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1 INDICE Prefazione………………….………………………………………………………………………………2 Teorema di Shannon-Hartley………………………………………………………………………………3 Segnali Notevoli……………………………………………………………………………………………4 Trasformata di Fourier……………………………………………………………………………………...6 Trasformate notevoli………………………………………………………………………………………..7 Formule di Eulero…………………………………………………………………………………………..7 Operazioni sui segnali……………………………………………………………………………………...9 Teorema di dualità………………………………………………………………………………………….9 Teorema di Rayleigh………………………………………………………………………………………..10 Trasformata di Fourier tramite derivazione/integrazione…………………………………………………..10 Segnale di periodo/potenza…………………………………………………………………………………12 Teorema di Parseval………………………………………………………………………………………...12 Convoluzione……………………………………………………………………………………………….14 Correlazione…………………………………………………………………………………………………17 Filtri in serie e parallelo……………………………………………………………………………………..18 Filtri comuni………………………………………………………………………………………………...19 Filtro derivatore…………….……………………………………………………………………………….19 Teorema del campionamento……………………………………………………………………………….20 Filtro ottimo………………………………………………………………………………………………....21 Rumore bianco………………………………………………………………………………………………22 Filtro adattato………………………………………………………………………………………………..22 Esercizi……………………………………………………………………………………………………....22 Soluzioni..…………………………………………………………………………………………………....25

Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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FondamentiTelecomunicazioni Appunti I Parte

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Page 1: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

1

INDICE Prefazione………………….………………………………………………………………………………2

Teorema di Shannon-Hartley………………………………………………………………………………3

Segnali Notevoli……………………………………………………………………………………………4

Trasformata di Fourier……………………………………………………………………………………...6

Trasformate notevoli………………………………………………………………………………………..7

Formule di Eulero…………………………………………………………………………………………..7

Operazioni sui segnali……………………………………………………………………………………...9

Teorema di dualità………………………………………………………………………………………….9

Teorema di Rayleigh………………………………………………………………………………………..10

Trasformata di Fourier tramite derivazione/integrazione…………………………………………………..10

Segnale di periodo/potenza…………………………………………………………………………………12

Teorema di Parseval………………………………………………………………………………………...12

Convoluzione……………………………………………………………………………………………….14

Correlazione…………………………………………………………………………………………………17

Filtri in serie e parallelo……………………………………………………………………………………..18

Filtri comuni………………………………………………………………………………………………...19

Filtro derivatore…………….……………………………………………………………………………….19

Teorema del campionamento……………………………………………………………………………….20

Filtro ottimo………………………………………………………………………………………………....21

Rumore bianco………………………………………………………………………………………………22

Filtro adattato………………………………………………………………………………………………..22

Esercizi……………………………………………………………………………………………………....22

Soluzioni..…………………………………………………………………………………………………....25

Page 2: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

2

PREFAZIONE Questo file pdf è una traduzione dei miei appunti in digitale presi a lezione del professore Benedetto.

Pertanto ci potrebbero essere errori di distrazione/trascrizione, seppur abbia prestato molta attenzione e ricontrollato molte volte ciò che ho scritto.

In questo pdf non ho trattato le codifiche poiché riguardanti più la teoria che gli esercizi. Per quanto riguarda il teorema del campionamento, il filtro ottimo ed il filtro adattato, essi sono stati trattati in maniera incompleta a causa della scarsità dei miei appunti e del materiale trovato in giro riguardo questi argomenti.

Per quanto riguarda gli esercizi, c’è un solo esercizio sulle sequenze, per trovare altri esercizi sulle sequenze, o anche degli altri tipi, basta andare sul sito del Benedetto dove c’è il suo libro degli esercizi e prove d’esame passate svolte.

Page 3: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

3

21 log

Dove C è la capacità del canale, ossia rappresenta la quantità di dati che possono essere trasferiti in un determinato

intervallo di tempo.

In un sis

Teorema di Shannon-Hartley

s

n

PC B

P

= ⋅ +

tema analogico si misura in Hertz (Simbolo Hz) mentre in un sistema digitale in bit/s

B è la larghezza di banda, ossia è lo spazio in frequenza di cui abbiamo bisogno per trasmettere su quel mezzo

tras

n

10

missivo.

P è la potenza del segnale e P è la potenza di rumore.

è il rapporto segnale-rumore ( ) che viene anche usato in scala logaritmica: 10 log

Se 0 allora

B

Definizioni:

s

sdb

n

db s n

PSNR SNR SNR

P

SNR P P

=

= =

0

anda: Intervallo di frequenze

Filtrare: Vuol dire prendere il segnale e ridurlo ad una banda minore

Segnale causale: E' un segnale definito solo da T 0 a

Segnale anticausale: E' un segnale che va da

= + ∞

1 se 0

0 se

( ) altrove

a 0

( )Seno cardinale: ( )

( )

Grafico:

f

fT k

sen fT

fT

sen xSinc x

x

Sinc fT

ππ

ππ

=

= ±

− ∞

=

=

Page 4: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

4

1

Funzione Segno:

1 se 0

( ) sgn( ) 0 se 0

1 se 0

Dove è tutto l'argomento

Segnale Gradino:

1 se 0( ) ( )

0 se 0

Rect:

1 se ( ) Re ( ) 2 2

0 altrove

Re

Segnali Notevoli

T

T

t

y t t t

t

t

ty t U t

t

T Tt

y t A ct t

ct

+ >= = =− <

≥= = <

− ≤ ≤= ⋅ =

1 1( )2 2

Se centrato in 0 è un segnale pari: Re ( )Re ( )

Re ( ) Re ( )

e Re Re ( )

Proprietà che vale anche per gli altri segnali.

Tri:

1 se ( ) ( )

T T

T T

T

T Tt U t U t

ct t ct t

ct t ct t

tct ct t

t

Ty t Tri t

α

α

α

α

− − = + − −

= −=

=

+ −= =

0

1 se 0

Si noti che graficamente la tri ha una base doppia (2T).

Funzione impulsiva:

1 se 0( ) ( )

0 altrove

T t

tt T

T

ty t tδ

≤ ≤ − ≤ ≤

== =

Page 5: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

5

Un segnale è pari se ( ) ( ) ossia se il grafico è simmetrico rispetto l'asse y.

Un segnale ribaltato (rispetto l'asse delle y) è un segnale con il coefficiente della cambiato di segno

Definizioni:f x f x

t

= −

1

.

Se ribaltato rispetto all'asse dove è centrato, il segnale ha l'intero argomento cambiato di segno.

Esempio:

1 se 0 ( )

0 se 0

tU t

t−

≤− = >

1

Esempio (ritardo):

1 se ( ) con 0

0 se

t TU t T T

t T−

≥− = > <

2

Altri esempi:

Re ( 1)ct t −

2 2 2Re ( 1) Re ( ( 1)) Re ( 1)ct t ct t ct t− − = − + = +

Page 6: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

6

2

Serve per passare dai tempi alle frequenze e viceversa.

Un segnale è trasformabile solo se è un segnale di energia, cioè se:

| ( ) | converge.

In generale, tutti quei se

Trasformata di Fourier

xE x t dt+∞

−∞

= ∫

2

gnali infiniti nel tempo, (tipo le rette, ossia che non 'entrano' nel grafico) NON sono

segnali di energia.

Formula trasformata:

( ) ( )

è la parte immaginaria che vale 1

Formula antit

j ftX f x t e dt

j

π+∞

−∞

= ⋅

2

rasformata:

( ) ( ) j ftx t X f e dtπ+∞

−∞

= ⋅∫

Nota: ��� � 0� e x(t = 0) sono uguali all’area del segnale raffigurato nel grafico.

Esercizio 1

Calcolare la trasformata di: ���� � � ∙ ����

���� � � ���� ∙ ������� � � � ∙ ������� ��∞�

�∞∞

� ��������� �� � � �����������1 � �2������∞ � 11 � �2��

�∞�

Page 7: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

7

2

Re ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

cos(2 ) ( ) ( )2

sin(2 ) ( ) ( )2

s

Trasformate NotevoliF

T

F

T

F

F

Fj j

c c c

Fj j

c c c

A ct t A T Sinc fT

A Tri t A T Sinc fT

A t A

A A f

AA f t f f e f f e

AA f t f f e f f e

j

ϕ ϕ

ϕ ϕ

δ

δ

π ϕ δ δ

π ϕ δ δ

⋅ => ⋅ ⋅

⋅ => ⋅ ⋅

⋅ =>

=> ⋅

⋅ + => ⋅ − ⋅ + + ⋅

⋅ + => ⋅ − ⋅ − + ⋅

1

1gn( )

1 1( ) ( )

2 2

F

F

tj f

U t fj f

π

δπ−

=>

=> +

Nota:

Seno e coseno non sono segnali di energia (poichè infiniti nel tempo),

però essendo periodici, se io l'energia la prendo in un intervallo ottengo un

valore finito (che sarebbe la potenza).

0 0

0 0

2 2

0

2 2

0

cos(2 )2

sin(2 )2

Formule di Euleroj f t j f tj j

j f t j f tj j

e e e ef t

e e e ef t

j

π πϕ ϕ

π πϕ ϕ

π ϕ

π ϕ

− −

− −

⋅ + ⋅+ =

− ⋅ + ⋅+ =

Esercizio 2

Trasformare:

���� � !"#cos�2���' ∙ ()�����

Page 8: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

8

���� � !"#cos�2���' con � �� * � * �� ���� � ()�+,��� � ()�+- .� � 381 � ()�+- .� � 381

���� � 12 2") .�21 � 14 2") .�41 ∙ 4����,5 � ����,56 � 12 2") .�21 � 14 2") .�41 ∙ cos .34��1

Esercizio 3

Trasformare ���� � !"#sin�2���' ∙ ()�����

���� � ()�+, .� � 141 � ()� .� � 141

���� � 12 2") .�21 9�:,� � �:,�; � �� ∙ 2") .�21 ∙ sin 4�2 �6

Nota Teorica:

�∗��� =⇒�∗���� Dimostrazione:

?��� � �∗��� @��� � � �∗��� ∙ ��������A

A� B � ���� ∙ ��������A

AC∗� B � ���� ∙ ����������A

AC∗� �∗����

Page 9: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

9

2

2 ( ) 2 2 2 2 2

Traslazione:

( ) ( )

( ) ( ) Sostituisco:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Quin

Operazioni sui segnali

j ft

j f T j f j fT j fT j f j fT

y t x t T

Y f x t T e dt t T

Y f x e d x e e d e x e d X f e

π

π τ π τ π π π τ π

τ

τ τ τ τ τ τ

+∞−

−∞+∞ +∞ +∞

− + − − − − −

−∞ −∞ −∞

= −

= − ⋅ − =

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

∫ ∫ ∫

0

0 0

0

2

2

2 2 ( )20

20

di in generale: ( ) ( ) ( ) ( )

Modulazione:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

In generale: ( ) ( ) allora ( ) (

Fj fT

j f t

j f t j f f tj ft

j f t

y t x t T Y f X f e

y t x t e

Y f x t e e dt x t e dt X f f

y t x t e Y f X f f

π

π

π ππ

π

±

+∞ +∞− − +−

−∞ −∞±

= ± => = ⋅

= ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ = +

= ⋅ =

∫ ∫

m

2

2 2

)

Cambio di scala:

( ) ( )

1( ) ( ) Sostituisco: , ,

1 1 1( ) ( ) ( )

| |

Nota: metto il modulo perchè 1/ deve ess

j ft

fj f j

y t x t

Y f x t e dt t t dt d

fY f x e d x e d X

π

λπ π λα α

αλα α λ λα α

λ λ λ λα α α α

α

+∞−

−∞

+∞ +∞− −

−∞ −∞

=

= ⋅ = = =

= ⋅ = ⋅ = ⋅

∫ ∫

ere positivo.

Se ho cos(t T) o sin(t T) il T non indica una traslazione ma una rotazione, quindi non si può trasformare come

visto sopra, ma va semplificato tramite le formule di Eulero.

Nota teorica:

Teo

± ±

Se io ho una funzione v(t) che trasformata in frequenza mi da V(f) allora se nei tempi mi trovo davanti

una funzione V(t) la sua trasformata sarà v(-f).

Esempio:

Re ( ) ( )

rema di dualità

F

TA ct t AT Sinc fT

AT

⋅ => ⋅

( ) Re ( )

Si dimostra che per una funzione pari la trasformata X(f) sarà una funzione reale, pura e pari.

Per una funzione dispari la X(f) sarà un immaginario puro dispari.

Per

Nota teorica:

F

TSinc tT A ct f⋅ => ⋅ −

un x(t) causale o anticausale X(f) sarà un numero complesso.

Page 10: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

10

2 2

2 2

( ) ( )

Il valore dell'energia è lo stesso, sia del segnale nel tempo che in frequenza.

Dimostrazione:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Teorema di Rayleigh

j ft

E x t dt X f df

E x t dt x t x t dt x t x f e dfπ

+∞ +∞

−∞ −∞

+∞ +∞ +∞∗

−∞ −∞ −∞

= =

= = ⋅ = ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫ ∫2

22

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Nota:

con il simbolo indico il coniugato.

( ) ( ) Densi

Definizione:

j ft

j ft

xx

dt x t x f e df dt

x f x t e dt df x f X f df X f df

E f X f

π

π

∗+∞ +∞ +∞∗ −

−∞ −∞ −∞

+∞ +∞ +∞ +∞∗ − ∗

−∞ −∞ −∞ −∞

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ =

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

tà spettrale di energia

Trasformata di Fourier tramite derivazione/integrazione

Le seguenti proprietà (utili per calcolare la trasformata di Fourier) sono valide solo per segnali lineari (ossia composti da segmenti e non da curve):

Derivazione:

D��� � �#����'�� =⇒E��� � ���� ∙ �2��

Integrazione:

?��� � ���F��F =⇒@��� � �����2���

Queste proprietà possono essere molto utili, perché se ho un segnale x(t) posso farne la derivata grafica fare la trasformata della derivata e dividere per �2�� per riottenere la trasformata del segnale originale (cioè X(f)).

In modo analogo si utilizza la seconda proprietà.

Derivata grafica:

Dove la derivata incontra una discontinuità si ha un impulso crescente quando il limite destro è maggiore di quello sinistro e decrescente nel caso opposto. L’ampiezza della delta è pari all’altezza del punto di discontinuità. Dove c’è una retta, invece, disegno una rect di base pari alla lunghezza della retta e di altezza pari al suo coefficiente angolare.

Page 11: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

11

Esempio

Trasformare:

Derivo graficamente (con D��� indico la derivata di ����):

Calcolo del coeff. Angolare:

G � D� � D��� � �� � H � IJ

Quindi:

D��� � I ∙ K .� � J21 � H � IJ ∙ ()�L��� � H ∙ K .� � J21

E��� � I ∙ ���L � �H � I� ∙ M2")��J� � H ∙ ���L

E��� � ���� ∙ �2�� quindi:

���� � E����2�� � I ∙ ���L � �H � I� ∙ M2")��J� � H ∙ ���L�2��

Page 12: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

12

Segnale di periodo/potenza

Potenza:

N � 1J� ∙ � |����|���PQ,

PQ,R� � 1J�

Espando x(t) in serie (ossia lo scrivo in maniera diversa):

���� � S TU ∙ ���U�Q��∞UV∞

Dove TU è il coefficiente di Fourier ed è definito come segue:

TU � 1J� ∙ � ���� ∙ ���U�Q� ��PQ,

PQ,

Esempio:

Espansione in serie del coseno:

cos�2����� � S TU ∙ ���U�Q��∞UV∞

TU � 1J� ∙ � cos�2����� ∙ ���U�Q� ��PQ,

PQ,

[da completare: dimostrazione con Eulero]

Teorema di Parseval

N � S |TU|��∞UV∞

Dimostrazione:

N � 1J� ∙ � |����|���PQ,

PQ,� 1J� ∙ � ���� ∙ �∗�����

PQ,

PQ,

Sapendo che:

Page 13: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

13

�∗��� � W S TU ∙ ���U�Q��∞UV∞ X∗ � S TU∗ ∙ ���U�Q��∞

UV∞

Allora:

N � 1J� ∙ � ���� ∙ S TU∗ ∙ ���U�Q��∞UV∞ �� � S TU∗ ∙ 1J� ∙ � ���� ∙ ���U�Q� �� � S TU∗ ∙�∞

UV∞

PQ,

PQ,

�∞UV∞

PQ,

PQ,TU � S |TU|��∞

UV∞

Definizione:

Densità spettrale di potenza:

NYY��� � S |TU|��∞UV∞ ∙ K�� � "���

Calcolo della potenza:

In generale la potenza si calcola come:

N � limLQ→�∞1J� ∙ � |����|���

PQ,

PQ,

Oppure come somma del modulo quadro degli TU (utile se si hanno delle δ poiché il TU di una δ non è altro che la sua altezza, ovvero il coefficiente davanti ad essa).

Per i segnali sinusoidali (ovvero seno e coseno) la potenza può anche essere calcolata più rapidamente come:

N�]∙^_`�αa�φ�� � |I|�2

N�]∙bc^�αa�φ�� � |I|�2

Dove A è l’ampiezza del segnale (la formula non dipende dalla fase o dalla frequenza ma solo dall’ampiezza).

Esempio:

���� � 5 ∙ sin 47�� � �26 � |5|�2 � 252

Ad esempio �f� è il valore della potenza anche per 5 ∙ cos��� perché conta solo l’ampiezza.

Proviamo a calcolare la potenza di ���� con gli TU.

Prima semplifico ���� e poi trasformo in frequenza (tanto la potenza rimane la stessa):

Page 14: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

14

���� � 5 ∙ sin 47�� � �26 � 5 ∙ ��g�� ∙ �:, � �g�� ∙ �:,2�

Per andare avanti introduco una:

Nota Teorica (Numeri Complessi):

�h � cos�i� � � ∙ sin�i� �h � cos��i� � � ∙ sin��i� � cos�i� � � ∙ sin�i�

Dunque tornando all’esempio so che:

�:, � cos 4�26 � � ∙ sin 4�26 � � Quindi:

�� ∙ ��g�� � � ∙ �g��2� � � ∙ j�g�� � �g��k2� � � ∙ 2 ∙ cos�7���2� � cos�7��� ���� � 5 ∙ cos�7��� ���� � 5 ∙ 12 lK .� � 721 � K .� � 721m � 52 ∙ K .� � 721 � 52 ∙ K .� � 721 2��n� � 7�� → �n � 72

Calcolo la potenza di ����: N � o52o

� � o52o� � 254 � 254 � 252

Convoluzione

La convoluzione e’ l’operatore con cui sono descritti i filtraggi lineari nel dominio spaziale. Si definisce nel modo seguente:

?��� � ���� ∗ p��� � � ��q� ∙ p�� � q��q�∞∞

Quindi in generale la convoluzione serve per applicare un filtro p��� al segnale ����. Quella formula mi dice che devo ribaltare uno dei due segnali e trascinarlo sull’altro per vedere che segnale risulta.

Proprietà dell’operazione di convoluzione:

- Commutativa: ���� ∗ p��� � p��� ∗ ���� - Distributiva: #���� ∗ p���' ∗ D��� � ���� ∗ #p��� ∗ D���' � #���� ∗ D���' ∗ p��� - Associativa: #���� � p���' ∗ D��� � ���� ∗ D��� � p��� ∗ D���

Page 15: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

15

Esempio:

���� � I ∙ � ∙ ����p��� � �J ∙ ()�L .� � J21

?��� � ���� ∗ p���

Grafici delle funzioni di partenza:

Ribalto p��� e lo inizio a traslare da sinistra di ��q� fino a destra (cioè da -∞ a +∞):

P.S. Nel grafico t* sarebbe τ

Dunque:

per � r 0 ottengo che ?��� � 0

per 0 * � * J ottengo che:

?��� � �Is ∙ �� � q�J �q��

� �IJ ∙ �s�q ���

�IJ ∙ qs�q��

� IJ ∙ �� � 1 � �� per � t J ottengo che:

?��� � � Is ∙ �� � q�J �q ���L

IJ ∙ �J � 1 � �� ∙ ��L�

Page 16: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

16

Risultato grafico:

Note Teoriche:

La convoluzione tra due rect di base eguale (ad esempio base T) restituisce come risultato una tri di base T e di altezza pari al prodotto delle altezze delle dure rect per la base. A formule:

I� ∙ ()�L��� ∗ I� ∙ ()�L��� � I� ∙ I� ∙ J ∙ Ju2L��� La convoluzione tra due rect di base diversa da origine ad un trapezio con base maggiore uguale alla somma delle due basi delle rect, e base minore data dalla loro differenza. L’altezza del trapezio è data dal prodotto fra le altezze delle rect. Se le due Rect fossero ritardate, il trapezio risultante avrebbe un ritardo pari alla somma dei ritardi delle rect.

Quindi se ho due rect: I� ∙ ()�v+��� ∗ I� ∙ ()�v,��� (supponendo che H� w H�)

Il trapezio che otterrò avrà come base maggiore: H � H� �H� come base minore: x � H� � H� e come altezza:

I � I� ∙ I�

Un segnale convoluto con una delta (centrata nell’origine) è uguale a se stesso:

���� ∗ K��� � ���� Un segnale convoluto con una delta traslata è uguale al segnale stesso centrato dov’era centrata la delta:

���� ∗ K�� y J� � ��� y J� Esempio:

()� .32 � � 21 ∗ K�� � 5� � ()� .32 �� � 5� � 21 � ()� .32 � � 171

Quindi basta sostituire alla t del segnale l’argomento della delta.

La convoluzione nei tempi si trasforma in moltiplicazione in frequenza e viceversa, cioè:

D��� � ���� ∗ p��� in frequenza ho E��� � ���� ∙ z��� Oppure ad esempio: D��� � ���� ∙ p��� �w E��� � ���� ∗ z��� Dimostrazione:

D��� � ���� ∗ p��� E��� � � D��� ∙ ��������∞

∞� � � ��q� ∙ p�� � q��q�∞

∞∙ ��������∞

∞� � ��q� ∙ � p�� � q� ∙ ��������∞

∞�q�∞

Page 17: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

17

� � ��q� ∙ z��� ∙ ����s�q � ���� ∙ z����∞∞

Correlazione

Cross-Correlazione: operazione di correlazione tra due segnali diversi.

Auto-Correlazione: operazione di correlazione tra due segnali identici.

La Cross-Correlazione serve per vedere quanto si assomigliano due segnali. Maggiore è il suo valore e più essi sono simili.

TY{�q� � ��q� ⊗ D�q� � � �∗��� ∙ D�� � q����AA

Proprietà:

TY{�q� } T{Y�q� TY{�q� � T{Y∗ ��q� Passaggio da correlazione a convoluzione:

Pongo: � � q � F� � F � q�� � �F

� �∗�F � q� ∙ D�F��F�AA

� D�q� ∗ �∗��q� Quindi:

TY{�q� � �∗��q� ∗ D�q� Autocorrelazione:

TYY�q� � �∗��q� ∗ ��q� Se ��q� è reale allora: TYY�q� � TYY��q� Se è un segnale qualunque allora: TYY�q� � TYY∗ ��q� In zero ho il massimo valore dell’autocorrelazione.

TYY�q� =⇒~YY��� � |����|�

~ � � ~YY������AA

� TYY�0� Nota:

Per i segnali di potenza (come seno e coseno) TYY�0� � N dove P è la potenza.

Disuguaglianza di Schwarz:

Page 18: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

18

TY{�q� * �TYY�0� ∙ T{{�0� La disuguaglianza vale sia in t che in f. Per verificarla basta prendere un valore per cui la cross-correlazione ha valore massimo e vedere se è minore o uguale alla radice del prodotto del valore massimo delle autocorrelazioni dei rispettivi segnali.

Filtri in serie e parallelo

Filtri in serie:

D��� � ���� ∗ p����?��� � D��� ∗ p���� ?��� � ���� ∗ p���� ∗ p���� @��� � ���� ∙ z���� ∙ z���� Filtri in parallelo:

?��� � D���� � D���� � ���� ∗ p���� � ���� ∗ p���� � ���� ∗ #p���� � p����' @��� � ���� ∙ #z���� � z����' Note Teoriche:

Sistema con rumore:

D��� � ���� ∗ p��� � "��� Dove "��� rappresenta il rumore.

Un filtro ideale non introduce distorsioni al segnale di partenza su cui viene applicato entro una o più bande, ma attenua completamente tale segnale al di fuori di quest’ultime.

Sistema ideale:

D��� � ���� ∗ p��� � � ∙ ��� � J�� � ���� ∗ #� ∙ K�� � J��' E��� � ���� ⋅ z���z��� � � ⋅ ����LQ

Page 19: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

19

Filtri Comuni

Filtri ideali (�, J� costanti)

Pongo J� � 0 �w z��� � � ⋅ � � �

Passa-Banda:

z��� � ��M�� * |�| * ��0���u�� �

Quindi il segnale filtrato passa solo se ha la

frequenza portante maggiore di �� (lower)

e maggiore di �� (upper).

Passa-Alto:

z��� � ��M� * ��� ∪ � t ��0���u�� �

Fa passare solamente le alte frequenze.

Passa-Basso:

z��� � ��M��� * � * ��0���u�� �

Fa passare solamente le basse frequenze.

Filtro Derivatore

z��� � �2��

Se ho un segnale filtrato da un filtro derivatore per ottenere il segnale in uscita basta che derivo il segnale di partenza n volte, dove n rappresenta l’esponente del filtro derivatore.

Page 20: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

20

Esempio:

���� � 2") .��1 z��� � �4����D��� �? D��� � ���� ∗ p��� z��� � ��2��� ⋅ ��2��� � ��2����

Poiché l’esponente del filtro derivatore è 2, deriverò due volte il segnale ����: ���� � 2") .��1 � sin����

?��� � �#����'�� � � ⋅ cos��� � sin����� � cos���� � sin�����

D��� � �#?���'�� � �� ⋅ sin��� � cos����� � �� ⋅ cos��� � 2� ⋅ sin�����

Teorema del Campionamento

Permette la trasformazione da segnale analogico a digitale e viceversa.

Processo di trasformazione da analogico a digitale:

Prendo un treno di Rect:

��� � S ()�s�� � "J���AUVA

Sia ����� il segnale campionato:

����� � ���� ⋅ �������� � ���� ∗ M��� Espando in serie ���: ��� � S T" ∙ �2�"R �

�∞"��∞

R � 1J T" � R ⋅ q ⋅ 2")�"R q�

��� � T� � S T" ∙ �2�"R ��∞

"��∞"}0T0 � R ⋅ q

Usando Eulero:

��� � T� � 2 ⋅ STU ⋅ cos�2�"R����AUV�

Page 21: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

21

M��� � T� ⋅ K��� � STU ⋅ #K�� � "R�� � K�� � "R��'�A`V�

����� � T� ⋅ ���� � STU ⋅ #��� � "R�� � ��� � "R��'�A`V�

Quindi moltiplicare il segnale analogico continuo con un treno di rect mi permette di estrarre dei valori (cioè dei campioni) del segnale ad intervalli di tempo regolari.

Se R� t 2H allora si ha il fenomeno di Nyquist cioè dal segnale campionato si potrà sempre tornare al segnale originale.

Se R� r 2H allora si ha l’aliasing (cioè la sovrapposizione degli spettri) che mi fa perdere la forma del segnale originale, quindi non potrò più ricostruirlo.

Processo di trasformazione da digitale ad analogico (Teorema del campionamento ideale):

Se t è molto piccolo, approssima una stringa di punti di campionamento istantanei che corrispondono ad un campionamento ideale.

La funzione campionatrice ideale ���� è costituita da un treno di impulsi:

���� � lims→��1q ⋅ ���� � S K�� � "J���AUVA

Quindi:

����� � ���� ⋅ ���� � S ��"J�� ⋅ K�� � "J���AUVA

Nota Teorica:

I segnali discreti (quindi anche i segnali campionati) vengono chiamati sequenze.

Filtro Ottimo

z��������� � I�� ⋅ N∗���N����� ⋅ ����L�

J� è l’istante di campionamento

[da completare]

Page 22: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Rumore Bianco

N����� � �

(���q� � � ⋅ K�q� Se "��� è un rumore bianco allora:

z��������� � �N∗��� ⋅ ����L�

Filtro Adattato

p��������� � I�� ⋅ N∗��� � J��N�����

Esempio:

���� � ()�L� .� � J�2 1p��������� �? p��������� � ()�L�∗ .� � J�2 1

Esercizi

Esercizio 1

Trasformare il seguente segnale sfruttando le derivate notevoli:

Esercizio 2

Trasformare il segnale dell’esercizio precedente sfruttando il metodo di derivazione.

Esercizio 3

Calcolare l’energia di:

���� � 2")��� ⋅ cos�4���

Page 23: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Esercizio 4

Dato:

���� � 2")��� ⋅ cos�2���� � ∈ �

Calcolare l’energia al variare di � e stabilire per quale valore di � l’energia è massima.

Esercizio 5

Convolvere e correlare le due sequenze per n che va da -2 a 2:

��"� � � ⋅ ��UD�"� � � ⋅ ��U?�"� � ��"� ∗ D�"� �? Esercizio 6

Dato:

���� � .5� ⋅ �1� ⋅ )���" 4�5 ⋅ �6 ⋅ M2")� .�51 Calcolarne la trasformata, il valore della trasformata in 0 e la potenza.

Esercizio 7

Dato:

���� � �24�� ⋅ #sin�2��� � sin�4���' ⋅ 2")�6�� Calcolarne la trasformata e la potenza.

Esercizio 8

Dato:

Calcolare: ~YY��� �?~YY�0� �?(YY�q� �?(YY�0� �? Esercizio 9

Sia dato un seganle ���� sinusoidale a scelta ma che abbia potenza pari ad 1 e �� � ��

Sia D��� il segnale risultate di un filtro passa basso di banda H � 3� applicato ad ����. Calcolare D�0�.

Page 24: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Esercizio 10

Dato:

���� � sin��H����

Calcolare la sua trasformata.

Esercizio 11

Dati:

���� � K .� � 12�1 � K .� � 12�1 z��� � �4����

Sapendo che E��� � ���� ⋅ z��� calcolare D���, ({{�q�N{

Esercizio 12

Dati:

���� � � ⋅ |�| ⋅ ()�����z��� � 2��E��� � ���� ⋅ z��� Calcolare D���. Esercizio 13

Dati:

���� � � ⋅ |�| ⋅ ()�����z��� � cos���� � � ⋅ sin���� � ���E��� � ���� ⋅ z��� Calcolare D���. Esercizio 14

Dato:

���� � cos����� Calcolare (YY�q�, (YY�0� Esercizio 15

Sia ���� un segnale sinusoidale con potenza pari ad 1 e frequenza portante pari a g� e sia z��� un filtro passa-

banda con �� � � e �� � 3�. Calcolare D��� sapendo che E��� � ���� ⋅ z��� Esercizio 16

Calcolare (���q� di un processo di rumore bianco con potenza pari a 3.

Esercizio 17

Calcolare il filtro adattato di ���� � ()�+, 4� � ��6 � ()�+, 4� � ��6

Page 25: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Esercizio 18

Calcolare le potenze dei seguenti segnali:

���� � ���� � ���D��� � √2� ⋅ cos 4�� � �136

Esercizio 19

Calcolare la trasformata di Fourier dei seguenti segnali:

���� � Ju2� .�4 � 21 D��� � � ⋅ K .� � 121 ?��� � sin����� Esercizio 20

Calcolare la convoluzione fra i segnali ���� e D��� dell’esercizio precedente e la seguente convoluzione:

()���� � 1� ∗ ��� � 2�

Soluzioni

Soluzione 1

���� � T ⋅ ()��v��� � �I � T� ⋅ �u2v��� ���� � 2HT ⋅ M2")�2�H� � �I � T�H ⋅ M2")���H� Soluzione 2

Derivo graficamente:

G � I � TH

D��� � T ⋅ K�� � H� � I � TH ⋅ ()�v .� � H21 � I � TH ⋅ ()�v .� � H21 � T ⋅ K�� � H� E��� � T ⋅ ����v � �I � T� ⋅ M2")��H� ⋅ ���v � �I � T� ⋅ M2")��H� ⋅ ���v � T ⋅ ����v

E��� � T ⋅ j����v � ����vk � �I � T� ⋅ M2")��H� ⋅ #���v � ���v'

Page 26: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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E��� � 2�T ⋅ sin�2��H� � 2��I � T� ⋅ M2")��H� ⋅ sin���H� E��� � 2�T ⋅ sin�2��H� � 2��I � T� ⋅ sin���H���H ⋅ sin���H� E��� � 2�T ⋅ �2��H� ⋅ M2")�2�H� � 2��I � T� ⋅ ���H� ⋅ M2")���H� ���� � E����2�� � 2HT ⋅ M2")�2�H� � �I � T�H ⋅ M2")���H� Soluzione 3

Mi calcolo la trasformata:

���� � ()���� ∗ 12 ⋅ #K�� � 2� � K�� � 2�' � 12 ⋅ ()��� � 2� � 12 ⋅ ()��� � 2� Mi calcolo l’energia del primo segnale e la sommo all’energia del secondo segnale ottenendo così l’energia totale. Le rect non compaiono perché negli intervalli che ho preso valgono 1, mentre gli altri intervalli li ho esclusi perché valgono 0.

~ � � |����|��� ��AA

� o12o� ��

��+,

�+,� � o12o

� ����+,

�+,� 14 ⋅ l.�2 � 12 � 2 � 121 � .2 � 12 � 2 � 121m

~ � 14 ⋅ #1 � 1' � 12

Soluzione 4

���� � 12 ⋅ #()��� � �� � ()��� � ��' Se – � � �� r � � �� quindi se � w �� Allora riotteniamo il caso dell’esercizio precedente

e quindi ~ � ��

Se – � � �� w � � ��

~ � � o12o� ��

 +,

 +,� � o12 � 12o

� �� � � o12o� ��

 �+,

 �+,

 �+,

 +,

~ � 14 �2� � 1� � 2� � 1 � 14 �2�� � 1 � �

Page 27: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Nel caso in cui le due rect sono completamente sovrapposte allora abbiamo l’energia massima che è 1.

Questo perché è come se avessimo solo l’integrale centrale scritto nell’espressione dell’energia del caso precedente.

Quindi l’energia è massima per � � 0 poiché il coseno diventa massimo (e poiché si ha una completa sovrapposizione).

Soluzione 5

��"� e D�"� possono anche essere riscritti come (guardare nota teorica num. complessi scritta alle pagine precedenti):

��"� � � ⋅ ��1�UD�"� � � ⋅ ��1�U

A questo punto vado a sostituire ad n i valori -2,-1,0,1,2 sia a ��"� che a D�"� guardando che valori numerici assumono:

���2� � ����1� � ����0� � ���1� � ����2� � � Quindi sinteticamente: ��"� � #�, ��, �, ��, �' stessa cosa vale per D�"� � #�, ��, �, ��, �' So che ?�"� avrà come estremi la somma degli estremi dei due segnali di partenza, quindi faccio:

�2 � ��2� � �4 che rappresenta l’estremo inferiore e 2 � 2 � 4 che rappresenta quello superiore.

Poiché ?�"� va da -4 a 4 allora dovrà ‘contenere’ 8 valori, quindi dovremmo ottenere qualcosa del tipo:

?�"� � #��������' Per convolvere i due segnali ne ribalto uno (ovvero scrivo i valori in ordine inverso), ad esempio ��"�: ���"� � #�, ��, �, ��, �' che risulta identico all’originale poiché simmetrico.

Ora ‘trascino’ ���"� sopra D�"� moltiplicando i valori in colonna e facendo la somma dei prodotti:

D�"� � #�, ��, �, ��, �' ���"� � #�, ��, �, ��, �' D�"� � #�, ��, �, ��, �' ���"� � #�, ��, �, ��, �' Quindi faccio � ⋅ � � �1 quindi ?�"� � #�1�������' D�"� � #�, ��, �, ��, �' ���"� � #�, ��, �, ��, �' Ora moltiplico in colonna – � ⋅ � � 1 e sommo il risultato al prodotto della seconda colonna � ⋅ �� � 1

Quindi ottengo: ?�"� � #�12������'

Page 28: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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D�"� � #�, ��, �, ��, �' ���"� � #�, ��, �, ��, �' Ora ho �� ⋅ �� � ��� ⋅ ��� � �� ⋅ �� � �3?�"� � #�1, 2, �3, �����' Continunando in questa maniera si ottiene: ?�"� � #�1, 2, �3, 4, �5, 4, �3, 2, �1' Per quanto riguarda la cross-correlazione (che in realtà in questo caso è un’auto-correlazione) prendo uno dei due segnali di partenza, lo ribalto e lo coniugo (ossia lo riscrivo in ordine inverso e cambio segno solo ai coefficienti delle parti immaginarie, non dei reali puri). Ad esempio ribalto e coniugo ��"�: �∗��"� � #��, �, ��, �, ��' e faccio la convoluzione con D�"�, quindi lo rigiro di nuovo ottenendo:

�∗�"� � #��, �, ��, �, ��' e a questo punto come visto sopra lo trascino sopra D�"� ottenendo come risultato la sequenza: #1, �2, 3, �4, 5, �4, 3, 2, 1' Soluzione 6

Semplifico ����: ���� � .5�1

� ⋅ �� ⋅ cos 4�f �6sin 4�f �6 ⋅ sin� 4�f �64�f6� ⋅ �� � .5�1� ⋅ cos 4�5 �6 ⋅ sin 4�5 �6

Mi calcolo la frequenza portante:

2���� � �5 � �w �� � 110

Trasformo:

���� � .5�1� ⋅ ¡12 ⋅ lK .� � 1101 � K .� � 1101m ∗ 12� ⋅ lK .� � 1101 � K .� � 1101m¢

���� � .5�1� ⋅ l 14� ⋅ K .� � 151 � 14� ⋅ K .� � 151m

Calcolo in 0:

��� � 0� � .5�1� ⋅ l 14� � 14�m � 0

Calcolo la potenza usando Parseval:

NY � S|TU|�U � �.5�1� ⋅ 14��

� � �.5�1� ⋅ � 14��

Soluzione 7

Mi semplifico ����:

Page 29: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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���� � �24�� ⋅ #sin�2��� � sin�4���' ⋅ sin�6���6�� � �4 ⋅ #sin�2��� � sin�4���' ⋅ sin�6��� Mi calcolo le frequenze portanti dei tre seni:

2���� � 6�� �w �� � 3

Allo stesso modo mi ricavo: sin�2��� �w �� � 1 sin�4��� �w �� � 2

���� � �4 ⋅ ¡ 12� ⋅ #K�� � 3� � K�� � 3�' ∗ 12� ⋅ #K�� � 1� � K�� � 1� � K�� � 2� � K�� � 2�'¢ ���� � K�� � 4� � K�� � 2� � K�� � 5� � K�� � 1� � K�� � 2� � K�� � 4� � K�� � 1� � K�� � 5� Calcolo la potenza usando Parseval:

NY � |1|� � |�1|� � |�1|� � |1|� � |�1|� � |1|� � |1|� � |�1|� � 8

Soluzione 8

Riscrivo in maniera più semplice il segnale considerandolo come una convoluzione:

���� � �� ⋅ 2") .12 �1 ⋅ sin 4�2 �6

~YY��� � |����|� � 2")� .12 �1 ⋅ sin� 4�2 �6

~YY�0� � 0

Calcolo l’autocorrelazione:

(YY�q� � �∗��q� ∗ ��q� Grafico dell’autocorrelazione:

Page 30: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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(YY�0� è uguale all’energia che è 1.

Soluzione 9

Scelgo come segnale sinusoidale il coseno perché così ho meno calcoli complicati da fare.

Quindi:

���� � I ⋅ cos�2����� Sapendo che :

(YY�q� � |I|�2 ⋅ cos�2����� (YY�0� � N � 1 |I|�2 � 1I � √2

So che:

E��� � ���� ⋅ z��� z��� è un passa basso che fa passare le frequenze comprese tra �3� e 3�. Poiché la �� del segnale ���� è

uguale a �� questa rientra nell’intervallo prima scritto e quindi il segnale passa e poiché il filtro è ideale risulta

in uscita identico, quindi: E��� � ���� E��� � √22 ⋅ #K�� � ��� � K�� � ���'D��� � √2 ⋅ cos�2����� D�0� � √2

Soluzione 10

Riscrivo meglio ����: ���� � sin��H���� ⋅ HH � H ⋅ M2")�H�� ���� � ()�v��� Esercizio 11

Primo metodo (procedo facendo il prodotto):

E��� � �4�� ⋅ . 12�1� ⋅ K .� � 12�1 � 4�� ⋅ . 12�1

� ⋅ K .� � 12�1 � �K .� � 12�1 � K .� � 12�1

Ho preso per il filtro come f, la portante del segnale di partenza.

D��� � �2� ⋅ sin��� Secondo metodo (sfruttando il filtro derivatore):

Mi riscrivo z��� � �4���� � ��2�����

Quindi derivo due volte ����:

Page 31: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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���� � 2� ⋅ sin��� D��� � ��#2� ⋅ sin���'��� � �#2� ⋅ cos���'�� � �2� ⋅ sin��� N{ � |I|�2 � |�2�|�2 � 2

(YY�q� � |I|�2 ⋅ cos�2����� � 2 ⋅ cos .2� ⋅ 12� �1 � 2 ⋅ cos��� Soluzione 12

E��� � � ⋅ |�| ⋅ ()����� ⋅ 2�� � �2�� ⋅ |�| ⋅ ()����� Quindi posso riscrivermi il problema come:

����� � |�| ⋅ ()�����z���� � �2��

Quindi basta che mi antitrasformo ����� per ottenere ����� che derivando una volta mi da proprio D���. Soluzione 13

Mi disegno ����

Quindi me lo posso riscrivere come:

���� � � ⋅ ()����� � � ⋅ Ju2��� ���� � 2� ⋅ 2")�2�� � � ⋅ 2")���� p��� � K .� � 121

D��� � ���� ∗ p��� � � .� � 121 � 2� ⋅ 2") �2 .� � 121� � � ⋅ 2")� .� � 121

Soluzione 14

Poiché so che l’antitrasformata del modulo quadro di ���� è uguale a (YY�q� procedo trasformando ����: ���� � 14 ⋅ K�� � 1� � 12 ⋅ K��� � 14 ⋅ K�� � 1� NYY��� � |����|� � 116 ⋅ K�� � 1� � 14 ⋅ K��� � 116 ⋅ K�� � 1� � 14 ⋅ K��� � 116 ⋅ #K�� � 1� � K�� � 1�'

Page 32: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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A questo punto antitrasformo NYY���: (YY�q� � 14 � 116 ⋅ 2 ⋅ cos�2���� Dove la frequenza portante è uguale ad 1, quindi: (YY�q� � �� � �¥ ⋅ cos�2�q� Nota: t e q sono la stessa cosa.

(YY�0� � 116 � 116 � 14 � 38

Soluzione 15

Mi sceglo come segnale sinusoidale un coseno visto che è più facile farci i calcoli, quindi avrò un segnale del tipo: ���� � I ⋅ cos�2����� Sapendo che:

N � 1 � |I|�2 �w I � √2

Quindi:

���� � √2 ⋅ cos .2� 7� �1 � √2 ⋅ cos�14�� La frequenza portante

g� è minore di � e maggiore di – � perciò il segnale non passa ed in uscita si ha:

D��� � 0

Se la portante fosse passata (cioè fosse stata compresa tra � e 3�) allora il segnale in uscita sarebbe stato lo stesso iniziale poiché è un filtro ideale mi scelgo � � 1 in modo tale che moltiplicato per ���� non mi modifica nulla.

Soluzione 16

(���q� � 3 ⋅ K�q�

Soluzione 17

p��������� � �∗��� � J��

Page 33: Fondamenti Telecomunicazioni Appunti I Parte

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Soluzione 18

La potenza del segnale ���� è pari a 2 poiché i due esponenziali se trasformati sono due delta con coefficiente 1 e quindi tramite parseval: NY � |1|� � |1|� � 2

N{ � |I|�2 � ¦√�� ¦�2 � 1

Soluzione 19

Mi riscrivo meglio ����: ���� � Ju2� �14 �� � 8�� � Ju2� .�41 ∗ K�� � 8� � Ju2¥��� ∗ K�� � 8� ���� � 8 ⋅ M2")��8�� ⋅ ����¥

D��� � � ⋅ K .� � 121

So che la delta vale 1 solo quando l’argoemento è uguale a zero, ossia solo quando (in questo caso) � � �� Sapendo che t è la retta bisettrice del primo e terzo quadrante e che la delta gli annulla tutti i valori tranne in

�� posso riscrivere il segnale come:

D��� � 12 ⋅ K .� � 121

E��� � 12 ⋅ ���

@��� � �14 ⋅ K�� � 1� � 14 ⋅ K�� � 1� � 12 ⋅ K���

Soluzione 20

?��� � ���� ∗ D��� � 12 ⋅ Ju2¥ .� � 172 1

Riguardo la seconda convoluzione si ottiene un ‘semi-trapezio’: