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Formules d’aires des solides
Calculer l’aire totale d’un solide, c’est calculer l’aire de tous les polygones ou cercles composant le solide.
Le calcul se fait en trois étapes:
- on calcule l’aire des bases ou de la base;
- on calcule l’aire des faces latérales;
- on additionne le tout.
L
l
l
h
L
h
Aire totale des prismes
Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce prisme.
Longueur
largeurhauteur
On peut donc calculer l’aire de chaque rectangle et en faire la somme.
Cependant, il existe une formule plus rapide.
Les bases Les faces latérales
L
l
l
h
L
h
Aire totale des prismes
Longueur
largeurhauteur
1) Calculer l’aire des bases : chaque base est un rectangle donc A = L X l ;
il y a 2 bases donc l’aire des deux bases : 2 X L X l .
2) Calculer l’aire latérale:
on multiplie alors par la hauteur .donc L + l + L + l ou 2 ( L + l ) ;
Aire latérale = 2 ( L + l ) X h
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + l’aire latérale
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur
L
l
L
l
l’ensemble des rectangles forment un grand rectangle.
La longueur de ce rectangle correspond au périmètre d’une base.
h
Aire totale d’un prisme : Aire des 2 bases + Périmètre d’une base X hauteur
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Aire totale :
Aire totale : 2 X n c a
2n : nombre de côtés
Aire totale :
( ici 6 )
a : mesure de l’apothème
c : mesure d’un côté
2 X L x l 2 ( L + l ) h+
n c h+
2
2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h+
c3
c2
c1Attention : Il ne faut pas confondre
la hauteur du triangle et la hauteur du prisme.
h
h
Remarque: La hauteur d’un prisme est le segment reliant les deux bases.
L
l
h
h
h
Exemple
Calcule l’aire totale de ce prisme.
4 cm
5 cm3 cm
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Aire totale : 2 X L X l + 2 ( L + l ) X h
Aire totale : 2 X 4 X 5 + 2 ( 4 + 5 ) X 3
Aire totale : 40 + 54
Aire totale : 94 cm2
Remarque:
Certaines situations peuvent ne demander que l’aire latérale.
Prends le temps de lire et de comprendre la situation.
Exemple :
4 cm
5 cm3 cmCalcule l’aire latérale de ce prisme.
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Tu n’as pas besoin de toute la formule.
2 X L x l + 2 ( L + l ) X hAire totale :
Aire latérale : 54
Aire latérale : 54 cm2
2 ( 4 + 5 ) X 3Aire latérale :
Aire latérale :
Aire totale du cube
c
Le cube est une figure régulière composée de 6 carrés.
La formule pour calculer son aire totale est simple.
Aire totale : 6 c2 car il est composé de 6 carrés
Aire latérale : 4 c2 car l’aire latérale est composée de 4 carrés.
Remarque : On peut aussi utiliser la formule des prismes puisque le cube est un prisme.
Exemple
Calcule l’aire totale de ce prisme.
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Aire totale : 2 X n c a
2
n c h+
5 m
4 m 12 m
Aire totale : 2 X 6 X 5 X 4
2
6 X 5 X 12+
Aire totale : 120 + 360
Aire totale : 480 m2
Exemple
Calcule l’aire totale de ce prisme.
8 cm
6 cm
10 cm
9 cm
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Aire totale :
2
2 X b X h ( c1 + c2 + c3 ) h+
2 X 10 X 4,8Aire totale :
2
( 6 + 8 + 10) X 9+
Aire totale : 48 + 216
Aire totale : 264 cm2
4,8 cm
10 dm
Exemple
Calcule l’aire totale de ce cube.
Aire totale d’un cube : 6c2
Aire totale du cube : 6 X 102
Aire totale du cube : 600 dm2
Calcule l’aire latérale de ce cube.
Aire latérale d’un cube : 4c2
Aire latérale du cube : 4 X 102
Aire latérale du cube : 400 dm2
Aire totale du cube : 6 X 100
AttentionPriorité d’opérations
On doit calculer l’exposant avant de multiplier par le coefficient.
Aire totale des pyramides
Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants.
Hauteur
La hauteur d’une pyramide droite arrive perpendiculairement au centre de la base.
Comme la hauteur arrive au centre de la base,la mesure du demi-côté vaut la moitié de lamesure du côté.
Exemple6
3
Demi-côté
L’apothème de la pyramide:
L’apothème est une ligne joignant le sommet d’une pyramide au milieu d’un des côtés de la base.
La relation de Pythagore nous sera donc très utile.
a
b
c
c2 = a2 + b2
Aire totale des pyramides
1) Calculer l’aire de la base : ici, la base est un carré donc c2
2) Calculer l’aire latérale:
On calcule le périmètre de la base ;
on multiplie par l’apothème et on divise par 2 car ce sont des triangles.
ici, c’est un carré donc 4 c
Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème
2
Aire latérale = 4 X c X a
2
Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de cette pyramide.
L’apothème de la pyramide correspond à la hauteur du triangle.
la longueur totale des bases de ces triangles correspond au périmètre de la base.
Aire totale d’une pyramide : Aire de la base + Périmètre de la base X apothème
2
droite à base hexagonale
Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème
2
Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème
2
Aire totale de la pyramide : + nc X apothème
2
nca
2
Attention:
Il ne faut pas confondre l’apothème du polygone et l’apothème de la pyramide.
n : nombre de côtés
c : mesure d’un côté
a apothème
droite à base carrée
Exemple
6 cm
5 cm
6 cm
Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème
2
Aire totale de la pyramide : c2 + 4c X apothème
2
Aire totale de la pyramide : 62 + 4 X 6 X 5
2
36 + 60 = 96 cm2
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
Exemple
12 m
?
12 m
8 m
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
On ne connaît pas l’apothème donc
c2 = a2 + b2
c2 = 82 + 62
1) Déterminer le demi-côté: 6 m
2) Déterminer l’apothème:
c2 = 100
c = 10 m
6 m
c
b
a
Exemple
12 m
10 m
12 m
Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X apothème
2
Aire totale de la pyramide : c2 + 4ca
2
Aire totale de la pyramide : 122 + 4 X 12 X 10
2
144 + 240 = 384 m2
8 m
Calcule l’aire totale de cette pyramide.
Exemple
Aire totale de la pyramide : Aire base + P base X a
2
Calcule l’aire totale de cette pyramide.c = 7 m
a hexagone = 4 m
a pyramide = 12 m
ncapAire totale de la pyramide :
2
ncah
2+
2
6 X 7 X 12Aire totale de la pyramide : 6 X 7 X 4
2+
Aire totale de la pyramide : 84 m2 + 252 m2 = 336 m2
apothème de l’hexagone
apothème de la pyramide
Aire totale d’un cylindre
Pour bien comprendre, faisons une représentation en 2 dimensions de ce cylindre.
1) Calculer l’aire des bases :En déroulant la face latérale d’un cylindre, nous obtenons un rectangle.
chaque base est un cercle donc πr2.
il y a 2 bases donc 2 πr2.
2) Calculer l’aire latérale :
la largeur du rectangle correspond à la hauteur du cylindre;
h
la longueur du rectangle correspond à la circonférence du cercle.
Aire latérale : 2πr X h
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh
Exemple
Aire totale d’un cylindre : 2πr2 + 2πrh
Aire totale d’un cylindre : 2 X π X 52 + 2 X π X 5 X 10
Aire totale d’un cylindre ≈ 157,08 + 314,16 ≈ 471,24 cm2
5 cm
10 cm
Calcule l’aire totale de ce cylindre.
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
Avant de calculer l’aire, il faut connaître 3 segments très importants.
Hauteur
La hauteur d’un cône droit arrive perpendiculairement au centre du cercle.
Rayon
L’apothème est une ligne joignant le sommet d’un cône à un point de la circonférence de la base.
L’aire totale d’un cône
Remarque: On fait correspondre l’apothème avec le côté du cône.
La relation de Pythagore nous sera donc très utile.
a
b
c
c2 = a2 + b2
Aire totale d’un cône
On pourrait comparer un cône à une pyramide dont la base serait composée d’une infinité de segments avec une infinité de faces latérales.
La formule pour trouver l’aire totale d’un cône ressemble donc légèrement à celle de la pyramide.
Aire totale d’un cône
Aire totale d’un cône :
Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème
2
Aire totale d’un cône :
Aire de la base
2
Circonférence de la base X apothème+
π X r2 + 2 X π X r X a
2
Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a
2
Aire totale d’un cône : Aire de la base + Aire latérale
Exemple :
3 cm
5 cm
Calcule l’aire totale de ce cône.
Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a
2
Aire totale de ce cône : π X 32 + 2 X π X 3 X 5
2
Aire totale de ce cône ≈ 28,27 + 47,12 ≈ 75,39 cm2
Exemple
On ne connaît pas l’apothème donc
c2 = 122 + 92
c2 = 144 + 81
1) Rayon : 9 m
2) Déterminer l’apothème:
c2 = 225
c = 15 m
9 m
12 m
Calcule l’aire totale de ce cône. ?
c2 = a2 + b2
c
b
a
9 m
12 m
15 mCalcule l’aire totale de ce cône.
Aire totale d’un cône : π r2 + 2 π r a
2
Aire totale de ce cône : π X 92 + 2 X π X 9 X 15
2
Aire totale de ce cône ≈ 254,47 + 424,12 ≈ 678,59 m2
Aire d’une sphère
Une sphère n’a pas de développement.
Cependant, si on défaisait sa surface, on obtiendrait 4 cercles.
Comme l’aire d’un cercle se calcule avec la formule : A = πr2
et que la sphère est composée de 4 cercles, alors
Aire d’une sphère = 4 π r2
Exemple :
Calcule l’aire de la sphère suivante :
r = 5 dm
A sphère = 4 π r2
A sphère = 4 X π X 52
A sphère ≈ 314,16 dm2
En résumé
Aire totale d’un prisme : Aire bases + Pbase X h
Aire totale d’une pyramide : Aire base + P base X apothème
2
Ces deux formules dépendent de la forme des bases.
2πr2 + 2πrh
Aire totale d’un cylindre : Aire des bases + aire latérale
π r2 + 2 π r a
2
Aire totale d’un cône : Aire base + C base X apothème
2
Aire d’une sphère = 4 π r2
Aire totale du cube : 6 c2 Aire latérale du cube : 4 c2
