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Fonctions trigonométriques ettrigonométriques inverses 66.1 Rappel (fonctions trigonométriques)
Nous aborderons maintenant une autre classe de fonctions ditesélémentaires, les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sontindispensables à l’étude des phénomènes périodiques.
mesure d’angles
’θ
figure 6.1.1
θ ’
figure 6.1.2
360°
figure 6.1.3
La variable indépendante de toute fonction trigonométrique est unangle. On construit un angle en effectuant dans un plan la rotationd’un segment de droite autour d’une de ses extrémités. Un angle dontle côté initial est sur l’axe des abscisses et dont le sommet est le pointd’origine est dit en position standard ou canonique. L’angle estpositif lorsque la rotation est faite dans le sens inverse des aiguillesd’une montre (figure 6.1.1) et négatif si la rotation est faite dans lesens des aiguilles d’une montre (figure 6.1.2).
Depuis l’antiquité, on mesure les angles en degrés. L’angle de 360° estassocié à une rotation complète du segment de droite. Dans ce cas lesegment de droite revient à sa position initiale après avoir fait unerotation complète dans le sens inverse des aiguilles d’une montre(figure 6.1.3). Ce sont les astronomes babyloniens qui ont choisi lenombre 360; ils croyaient alors que la terre faisait un tour sur elle-même en 360 jours. Lorsqu’on fait intervenir le calcul différentiel, ilest essentiel d’utiliser une autre mesure, le radian. L’emploi du radiancomme mesure d’angles simplifie la dérivée des fonctions trigonomé-triques, de la même façon que la base e simplifie la dérivée desfonctions exponentielles et logarithmiques.
définition 6.1.1
le radian
lorsque r = 1, la mesureen radians de l’angleAOB correspond à lalongueur de l’arc AB
On mesure un angle θ en radians en traçantd’abord un cercle centré sur le sommet del’angle puis, on établit le rapport entre l’arcde cercle s qu’il sous-tend et le rayon r ducercle. L’unité «radian» est habituellementomise.
θs
r A
B
O
θ = sr
Aθs
rA
secteur angulaireune révolution =
longueur de l’arc circonférence =
aire du secteuraire du cercle
θ
2π = s
2πr = A
πr2
⇒ s = rθ et A = 12
r2θ
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-2
relation entredegrés et radians
Comme la circonférence d’un demi-cercle de rayon r est πr et que θ= s/r, un angle de 180° correspond à un angle en radians de
θ = sr =
πrr = π
Par conséquent 180° = π radians .
exemple 6.1.1
pour convertir desdegrés en radians, onmultiplie la mesure en
degrés par π
180
Convertir 30° en radians.____________
Une simple règle de trois permet d’effectuer la conversion. Si θ est laquantité cherchée,
180° = π
30° = θ
⇒ θ = 30°× π180° =
π6
exemple 6.1.2
pour convertir desradians en degrés, onmultiplie la mesure en
radians par 180π
Convertir π/4 radians en degrés____________
Si θ est la quantité cherchée,
180° = π
θ = π/4
⇒ θ = π/4× 180°
π = 45°
exemple 6.1.3
π/3
r = 6
s = ?
figure 6.1.4
Calculer la longueur de l’arc de cercle de la figure 6.1.4.____________
On a S = rθ (où θ est un angle en radians)
= 6(π/3)
= 2π (6,28)
définition 6.1.2
les six rapportstrigonométriques
(x, y)
θr
x
y
P
O
hypo
ténu
se
côté adjacent
côté
o
pp
osé
θ
Soit θ un angle en position standard et P(x, y) un point situé à unedistance r de l’origine O sur le côté terminal de l’angle.
sinus: sin θ = yr ; cosécante: cosec θ =
ry
cosinus: cos θ = xr ; sécante: sec θ =
rx
tangente: tg θ = yx ; cotangente: cotg θ =
xy
Si le point P(x, y) est dans le premier quadrant alors θ est un angleaigu d’un triangle rectangle. Dans un tel cas, on peut définir les sixrapports trigonométriques de la manière suivante.
sin θ = côté opposéhypoténuse ; cosec θ =
hypoténusecôté opposé
cos θ = côté adjacenthypoténuse ; sec θ =
hypoténusecôté adjacent
tg θ = côté opposécôté adjacent ; cotg θ =
côté adjacentcôté opposé
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-3
les six fonctionstrigonométriques
Les six rapports trigonométriques permettent de définir six nouvellesfonctions: sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg), cotangente (cotg),sécante (sec) et cosécante (cosec). L’étude de ces fonctions est grande-ment simplifiée lorsqu’elle est faite à partir d’un cercle de rayon 1.
le cercletrigonométrique
On considère d’abord un cercle de rayon 1centré à l’origine d’un plan cartésien que l’onnomme cercle trigonométrique. On trace unangle de θ radians ayant pour sommet le point(0, 0) et dont l’un des côtés repose sur l’axepositif des x. L’autre côté rencontre le cercle enun point (x, y). On appelle
r = 1
(0, 0)θ
(cos θ, sin θ)
• sin θ la valeur de y, • cosec θ la valeur de 1/y,
• cos θ la valeur de x, • sec θ la valeur de 1/x,
• tg θ la valeur de y/x, • cotg θ la valeur de x/y.
exemple 6.1.4
π/2
(0, 1)
Trouver sin (π/2) , cos(π/2) , tg(π/2) , cotg(π/2) , sec(π/2) et cosec(π/2).__________________________________
L’angle de π/2 est associé au couple (x, y) = (0, 1) ;
⇒ sin(π/2) = 1 ; tg(π/2) = 1/0 ( ∃/ ) ; sec(π/2) = 1/0 ( ∃/ )
cos(π/2) = 0 ; cotg(π/2) = 0/1 = 0 ; cosec(π/2) = 1/1 = 1
exemple 6.1.5
θ
45
52 - 42 = 3
Si sin θ = 4/5 (0< θ<π/2), trouver cos θ , tg θ , cotg θ , sec θ , cosec θ__________________________________
sin θ = côté opposéhypoténuse =
45 , par la relation de Pythagore on a
côté adjacent = √52 - 42 = 3
⇒ cos θ = côté adjacenthypoténuse =
35 ; sec θ =
hypoténusecôté adjacent =
53
tg θ = côté opposécôté adjacent =
43 ; cosec θ =
hypoténusecôté opposé =
54
cotg θ = côté adjacentcôté opposé =
34
angles remarquables Il est possible à l’aide de la géométrie élémentaire d’obtenir la valeurexacte de sin θ et de cos θ lorsque θ = π/6, θ = π/4 ou θ = π/3.
sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) = √ 3/2
sin(π/4) = √ 2/2
cos(π/4) = √ 2/2
sin(π/3) = √ 3/2cos(π/3) = 1/2
1/21
π/6
π/3
( 3/2,1/2)
3/2
1
π/4
π/4
( 2/2, 2/2)
2/2
2/2
1
π/3
π/ 6
(1/2, 3/2)
3/2
1/2
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-4
exemple 6.1.6
Trouver sin(π/6) , cos(π/6) , tg(π/6) ,cosec(π/6). ____________
L’angle de π/6 est associé au couple(x, y) = (√ 3/2, 1/2) ;
⇒ sin(π/6) = 1/2
cos(π/6) = √ 3/2
cotg(π/6) , sec(π/6) et
π/6
( 3/2, 1/2)
tg(π/6) = 1/2
√ 3/2 =
1
√ 3 =
1
√ 3 √ 3
√ 3 = √ 3
3
cotg(π/6) = √ 3/21/2 = √ 3
sec(π/6) = 1
√ 3/2 =
2
√ 3 =
2
√ 3 √ 3
√ 3 =
2√ 33
cosec(π/6) = 21 = 2
II en est de même pour les angles associés à des couples symétriques surle cercle trigonométrique.
π (180°) → (−1, 0) 0 (0°) → (1, 0)
3π/2 (270°) → (0, -1)
π/3 (60°) → (1/2, 3/2)
π/4 (45°) → ( 2/2, 2/2)
π/6 (30°) → ( 3/2, 1/2)
11π/6 (330°) → ( 3/2, -1/2)
7π/4 (315°) → ( 2/2, - 2/2)
5π/3 (300°) → (1/2, - 3/2)4π/3 (240°) → (-1/2, - 3/2)
5π/4 (225°) → (- 2/2, - 2/2)
7π/6 (210°) → (- 3/2, -1/2)
5π/6 (150°) → (- 3/2, 1/2)
3π/4 (135°) → (- 2/2, 2/2)
2π/3 (120°) → (-1/2, 3/2)
(+,+)(-,+)
(-,-) (+,-)
π/2 (90°) → (0, 1)
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-5
identitéstrigonométriques
une fonction ƒ(x) estpériodique de période
p > 0 si ƒ(x + p) = ƒ(x)pour toute valeur de x
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
(k est un nombre entier)1. sin(θ ± 2kπ) = sin θ2. cos(θ ± 2kπ) = cos θ
(cos θ, -sin θ)
(cos θ, sin θ)
θ−θ
La fonction sinus est une fonction impaire tandis que la fonction cosinusest une fonction paire.
3. sin(-θ) = -sin θ4. cos(-θ) = cos θ
Deux identités fort utiles, sont les identités d’angles complémentaires etcelles permettant les translations horizontales.
5. sin θ = cos( )π2 - θ = cos( )θ - π2
6. cos θ = sin( )π2 - θ = sin( )θ + π2
Plusieurs identités découlent directement de la définition 6.1.2.
7. sec θ = 1
cos θ 10. tg θ = sin θcos θ
8. cosec θ = 1
sin θ 11. cotg θ = cos θsin θ
9. tg θ = 1
cotg θ
cos θ
r = 1
θ
(cos θ, sin θ)
sin θ
En utilisant la relation de Pythagore sur la figure de gauche, on a
12. sin2 θ + cos2 θ = 1
Si on divise chaque membre de l’identité 12 par cos2 θ on obtientl’identité 13 et si on on divise chaque membre de l’identité 12 parsin2 θ on obtient l’identité 14,
13. tg2 θ + 1 = sec2 θ14. 1 + cotg2 θ = cosec2 θ
mais attention!
sin(θ1+θ2) ≠ sinθ1 + sinθ2sin(θ1 -θ2) ≠ sinθ1 - sinθ2
cos(θ1+θ2) ≠ cosθ1 + cosθ2cos(θ1 -θ2) ≠ cosθ1 - cosθ2
Les identités d’addition pour le sinus et le cosinus sont:
15. sin(θ1+θ2) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1
16. sin(θ1–θ2) = sin θ1 cos θ2 – sin θ2 cos θ1
17. cos(θ1+θ2) = cos θ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2
18. cos(θ1–θ2) = cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-6
À partir des identités 15 et 17, on peut en déduire deux autres sur lesinus et le cosinus d’angles doubles.
19. sin 2θ = 2 sinθ cosθ20. cos 2θ = cos2 θ - sin2 θ
En utilisant l’identité 12 dans la dernière, on obtient
21. sin2 θ = 1 - cos 2θ
2
22. cos2 θ = 1 + cos 2θ
2
résolution d’équationstrigonométriques
On résout une équation contenant une ou plusieurs fonctions trigono-métriques de la même façon que l’on résout les équations algébriques.
exemple 6.1.7
on s’assure d’abord que lesarguments des fonctions
trigonométriques sont lesmêmes puis, si c’est
possible, on transforme touten sinus ou en cosinus
Résoudre l’équation sin 2x = sin x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________
sin 2x = sin x
2 sin x cos x = sin x (identité 19)
2 sin x cos x - sinx = 0
(sin x)(2 cos x - 1) = 0
⇒ sin x = 0 ou cos x = 12
Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a
sin x = 0 ⇒ x → (1, 0) ⇒ x = 0
x → (-1, 0) ⇒ x = π
cos x = 12 ⇒
x → (1/2, √ 3/2) ⇒ x = π
3
x → (1/2, -√ 3/2) ⇒ x = 5π3
Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont { } 0 , π3
, π , 5π3
.
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-7
exemple 6.1.8
Résoudre l’équation sin2 x - cos2 x + sin x = 0 pour x ∈ [0, 2π[ . ____________
sin2 x - cos2 x + sin x = 0
sin2 x - (1 - sin2 x) + sin x = 0 (identité 12)
sin2 x - 1 + sin2 x + sin x = 0
2 sin2 x + sin x - 1 = 0
(2 sin x - 1)(sin x + 1) = 0
⇒ sin x = 12 ou sin x = -1
Lorsque l’angle x ∈ [0, 2π[, on a
sin x = 12 ⇒
x → (√ 3/2, 1/2) ⇒ x = π
6
x → (-√ 3/2, 1/2) ⇒ x = 5π6
sin x = -1 ⇒ x → (0, -1) ⇒ x = 3π2
Les solutions de l’équation sur [0, 2π[ sont { } π6 ,
3π2
, 5π6
.
exemple 6.1.9
il n’est pas toujoursnécessaire de tout
exprimer en sinus ou encosinus
Résoudre l’équation cos2 x = sin2 x pour x ∈ [0, 2π[ . ____________
rép: { } π4
, 3π4
, 5π4
, 7π4
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-8
graphiquesdes fonctions
trigonométriques
la fonction sinus est unefonction impaire de
période 2π
la fonction cosinus estune fonction paire de
période 2π
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
ƒ(x) = sin x
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
ƒ(x) = cos xdom sin: R ima sin: [-1, 1] dom cos: R ima cos: [-1, 1]
la fonction tangente estune fonction impaire de
période π
la fonction cotangenteest une fonction impaire
de période π
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2
ƒ(x) = tg x
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2
ƒ(x) = cotg x
dom tg: R \ { ±π/2 , ±3π/2…} ima tg: R dom cotg: R \ { 0 , ±π , ±2π ...} ima cotg: R
la fonction sécante estune fonction paire de
période 2π
la fonction cosécante estune fonction impaire de
période 2π
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
ƒ(x) = sec x
y
xπ/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
ƒ(x) = cosec x
dom sec: R \ { ±π/2 , ±3π/2…}ima sec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
dom cosec: R \ { 0 , ±π , ±2π …}ima cosec: ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-9
L’importance des fonctions trigonométriques tient au fait qu’unegrande majorité des phénomènes étudiés en sciences sont périodiques.Les ondes cérébrales ou les battements du coeur sont périodiques. Lecourant électrique, le champ électromagnétique produit par un micro-onde, les mouvements des planètes, les saisons ou encore latempérature sont autant de phénomènes périodiques. On n’a qu’àpenser à un phénomène et on a de fortes chances qu’il soit périodique. Même si tous ces phénomènes semblent totalement différents, ils ontun point en commun leur périodicité. Il a été démontré que
« tout phénomène périodique quel qu’il soit peut êtrereprésenté comme une combinaison algébrique defonctions sinus ou cosinus ».
Par conséquent, une bonne compréhension des fonctions sinus etcosinus, permet de créer des modèles mathématiques pour tout phé-nomène à caractère périodique.
caractérisques dugraphique du sinus
lorsqu’on multipliel’argument par une
quantité supérieure à 1ou inférieure à -1, lacourbe se contracte
1Si l’on multiplie l’argument desin x par une quantité
B > 1 ou B < -1
la période de cette fonctiondiminue; elle devient
2πB
y
x
y = sin x y = sin(2x)
π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
lorsqu’on multipliel’argument par unefraction, la courbe
s’allonge
2Si l’on multiplie l’argument desin x par une quantité
-1 < B < 1
la période de cette fonctionaugmente; elle devient
2πB
y
x
y = sin x y = sin(x/2)
π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1−1
l’amplitude correspondà la moitié de la
différence entre lemaximum et le minimum
de la fonction
3Si l’on multiplie sin x par unequantité
A ≠ 0
l’amplitude de cette fonctiondevient |A|.
y
x
y = sin x
y = 2 sin x
π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
2
−1
−2−2
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-10
le déplacementhorizontal (vers la droiteou vers la gauche) de la
courbe du sinusdétermine le déphasage
de cette courbe
4Si on soustrait une quantité Cpositive à l’argument du sinus,le graphique subit une transla-tion horizontale de C unités versla droite tandis que si onsoustrait une quantité C négativeà l’argument du sinus le gra-phique subit une translationhorizontale de C unités vers lagauche.
y
x
y = sin x
y = sin(x+ /2)π−1
1
π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2−3π/2
5Si on ajoute une quantité Dpositive à la fonction sin x, legraphique subit une translationverticale de D unités vers lehaut tandis que si on ajoute unequantité D négative à lafonction sin x, le graphiquesubit une translation verticalede D unités vers le bas.
y
x
y = sin x
y = sin x + 1
π/2 π 3π/2−π/2−π−3π/2
1
−1
2
−2−2
en physique, tous lesmouvements vibratoiressimples, telles les ondes
électromagnétiques et lescordes vibrantes, peuvent
être représentés par dessinusoïdes; on les utilise
aussi pour représenter lesmouvements oscillatoires
d’un pendule ou d’unressort
En résumé
ƒ(x) = A sin B(x - C) + D
correspond à une fonctionsinusoïdale
la période est2π|B|
l’amplitude est |A|
le déphasage est C
déplacement vertical de D
D + |A|
D - |A|
D
C
(C > 0 et D > 0)
y = A sin B (x - C) + D
y
xx|B|
C + 2π
exemple 6.1.10
Tracer le graphique de ƒ(x) = 2 sin 3x.____________________
période: 2π|3|
= 2π3
amplitude: |2| = 2
déphasage: aucun
déplacement vert.: aucun
y
xπ/3 2π/3
2
−2−2
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-11
exemple 6.1.11 Tracer le graphique de ƒ(x) = 1
3 sin( )x - π
2 .
____________________
période:
amplitude:
déphasage:
déplacement vert.:
exemple 6.1.12
Tracer le graphique de ƒ(x) = cos(4x + π) + 1 .____________________
les mêmesconsidérations
s’appliquent à lafonction cosinus
période:
amplitude:
déphasage:
déplacement vert.:
exemple 6.1.13 Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit la
courbe ci-dessous.____________________
période:
amplitude:
déphasage:
déplacement vert.:
équation:
y
xπ 2π
3
−3−3
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-12
la variable x représente lenombre de jours écoulés
depuis le début de l’année
ainsi le 31 janvier latempérature moyenne à
Fairbanks en Alaska est
37 sin[ ]2π365 (31 - 101) + 25
= -9,6 °F
L’exemple qui suit nous montre comment on peut utiliser la fonctionsinus comme modèle pour approximer un phénomène concret.
À partir de données expérimentales recueillies entre 1941 et 1970 surla température moyenne de l’air (en degrés Fahrenheit) à Fairbanks enAlaska,
Te
mp
éra
ture
(°
F)
janfév
marsavril
maijuin
juilletaoût
sept novdécoct
janfév
marsavril
-20
-10
10
20
30
40
50
60
70
on a utilisé la fonction
ƒ(x) = 37 sin
2π
365 (x - 101) + 25
pour approximer le phénomène étudié.
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-13
Exercices 6.1
1. Convertir en radians la mesure d’angle donnée.
a) 135° d) -240°
b) 15° e) 540°
c) -150° f) 1°
2. Evaluer si possible sans l’aide de votre calculatrice.
a) sin(π/3) h) tg(π/2) o) sec(-3π/4) v) tg(3π/2)
b) cos(3π/2) i) cotg π p) cotg(-5π/4) w) cotg(5π)
c) tg(5π/6) j) cotg(π/2) q) cosec(7π/6) x) sec(9π/4)
d) sin(4π/3) k) sec(5π/2) r) cotg(-2π/3) y) cosec(23π/6)
e) sec(5π/4) l) cosec π s) sin (5π) z) tg(-25π/4)
f) tg(3π/4) m) cosec(-π/4) t) sin(-3π)
g) cosec(π/3) n) sin(-2π/3) u) tg(5π/4)
3. Soit un triangle rectangle en C. Les angles A, B et C sontopposés respectivement aux côtés a, b et c. Trouver
a) c si a = 3 et b = 4,
b) b si a = 1 et c = 3,
c) sin A , cos B , tg A , sec B si a = 6 et b = 8,
d) sin A , sin B , cotg A , cosec B si a = 2 et b = 2,
e) a et b si c = 1 et A = π/6.
A
B
C
a
b
c
4. A l’aide des identités trigonométriques montrer que
a) cos4 x - sin4 x = 1 - 2sin2 x d) (cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x
b) sec θ - cos θ = sin θ . tg θ e) cos 2x . cos x + sin 2x . sin x = cos x
c)1
1 + sin u + 1
1 - sin u = 2 sec2 u f) sec(π - x) = -sec x
5. Résoudre pour x ∈ [0, 2π[ .
a) 2 sin x - 1 = 0 f) sin2 x - cos2 x + 3 sin x = 1
b) sin x cos x = 0 g) sin 2x + sin x = 0
c) sin2 x + sin x - 2 = 0 h) tg x = 2 sin x
d) 4 cos x = 3
cos x i) 2 cos2 x = sin 2x
e) 2 cos2 x + sin x = 1 j) sin2 x - 3 cos2 x = 0
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-14
6. Tracer le graphique des fonctions suivantes sur une période.
a) y = sin 14
x c) y = 14 cos( )2x - π
2
b) y = 4 sin(3x + 2π) d) y = 3 sin( )13 x + π
5
7. Déterminer à l’aide de la fonction sinus, une équation qui définit les courbes suivantes.
a)y
x2π
5
−5−5
d)
y
x4π/3
22
b)y
x3π/4
1
−1−1
e)y
xπ/3
1/2
−1/2−1/2
c)y
x
2
−−2
π/4 5π/45π/4
6.1 rappel (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-15
Réponses aux exercices 6.1
1. a) 3π/4 d) -4π/3b) π/12 e) 3π
c) -5π/6 f) π/180
2. a) √ 3/2 h) ∃/ o) -√ 2 v) ∃/b) 0 i) ∃/ p) -1 w) ∃/
c) -√ 3/3 j) 0 q) -2 x) √ 2d) -√ 3/2 k) ∃/ r) √ 3/3 y) -2
e) -√ 2 l) ∃/ s) 0 z) -1f) -1 m) -√ 2 t) 0g) 2√ 3/3 n) -√ 3/2 u) 1
3. a) 5 b) 2√ 2 c) 35
, 35
, 34
, 53
d) √ 22
, √ 22
, 1 , √ 2 e) 12
, √ 32
5. a) { π/6 , 5π/6 } f) { π/6 , 5π/6 }b) { 0 , π , π/2 , 3π/2 } g) { 0 , π , 2π/3 , 4π/3 }c) { π/2 } h) { 0 , π/3 , π , 5π/3 }d) { π/6 , 5π/6 , 7π/6 , 11π/6 } i) { π/4 , π/2 , 5π/4 , 3π/2 }e) { π/2 , 7π/6 , 11π/6 } j) { π/3 , 2π/3, 4π/3, 5π/3 }
6. a)y
x4π 8π
1
−1−1
c)y
xπ/4 3π/4 5π/4
1/4
−1/4−1/4
b)
y
x−2π/3 −π/3
4
−4−4
d)y
x−3π/5 12π/5 27π/5
3
−3−3
7. a) y = 5 sin(x - π) d) y = sin( )32
x - π2
+ 1
b) y = sin( )43 x e) y =
12 sin(3x - π)
c) y = 2sin( )2x - π2
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-16
6.2 Limites et continuité (fonctions trigonométriques)
proposition 6.2.1
Si limx→ a
ƒ(x) = b ( a ∈R_
et b ∈R )
alors a) limx→ a
sin ƒ(x) = sin
lim
x→ a ƒ(x) = sin b,
b) limx→ a
cos ƒ(x) = cos
lim
x→ a ƒ(x) = cos b.
exemple 6.2.1
prop. 6.2.1 et prop. 1.2.3
Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_
.____________
a) limx→ 0
sin x = sin
lim
x→ 0 x = sin 0 = 0,
b) limx→ 0
cos x
c) limx→ 0
cos(x + π)
d) limx→ 3π/4
( )12 cos2 x
e) limr→ -π
sec(3r)
f) limx→ π/2+
tg x
g) limu→ π +
cosec u
h) limx→ - ∞
sec( )1x
i) limθ→ 0
√1 - cos θ
rép: b) 1 ; c) -1 ; d) 14 ; e) -1 ; f) -∞ ; g) -∞ ; h) 1 ; i) 0
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-17
les formes
sin(±∞∞∞∞) et cos(±∞∞∞∞)
Si limx→ a
ƒ(x) = ∞ ou limx→ a
ƒ(x) = -∞ ( a ∈R_
)
alors limx→ a
sin ƒ(x) ∃/ et limx→ a
cos ƒ(x) ∃/ .
Dans chacun des cas les fonctions ne s’approchent d’aucune valeurprécise, ils oscillent indéfiniment entre -1 et 1.
exemple 6.2.2
cos(∞) ne s’approched’aucune valeur précise
Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_
.____________
a) limx→ ∞
cos x = cos
lim
x→ ∞ x = cos ∞ ∃/ ,
b) limx→ - ∞
sin x
x
rép: b) 0
Pour obtenir la dérivée de y = sin x ou de y = cos x nous aurons àutiliser les deux limites suivantes:
limx→ 0
sin x
x et limx→ 0
cos x - 1
x
Penchons-nous d’abord sur le premier problème.
on doit s’assurer que lacalculatrice est en mode
radian
limx→ 0
sin x
x = 00 IND.
Pour lever l’indétermination, on doit transformer l’expression. Il n’estpas possible présentement de procéder de cette façon étant donné lanature de la fonction. Contentons-nous seulement d’estimer la limiteen question en utilisant une calculatrice.
En examinant les tableaux du bas,
x 1 0,5 0,1 0,05 0,001
0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999sin xx
x -1 -0,5 -0,1 -0,05 -0,001
0,84147 0,95885 0,99833 0,99958 0,99999sin xx
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-18
limx→→→→ 0
sin x
x
on obtient
lim
x→ 0+ sin x
x = 1
limx→ 0-
sin xx = 1
⇒ limx→ 0
sin x
x = 1
Si le tableau avait été complété en mode degré, on aurait obtenu unevaleur limite de 0,01745... On verra à la section 3 que les dérivées desfonctions trigonométriques ont une forme beaucoup plus simplelorsque la limite précédente vaut 1 plutôt que 0,01745... Pour cetteraison, le radian sera préféré au degré comme mesure d’angle dans lecalcul différentiel.
exemple 6.2.3
Sachant que limx→ 0
sin x
x = 1 évaluer dans R_
limx→ 0
sin2x4x2 .
____________
limx→ 0
sin2x4x2 =
14
lim
x→ 0 sin x
x .sin xx
= 14
lim
x→ 0 sin x
x
lim
x→ 0 sin x
x
= 14 (1) (1) =
14
exemple 6.2.4
limθ→ 0
3sin θ - 5θ2θ + sin θ =
limθ→ 0
3
sin θθ - 5
2 + sin θ
θ
Sachant que limθ→ 0
sin θ
θ = 1 évaluer dans R
_
limθ→ 0
3sin θ - 5θ2θ + sin θ
____________
rép: - 23
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-19
exemple 6.2.5
on multiplie lenumérateur et le
dénominateur par leconjugué de (cos x - 1)
sin2x + cos2x = 1 ⇒cos2x - 1 = -sin2x
la limite d’un produit estégale au produit des
limites si chacune deslimites existe
limx→ 0
[ ]sin xx
= 1
Sachant que limx→ 0
sin x
x = 1 évaluer dans R_
limx→ 0
cos x - 1x
____________
limx→ 0
cos x - 1x = lim
x→ 0 cos x - 1
x . (cos x + 1)(cos x + 1)
= limx→ 0
cos2x - 1x (cos x + 1)
= limx→ 0
-sin2xx (cos x + 1)
= limx→ 0
sin x
x
-sin x
cos x + 1
= limx→ 0
sin x
x . limx→ 0
-sin x
cos x + 1
= 1 . 02
= 0
exemple 6.2.6
Sachant que limx→ 0
sin x
x = 1 évaluer dans R_
limx→ 0
x sin x1 - cos x .
____________
rép: 2
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-20
proposition 6.2.2
sin x et cos x sont deuxfonctions continues sur R
Si g(x) est continue sur l’intervalle ouvert I alors la fonction
a) ƒ(x) = sin g(x) est continue sur I,b) ƒ(x) = cos g(x) est continue sur I.
exemple 6.2.7 Étudier la continuité de ƒ(x) = cos√1 - x sur ]0, 2π[.____________
ƒ(x) = cos 1 - x
678
continue sur ] -∞, 1[ (forme irrationnelle)
14444244443
la fonction ƒ(x) est donccontinue sur ]-∞, 1[
(prop. 6.2.2)
ƒ(x) = cos 1 - x
La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.
exemple 6.2.8 Étudier la continuité de ƒ(x) = tg x sur ]0, 2π[.____________
ƒ(x) = tan x = sin xcos x123
678
la fonction cosinus estcontinue sur
14444444244444443R (prop. 6.2.2)
la fonction ƒ(x) est donc continue sur (l'intersection des deux réponses du haut)
sauf pour les valeurs qui annulent le dénominateur c'est-à-dire sauf pour
{ ±π/2, ±3π/2, ... } (prop.2.2.3)
R
(prop. 6.2.2)la fonction sinus est continue sur R
La fonction n’est donc pas continue sur ]0, 2π[.
exemple 6.2.9
Étudier la continuité de ƒ(x) = 1
sin x - cos x sur ]0, 2π[.
____________
rép: la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[(elle présente deux discontinuités une en x = π/4 et une en x = 5π/4)
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-21
exemple 6.2.10 Étudier la continuité de ƒ(x) = √2 sin x + 3 sur ]0, 2π[.____________
rép: la fonction est continue sur ]0, 2π[
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-22
Exercices 6.2
1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_
.
a) limx→ 1
(3x + 2) cos πx n) limx→ 0
cos x - 2
1 - cos x
b) limx→ π/3
sec 2x o) limx→ 0
3 sin x
4x
c) limx→ -π
sin2( )x - π8
p) limx→ 0
tg2 x
x2
d) limx→ π
(tg x - sec x) q) limx→ 0
sin 2x
x
e) limx→ 0
cosec2 x r) limx→ 0
cos2 x - 1
x sin x
f) limx→ π/2-sec x s) lim
x→ 0
x - sin x
x
g) limx→ π- cotg x t) lim
x→ ∞
x - sin x
x
h) limx→ π+
cosec x u) limx→ 0
x + tg x
sin x
i) limx→ ∞
cotg( )1x
v) limx→ 0
sin x
x2 + 3x
j) limx→ ∞
( )1x + sin x w) lim
x→ 0
cos x - 1
5x sin x
k) limx→ ∞
x
sin x x) limx→ 0
sin2 x
1 - cos x
l) limx→ - ∞
sin x
x y) limx→ 0
(1 + cos x) sin2 x
3x2
m) limx→ π/2
√sin x - 1 z) limx→ 0
(cosec x - cotg x)
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-23
2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.
a) ƒ(x) = x + sin x d) h(x) = cotg x
1 + 2 sin x
b) g(x) = 1 - cos x
sin x e) ƒ(x) = √cos x
c) ƒ(x) = sec x + tg x f) ƒ(x) = √1 - sin xcos x + 2
6.2 limites et continuité (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-24
Réponses aux exercices 6.2
1. a) -5 n) -∞b) -2 o) 3/4
c) 1/2 p) 1
d) 1 q) 2
e) ∞ r) -1
f) ∞ s) 0
g) -∞ t) 1
h) -∞ u) 2
i) ∞ v) 1/3
j) ∃/ w) -1/10
k) ∃/ x) 2
l) 0 y) 2/3
m) ∃/ z) 0
2. a) la fonction est continue sur ]0, 2π[.
b) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π).
c) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π/2 et x = 3π/2).
d) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est discontinue en x = π , x = 7π/6 et x = 11π/6).
e) la fonction n’est pas continue sur ]0, 2π[ (elle est continue sur ]0, π/2[ ∪ ]3π/2, 2π[ ).
f) la fonction est continue sur ]0, 2π[.
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-25
6.3 Dérivée (fonctions trigonométriques)
proposition 6.3.1
d
dx sin x = cos x
par définition
sin(x + ∆x) =
sin x cos ∆x + sin ∆x cosx
la limite d’une somme estégale à la somme des
limites et la limite d’unproduit est égale au
produit des limites
* les deux limites ont étéévaluées à la section
précédente
ddx sin x = lim
∆x→ 0 sin(x + ∆x) - sin x
∆x
= 00 IND.
= lim∆x→ 0
(sin x cos ∆x + sin ∆x cos x) - sin x
∆x
= lim∆x→ 0
(sin x cos ∆x - sin x) + sin ∆x cos x
∆x
= lim∆x→ 0
sin x (cos ∆x - 1) + sin ∆x cos x
∆x
= lim∆x→ 0
sin x
cos ∆x - 1
∆x +
sin ∆x
∆x cos x
= lim∆x→ 0
sin x . lim∆x→ 0
cos ∆x - 1
∆x + lim∆x→ 0
sin ∆x
∆x . lim∆x→ 0
cos x
= sin x . (0)* + (1)* . cos x
= cos x
La dérivée de la fonctionsinus en x = c correspond àl’image de la fonctioncosinus en x = c.
Si ƒ(x) = sin x alors
ƒ’(-π) = cos(-π) = -1,ƒ’(-π/2) = cos(-π/2) = 0,ƒ’(0) = cos 0 = 1,ƒ’(π) = cos π = -1, etc.
ƒ(x) = sin x
π/2 π 3π/2-π/2-π-3π/2
-
π/2 π 3π/2-π/2-π-3π/2
ƒ'(x) = cos x
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-26
proposition 6.3.2
d
dx cos x = -sin x
démonstration
exemple 6.3.1
toutes les formules dedérivation déjà vues
s’appliquent ainsi queles deux nouvelles
règles:
ddx
sin x = cos x
ddx
cos x = -sin x
Trouver d
dx
sin x
1 - cos x .
____________cos x sin x678 64748
d
dx
sin x
1 - cos x = (1 - cos x)
ddx sin x - sin x
ddx (1 - cos x)
(1 - cos x)2
= (1 - cos x) cos x - sin x sin x
(1 - cos x)2
= cos x - cos2 x - sin2 x
(1 - cos x)2
= cos x - 1
(1 - cos x)2
= - (1 - cos x)
(1 - cos x)2
= -1
(1 - cos x) ou 1
cos x - 1
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-27
proposition 6.3.3
d
dx tg x = sec2 x
démonstration
sin2 x + cos2 x = 1
1cos x
= sec x
d
dx tg x = d
dx
sin x
cos x
cos x -sin x678 678
= cos x .
ddx sin x - sin x .
ddx cos x
cos2 x
= cos2 x + sin2 x
cos2 x
= 1
cos2 x ou sec2 x
proposition 6.3.4
d
dx cotg x = - cosec2 x
démonstration
proposition 6.3.5
d
dx sec x = sec x tg x
démonstration
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-28
proposition 6.3.6
d
dx cosec x = - cosec x cotg x
démonstration
exemple 6.3.2
Trouver d
dθ
tg2 θ
2 .
____________sec2 θ678
2 (tg θ) ddθ tg θ
64748
d
dθ
tg2 θ
2 = 12
d
dθ (tg θ )2
= 12 (2 tg θ sec2 θ)
= tg θ sec2 θ
Lorsque l’argument est composé on aura recours à la règle dedérivation en chaîne.
exemple 6.3.3
puisque u = 2x
Trouver d
dx sin 2x
____________
y = sin 2x est le résultat de la composition de y = sin u
u = 2x
Par la règle de dérivation en chaîne, dydx =
dydu .
dudx
⇒ ddx sin 2x =
ddu sin u .
ddx 2x
= cos u . (2)
= 2 cos 2x
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-29
De la même façon on obtient les formules générales des 6 fonctionstrigonométriques.
règle 14d
dx sin ƒ(x) = cos ƒ(x) . ddx ƒ(x)
règle 15d
dx cos ƒ(x) = - sin ƒ(x) . ddx ƒ(x)
règle 16d
dx tg ƒ(x) = sec2 ƒ(x) . ddx ƒ(x)
règle 17d
dx cotg ƒ(x) = - cosec2 ƒ(x) . ddx ƒ(x)
règle 18d
dx sec ƒ(x) = sec ƒ(x) tg ƒ(x) . ddx ƒ(x)
règle 19d
dx cosec ƒ(x) = - cosec ƒ(x) cotg ƒ(x) . ddx ƒ(x)
exemple 6.3.4
par la règle 14
Trouver d
dx sin (3x2 + 5) .
____________6x
6447448
d
dx sin (3x2 + 5) = cos(3x2 + 5) . d
dx (3x2 + 5)
= 6x cos(3x2 + 5)
exemple 6.3.5
par la règle 16
Trouver d
dx tg (5 - 2x)3 .
____________-2
678
3(5 - 2x)2 ddx
(5 - 2x)
6447448
ddx tg (5 - 2x)3 = sec2(5 - 2x)3 .
ddx (5 - 2x)3
= - 6 (5 - 2x)2 sec2(5 - 2x)3
exemple 6.3.6
Trouver ddt sec4 (5 - 2t) .
____________
rép: -8 sec4(5 - 2t) tg(5 - 2t)
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-30
exemple 6.3.7
Trouver d
dv cos4 (5 - 2v)3 .
____________
rép: 24(5 - 2v)2 sin(5 - 2v)3 cos3(5 - 2v)3
exemple 6.3.8
Trouver d39
dx39 sin x .
____________
rép: - cos x
exemple 6.3.9
on trouve y’implicitement
Trouver dydx si sin2 y = y - cos x.
____________
sin2 y = y - cos x
(sin y)2 = y - cos x
cos y dydx
678
2 sin y d
dx sin y = dydx - (- sin x)
2 sin y cos y dydx =
dydx + sin x
2 sin y cos y dydx -
dydx = sin x
dydx (2 sin y cos y - 1) = sin x
dydx =
sin x2sin y cos y - 1 ou
sin xsin 2y - 1
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-31
Exercices 6.3
1. Trouver dydx .
a) y = sin 3x n) y = cotg √3x2 + 1
b) y = cos(1 - 2x) o) y = √cosec x2
c) y = 3 sin x2 p) y = sec3(2x - 1)2
d) y = cos3(4x - 1) q) y = sec x
cosec x
e) y = sin2(1 - 3x)3
18 r) y = sec7 x
7 - sec5 x
5
f) y = 4√sin √ x s) y = 2x sin x + 2 cos x - x2 cos x
g) y = sin2(cos 2x) t) y = 2 sin 2x cos x - cos 2x sin x
h) y = sin x - x cos x u) y = cos x
1 + sin x
i) y = (cos x + 2x sin x)3 v) y = cos2 x
1 + sin2 x
j) y = sec 3x w) y = √ 1 + sin x1 - sin x
k) y = 2 tg √ x x) y = cotg4 x - cosec4 x
l) y = cosec2 5x y) y = x cos2 x sin3 x
m) y = sec3 2x
3 z) y = sin x - x cos xcos x + x sin x
2. Trouver y’.
a) y = e2 sin 5x d) y = ln|cosec 2x - cotg 2x|
b) y = sec e3x e) y = ln(cos2 e3x)
c) y = ln|sec x|
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-32
3. Trouver d2ydx2 .
a) y = (1 + cos x) sin x c) y = 3x2 sin x - 6 sin x - x3 cos x + 6x cos x
b) y = cos2 2x - sin2 2x
4. Trouver
a)d36
dx36 sin x b)d61
dx61 cos x
5. Trouver dydx implicitement.
a) x sin x + y cos y = 0 c) x cos y = sin(x + y)
b) cos 3y = tg 2x
6. Trouver dydx en utilisant le procédé de dérivation logarithmique.
a) y = x sin3 x
√1 + sec2 xb) y = (sin x)x (sin x > 0)
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-33
Réponses aux exercices 6.3
1. a) 3 cos 3x n) - 3x cosec2 √3x2 + 1
√3x2 + 1
b) 2 sin(1 - 2x) o) - x cotg x2 √cosec x2
c) 6x cos x2 p) 12(2x - 1) sec3(2x - 1)2 tg(2x - 1)2
d) -12 sin(4x - 1) cos2(4x - 1) q) sec2 x
e) - (1 - 3x)2 sin(1 - 3x)3 cos(1 - 3x)3 r) sec5 x tg3 x
f) cos √ x
√x sin √ xs) x2 sin x
g) -4 sin 2x sin(cos 2x) cos(cos 2x) t) 3 cos x cos 2x
h) x sin x u) -1
1 + sin x
i) 3(sin x + 2x cos x) (cos x + 2x sin x)2 v) - 4 sin x cos x
(1 + sin2 x)2
j) 3 sec 3x tg 3x w) √ 1 - sin x1 + sin x
cos x
(1 - sin x)2
k) sec2 √ x
√ xx) 4 cotg x cosec2 x
l) -10 cotg 5x cosec2 5x y) sin2 x cos x (sin x cos x - 2x sin2 x + 3x cos2 x )
m) 2 sec3 2x tg 2x z) x2
(cos x + x sin x)2
2. a) 10 e2 sin 5x cos 5x d) 2 cosec 2x
b) 3 e3x sec(e3x) tg(e3x) e) -6 e3x tg(e3x)
c) tg x
3. a) - (4 cos x + 1) sin x c) x2(3 sin x + x cos x)
b) -16 cos 4x ou -16(cos2 2x - sin2 2x)
4. a) sin x b) - sin x
6.3 dérivée (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-34
5. a)sin x + x cos xy sin y - cos y c)
cos y - cos(x + y)x sin y + cos(x + y)
b) - 2 sec2 2x3 sin 3y
6. a)x sin3 x
√1 + sec2 x
1x + 3 cotg x -
sec2 x tg x1 + sec2 x
b) (sin x)x [ln(sin x) + x cotg x]
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-35
6.4 Applications (fonctions trigonométriques)
exemple 6.4.1
la fonctionest continue sur R
les asymptoteshorizontales et obliquessont sans intérêt lorsquel’étude porte sur [0,2π]
Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = 3x - 4 sin x + sin 2x surl’intervalle [0, 2π].____________
a) dom ƒ = [0, 2π],
b) ƒ est continue sur [0, 2π],
c) sans intérêt puisque l’étude porte seulement sur [0, 2π],
d) asymptote verticale: aucune puisque la fonction ne possède pas de point de discontinuité sur [0, 2π],
e) ƒ’(x) = (2 cos x - 1)2 = 0 si x = π/3, 5π/3
∃/ aucune valeur
⇒ n.c.: { π/3, 5π/3 }
ƒ’’(x) = 4 sin x (1 - 2 cos x) = 0 si x = 0, π/3, π, 5π/3, 2π ∃/ aucune valeur
⇒ n.t.: { 0, π/3, π, 5π/3, 2π }
f) tableau de variation de la fonction.
x 0 π/3 π 5π/3 2π ƒ ’(x) + 0 + + + 0 +
ƒ ’’(x) - 0 + 0 - 0 +
ƒ(x) 0 PI: (0,54) PI: (9,42) PI: (18,31) 18,85
Graphique de la fonctiony
xπ/3 2π/3 π 4π/3 5π/3
2
4
6
8
10
12
14
16
18
(π/3; 0,54)
(5π/3; 18,31)
(π; 9,42)(π; 9,42)
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-36
exemple 6.4.2 Un triangle a deux côtés de 4 cm de longueur.
a) Quelle doit être la mesure de l’angle θ déterminé par ces deux côtés pour que l’aire du triangle soit maximale?
b) Quelle est l’aire maximale?____________
• Représentation graphique et identification des variables.
h
4 cm
4 cm
θ
Soit
θ : l’angle (en radians) déterminé par les deux côtés de 4 cm,
h: la hauteur du triangle (en cm)
dans un triangle toutangle est compris entre
0° et 180°
• Quantité à optimiser.
Soit A l’aire du triangle: A = 4h2 = 2h.
Étant donné que sin θ = h4
alors h = 4 sin θ
et par conséquent A = 2(4 sin θ)
⇒ A = 8 sin θ
• Domaine et étude de continuité.
• dom A = ]0, π[ ,• A est continue sur ]0, π[ (sin θ est continue sur R).
• Extremums absolus.
A’ = 8 cos θ = 0 si θ = π/2
∃/ aucune valeur
⇒ n.c.: { π/2 }
θ 0 π/2 π
A’ + 0 -
A MAX ABSOLU (8)
0 0
• Réponse du problème.
L’aire maximale est 8 cm2 lorsque l’angle θ est 90°.
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-37
Exercices 6.4
1. Calculer la pente de la tangente à chacune des fonctions pour les valeurs suivantes:
x = 0 ; x = π2 ; x = -π
a) ƒ(x) = sin 3x
b) g(x) = cos
x
2
c) h(x) = cos 3x - 3 sin x.
2. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs de chacunedes fonctions sur l’intervalle indiqué.
a) ƒ(x) = - (sin x + cos x) sur ]0, 2π[
b) g(x) = sin2 x - cos x sur ]0, 2π[
c) h(x) = sin3 x + cos3 x
3 sur ]0, π[ .
3. Pour chacune des fonctions, déterminer sur l’intervalle indiqué:
• pour quelles valeurs la fonction est continue,• les asymptotes verticales de la fonction,• ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,• ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,• le tableau de variation de la fonction,• le graphique de la fonction.
a) ƒ(x) = sin x - x2 sur [0, 2π]
b) g(x) = x + cos x sur [0, 2π]
c) h(x) = 4 sin2 x sur [0, π]
4. L’équation s(t) = 10 sin( )5t - π4 décrit la position (en cm) d’une particule après t secondes
par rapport à un point fixe O.
a) Représenter graphiquement ce mouvement sur une période.
b) Déterminer la vitesse et l’accélération de la particule au temps t.
c) Quelle est la position, la vitesse et l’accélération initiale de la particule.
d) Est-ce que la particule se rapproche ou s’éloigne du point O au temps t = 0 ?
e) La particule accélère-t-elle ou décélère-t-elle au temps t = 0 ?
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-38
5. Après t secondes, la hauteur atteinte par un objet en mouvement oscillatoire est donnée parl’équation
y = a cos t + b sin t + 5 centimètres
Si au temps t = 0 s, la hauteur de l’objet est y = 6 cm et sa vitesse est v = 3 cm/s alors trouver
a) a et b,b) l’accélération initiale de l’objet.
6. Un golfeur frappe une balle avec une vitesse initialeVo = 30 m/s. En négligeant la résistance de l’air, la
portée R en mètres de la balle frappée à un angle θdu plan horizontal est donnée par
R = Vo
2 sin 2θ g où g = 9,8 m/s2
Rθ
a) Calculer la portée pour θ = 30° puis pour θ = 40°.
b) Déterminer l’angle θ pour lequel la portée R sera maximale.c) Si la balle est frappée par le golfeur avec l’angle obtenu en b), calculer la distance
horizontale R parcourue par celle-ci.
7. Soit un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 5 cm.
a) Déterminer la valeur de l’angle θ qui maximise l’aire du triangle.
b) Quelle est cette aire maximale?
θ
5 cm
8. Trouver la valeur de l’angle θ pour que l’aire du trapèze dela figure de droite soit maximale. Trouver cette airemaximale.
aire du trapèze = (grande base + petite base) hauteur
2
θθ
1 m
1 m1 m
9. Un poids suspendu à l’extrémité d’un ressort décritun mouvement de va-et-vient de telle façon que saposition y (en cm) par rapport à un point fixe Oaprès t secondes est représentée par le graphique ci-contre.
Au temps t = 5π18
secondes,
a) quelle est la position du poids ?b) quelle est la vitesse du poids ?c) quelle est l’accélération du poids ?d) le poids accélère ou décélère ?
y
t2π3
2
-2
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-39
Réponses aux exercices 6.4
1. a) 3 0 -3 b) 0 - √ 24
12
c) -3 3 3
2. a) croissante sur ]π/4, 5π/4[ c) croissante sur ]π/4, π/2[décroissante sur ]0, π/4[ ∪ ]5π/4, 2π[ décroissante sur ]0, π/4[ ∪ ]π/2, π[
minimum relatif (π/4, -√ 2) minimum relatif (π/4, √ 2/6)maximum relatif (5π/4, √ 2) maximum relatif (π/2, 1/3)
b) croissante sur ]0, 2π/3[ ∪ ]π, 4π/3[
décroissante sur ]2π/3, π[ ∪ ]4π/3, 2π[
minimum relatif (π, 1)maximums relatifs (2π/3, 5/4) , (4π/3, 5/4)
3. a) ƒ’(x) = cos x - 1/2 ; ƒ’’(x) = - sin x
y
xπ/3 π 5π/3
−1
−2
−3
(π/3; 0,34)
(π; −1,57)
(5π/3; −3,48)(5π/3; −3,48)
b)
(2π, -π)
ƒ’(x) = 1 - sin x ; ƒ’’(x) = - cos x
y
xπ/2 π 3π/2
1
3
5
7
(π/2; 1,57)
(3π/2; 4,71)
(2π; 7,28)
(0; 1)(0; 1)
c) ƒ’(x) = 8 sin x cos x ou 4 sin 2x ;ƒ’’(x) = 8(cos2 x - sin2 x) ou 8 cos 2x
y
xπ/4 π/2 3π/4
1
2
3
4(π/2; 4)
(π/4; 2) (3π/4; 2)(3π/4; 2)
6.4 applications (fonctions trigonométriques)
André Lévesque 6-40
4 a)
π/20 π/4 9π/20
10
-10
b) s(t) = 10 sin(5t - π/4) ; v(t) = 50 cos(5t - π/4) ; a(t) = -250 sin(5t - π/4)c) position initiale: -5√ 2 cm ; vitesse initiale: 25√ 2 cm/s ; accélération initiale: 125√ 2 cm/s2
d) se rapproche du point fixe O (car la position et la vitesse sont de signe contraire) e) accélère (car la vitesse et l’accélération initiale sont du même signe)
5. a) a = 1 et b = 3b) -1 cm/s2 (à ce moment la vitesse diminue et la hauteur augmente)
6. a) Lorsque l’angle est de 30°, la portée est 79,5 m,lorsque l’angle est de 40°, la portée est 90,4 m,
b) 45°c) 91,8 m
7. a) 45°b) 6,25 cm2
8. a) 60°
b) 3√ 34
m2
9. a) 1 cmb) -3√ 3 cm/sc) -9 cm/s2
d) il accélère puisque v et a sont de même signe
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-41
6.5 Rappel (fonctions trigonométriques inverses)
l’ensembledes solutions
de sin x = 1/2correspond à
{ π/6 + 2πn 5π/6 + 2πn
où n ∈ Z
la courbe en traitcontinu correspond au
graphique de la fonctionSin tandis que la courbe
en pointillés fait partiedu graphique de la
fonction sin
* une relation estbiunivoque si tout
élément du domaine estassocié à un et un seulélément de l’image etréciproquement tout
élément de l’image estassocié à un et un seul
élément du domaine
Il arrive souvent que l’on doive trouver la mesure d’un angle à partird’une équation trigonométrique. Par exemple sin x = 1/2 possèdeplusieurs solutions.
sin x = 1/2 ⇒ x → (√ 3/2, 1/2) ⇒ x = π/6
x → (-√ 3/2, 1/2) ⇒ x = 5π/6
Cette fonction étant périodique de période de 2π, les angles 13π/6,17π/6, ... ou -7π/6, -11π/6, ... sont autant de solutions possibles.
y
x−11π/6 −7π/6 π/6 5π/6
1/21/2
figure 6.5.1
En principe, ces fonctions ne peuvent pas avoir de réciproque qui soitfonctionnelle. En pratique toutefois on peut remédier à cet inconvénienten limitant leur domaine.
Soit Sin la fonction définie par l’équation.
y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2
y
xπ/2−π/2−π/2
figure 6.5.2
Ainsi définie cette fonction est biunivoque*. Par conséquent ellepossède une réciproque fonctionnelle que l’on appelle
Arc Sin ou Sin-1
Pour éviter toute confusion avec (sin x)-1 (l’inverse multiplicatif desin x), on utilisera la notation Arc Sin plutôt que Sin-1. Il en sera demême pour les autres fonctions trigonométriques.
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-42
définition 6.5.1
Arc Sin
La fonction Arc Sin est définie par l’équation
y = arcsin x ⇔ sin y = x
-π/2 ≤ y ≤ π/2
pourquoi utilise-t-on lenom Arc Sin ?
Quand on cherche à évaluer arcsin 1/2, on cherche à trouver lalongueur de l’arc d’un cercle de rayon unitaire dont le sinus vaut1/2. Puisque par définition la réponse doit se situer dans l’intervalle[-π/2, π/2], on obtient arcsin 1/2 = π/6. La longueur de l’arc de cercledemandée est donc π/6 ou 0,52.
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis,les comparer avec les points du graphique de la fonction Arc Sin.
on retient que la fonctionArc Sin
a pour domainel’intervalle [-1, 1]
et pour image,l’intervalle [-π/2, π/2](un angle de la région
hachurée)
x
1 π/2
3/2 (0.87) π/3
2/2 (0,71) π/4
1/2 π/6
0 0
-1/2 -π/6
- 2/2 (-0,71) -π/4
- 3/2 (-0,87) -π/3
-1 -π/2
arc sin x
y
x1−1
π/2
−π/2−π/2
• dom Arc Sin = [-1, 1]• ima Arc Sin = [-π/2, π/2]
exemple 6.5.1
Évaluer
a) sin(arcsin √ 2/2),b) arcsin(sin (-π/3)).
____________
a) sin(arcsin √ 2/2) = sin(π/4) = √ 2/2,b) arcsin(sin (-π/3)) = arcsin(-√ 3/2) = -π/3.
D’une façon générale
sin(arcsin x) = x si x ∈ [-1, 1] arcsin(sin y) = y si y ∈ [-π/2, π/2]
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-43
En procédant de la même façon définissons maintenant la fonctionArc Cos. Restreignons d’abord le domaine de la fonction cosinus defaçon à obtenir une fonction biunivoque. Soit Cos la fonctiondéfinie par l’équation y = cos x, 0 ≤ x ≤ π.
y
xππ/2
figure 6.5.3
La fonction Cos possède une réciproque fonctionnelle que l’onappelle
Arc Cos ou Cos-1
définition 6.5.2
Arc Cos
La fonction Arc Cos est définie par l’équation
y = arccos x ⇔ cos y = x
0 ≤ y ≤ π
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, lescomparer avec les points du graphique de la fonction Arc Cos.
on retient que la fonctionArc Cos
a pour domainel’intervalle [-1, 1]
et pour image,l’intervalle [0, π]
(un angle de la régionhachurée)
x arccos x
1 0
3/2 (0.87) π/6
2/2 (0,71) π/4
1/2 π/3
0 π/2
-1/2 2π/3
- 2/2 (-0,71) 3π/4
- 3/2 (-0,87) 5π/6
-1 π
y
x
π/2
π
1−1−1
• dom Arc Cos = [-1, 1]• ima Arc Cos = [0, π]
De plus on a
cos(arccos x) = x si x ∈ [-1, 1] arccos(cos y) = y si y ∈ [0, π]
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-44
La fonction Arc Tg est la réciproque de la fonction Tangente définiepar l’équation y = tg x, -π/2 < x < π/2 .
y
xπ/2−π/2−π/2
figure 6.5.4
La fonction Tg possède une réciproque fonctionnelle que l’onappelle
Arc Tg ou Tg-1
définition 6.5.3
Arc Tg
La fonction Arc Tg est définie par l’équation
y = arctg x ⇔ tg y = x
-π/2 < y < π/2
On peut vérifier les résultats qui figurent dans tableau du bas puis, lescomparer avec les points du graphique de la fonction Arc Tg.
on retient que la fonctionArc Tg
a pour domaine R
et pour image,l’intervalle ]-π/2, π/2[(un angle de la région
hachurée)
x arctg x
3 (1,73) π/3
1 π/4
1/ 3 (0,57) π/6
0 0
-1/ 3 (0,57) -π/6
-1 -π/4
- 3 (-1,73) -π/3
y
x
π/2
−π/2−π/2
• dom Arc Tg = R• ima Arc Tg = ]-π/2, π/2[
De plus on a
tg(arctg x) = x si x ∈ R arctg(tg y) = y si y ∈ ]-π/2, π/2[
Les trois dernières fonctions trigonométriques inverses sont définiesd’une façon analogue.
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-45
définition 6.5.4
Arc Cotg
La fonction Arc Cotg est définie par l’équation
y = arccotg x ⇔ cotg y = x
0 < y < π
on retient que la fonctionArc Cotg
a pour domaine R
et pour image,l’intervalle ]0, π[
(un angle de la régionhachurée)
y
x
π
π/2π/2
• dom Arc Cotg = R• ima Arc Cotg = ]0, π[
De plus on a
cotg(arccotg x) = x si x ∈ R arccotg(cotg y) = y si y ∈ ]0, π[
définition 6.5.5
Arc Sec
La fonction Arc Sec est définie par l’équation
y = arcsec x ⇔ sec y = x
-π ≤ y < -π/2 ou 0 ≤ y < π/2
on retient que lafonction Arc Seca pour domaine
]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
et pour image,
[-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[(un angle de la région
hachurée)
y
x1−1
π/2
−π/2
−π−π
• dom Arc Sec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
• ima Arc Sec = [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[
De plus on a
sec(arcsec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
arcsec(sec y) = y si y ∈ [-π, -π/2[ ∪ [0, π/2[
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-46
définition 6.5.6
Arc Cosec
La fonction Arc Cosec est définie par l’équation
y = arccosec x ⇔ cosec y = x
-π < y ≤ -π/2 ou 0 < y ≤ π/2
on retient que la fonctionArc Cosec
a pour domaine
]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
et pour image, l’intervalle
]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2](un angle de la région
hachurée)
y
x1−1
−π/2
π/2
−π−π
• dom Arc Cosec = ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[
• ima Arc Cosec = ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]
De plus on a
cosec(arccosec x) = x si x ∈ ]-∞, -1] ∪ [1, ∞[ arccosec(cosec y) = y si y ∈ ]-π, -π/2] ∪ ]0, π/2]
exemple 6.5.2
Évaluer (sans l’aide de votre calculatrice)
a) arccotg 1,
b) arccotg (-1),
c) arcsec √ 2,
d) arcsec (-√ 2),
e) arccosec 2,
f) arccosec (-2),
g) sin(arcsec (-1)),
h) cotg(arccotg 3),
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-47
L’évaluation des fonctions trigonométriques inverses s’effectuerapidement pour certaines valeurs de l’argument mais en général, ondoit utiliser une calculatrice. Les calculatrices scientifiques permettentl’évaluation des fonctions Arcsin, Arccos et Arctg. Pour les troisdernières fonctions on utilise les identités suivantes.
1) arccotg x = π2 - arctg x ∨– x ∈ R,
l’identité 2 est de loin laplus utile 2) arcsec x =
-arccos( )1
x si x ≤ -1
arccos( )1x
si x ≥ 1
3) arccosec x =
-arcsin( )1
x - π si x ≤ -1
arcsin( )1x
si x ≥ 1
exemple 6.5.3
À l’aide d’une calculatrice (en mode radians) vérifier les évaluationssuivantes.
a) arctg 3 = 1,25
b) arcsin 0,2 = 0,20
c) arcsec 1,5 = 0,84
d) arcsec (-4) = -1,82
e) Qu’arrive-t-il lorsqu’on tente d’évaluer arcsin 2 à l’aide d’une calculatrice? Pourquoi?
exemple 6.5.4 Résoudre les équations suivantes (utiliser une calculatrice)
a) 5 arcsin x = π
b) cos(3x - 1) = 0,25 (0 < 3x - 1 < π/2)
c) sin x - 2 cos x = 0 (0 < x < π/2)
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-48
exemple 6.5.5 Soit y ∈]0, π/2[ tel que y = arcsin(3/5), trouver sans l’aide d’unecalculatrice
a) sin y b) cos y c) tg y.____________
proposition 6.5.1
limite
Si limx→ a
ƒ(x) = b (a, b ∈ R_
) alors
a) limx→ a
arcsin ƒ(x) = arcsin[ ]limx→ a
ƒ(x) = arcsin b (-1 < b < 1)
b) limx→ a
arccos ƒ(x) = arccos[ ]limx→ a
ƒ(x) = arccos b (-1 < b < 1)
c) limx→ a
arctg ƒ(x) = arctg[ ]limx→ a
ƒ(x) = arctg b
d) limx→ a
arccotg ƒ(x) = arccotg[ ]limx→ a
ƒ(x) = arccotg b
e) limx→ a
arcsec ƒ(x) = arcsec[ ]limx→ a
ƒ(x) = arcsec b (b < -1, b > 1)
f) limx→ a
arccosec ƒ(x) = arccosec[ ]limx→ a
ƒ(x) = arccosec b (b < -1, b > 1)
exemple 6.5.6
prop. 6.5.1 b)
Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_
.____________
a) limx→ 0
arccos x = arccos
lim
x→ 0 x = arccos 0 =
π2
b) limx→ 1
arctg(3x2 - 4) =
c) limx→ 2π/3
arcsin(cos x) =
d) limx→ ∞
arccotg
1
x =
e) limx→ -2
arcsec
3x2 + 4x - 4
x2 + 8x + 12
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-49
cas d’exception
arcsin(±1), arccos(±1),arcsec(±1), arccosec(±1)
Si à la suite de l’évaluation d’une limite on obtient arcsin(±1),arccos(±1), arcsec(±1) ou arccosec(±1) on est alors confronté à unnouveau cas d’exception. Chacune de ces limites peut exister etcorrespondre à son image lorsque la fonction est définie près de lavaleur de l’argument. Autrement, elles n’existent pas.
• arcsin 1 = arcsin 1+ ∃/
arcsin 1- = π/2
• arccos 1 = arccos 1+ ∃/
arccos 1- = 0
• arcsec 1 = arcsec 1+ = 0
arcsec 1- ∃/
• arccosec 1 = arccosec 1+ = π/2
arccosec 1- ∃/
• arcsin -1 = arcsin -1+ = -π/2
arcsin -1- = ∃/
• arccos -1 = arccos -1+ = π
arccos -1- = ∃/
• arcsec -1 = arcsec -1+ ∃/
arcsec -1- = -π
• arccosec -1 = arccosec -1+ ∃/
arccosec -1- = -π/2
exemple 6.5.7 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R
_.
____________
a) limx→ π/2
arccos(sin x) = arccos
lim
x→ π/2 sin x
= arccos 1- (car sin x ≤ 1 ∨– x)
= arccos 1 = 0 (puisque -1 < 1-< 1)
b) limx→ 1-
arcsin x
1 - x =
c) limx→ 0
arccos(x2 - 1) =
d) limx→ -1
arcsec 2x =
les formes
arcsin(±∞), arccos(±∞),arctg(±∞), arccotg(±∞),
arcsec(±∞), arccosec(±∞)
À l’aide des graphiques des fonctions trigonométriques inverses onadmet sans peine que
• arcsin ∞ ∃/ • arccos ∞ ∃/ • arctg ∞ = π/2
• arcsin(-∞ ) ∃/ • arccos(-∞) ∃/ • arctg(-∞) = -π/2
• arccotg ∞ = 0 • arcsec ∞ = π/2 • arccosec ∞ = 0
• arccotg(-∞) = π • arcsec(-∞) = -π/2 • arccosec(-∞) = -π
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-50
exemple 6.5.8 Évaluer chacune des limites si elles existent dans R
_.
____________
a) limx→ ∞
1
arcsec(1 - x3) =
b) limx→ - ∞
arctg x
arccotg x =
proposition 6.5.2
continuité
Si g(x) est une fonction continue sur l’intervalle ouvert I alors
a) ƒ(x) = arcsin g(x) et ƒ(x) = arccos g(x) sont continues sur I pourvu que -1 < g(x) < 1 ∨– ∈ I,
b) ƒ(x) = arctg g(x) et ƒ(x) = arccotg g(x) sont continues sur I,
c) ƒ(x) = arcsec g(x) et ƒ(x) = arccosec g(x) sont continues sur I pourvu que g(x) > 1 ou g(x) < -1 ∨– ∈ I.
exemple 6.5.9 Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
____________
a) ƒ(x) = arccos x
x
b) g(x) = arctg x
arcsin x - arccos x
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-51
Exercices 6.5
1. Évaluer sans l’aide d’une calculatrice.
a) arcsin 0 i) arcsec(2√ 3/3)
b) arcsin(-1/2) j) arccosec(1/2)
c) arccos √ 3 k) arcsec(-2)
d) arccos(-√ 3/2) l) arccosec(-2√ 3/3)
e) arctg(√ 3/3) m) cotg(arcsec(-1))
f) arctg(-√ 3) n) sec(arctg 1)
g) arccos(-√ 2/2) o) sin(arcsin 1 - arccos(√ 3/2))
h) arccotg(-√ 3) p) arcsin(2 cos(2π/3))
2. Évaluer à l’aide d’une calculatrice.
a) arcsin(-0,6) d) arcsec(4/3)
b) arctg 5 e) arcsec(-π)
c) arccos √ 2 f) arccos(√ 5/2)
3. Soit 0 < θ < π2
a) Si θ = arcsin(1/3) alors trouver cos θ et tg θ.
b) Si θ = arcsec(√ 5/2) alors trouver sin θ et cotg θ.
c) Si θ = arccos 3x alors trouver sin θ et tg θ.
d) Si θ = arctg x2 alors trouver sec θ et sin θ.
(compléter ce numéro sans l’aide d’une calculatrice)
4. Résoudre sans l’aide d’une calculatrice.
a) 3 arcsin x = π/2 c) 2 sin(arcsin x) = 1/3
b) arctg(x - 1) = π/3 d) arctg(tg x2) = π/9
5. Résoudre à l’aide d’une calculatrice.
a) arccos 2x = 1/4 b) 3 tg x = √10 (0 < x < π/2)
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-52
6. Une échelle de 8 mètres est appuyée contre un mur. Si le piedde l’échelle est à 5 mètres du mur, trouver l’angle θ (en degrés)que fait le pied de l’échelle avec le sol.
8
5θ
7. Soit a et b des nombres positifs. Montrer que si arcsin a = arccos b alors a2 + b2 = 1.
8. Trouver la valeur de l’angle α
9. Évaluer les expressions suivantes provenant du calcul d’une limite.
a) arctg ∞ d) arctg (-1) g) arccos ∞ j) arcsec 1+
b) arccos 1+ e) arccotg(- ∞) h) 1/arccos 1-
c) arcsin 0 f) arcsec 1- i) arctg(- ∞)
10. Évaluer chacune des limites si elles existent dans R_
a) limx→ √ 3
arcsin(x/2) i) limx→ 1
arcsin(1/x)
b) limx→ 0+
arcsin x
ln x j) limx→ 1
arctg(ln x)
c) limx→ 1-
arccos x2 k) lim
x→ 2 arcsec(x - 1)
d) limx→ 2
arcsec x
π l) limx→ 3
x arcsin(x - 4)
e) limx→ 0
arctg(1/x) m) limx→ 0-
1arctg x
f) limx→ ∞
arcsec xarctg x n) lim
x→ -√ 3/2 arctg 2x
g) limx→ 1
x arctg(x - 2) o) limx→ -1/2
(arcsin x + arccos x)
h) limx→ - ∞
earccotg x p) limx→ ∞
arccos
x2 + 1
x3
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-53
11. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
a) ƒ(x) = (arctg x)3 - 1
b) ƒ(x) = arcsin x - √2x - 1
c) ƒ(x) = 1
arcsin x
d) ƒ(x) = ln(arccotg x)
e) ƒ(x) = √arctg x1 - arccos x
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-54
Réponses aux exercices 6.5
1. a) 0 i) π/6
b) -π/6 j) ∃/c) ∃/ k) -2π/3
d) 5π/6 l) -2π/3
e) π/6 m) ∃/f) -π/3 n) √ 2
g) 3π/4 o) √ 3/2
h) 5π/6 p) -π/2
2. a) -0,64 d) 0,72
b) 1,37 e) -1,89
c) ∃/ f) ∃/
3. a) cos θ = 2√ 2
3 et tg θ = √ 24
b) sin θ = √ 55 et cotg θ = 2
c) sin θ = √1 - 9x2 et tg θ = √1 - 9x2
3x
d) sec θ = √1 + x4 et sin θ = x2
√1 + x4
4. a)12 c)
16
b) 1 + √ 3 d) ± √ π3
5. a) 0,48 b) 0,81
6. 51,3°
7.
8. 42,22°
6.5 rappel (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-55
9. a) π/2 f) ∃/
b) ∃/ g) ∃/c) 0 h) ∞d) -π/4 i) -π/2
e) π j) 0
10. a) π/3 i) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: π/2)
b) 0 j) 0
c) 0 k) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: 0)
d) 1/3 l) ∃/ (à gauche: ∃/ ; à droite: -3π/2)
e) ∃/ (à gauche: -π/2 ; à droite: π/2) m) - ∞f) 1 n) -π/3
g) -π/4 o) π/2
h) eπ p) π/2
11. a) continue sur Rb) continue sur ]1/2, 1[
c) continue sur ]-1, 1[ \ { 0 }
d) continue sur Re) continue sur ]0, 1[ \ { 0,5403 }
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-56
6.6 Dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
proposition 6.6.1 ddx arcsin x =
1
√1 - x2
démonstration
puisquesin2 y + cos2 y = 1
alors
cos y = ± √1 - sin2 ymais cos y ≥ 0
lorsque y ∈ [-π/2, π/2],par conséquent
cos y = √1 - sin2 y
Par définition
y = arcsin x ⇔ sin y = x (-π/2 ≤ y ≤ π/2)
En dérivant implicitement l’équation de droite on obtient,
ddx sin y =
ddx x
cos y dydx = 1
dydx =
1cos y (-π/2 ≤ y ≤ π/2)
= 1
√1 - sin2 y
= 1
√1 - x2(car sin y = x)
proposition 6.6.2 ddx arccos x =
-1
√1 - x2
démonstration
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-57
proposition 6.6.3 ddx arctg x =
11 + x2
démonstration
proposition 6.6.4 ddx arccotg x =
-11 + x2
démonstration
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-58
proposition 6.6.5 ddx arcsec x =
1
x √x2 - 1
démonstration
proposition 6.6.6 ddx arccosec x =
-1
x √x2 - 1
démonstration
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-59
exemple 6.6.1Trouver
ddx
arcsin x
arccos x
____________
ddx
arcsin x
arccos x = arccos x
ddx arcsin x - arcsin x
ddx arccos x
(arccos x)2
=
arccos x
1
√1 - x2 - arcsin x
-1
√1 - x2
(arccos x)2
= arccos x + arcsin x
√1 - x2 (arccos x)2
exemple 6.6.2 Trouver d
dx x(arctg x)2
____________
rép: arctg x ( )arctg x + 2x
1 + x2
exemple 6.6.3 Trouver d
dx arcsin 5x
____________
rép: 5
√1 - 25x2
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-60
Pour obtenir la dérivée de y = arcsin ƒ(x) on décompose la fonction dela façon suivante.
y = arcsin u et u = ƒ(x)
Puis par la règle de dérivation en chaîne on obtient
dydx =
dydu . du
dx
= 1
√1 - u2 . d
dx ƒ(x)
= 1
√1 - ƒ(x)2 . d
dx ƒ(x)
On obtient de la même façon les formules générales des autresfonctions trigonométriques inverses.
règle 20d
dx arcsin ƒ(x) = 1
√1 - ƒ(x)2 . d
dx ƒ(x)
règle 21d
dx arccos ƒ(x) = -1
√1 - ƒ(x)2 . d
dx ƒ(x)
règle 22d
dx arctg ƒ(x) = 1
1 + ƒ(x)2 . ddx ƒ(x)
règle 23d
dx arccotg ƒ(x) = -1
1 + ƒ(x)2 . ddx ƒ(x)
règle 24d
dx arcsec ƒ(x) = 1
ƒ(x) √ƒ(x)2 - 1 . d
dx ƒ(x)
règle 25d
dx arccosec ƒ(x) = -1
ƒ(x) √ƒ(x)2 - 1 . d
dx ƒ(x)
exemple 6.6.4 Trouver d
dx arcsin √ x
____________
ddx arcsin √ x =
1
√1 - (√ x)2 . d
dx √ x
= 1
√1 - x . 1
2√ x
= 1
2√x(1 - x)
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-61
exemple 6.6.5 Trouver d
dx arcsec(e2x)
____________
rép: 2
√e4x - 1
exemple 6.6.6 Trouver ddt arccos( )1
3t (t < 0)
____________
rép: - 1
t√9t2 - 1
exemple 6.6.7 Trouver y’ si y = 2x(arccos 2x) - √1 - 4x2
____________
rép: 2 arccos 2x
exemple 6.6.8 Calculer la pente de la droite tangente à la fonction
ƒ(x) = (arcsin x)(arccos x)
lorsque x = -1/2.____________
rép: 5√ 3π
9
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-62
exemple 6.6.9
arcsin(-x) = -arcsin x
les asymptoteshorizontales et obliquessont sans intérêt car le
dom ƒ = [-1, 1]
seules les valeurs de xdans l’intervalle [0, 1]
sont considérées dans letableau de variation car
la fonction estsymétrique par rapport à
l’axe des y
Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = x(arcsin x) + √1 - x2 .____________
a) dom ƒ = [-1, 1]
b) ƒ est continue sur ]-1, 1[
c) ƒ(-x) = (-x)(arcsin(-x) + √1 - (-x)2
= x(arcsin x) + √1 - x2
= ƒ(x) (ƒ est symétrique par rapport à l’axe des y)
d) asymptote verticale: aucune car pour les deux points de discontinuité x = -1 et x = 1 on a
limx→ 1- x(arcsin x) + √1 - x2 =
π2 ; lim
x→ -1+ x(arcsin x) + √1 - x2 =
π2
e) ƒ’(x) = arcsin x + x
√1 - x2 -
2x
2√1 - x2
= arcsin x = 0 si x = 0
∃/ si x ≥ 1 ou x ≤ -1
⇒ n.c.: { -1, 0, 1}
ƒ’’(x) = 1
√1 - x2 =
0 aucune valeur
∃/ x ≥ 1 ou x ≤ -1
⇒ n.t.: { -1, 1 }
f) Tableau de variation de la fonction.x 0 1
ƒ ’(x) + ƒ ’’(x) +
ƒ(x)
1 π/2
Graphique de la fonction
y
x−1 1
2(1; π/2)(−1; π/2)
(0; 1)(0; 1)
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-63
exemple 6.6.10
Un ballon lâché au niveau d’un observateurs’élève à la vitesse de 5 m/s. Si l’observateurest placé à 50 m du ballon, trouver le taux devariation de l’angle d’élévation du ballon parrapport au temps lorsque celui-ci est à 30 m dusol.____________
θ
x
50 m
rép: 4,2°/s
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-64
Exercices 6.6
1. Trouver dydx
a) y = arcsin 3x l) y = a [ ]arcsec( )xa
(a < 0)
b) y = 2(arcsin √ x) m) y = arccotg(sin x)
c) y = arccos x2 n) y = arcsec 2x
arccosec 2x
d) y = arccos( )x2
o) y = arctg(tg x)
e) y = arctg 3x2 p) y = ln(arcsin 5x)2
f) y = arctg( )3x
q) y = x2 arccos( )2x
(x < 0)
g) y = arccosec √ x r) y = x(arccotg x) + ln√1 + x2
h) y = arccotg( )1 + x1 - x
s) y = x√4 - x2 + 4[ ]arcsin( )x2
i) y = (arcsec 2x)2 t) y = √x2 - 4x2 + 1
2 arcsec( )x
2
j) y = ( )arcsin √1 - x4
u) y = 1ab
arctg( )b tg xa
k) y = 1
arccosec x v) y = x[ ]arccosec( )1x
+ √1 - x2 (x > 0)
2. Trouver la pente de la droite tangente à chacune des fonctions au point indiqué.
a) ƒ(x) = arcsin x ; x = 0
b) g(x) = (arctg x)2 ; x = -1
c) h(x) = x(arccos x) ; x = 1/2
3. Trouver dydx implicitement si ln(x2 + y2) = arctg( )x
y .
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-65
4. Trouver les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les extremums relatifs dechacune des fonctions.
a) ƒ(x) = arctg(x3 - 12x) b) g(x) = arccotg x2
5. Trouver x qui maximise θ si
θ = arctg( )2x
- arctg( )1x
(x > 0)
6. Soit ƒ(x) = x + 3 cos x. Trouver le maximum absolu et le minimum absolu de cette fonctionsur [0, π/2]. (Utiliser une calculatrice pour résoudre ce problème.)
7. Le sommet d’une échelle de 15 m glisse vers le bas d’un mur àraison de 3 m/s. Calculer le taux de variation par rapport autemps de l’angle que fait l’échelle avec le mur lorsque celle-ci està une hauteur de 9 m.
x 15 m
θ
8. Un observateur regarde un oiseau à 8 m d’altitude. L’oiseaus’éloigne à une vitesse de 1 m/s. Quel est le taux de variation parrapport au temps de l’angle que fait le segment qui reliel’observateur à l’oiseau et le sol lorsque la distance qui séparel’observateur à l’oiseau est de 10 m.
x8 m
θ
9. Tracer le graphique de chacune des fonctions en indiquant
• pour quelles valeurs la fonction est continue,• si la fonction est paire, impaire ou ni paire, ni impaire,• les asymptotes verticales de la fonction,• ƒ’(x) et les nombres critiques de la fonction,• ƒ’’(x) et les nombres de transition de la fonction,• le tableau de variation de la fonction,• le graphique de la fonction.
a) ƒ(x) = arcsin x - 3(arccos x) b) g(x) = arctg x - x2
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-66
Réponses aux exercices 6.6
1. a)3
√1 - 9x2l)
-a2
x √x2 - a2
b)1
√ x √1 - xm)
-cos x1 + sin2 x
c)-2x
√1 - x4n)
arccosec 2x + arcsec 2x
x √4x2 - 1 (arccosec 2x)2
d)-1
√4 - x2o) 1
e)6x
1 + 9x4 p)10
√1 - 25x2 arcsin 5x
f)-3
x2 + 9q)
-2x
√x2 - 4 + 2x[ ]arccos( )2
x
g)-1
2x√x - 1r) arccotg x
h)-1
1 + x2 s) 2 √4 - x2
i)2(arcsec 2x)
x √4x2 - 1t)
8
x3 √x2 - 4
j)-2( )arcsin√1 - x 3
√ x √1 - xu)
sec2 xa2 + b2 tg2 x
k)1
x √x2 - 1 (arccosec x)2v) arccosec( )1
x
2. a) 1 c)π3 -
1
√ 3 =
π - √ 33
b) - π4
3.y - 2x2y + x
6.6 dérivée et applications (fonctions trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-67
4. a) croissante sur ]-∞, -2[ ∪ ]2, ∞[décroissante sur ]-2, 2[min. rel. au point: (2; arctg -16)max. rel. au point: (-2; arctg 16)
b) croissante sur ]-∞, 0[décroissante sur ]0, ∞[min. rel. au point: aucunmax. rel. au point: (0; π/2)
5. √ 2
6. max. abs. au point: (0,34; 3,17)min. abs. au point: (1,57; 1,57)
7. 14,3°/s (l’angle augmente de 14,3° par seconde)
8. -7,6°/s (l’angle diminue de 7,6° par seconde)
9. a)ƒ’(x) =
4
√1 - x2 ; ƒ’’(x) =
4x
√(1 - x2)3
y
x−1 1
−π
−2π
−3π
(0; −3π/2)
(1; π/2)
(−1; −7π/2)(−1; −7π/2)
b)ƒ’(x) =
(1 - x)(1 + x)2(1 + x2)
; ƒ’’(x) = -2x
(1 + x2)2
y
x
(1; (−2+π)/4)
(−1; (2−π)/4)
(0; 0)(0; 0)
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-68
Exercices de révision
1. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_
.
a) limx→ 0- cosec x d) lim
x→ 0
1 - cos xx2
b) limx→ 0
sec x
1 - cos2 xe) lim
x→ 0
3x2 - 4x(sin x)(cos x)
c) limx→ 0
x + 2 sin x
x f) limx→ ∞
2x - sin xcos x - 3x
2. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur ]0, 2π[.
a) ƒ(x) = tg x - cotg x b) g(x) = 1
√sin x + 2
3. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.
a) y = sin x
2 + cos x e) y = x√cotg x2
b) y = 2 cosec3 √ x f) y = ln3(sin2 x)
c) y = sin5 x
5 - 2 sin3 x
3 + sin x g) y = tg2 3x
6 + ln(cos 3x)
3
d) y = sec3 2x - 3 sec 2x h) y = ex (sin 2x - 2 cos 2x)
4. Trouver d2ydx2 si y = cosec 3x.
5. Trouver dy
dx x = π/6
si y = tg3 2x
6. Utiliser la dérivée logarithmique pour obtenir dydx
a) y = sin x √1 + cos2 x
tg3 xb) y = (sin x)sin x (sin x > 0)
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-69
7. Trouver les extremums relatifs de
y = 2 sin x - cos 2x sur ]0, 2π[.
8. Tracer le graphique de la fonction
ƒ(x) = 8 cos x - 2 cos 2x sur [0, 2π]
si ƒ’(x) = 8(sin x)(cos x - 1)
ƒ’’(x) = 8(2 cos x + 1)(cos x - 1)
9. Évaluer les limites suivantes si elles existent dans R_
.
a) limx→ 0
√arctg(cos x) c) limx→ 1- arcsin( )1 + √1 - x2
b) limx→ 1- (arcsin x - arccos x) d) lim
x→ - ∞
arctg xarccotg x
10. Étudier la continuité de chacune des fonctions sur R.
a) ƒ(x) = arccos xarcsin x b) g(x) =
arctg x6 arccotg x - π
11. Trouver la dérivée de chacune des fonctions.
a) y = (arcsin x)(arccos x) d) y = arcsec√x2 + 1 (x < 0)
b) y = (arctg 2x)3 e) y = earcsin 3x
c) y = arcsin( )t - 1t + 1
(t > 0) f) y = x(arccotg x) + ln√1 + x2
12. La base d’un triangle rectangle est de 20 cm. Si la hauteur dutriangle augmente à raison de 5 cm par minute, à quelle vitesseaugmente l’angle opposé à la hauteur lorsque le triangle est isocèle.
20 cmθ
13. Tracer le graphique de la fonction ƒ(x) = arccotg(sin x) sur [0, 2π]
si ƒ’(x) = -cos x
1 + sin2 x
ƒ’’(x) = (sin x)(2 + cos2 x)
(1 + sin2 x)2
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-70
Réponses aux exercices de révision
1. a) -∞ d) 1/2
b) ∞ e) -4
c) 3 f) -2/3
2. a) continue sur ]0, 2π[ \ { π/2, π, 3π/2 }b) continue sur ]0, 2π[
3. a)2 cos x + 1
(2 + cos x)2 e)cotg x2 - x2(cosec2 x2)
√cotg x2
b)-3( )cosec3 √ x ( )cotg √ x
√ xf) 6 cotg x ln2(sin2 x)
c) cos5 x g) tg3 3x
d) 6(tg3 2x)(sec 2x) h) 5 ex sin 2x
4. 9(cosec 3x)(cotg2 3x + cosec2 3x)
5. 72
6. a)sin x √1 + cos2 x
tg3 x
ctg x -
(sin x)(cos x)1 + cos2 x
- 3 sec2 x
tg x
b) (sin x)sin x cos x (ln(sin x) + 1)
7. MIN REL: (7π/6, -3/2), (11π/6, -3/2)MAX REL: (π/2, 3), (3π/2, -1)
8. y
x
(4π/3; −3)
(π; −10)
(2π/3; −3)
ππ
(2π; 6)
6. exercices de révision (fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses)
André Lévesque 6-71
9. a) √ π2 c) ∃/
b)π2 d) -
12
10. a) continue sur ]-1, 1[ sauf { 0 } b) continue sur R sauf { √ 3 }
11. a)arccos x - arcsin x
√1 - x2d)
-1x2 + 1
b)6(arctg 2x)2
1 + 4x2 e)3 earcsin 3x
√1 - 9x2
c)1
(t + 1)√ tf) arccotg x
12. 7,16°/min (l’angle augmente de 7,16° par minute)
13. y
xπ/2 π 3π/2
π/4
π/2
3π/4
(π/2; π/4)
(3π/2; 3π/4)
(π; π/2)(0; π/2)(2π; π/2)(2π; π/2)