Calculo del golpe de ariete

Flujo no estacionario en conductos

FIUBA, Buenos Aires

12 de noviembre de 2010

Mecanica de Fluidos 67.18

Calculo del golpe de ariete

Organizacion

1 Calculo del golpe de arieteMetodo de las caracterısticasEjemplo

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Calculo del golpe de ariete

Flujo no estacionario en conductos

El presente estudio se realiza sobre la geometrıa de conductos de seccionvariable, donde el flujo, como en otros casos de flujos en conductos, seconsidera unidireccional.

Figura: Esquema del volumen de control en un conducto inclinado.

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Calculo del golpe de ariete

El estudio del problema se consigue a partir del analisis de las ecuaciones deconservacion de la masa y de cantidad de movimiento. Introduciremosentonces sucesivamente las hipotesis de nuestro problema fısico parasimplificarlas. Recordemos:

Dρ

Dt=∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 (1)

D(ρ~v)

Dt=∂(ρ~v)

∂t+∇~v · (ρ~v) = ~fvolum +∇ · ¯T (2)

Usando la condicion 1 ρDφ

Dt=D(ρφ)

Dtsobre (2) y separando las

componentes normales y tangenciales del tensor de tensiones,

ρD~v

Dt= ~fvolum −∇p+∇ · ¯

T ′ (3)

1Vease clase sobre Leyes Fundamentales.Mecanica de Fluidos 67.18

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Ası como sucede en flujo estacionario en conductos, es posible expresar

∇ · ¯T ′, los esfuerzos de friccion, en funcion de una caıda de presion. Se

adopta como hipotesis que la friccion en flujo turbulento permanente puedeescribirse segun ρfV 2/8.Supondremos, en adelante, que el factor de friccion no varıa pese a tratarsede un problema no estacionario. Dado que el flujo es unidireccional,simplificamos (3):

1

ρ

∂p

∂x+ gsenθ +

Dv

Dt+fV 2

2D= 0

El termino de la derivada material, teniendo en cuenta que el flujo es enuna sola dimension, puede simplificarse tambien:

Dv

Dt=∂v

∂t+∂v

∂xv

En estos fenomenos, de variaciones locales importantes frente a las

variaciones espaciales, resulta∂v

∂t>>

∂v

∂xv. Entonces:

∂v

∂t+

1

ρ

∂p

∂x+ gsenθ +

fV 2

2D= 0 (4)

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La forma integral de la ecuacion (1):

∂

∂t

∫∫∫V

ρdv +

∫∫∫V

∇ · (ρ~v)dv

Como en la ecuacion de cantidad de movimiento, se consideran solamentelas variaciones espaciales en la direccion del conducto, resulta

∂

∂t(ρAdx) +

∂

∂x(ρvA)dx

Siendo el elemento dx independiente de t, se desarrollan los terminos segun:

∂ρ

∂tAdx+

∂A

∂tρdx+

∂ρ

∂xvAdx+

∂A

∂xρvdx+

∂v

∂xρAdx = 0

Dividiendo por ρAdx:

1

ρ

∂ρ

∂t+

1

A

∂A

∂t+v

ρ

∂ρ

∂x+v

A

∂A

∂x+∂v

∂x= 0

Utilizando la definicion de derivada material, agrupamos:

1

A

DA

Dt+

1

ρ

Dρ

Dt+∂v

∂x= 0 (5)

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Considerando un intervalo dt, la ecuacion (5) relaciona variaciones del area

del conducto dA/A, el cambio espacial de la velocidad∂v

∂xdt y el de la

compresibilidad dρ/ρ.

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Para estimar las tensiones que se producen por los cambios del area,recurrimos a relaciones de resistencia de materiales.Para un cano de diametro D, espesor e y con un modulo de elasticidad E, la

tension frente a un ∆p es σ = ∆pD

2e. La relacion elastica entre tension y

deformacion σ = Eε determina que la deformacion unitaria ε =∆D

D= ∆p

D

2eE.

La deformacion radial es entonces: ∆D = D

(∆p

D

2eE

).

Multiplicando por πD/4 se tiene la variacion de area ∆A =πD2

4

(∆p

D

2eE

).

Resulta:∆A

A= ∆p

D

2eE

Se puede llevar este resultado a la forma diferencial:

1

A

DA

Dt=Dp

Dt

D

2eE

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Por otro lado, la definicion de modulo de elasticidad volumetrica para unfluido:

K = − dp

dV ol/V ol=

dp

dρ/ρ

Luego, escribimos cambios de densidad como cambios en presion:

1

ρ

Dρ

Dt=

1

K

Dp

Dt

Conseguimos entonces simplificar la ecuacion de continuidad (5):

1

K

Dp

Dt

(1 +

K

E

D

e

)+∂v

∂x= 0 (6)

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Por ultimo, recordemos la expresion para la velocidad de una onda acusticaa traves de una canerıa:

a2 =K/ρ

1 + (K/E)(D/e)

Con ello se reduce (6) a:1

ρ

Dp

Dt+ a2 ∂v

∂x= 0

Para aplicaciones del golpe de ariete el termino convectivo deDp

Dtes mucho

mas pequeno que el termino no estacionario. Se obtiene la ecuacion:

∂p

∂t+ ρa2 ∂v

∂x= 0 (7)

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Metodo de las caracterısticas

El sistema de ecuaciones a derivadas parciales formado por (4) y (7) tienecomo incognitas v y p que son funciones de x y t. Las ecuaciones permitentener en cuenta la friccion en la canerıa y la pendiente de la misma.Para resolverlas, estas pueden ser transformadas a un sistema de ecuacionesdiferenciales ordinarias mediante el Metodo de las Caracterısticas.Para ello, consideremos la suma de (4) y (7) multiplicada por un escalararbitrario λ.

∂v

∂t+

1

ρ

∂p

∂x+ gsenθ +

fV 2

2D+ λ

(∂p

∂t+ ρa2 ∂v

∂x

)= 0

Agrupando los terminos de presion y de velocidad

∂v

∂t+ λρa2 ∂v

∂x+ λ

(∂p

∂t+

1

ρλ

∂p

∂x

)+ gsenθ +

fV 2

2D= 0 (8)

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Metodo de las caracterısticas

Podemos poner condiciones sobre el escalar λ. En particular si

λρa2 = v = dx/dt =1

λρ, se sigue verificando el sistema de ecuaciones. Este

valor nos permite expresar la ecuacion (8) en terminos de la derivadamaterial de la velocidad v y de la presion p.

Luego, λ = ± 1

ρaEntonces

dx

dt= ±a (9)

La ecuacion a derivadas parciales se convierte en dos de derivadas totales:

Dv

Dt± 1

ρa

Dp

Dt+ gsenθ +

fV 2

2D= 0 (10)

Debido a que la ecuacion (10) es valida unicamente cuando se satisfacen lasecuaciones (9), es conveniente representar la solucion como una grafica de xcontra t. La posicion x localiza el punto en la canerıa que se mide desde elextremo de aguas arriba y t es el tiempo en el cual se determinan lasvariables v y p.

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Metodo de las caracterısticas

Se considera que se conocen las condiciones en un punto A: vA, pA, xA ytA. Luego, la ecuacion (10) con el signo + se conoce como ecuacion de

compatibilidad C+ y es valida paradx

dt= +a, es decir, a lo largo de la lınea

AP de la figura 2.

Figura: Grafico xt de las caracterısticas a lo largo de las cuales seobtienen las soluciones.

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Metodo de las caracterısticas

Multiplicando (10) por (ρa)dt e integrando desde A hasta P:

ρa

∫ vP

vA

Dv +

∫ pP

pA

Dp+

∫ tP

tA

ρag senθdt+

∫ tP

tA

ρafv2

2Ddt = 0

Como adt = dx puede escribirse la ecuacion en funcion de incrementos de x.En particular, el termino de friccion, si la distancia en x entre A y P no esmuy grande, puede aproximarse:∫ xP

xA

v2dx ∼ ∆xvAvP

La misma transformacion se puede realizar en la ecuacion C− de (10).Puede plantearse entre un punto B y el punto P (Figura 2). Resulta elsistema de la forma:

ρa(vP − vA) + pP − pA + ρg senθ∆x+fvAvP

2D∆x = 0 (11)

ρa(vP − vB)− (pP − pA) + ρg senθ∆x+fvBvP

2D∆x = 0 (12)

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Metodo de las caracterısticas

Conocidas las condiciones en A y en B puede resolverse el sistema (12) paradeterminar lo que ocurre en un paso de tiempo posterior en P , vP y pP .Mallando adecuadamente el dominio x para t = 0 podemos conocer todo loque ocurre en un instante ∆t posterior. Asimismo son necesariascondiciones de contorno para el todo el tiempo de solucion. Como es usualen la bibliografıa de calculo de canerıas (piping), se pueden expresar lasvariables de velocidad y presion como expresiones del caudal y alturapiezometrica respectivamente. El cambio de variable produce:

ρg(HA −HP ) = pA − pP + ρg senθ∆x Q = vA

(12) se transforma en:

HP = HA −a

gA(QP −QA) +

fQAQP

2gDA2∆x (13)

HP = HB +a

gA(QP −QB) +

fQAQB

2gDA2∆x (14)

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Metodo de las caracterısticas

Para simplificar las ecuaciones se introducen constantes C1 y C2 de modoque:

C1 =a

gAC2 =

f∆x

2gDA2

Las ecuaciones de compatiblidad resultan:

HP = HA − C1(QP −QA)− C2(QAQP ) (15)

HP = HB + C1(QP −QB) + C2(QBQP ) (16)

En forma general, puede escribirse el sistema para un conjunto de nodos.Conociendo condiciones iniciales y de frontera de un problema puedecalcularse su comportamiento en el estado transitorio. Como condiciones defrontera, pueden considerarse presiones y/o velocidades en los extremos deun conducto.

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Ejemplo

Figura: Problema: Tanque con nivel variable.

Considerese el problema de un conducto unido a un tanque con alturavariable segun H = HR + ∆Hsin(ωt). La frecuencia ω = 4L/a y elconducto descarga fluido por un pequeno orificio ubicado en (B). Con lascondiciones dadas en la figura es posible conocer el estado transitorio.

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Ejemplo

En primer lugar es necesario identificar las condiciones de borde:

La presion en el extremo unido al tanque (A).

El caudal que sale por el orificio en (B ).

La presion en (A) estara dada por la altura de columna de agua quedepende exclusivamente del nivel de lıquido del tanque, es decir deH = HR + ∆Hsin(ωt).Por otra parte el caudal de salida en (B) esta dado por una expresion de laforma CdA

√2gHB . La magnitud HB es el salto de presion (≡ alturas) entre

(B) y el exterior. Inicialmente se puede considerar que esta es dada por laaltura en (A) menos las perdidas por friccion hasta (B).Resumiendo,HA = HR + ∆Hsin(ωt) y QB = CdA

√2gHB .

Se puede luego dividir nuestro dominio en una serie de intervalos ∆x a lolargo del eje x. Inicialmente conocemos Q y H en cada uno de los nodos.Para un instante dt = dx/a podemos determinar mediante el metodo de lascaracterısticas los cambios que se producen.

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Ejemplo

Cuando se vuelve a calcular lo que ocurre en los extremos (A) y (B) esnecesario determinar las caracterısticas que se utilizaran junto a lascondiciones de borde para determinar las correspondientes Q y H. Si sehiciera una malla simple de tres puntos A, B y P como en la Figura 2 elcalculo serıa:

Calcular HA, QA y HB , QB en un instante inicial.

Con la C+ desde A y la C− desde B, determinar QP , HP para un

instante posterior dt = dx/a =L

2

1

a.

Con la C− desde P y la altura en A correspondiente HA(dt) se hallaQA.

Con la C+ desde P y la expresion para el caudal en BQB = CdA

√2gHB se resuelve el sistema de dos ecuaciones para

obtener QB y HB .

se repiten n pasos de tiempo dt.

Recordemos que con un mallado de 3 puntos, esencialmente didactico,perdemos precision. Lo apropiado sera mallar con mas puntos hastaverificar la convergencia de la solucion.

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Ejemplo

Figura: Caudal en la entrada en funcion del tiempo. Se observa la convergencia del resultado

aumentando el numero de puntos del mallado .

Otro ejemplo de condicion de frontera puede ser el dado por el cierre gradual de una valvula.

Se tendra una expresion del tipo Q = CdA√

2gH donde el area A sera variable en el tiempo.

Asimismo pueden considerarse cambios de diametro en una canerıa bifurcaciones, elementos de

expansion, etc. El calculo numerico ayuda a trabajar la complejidad de este tipo de problemas,

donde se resuelven sistemas de ecuaciones no lineales.

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Figura: Altura en distintos nodos del conducto en funcion del tiempo. .

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