MATEMATICHE COMPLEMENTARI

FONDAMENTI, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA

Direttori

Luigi MUniversità della Calabria

Comitato scientifico

Aldo BUniversità degli Studi di Palermo

Luca D’AUniversità della Calabria

Massimo GUniversità degli Studi di Milano

Emilia FUniversità della Calabria

MATEMATICHE COMPLEMENTARI

FONDAMENTI, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA

La matematica altri non è che il lato esatto del nostro pensiero.

Luitzen Egbertus Jan B

La collana accoglie studi e ricerche che riguardano i fondamenti, lastoria e la didattica della matematica. Essa è rivolta a coloro che vo-gliono approfondire un aspetto culturale o l’altro dello sviluppo dellamatematica nel corso dei secoli, la sua trasmissione da una genera-zione all’altra, la sua struttura scientifica, la sua proposta didattica(senza trascurare lo sviluppo di metodi e di tecnologie innovative),coniugando insieme aspetti elementari e superiori.

Eugenio Biasin

Slowmath

Guida alla matematica non competitiva

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I edizione: giugno

Indice

Introduzione

Parte IParole, immagini e protagonisti della matematica

Capitolo IInteressanti saggi

.. Biografie, – .. Problemi, – .. Argomenti, – .. Riflessio-ni, .

Capitolo IIPiacevoli romanzi

.. Ossessioni, – .. Vite, – .. Storia, – .. Filosofia, –.. Delitti, – .. Fantascienza , – .. Enigmi , .

Capitolo IIIDivertenti fumetti

.. Graphic novel, – .. Comics & Science, – .. Savoir sansFrontières, – .. Simpson, .

Capitolo IVCoinvolgenti pellicole

.. Follia, – .. Riscatto, – .. Dramma, – .. E. . . , .

Capitolo VSecolari congressi

.. Congressi internazionali, – .. Medaglie Fields, – .. Nuovipremi, – .. Congresso di Seoul, .

Indice

Parte IIForme, numeri e idee

Capitolo ILa sorprendente relazione di Eulero

.. Il Teorema di Eulero, – .. I poliedri regolari, – .. Il Teoremadi Cartesio, – .. I poliedri inesistenti, .

Capitolo IILa misteriosa quarta dimensione

.. L’ipercubo , – .. I Politopi quadridimensionali, – .. L’iper-sfera, – .. Mister politopo, .

Capitolo IIILe meravigliose Coxeter–azioni di Escher

.. Il modello di Poincaré, – .. Le tassellazioni, – .. Il limite delcerchio, – .. Chi era Escher, .

Capitolo IVGli intriganti segreti della moderna crittografia

.. La congruenza modulo n, – .. La funzione indicatrice , –.. L’algoritmo , – .. L’origine e la sicurezza di , .

Capitolo VL’inattesa incompletezza della matematica

.. L’innesco, – .. Il programma di Hilbert, – .. La teoria delladimostrazione, – .. L’aritmetizzazione, – .. La proposizionedi Gödel, – .. I teoremi di Gödel, – .. Le conseguenze, –.. Le radici filosofiche, .

Bibliografia

Introduzione

Olimpiadi della matematica, gare matematiche, giochi matematici,divertimenti matematici. . . Oggi pare proprio che l’approccio allamatematica debba necessariamente passare per questo tipo di attività,ormai proposte ovunque e in tutte le salse.

Fermo restando l’innegabile pregio della didattica per problemi,chi scrive, e forse solo lui, crede ancora che sia possibile un invito ditipo alternativo, o comunque complementare, a tali competizioni, unasorta di “slowmath”, libera dalla frenesia spesso associata all’addestra-mento alla risoluzione di problemi, ma dedita alla presentazione diidee matematiche belle, interessanti, di ampio respiro, interne alladisciplina o collegate ad altri aspetti della cultura.

Il raccontare storie matematiche, siano esse riguardanti grandi pro-blemi, famosi teoremi, biografie, tematiche interdisciplinari, catturaspesso l’interesse anche di coloro che non si trovano a proprio agiocon la pressione tipica della competizione, con la ricerca della correttastrategia risolutiva, ma che non per questo sono incapaci di apprez-zare la bellezza della matematica e di cogliere il fascino che essa puòtrasmettere.

Credo ci siano pochi dubbi sul fatto che non sia necessario saperscrivere poesie, comporre musica o essere in grado di dipingere perpoter apprezzare la bellezza di alcuni versi, di un brano musicale odi una tela. Allo stesso modo perché non pensare che sia possibileapprezzare un teorema o interessarsi ad un problema pur non essendoin grado, con le sole proprie forze, di dimostrarlo o di risolverlo.Naturalmente si potrebbe obbiettare sostenendo che il linguaggiomatematico può costituire una barriera insormontabile, diversamenteda ciò che accade nel caso dell’arte o della letteratura, ma i successidella moderna divulgazione sembrano provare il contrario.

L’esperienza ormai trentennale nell’insegnamento liceale sostienele convinzioni di chi scrive sui pregi di tale approccio, il quale, oltread avvicinare alla disciplina anche coloro che, in quanto a gare, ne

Introduzione

sarebbero irrimediabilmente esclusi, può fortificare le motivazionidi coloro che già possiedono qualche interesse o inclinazione per lamateria.

Nelle pagine seguenti vengono proposti alcuni esempi, tra i moltipossibili, tratti da vari ambiti del pensiero matematico, che l’autoretrova particolarmente significativi, anche in linea con i propri “gu-sti matematici”, preceduti da una presentazione piuttosto estesa ecommentata di varie letture, nello specifico saggi, romanzi e fumetti,possibili fonti di ispirazione per molteplici altri percorsi originali eaccattivanti, tra i quali quelli cinematografici.

Il volume si rivolge, in primo luogo e per ovvie ragioni, agli inse-gnanti e agli studenti della scuola secondaria superiore, ma vorrebbeessere, comunque, un’introduzione alla matematica per tutti coloroche, pur ricordando con fastidio le ore passate a districarsi fra logarit-mi e formule goniometriche, non abbiano perso la sana curiosità el’apertura mentale necessaria per porsi domande e che si riconoscanonella seguente descrizione che Imre Toth, matematico rumeno recen-temente scomparso, racconta in uno scritto autobiografico: “Mi sonosempre interessato a quella che chiamo la dimensione metafisica dellamatematica e che per i miei amici, che erano cacciatori di problemiinteressanti e complicati da risolvere, era invece una perdita di tempo.Anche se riconoscevo l’importanza di risolvere problemi, in me agivasoprattutto una nozione non definibile: quella del valore scientificodi un’idea, che può variare nel tempo e nello spazio. [. . . ] Rimasi co-munque sempre indifferente al lato sofisticato dei trucchi matematici.Quello che m’interessava era la struttura interna di questa complessascienza”.

P I

PAROLE, IMMAGINI E PROTAGONISTIDELLA MATEMATICA

Capitolo I

Interessanti saggi

Si può leggere la matematica? Beh. . . , se come lettura proponiamo ainostri studenti il libro di testo in adozione, è probabile che l’esito nonsia particolarmente soddisfacente, ma se proponessimo loro alcunisaggi riguardanti la vita di grandi matematici, la risoluzione di grandiproblemi, la presentazione di affascinanti collegamenti disciplinari,non potremmo forse avere maggior fortuna?

Di seguito proponiamo, con qualche parola di commento, alcunitra i molti volumi facilmente reperibili in libreria, scelti in linea con leconoscenze e i possibili interessi di uno studente liceale, utili comearricchimento della proposta formativa o come supporto per eventualilavori di approfondimento.

.. Biografie

Iniziamo dalle biografie, genere di solito accattivante e stimolante inparticolar modo per i giovani. Non possiamo non partire dal classicodei classici del settore: I grandi matematici di Eric Temple Bell, scrittonel lontano , ma recentemente ristampato (, ). In questoponderoso volume, fonte di ispirazione per moltissimi matematicicontemporanei, Bell, partendo dal condivisibile assunto che “il latoumano della matematica sono i matematici”, presenta più di trentabiografie di altrettanti grandi della matematica, eccoli in ordine cro-nologico: Zenone, Eudosso, Archimede, Descartes, Fermat, Pascal,Newton, Leibniz, i Bernoulli, Eulero, Lagrange, Laplace, Monge, Fou-rier, Poncelet, Gauss, Cauchy, Lobatchewsky, Abel, Jacobi, Hamilton,Galois, Cayley, Sylvester, Weierstrass, Sonja Kowalevski, Boole, Her-mite, Kronecker, Riemann, Kummer, Dedekind, Poincaré e Cantor.Lo stile è brillante e coinvolgente e non lascia indifferente anche il

. Parole, immagini e protagonisti della matematica

più scettico dei lettori; le vite e le opere sono narrate con dovizia diparticolari e sono inserite nel loro contesto storico, condite spessoda considerazioni, più o meno condivisibili, da parte dell’autore. Unalettura imperdibile.

Dai matematici del passato a quelli del presente. Recentissima l’au-tobiografia di Benoît Mandelbrot (–), il frattalista, come luistesso ama definirsi nel titolo in lingua originale delle sue memo-rie. La formula della bellezza (Rizzoli, ), titolo meno riuscito dellatraduzione in italiano, è un libro poliedrico come il suo autore, chespazia tra i più disparati campi della scienza all’affannosa ricerca di unascoperta originale, che travalichi le limitazioni dei singoli ambiti di-sciplinari. Per dirla con le parole dell’autore nell’introduzione, pag. :“Quando ero adolescente, durante la seconda guerra mondiale, arrivaia venerare la formidabile conquista di un matematico e astronomovissuto molto tempo fa, Giovanni Keplero (–). Keplero associòle ellissi degli antichi geometrici greci a un errore degli astronomi diquel tempo, convinti che nel moto dei pianeti ci fossero « anomalie» persistenti. Si servì delle sue conoscenze in due campi diversi — lamatematica e l’astronomia — per dimostrare che il moto dei pianetinon aveva nessuna anomalia, seguiva proprio un’orbita ellittica. Sco-prire qualcosa di simile portata diventò il sogno della mia infanzia.[. . . ] Nella mia ricerca kepleriana ho dovuto affrontare parecchie sfide.La buona notizia è che ho avuto successo. Quella cattiva, o forse èun’altra buona notizia, è che il mio « successo » ha sollevato una seriedi problemi nuovi e di diversa natura”. Ciò di cui parla Mandelbrot è lafamosa teoria del frattali, cioè di un’infinità di nuove figure geometri-che che mantengono inalterato il loro aspetto variando la scala, figureautosimili, straordinariamente adatte a rappresentare tutto ciò chesfugge alla purezza della geometria classica: le linee costiere, le catenemontuose, le nuvole, gli alberi, le galassie. . . insomma, tutto ciò cheè “rugoso”. Il nostro maverick (cane sciolto) della scienza racconta levarie peripezie che, tra lo scetticismo generale, lo hanno condotto,grazie anche al contemporaneo diffondersi dei computer, a costruireuna delle teorie più spettacolari e di vasta portata del secolo scorso.Una lettura coinvolgente e ricca di spunti legati alla capacità di vederela matematica anche dove non pare esserci traccia.

Un’altra splendida biografia di un grande matematico del Nove-cento è Ricordi di apprendistato (Castevecchi, ), di André Weil

. Interessanti saggi

(–), uno dei padri fondatori del gruppo di matematici francesi,noto sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki, che, negli anni qua-ranta del secolo scorso, iniziarono un processo di rinnovamento dellamatematica in nome dello strutturalismo. Weil, raffinato intellettuale,nel senso più alto del termine, racconta la sua vita con stile e disincan-to, dai numerosi viaggi alla corte dei grandi matematici europei, aglianni passati in India, alla diserzione durante le guerra, fino all’approdoin America. Capace di dominare gran parte della matematica dellaprima metà del Novecento, Weil fu anche profondo conoscitore dellastoria della disciplina, oltre che umanista e classicista (sua lettura pre-ferita era la Bhagavadgita, rigorosamente in sanscrito!). Così, con unadisinvoltura e una semplicità disarmante, giustifica la sua decisionedi disertare, pag. : “Il dharma di Gauguin è stato la pittura. Il mio,come lo immaginavo nel , mi sembrava evidente: dedicarmi allamatematica con tutte le mie forze. Il peccato sarebbe stato soltantolasciarmene distogliere”. Una lettura che conferma, se ancora ce nefosse bisogno, quanto sia fittizia la separazione fra la cultura uma-nistica e quella scientifica. A riprova può essere utile affiancare allememorie del padre, il racconto della figlia Silvie Weil, la quale, nelrecente Casa Weil (Lantana, ), racconta la sua vita all’ombra dipapà André e dell’ingombrante fantasma della zia Simone, ben notafilosofa, scomparsa nell’anno della sua nascita.

Ha dell’incredibile la biografia scritta da Paul Hoffman dal titoloL’uomo che amava solo i numeri (Mondadori, ), che narra la vita diPaul Erdos (–), matematico ungherese trapiantato negli StatiUniti senza fissa dimora; Erdos, il più prolifico matematico contem-poraneo, infatti, ha passato tutta la sua esistenza facendosi ospitaredagli amici matematici ai quali si presentava alla porta con la seguenteinvitante frase: “La mia mente è aperta”; la sua giornata era dedicata amassimizzare il tempo dedicato al fare matematica, nient’altro avevaimportanza. Ronald Graham, uno dei matematici che lo ha assistitomaggiormente, una volta disse: ”Questa settimana Erdos si è ferma-to da noi per un mese”, questo dovrebbe dare l’idea dell’impegnoal quale erano sottoposti i malcapitati padroni di casa. Una letturasorprendente e ricca di situazioni al limite del grottesco.

In linea con la figura del matematico “originale” da non perdereUn genio nello scantinato (Adelphi, ), biografia sui generis del ma-tematico inglese Simon Norton scritta dal suo inquilino Alexander

. Parole, immagini e protagonisti della matematica

Masters. Masters, dopo aver preso in affitto un appartamento a Lon-dra, scopre che lo strano proprietario dello stabile, che vive appunto,nello scantinato, è un genio matematico, vincitore di due medaglied’oro alle Olimpiadi internazionali di matematica e coautore del ce-leberrimo Atlante, una monumentale classificazione dei gruppi finiticostata anni di fatiche a John H. Conway, animatore dell’ambiziosoprogetto, e ai suoi quattro collaboratori. L’autore descrive l’attuale vitadi Norton, ormai dedita esclusivamente ad una minuziosa e dettagliataanalisi e sperimentazione dei percorsi dei trasporti pubblici, dei qua-li annota compulsivamente orari e tragitti, associandola ai brillantisuccessi passati e alle innegabile stranezze del personaggio. Un’altralettura che ha dell’incredibile, resa godibile dalla verve dell’autore edal sorprendente candore del protagonista.

Un’altra tipologia di “vita matematica” è descritta nell’autobiografiadi Stan Ulam (–) dal titolo Avventure di un matematico (Sellerio,). Ulam, matematico polacco emigrato negli Stati Uniti, raccontain modo brillante e a tratti divertente la sua carriera, dagli inizi a Lwów,fino al periodo di Los Alamos, dove, durante gli anni della secondaguerra mondiale, partecipò attivamente al Progetto Manhattan perla costruzione della bomba atomica. Vengono narrati gli incontri, lecollaborazioni, le amicizie con le più grandi personalità scientifichedel secolo scorso, quali John Von Neumann, Enrico Fermi, EdwardTeller, Robert Oppenheimer, solo per citarne alcuni, sullo sfondo delleproblematiche etiche e sociali di quegli anni. Una lettura illuminan-te con uno sguardo al periodo bellico visto attraverso gli occhi deiprotagonisti.

Di recente pubblicazione una nuova biografia di Charles Dodg-son (–), meglio noto come Lewis Carroll, l’autore di Alicenel paese delle maraviglie, dal titolo Lewis Carroll nel paese dei numeri,di Robin Wilson (Bollati Boringhieri, ), nella quale l’attenzione èpuntata sui lavori i Dodgson nel campo della geometria, dell’algebrae della logica. Senza trascurare gli aspetti biografici narrati nella cor-nice dell’Inghilterra del secolo, l’autore si sofferma nel dettagliosulle questioni matematiche affrontate dal padre di Alice (come notoinsegnante di matematica), analizzando rompicapi logico–linguistici,sillogismi, algoritmi per il calcolo dei determinanti, questioni di geo-metria euclidea, calcolo combinatorio. Interessante e di piacevolelettura, anche grazie ad un accurato apporto iconografico.

. Interessanti saggi

Infine, per quanto riguarda i matematici italiani, da segnalare l’operadi Judith. R. Goodstein, Vito Volterra (Zanichelli, ), ricostruzio-ne documentata e dettagliata della vita e dei lavori del matematicoVito Volterra (–), massimo esponente della matematica ita-liana nel primi decenni del Novecento, autore di importanti studi neicampi dell’analisi matematica, della fisica matematica e della matema-tica applicata. Particolarmente istruttiva, inoltre, la doppia biografiadi Fabio Toscano, Il genio e il gentiluomo (Sironi, ) dedicata allapresentazione delle vite del più grande fisico del Novecento, AlbertEinstein, e di un semisconosciuto matematico romagnolo, Grego-rio Ricci Curbastro (–), il cui lavoro ha costituito l’ossaturamatematica imprescindibile per la formulazione della Teoria dellaRelatività Generale. Un testo chiaro e illuminante che intreccia le vitedei due protagonisti, riuscendo a fare chiarezza sulle loro teorie esottolineando lo stretto legame esistente tra i fenomeni fisici e la lorointerpretazione matematica.

.. Problemi

E ora alcuni testi riguardanti grandi problemi matematici, risolti e non,che hanno impegnato e impegnano le più grandi menti matematichedel nostro tempo.

L’ultimo teorema di Fermat, di Simon Singh (Rizzoli, ) e L’enigmadi Fermat, di A. Aczel (Il Saggiatore, ) trattano del celeberrimoproblema proposto da Fermat nel .

Pierre Fermat, un giudice vissuto nella prima metà del diciasset-tesimo secolo, oltre a far bene il suo mestiere, si dilettava con lamatematica, in particolare con argomenti di teoria dei numeri. Nel, appunto, leggendo un’opera del matematico greco Diofanto,attivo nel secolo dopo Cristo, dal titolo Arithmetica, scrisse un com-mento in latino sul margine di una pagina del testo: “D’altra partenon è possibile scomporre un cubo in due cubi, un biquadrato in duebiquadrati o, in generale, ogni potenza, eccetto il quadrato, in duepotenze con lo stesso esponente. Di ciò ho scoperto una dimostra-zione veramente mirabile, ma la ristrettezza del margine non bastaa contenerla”. Cioè, l’equazione xn + yn = zn non ammette soluzioni

. Parole, immagini e protagonisti della matematica

intere ∀n > , escludendo naturalmente le cosiddette soluzioni banali(, , ), (, , ) e (, , ).

Fermat non pubblicò praticamente nulla durante la sua vita e sidovette attendere la pubblicazione postuma delle sue scoperte, a curadel figlio. Molte delle congetture avanzate da Fermat erano prive didimostrazione, evidentemente si trattava di un vizio! Ma il tempodiede ragione al lungimirante giudice, infatti praticamente tutte le sueaffermazioni vennero successivamente dimostrate dai posteri, nellamassima parte dal grande Eulero. Rimase indimostrata la congetturadel margine sopra riportata, la quale, per ovvi motivi divenne notacon il nome di “Ultimo Teorema di Fermat” (, Fermat Last Theorem,all’inglese).

Il teorema divenne famoso, una sfida per i matematici più ambiziosi,ma nonostante gli sforzi della comunità dei teorici dei numeri, ladimostrazione non arrivava. E non arrivò fino al , anni dopo!Anche la storia del solutore merita commento. Il conquistatore è statoil matematico inglese Andrew Wiles, il quale, dopo ben sette anni dilavoro in incognito, è riuscito a venire a capo dell’enigma utilizzandoa piene mani tutto l’arsenale più sofisticato della matematica odierna;curve ellittiche, spazi iperbolici, forme modulari, L–serie. . .

Si è appoggiato sulle spalle di giganti, per rubare una frase diNewton, nel senso che a lui si deve il merito di aver assemblato unlavoro matematico basato su scoperte avvenute in precedenza e dovutealle migliori menti matematiche dei decenni, o meglio dei secoli,passati. Per la precisione infatti, Wiles non ha dimostrato direttamenteil Teorema di Fermat, bensì la Congettura di Tanijama–Shimura, laquale, come qualche anno prima era stato provato, implica il Teoremadi Fermat.

A dire il vero, la soluzione presentata nel necessitò di qualchecorrettivo, ma un anno dopo Wiles fu in grado di presentare la di-mostrazione definitiva: circa pagine di matematica “di frontiera”,comprensibile solo per una manciata di matematici al mondo!

I due volumi citati ripercorrono la storia dei tentativi di risoluzio-ne, da Fermat ai nostri giorni, tratteggiando a grandi linee i settoridella matematica via via coinvolti nelle ricerche e i personaggi che liintrodussero.

Da un problema della teoria dei numeri ad uno geometrico: Lacongettura di Poincaré, di Donal O’Shea (Rizzoli, ) e L’enigma di

. Interessanti saggi

Poincaré, di George Spiro (Apogeo, ) narrano le vicende della cen-tenaria congettura, formulata da Poincaré nel , nell’ambito dellatopologia, ossia quella parte della moderna geometria che si occupadello studio delle proprietà più intrinseche degli enti geometrici, dettaanche informalmente “geometria del foglio di gomma”. Pensiamo aduna superficie sferica e immaginiamo di disegnare su di essa una curvachiusa di forma qualsiasi, è intuitivo osservare che tale curva possaessere contratta fino a ridursi ad un singolo punto, rimanendo sullasuperficie; bene, è facile convincersi che ciò non è sempre possibilenel caso di superfici diverse dalla sfera.

Henry Poincaré (–), come detto, congetturò che la proprie-tà descritta valesse, anche in dimensioni superiori, solo per l’equivalen-te, in tali dimensioni, della –sfera (la superficie sferica bidimensionaleimmersa nello spazio tridimensionale), cioè: la n–sfera è la sola varietàn–dimensionale che soddisfa la proprietà che consente la contrazionedi una curva chiusa (dove con varietà n–dimensionale si intende l’e-quivalente di una superficie, ma in n dimensioni). Per tutti i valori din maggiori di tre la congettura è stata dimostrata negli ultimi decennidel secolo scorso, mentre il caso più importante, quello relativo allevarietà tridimensionali, cioè le superfici tridimensionali immerse nellospazio quadridimensionale, è rimasto irrisolto fino al giorni nostri. Lasoluzione è arrivata solo nel per merito di un matematico russo,Gregory Perelman, il quale, incredibilmente, oltre ad aver rifiutato laMedaglia Fields assegnatagli al Congresso Internazionale dei Matema-tici di Madrid nel , dopo aver risolto il problema ha abbandonatola ricerca matematica, rifiutando pure il non irrilevante premio indenaro messo in palio dalla Fondazione Clay.

Ed ora il più importante problema aperto della matematica: l’I-potesi di Riemann, raccontato nei volumi: L’enigma dei numeri Primidi Marcus Du Sautoy (Rizzoli, ) e L’ossessione dei numeri primi(Bollati Boringhieri, ) di John Derbyshire. Entrambi gli autorinarrano con maestria la storia del problema, presentando, il primoin termini narrativi, il secondo in modo più tecnico, un affascinanteaffresco di molti settori della matematica che sono venuti a contatocon il magico universo dei numeri primi, regno nel quale, appunto,nasce la congettura. In breve Riemann, studiando la distribuzione deiprimi, definì una particolare funzione, nota appunto come funzio-ne zeta di Riemann, la quale, egli congetturò, doveva avere gli zeri

. Parole, immagini e protagonisti della matematica

appartenenti tutti ad una stessa retta, la cosiddetta retta critica. Talecongettura, formulata nel , divenne un polo di attrazione per lesuccessive ricerche nella teoria dei numeri e si dimostrò capace dicostruire sorprendenti collegamenti tra settori della matematica ap-parentemente molto distanti, arrivando addirittura a coinvolgere lafisica delle particelle. Ogni matematico attivo al giorno d’oggi ha unsogno nel cassetto: dimostrare l’ipotesi di Riemann.

Nell’ambito degli strettissimi rapporti tra matematica e fisica sicollocano i due volumi seguenti: La forma dello spazio profondo diShing–Tung Yau e Steve Nadis (il Saggiatore, ) e Amore e matema-tica di Edward Fraenkel (Codice, ). Yau, vincitore della MedagliaFields nel , racconta, coadiuvato dal giornalista scientifico Nadis,la complessa storia delle applicazioni geometriche alla Teoria dellestringhe, oggi la più seria candidata a divenire la tanto agognata Teoriadel tutto, intrecciando ricordi personali all’esposizione delle princi-pali scoperte avvenute anche grazie ai suoi fondamentali contributi.Fraenkel, matematico russo trapiantato negli stati Uniti, si occupa ditratteggiare la storia del cosiddetto programma di Langlands, una sortadi equivalente matematico della teoria del tutto, capace di unire domi-ni apparentemente distanti fra loro, tra i quali l’immancabile teoriadelle stringhe. L’autore racconta, inoltre, gli incredibili avvenimentidel suo periodo di formazione, reso particolarmente difficile dalla suadiscendenza ebraica. I due volumi, scritti da matematici creativi, so-no ricchi di complesse idee matematiche descritte attraverso brillantianalogie e stratagemmi, ammirevoli nel tentativo, riuscito, di renderlefruibili ai comuni mortali.

Infine due volumi di rassegna dei principali problemi aperti dellamatematica contemporanea: I Problemi del millennio, di Keith Devlin(Longanesi, ) e I grandi problemi della matematica (Einaudi, )di Ian Stewart. Il primo, come da titolo, presenta gli ormai noti Mil-lennium Problems, ognuno con il suo milione di dollari di dote alseguito. Eccoli: l’ipotesi di Riemann, la teoria di Yang–Mills e l’ipotesi delgap di massa, il problema P versus NP, la congettura di Poincaré (risoltoda G. Perelman), la congettura di Birch e Swinnerton–Dyer, la congetturadi Hodge.

Devlin, uno dei più famosi e apprezzati divulgatori matematici, sisforza di rendere comprensibile ai non specialisti la natura di questi“Everest della matematica”, tratteggiando in modo semplice e chiaro

. Interessanti saggi

gli ambiti ai quali i problemi appartengono e aprendo finestre sulmondo complesso e articolato della matematica contemporanea. Èbene chiarire ai nostri studenti che, come dice Devlin, è più probabilevincere un milione di dollari alla lotteria che ottenerlo risolvendo unodi questi problemi. Niente facili illusioni. Il secondo, oltre trattaremolti dei problemi citati, si sofferma anche su grandi temi e problemipiù o meno risolti. Anche Stewart, come Devlin, è noto per le sue dotidi divulgatore e il suo testo, come il precedente, è una introduzioneimprescindibile per gettare uno sguardo furtivo al variegato mondodella ricerca matematica contemporanea.

.. Argomenti

Passiamo a proporre alcuni saggi a tema, dedicati a questioni ma-tematiche circoscritte, ma di grande interesse anche per possibilicollegamenti interdisciplinari.

Un argomento molto gettonato nell’ambito della cosiddetta mate-matica ricreativa è senz’altro la sezione aurea, insieme con l’associatasuccessione di Fibonacci; a tale tema sono dedicati i volumi: La sezioneaurea, di Mario Livio (Rizzoli, ) e I (favolosi) numeri di Fibonacci, diAlfred Posamentier e Ingmar Lehmann (Muzzio, ), il primo menotecnico e dall’esposizione più attenta agli aspetti storici dell’argomen-to, il secondo più didattico e non privo di intriganti dimostrazionialgebriche e geometriche alla portata degli studenti interessati; unalettura utile per mostrare agli studenti stimolanti intrecci tra aritmeti-ca, algebra e geometria, collegamenti che purtroppo l’iter scolasticospesso nasconde.

Altra tematica “calda” è quella relativa alla crittografia, alla quale èdedicato un altro successo editoriale degli ultimi anni: Codici e segreti,di S. Singh (Rizzoli, ), nel quale l’autore ripercorre dettagliata-mente la storia dei messaggi cifrati, dal cifrario di Cesare, fino allacrittografia a chiave pubblica, recente applicazione della teoria deinumeri al nuovo mondo telematico (cap. ). Il testo presenta, inoltre,una esauriente descrizione della macchina Enigma, utilizzata dall’eser-cito tedesco durante la seconda guerra mondiale, e tratta nel dettagliol’eccezionale lavoro svolto dall’intelligence degli alleati mirato alla