UCV - EECA Matemática II 2º Parcial

(I.I.S.C)

(I.I.P.C.)(I.I.S.C.)

Analizamos si g(x) Converge y si esta Converge, entonces Converge f(x)

Integrales Impropias de

Cualquier Clase

Buscamos un tal que,CRITERIO DE COMPARACIÓN II

(no se cumple el reciproco)

Analizamos si g(x) Diverge y si esta Diverge, entonces Diverge f(x)

Buscamos un tal que,Integrales Impropias de

Cualquier Clase

Convergencia

Es una Integral Impropia de Primera Clase (I.I.P.C.)

p > 1 → Converge

p ≤ 1 → Diverge

Al Cumplirse lo Anterior

Converge

se tiene que

Forma de la Integral Condición

Convergencia

Convergencia

INTEGRAL IMPROPIA DE PRIMERA CLASE

(I.I.P.C.)

INTEGRAL IMPROPIA DE SEGUNDA CLASE

(I.I.S.C.)

Estas Integrales se dicen Convergente si y solo si existe el Limite (L) ; es

decir, si su Limite (L) es un número real finito (L ∈ ℝ).

Cuando la Integra No Esta Definida en b

Cuando la Integra No Esta Definida en a

Estas Integrales se dicen Convergente si y solo si existe el Limite (L) ; es

decir, si su Limite (L) es un número real finito (L ∈ ℝ).

INTEGRALES IMPROPIAS Forma de la Integral Limite de la Integral

CONDICIÓN SUFICIENTE

Condición

L = 0 (cero) ConvergeL ≠ 0 (cero) Diverge

CONDICIONES DE CONVERGENCIA

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

(Criterio de Cauchy)

Forma de la Integral

CONDICIÓN NECESARIA (no se cumple el reciproco) (I.I.P.C.)

INTEGRAL IMPROPIA DE CLASE MIXTA

Una Integral es de Clase Mixta si ella es Igual a la Suma de Varias Integrales Impropias , que pueden ser de la misma clase o de diferentes clase .

P-Integral o Integral P Forma de la Integral Convergencia

CRITERIOS DE COMPARACIÓN

CRITERIO DE COMPARACIÓN I

(no se cumple el reciproco)

f x dxb

( )−∞∫

f x dxa

( )+∞

∫ f x dx f x dx La b a

Lim( ) ( )+∞

→+∞

+∞

∫ ∫⇒ =

f x dx f x dx Lb

a

b

Lim( ) ( )−∞ →−∞ −∞∫ ∫⇒ =

f x dxa

b

( )∫f x dx f x dx L

a

b

c b a

c

Lim( ) ( )⇒ =∫ ∫→ −

f x dx f x dx La

b

c a c

b

Lim( ) ( )⇒ =∫ ∫→ +

dxx p

1

+∞

∫

( ) ( )( )∀ > ∃ ∈ε 0 d a b; : ( )∀ ∈y z d b, ;

f x dxy

z

( )∫ < εf x dx

a

b

( )∫f x dx

a

b

( )∫

f x dxb

( )−∞∫

xLim f x L→+∞

=( )

xLim f x L→−∞

=( )

xLim f x L→±∞

=( )

f x dxa

( )+∞

∫

f x g x( ) , ( )≥ ≥0 0 ∀ ∈x R

0 ≤ ≤f x g x( ) ( ) [ ) ( ]∀ ∈ + ∞ − ∞x a o b, ,

g x( )

g x( )f x g x( ) ( )≥ [ ]∀ ∈x a b,

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática II 2º Parcial

Si

Si

CRITERIO DE COMPARACIÓN POR PASO AL LIMITE

Integrales Impropias de

Cualquier Clase

- Caso ② ( L > 0)

Si L > 0 finito, entonces ambas Integrales Converge o Divergen

- Caso ③ ( L = +∞)

Si L = +∞ y la Integral Impropia g(x) Diverge entonces la integral

Impropia f(x) Diverge

g(x) = Es una Función Conocida (No Reciproco)

Convergencia

? = Depende de la Integral que se evalue

- Caso ① ( L = 0)

Si L = 0 y la Integral Impropia g(x) Converge entonces la integral

Impropia f(x) Converge

Condición

(No Reciproco)

(Si Reciproco)

OTROS CRITERIOS DE COMPARACIÓN

Forma de la Integral

L < 1 → Converge(I.I.P.C.)CRITERIO DE LA RAÍZ

② L > 0 ( L =+∞) ̂p ≤1 Div.

CRITERIO DE LA POTENCIA

① L ≥ 0 ^ p >1 → Conv.

(I.I.P.C.)

(I.I.S.C.)

① L ≥ 0 ^ p <1 → Conv.

② L > 0 ( L =+∞) ^ p ≥1 Div.

Converge

Convergencia Absoluta (Condición)

CONVERGENCIA CONDICIONAL

Convergencia Condicional (Condición)

Converge entonces

CONVERGENCIA ABSOLUTA

Una Integral Impropia se dice que es Absolutamente

Convergente si la Integral del Valor Absoluto de la Función

es Convergente

No Converge

Una Integral Impropia se dice que es Condicionalmente

Convergente si ella por si sola es Convergente, pero el Valor

Absoluto de la Función no Convergente

Converge y

xLim f x

g xL

→=

?

( )( )

x

pLimx f x L→±∞

=( )

x a

pLim x a f x L→ +

− =( ) ( )

x b

pLim b x f x L→ −

− =( ) ( )

x

xLim f x L→±∞

=( )

f x dxa

b

( )∫f x dxa

b

( )∫

f x dxa

b

( )∫ f x dxa

b

( )∫

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática II 2º Parcial

②

③

⑦

①

②

③

④

; m ∈ ℤ+

(I.I.P.C.) → Converge si ( x ∈ Dom. F(x) > 0 )

Forma de la Integral

④

⑤⑤

⑥⑥

⑦

Por lo general → (I.I.S.C.)

①

INTEGRALES DE EULER

FUNCIÓN BETA ( β )FUNCIÓN GAMMA ( Γ )FUNCIÓN

FUNCIÓN DE DENSIDAD Función de Densidad (Condición)

①

⑧

P R

O P

I E

D A

D E

S

② Rieman Integrable sobre

③

④

f (x) es una Función de Densidad

VALOR PROMEDIO DE " X " VALOR PROMEDIO DE " X 2 "

Si f(x) es una Función de Densidad el Valor Promedio de " X ", respecto a la Función de Densidad, viene dada por:

Si f(x) es una Función de Densidad el Valor Promedio de " X 2 ", respecto a la Función de Densidad, es:

f x( ):R R→

[ ]a b, ⊂ R

f x x( ) ,≥ ∀ ∈0 R

f x dx( )-

+

∞

∞

∫ = 1

X xf x dx=−∞

+∞

∫ ( ) X x f x dx2 2=−∞

+∞

∫ ( )

Γ :R R+ →

Γ ( )p x e dxp x= −+∞

−∫ 1

0

Γ ( )1 1=

Γ ( ) ( )!p p= − 1

x e dx pa

ap axp

−+∞

−∫ = >1

0

0Γ ( ) ,

Γ Π( )12 =

Γ ΓΠ Γ( ) ( ) ( )p p p

p+ =−

12

222 1

β ( , ) ( )p q x p x dxq= − − −∫ 1 1 1

0

1

β :R R R+ +× →

β β( , ) ( , )p q q p=

β ( , )12

12 = Π

β ( , ) ( ) ( )( )

p q p qp q

=+

Γ ΓΓ

β β β( , ) ( , ) ( , )p q p q p q= + + +1 1

p p q p q p qβ β( , ) ( ) ( , )= + + 1

β β( , ) ( , )p q qp

p q=−

+ −1 1 1

β β( , ) ( , )p q pp q

p q=−

+ −−

11

1

Γ ΓΠ

Π( ) ( )

( ),p p

Sen pp1 0 1− = < <

ΓΠ( ) ( )!

!m m

m m+ =12

222

Γ Γ( ) ( )p p p+ =1

Elaborado por: Eder Nunes