Fluctuation results in First Passage PercolationFluctuation results in First Passage Percolation 中島秀太(Kyoto University) 確率論シンポジウム2018 中島秀太(Kyoto

Fluctuation results in First PassagePercolation

中島　秀太 (Kyoto University)

確率論シンポジウム 2018

中島　秀太 (Kyoto University) Fluctuation results in First Passage Percolation

話の流れ

Introduction

Setting

先行研究

主結果

証明


Introduction


FPPとは？

FPPではランダム環境下での最適化問題を考える。その際大きく分けて次のふた通りの捉え方がある。

Figure: 最適経路問題 clusterの時間発展 (K.A.Takeuchi et.al.)


Settingと研究の流れ


モデルのセッティング

E (Zd) = {{v ,w}| v ,w ∈ Zd , |v − w |1 = 1|}.{τe}e∈E(Zd ): 非負値独立同分布確率変数 (edge-passage time)

Γ(x , y): x から y への路全体の集合.

First Passage time (x , y ∈ Zd)

T (x , y) := inf

{∑e∈γ

τe | γ ∈ Γ(x , y)

}=: inf

γ∈Γ(x ,y)T (γ).

時刻 tでの到達範囲

B̄(t) := {x ∈ Zd | T (0, x) ≤ t}.

B(t) := {x + y | x ∈ B̄(t), y ∈ [0, 1)d}中島　秀太 (Kyoto University) Fluctuation results in First Passage Percolation

First Passage Time

T (x , y) = inf

{∑e∈γ

τe | γ : x → y

}

x y

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γ : x → y


B(t)の growth

P(τe = 0) = 1/4, P(τe = 1) = 3/4.


FPPの歴史

1965年, HammersleyとWelshにより導入される.

1980年中盤まで Percolation modelとの関係性が盛んに研究される.

1986年のKardar-Parisi-Zhangらの研究を堺に, FPPが持つ単独の性質にも注目が集まる

2013年, 最も重要な予想の一つ “Scaling relation”が未証明な条件下で解決 (S.Chatterjee: Annals of Math).

今なお多くの未解決問題が存在.


基本的性質

Proposition 1 (劣加法性)

T (x , z) ≤ T (x , y) + T (y , z) for any x , y , z ∈ Zd

Proof.

LHS = infγ∈Γ(x ,z)

T (γ) ≤ infγ∈Γ(x ,y ,z)

T (Γ) = RHS,

ここで Γ(x , y , z) ⊂ Γ(x , z)は y を通る路全体の集合.

t : Zd × Zd → R+は擬距離.

P(τe = 0) = 0ならば, (Zd , t)は確率１で距離空間となる.


T (x , y)の解析

x , y ∈ Rd について, T (x , y) := T ([x ], [y ]), ここで []はガウス記号.

Proposition 2 (Hammersley-Welsh ’65 Kingman ’68)

E[τe ] < ∞を仮定する. このとき任意の x ∈ Rd について,次が確率 1で起こる.

limN→∞

1

NT (0,Nx) → µx ,

ここで µx = infN∈N1NE[T (0,Nx)]で与えられる. (time constant)

Proof.

上の劣加法性と Kingmanの劣加法エルゴード定理を用いる.


Shape fluctuation


B(t)の解析

B(t) = {x ∈ Rd | T (0, x) ≤ t}の t についての増大度をみていく.

Bd := {x ∈ Rd | µx ≤ 1}.pc(d)を d次元パーコレーションモデルの臨界確率とする.

Proposition 3 (Cox-Durrett AOP ’81)

もし P(τe = 0) < pc(d)かつ Eτe < ∞であれば、任意の ϵ > 0について、

P((1− ϵ)tBd ⊂ B(t) ⊂ (1 + ϵ)tBd) → 1,

ここで s ≥ 0について、sB := {sx | x ∈ B}.


B(t)の解析



もし P(τe = 0) < pc(d)かつ Eτe < ∞であれば、任意の ϵ > 0について、

P((1− ϵ)tBd ⊂ B(t) ⊂ (1 + ϵ)tBd) → 1,


Sketch of proof

x ∈ B(t) ⇔ T (0, x) ≤ t

“ ⇔ ”tµx/t ≤ t (∵ T (0, x) ∼ tµx/t)

⇔ x/t ∈ Bd ⇔ x ∈ tBd .

(1)


B(t)の解析



もし P(τe = 0) < pc(d)であれば、任意の ϵ > 0について、

P((1− ϵ)tBd ⊂ B(t) ⊂ (1 + ϵ)tBd) → 1,


Conjecture

もし τe の分布が連続 ( i.e. P(τe = a) = 0 ∀a ∈ R)ならば、Bd は strictly convexである.


Definition 1

集合 B ⊂ Rd と正の数 δ > 0について次を定義.

B+δ = {x ∈ Rd | d(x ,B) ≤ δ}, B−

δ = {x ∈ B| d(x ,Bc) ≥ δ},

ここで d(·, ·)はユークリッド距離である.

Definition 1

A,B ⊂ Rd について、B に対する Aの fluctuationを次で定義:

F (A,B) = inf{δ > 0| B−δ ⊂ A ⊂ B+

δ }.

中心課題

F (B(t), tBd)の t についての挙動を調べたい.


F (B(t), tBd)の解析

中心課題

次を満たす χ = χ(d) ≥ 0 (揺らぎ指数)が存在するか?

F (B(t), tBd) ∼ tχ.

予想

d = 2について χ(2) =1/3. d ≫ 1については、χ(d) = 0.

Remark二次元の場合、いくつかのモデル (DLPP,DPRE)で χ(2) = 1/3が示されている.一方三次元以上に関しては全く結果がない.


適切性

τ−を τe の分布の台の下限とする..

Definition 2

τe の分布が適切　def⇔ 　以下が成立:

Eτ2e < ∞,

P(τe = τ−) <

{pc(d) if τ− = 0,

p⃗c(d) otherwise,

ここで pc(d)と p⃗c(d)それぞれ d 次元パーコレーション、方向付きパーコレーションモデルの臨界確率を表す.

Remark二次モーメント有限な連続分布 (P(τe = a) = 0, ∀a ∈ R)は適切.


Upper Bound

Theorem 6 (Alexander AOP’97, Damron–Kubota SPA ’16)

もし P(τe = 0) < pc(d)かつ、ある β > 1 + 1/d が存在してEτβe < ∞であるならば、ある C > 0が存在して

limt→∞

P(F (B(t), tBd) ≤ Ct1/2(log t)4) = 1.


Lower Bound

Theorem 7 (Pemantle–Peres ’93, Chatterjee ’17)

d = 2かつ適当な smooth-moment条件を仮定すると、任意のϵ > 0について、

limt→∞

P(F (B(t), tBd) ≤ ct1/4−ϵ) = 0.

Theorem 8 (Yu Zhang PTRF ’06)

τe はベルヌーイ分布に従うとする.もし d ≥ 3かつP(τe = 0) < pc(d)ならば、ある c,C > 0が存在し、任意の t > 0について、

P(F (B(t), tBd) ≤ c log t) ≤ Ct−d+2−c log p.


Main result

Theorem 9 (N)

d ≥ 2かつ τe の分布が適切であるとする.このとき、あるc,C > 0が存在して任意の t > 0について、

P(F (B(t), tBd) ≤ c log t) ≤ C exp (−tc).


Sketch of the proof I

簡単のため P(τe = 0) > 0を仮定.

c > 0を固定し、Kt = c log t と置く。

まず (tBd)−Ktから Rd\(tBd)

+Ktへの路を [t1/2]個とる.

それぞれの路を γi = (γi [j ])lij=1と書く.

それぞれの路の長さ li ∈ Nは 2dKt 以下とする.

次の eventを Ai と書く:

{T (0, γj [lj ]) > t for any j ̸= i and T (0, γi [li ]) ≤ t}.

Remark

Ai ∩ Aj = ∅ if i ̸= j .


Sketch of the proof II

上で定義した γi を一つとる.

イベント {F (B(t), tBd) ≤ c log t}の上で、{τe}e∈γi をリサンプルし、次のようなイベントを考える:

”to each edge e ∈ γi , τe = 0 after resampling”.

この時、リサンプル後、(高確率で) Ai が成り立つ.

従って、次を得る:

P(Ai ) ≥ P(τe = 0)♯γiP(F (B(t), tBd) ≤ c log t).


Sketch of the proof III

Ai 達は交わりを持たず、♯γi ≤ 2dKt であるので、

1 ≥[t1/2]∑i=1

P(Ai )

≥ [t1/2]P(τe = 0)2dKtP(F (B(t), tBd) ≤ Kt).

ここで十分小さい c > 0について、

[t1/2]P(τe = 0)2dKt → ∞

であるので、

P(F (B(t), tBd) ≤ Kt) → 0 as t → ∞.

定理の評価を得るためには、これらの操作を帰納的に続ける.


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