CLASA A IX – A ALGEBRĂ

EXPLICITAREA MODULULUI: |x| =

PROPRIETĂŢI1. 2.3.4.

5.

6.Ex:

FUNCŢIA DE GRADUL II

f. descompusă (forma canonică)!

axă de simetrie

COORD. V: V

SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL II

xf(x) semn a

X X1,2

f(x) Semn contrar a semn a

X X1 X2

f(x) Semn a semn semn a contrar a

RELAŢII ÎNTRE RĂDĂCINI ŞI COEFICIENŢI

S = x1 + x2 = P = x1 x2 = x2 – Sx+P = 0

1

CÂND SE CUNOSC COORDONATELE:

DISTANŢA ÎNTRE DOUĂ PUNCTE ÎN PLAN

A(X1Y1) B(X2Y2) d(A,B) =

COORDONATELE MIJLOCULUI UNUI PUNCT

ECUAŢIA DREPTEI

PANTA DREPTEI AB mAB =

AriaABCD = AABC + AACD =

SISTEME SIMETRICE

S = x + y P = xyx2 + y2 = S2 – 2Px3 + y3 = S(S2-3P) x4 + y4 = S4-4S2P + 2P2

t2 + St + P = 0 ec. caracteristică pentru sisteme simetrice

PUTERI SI RADICALI

1. 5.

2. 6. 3. 7. 4.

!

2

FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ

1.

X -2 -1 0 1 22x

1 2 4

2x – monoton crescătoare

2.

X -2 -1 0 1 2f(x)

4 2 1

- monoton descrescătoare

PROPRIETĂŢI

1. f(x) = ax – monoton crescătoare pt. - monoton descrescătoare pt.

2. este bijectivă - injectivă

- surjectivă

CLASA A X – A ALGEBRĂ

POLINOAME

- valoarea numerică a polinomului

TEORIA LUI BEZOUT

TEORIA ÎMPĂRŢIRII CU REST

3

polinomul este divizibil

CMMDC = [P,Q] – (luăm factorii comuni la puterea cea mai mică o singură dată şi îi înmulţim)

[P,Q] = 1 polinoamele se numesc primele între ele

CMMMC (P,Q) – (produsul factorilor comuni şi necomuni o singură dată la puterea cea mai mare)

Dacă

RĂDĂCINI MULTIPLE

- spunem că f admite pe a ca rădăcină multiplă de ordinul K, dacă

f este (x-a)k SAU f = (x-a)k . hf cu (x-a)(x-b) SAU

ECUAŢII RECIPROCE

- au coeficienţii termenilor extremi egali, iar coeficientul egal depărtat de extremii toţi egali. Se notează cu

şi

! Admite rădăcina şi orice ecuaţie reciprocă

RELAŢII ÎNTRE RĂDĂCINI ŞI COEFICIENŢI

ECUAŢII DE GRADUL II ax2 + bx + c = 0

S = x1 + x2= -

P = x1x2 =

ECUAŢII DE GRADUL III

ax3 + bx2 + cx + d = 0a(x-x1)(x-x2)(x-x3) = 0

notez cu S1 = x1 + x2 + x3 = -

S2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 =

4

S3 = x1x2x3 = -

ECUAŢII DE GRADUL IV

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)= 0

S1 = x1+x2+x3+x4 = -

S2 =x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4 =

S3 = x1x2x3+x2x3x4+x1x2x4+x1x3x4 = -

S4 = x1x2x3x4 =

O funcţie este BIJECTIVĂ dacă este şi INJECTIVĂ şi SURFECTIVĂ

I. O funcţie f : A B este injectivă dacă:1. sau2.

II. o funcţie este jurjectivă dacă x A a.î. f(x) = y

L O G A R I T M I

FUNCŢIA LOGARITMICĂ

f(x) = logax : (0, + ) -

Ex: !

PROPRIETĂŢI

1. C.E. a >0, a 0, x> 0 ! 6. loga x = loga x

2. loga a = 1 7.

3. loga 1 = 0 8. ax = y x = logay

4. loga xy = loga x + loga y 9. loga x =

5

5. loga = loga x - loga y (schimbarea bazei din a în b)

I N D U C Ţ I E

1 + 2 + 3 + … + n =

12 + 22 + 32 +……+ n2 =

13 + 23 + 33 +……+ n3 = sau

12 + 32 + 52 + …… + (2n - 1)2 =

22 + 62 + 82 + …….. + (4n – 2)2 =

13 + 33 + 53 + …….+ (2n – 1)3 = n2(2n2 – 1)

1 . 2 + 2 . 3 + …….. + n(n + 1) =

1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 + …….. + n(n+1)(n+2) =

1 . 4 + 2 . 7 + 3 . 10 + ……. + n(3n+1) = n(n+1)2

1. ETAPA DE VERIFICARE

6

A

A

pt. n = k Pk 1+2+3+…+k =

ETAPA DEMONSTRATIVĂ

k+1 +(k+1) =

A

2. ETAPA DEMONSTRATIVĂ

12+22+32+……+k2 +(k+1)2 =

2k2+k+6k+6 = 2k2+3k+4k+6 1=1 A

ARANJAMENTE ; COMBINĂRI

Tk+1 = termenul general al dezvoltării

Pn = 1 . 2 . 3. …. . n = n!

1!=1 2! = 1. 2 3! = 1 . 2 . 3

SUMA COEFICIENŢILOR BINOMINALI

BINOUMUL LUI NEWTON Tk+1

termenii: - raţionali – fără radical

- iraţionali – cu radical

P R O G R E S I I1. ARITMETICE a1, a2, a3 ……. an

a2 = a1 + r (r = raţia)a3 = a2 + r = a1+2r

7

Sn = a1 + a2 + a3 +……. + an =

(suma progresiilor)

a1, a2, a3 : r = a2 – a1

a1, a2, a3, a4 :

2. GEOMETRICE b1, b2 ……bn b2 = b1 . q b3 = b2 . q

b1, b2, b3

CLASA A XI – A ALGEBRĂ

PERMUTĂRIf : {1, 2, 3…… n} {1, 2, 3…… n} (se numeşte permutare dacă este

bijectivă)

Notez e = - permutare

identică

orice permutare compusă

|| cu una didentică va da prima permutare!

MATRICE ex: 2x+3 = 5 2x=2 x =

1 -4y – 6 = -2 y = -1

DETERMINANŢI “ÎNTRE - BARE”

Regula lui SARRUS:Caclulul determinatului

8

SAU ex:

REGULA TRIUNGHIULUI:

Linia principală paralelă a

linia secundară paralelă i

RANGUL UNEI MATRICI

Ordinul minomului cel mai mare diferit de 0 ( 0) !

RANGUL 3

A det. A = (3+0+16) - (12+18+0) =

= 19 – 30 = -11 0RANGUL A = 2

A

INVERSA UNEI MATRICI

- o matrice este inversabilă det A 0- inversa unei matrici este tot o matrice

Dacă det A 0

A = A* =

9

Ex: ; se calculează

SISTEME DE ECUAŢII

Ex: A = det A =

MODEL DE REZOLVARE A UNUI SISTEM

I.

I.

10

a) a = 1 IMPOSIBIL

b) a = -2

x,y = necunoscute prime z = necunoscute secundare

CLASA A XI – A ANALIZĂ

Ş I R U R I

a1, a2, a3 …….…. An

1,

MOD DE DEFINIRE

1. prin enumerarea termenilor

2. prin termenul general (ex. )

3. printr-o proprietate a termenilor; ex. termenii sunt multipli de 3 : 3, 6, 9 … 3n

4. relaţie de recurenţă; ex. an + 2= a(n+1) + 3

MONOTONIA ŞIRURILOR

1. CRESCĂTOR

11

> 1 criteriul raportului

2. DESCRESCĂTOR

MĂRGINIREA(an) mărginit

Un şir se numeşte CONVERGENT dacă este monoton şi mărginit. Pentru a studia monotonia unui şir se calculează

diferenţa a n+1 – an sau raportul .

Un şir care nu este convergent este DIVERGENT.

DISTANŢA ÎNTRE DOUĂ PUNCT PE

A(x), B(x) d(A,B) = |y-x|

FUNCŢII MĂRGINITE

m = inf f(x) = margine inferioară a lui fm = sup f(x) = margine superioară a lui f

DOMENII DE DEFINIŢIE ALE FUNCŢIILOR

1. f(x)) = P(x) f(x) : R R

2. f(x)) = , Q(x) 0

3. f(x) = , x 0 ex: f(x) =

4. f(x) = logax, x > 0, a > 0, a 1

5. f(x) = ax f : R R+ =(0, + )

6. f(x) = sin (x), f: [0,2 ] [-1,1]

12

f(x) = cos x, f: [0,2 ] [-1,1]

* a,b R max(a,b) =

min(a,b) =

* f(x) – pară f(-x) = f(x) f(x) – impară f(x) = -f(x)

COMPUNERE

Ex:

C O N T I N U I T A T E

Fie o funcţie f : A RXo A, f – cont în Xo lims = limd = f(xo)

PROPRIETĂŢI1. Orice funcţie continuă în toate punctele unui interval se

spune că este continuă pe acel interval;2. Funcţiile elementelor (polin, funcţ, raţ, trigonom,

exponenţiale, radicali) sunt continue pe domneiu lor de definiţie;

3. Dacă f : I R, I – interval, f continuă f(I) – este interval - o funcţie continuă duce un interval într-un intervalf(x) = sinx f: [0,2 ] [-1,1] f: [(0,2 )] [-1,1]

4. O funcţie continuă pe un interval închis este mărginită

ex: f(x) = 2x+3 : [0,1] R x [0,1]

LEMĂ: funcţia f : [a, b] R – cont, f(a) . f(b)<0 c (a, b), a.î.

FUNCŢII DERIVABILE

Fie f : A R xo A

Notăm devine laterală stânga

devine laterală dreapta

dacă f este derivabilă în xo

13

Notez = m = tg

Ex. se aplică regula lui L’Hospital, adică se

derivează separată numărătorul şi separat numitorul.

; ; ; ; ; ;

Ecuaţia tg într-un punct xo

T E O R E M E

Funcţie ROLLE – este f continuă şi derivabilă pe intervalul [a, b]

Teorema lui FERMAT – dacă xo este un punct de min/max pentru f, atunci f’(xo) = 0

Teorema lui ROLLE f este f Rolle şi f(a) = f(b), ( ) c a.î, f’(c) = 0

Teorema LAGRANGE – dacă f este o funcţie Rolle, ( ) c [a, b]

f: , spunem că f îndeplineşte condiţiile teoremei lui Rolle dacă sunt adevărate afirmaţiile:

a) f este continuă pe ;

b) f este derivabilă pe (a,b);

c)

O funcţie îndeplineşte funcţiile lui Lagrange dacă îndeplineşte condiţiile teoremei lui Rolle pe .

Teorema lui COUCHY – dacă f . g: funcţii Rolle pe [a, b] ( ) c a.î

14

DERIVATELE DE ORDIN SUPERIOR

CAZUL I

DEM:

Punctele de extrem a unei funcţii se găsesc rezolvând ecuaţia f’(x) = 0, iar punctele de inflexiune se găsesc rezolvând ecuaţia f’’(x) = 0.

Dacă nu există puncte de inflexiune şi nici de extrem.Pentru a găsi domeniul maxim de definiţie pentru o

fracţie punem condiţia ca numitorul să fie 0 şi se pune pe axă. În cazul x1 şi x2 = i nu se pune pe axă.

CAZUL II

REGULI DE DERIVARE

C O N V E R G E N Ţ A

lim an=a ex:

I. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este mai mic decât gradul numitorului şi limita tinde la , atunci limita este 0.

15

Ex.

II. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este egal cu gradul numitorului şi limita tinde la , rezultatul limitei este raportul coeficienţilor gradului cel mai mare.

Ex.

III. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este mai mare decât gradul numitorului şi limita tinde la , rezultatul limitei este .

Ex.

LIMITE DE FUNCŢII

Dacă F : A R dacă ls = ld

Sau dacă

lims, limd – când Q(a) = 0

LIMITE DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE

,

,

,

16

ASIMPTOTELE FUNCŢIILOR

X - - 2 -1 - 0 1 2 +

f(x) - -1 -2 2 1

ASIMPTOTE VERTICALE

asimptotă verticală la dreapta

asimptotă verticală la stânga

[limita tinde către valoarea care f(x)]

REPREZENTAREA GRAFICĂ:1. Domenii de definiţie2. Semnul funcţiei3. Lim la capetele int4. Intersecţia cu axele de coord5. f’(x) + semnul ei6. f’’(x) + semnul ei7. Asimptote8. Tabel general9. Graficul

ASIMPTOTE OBLICE

m, n R (finit)

MONOTONIA FUNCŢIILOR (f’(x))f’(x) < 0 f(x) monoton descrescătoare f’(x) > 0 f(x) monoton crescătoare

CONCAVITATE, CONVEXITATE (f’’(x))

f’’(x) < 0 f este concavă

f'’’(x) > 0 f este convexă (după calculul derivatei a II-a, se egalează cu 0 şi se obţin punctele de inflexiune)

17

ASIMPTOTE ORIZONTALE

(tinde către şi dă un număr)

1 – asimptotă orizontală

DERIVATELE FUNCŢIILOR COMPUSE

;

18

CLASA A XII – A ALGEBRĂ

G R U P(G, *) grup dacă:

Grup finit – este format de o mulţime cu un număr finit de elemente. ex: (R5, +)Grup infinit - este o infinitate de elemente (R, +) două numere sunt prime între ele dacă au CMMDC = 1Teor: În (Rn, ) ( ) elemente inversabile numai acelea prime cu n . (x, n) = 1

INEL: (A, *, 0) dacăI. (A, *) – grup comutativ ANSCII. (A, 0) – monoid (PAN)III. distributivitate ( ) x, y, z A,

CORP (k, *, 0) - dacă

I. (A, *) – grup comutativ Corp – comutativII. (A, o) – grup PANS II – grup comutativIII. distributivitate

Ex: (R1 + 1 .) (R,+) – grup (R*, .) - grup comut

CLASE DE RESTURI

0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 1

19

3 3 4 0 1 24 4 0 1 2 30, 2, 4, 6, 8 ….r = 0 8, 0 = 0(2)

I.II.

A

III. IV.-1 = 4, -2 = 3, -3 = 2, -4 = 1

V. A

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 1’=1 0 0 0 0 0 0 0 0 1’=1

1 0 1 2 3 4 5 5’=1 1 0 1 2 3 4 5 6 2‘=4

2 0 2 4 0 2 4 2 0 2 4 6 1 3 5 3‘=5

3 0 3 0 3 0 3 3 0 3 6 2 5 1 4 4’=2

4 0 4 2 0 4 2 4 0 4 1 5 2 6 3 5’=3

5 0 5 4 3 2 1 5 0 5 3 1 6 4 2 6’=6

6 0 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(12,1) = 1 1 (12,2) = 2 (12,3) = 3 (12,4) = 4 (12,5) = 1 (12,6) = 6 (12,7) = 1 (12,8) = 4 (12,9) = 3 (12,10) = 2 (12,11) = 1 (12,12) =10

Z12 G = {1,5,7,11}POLIM: f,g

CLASA A XII – A ANALIZĂ

TABEL DE INTEGRALE NEDEFINITE

1.

2.f : J

3.

20

4. !

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. !

14. !

15. !

f f’g’ g

A R I I

21

Sumă Riemann asociată lui f şi diviziunii d

definită nr. real

ex:

VOLUMUL

=

grad P = grad Q : P(x) : Q(x) = C(x),r = rest

Notez:

22

ex:

notez

ECUAŢIA CERCULUI

I.

II.

ECUAŢIA PARABOLEI

ECUAŢIA ELIPSEI

ECUAŢIA HIPERBOLEI

FUNCŢII INTEGRABILE

Def. O f este integrabilă pe [a,b] dacă

C.E. pentru ca o funcţie să fie integrabilă (să admită primitivă)23

II. f cont – implică f integrabilăIII. f transformă un interval în interval f este integrabilă, adică f : I f integrabilă

f integrabilă(dacă J interval)

f cont în 0 lims=limd = f(o)PROPRIETĂŢILE FUNCŢIILOR INTEGRABILE

1. Dacă

2.

3. Dacă f(x) este mărginită, atunci

4.

5.

6.

7. Teorema de medie .Dacă f este continuă, deci integrabilă a.î.

8. Dacă !

24

1. 2 = 1 51. 2 = 2.6012. 2 = 4 52. 2 = 2.7043. 2 = 9 53. 2 = 2.8094. 2 = 16 54. 2 = 2.9165. 2 = 25 55. 2 = 3.0256. 2 = 36 56. 2 = 3.1367. 2 = 49 57. 2 = 3.2498. 2 = 64 58. 2 = 3.3649. 2 = 81 59. 2 = 3.48110. 2 = 100 60. 2 = 3.60011. 2 = 121 61. 2 = 3.72112. 2 = 144 62. 2 = 3.84413. 2 = 169 63. 2 = 3.96914. 2 = 196 64. 2 = 4.06915. 2 = 225 65. 2 = 4.22516. 2 = 256 66. 2 = 4.35617. 2 = 289 67. 2 = 4.48918. 2 = 324 68. 2 = 4.62419. 2 = 361 69. 2 = 4.76120. 2 = 400 70. 2 = 4.90021. 2 = 441 71. 2 = 5.04122. 2 = 484 72. 2 = 5.18423. 2 = 529 73. 2 = 5.32924. 2 = 576 74. 2 = 5.47625. 2 = 625 75. 2 = 5.62526. 2 = 676 76. 2 = 5.77627. 2 = 729 77. 2 = 5.92928. 2 = 784 78. 2 = 6.08429. 2 = 841 79. 2 = 6.24130. 2 = 900 80. 2 = 6.40031. 2 = 961 81. 2 = 6.56132. 2 = 1.024 82. 2 = 6.72433. 2 = 1.089 83. 2 = 6.88934. 2 = 1.156 84. 2 = 7.05635. 2 = 1.125 85. 2 = 7.22536. 2 = 1.296 86. 2 = 7.39637. 2 = 1.369 87. 2 = 7.569

25

38. 2 = 1.444 88. 2 = 7.74439. 2 = 1.521 89. 2 = 7.92140. 2 = 1.600 90. 2 = 8.10041. 2 = 1.681 91. 2 = 8.28142. 2 = 1.764 92. 2 = 8.46443. 2 = 1.849 93. 2 = 8.64944. 2 = 1.936 94. 2 = 8.83645. 2 = 2.025 95. 2 = 9.02546. 2 = 2.116 96. 2 = 9.21647. 2 = 2.209 97. 2 = 9.40948. 2 = 2.304 98. 2 = 9.60449. 2 = 2.401 99. 2 = 9.80150. 2 = 2.500 100.2 = 10.000

N – naturale: 0, 1, 2, 3, etc.

Q – fracţionare: , etc

R – reale: Z – întregi: -2, -7, 4, 5, etc.C – complexe: i

Im - imaginea unui număr complex – partea imaginară a numărului complex

Modulul numărului complex

i = ii = -1i3 = i2 i = -ii4 = i3 i = -i i = -i2 = 1i5 = i4 i = 1 i = i

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2 sau a3 + b3 + 3ab(a + b)a2 – b2 = (a – b)(a + b)a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc(a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2ac - 2bc(a + b + c)3 = (a + b + c)2(a + b + c)x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1)x5 + 1 = (x + 1)(x4 – x3 + x2 – x + 1)x7 + 1 = (x + 1)(x6 – x5 + x4 – x3 + x2 – x + 1)

26

; ; ;

Transformarea unui număr în baza ex. 10:24768 10 = 2 . 104 + 4 . 103 + 7 . 102 + 6.101 + 8. 100

27