Upload
lekien
View
384
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
FORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
OSNOVNI OPERATORI U KARTEZIJEVIM, CILINDARSKIM I SFERNIM KOORDINATAMA
⎪⎭
⎪⎬
⎫
===
zzsinrycosrx
ϑϑ
2 2r x yyarctgx
z z
ϑ
⎫= + +⎪⎪= ⎬⎪
= ⎪⎭
⎪⎭
⎪⎬
⎫
===
ψϑψϑψ
cosRzsinsinRycossinRx
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
+=
+++=
xy
arctg
zyx
arctg
zyxR
ϑ
ψ22
222
Cilindarske koordinate Sferne koordinate TABLICA 1.1 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u kartezijevim koordinatama
kji zyxzzyyxx vvvevevevv ++≡++=
kji zyxzzyyxx wwweweweww ++≡++= ( )⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
TTTTTTTTT
T
zv
yv
xv
v zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇
2
2
2
2
2
22
zs
ys
xss
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇
[ ]xss x ∂
∂=∇ [ ]
zv
yvv yz
x ∂
∂−
∂∂
=×∇ [ ]z
Ty
Tx
T zxyxxxx ∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=TDiv
[ ]yss y ∂
∂=∇ [ ]
xv
zvv zx
y ∂∂
−∂∂
=×∇ [ ]z
Ty
Tx
T zyyyxyy ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=TDiv
[ ]zss z ∂
∂=∇ [ ]
yv
xv
v xyz ∂
∂−
∂
∂=×∇ [ ]
zT
yT
xT zzyzxz
z ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=TDiv
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv x
zx
yx
xx ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∇⋅
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv y
zy
yy
xy ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇⋅
[ ]z
wv
yw
vx
wvwv z
zz
yz
xz ∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∇⋅
ϑ
x y
z
(x,y,z)ili(r,ϑ,z)
xy
z
(x,y,z)ili(R,ψ,ϑ)
R
ϑ
x y
z
Ψ
xy
z
r
Alternativne oznake
ii
exs
ss∂∂
==∇ grad
i
i
xv
vv∂∂
==⋅∇ div
rot kijk i
j
vv v ex
ε ∂∇× = =
∂
2Δ ∇=∇⋅∇=
FORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.2 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u cilindarskim koordinatama
zzrr evevevv ++= ϑϑ ϑϑ sinvcosvv yxr +=
zzrr eweweww ++= ϑϑ ϑϑϑ cosvsinvv yx +−= zz vv =
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zzzzr
zr
rzrrr
TTTTTTTTT
ϑ
ϑϑϑϑ
ϑ
T
zvv
rrv
rrv z
r ∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ϑϑ1)(1)(
2
2
2
2
22 1)(1)(
zss
rrsr
rrs
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂∂
=∇ϑ
[ ]rss r ∂
∂=∇ [ ]
zvv
rv z
r ∂∂
−∂∂
=×∇ ϑ
ϑ1
[ ]ϑϑ ∂
∂=∇
sr
s 1 [ ]r
vz
vv zr
∂∂
−∂
∂=×∇ ϑ
[ ]zss z ∂
∂=∇ [ ]
ϑϑ ∂∂
−∂∂
=×∇ rz
vr
)rv(rr
v 11
[ ]r
TT
zT
rrT
rr zrrrrrϑϑ
ϑϑ−
∂∂
+∂∂
+∂∂
=1)(1DivT
[ ]r
TTT
zT
rTr
rrrr
zrϑϑ
ϑϑϑϑϑ ϑ−
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=1)(1Div 2
2T
[ ] zzzrzz Tz
Tr
rTrr ∂
∂+
∂∂
+∂∂
= ϑϑ1)(1DivT
[ ] )()1()(z
wv
rww
rv
rw
vwv rz
rrrr ∂
∂+−
∂∂
+∂
∂=∇⋅ ϑ
ϑ ϑ
[ ] )()1()(z
wv
rww
rv
rw
vwv zr
r ∂∂
++∂
∂+
∂∂
=∇⋅ ϑϑϑ
ϑϑ ϑ
[ ] )()1()(z
wv
wr
vr
wvwv z
zzz
rz ∂∂
+∂∂
+∂
∂=∇⋅
ϑϑ
xy
z
reϑe
ze
ϑ
r
xyz
FORMULE: 1. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / 3
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.3 Osnovne operacije deriviranja skalarnih ( s ) , vektorskih ( w,v ) i tenzorskih (T ) polja u sfernim koordinatama
ϑϑψψ evevevv RR ++= ψϑψϑψ cosvsinsinvcossinvv zyxR ++=
ϑϑψψ eweweww RR ++= ψϑψϑψψ sinvsincosvcoscosvv zyx −+=
ϑϑϑ cosvsinvv yx +−=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ϑϑϑψϑ
ψϑψψψ
ϑψ
TTTTTTTTT
R
R
RRRR
T
ϑψψ
ψψϑ
ψ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇v
sinRsinv
sinRvR
RRv R
1)(1)(1)( 22
2
2
2222
22 1)(1)(1)(
ϑψψψ
ψψ ∂
∂+
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∇s
sinRssin
sinRRsR
RRs
[ ]Rss R ∂
∂=∇ [ ]
ϑψψ
ψψψ
ϑ ∂
∂−
∂∂
=×∇v
sinRsinv
sinRv R
1)(1
[ ]ψψ ∂
∂=∇
sR
s 1 [ ] )(11ϑψ ϑψ
RvRR
vsinR
v R
∂∂
−∂∂
=×∇
[ ]ϑψϑ ∂
∂=∇
ssinR
s 1 [ ]ψψϑ ∂
∂−
∂∂
=×∇ RvR
RvRR
v 1)(1
[ ]R
TTT
sinRsinT
sinRTR
RRRRRRR
ϑϑψψϑψ ϑψ
ψψψ
+−
∂∂
+∂∂
+∂∂
=1)(1)(1Div 2
2T
[ ]R
cotTTTT
sinRsinT
sinRTR
RRRR
Rψ
ϑψψ
ψψϑϑψψ
ϑψψψψψ−−
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=)(1)(1)(1Div 3
3T
[ ]R
cotTTTT
sinRsinT
sinRTR
RRRR
Rψ
ϑψψ
ψψϑψϑϑ
ϑϑϑψϑϑ+−
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=)(1)(1)(1Div 3
3T
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂
∂=∇⋅
Rww
Rv
Rww
Rv
Rw
vwv RRRRR
ϑϑ
ψψ ϑψψ sin
11
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂
∂+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂=∇⋅ ψ
ϑψψϑψ
ϑψ
ψψ
ψ cotR
wwsinR
vR
wwR
vR
wvwv R
R11
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂=∇⋅ ψ
ϑψψψϑ
ϑϑ
ψϑ
ϑ cotsin11
Rw
Rww
Rv
wR
vR
wvwv R
R
y
z
x
ψ
ϑ
Re
y
ϑe
ψeR z
x
FORMULE: 2. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Potencijal brzine i strujna funkcija elementarnih strujanja
(u kartezijskim i polarnim koordinatama)
Strujanje Potencijal ϕ Strujna funkcija ψ Brzine 1v i 2v
Paralelno
strujanje
brzinom
1 2( , )V V V=�
1 1 2 2V x V xϕ = +
1 2cos sinV r V rϕ ϑ ϑ= +
1 2 2 1V x V xψ = −
1 2sin cosV r V rψ ϑ ϑ= −
1 1v V=
2 2v V=
Izvor ( Q >0) ili
ponor (Q <0)
kapaciteta Q u
ishodištu
koordinatnog
sustava
( )2 2
1 2ln4
Qx xϕ
π= +
ln2
Qrϕ
π=
2
1
arctg2
Q x
xψ
π
=
2
Qψ ϑ
π=
11 2 2
1 22
xQv
x xπ=
+
22 2 2
1 22
xQv
x xπ=
+
Vrtlog jačine Γ
u ishodištu
koordinatnog
sustava
2
1
arctg2
x
x
Γϕ
π
=
2
Γϕ ϑ
π=
( )2 2
1 2ln4
x xΓ
ψπ
−= +
ln2
rΓ
ψπ
−=
21 2 2
1 22
xv
x x
Γ
π
−=
+
12 2 2
1 22
xv
x x
Γ
π=
+
Dipol jakosti m
orijentacije α u
ishodištu
koordinatnog
sustava. (α je
kut između
spojnice ponor-
izvor i osi 1x )
1 2
2 2
1 2
cos sin
2
x xm
x x
α αϕ
π
+−=
+
( )cos
2
m
r
ϑ αϕ
π
−−=
1 2
2 2
1 2
sin cos
2π
x xm
x x
α αψ
−−=
+
( )sin
2π
m
r
ϑ αψ
−=
( )
( )
1
2 2
1 2 1 2
22 2
1 2
2π
cos 2 sin
mv
x x x x
x x
α α
=
− +
+
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
22 2
1 2
2π
2 cos sin
mv
x x x x
x x
α α
=
− −
+
Formule za translaciju koordinatnog sustava (za slučaj da singulariteti nisu u ishodištu
koordinatnog sustava)
2 2 1 1 ; x x b x x a′ ′= − = −
( ) ( )2 22 2
1 2 1 2 = r x x x a x b′ ′ ′= + − + −
2 2
1 1
arctg arctgx x b
x x aϑ
′ −′ = =
′ −
Cauchy-Riemanovi uvjeti
Kartezijske koordinate
1
1 2
vx x
ϕ ψ∂ ∂= =
∂ ∂ 2
2 1
vx x
ϕ ψ∂ ∂= = −
∂ ∂
Polarne koodinate
1r
vr r
ϕ ψ
ϑ
∂ ∂= =
∂ ∂
1v
r rϑ
ϕ ψ
ϑ
∂ ∂= = −
∂ ∂
1x
2x
1x′
2x ′
0
0′
a
b ϑ
r
r ′
ϑ ′
FORMULE: 3. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Optjecanje kružnog cilindra polumjera 0r , brzinom V
(kombinacija paralelnog strujanja brzinom V i dipola jačine 2
02m r Vπ=
orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)
Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2
0 cosr
V rr
ϕ ϑ
= +
Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2
0 sinr
V rr
ψ ϑ
= −
Obodna brzina po površini cilindra: 0( , ) 2 sinV r Vϑ ϑ ϑ= −
Promjena tlaka po površini cilindra: 2
2
0( , ) (1 4sin )2
Vp r p
ρϑ ϑ∞= + −
Koeficijent tlaka po površini cilindra: 2
21 4sin
2
p
p pC
Vϑ
ρ∞−
= = −
Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)
Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2 0F = .
FORMULE: 4. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 2
Cirkulacijsko optjecanje kružnog cilindra polumjera 0r , brzinom v∞
(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v∞ , dipola jačine 2
02m r vπ ∞= orijentiranog
suprotno paralelnom strujanju i vrtloga jačine Γ− u ishodištu)
Potencijal brzine u polarnim koordinatama: 2
0 cos2
rv r
r
Γϕ ϑ ϑ
π∞
= + −
Strujna funkcija u polarnim koordinatama: 2
0 sin ln2
rv r r
r
Γψ ϑ
π∞
= − +
Obodna brzina po površini cilindra: ( )0
0
, 2 sin2
v r vr
ϑ
Γϑ ϑ
π∞= − −
Promjena tlaka po površini cilindra:
Γ+−+=
∞
∞∞
2
0
2
2sin21
2 rv
vpp
πϑρ
Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 1 0F = (D'Alembertov paradoks)
Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 2F vρ Γ∞= .
Kutta i Žukovski su pokazali da izraz 2F vρ Γ∞= za silu uzgona vrijedi pri ravninskom
potencijalnom optjecanju bilo kakvog profila (zatvorene konture). Smjer sile se dobije
tako da se vektor brzine paralelnog strujanja zakrene za o
90 u suprotnom smjeru od
smjera cirkulacije Γ . Pri optjecanju aeroprofila, potrebnu jačinu cirkulacije određuje
se na temelju hipoteze Kutta-Žukovskoga koja kaže da je potrebna cirkulacija ona koja
će na stražnjem bridu osigurati konačnu brzinu.
FORMULE: 4. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 2
Potencijal brzine elementarnih prostornih strujanja
(u kartezijskim i sfernim koordinatama)
(oznaka polarnog kuta ψ ovdje je zamijenjena oznakom β)
Strujanje Potencijal ϕ
Paralelno strujanje brzinom
1 2 3( , , )V V V V=�
1 1 2 2 3 3V x V x V xϕ = + +
1 2 3sin cos sin sin cosV R V R V Rϕ β ϑ β ϑ β= + +
Izvor ( Q >0) ili ponor (Q <0)
kapaciteta Q u ishodištu
koordinatnog sustava
2 2 2
1 2 34
Q
x x xϕ
π= −
+ +
1
4
Q
Rϕ
π= −
Dipol jakosti µ orijentacije i
e u
ishodištu koordinatnog sustava.
(i
e su komponente jediničnog
vektora spojnice ponor-izvor)
( )1 1 2 2 3 3
32 2 2
1 2 3
4
x e x e x e
x x x
µϕ
π
+ += −
+ +
3
4
e R
R
µϕ
π
⋅= −
�
�
Optjecanje kugle polumjera 0R , brzinom v∞
(kombinacija paralelnog strujanja brzinom v∞ iz pozitivnog smjera osi z i dipola jačine
3
02 R vµ π ∞= orijentiranog suprotno paralelnom strujanju)
Potencijal brzine u sfernim koordinatama: 3
0
22
Rv R cos
Rϕ β∞
= − +
Komponenta brzine vβ po površini kugle: ( )0
3, , sin
2v R vβ ϑ β β∞=
Koeficijent tlaka po površini kugle: 2
2
91 sin
1 4
2
p
p pC
v
βρ
∞
∞
−= = −
Sila otpora (sila u smjeru strujanja): 3 0F = (D'Alembertov paradoks)
Sila uzgona (sila okomito na smjer strujanja): 1 2 0F F= = .
FORMULE: 5. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
Hidrodinamička reakcija i pridružena masa Pri ubrzanom gibanju tijela kroz fluid (čak i u potencijalnom strujanju) javlja se sila između fluida i tijela, koju zovemo hidrodinamičkom reakcijom HF . Fizikalno je to sila kojom tijelo ubrzava fluid. Hidrodinamička reakcija se definira izrazom HF aλ= − gdje je λ pridružena masa, a a ubrzanje tijela. Pridružena masa zavisi od oblika tijela i smjera gibanja tijela (osim god kugle zbog simetričnosti oblika).
• Pridružena masa kugle jednaka je polovini mase fluida istisnute kuglom. • Pridružena masa cilindra u ravninskom strujanju okomitom na os cilindra jednaka je
punoj masi fluida istisnutoj cilindrom. Osnosimetrično potencijalno strujanje Strujanje kod kojeg se slika strujanja ponavlja u ravninama konst.ϑ = cilindarskog koordinatnog sustava, tako da se strujanje opisuje r i z koordinatom. Cauchy-Riemannovi uvjeti za osnosimetrično potencijalno strujanje glase
1zv
z r rϕ ψ∂ ∂
= =∂ ∂
1rv
r r zϕ ψ∂ ∂
= = −∂ ∂
Primjeri strujnih funkcija u osnosimetričnom strujanju u cilindarskim koordinatama
Strujanje Potencijal ϕ Strujna funkcija Paralelno strujanje paralelno s osi 3z x≡ 3(0,0, )V V= 3V zϕ = 23
2V rψ =
Izvor (Q >0) ili ponor (Q <0) kapaciteta Q u ishodištu koordinatnog sustava
2 2
14Q
r zϕ
π= −
+
2 24Q z
r zψ
π= −
+
Dipol jakosti μ usmjeren u osi 3z x≡ orijentacije
( )0,0,1ie = u ishodištu koordinatnog sustava.
( )3
2 2 24z
r z
μϕπ
= −+
( )
2
32 2 24
r
z r
μψπ
=+
Potencijal i polje brzine površinski raspodijeljenih izvora gustoće q u ravninskom potencijalnom strujanju (na segmentu duž osi 1x od 1x a= do 1x b= )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2ln ln 2
4 a b b aq x a r x b r xϕ ϑ ϑπ⎡ ⎤= − − − + −⎣ ⎦
( )
2
1 21
22
= = ln4
= =2
a
b
b a
rqvx r
qvx
ϕπ
ϕ ϑ ϑπ
⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
∂−
∂
, gdje su :( )
( )
22 2 21 2 a
1
22 2 21 2
1
, arctg
, arctg
a
b b
xr x a xx a
xr x b xx b
ϑ
ϑ
= − + =−
= − + =−
.
FORMULE: 7. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.4 Tenzor brzine deformacije ijD u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :)z,y,x(
xvD x
xx ∂∂
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂
∂==
yv
xv
DD xyxyyx 2
1
yv
D yyy ∂
∂=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
==z
vyv
DD yzyzzy 2
1
zv
D zzz ∂
∂= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==xv
zv
DD zxzxxz 2
1
Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ
rv
D rrr ∂
∂= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==ϑ
ϑϑϑ
rrr
vr
)r
v(
rrDD 1
21
rvv
rD r+
∂∂
=ϑϑ
ϑϑ1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==z
vvr
DD zzz
ϑϑϑ ϑ
121
zv
D zzz ∂
∂= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==rv
zv
DD zrzrrz 2
1
Sferne koordinate :),,R( ϑψ
Rv
D RRR ∂
∂=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
==ψ
ψψψ
RRR
vRR
vR
RDD 1)(21
Rvv
RD R+
∂
∂=
ψψ
ψψ1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
==ϑψψψ
ψ ψϑψϑϑψ
vsinRsin
vR
sinDD 1)(21
Rcotv
Rvv
sinRD R ψ
ϑψψϑ
ϑϑ ++∂∂
=1 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
== )(121
Rv
RR
vsinR
DD RRR
ϑϑϑ ϑψ
FORMULE: 7. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.5 Tenzor naprezanja ijσ u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama.
Kartezijeve koordinate :)z,y,x(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇−
∂∂
+−= )(322 v
xv
p xxx μσ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
==x
vyv yx
yxxy μττ ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
στττστττσ
σT
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅∇−
∂
∂+−= )(
322 v
yv
p yyy μσ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+∂
∂==
yv
zv zy
zyyz μττ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇−
∂∂
+−= )(322 v
zv
p zzz μσ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==z
vxv xz
xzzx μττ
zv
yv
xv
v zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=⋅∇ )(
Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇−
∂∂
+−= )(322 v
rv
p rrr μσ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==ϑ
μττ ϑϑϑ
rrr
vrr
vr
r 1)( ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
zzzzr
zr
rzrrr
στττστττσ
ϑ
ϑϑϑϑ
ϑ
σT
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇−+
∂∂
+−= )(32)1(2 v
rvv
rp r
ϑμσ ϑ
ϑϑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==ϑ
μττ ϑϑϑ
zzz
vrz
v 1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅∇−
∂∂
+−= )322 v(
zv
p zzz μσ ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
==zv
rv rz
rzzr μττ
zvv
rrv
rrv z
r ∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ϑϑ1)(1)(
Sferne koordinate :),,R( ϑψ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅∇−∂∂
+−= )(322 v
Rv
p RRR μσ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ϑϑϑψϑ
ψϑψψψ
ϑψ
σστττστττσ
R
R
RRRR
T
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅∇−+
∂
∂+−= )(
32)1(2 v
Rvv
Rp R
ψμσ ψ
ψψ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅∇−++
∂∂
+−= )(32)1(2 v
Rcotv
Rvv
sinRp R ψ
ϑψμσ ψϑ
ϑϑ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
+∂∂
==ψ
μττ ψψψ
RRR
vRR
vR
R 1)(
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂∂
==ϑψψψ
ψμττ ψϑ
ϑψψϑv
sinRsinv
Rsin 1)(
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
== )(1Rv
RR
vsinR
RRR
ϑϑϑ ϑψ
μττ
ϑψψ
ψψϑ
ψ ∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇v
sinRsinv
sinRvR
RRv R
1)(1)(1)( 22
FORMULE: 7. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 3 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.6 Jednadžba kontinuiteta u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :z,y,x )(
0)()()( =∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zyx vz
vy
vxt
ρρρρ
Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ
0)()(1)(1=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zr vz
vr
rvrrt
ρρϑ
ρρϑ
Sferne koordinate :),,R( ϑψ
0)(1)(1)(1 22
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ϑψ ρϑψ
ψρψψ
ρρ v
sinRsinv
sinRvR
RRt R
FORMULE: 7. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 4 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1. 7 Jednadžbe količine gibanja izražena naprezanjima u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama Kartezijeve koordinate :)z,y,x(
xzxyxxxx
zx
yx
xx f
zyxzv
vyv
vxv
vt
vρττσρ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
yzyyyxyy
zy
yy
xy f
zyxzv
vy
vv
xv
vt
vρτστρ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
zzzyzxzz
zz
yz
xz f
zyxzv
vyv
vxv
vt
vρσττρ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ
rzrrrrr
zrr
rr f
rzrr
rrzv
vr
vvr
vrv
vt
vρ
σττ
ϑσ
ϑρ ϑϑ
ϑϑϑ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+−∂∂
+∂∂
+∂∂ 1)(12
ϑϑϑ
ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ ρ
τττσ
ϑτ
ϑρ f
rzrr
rrzv
vrvvv
rv
rv
vt
v rrzrz
rr +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂∂
+∂∂
+∂∂ 1)(1 2
2
zzzzrzz
zzz
rz f
zrr
rrzv
vv
rv
rv
vt
vρστ
ϑτ
ϑρ ϑ
ϑ +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ 1)(1
Sferne koordinate :),,R( ϑψ
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
)(1)(1 22
22
ψτψψ
σϑψψ
ρ ψϑψϑψ sin
sinRR
RRRvvv
sinRvv
Rv
Rv
vt
vRRR
RRRR
R
RR fRsinR
ρσσ
τϑψ
ϑϑψψϑ +⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−
∂∂
+1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Rcotv
Rvvv
sinRvv
Rv
Rv
vt
v RR
ψϑψψ
ρ ϑψψϑψψψψ2
ψϑϑψψ
ϑψψψψ ρψσττ
τϑψ
ψτψψ
τ fR
cotsinR
sinsinR
RRr
RRR +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−+
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=)(1)(1)(1 3
3
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ψϑψψ
ρ ϑψϑϑϑϑϑϑϑ cotRvv
Rvvv
sinRvv
Rv
Rv
vt
v RR
ϑϑψϑϑ
ϑϑψϑϑ ρψτττ
σϑψ
ψτψψ
τ fR
cotsinR
sinsinR
RRr
RRR +
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−+
∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=)(1)(1)(1 3
3
FORMULE: 7. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 5 / 5
Izvor: A. Werner: Odabrana poglavlja iz mehanike fluida-zbirka zadataka, FSB Zagreb
TABLICA 1.8 Jednadžbe količine gibanja za newtonovske fluide, za .const=ρ i .const=μ u Kartezijevim, cilindarskim i sfernim koordinatama, Navier-Stokesove jednadžbe Kartezijeve koordinate :)z,y,x(
xxxxx
zx
yx
xx f
xp
zv
yv
xv
zv
vyv
vxv
vt
vρμρ +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
yyyyy
zy
yy
xy f
yp
z
v
y
v
x
vz
vv
yv
vx
vv
tv
ρμρ +∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂2
2
2
2
2
2
zzzzz
zz
yz
xz f
zp
zv
yv
xv
zv
vyv
vxv
vt
vρμρ +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
2
2
Cilindarske koordinate :)z,,r( ϑ
rrr
rr
zrr
rr f
rpv
rzvv
rrv
rrrzv
vr
vvr
vrv
vt
vρ
ϑϑμ
ϑρ ϑϑϑ +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
−∂
∂+
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+−∂∂
+∂∂
+∂∂
22
2
2
2
2
2 21)(1
ϑ
ϑϑϑ
ϑϑϑϑϑϑ
ρϑ
ϑϑμ
ϑρ
fpr
vrz
vvr
rvrrrz
vv
rvvv
rv
rv
vt
v rz
rr
+∂∂
−
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
++∂∂
+∂∂
+∂∂
1
21)(122
2
2
2
2
zzzzz
zzz
rz f
zp
zvv
rrv
rrrz
vv
vr
vrv
vt
vρ
ϑμ
ϑρ ϑ +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
21)(1
Sferne koordinate :),,R( ϑψ
RRR
RRRR
RR
fRpv
sinRsinv
sinRv
sinRv
sinsinR
vR(RRRR
vvvsinRvv
Rv
Rv
vt
v
ρϑψ
ψψψϑψψ
ψψψ
μϑψψ
ρ
ϑψ
ϑψϑψ
+∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
∂∂
−∂∂
−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+
⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +−
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
2222
2
222
22
22
2)(211
1
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Rcotv
Rvvv
sinRvv
Rv
Rv
vt
v RR
ψϑψψ
ρ ϑψψϑψψψψ2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂⎢⎣⎡
∂∂
= )(1112
22 ψ
ψψψμ ψ
ψ sinvsinRR
vR
RR
ψϑψ ρ
ψϑψψ
ψϑψf
pR
vsinR
cotvR
v
sinRR +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
∂∂
−∂∂
+∂
∂+
1221222
2
22
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
ψϑψψ
ρ ϑψϑϑϑϑψϑϑ cotRvv
Rvvv
sinRvv
Rv
Rv
vt
v RR
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⎢⎣⎡
∂∂
= )(1112
22 ψ
ψψψμ ϑ
ϑ sinvsinRR
vR
RR
ϑψϑ ρ
ϑψϑψψ
ϑψϑψf
psinR
v
sinRcotv
sinRv
sinRR +
∂∂
−⎥⎥⎦
⎤
∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
1221222
2
22
FORMULE: 10. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 1
FORMULE: 12. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 1 / 2
FORMULE: 12. VJEŽBE MEHANIKA FLUIDA II 2 / 2
Rješenja laminarnoga graničnog sloja uz ravnu ploču uz pomoć von Kármanove jednadžbe uz pretpostavku različitih profila brzine unutar graničnog sloja (zadnji redak označuje rješenje Blasiusove jednadžbe)
( )1v fv
η∞
= , yηδ
= 1δδ
2δδ
11
vxρδ
μ∞ 1w x
v vτ μμ ρ∞ ∞
Fv LC ρμ
∞ 11,2
2
H δδ
=
( )f η η= 12
16
1.732 0.289 1.155 3.00
( ) 31.5 0.5f η η η= − 38
39280
1.740 0.323 1.292 2.7
( ) 3 42 2f η η η= − + 310
37315
1.752 0.343 1.372 2.55
( ) sin( / 2)f η ηπ= 2ππ− 4
2ππ−
1.741 0.327 1.310 2.66
Blassius 1.721 0.332 1.328 2.59