Formule per il calcolo dei volumi

Baricentro di una superficie piana triangolareSia A0B0C0 la proiezione della superficie ABC sul piano orizzontale e G0,M0 le proiezioni del baricentro e del punto M incontro delle mediane col lato BC.Sappiamo che AG=2GM e A0G0=2G0M0

Poiché il rapporto tra due segmenti con direzione coincidente è uguale al rapporto tra le lunghezze delle rispettive proiezioni sarà anche e quindi ,ma essendo

si ha :

Analogamente si procede per il calcolo di XG e ZG

Baricentro di una superficie poliedrica a facce triangolari

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Consideriamo la superficie poliedrica ABCD scomposta nei triangoli ABD e BCD e siano G1 e G2 i rispettivi baricentri.Applicando il teorema di Varignon si ha :

Analoghe espressioni si ottengono per XG e ZG

Volume dei solidi prismaticiIl volume di un tronco di prisma a spigoli paralleli a basi oblique si ottiene moltiplicando l'area S0 della sezione normale per la distanza h fra i baricentri delle basi :

Come conseguenza, la base di un prisma può essere comunque ruotata attorno al suo baricentro senza che si verifichino variazioni nel volume del prisma.

Nel caso di prisma triangolare e quindi

Nel caso di un prisma in cui le basi sono parallelogrammi (in particolare rettangoli, quadrati, rombi) le distanza h tra i due baricentri è uguale alla media dei quattro spigoli. Infatti dai trapezi A'ACC' e D'DBB' si ha :

e sommando membro a membro

Il volume di un prisma con base poligonale si ottiene scomponendo le basi in triangoli e parallelogrammi e applicando i predetti teoremi a ciascuno dei prismi che così si ottengono.

La scelta della scomposizione può essere fondamentale per un risultato di calcolo corretto.Si consideri il prisma a base quadrilatera i cui vertici (superiori e inferiori) sono :A(0 0 11.7) B(5 1 14) C(6 7 15.5) D(2 8 14)A'(0 0 0) B'(5 1 0) C'(6 7 0) D'(2 8 0)Considerando la diagonale AC si ha :

Considerando invece la diagonale BD si ha :

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Il risultato ottenuto è uguale in quanto i vertici superiori sono complanari. Nel caso in cui essi non siano complanari la scelta della diagonale con cui rappresentare meglio il terreno è fondamentale.

Si abbia ad es. per i vertici superiori i seguenti dati :A(0 0 11.7) B(5 1 14) C(6 7 15.5) D(2 8 8.3)Scegliendo la diagonale AC si ottiene :

Scegliendo invece la diagonale BD si ha :

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EsempioCalcolare il volume del solido di figura di cui sono note le coordinate dei vertici della base inferiore ABCDE e di quella superiore A’B’C’D’E’

Vertici x y z x y zA 98,36 62,84 28,39 A’ 98,36 62,84 33,62B 103,21 71,09 27,82 B’ 103,21 71,09 32,44C 95,74 75,64 28,00 C’ 95,74 75,74 32,96D 91,48 79,86 29,15 D’ 91,48 79,86 34,36E 84,66 67,95 32,48 E’ 84,66 67,95 35,12

Sol. :

Con la formula di Gauss si calcolano le aree delle sezioni normali

Calcolo dei volumi dei prismi

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IL volume del solido è : Un altro metodo consiste nella determinazione delle coordinate dei baricentri delle superfici superiore e inferiore.

Per il teorema di Varignon indicando con G’ il baricentro della superficie superiore e con G’’ quello della superficie inferiore:

Quindi il volume del solido risulta

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Piani quotatiMaturità 84 –sessione ordinaria scuole sperimentali

Un appezzamento di terreno è definito da 2 falde piane triangolari ABC e ACD rilevate mediante tacheometro centralmente anallattico (k=100) con stazione nel punto A e stadia verticale posta successivamente nei punti B,C e D.Su detto appezzamento deve essere costruito un fabbricato la cui pianta rettangolare MNPQ è definita come segue :

Stazione P.c. C.O. (gon) C.V. (gon) Letture stadiaAh=1.55

BCD

27.80562.522109.445

85.30592.427103.085

1.266 1.0151.558 1.1922.657 2.332 2.007

La quota di B è QB=315.780

MN parallelo a BC e distante dal lato BC m. 10.00Il punto M trovasi sulla diagonale ACMN=QP=22.00 mMQ=NP=12.00 m

Stabilito che il piano di fondazione debba trovarsi a livello del vertice del rettangolo avente la quota più bassa, determinare il volume di terra da scavare supposte verticali le pareti dello scavo.

Sol . :

Si assume un riferimento con origine in A e asse delle ordinate coincidente con l’indice zero delle letture azimutali.

Calcolo delle coordinate planimetriche dei vertici A,B,C,D

Calcolo distanze

Calcolo dislivelli e quote

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Calcolo coordinate di M,N,P,Q

Calcolo coordinate punto R Dal triangolo RQM

Calcolo quote dei punti M,N,R,P,Q

Per calcolare la quota dei punti P e Q si tracciano da B e da C le parallele a MM’ che incontrano rispettivamente i lati AC in B’ e AD in C’ e si risolvono i triangolo ABB’ e CDD’

Triangolo ABB’

Triangolo CC’D

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Il calcolo delle quote dei suddetti punti può risolversi,più elegantemente, impostando le equazioni dei piani delle falde cui appartengono.Dall’equazione del piano ,imponendo le condizioni :

si ottiene :

da cui l’equazioneSostituendo i valori di x e y dei singoli punti incogniti si ottengono i valori di Z cioè le quote.

Analogamente per il piano passante per i punti A,C,D si ottiene l’equazione da cui

Calcolo delle quote rosse

Calcolo dei volumi di scavo

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Volume del prismoideSi definisce prismoide un solido con le due basi piane e parallele e delimitato lateralmente da una superficie rigata generata dal movimento rototraslatorio di una retta che tocca costantemente il perimetro delle due basi.Il volume si calcola con la formula di

Torricelli :

Con la semplificazione si ha

che prende il nome di formula delle sezioni ragguagliate.

Volume degli scavi ediliziIl terreno viene idealmente sezionato con piani trasversali in modo da formare una successione di prismoidi ciascuno delimitato dalla superficie estrema e dalla superficie laterale.La precisione del volume calcolato dipende dalla esattezza del rilievo piuttosto che dal procedimento di calcolo.

Considerando l'appezzamento della figura ,scelte in base all'andamento del terreno le distanze tra le sezioni ,si riportano gli allineamenti trasversali e lungo gli stessi si picchettano i punti caratteristici che definiscono la configurazione trasversale del terreno. Quindi si procede la rilievo dei profili trasversali che consentiranno di costruire le sezioni di scavo che rappresentano le basi dei prismoidi.Si seguono i criteri del rilievo altimetrico utilizzando preferibilmente un livello.Si disegnano quindi i profili trasversali ottenuti, detti sezioni.

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Calcolate le aree delle sezioni con la formula delle sezioni ragguagliate si calcolano i volumi dei prismoidi delimitati da due sezioni consecutive.

EsercizioAl fine di determinare il volume di terreno da asportare nell’operazione di sbancamento di una superficie rettangolare (AB=CD=20 m,AD=BC=30 m) vengono considerate 3 sezioni trasversali realizzate su piani verticali passanti per i punti AB,MN, e DC, in cui M è il punto medio di AD ed N il punto medio di BC. Considerando poi i punti mediani 1,2,3 rispettivamente sui lati AB,MN e DC, posizionando un autolivello in un punto all’interno dell’appezzamento si sono eseguite le misure riportate nel seguente registro :

Punti battuti Lettura stadia (filo centrale) NoteA 2.355 QA=106.15 m1 1.452 Punto medio di ABB 0.830M 2.2202 0.910 Punto medio di MNN 0.651D 2.1863 1.692 Punto medio di DCC 0.890

Viene richiesto al candidato :1. il disegno in scala delle 3 sezioni trasversali2. il volume di terreno da asportare per livellare il terreno, pensando le scarpate costituite da piani

verticali.

Sol. :

Dalla relazione si ricava cioè .Quindi :

Calcolo area delle sezioni (assunta come quota di riferimento 106.15)

Sezione n.1

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Sezione n.2

Sezione n.3

Calcolo dei volumi utilizzando la formula delle sezione ragguagliate

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