Las formulas usadas durante este parcial y que nos ayudaron para la resolucin de los ejercicios son las siguientes:

Distancia entre dos puntos:

Ecuacin vectorial de la recta:

Ecuaciones de la recta

Donde a, b, c con los nmeros directores y , , ) es el punto fijo.

Y en la forma simtrica

z-3=0

Si a = 0, x-x0=0b= 0, y-y0=0c = 0, z-z0=0

Distancia de un punto a una recta

Donde u es un vector paralelo a la rectaq es un vector del origen al punto que tenemos p es el vector del origen a un punto que pasa por la recta

ngulo entre dos rectas

Donde son vectores paralelos a las rectas.

Para que exista perpendicularidad entre dos rectas

Para que exista paralelismo entre dos rectas

Donde son vectores paralelos a las rectas.

Para calcular la distancia entre dos rectas

Donde son vectores perpendiculares a las rectas y son puntos que pasan por las rectas respectivamente.

Interseccin entre dos rectasTeniendo de una recta L1

Y de otra recta L2

Tenemos:

La interseccin la encontramos resolviendo este sistema de ecuaciones donde y son nuestra incgnitas.

Ecuacin del plano

Un plano es el conjunto de puntos P ( x, y, z) tales que el vector de posicin de cualquiera de ellos se puede expresar como la suma del vector de posicin y del punto mas dos vectores de posicin.

Es la ecuacin vectorial del plano.

La ecuacin general del plano es:

Ax + By + Cz + D = 0

Donde A, B, C son constantes y [ A, B, C ] son los nmeros directores de su normal. Se forma por

D sale por la suma de la multiplicacin de las constantes y el punto en el plano.

Para obtener la distancia de un punto a un plano entonces usamos:

Donde q es el vector del origen al punto, p es un punto que est en el plano y N es la normal del plano.

Para obtener el ngulo entre dos plano usamos:

Donde son las normales de los dos planos respectivamente.

Para que exista paralelismo entre dos planos entonces:

= 0

Para que exista perpendicularidad entre dos planos se debe cumplir:

= 0

Los planos pueden ser coincidentes si son paralelos y comparten un punto.

La distancia entre dos planos se puede calcular con a formula de la distancia entre un punto y un plano. Si nos dan las ecuaciones de los plano entonces nosotros tenemos que buscar un punto en cada de los planos, un punto Q, y otro punto P y la normal del plano en donde esta P. Cuando dos planos de intersectan entonces obtenemos una recta que describe esta interseccin y para obtener la ecuacin de la recta entonces nosotros tenemos que tener un punto que pase por esta interseccin y un vector paralelo a la recta. Este vector lo podemos obtener mediante el producto cruz entre las normales de los planos entonces lo que necesitamos seria:

y