Fondamenti di Elettromagnetismo

Prof. Marco Farina

Dipartimento di Bioingegneria, Elettronica e Telecomunicazioni

Modalità EsamiProva scritta

“Auto-correzione”

Prova orale

Testi consigliati

R. Feynman, La Fisica di Feynman, vol 2: Elettromagnetismo e Materia, Zanichelli

Ramo-Whinnery-Van Duzer: Campi e Onde nell’elettronica delle Telecomunicazioni

Halliday-Resnick, Fondamenti di FisicaSchaum 48: Elettromagnetismo, McGraw Hill

Un po’ di storia...

William Gilbert (1544-1603): “De Magnete”; la ‘terrella’; distinzione fenomeni elettrici e magnetici; Otto Von Guericke (1602-1686): ingegnere; studi sul vuoto; primo “generatore” con sfera di zolfo Stephen Gray (1666-1736): conduttori ed isolanti Charles Dufay (1698-1739): chimico; elettricità “vetrosa” e “resinosa” Pieter Van Musschenbroek (1692-1761) di Leida: fisico; il primo condensatore John Canton (1718-1772): induzione elettrica Benjamin Franklin (1706-1790): tipografo, giornalista, inventore, politico… Conservazione della carica, proprietà dei corpi appuntiti Charles Augustine de Coulomb (1736-1806): ingegnere; legge quantitativa

Un po’ di storia... Henry Cavendish (1731-1810): più famoso per contributi in chimica; analogo di Coulomb, e studi su capacità di condensatori di forme diverse (definizione di capacità) Joseph Louis Lagrange (1736-1813): il concetto di potenziale Pierre Simon De Laplace (1749-1827) Siméon Denis Poisson (1781-1840) George Green (1793-1841) Carl Friederich Gauss (1777-1875) Alessandro Volta (1745-1827): elettroforo, elettrometro, eudiometro, pila… Hans Christian Oersted (1777-1851): effetti magnetici delle correnti André-Marie Ampère (1775-1836): leggi dell’azione meccanica tra correnti elettriche Michael Faraday (1791-1867): attività colossale (leghe dell’acciaio, rotazioni elettromagnetiche, liquefazione dei gas, vetri ottici, scoperta del benzene, induzione elettromagnetica,

decomposizione elettrochimica, scariche nei gas, benzene, elettricità e magnetismo, diamagnetismo…. Il più grande fisico sperimentale del XIX secolo

Un po’ di storia... James Clerk Maxwell (1831-1879):teoria dell’elettromagnetismo

(“Treatise on electricity and Magnetism”), termodinamica e meccanica statistica. Maxwell intuì che la luce era una manifestazione del campo elettromagneticoDa una lettera di Faraday a Maxwell nel 1857: “...C’è qualcosa che mi piacerebbe chiederle. Quando un matematico impegnato sulla ricerca delle azioni e sugli effetti fisici è giunto alle sue conclusioni, non è possibile che queste ultime siano esposte nel linguaggio di tutti i giorni, con la pienezza, chiarezza e precisione che esse hanno nelle formule matematiche? E, in caso affermativo, il farlo non sarebbe un gran dono verso uno come me? Tradurle dal linguaggio dei geroglifici in cui sono espresse, così che anche uno come me vi possa lavorar su per mezzo di esperimenti….”

Heinrich Hertz (1857-1894):Generazione/rivelazione onde EM: prove della teoria di Maxwell

Struttura dell’atomoNegli anni ‘30 J.J. Thomson, Ernest Rutherford, Niels Bohr e James Chadwick sviluppano il modello di tipo “planetario”, con un nucleo di protoni e neutroni circondato di una nube di elettroni

Z = numero atomico A = numero di massa

Nel Nucleo:Z protoniA – Z neutroni

Z elettroni esterni

10-10 m

10-15 m

Struttura dell’atomo…non prendete troppo sul serio l’idea planetaria...

…nessuna possibilità di trovarci sopra dei lillipuziani ...Del resto: perché un elettrone non cade nel nucleo?

Non c’è spiegazione nella meccanica classicaLa spiegazione è nel “principio di indeterminazione” della meccanica quantistica, che stabilisce che alcune quantità (coniugate) non sono misurabili simultaneamente con precisione arbitraria; l’incertezza nella misura di grandezze coniugate è tale che il loro prodotto non può essere migliore di una costante (legata alla costante di Plank)

hxp (a meno di qualche fattore 2 e …)

Se elettrone e protone in un atomo di idrogeno finissero l’un l’altro, la quantità di moto tenderebbe a crescere fino ad infinito: il raggio dell’idrogeno è un compromesso tra la forza attrattiva e l’energia cinetica imposta dal principio di indeterminazione

Struttura dell’atomosupponete che a sia il “raggio” dell’atomola quantità di moto sarebbe dell’ordine

e l’energia cinetica

La forza elettrica attrattiva (lo vedremo più in là oggi) darà all’elettrone un’energia potenziale

ahp /mahmpEc 2/2/ 22

aqEp 02 4/

L’energia totale è la somma dei due: vediamo a che distanza a l’energia è minimizzata

20

232 4//0 aqmahda

dE 1010528.0 a

raggio di Bohr….

Struttura dell’atomoNegli anni ‘50 Reines e Cowan dimostrano l’esistenza di un ulteriore tipo di particella, predetta da Wolfgang Pauli negli anni 30: il Neutrino

Alla fine degli anni ‘30 nei raggi cosmici si identifica un cugino pesante dell’elettrone, il Muone (200 volte più pesante, per il resto identico all’elettrone) e più tardi, negli accelleratore di particelle, un altro cugino, Tau

Nelle collisioni ad altissime energie, volte riprodurre condizioni successive al Big Bang, si identificano due parenti del neutrino, denominati muon-neutrino e tau-neutrinoNeutrini, muoni e tau non sono costituenti della materia, e quelli ottenuti negli accelleratori sono di solito particelle effimere.

Struttura dell’atomoNel ‘68 a Stanford si scopre che protoni e neutroni NON sono fondamentali: essi sono composti da combinazioni di QUARK (QUestion mARK) denominati SU e GIU’ (Up/Down), che hanno carica elettrica +2/3 e -1/3 rispetto alla carica dell’elettrone rispettivamente

ci sono 2 UP ed 1 Down in un protone e viceversa in un neutrone

Particelle non elementari composte da combinazioni di Quark vengono anche definiti Adroni, che si distinguono dai Leptoni (elettrone, muone, tau) che non hanno altri costituenti e non sono sensibili alla Forza Forte

“Zoologia” delle particelle

Particella Massa Particella Massa Particella Massa

Elettrone .00054 Muone .11 Tau 1.9

Neutrinoelettronico

<10-8 Neutrinomuonico

<.0003 NeutrinoTau

<.033

Quark up .0047 Quarkcharm

1.6 Quark top 189

Quarkdown

.0074 Quarkstrange

.16 Quarkbottom

5.2

Particelle elementari (Fermioni)

+antiparticelle (identiche con carica opposta)

Combinazioni di Quark danno origine a:

- Barioni, composti da 3 quark (come neutrone e protone)

- Barioni esotici (4, 5 quark)

- Mesoni (quark+anti-quark): pioni, kaoni…..

“Zoologia” delle particelle

Per una lista aggiornata ad oggi:

http://pdg.lbl.gov/2004/listings/bxxxcomb.html

Le Forze

Ad oggi tutte le interazioni sembrano ricondursi a 4 forze fondamentali Interazione Elettromagnetica Interazione Gravitazionale Interazione Nucleare Forte Interazione Nucleare Debole

Le Forze e i quanti

“C’era un tempo in cui i giornali scrivevano che solo 20 persone avevano capito la teoria della relatività. Non credo che tale tempo sia mai esistito. Potrebbe essere esistito un tempo in cui un solo uomo l’aveva capita perché l’unico a concepirla, prima di scrivere il suo articolo. Ma dopo aver letto l’articolo molti capirono la teoria della relatività, in un modo o nell’altro, sicuramente più di venti. D’altro canto posso affermare con sicurezza che nessuno capisce la meccanica quantistica”

Richard Feynman

Il paradosso alla fine del 1800 Data una cavità metallica, si valutano le soluzioni

dell’insieme equazioni di Maxwell+condizioni al contorno Si verifica che solo un numero discreto di “modi” sono

possibili, ovvero onde che hanno in ciascuna direzione un numero d’onda pari ad un multiplo discreto di /L, se L è la dimensione in tale direzione della cavità

Tuttavia il numero di modi possibili, sebbene discreto, è infinito L’uso della termodinamica classica (Rayleigh e Jeans) portava a

prevedere che, ad una data temperatura, tutti i modi venissero eccitati con la stessa ampiezza: l’energia totale del sistema (integrale su tutti i modi)=infinito!

L’ipotesi di Planck

Energia fornita per pacchetti interi (quanti) L’energia minima di un’onda è proporzionale

alla frequenza dell’onda stessa

Nella cavità alcuni modi avranno minima energia associata (il pacchetto più piccolo) troppo elevata per essere eccitati: ad una data temperatura solo un numero finito di modi è eccitato!

L’ipotesi di Planck: applicazione alla radiazione di corpo nero

Occorreva solo stabilire sperimentalmente la costante di proporzionalità: la costante di Planck: h ~ 6.6 10-34 Js

Con l’aggiustamento di un solo parametro si aveva un accordo perfetto con l’esperimento: premio Nobel 1918

Legge di PlanckLegge di Rayleigh-Jeans

Effetto Fotoelettrico Un metallo colpito da luce, può emettere elettroni Se si aumenta l’intensità della luce, non aumenta

l’energia cinetica degli elettroni, ma il numero di elettroni emessi

Se si aumenta la frequenza della luce incidente, aumenta l’energia cinetica degli elettroni

Spiegazione (Einstein; 1905): la luce ha natura corpuscolare (fotoni) che hanno energia E=h f

Quindi corpuscoli o onde ?

Credits:Dr. Tonomura

Come reinterpretare i fenomeni luminosi in termini corpuscolari: Feynman

http://vega.org.uk/video/subseries/8

Tornando alle interazioniI fotoni sono i quanti o i “mediatori” (particelle) delle forze elettriche (elettromagnetiche); quali per le altre forze?

Interazione Particella(Bosoni)

Massa

Nucleare Forte Gluone (8possibili stati)

0

Elettromagnetica Fotone 0

Nucleare Debole Bosoni W e Z 86,97

Gravitazionale Gravitone (?)mai osservato

0

Il nostro corso

Esistono fattori comuni? Molti fisici teorici sono alla ricerca di una TOE (Theory Of Everything)

cercando una spiegazione comune a tanta varietà di particelle

Apparentemente gravità e le altre interazioni sottostanno a leggi inconciliabili (relatività generale e meccanica quantistica)

Le due teorie più promettenti sono quelle dei Twistors (Roger Penrose, 1970) e quella delle Stringhe (1968-1970 circa)

Nel 2003 Edward Witten ha collegato le due teorie, e in gennaio 2005, ad Oxford, la prima conferenza dedicata alla convergenza delle due teorie…

Morale: Non tutto ciò che studiate è assodato, statico, immutabile! Da ingegneri, applicherete concetti che sono consolidati da un punto di vista operativo; concetti classici (equazioni di Maxwell) o quantistici (dispositivi, laser); senso critico!

Carica elettrica La carica elettrica (q) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza

(interazione) elettromagnetica, così come la massa (o carica) gravitazionale (m) è la proprietà delle particelle sensibili alla forza gravitazionale)

La carica di una particella non dipende dal suo stato di moto: essa è uno scalare invariante, indipendente dal sistema di riferimento in cui viene misurata (principio di invarianza della carica elettrica)

La carica elettrica elementare è quella dell’elettrone (e): scoperta da JJ Thomson nel 1897, fu misurata da R. Millikan tra il 1909 e il 1917

e (1.60217733 0.000 000 49) 10 19 coulomb(C)

Quantizzazione della carica La carica elettrica osservata sperimentalmente è sempre un

multiplo intero (positivo o negativo) di e

I quark (carica frazionaria) non compaiono mai da soli (principio di schiavitù asintotica) ma in combinazioni che consentono di non violare tale regola

Q e,2e,3e,.... .,ne,.. ...

Neutralità della carica

In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche è costante Benjamin Franklin [1706-1790]

La materia è macroscopicamente neutraA livello atomico le forze di attrazione tra cariche opposte sono formidabili

Quantificazione interazione tra caricheCharles Augustin de Coulomb [1736-1806]

Legge di Coulomb (1785)

rr

qquF

221

04

1

q1

q2r

ur

rr

ru

rF

321

04

1

r

qq

Nel vuoto

Legge di Coulomb

q1

q2

r-r’

O

r

r’

)'('4

13

21

0

rrF

rr

qq

Se l’origine non coincide con una delle due particelle

212120 mNC10854.8

Nota: permettività o permeabilità elettrica nel vuoto

Ma quanto è “vigorosa” la forza elettrica? Confrontiamo l’attrazione gravitazionale (terra su protone) e quella

elettrica di due protoni a 10000km di distanza, sapendo che la massa di un protone (vedi tabella)

Particella Simbolo Massa (kg) Carica (e)

elettrone e me= 9.109110-31 - e

protone p mp= 1.672510-27 +e

neutrone n mn= 1.674810-27 0

mp/me= 1836 mn/mp= 1.0014

Incredibilmente più forte della gravità

Il rapporto Fe/Fp è di circa 84 milioni!!

NgmFpeso3108.9

Nr

qqF ticaelettrosta 824600

4

12

21

0

Facciamo qualche conto In una monetina rame (PA=63.546) da 1cent, dal peso di 2 g, ci sono

(considerando per semplicità un elettrone di conduzione per ogni atomo) 6.02 X 1023 2/63.546 cioé circa 2 1022 elettroni liberi di muoversi, pari a circa -3200 C

6.02 X 1023 è Numero di Avogadro, chiamato così in onore di Amedeo Avogadro e denotato dal simbolo NA, è il numero di elementi contenuti in una mole.

Mole: quantità in grammi pari al peso molecolare

Una variazione del 1 per 1000 della carica libera porterebbe due monetine a 10 km di distanza ad attrarsi o respingersi con una forza di 100.000 N!

Pensate ad una forza simile alla gravitazione […] ma che sia all’incirca un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte più forte.[…] tutta la materia è una miscela di protoni positivi ed elettroni negativi che si attirano e si respingono con questa gran forza. Tuttavia la compensazione è così perfetta che stando accanto ad un’altra persona voi non risentite alcuna forza. Eppure se ci fosse anche un piccolo difetto nella composizione ve ne accorgereste subito. Se vi trovaste ad un metro di distanza da un altro ed ambedue aveste l’un per cento di elettroni in più che di protoni, la forza di repulsione sarebbe incredibile. Quanto grande? Sufficiente per sollevare l’Empire State Building? No! Per sollevare il monte Everest? No! La repulsione sarebbe abbastanza grande per sollevare un “peso” uguale a quello della Terra!Richard P. Feynman

EsercizioDue cariche puntiformi q1 (50 C) e q2 (10 C) sono poste

rispettivamente nei punti di coordinate P1 (-1, 1, -3) m e P2 (3, 1, 0) m. Trovare la forza su q1

q1

q2r-r’

O

r

r’

mr

mr

m

r )6.0,0,8.0(/

5

3,0,4

1212

1212

212

ru

r

PPr 1

Nr

qq18.0

4

12

21

0

F

Nr 108.00144.0 uFF

Forze in un sistema di caricheSovrapposizione degli effetti

+

+

+

+

q

q1

q2

q3

q4

F1

F 2 F 3

F 4

F

q=

F F1 F 2 F3 F4

rN

N

N

rrr

qq

r

qq

r

qquuuF

20

22

2

2

0

12

1

1

0 4

1...

4

1

4

1

rii i

i

r

qquF

2

04

EsercizioCalcolare la forza sulla carica Qo=100 mC posta sull’asse z a 3 m dall’origine se quattro cariche Q= 20 mC sono disposte simmetricamente sugli assi x ed y a 4 m dall’origine

y

x

z

Qo

Py1

Py2

Px1

Px2

P

Consideriamo la forza dovuta a Py1= 4m

mr

mr

m

yyy

yy

yy

)6.08.00(/

5

340

111

11

11

ru

r

PPr

Nr

QQy

y

oyyy 431.0575.00

412

10

111 uuFF

Esercizio (cont.)La forza ha direzione positiva in z e negativa in y. Se una carica identica è posta simmetricamente sull’asse y, la forza prodotta avrà la stessa ampiezza, ma punterà verso y positive

y

x

z

Qo

Py1

Py2

Px1

Px2

P

Quindi le componenti in y si elidono. Lo stesso vale per le cariche sull’assex: l’unica componente restantesarà quella lungo z, e di ampiezzaquadrupla rispetto a quella calcolata

Nr

QQz

y

oztottot 726.100

2

10

uuFF

Distribuzioni continue di caricaIl numero di cariche solitamente coinvolte nei fenomeni elettromagnetici è così alto che ha senso considerare campi generati da distribuzioni continue

La forza su q0 dovuta all’elemento infinitesimo di carica dq vale

q0

dqr-r’

O

r

r’3

0

0'4

')(

rr

rrrF

dqq

Densità di carica in un volume

Carica totale distribuita nel volume V

dV

Volume V

dq

Carica Q

dqdV

Q dVV

dq = (r’) dV’

V

dVq3

0

0'4

'')'()(

rr

rrrrF

Integrale di difficoltà enorme!

Densità Superficiale di caricaDensità superficiale di carica

Carica Q

Superficie S

dS dq

dqdS

Q dSS

Carica totale sulla superficie

S

dSq3

0

0'4

'')'()(

rr

rrrrF

Densità Lineare di caricaDensità lineare di carica

Carica totale sul filo

l

dlq3

0

0'4

'')'()(

rr

rrrrF

aa

dl

linea l

dq

Carica Q

l

q

d

d

Q dll

Esercizio Determinare la forza su una carica puntiforme Q1=50mC posta in P, a 5 m sull’asse z, dovuta ad un disco uniformemente carico, con carica Q=500 mC e raggio 5 m

F

d

ddrrdQ s

d

drp

Calcoliamo la densità superficiale di carica

2

2/20 mC

R

Qs

Calcoliamo la distanza da un elemento di carica in coordinate cilindriche (r, , z)

22

000

dr

drr

p

p

r

Pr

EsercizioF

d

ddrrdQ s

d

drp

L’elemento di superficie è

drdrds

Ed il contributo alla forza dell’elemento di superficie carico è

30

1

4p

pdsQd

r

rF

La sovrapposizione (integrale di superficie) degli effetti di tutti gli elementi restituisce la forza cercata: nessuna componente radiale

zzp

R

s

R

p

p

s

dr

drdrQ

drdrQ

uur

rr

F

2

0 0 2

322

0

1

2

0 0

3

0

1

)(4

4

EsercizioF

d

ddrrdQ s

d

drp

zzs

z

R

s

NddR

dQ

ddr

dQ

uu

u

54.1611

2

4

220

1

2

0 022

0

1

Risolviamo l’integrale:

Intensità del campo elettrico

q

FE

rr

QuE

204

1

Nel vuoto

E E

Linee di Campo

+

F qE

q

+q

F qE

Campo Elettrico sull’asse di un disco carico

zs

ddRd

QuF

11

2 220

1

Avevamo ottenuto:

Per cui:

zs

ddRd uE

11

2 220

Quando d=0 zs uE

02

Campo Elettrico sull’asse di un disco carico

zs

dR

duE

1

2 220

Quando d>>R

Casi Limite

zs

d

Ru

1

21

1

22

20

2

2

2

2

0

21

22

d

Rd

R

s

12

2

2

2

0

d

R

s

2

2

0

2

22 d

RR

Q

204 d

Q

Come per una carica

puntiforme

Campo Elettrico sull’asse di un disco carico

zs

dR

duE

1

2 220

Quando R molto grande

Casi Limite (cont)

zs u

02

Piano infinito