por tanto realizar un trabajo contra lasfuerzas electricas, por lo que la carga de prueba adquiere una cierta energıa potencial electrica(U).

El trabajo W realizado para mover la carga de prueba corresponde al cambio de la energıapotencial electrica, experimentado por dicha carga. De hecho, si soltamos la carga q, acele-rara alejandose de Q y transformando la energıa potencial ganada en cinetica.

Si definimos que en el infinito U = 0, tenemos que la energıa potencial electrica que adquiereuna carga puntual q a una distancia r de una carga generadora Q es:

U = KQq

r(8.9)

Como toda forma de energıa, la unidad de la energıa potencial electrica en el SI es el joule(J) y sera positiva cuando la fuerza sea repulsiva.

8.5.1. Potencial Electrico

Si una carga electrica q situada en un punto de un campo electrico se duplica, triplica o au-menta n veces, la energıa potencial electrica aumentara en la misma cantidad, respectivamente;sin embargo, es mas frecuente considerar, en dicho punto, el potencial electrico (V ), que co-rresponde a la energıa potencial electrica por unidad de carga ya que este valor sera el mismo,independiente de la cantidad de cargas, o incluso si no hay cargas (es una propiedad del espacio).Por lo tanto:

V =U

q= K

Q

r(8.10)

El potencial electrico es una cantidad escalar, cuya unidad de medida es el volt, en honordel fısico italiano Alessandro Volta (creador de la pila electrica) que corresponde a J/C. Porejemplo, un potencial de 220V significa que en ese punto una carga de 1C adquiere una energıade 220J .

Ejemplo 28 Una placa conductora cargada positivamente crea en sus proximidades un campoelectrico uniforme E = 1000N/C, tal y como se muestra en la figura. Desde un punto de laplaca se lanza un electron con velocidad 107m/s formando un angulo de 60o con dicha placa,de forma que el electron describira una trayectoria como la indicada en la figura. (Datos: e =−1, 6× 10−19C, me = 9, 1× 10−31kg)


1. En el punto A, el mas alejado de la placa, ¿con que velocidad se mueve el electron? Respectoal punto inicial, ¿cuanto ha variado su energıa potencial electrostatica? Calcula la distanciad entre el punto A y la placa.

2. Determina la velocidad (modulo y orientacion) del electron cuando choca con la placa(punto B).

SolucionSobre el electron esta actuando una fuerza, vertical y hacia abajo, de modulo F = eE, siendo

e el valor de la carga del electron. Usando la segunda ley de Newton, la aceleracion, tambienvertical y hacia abajo, del electron vale:

ay =eE

me(8.11)

Si se toma como origen de coordenadas la posicion inicial del electron; entonces, la posiciondel electron, en cualquier instante, esta dada por

x = v0xt = v0 cosα · t (8.12)

y = v0yt−1

2ayt

2 = v0 sinα · t+1

2

eE

met2 (8.13)

Esto es debido a que en el eje x se desarrolla un movimiento del tipo MRU y en el eje yMRUV, donde solo actua la aceleracion debida al campo electrico E. Las componentes de lavelocidad instantanea vienen dadas por:

vx = v0x = v0 cosα (8.14)

vy = v0y − ayt = v0 sinα+eE

met (8.15)

En el punto A, la componente y de la velocidad (vy) es nula, por lo tanto

vx = v0x = v0 cosα = 5× 106m/s (8.16)

Para calcular la energıa potencial electrostatica tenemos que:

8.5. ENERGIA POTENCIAL ELECTRICA 77

∆U = KQq

r= ∆V q (8.17)

donde:

∆V = Er (8.18)

En este caso r = d, por lo que habrıa que calcular primero la distancia d. Para ello se debeusar la siguiente condicion vy = 0, es decir:

vy = v0 sinα+eE

met = 0 (8.19)

De esta ecuacion despejamos el tiempo t y lo reemplazamos en la ecuacion y, es decir:

t =−v0 sinα ·me

eE=−107m/s · sin 60o · 9, 1× 10−31kg

−1, 6× 10−19C · 1000N/C= 4, 9× 10−7s

y = v0 sinα · t+1

2

eE

met2 = 21, 3m (8.20)

Luego, volviendo a la ecuacion de la energıa potencial electrostatica:

∆U = E · d · e = −3, 4× 10−15J (8.21)

Para calcular la velocidad del electron cuando llega a la placa, debemos primero calcular eltiempo que tarda el electron en volver a la placa; por lo que se debe cumplir que y = 0, es decir:

y = v0 sinα · t+1

2

eE

met2 = 0 (8.22)

Despejando de esta ecuacion t, se obtiene:

t = 0 (8.23)

t =2mev0 sinα

eE= 9, 9× 10−7s (8.24)

Las componentes de la velocidad en ese instante son:

vx = v0 cosα = 5× 106m/s (8.25)

vy = v0 sinα+eE

me· t = −8, 7× 106m/s (8.26)

Luego, con las componentes de cada eje se calcula el valor del modulo de la velocidad,

v =√v2x + v2

y = 107m/s (8.27)


Este valor coincide con el de la velocidad inicial, esto es debido a que la energıa mecanica seconserva. Por ultimo, el angulo de la velocidad viene dado por:

β = arctanvyvx

= −60o (8.28)

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Ejemplo 29 Un electron se deja en reposo en el origen de coordenadas donde actua un campoelectrico uniforme de intensidad: E = 400 N/C. Determina la diferencia de potencial entre elorigen de coordenadas y el punto A(5,0) cm. Calcula la velocidad del electron cuando pasa porel citado punto A.

SolucionAl realizar un desplazamiento desde el origen de coordenadas hasta el punto A, el vector

campo electrico y el desplazamiento forman un angulo de 180o. Aplicando la relacion entre elpotencial y el campo, se tiene:

E cosα = −∆V

∆r∆V = 400N/C · cos 180o · 0, 05m = 20V (8.29)

El punto A esta a mayor potencial que el punto O, ya que el campo electrico tiene el sentidodel potencial decreciente. Si al origen de coordenadas se le asigna un potencial electrico igual acero voltios, el punto A esta a un potencial de 20V .

Para calcular la velocidad del electron, se hace uso de la ley de la conservacion de la energıamecanica,

UO + EcO = UA + EcA

0 + 0 = qeVA +1

2mev

2A

vA =

√−2qeVAme

= 2, 65× 106m/s (8.30)

�

8.6. EJERCICIOS 79

Ejemplo 30 Dos pequenas bolas, de 10 g de masa cada una de ellas, estan suspendidas delmismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno. Si al cargar las bolitas con lamisma carga electrica, los hilos se separan formando un angulo de 10o, determina el valor de lacarga electrica.

SolucionSobre cada bola actuan su peso, la tension del hilo y la fuerza electrica. Aplicando la condicion

de equilibrio, se tiene que:

∑Fx = 0⇒ Tx − Fe = 0⇒ T sinϕ =

Kq2

r2(8.31)∑

Fy = 0⇒ Ty − P = 0⇒ T cosϕ = mg (8.32)

Dividiendo ambas ecuaciones:

tanϕ =Kq2

mgr2⇒ q =

√mgr2 tanϕ

K(8.33)

Si la longitud del hilo es igual a d y como cada bola se separa de la vertical un angulo ϕ = 5o,la distancia entre ellas es: r = 2d · sin5o. Sustituyendo en la ecuacion anterior:

q =

√mg(2d · sin5o)2 tanϕ

K= 1, 7× 10−7C (8.34)

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8.6. Ejercicios

1. Dos cargas puntuales de 5µC y −2µC se encuentran separadas a una distancia de 15 cm.Haz un diagrama vectorial de fuerzas y calcula el modulo de la fuerza indicando si la fuerzaes atractiva o repulsiva.


2. Dos cargas puntuales se separan a una distancia tres veces mayor que la que tenıan inicial-mente. ¿Como cambia el modulo de la fuerza electrica entre ellas? Explica.

3. Determina el punto entre dos cargas puntuales de +2mC y +5mC en que el campo electricoes nulo. Ambas cargas se encuentran a 1 m de distancia.

4. ¿Cual debe ser la distancia entre dos cargas puntuales de q1 = 26, 3µC y otra de q2 =−47, 1µC para que la fuerza electrica sea de 5, 66N?

5. Una carga puntual de 3, 12×10−6C se encuentra a una distancia de 12, 3cm de una segundacarga puntual de −1, 48× 10−6C. Calcular la magnitud de la fuerza entre las cargas.

6. Determinar la intensidad de la fuerza electrica que actua sobre q1, suponiendo que q1 =q2 = 21, 3µC y d = 1, 52m. Ahora suponga que se introduce una tercera carga q3 = 21, 3µCy se coloca a una distancia de 1, 52m de q1 y q2 formando un triangulo equilatero. Calcularla nueva fuerza que se ejerce sobre q1.

7. Suponga que hay cuatro cargas que se distribuyen en los vertices de un cuadrado de 15, 2cmde lado. Los vertices del lado izquierdo tienen una carga +q y +2q, y los vertices del ladoderecho −q y −2q, empezando por arriba en ambos casos. Suponiendo que q = 1, 13µC,calcular la fuerza electrica resultante que opera sobre el angulo inferior izquierdo.

8. La masa de un proton es 1, 67 × 10−27kg y su carga electrica 1, 6 × 10−19C. Comparala fuerza de repulsion electrica entre dos protones situados en el vacıo con la fuerza deatraccion gravitatoria que actua entre ellos.

9. Un electron que lleva una velocidad de 5×106m/s accede perpendicularmente a un campoelectrico uniforme de intensidad E = 3000 N/C. Deduce la ecuacion de la trayectoria quedescribe el electron. ¿Que distancia recorre verticalmente el electron despues de trasladarsehorizontalmente 12 cm?

10. Una partıcula cargada negativamente, con masa m = 8×10−20kg y carga q = −2×10−18C,describe orbitas circulares alrededor de otra partıcula mucho mayor, de masa M = 4 ×10−12kg y carga positiva Q = 3 × 10−10C, a la que supondremos inmovil. La partıculapequena emplea un tiempo t = 7, 65 × 10−10s en dar una vuelta completa. No tendremosen cuenta la atraccion gravitatoria entre ambas partıculas.

a) Calcula el radio de la orbita que describe la partıcula pequena.

8.6. EJERCICIOS 81

b) Al no haber tenido en cuenta la fuerza gravitatoria, se puede pensar que estamos come-tiendo cierto error. ¿Piensas que dicho error es despreciable? Razona numericamentetu respuesta.


Capıtulo 9

Matematica Avanzada

9.1. Lımite

9.1.1. Punto de Acumulacion

Definicion 25 (Punto de Acumulacion) El concepto de punto de acumulacion de un con-junto en un espacio captura la nocion informal de punto que esta arbitrariamente proximo alconjunto sin pertenecer necesariamente a el.

Ejemplo 31 El intervalo (0,1) tiene como puntos de acumulacion a todos los puntos del inter-valo [0,1].

Ejemplo 32 Los numeros naturales no tienen puntos de acumulacion.

9.1.2. Lımite

Definicion 26 (Lımite) Una funcion f tiene un lımite L en el punto c, significa que el valorde f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c,independientemente de lo que ocurra en c.

La representacion numerica del concepto de lımite se manifiesta en el calculo de tablas devalores de la funcion dada tomando valores tan proximos al punto como se quiera y estudiandola tendencia de las imagenes correspondientes.

Ejemplo 33 A continuacion se presenta un ejemplo para el calculo del lımite de la funcionf(x) = x2 + 1 cuando x→ 1 y cuando x→ 0.

83

84 CAPITULO 9. MATEMATICA AVANZADA

x f(x) = x2 + 12 5

1.5 3.251.01 2.02011.001 2.002001

1 20.9999 1.999800010.999 1.9980010.5 1.250.1 1.01

0.001 1.0000010 1

�

Ejemplo 34 La poblacion de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la funcion:

P (t) =20(t− 1)

4 + (t− 1)2+ 40 (9.1)

donde t es el tiempo en anos. Calcular la poblacion cuando el lımite de t tiende a infinito.

�

Ejemplo 35 Luis y Marıa tienen una piscina en su jardın y al llegar el verano necesitan cambiarel agua de la piscina. Abren el desagu?e y la piscina se comienza a vaciar segun la funcion:

v(t) =

√t+ 3− 2

t− 1(9.2)

donde t es el tiempo de vaciado en horas y v(t) es el volumen de agua expresado en m3. Averiguahacia donde se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo se aproxima a 1 hora.

�

9.2. Derivada

Vamos a estudiar los desplazamiento que realiza un movil en determinados intervalos detiempo. Un movil es un objeto que se mueve, y que puede ser un auto, una bicicleta, un barco ocualquier otra cosa.

Para realizar el estudio del movimiento necesitamos establecer una referencia, un punto fijodel cual podamos medir distancias y tiempos (observador). Empecemos a hacer mediciones yobservamos que al cabo de 2 segundos el movil ha recorrido 4 metros. Luego, observamos que alcabo de 10 segundos el movil se desplazo 20 metros. Podrıamos representar el resultado diciendoque en el intervalo de tiempo t2 − t1 = 10 − 2 segundos, se ha recorrido la siguiente distanciax2 − x1 = 20− 4 en metros.

Estas letras se simbolizan mediante la letra griega ∆ de la siguiente manera:

9.2. DERIVADA 85

∆x = x2 − x1 (9.3)

∆t = t2 − t1 (9.4)

Estas diferencias suelen llamarse incrementos.

Si seguimos haciendo mediciones y observaciones que siempre el recorrido es el doble al tiempoempleado en el mismo, podremos concluir que:

∆x = 2 ·∆t (9.5)

O que es lo mismo:

∆x

∆t= 2 (9.6)

Este cociente entre estos incrementos es lo que se denomina velocidad del movil, que en estecaso es 2 m/s. En particular, dado que ante cualquier intervalo de tiempo la velocidad es lamisma, estamos en presencia de un movimiento del tipo MRU.

Cuando estamos midiendo la velocidad en un dado intervalo de tiempo, en realidad lo queestamos calculando es la velocidad media de ese intervalo de tiempo. La velocidad en un pun-to es lo que se denomina velocidad instantanea. Ocurre que si la velocidad es constante, lavelocidad media coincide con la velocidad instantanea. Es facil ver que la velocidad es diferentesegun el angulo que dicha recta forme con el eje horizontal en el grafico espacio-tiempo. Mas aun,cuanto mayor es el angulo, mayor es la velocidad.

El asunto empieza a complicarse cuando la relacion entre el incremento del espacio y el incre-mento del tiempo nos es constante. Es decir, cuando el grafico espacio-tiempo no es una funcionlineal, tal como sucede en en la figura 9.1.

En este caso la velocidad media del movil varıa segun el intervalo de tiempo que se este ana-lizando. Lo que todavıa no podemos calcular es la velocidad instantanea del movil para un dadotiempo, por ejemplo para t = 1, 5 segundos. Aunque podrıamos considerar un intervalo muypequeno en torno a t = 1, 5 y obtener ası un valor aproximado de dicha velocidad. Cuanto menorsea el intervalo mejor sera la aproximacion.

Lo que decimos es que el cociente de los incrementos ∆x/∆t se aproxima mejor a lo quedecimos velocidad instantanea cuando es mas pequeno es el incremento ∆t, como consecuencia,la velocidad instantanea se definira como:

v = lım∆t→0

∆x

∆t(9.7)

Definicion 27 (Derivada) La derivada de una funcion es una medida de la rapidez con la quecambia el valor de dicha funcion matematica, segun cambie el valor de su variable independiente.La derivada de una funcion es un concepto local, es decir, se calcula como el lımite de la rapidezde cambio media de la funcion en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para lavariable independiente se torna cada vez mas pequeno. Por ello se habla del valor de la derivadade una cierta funcion en un punto dado.


Figura 9.1: Funcion cuadratica que representa el movimiento de un movil en el espacio-tiempo

Vamos ahora a abandonar los moviles y a plantear el asunto en termino geometricos. Dandovalores a x se obtienen los correspondientes valores de y, como puede observarse en la figura 9.1.

Por otro lado, recordemos que la ecuacion de una recta tiene la forma y = mx+ b. Vamos acalcular la ecuacion de la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q(2, 4). Sustituyendo dichospuntos en la ecuacion de la recta nos queda:

3 = m+ b (9.8)

4 = 2m+ b (9.9)

Sistema de dos ecuaciones con dos incognitas que nos permitira obtener los valores de m y b.Despejando m de la primera ecuacion tenemos que m = 3 − b, y sustituyendola en la segunda,4 = 2(3− b) + b = 6− 2b+ b = 6− b; con lo que b = 6− 4 = 2. Sustituyendo este valor de b enla primera nos da 3 = m + b, con lo que m = 1.

En definitiva, la ecuacion de la recta es y = x+ 2 (ver figura 9.2).

Recordemos que en la ecuacion y = mx + b, m es lo que se llama la pendiente de la rectay representa el angulo que esta forma con el eje de abscisas, o mas exactamente, la tangentetrigonometrica de dicho angulo, al que podemos llamar α. De manera que m = tanα.

En la recta cuya ecuacion acabamos de calcular, se tiene que la pendiente vale 1 (m = 1), esdecir, que tanα = 1, por lo que α = 45o.

9.2.1. Ecuacion de la tangente

El problema que nos planteamos ahora, y que trajo de cabeza a decenas de matematicos ilus-tres durante siglos, es como hallar la ecuacion de la recta tangente a una curva en uno cualquierade sus puntos.

9.2. DERIVADA 87

Figura 9.2: Representacion grafica de la funcion y = −x2 + 4x

Volvamos a la curva y = −x2 + 4x que hemos estado utilizando hasta ahora, y tratemosde encontrar la ecuacion de la recta tangente a la misma en el punto de abscisa x = 1. Hemosvisto que encontrar la recta que pasa por los puntos P (1, 3) y Q(2, 4) no representaba ningunproblema. Hagamos ahora retroceder el punto x = 2 hacia la izquierda, de manera que el puntoQ que esta sobre la curva se vaya aproximando a P (ver figura 9.3).

Observamos como la pendiente de las sucesivas rectas que obtenemos va aumentando. ¿Que su-cedera en el momento en que el punto Q alcance la posicion del punto P? Pues que la recta quese estaba moviendo y que cortaba a la curva en dos puntos la cortara en uno solo, es decir, quese habra convertido en la recta tangente.

Lo que debemos hacer ahora es ver como evolucionan las pendientes de las rectas hasta con-vertirse en la pendiente de la recta tangente, y lo vamos a hacer en el caso mas general para unpunto P (x, y) cualquiera de la curva.

Vemos que los angulos α (pendiente de la recta) y α’ son iguales. Recordemos que la pendientees la tangente trigonometrica de dicho angulo.

Reparemos un momento en una cuestion que se puede prestar a confusion, que es la del em-pleo del termino tangente en dos acepciones diferentes: una es la tangente a la curva, en la quehablamos de una recta y es una acepcion puramente geometrica; la otra es la tangente de unangulo, cuando nos referimos a la pendiente, y esta es una acepcion trigonometrica.

Volvamos a la figura y calculemos el valor de la tangente trigonometrica (ver figura 9.4). Esdecir:

tanα = tanα′ =QO

PO=

(y + ∆y)− y(x+ ∆x)− x

=∆y

∆x(9.10)

De forma que las pendientes de todas las rectas que cortan a la curva en los puntos P y Qpueden venir dadas por el cociente incremental. Pero, ¿que significa que el punto Q retrocede


Figura 9.3: Representacion grafica de la funcion y = −x2 + 4x para distintas rectas tangentes.

Figura 9.4: Representacion grafica de la funcion y = −x2 + 4x. Tangente trigonometrica.

9.2. DERIVADA 89

hacia el P?, pues que ∆x va haciendose cada vez mas pequeno, luego el valor de la pendienteque buscamos estara en el lımite en que dicho valor sea 0:

f ′(x) = m = lım∆→0

∆y

∆x(9.11)

que es precisamente la definicion de derivada de una funcion en un punto y que se representacolocando un apostrofo en la letra f que utilizamos para representar la funcion.

9.2.2. Maximos y Mınimos

Cuando la pendiente m de una recta es positiva, el angulo que esta forma con el eje horizontalesta comprendido entre 0o y 90o, cuando es negativa, entre 90o y 180o (ver figura 9.5).

Figura 9.5: Maximos y mınimos. Rectas tangentes.

Hemos visto la relacion que guardaba dicha pendiente con la derivada a una curva en uno desus puntos. Por lo tanto, cuando la derivada de una funcion en un punto sea positiva significaque las rectas tangentes se inclinan hacia la derecha, que es tanto como afirmar que la curva“sube”, es decir, que es creciente. Recıprocamente, en aquellos intervalos en los que la derivadasea negativa, la curva sera descendiente.

Figura 9.6: Maximos y mınimos. Recta tangente en el punto O.

En un punto tal como O, la derivada es cero, por lo que el angulo que forma la tangente a lacurva en ese punto con la horizontal tambien vale 0. Esta es una condicion necesaria (no siempre


suficiente) para que en dicho punto exista un maximo local (ver figura 9.6).

Evidentemente, todo lo dicho es valido para la presencia de un mınimo local.

9.2.3. Derivada de un polinomio y una constante

Vamos a ver dos casos especiales de derivadas, el de una funcion polinomica o exponencial yel de una constante.

La derivada de una potencia o funcion potencial (polinomio), es igual al exponente por labase elevada al exponente menos uno, es decir:

f(x) = axn (9.12)

f ′(x) = n · axn−1 (9.13)

En en el caso de una funcion constante, la derivada siempre toma el valor cero, es decir:

f(x) = K (9.14)

f ′(x) = 0 (9.15)

9.2.4. Regla de la Derivada de una Suma y Resta de funciones

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichasfunciones. Es decir:

f ′(x) = g′(x)± h′(x) (9.16)

Ejemplo 36 Calcular la derivada de la siguiente funcion:

f(x) = 3x2 − 5x+ 2 (9.17)

Aplicando la regla de derivacion de un polinomio y la regla de suma de funciones, tenemosque la derivada es:

f ′(x) = 2 · 3x2−1 − 1 · 5x1−1 + 0 (9.18)

f ′(x) = 6x− 5 (9.19)

�

9.2.5. Aplicacion a la cinematica

Recordemos algunas definiciones:

Definicion 28 (Velocidad Instantanea) Se define como velocidad instantanea a la derivadade la funcion del espacio del objeto o movil. Por lo tanto,

v = x′(t) (9.20)

9.2. DERIVADA 91

Definicion 29 (Aceleracion Instantanea) Se define como aceleracion instantanea a la deri-vada de la funcion de la velocidad del objeto o movil. Por lo tanto,

a = v′(t) (9.21)

Definicion 30 (Velocidad Media)

v =∆x

∆t(9.22)

Definicion 31 (Aceleracion Media)

a =∆v

∆t(9.23)

Ejemplo 37 Un movil sigue una trayectoria en el espacio segun la siguiente ecuacion:

x(t) = 5t3 − 2t2 + 7t+ 15 (9.24)

donde x representa el espacio medido en metros y t el tiempo medido en segundos. Calcular:

a. La velocidad y aceleracion instantanea a los 7 y 10 segundos

b. La velocidad y aceleracion media en ese intervalo de tiempo

c. Velocidad maxima / mınima

Para calcular la velocidad instantanea vamos a sacar la derivada de la funcion del espacio,

v(t) = x′(t) = 3 · 5t3−1 − 2 · 2t2−1 + 1 · 7t1−1 + 0 (9.25)

v(t) = 15t2 − 4t+ 7 (9.26)

Luego evaluamos la velocidad instantanea en t igual a 7 y 10 segundos:

v(t) = 15 · 72 − 4 · 7 + 7 = 714m/s (9.27)

v(t) = 15 · 102 − 4 · 10 + 7 = 1467m/s (9.28)

Para la aceleracion instantanea tenemos que derivar la funcion de la velocidad v(t) = 15t2 −4t+ 7, es decir:

a(t) = v′(t) = 2 · 15t2−1 − 1 · 4t1−1 + 0 (9.29)

a(t) = 30t− 4 (9.30)

Ahora, evaluando la funcion de la aceleracion en 7 y 10 segundos tenemos:

a(t) = 30 · 7− 4 = 206m/s2 (9.31)

a(t) = 30 · 10− 4 = 296m/s2 (9.32)

Para calcular la velocidad media se debe aplicar la definicion anterior, es decir:


v =∆x

∆t=x2 − x1

t2 − t1(9.33)

donde x2 y x1 son los espacios recorridos en 10 y 7 segundos respectivamente. Es decir:

x(t = 10s) = 5 · 103 − 2 · 102 + 7 · 10 + 15 = 4885m (9.34)

x(t = 7s) = 5 · 73 − 2 · 72 + 7 · 7 + 15 = 1681m (9.35)

Por lo tanto, la velocidad media es igual a:

v =∆x

∆t=x2 − x1

t2 − t1=

4885m− 1681m

10s− 7s= 1068m/s (9.36)

De forma similar, la aceleracion media nos queda:

a =∆v

∆t=v2 − v1

t2 − t1=

1467m/s− 714m/s

10s− 7s= 251m/s2 (9.37)

Por ultimo, para calcular la velocidad maxima o mınima, debemos calcular las raıces de laderivada de la velocidad, es decir:

v′(t) = 30t− 4 = 0 (9.38)

t =4

30= 0, 133s (9.39)

Esta raız nos dice en que momento se produce la maxima o mınima velocidad. Ahora bien,reemplazando ese valor en la funcion de la velocidad instantanea, podemos calcular el valor de lavelocidad maxima/mınima:

v(t) = 15t2 − 4t+ 7 (9.40)

v(t) = 15 · 0, 1332 − 4 · 0, 133 + 7 = 6, 73m/s (9.41)

Para determinar si es un maximo o un mınimo hay que calcular la derivada de la derivada(derivada segunda), evaluar la funcion en el punto calculado anteriormente, y si es positivo elresultado es un mınimo; y si es negativo un maximo. Calculemos la derivada segunda:

v′(t) = 30t− 4 = 0 (9.42)

v′′(t) = 30 > 0 (9.43)

Como la derivada segunda es siempre mayor que cero, entonces el resultado de la velocidadigual a 6, 73m/s es la velocidad mınima que tiene el movil durante toda la trayectoria que recorre.

�

9.3. EJERCICIOS 93

9.3. Ejercicios

1. Una empresa tiene capacidad de producir como maximo 15.000 unidades al mes de ciertoproducto. El costo total de produccion Ct en miles de dolares por mes responde a laexpresion

Ct(q) =1

3q3 − 15

2q2 + 36q + 81 (9.44)

donde q es el numero de unidades producidas en miles de unidades por mes. Determina laproduccion mensual de la empresa que minimiza el costo total de produccion y calcula esecosto.

2. El costo total C de construccion de un edificio de n pisos esta expresado por:

C(n) = 2n2 + 300n+ 320 (9.45)

Calcula el numero de pisos a construir para que el costo total sea mınimo (el resultadodebera ser un numero entero).

3. El Ministerio de Transporte con el fin de determinar la variacion de la velocidad del flujode vehıculos que provenientes del Este regresan a Montevideo los dıas domingos entre las17:00 horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad deltransito a la entrada de la capital en ese lapso esta dada aproximadamente por la expresion:

V (t) =80

9(t3

3− 5

2t2 + 4t) +

1180

27km/h (9.46)

¿En que momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas el transito es mas rapido y enque momento es mas lento?

4. La velocidad (en m/s) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dadoen funcion del tiempo, t, y se representa por la siguiente ecuacion:

v(t) = −0, 00055t · (t− 300) (9.47)

Calcular: ¿Cual es esta velocidad? ¿en que tiempo la alcanza?

5. Calcular los siguientes lımites:

i.

lımx→∞

2x2 + 5x− 3

3x2(9.48)

ii.

lımx→0

3x3 − 2x

4x2 − x(9.49)

iii.

lımx→∞

x3 + 5x− 3

x4(9.50)


iv.

lımx→∞

7x2 − 2x+ 15

3x2 − x(9.51)

6. La siguiente funcion de espacio representa el recorrido en funcion del tiempo que realizaun ciclista:

x(t) = 0, 12 · t4 − t3 + 2 · t2 + 5 · t+ 0,1 (9.52)

donde x(t) es el espacio recorrido en el tiempo t medido en km, y t es el tiempo medido enhoras.

Calcular:

i. El espacio recorrido a las 3 y 12 horas

ii. La velocidad y aceleracion instantanea a las 3 y 12 horas

7. Un persona quiere emprender una aventura en auto. Para ello recorre Argentina de Nortea Sur, cuya funcion de espacio es la siguiente:

x(t) = −3× 10−6t5 + 0,00105833t4 − 0,12985t3 + 6,0105t2 (9.53)

donde x(t) es el espacio recorrido en el tiempo t medido en km, y t es el tiempo medido enhoras.

Calcular:

i. El espacio recorrido a las 24 y 60 horas

ii. La velocidad y aceleracion instantanea a las 24 y 60 horas

iii. La velocidad y aceleracion media entre las 24 y 60 horas

Capıtulo 10

Astronomıa

10.1. Historio del Calendario

El primer ano de la era romana, denominado el Ano de Romulo, consistıa en diez o docemeses, segun la bibliografıa que se cite. El principio del ano romano no era enero, como es en laactualidad; era en marzo, y llegaba hasta diciembre.

Mas tarde, se instauro el ano de Numa, con doce meses y 355 dıas. Este ano fue creadoalrededor del 700 a. C. Aun de esta manera el ano quedaba corto once dıas respecto al ano solar(estacionario), por lo que Numa Pompilio ordeno que se le anadiera un mes cada dos anos de 22dıas en el segundo y sexto anos, y de 23 dıas en el cuatro y octavo, haciendo un ciclo de ocho anos.

En 45 a. C. Julio Cesar encargo al astronomo alejandrino Sosıgenes la elaboracion de su ca-lendario. Este fijo la duracion del ano en 365 dıas y seis horas, calculo asombrosamente exactodados los rudimentarios instrumentos de la epoca, ya que su margen de error fue solo de 11minutos y 9 segundos al ano, es decir, menos de un segundo por dıa, pero con el fin de evitarcomplicaciones, se tomo de 365 dıas de duracion, anadiendo diez dıas al ano de 355 dıas.

Julio Cesar anadio un dıa a julio, mes de su nacimiento. Augusto hizo lo mismo con agosto.Ambos dıas fueron retirados de febrero, que paso a tener 28. Ante la disminucion de este mescon respecto a los otros, el dıa anadido de los anos bisiestos se le concedio a el.

Julio Cesar establecio que el ano comenzara el 1 de enero, dıa en el que los funcionarios delemperador asumıan su cargo La imperfeccion del Calendario Juliano dio pie para que en el ano1582 el Papa Gregorio XIII encargara a Luis Lilio y al jesuita aleman Christopher Clavius lareforma por la cual se creo el Calendario Gregoriano.

Esta reforma tuvo dos aspectos principales. Por una parte, dado que el equinoccio de pri-mavera se habıa adelantado 10 dıas, se suprimieron estos para ajustar el ciclo de las estaciones.Este ajuste se llevo a cabo el jueves 4 de octubre de 1582, por lo que el siguiente dıa se consi-dero viernes 15 de octubre. Ademas para conseguir que este resultado pudiera mantenerse en elfuturo, se acordo que los anos bisiestos cuyas dos ultimas cifras fueran ceros no serıan bisiestos,excepto si sus dos primeras son divisibles por cuatro. Ası pues de los anos 1600, 1700, 1800, 1900y 2000, que en el calendario juliano son bisiestos, en el gregoriano lo son solo el 1600 y el 2000,de modo que cada cuatro siglos quedan suprimidos tres dıas.

95

96 CAPITULO 10. ASTRONOMIA

10.2. Leyes de Kepler

Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler para describir matematicamente elmovimiento de los planetas en sus orbitas alrededor del Sol. Las tres leyes pueden ser enunciadasde la siguiente manera:

1. Los planetas giran en orbitas elıpticas, ocupando el Sol uno de los focos de la elipse.

2. Los vectores de posicion de los planetas barren areas iguales en tiempos iguales. La ley delas areas es equivalente a la constancia del momento angular, es decir, cuando el planetaesta mas alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando esta mas cercano al Sol(perihelio). Matematicamente:

r1 · v1 = r2 · v2 (10.1)

donde r es la distancia al Sol y v es la velocidad del cuerpo.

3. Los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas son proporcionales al cubo de lossemiejes mayores de sus orbitas.

T 21

a31

=T 2

2

a32

(10.2)

donde T son los perıodos orbitales y a es el valor del semieje mayor de la orbita.

Los elementos que comprenden una elipse son los siguientes:

Focos

Eje mayor (semieje mayor)

Eje menor (semieje menor)

Perihelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a lamenor distancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol).

Afelio: punto de la elipse que se encuentra sobre el eje mayor y que se encuentra a la mayordistancia del foco que ocupa el cuerpo (Sol).

Dado que el eje de rotacion de la Tierra se encuentra inclinado respecto al eje de la orbitaalrededor del Sol (23,47o aproximadamente), hace que los rayos solares tengan distinto angulode incidencia sobre la superficie de la Tierra, provocando las diferentes estaciones del ano. En elsiguiente grafico se presenta un esquema que explica este fenomeno.

10.3. Ley de Gravitacion Universal

La leyenda dice que Newton descubrio el principio de gravitacion universal reflexionando des-pues de ver caer una manzana. La realidad es que Newton estudio concienzudamente los trabajosde Galileo sobre la caıda de los cuerpos y de Copernico y Kepler sobre el movimiento planetarioantes de extraer sus propias conclusiones.

10.3. LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL 97

Figura 10.1: Elementos de una elipse

Figura 10.2: Esquema de la orbita de la Tierra alrededor del Sol

Copernico habıa establecido el modelo heliocentrico que Galileo habıa demostrado. Los pla-netas giran alrededor del Sol en orbitas elıpticas, muchas veces casi circulares.

Para que este movimiento se produzca hace falta una fuerza centrıpeta:

F = m · a (10.3)

Pero la aceleracion centrıpeta se puede escribir como:

ac =v2

R(10.4)

Entonces:

F =m · v2

R(10.5)


donde m es la masa del objeto, v es su velocidad y R el radio de la trayectoria.

De las leyes de Kepler, Newton dedujo las condiciones matematicas que debıa cumplir la fuer-za gravitatoria. La tercera ley establecıa una relacion concreta entre los periodos y los semiejesmayores de las orbitas que la fuerza gravitatoria debıa cumplir.

Finalmente, la Ley de Gravitacion de Newton es:

F = Gm1 ·m2

R2(10.6)

donde G = 6,67× 10−11Nm2kg−2 es la constante de gravitacion universal

10.3.1. Variacion de la intensidad de la gravedad

Sabemos que el peso de un cuerpo es P = mg donde m es la masa del cuerpo y g es laintensidad de la gravedad, es decir la fuerza con que la Tierra atrae a un kilogramo de masa. Encaıda libre en el vacıo esta intensidad es identica a la aceleracion del movimiento. Para Galileo,que estudiaba caıdas a pequenas alturas, g es una constante Si en la expresion de la fuerza queun cuerpo de masa M ejerce sobre otro de masa m, calculamos la fuerza por unidad de masa,obtenemos:

g =F

m=GM ·m

R2

m= G

M

R2(10.7)

Donde vemos que g ya no es una constante, sino que depende de la distancia al centro delplaneta.

10.3.2. La masa de los planetas

Las nuevas leyes en la Fısica no solo explican hechos observados sino que muchas veces puedenaplicarse para obtener nuevos conocimientos no previstos al principio.

El principio de gravitacion, por ejemplo, nos permite calcular la masa de un astro si sabemoslos efectos que produce sobre otro.

Por ejemplo, podemos calcular la masa de un planeta sabiendo la intensidad de la gravedaden la superficie y su radio.

F =m · v2

R= G

M ·mR2

(10.8)

Suponiendo que la orbita de los planetas es circular, entonces la velocidad v = 2πR/T ,entonces se puede escribir:

M =4π2R3

GT 2(10.9)

10.4. DISTANCIAS EN ASTRONOMIA 99

10.3.3. Movimiento de los satelites

Cuando lanzamos al cielo un satelite artificial, su comportamiento en orbita es similar al delos planetas respecto al Sol. Partiendo de la siguiente ecuacion:

m · v2

R= G

M ·mR2

(10.10)

y luego simplificando y despejando v tenemos

vorbital =

√GM

R(10.11)

Esta velocidad es llamada la velocidad orbital. Por otra parte, se puede demostrar que paraque un satelite escape de su orbita la velocidad orbital debe ser igual o superior a la siguientevelocidad:

vescape =

√2G

M

R(10.12)

10.4. Distancias en Astronomıa

Vamos a empezar definiendo el concepto de paralaje. La distancia entre nuestro Sol y lasestrellas se determina por medio de un efecto que se denomina paralaje. Supongamos que enuna epoca del ano, por ejemplo en diciembre, observamos una estrella cercana. Respecto de lasestrellas lejanas, que podemos considerar como fijas, vamos a observar la posicion de esa estrella,proyectada en la direccion A. Seis meses despues, en junio, al encontrarse la Tierra en el otroextremo, si se observa la misma estrella la vamos a ver proyectada sobre el fondo de estrellas, enla posicion B. en esta configuracion tenemos un triangulo rectangulo, con vertices en el Sol, LaTierra y la estrella. El angulo se denomina paralaje.

Hay distintas unidades de medida que se usan en astronomıa. Estas dependen fundamen-talmente de la distancia a la cual se encuentran los astros en el universo. Vamos a mencionaralgunas de las principales unidades:

Unidad Astronomica: equivale a la distancia entre el Sol y la Tierra, unos 150 millonesde km. Es muy usada en el Sistema Solar, o para distancias algo mayores al Sistema Solar.

Ano Luz: 10 billones de kilometros. El ano-luz es equivalente a la distancia recorrida porla luz en un ano a 300 mil km./s o sea 86400 s (dıa) x 365 x 300.000 km/seg. = casi 10billones km.

Parsec: 3,26 a.l. (3,26 anos luz, algo mas de 32 billones de kilometros). Equivale a ladistancia de un objeto que tiene una paralaje de 1 segundo de arco.

10.5. Magnitudes

Cuando miramos al cielo en una noche clara vemos estrellas. Vistas desde la Tierra, unas pa-recen brillantes y otras muy debiles. Algunas de estas estrellas debiles son intrınsecamente muy


Figura 10.3: Metodo de la paralaje para la determinacion de distancias a las estrellas.

brillantes, pero estan muy lejos. Algunas de las estrellas mas brillantes del cielo son estrellas muydebiles que simplemente se encuentran muy proximas a nosotros. Cuando observamos, estamosforzamos a hacerlo desde la Tierra o en sus proximidades, y podemos solo medir la intensidadde la luz que nos llega.

Desafortunadamente esto no nos dice de manera directa nada acerca de las propiedades in-ternas de una estrella. Si queremos saber mas acerca de la estrella, su tamano o su brillo interno/fısico, por ejemplo, necesitamos conocer su distancia a la Tierra.

Historicamente, las estrellas visibles a simple vista fueron ordenadas en seis clases diferentesde brillo, llamadas magnitudes. Este sistema fue originariamente concebido por el astronomogriego Hiparco en torno al ano 120 AC y esta aun en uso hoy en dıa en una forma ligeramenterevisada. Hiparco decidio que las estrellas mas brillantes tendrıan magnitud 1, y las mas debilesmagnitud 6.

Sin embargo, incluso los astronomos de hoy en dıa usan aun una forma ligeramente revisadadel sistema de magnitudes de Hiparco llamado de magnitudes aparentes. La definicion modernade magnitud fue elegida de manera que las medidas de las magnitudes ya en uso no tuvieran queser cambiadas. Los astronomos usan dos tipos diferentes de magnitudes: magnitudes aparentesy magnitudes absolutas.

10.5.1. Magnitud Aparente

La magnitud aparente, m, de una estrella mide el brillo de una estrella observado desde laTierra o cerca de ella. En lugar de definir la magnitud aparente a partir del numero de fotones de

10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS 101

luz que observamos, se define respecto a la magnitud e intensidad de una estrella de referencia.Esto significa que un astronomo puede medir las magnitudes de las estrellas comparando lasmedidas con ciertas estrellas estandar que ya han sido medidas de forma absoluta (en contrapo-sicion a las medidas relativas).

La magnitud aparente, m, viene dada por:

m = mref − 2, 5 log10(I/Iref ) (10.13)

donde mref es la magnitud aparente de la estrella de referencia, I es la intensidad medida pro-cedente de la estrella y Iref es la intensidad de la luz procedente de la estrella de referencia.El factor de escala 2,5 nos equipara la definicion moderna con las magnitudes aparentes masantiguas y mas subjetivas.

Para comparar, la magnitud aparente de la Luna llena es aproximadamente -12,7, la magnitudde Venus puede ser tan alta como -4 y el Sol tiene una magnitud de aproximadamente -26,5.

10.5.2. Magnitud Absoluta

Ahora tenemos una definicion apropiada para la magnitud aparente. Es una herramienta utilpara los astronomos, pero no nos dice nada acerca de las propiedades intrınsecas de una estrella.Necesitamos establecer una propiedad comun que podamos usar para comparar diferentes estre-llas y para realizar analisis estadısticos. Esta propiedad es la magnitud absoluta.

La magnitud absoluta, M , se define como la magnitud relativa que tendrıa una estrella si fue-ra colocada a 10 parsecs del Sol (para mas informacion sobre parsecs ver la seccion HerramientasMatematicas) del Sol.

Ya que hay muy pocas estrellas que esten exactamente a 10 parsecs, podemos usar unaecuacion que nos permitira calcular la magnitud absoluta para estrellas a diferentes distancias:la ecuacion de distancia. La ecuacion, naturalmente, tambien funciona en sentido contrario ?puede calcularse la distancia dada la magnitud absoluta.

M = m+ 5− 5 log10(D) (10.14)

Esta ecuacion establece la conexion entre la magnitud aparente, m, la magnitud absoluta, My la distancia, D, medida en parsec.

10.6. Universo, Galaxias y Estrellas

En 1928 Hubble comprobo algo asombroso, salvo las galaxias de nuestro grupo local, todaspresentan un claro efecto Doppler de desplazamiento al rojo proporcional a la distancia de cadagalaxia hasta la nuestra.

Descomponiendo la luz blanca con un prisma o una red de difraccion se observa el arco iris.Se ha dispersado la luz segun su frecuencia: mayor en el color azul y menor en el rojo.


Si dispersamos de esta forma la luz de una estrella o de una galaxia, se observan unas lıneasnegras en el espectro. Corresponden a la absorcion de energıa luminosa por sustancias que rodeanla fuente luminosa. Estas rayas son caracterısticas de los diversos elementos y moleculas y noshan permitido identificar los componentes de los astros.

En las galaxias distantes Hubble observo claramente el desplazamiento al rojo que indica quese alejan de nosotros. Mas aun, la cuantıa del desplazamiento al rojo es aproximadamente pro-porcional a la distancia a que se encuentra la galaxia, que es tanto como decir que la velocidadcon que se alejan de nosotros es proporcional a esa distancia.

Este fenomeno dio pie a la idea de un Universo en expansion a partir de un estado primitivode tamano puntual, densidad infinita y temperatura extremada. El descubrimiento posterior deuna radiacion de fondo, procedente de esa era inicial y las fotos obtenidas desde satelites espa-ciales que muestran un Universo mas denso, confirman el modelo del Big Bang.

En el ultimo decenio los astrofısicos han encontrado huellas de una nueva fuerza fundamen-tal de repulsion entre cuerpos que actuarıa a grandes distancias y serıa responsable de que laexpansion universal se este acelerando.

10.6.1. Galaxias

Una galaxia es un sistema conformado por materia visible en forma de estrellas, gas y polvointerestelar, rodeadas por lo que se conoce como halo de materia oscura. Podemos enunciarası una definicion de estos conjuntos y analizar cada frase:

Las galaxias son los agregados de materia gravitacionalmente reunida mas grandes del Uni-verso.

materia: estrellas, gas, polvo, agujeros negros, materia oscura,

gravitacionalmente reunida: conforman un conjunto definido de materia en cierto volumendel Universo

mas grandes del Universo: tamanos entre 10000 y 200000 anos luz con una masa de 1000a 500000 millones de masas solares en forma de materia visible y otra cantidad mayor demateria oscura.

De acuerdo a su morfologıa, las galaxias se clasifican en:

Elıpticas

Espirales

Irregulares

10.6.2. Estrellas

Las estrellas se forman a partir del colapso gravitatorio de las nubes moleculares distribuidasen la galaxia que forma parte, las cuales estan formadas principalmente por gas y polvo. Alcontraerse, aumenta su temperatura, hasta que esta lo suficientemente elevada como para quecomiencen a tener lugar algunas reacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrellacomienza a irradiar.

10.6. UNIVERSO, GALAXIAS Y ESTRELLAS 103

La evolucion de una estrella pasa por distintas etapas. Suponiendo que se dan las condicionesnecesarias para que comience la etapa de vida de una estrella, entonces:

Etapa de Pre-Secuencia Principal: Las estrellas se forman a partir del colapso gra-vitatorio de las nubes moleculares distribuidas en la galaxia que forma parte, las cualesestan formadas principalmente por gas y polvo. Al contraerse, aumenta su temperatura,hasta que esta lo suficientemente elevada como para que comiencen a tener lugar algunasreacciones termonucleares; como consecuencia la proto-estrella comienza a irradiar. Cuan-do la presion de radiacion logra contrarrestar la contraccion gravitatoria (peso de las capassuperiores), la estrella llega a la secuencia principal.

Etapa de Secuencia Principal: En esta etapa la estrella pasa la mayor parte de su vida,transformando nucleos de atomos de H en nucleos de He en la zona central de la misma atraves de las reacciones termonucleares. Solo el 0,7 % del H quemado se convierte en energıanuclear, por lo cual la estrella practicamente no altera su masa durante mucho tiempo. Sinembargo, en su region central la composicion quımica comienza gradualmente a modificarsea medida que el He se va acumulando en el centro de la estrella.

Etapa de Gigante o Supergigante Roja: Cuando la estrella ha consumido el 10 % desu masa de H, se produce una crisis provocada por la acumulacion de nucleos de He en elnucleo. La combustion del H continua en un area brillante que rodea al nucleo. La estrellacrece en tamano y aumenta su brillo, pero la temperatura de las capas externas cada vezmas alejadas del nucleo disminuye. La estrella se enfrıa, enrojece y envejece. Esta fase recibeel nombre de gigante o supergigante roja, segun el tamano de la misma. Cuando la estrellaha consumido aproximadamente el 40 % de su masa de H se produce una nueva crisis.El nucleo estelar compuesto de He se contrae por efecto de la gravedad produciendo unaumento de la temperatura en esa region; en esta circunstancia el He comienza a fusionarse,produciendo carbono y oxigeno mediante el proceso llamado “triple alfa”. A medida que latemperatura nuclear crece se producen distintos elementos quımicos. Las estrellas de bajamasa producen elementos pesados hasta formar un nucleo de Carbono. Las de alta masacontinuan produciendo elementos mas pesados hasta formar un nucleo de Fe. Las etapasfinales de las estrellas van a depender de la masa de estos nucleos.

Etapas finales: Hacen falta valores grandes de densidades para llegar a los llamados “esta-dos de degeneracion” de la materia. Para la degeneracion de electrones se requerira de unadensidad aproximada de 106 g/cm3 (1000 kg/cm3) mientras que para la de los neutroneshara falta mucha mas aun, aproximadamente 1014 g/cm3 100.000 Toneladas/cm3. Estosvalores, que parecen increıbles, se alcanzan en los nucleos de las estrellas. El lımite de Chan-drasekhar establece el valor de la masa mas alla de la cual la presion del gas electronicodegenerado no es capaz de contrarrestar la fuerza de gravedad, que ocurre principalmentea zona central de la estrellas en evolucion. Dicha masa lımite es aproximadamente 1,4 vecesla masa del Sol (M = 1, 4MSol).

Si la estrella llega a la fase en la que se agota su energıa nuclear con una masa mayor que1, 4MSol, la presion del gas de electrones no podra sostener el colapso. Este generara unaonda de choque y las capas exteriores se expanden. Tambien se eyectan elementos pesadosal medio interestelar. El fenomeno conjunto de la explosion y la eyeccion de material estelarse denomina supernova.


Si luego de la fase de gigante roja el objeto central tenıa una masa M tal que 1, 4MSol <M < 4, 3MSol finalizara como una estrella de neutrones. En cambio, si su masa M >4,3MSol lo hara como Agujero Negro. En cambio, si luego de la etapa gigante roja el nucleode la estrella se encuentra dentro del lımite de Chandrasekhar, el objeto final resultantesera una enana blanca. Este sera la etapa final de nuestro Sol.

Figura 10.4: Etapas de la evolucion estelar.

10.7. Ejercicios

1. Mercurio tiene una velocidad de 60 km/s cuando pasa por el perihelio a 46 millones dekilometros del Sol. Debemos calcular:

i. Velocidad en el afelio, a 70 millones de kilometros del Sol.

ii. Semieje mayor de su orbita.

2. El semieje mayor de la orbita de Marte es de 225 millones de km y su periodo es de 1,9anos. Sabiendo que la orbita de Jupiter es casi circular, ¿cuanto valdra su radio si el periodoes de 11,9 anos?

3. Un satelite geoestacionario (siempre sobre el mismo punto del planeta) esta a 36000 kmsobre la superficie de la Tierra. ¿Que periodo tiene otro situado a 3600 km de altura? Radioaproximado de la Tierra: 6400 km.

4. Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una orbita circular de 150millones de kilometros de radio.

5. La Luna tiene aproximadamente 1/80 de la masa terrestre, mientras que el Sol es aproxi-madamente 330.000 veces mas masivo que nuestro planeta. Por otro lado, la Luna esta aunos 380.000 km de la Tierra y el Sol a 150 millones de km Comparemos la fuerza queestos dos astros ejercen sobre nuestro planeta.

10.7. EJERCICIOS 105

6. Sabiendo que el radio de la Tierra es de unos 6400 km y que la gravedad superficial es de9,8 m/s2, debemos calcular a que altura sobre la superficie la gravedad sera g= 8,2 m/s2

7. Io es un satelite de Jupiter que gira alrededor del planeta en orbitas casi circulares de422.000 km de radio con un periodo de 42,5 horas. Determinar la masa de Jupiter.

8. En la pelıcula Gravity, ganadora de siete Oscar en 2014, dos astronautas (Sandra Bullocky George Clooney) reparan el telescopio espacial Hubble, que se mueve en una orbita a593 km sobre el nivel del mar. Para evitar el impacto con los desechos de un satelite, losastronautas se propulsan hacia la Estacion Espacial Internacional, que orbita a una alturade 415 km sobre el nivel del mar. Aunque en la realidad no es ası, suponemos que las dosorbitas estan en el mismo plano, segun muestra la ficcion de la pelıcula. Calcular:

a. El valor de la gravedad terrestre en el telescopio Hubble.

b. Los periodos orbitales (en minutos) del telescopio Hubble y de la Estacion Espacial.

9. Un avion de pasajeros vuela a 8 km de altura a una velocidad de 900 km/h. La masa totaldel avion, contando combustible, equipaje y pasajeros, es de 300000 kg. Calcular:

a. El valor de la gravedad terrestre en el avion.

b. La fuerza gravitatoria que ejerce el avion sobre la Tierra

10. El radio del Sol es de 696000 km y su masa vale 1, 99× 1030 kg.

Calcular:

a. El valor de la gravedad en la superficie solar.

b. Si el radio de la orbita de Neptuno alrededor del Sol es 30 veces mayor que el de laorbita terrestre, ¿cual es el perıodo orbital de Neptuno, en anos?

11. El Sol gira alrededor del centro de la galaxia, situado a 30.000 anos-luz en unos 200 millonesde anos. Los cientıficos han demostrado que ese movimiento depende tan solo de la masa dela galaxia mas cercana al centro que el propio Sol. Intentemos calcular esa masa galactica.

12. Un satelite de comunicaciones esta en orbita circular geoestacionaria. Debemos calcular sualtura sobre la superficie terrestre, recordando que el radio de la Tierra es unos 6400 km yla masa del planeta es aproximadamente 6× 1024 kg

13. La velocidad de escape de la Tierra es 11,3 km/s ¿Cual sera la velocidad de escape delplaneta Jupiter , cuya masa es unas 300 veces la terrestre y un radio 11 veces mayor queel de la Tierra?

14. Un agujero negro es un cuerpo tan denso que la velocidad de escape es mayor que la dela luz (300.000 km/s). Para estudiarlos es precisa la teorıa de la Relatividad; no obstante,calculemos que diametro tendrıa desde el punto de vista clasico un agujero negro con lamasa de la Tierra (6× 1024 kg).

15. La estrella α-Orionis (Betelgeuse) tiene una magnitud aparente de m = 0,45 y una magnitudabsoluta M = -5,14. Encuentra la distancia a Betelgeuse.

16. α-Lyrae (Vega), con una magnitud absoluta de 0,58, esta a una distancia de 7,76 parsec.Calcula la magnitud aparente de Vega.


17. α-Cygni (Deneb) es la estrella superior izquierda del Triangulo del Verano y es la estrellamas brillante de la constelacion del Cisne. Su magnitud aparente es 1,25 y la distancia esde 993 parsec. Calcula la magnitud absoluta.

18. La estrella α-Canis Majoris (Sirio) es la estrella mas brillante del cielo. Esta a una distanciade 2,64 parsecs y su magnitud aparente es -1,44. Calcula la magnitud absoluta de Sirio.

19. La estrella A tiene una magnitud absoluta +5 y la estrella B una magnitud absoluta +10.¿Cual afirmacion es correcta?

a. A es mas luminosa que B.

b. B es mas luminosa que A.

c. A esta mas cercana que B.

d. B esta mas cercana que A.

20. Para dos estrellas A y B se tiene: mA=5, MA=4, mB=10, MA=11. ¿Cual afirmacion escorrecta?

a. A esta mas cercana que B.

b. B esta mas cercana que A.

c. A y B se encuentra a igual distancia de la Tierra.

d. No pueden determinarse las distancias a partir de la informacion proporcionada.

21. Dos estrellas tienen la misma magnitud absoluta. Una esta 20 veces mas lejos que la otra.¿Cual es la diferencia entre las magnitudes aparentes?

22. Una estrella esta a 20 pc del Sol y tiene una magnitud aparente +2. ¿Cual es su magnitudabsoluta?

23. Una estrella tiene una magnitud aparente +9 y una magnitud absoluta +4. ¿A que distanciase encuentra?

24. Una estrella cuya magnitud aparente es 12 esta ubicada a una distancia de 50 anos-luz.¿Cual es su magnitud absoluta?

25. Pluton tiene una masa de 1, 29×1022 kg, un radio de 1151 km y el radio medio de su orbitaalrededor del Sol es de 5, 9× 109 km.

a. Calcule g en la superficie de Pluton.

b. Su satelite Caronte tiene una masa de 1, 52 × 1021 kg y esta a 19640 kilometros de el.Obtenga la fuerza de atraccion gravitatoria entre Pluton y Caronte.

c. Calcule cuantos anos tarda Pluton en completar una vuelta alrededor del Sol.

26. El planeta Jupiter posee un radio 11 veces mayor que el de la Tierra y una masa 318 vecesmayor que la de esta. Calcular:

a. El peso en Jupiter de un astronauta que en la Tierra pesa 800 N.

b. La masa del astronauta en Jupiter

c. La relacion entre las velocidades de escape desde la superficie de Jupiter y desde la dela Tierra

Bibliografıa

[1] Fısica I, Resnick and Halliday Vol 1

[2] Aportes para la Ensenanza de la Astronomıa en el Secundario, Observatorio Astronomico deCordoba Universidad Nacional de Cordoba

[3] La Astronomıa y su Ensenanza en la Educacion Secundaria, Observatorio Astronomico deCordoba Universidad Nacional de Cordoba

[4] Asimov http://www.asimov.com.ar

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