Fizik 101: Ders 3 Ajanda

Anlamlı Sayılar

Tekrar: Vektörler, 2 ve 3D düzgün doğrusal hareket

Rölatif hareket ve gözlem çerçeveleri

Düzgün dairesel hareket

Vektörler (tekrar)

Vektör (Türkçe) ; Vektör (Almanca) ; Vector (İngilizce) ;Vectour (Fransızca) ; BeKTUP (Rusca)

Hem büyüklüğü, hem yönü olan bir niceliktir ve diğer vektörlerle belirli kurala göre birleşir.

Büyüklüğü olup yönü olmayan niceliklere skaler denir.

Vektör gösterimi:

kalın yazılarla: A

“ok” işaretiyle:

Birim vektörler ve birim vektörler cinsinden gösterim

Vektör toplamı

Vektör çarpımı (skaler, vektörel)

A

Vektörler...

r vektörünün büyüklüğü (uzunluk) pisagor teoremiyle bulunabilir:

r r x y2 2r

y

x

Vektörün büyüklüğü yöne bağlı değildir.

Vektörler...

r vektörünün bileşenleri (x,y,z) koordinatlarıdır.

r = (rx ,ry ,rz ) = (x,y,z)

2-D olarak göz önüne alırsak (kolay olduğundan):

rx = x = r cos

ry = y = r sin

burada r = |r |

y

x

(x,y)

r arctan( y / x )

Birim Vektörler...

Bir Birim vektör büklüğü 1 olan bir vektördür ve birimsizdir.

Yön göstermek için kullanılır.

u birim vektörü U vektörünün yönünü gösterir

genellikle “şapka” ile gösterilir: u = û

Örnek: kartezyen birim vektörleri [ i, j, k ]

yönelişleri x, y ve z eksenleri doğrultusundadır.

U

û

x

y

z

i

j

k

Vektör toplamı:

A ve B vektörlerini dikkate alalım. A + B ?

A

B

A B A B

C = A + B

Yönü ve büyüklüğünü değiştirmeden vektörleri istediğimiz

gibi düzenleyebiliriz!

Bileşenleri kullanarak vektör toplamı:

C = A + B ise:

(a) C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

(b) C = (Cx i + Cy j)

Bileşenleri karşılaştırırsak :

Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By

C

Bx A

By B

Ax

Ay

İki vektörün skaler çarpımı:

C = A B =A.B.Cos

(a) C = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)

(Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)

İki vektörün vektörel çarpımı:

ĉ SinθBABAC

)BA-B(A k̂)BA-B(A ĵ-)BA-B(A î

B B

A A k̂

B B

A A ĵ

B B

A A î

B B B

A A A

k̂ ĵ î

BAC

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

Cx

Cy Cz

Özel not

0k̂k̂0ĵk̂1k̂k̂

ĵk̂îîĵk̂kîĵ0ĵĵ0k̂î1ĵĵ

ĵîk̂îk̂ĵkĵî0îî0ĵî1îî

Vektörel çarpımda yön bulmak için sağ el kuralı uygulanır.

Vektörler (örnekler)

Paralel kenarın alanı

Sinüs teoremi

Bir paralel yüzün hacmi

Bir düzlemin normali

SinθBABAC

A

Sin(BC)

C

Sin(AB)

B

Sin(AC)

CBAV

Üç Boyutta (3-D) Kinematik

İlgilenilen parçacığın konumu, hızı ve ivmesi 3 boyutta:

r = x i + y j + z k

v = vx i + vy j + vz k (i , j , k birim vektörler )

a = ax i + ay j + az k

Bir boyutta (1-D) kinematik denklemlerini gördük.

adv

dt

d x

dt

2

2v

dx

dtx x(t )

3-D için, denklemin her bir bileşeni için 1-D denklemlerini uygularız.

Bileşenler vektör olarak birleştirilip tek bir ifade halinde yazılabilir:

r = r(t) v = dr / dt a = d2r / dt2

3-D Kinematik

ad x

dtx

2

2

x x(t )

ad y

dty

2

2

y y t ( )

ad z

dtz

2

2

vdx

dtx v

dy

dty v

dz

dtz

z z t ( )

3-D Kinematik

Sabit ivmeli hareket için integre ederek:

a = sabit

v = v0 + a t

r = r0 + v0 t + 1/2 a t2

(burada hepsi a, v, v0, r, r0, vektördür.)

2D Harekete Örnek

Soru: V0 ilk hızı ve yerle açısı yaparak eğik atılan bir cismin maksimum yüksekliği ve menzili nedir?

Eylemsiz Gözlem Çerçeveleri:

Gözlem çerçevesi gözlemi (ölçmeyi) yaptığımız yerdir…

(x,y,z) koordinatını koyduğumuz yer!

Eylemsiz gözlem çerçevesi (EGÇ) ivmelenmenin olmadığı gözlem çerçevesidir.

Bu derste eylemsiz gözlem çerçevesini dikkate alacağız..

Eylemsiz gözlem çerçevelerinde birbirlerine bağlı hızlar olabilir.

Rölatif Hareket

Farklı 2 EGÇ dikkate alalım: Rüzgarlı bir günde bir uçan bir uçak.

Ankara İstanbul seferini yapmakta olan bir uçakta havaya göre hızı ölçen bir takometre ve bir yönünü gösteren bir pusula mevcuttur.. Pusula sayesinde yönünü belirlemektedir. Havaya göre hızını ölçen takometre saatteki hızını 180 km

olarak göstermektedir.

Rölatif Hareket...

Havadaki EGÇ’ne göre uçak batıya doğru hareket etmektedir:

Vp, a uçağın havaya göre hızı. H

ava

Vp

,a

Rölatif Hareket...

Yerdeki EGÇ’sine göre hava kuzeye hareket etmektedir.

Va,g havanın yere göre hızı (yani rüzgar).

Va,g

Hava

Vp

,a

Rölatif Hareket...

Yerdeki EGÇ’sine göre uçağın hızı nedir?

Vp,g uçağın yere göre hızı.

Rölatif Hareket...

è Vp,g = Vp,a + Va,g Uçağın hızını yerdeki gözlemciye göre veren vektör denklemi.

Vp

,g

Va,g

Vp

,a

Ders 3, Soru 1 Rölatif Hareket

Yere göre 1 m/s hızıyla akan 50m genişliğindeki bir nehirde karşıya yüzmek istiyorsunuz ve hızınız suya göre 2 m/s dir. Öyle yüzüyorsunuz ki karşıya çıktığınız nokta yüzmeye başladığınız noktanım tam karşısıdır.

Karşıya kaç saniyede çıkabilirsiniz? (a) (b) (c)

2 m/s

1 m/s 50 m

50 3 29

35250

50150

Ders 3, Soru 1 çözüm

Karşıya geçmek için gerekli zaman (nehir genişliği) / (vy )

x ekseni nehir akış yönü,

y eksenini karşı yönde seçelim

y

x

Tam karşıya yüzdüğünüzden su akıntısı yolunuzu değiştirmelidir öyle ki

hızınızın suya göre x bileşenini suyun akış hızıyla birbirini yok etmelidir:

2 m/s 1m/s y

x

1 m/s

2 1

3

2 2

m/s

Ders 3, Soru 1 çözüm

Suya göre hızın y bileşeni

Karşıya geçme zamanı

y

x

3 m/s

50

329

m

m ss

50 m

3 m/s

Düzgün Dairesel Hareket

Ne demektir?

Nasıl tanımlarız?

DDH’dan ne öğrenebiliriz?

DDH nedir?

Daire üzerinde hareket. Ama Nasıl?

Sabit yarıçaplı R

Sabit hızla v = |v| R

v

x

y

(x,y)

DDH’i nasıl tanımlarız? Herhangi bir koordinat sistemi seçebiliriz:

Kartezyen:

(x,y) [konum]

(vx ,vy) [hız]

polar:

(R,) [konum]

(vR ,) [hız]

DDH’da:

R sabittir (böylece vR = 0).

(açısal hız) sabittir.

DDH’i tanımlamada polar koordinatlar (2D) en doğalıdır!

R

v

x

y

(x,y)

Polar koordinatlar:

Bir daire üzerindeki yay uzunluğu s ile açı arasındaki bağlantı:

s = R, burada açısal yer değiştirme.

’nın birimi radyan’dır.

Daire etrafında tam bir tur için:

2R = Rc c = 2

’nın periyodu 2.

1 tur = 2radyan

R

v

x

y

(x,y)

s

Polar koordinatlar…

x = R cos y = R sin

/2 3/2 2

-1

1

0

sin cos

R

x

y

(x,y)

Polar koordinatlar…

Kartezyen koordinatlarda hız dx/dt = v.

x = vt

Polar koordinatlarda açısal hız d/dt = .

= t

nın birimi radyan/saniye.

Yer değiştirme s = vt.

burada s = R = Rt, dolayısıyla:

R

v

x

y

s t

v = R

Periyot ve Frekans

Anımsatama: 1 dönü = 2 radyan

frekans (f) = dönü / saniye (a)

Açısal hız () = radyan / saniye (b) (a) ve (b) birleştirilirse:

= 2 f

Sonuç olarak:

Periyot (T) = saniye / dönü

Sonuç: T = 1 / f = 2/

R

v

s

= 2 / T = 2f

Özet:

R

v

s t

(x,y)

x = R cos()= R cos(t)

y = R sin()= R sin(t)

= arctan (y/x)

= t

s = v t

s = R = Rt

v = R

Polar birim vektörler

Kartezyen koordinatlardaki birim vektörler: i j k

Tanışalım: polar koordinatlarda “birim vektörler” r ve :

r radyal yöndedir

teğetsel yöndedir R

x

y

i

j

r ^

^

^

^

^

^

(saatin tersi yönde)

DDH’te ivmelenme:

DDH’te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira yönü mütemadiyen değişmektedir: ivme içinde aynısı söz konusudur!

Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım

t aort = v / t

v2

t

v1 R

DDH’te dönü hızı sabit olduğu halde hız sabit değildir zira yönü mütemadiyen değişmektedir: ivme içinde aynısı sözkonusudur!

Ortalama ivmelenme zamanını göz önüne alalım

t aort =v / t

DDH’te ivmelenme:

v gibi (çünkü v/t )

orijine doğrudur! R v

Merkezcil İvme

DDH ivme yaratır: Büyüklüğü: a = v2 / R

Yönü: - r (dairenin merkezine doğru)

R

a=dv/dt

^

Görüyoruz ki a

- R yönündedir!..

DDHda Merkezcil İvme

Bunun adı: Merkezcil İveme.

Büyüklüğü nedir:

v2

v1

v1 v2

v

R

R

v

v

R

RBenzer Üçgenler:

Küçük t için R = vt

:

v

t

v

R

2 v

v

v t

R

av

R

2

Eşdeğeri:

R

Ra

2

Biliyoruz ki ve = R

v’yi yerine koyarsak:

av

R

2

a = 2R

Örnek: Pervanenin ucunda ivme Küçük bir uçağın pervanesinin dönüş frekansı

f = 3500 dönü/dak. Her bir pervanenin uzunluğu L = 80cm. Pervanenin en ucundaki noktada merkezcil ivme nedir?

f

L

a burada nedir?

Örnek: Önce pervanenin açısal hızını hesaplayalım:

3500 dönü/dak = 367 s-1

İvmeyi hesaplarsak.

a = 2R = (367s-1)2 x (0.8m) = 1.1 x 105 m/s2 = 11,000 g

a nın yönü pervanenin merkezine doğrudur (-r ).

1-s 0.105s

rad0.105

d

rad2πx

s

d

60

1x

d

d1d/d 1

^

Örnek: Newton & Ay

Ay’ın dünya etrafındaki hareketinden dolayı ivmesi nedir?

Biliyoruz ki (Newton da biliyordu bunu):

T = 27.3 gün = 2.36 x 106 s (periyot ~ 1 ay)

R = 3.84 x 108 m (ay’ın uzaklığı)

RE = 6.35 x 106 m (dünyanın yarıçapı)

R RE

Ay...

Açısal hızı hesaplarsak:

buradan = 2.66 x 10-6 s-1.

İvme’yi hesaplarsak.

a = 2R = 0.00272 m/s2 = 0.000278 g a nın yönü dünyanın merkezine doğrudur (-r ).

1-6 s 2.66x10d

rad2πx

s

gün

86400

1x

gün

d

27.3

1

^

Ay...

Ay’ın ivmesi aay / g = 0.000278 Newton nun hesabına göre RE2 / R2 = 0.000273

Bundan yola çıkıp FMm 1 / R2

(sonra daha fazlası var!)

R RE

aay g