Embed Size (px)
Citation preview
Fonaments Físics de les Estructures
Tema 4.- Geometria de masses (I): Centre de gravetat de superfícies planes.
Objectius:
Entendre el concepte de centre de gravetat. Diferenciar el
centre de gravetat màssic del centre de gravetat d’una
superfície.
Aprendre a calcular centres de gravetat d’objectes lineals, bi- i
tridimensionals.
Aprendre a calcular centres de gravetat de superfícies
complexes.
Conèixer i saber utilitzar els teoremes de Pappos-Guldin.
Sistemes de vectors paral·lelsSón sistemes en els quals tots els vectors tenen la mateixa direcció.
La resultant també té la mateixa direcció que tots els vectors., i ii F F u
ii
R F u
R
Sistemes de vectors paral·lelsEl moment del sistema respecte d‘un punt qualsevol P és perpendicular a la resultant:
Això implica que el segon invariant és nul:
P i ii
M PA F
0Pm M u
Y
X
Si es gira tot el sistema de vectors, es defineix una nova direcció i un nou eix central del sistema:
Els eixos centrals dels sistemes obtinguts girant en totes les direccions possibles el sistema de vectors es tallen en un punt anomenat Centre del Sistema.
Sistemes de vectors paral·lels
Y
X
Y
X
Sistemes de vectors paral·lels
,i i
iC
ii
F rr
F
Per a un sistema de vectors paral·lels, existeix un punt d’especial importància, que s’anomena punt central del sistema. Es troba sobre l’eix central i es pot calcular mitjançant l’expressió:
on són els vectors de posició.r
Centre de gravetat d’un sistema de partícules
El centre de gravetat (cdg) d’un sistema de partícules és el centre del sistema de vectors format per les forces-pes de les partícules del sistema:
i i i i i ii i i
Gi i i
i i i
F r m g r m rr
F m g m
Suposem que ens trobem en la superfície terrestre, on el camp gravitatori produeix una acceleració g constant.
i iF m g
irir
ir
Gr
GF M g
i iF m g
i iF m g
Y
i iF m g
X
c.d.m.
Centre de gravetat d’un sistema de partícules
La resultant de totes les forces-pes està aplicada en el cdg del sistema de partícules:
GF M g
i iF m g
irir
ir
Gr
GF M g
i iF m g
i iF m g
Y
i iF m g
X
c.d.m.
Centre de gravetat d’un sistema de partícules
Les components cartesianes del vector de posició del cdg d’un sistema de partícules venen donades per
; ; ;i i i i i i
i i iG G G
i i ii i i
m x m y m zx y z
m m m
Gr
i iF m g
irir
ir
Gr
GF M g
i iF m g
i iF m g
Y
i iF m g
X
c.d.m.
Centre de gravetat d’un cos sòlidQuan hi ha una gran quantitat d’elements xicotets,
i iF m g
G ii
F m g M g
G
Centre de gravetat d’un cos sòlidQuan la distribució de massa no és discreta, sinó que és contínua, com succeeix en un sòlid qualsevol, es consideren elements
infinitesimals de massa dm.
dF=dm·g
Centre de gravetat d’un cos sòlidLes coordenades cartesianes del vector de posició del cdg de un cos sòlid (amb densitat constant) venen donades per
1
1
1
VG
VV
VG
VV
VG
VV
xdmx xdm
Mdm
ydmy ydm
Mdm
zdmz zdm
Mdm
Gr
Centre de gravetat d’una distribució lineal de massa
Una distribució lineal de massa és sempre la que té una de les tres dimensions, per exemple el llarg, molt més gran que les altres dues (ample, alt).
dl
X
Y
Z
r
V L LG
V L
r dm r dl r dlr
Ldm dl
S’anomena densitat lineal de massa al quocient:
i és .
El centre de gravetat té vector de posició:
( / )M kg mL
dm dl
(distribució uniforme de massa)
Centre de gravetat d’una distribució lineal de massa
EXEMPLE:
CALCULEU EL CDG D’UN QUART DE CIRCUMFERÈNCIA
En aquest cas el paràmetre serà l’angle de la figura.
Es verifica: cosdl Rd x R y R sen
/ 2
0
dl
yR
X
Y
O
d
x
/ 2 / 2 / 2
0 0 0/ 2 / 2 / 2
00 0
cos cos 2LG G
L
xdl R Rd R d R sen Rx ydl Rd d
Centre de gravetat d’una distribució lineal de massa
Habitualment la corba es pot expressar com una funció on les variables es poden expressar d’acord amb un paràmetre.
Per a una corba plana en el pla OXY:
dl
X
Y
Z
r
2
22 2 1 1 'dydl dx dy dx dx ydx
Quan una de les dimensions de la distribució de masses és molt més petita que les altres dues, es poden considerar com una distribució superficial de massa.
Centre de gravetat d’una distribució superficial de massa
S’anomena densitat superficial de massa al quocient:
i és .
El centre de gravetat té vector de posició:
V S SG
V S
r dm r dS r dSr
Sdm dS
2( / )M kg mS
dm dS
(distribució uniforme de massa)
Les coordenades cartesianes del cdg d’una distribució superficial de massa en el pla OXY són:
Centro de gravetat d’una distribució superficial de massa
; ;S SG G
xdS ydSx y
S S
EXERCICI: CALCULEU EL CDG D’UN TRIANGLE RECTANGLE
(pàg. 113 i 114 del llibre)
En el cas general d’un cos tridimensional, es diu que existeix una distribució volumètrica de massa.
Centre de gravetat d’una distribució volumètrica de massa
S’anomena densitat de massa al quocient:
i és .
El centre de gravetat té vector de posició:
V V VG
V V
r dm r dV r dVr
Vdm dV
3( / )M kg mS
dm dV
(distribució uniforme de massa)
Les coordenades cartesianes del cdg d’una distribució volumètrica uniforme de massa són:
Centre de gravetat d’una distribució volumètrica de massa
; ; ;V V VG G G
xdV ydV zdVx y z
V V V
EXERCICI: CALCULEU EL CDG D’UN CON RECTE
(pàg. 115 i 116 del llibre)
Teoremes de Pappos-GuldinPrimer teorema:
“L'àrea lateral de la figura de revolució engendrada en girar una línia
al voltant d’un eix que no talla és igual al producte de la longitud de
la circumferència que descriu el centre de gravetat de la línia per la
seua longitud”.
L’àrea de la superfície de revolució és:
2 2
2
GL
G
S dS ydl L y
SyL
Teoremes de Pappos-GuldinAplicacions del primer teorema:
Coneguda la SUPERFÍCIE →
Obtindre CDG de la LÍNIA
Conegut el CDG de la LÍNIA →
Obtindre la SUPERFÍCIE
X
Y
G
yG
Un quart de circumferència en girar respecte a l’eix Xgenera la superfície d’una semiesfera.
2
/ 4
2 22 2
2
semiesferaG
circunf
S r ry rL
circumf
Teoremes de Pappos-GuldinAplicacions del primer teorema:
Coneguda la SUPERFÍCIE →
Obtindre el CDG de la LÍNIA
Conegut el CDG de la LÍNIA →
Obtindre la SUPERFÍCIE
.
2cilindrolong linea recorrido G
S h r cilindre
long. línia recorregut
2 2 2 2
.
22cono
long linearecorrido G
rS h r r h r long. línia
recorregut
con
Teoremes de Pappos-GuldinSegon teorema:
“El volum de la figura de revolució engendrada en girar una
superfície al voltant d’un eix que no talla és igual al producte de la
longitud de la circumferència que descriu el centre de gravetat de la
superfície per l’àrea d’aquesta superfície”.
Un element dS genera un volum dV=2ydS
El volum de revolució és:
2 2
2
GS
G
V dV ydS S y
VyS
Teoremes de Pappos-GuldinAplicacions del segon teorema:
Conegut el VOLUM →
Obtindre el CDG de la SUPERFÍCIE
Conegut el CDG de la SUPERFÍCIE →
Obtindre el VOLUM
21 23 2 3G G
recorrido Gtriángulo
rh rV r h x x recorregut G
triangle
234 42
3 2 3G Grecorrido G
semicírculo
r rV r x x
recorregut G
semicercle
Teoremes de Pappos-GuldinAplicacions del segon teorema:
Conegut el VOLUM →
Obtindre el CDG de la SUPERFÍCIE
Conegut el CDG de la SUPERFÍCIE →
Obtindre el VOLUM
2 2 22 2
círculo recorrido G
V a b a b cercle recorregut G
Càlcul sistemàtic de centres de gravetatPer a calcular el cdg d’una superfície irregular, podem dividir-la en N
trossos amb formes regulars, de les quals podem conèixer fàcilment
la posició del cdg (càlcul o utilitzant les taules).
El cdg del conjunt serà:
1 1 2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
......
......
iG ii G G NG N
Gi N
i
iG ii G G NG N
Gi N
i
x Sx S x S x Sx
S S S S
y Sy S y S y Sy
S S S S
Hi ha moltes formes d’especejar la
figura en formes regulars.
Si la densitat superficial és constant,
són possibles especejaments en què hi
haja parts amb una superfície
negativa.
Si la superfície es compon de
materials de diferents densitats,
s’haurà de dividir en trossos que
tinguen la mateixa densitat.
En aquest cas, les coordenades
del cdg són:
on i és la densitat superficial de cada tros.
Càlcul sistemàtic de centres de gravetat
; ;iG i i iG i i
i iG G
i i i ii i
x S y Sx y
S S
Taula de figures regulars amb els seus cdg
Exemple de càlcul de cdgObteniu la distància a l’eix X del centre de gravetat d’una secció
plana trapezoïdal en funció de les seues dimensions.b
a
c
El trapezi sempre es pot especejar
en un rectangle (1) i u o dos
triangles (2 i 3).
Així, les àrees són:
1S bc i 2 3 / 2S S a b c
i les coordenades verticals dels cdg respectives són: ;
1 ;2Gcy 2 3 ;
3G Gcy y
Així doncs la coordenada vertical del cdg del trapezi és:
23
i ii
Gi
i
y S c a by
S a b
.
Aplicació 2n teorema de Pappos
r1
r2
Z
X
Y
h
Obteniu l’expressió del volum del tronc de con recte.
L’àrea del trapezi és
Per a calcular la coordenada y del cdg s’especeja
el trapezi en un rectangle (1) i un
triangle (2). En el rectangle és 1
1 ,2Gry
i en el triangle és 2 1 2 12 1
2 ,3 3G
r r r ry r
amb àrees i 1 1S r h 2 2 1 / 2.S r r h
Així doncs el cdg
del trapezi té coordenada y : 1 1 2 2
1 2
G GG
y S y SyS S
1 2
2trapecio
r r hS
trapezi
Substituint en l’expressió
les dades obtingudes resulta
que simplificada és
Aplicació 2n teorema de Pappos
r1
r2
Z
X
Y
h
1 1 2 2
1 2
G GG
y S y SyS S
2 11 2 11
2 11
22 3 2
2
G
r r hr r rr hy
r r hr h
2 22 1 2 1
1 2
.3G
r r r ryr r
Aplicant el 2n teorema de Pappos, el volum del tronc de con és:
EXERCICI: CALCULEU LA SUPERFÍCIE LATERAL DEL TRONC DE CON
2 21 2 2 22 1 2 1
2 1 2 11 2
22 3 3
área trapecio recorrido G
r r h r r r r hV r r r rr r
àrea trapezi recorregut G
Moments respecte d’un eixLa distribució de masses en un cos determinarà el seu comportament
davant l’aplicació de forces externes.
La posició del cdg té relació directa amb l’estabilitat d’un cos.
També, la deformació d’una biga sota l’acció d’un sistema de forces
depén del moment d’inèrcia de la secció respecto a la línia de suport.
Moments respecte d’un eixPerò el centre de gravetat és el primer ordre, i el moment d’inèrcia és
el segon ordre d’una magnitud més general anomenada Moment
d’una superfície respecte d’un eix.
En general, per a una superfície S i un eix E qualsevol, es defineix el
moment d’ordre n de la superfície com:
on d és la distància de la superfície a l’eix.
n nn i i n
i S
M d S M d dS (distribució discreta) (distribució contínua)
Moments respecte d’un eixEl moment de primer ordre d’una superfície respecte d’un eix
s’anomena Moment estàtic.
1 'EES
M U d dS
X
Y SdS
O x
y
Moment de primer ordre respecte de l’eix X:
Moment de primer ordre respecte de l’eix Y:
1X OXS
M U y dS
1Y OYS
M U x dS
Moments respecte d’un eixLa relació entre el Moment de primer ordre i el cdg és immediata.
X
Y SdS
O x
y ; ;S SG G
xdS ydSx y
S S
OXS
U y dS OYS
U x dS
Resulten, ; ;OY OXG G
U Ux yS S
Moments respecte d’un eix
PROPIETATS:
El moment de primer ordre de una superfície respecto de qualsevol línia de simetria és igual a zero.
Si la superfície té algun eix de simetria, el seu centre de gravetat es troba en aqueix eix.
Si una superfície té dos eixos de simetria, el seu centro de gravetat es troba en la intersecció dels dos.
El centre de gravetat d’una superfície coincideix amb el seu centre de simetria.
DEFINICIONS:
Una superfície és simètrica respecte d’un eix EE’ si, per a cada punt P de la superfície, existeix un altre P’ de la mateixa tal que el segment PP’ és perpendicular a l’eix EE’, i la superfície està dividida en dues parts iguals per aquest eix.
Una superfície es simètrica respecte d’un punt O si per a cada element dS en (x,y) existeix un altre element dS’ en (-x,-y).
