PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA (2007/2008) MIEEC/FEUP

FORMULÁRIO

Bernoulli X ~ bernoulli (p)

( ) ( )1 xxp 1 p x 0,1

P X x0 outros valores

!" ! =#= = $

#%

( )E X p=

( ) ( )V X p 1 p= !

Binomial X ~ binomial (n,p)

( )( )

n xxnp 1 p x 0,1,2, ...,n

P X x x

0 outros valores

!"# $! =%& '

= = () *%+

( )E X np=

( ) ( )V X np 1 p= !

Binomial Negativa X ~ binomial negativa(r,p)

( )( )

x rrx 1

p 1 p x r, r 1, ...P X x r 1

0 outros valores

!" !# $! = +%& '

= = !() *%+

( )r

E Xp

=

( )( )

2

r 1 pV X

p

!=

Nota:Esta variável, tal como está definida, conta o número de “provas” a realizar até se obterem r sucessos.

Geométrica X ~ geométrica (p)

( ) ( )x 1

P X x 1 p p x 1,2,...!

= = ! " = ( )

1E X

p=

( )2

1 pV X

p

!=

Poisson X ~ poisson (!)

( )

xe

x 0,1,2, ...P X x x!

0 outros valores

!"# $"=%

= = &%'

( )E X = !

( )V X = !

Hipergeométrica X ~ hipergeométrica(N, M, n)

( )( ){ } { }

M N M Nx max 0,n N M , ,min n ,M

P X x x n x n

0 outros valores

! "# $ # $ # $= " "%& ' & ' & '= = "() * ) * ) *

%+

K

( )E X np=

( ) ( )N n

V X np 1 pN 1

!= !

!

Uniforme X ~ uniforme (a,b)

( )X

1a x b

f x b a

0 outros valores

!" "#

= $%#&

( )a b

E X2

+=

( )( )

2

b aV X

12

!=

Exponencial X ~ exponencial (!)

( )x

X

e x 0f x

0 outros valores

!"#" $= %&

( )1

E X =!

( )2

1V X =

!

Normal X ~ N ( µ , " 2 )

( )

21 x

2

X

1f x e , x

2

! µ" #! $% &

'( )= $ ! *< <+*+ $'

( )E X = µ

( ) 2V X = !

Qui-quadrado X ~ 2

n!

( ) ( )n 2 1x 2

X n

2

1f x e x , x 0

n2

2

!!= " ># $

%& '( )

( )E X n=

( )V X 2n=

Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.

t de Student X ~ nt

( )

n 1

2 2

X

n 1

x2f x 1 , x

n nn

2

+!

+" #$% & " #' (

= ) + !*< < +*% &" # ' (+ $% &' (

( )E X 0 , n 1= >

( )n

V X , n 2n 2

= >!

Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.

F de Snedecor X ~ 1 2n ,nF

( )

1 1 2

1

n n n1 2n2 21

1 12X

1 2 2 2

n n

n n x2f x x 1 , x 0

n n n n

2 2

+!

!

+" #$% & " # " #' (

= ) ) ) + >% & % &" # " # ' ( ' ($ $% & % &' ( ' (

( ) 22

2

nE X , n 2

n 2= >

!

( )( )

( ) ( )

2

2 1 2

22

1 2 2

2n n n 2V X , n 4

n n 2 n 4

+ != >

! !

Nota: n – nº de gaus de liberdade , #(u) – função gama.

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a média (µ)

Estatística de teste:

( )X

Z ~ N 0,1

n

! µ="

ou ( )X

Z ~ N 0,1Sn

! µ=

Estatística de teste:

n 1

XT ~ t

S

n

!

! µ=

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a variância ("2)

Estatística de teste:

( ) 2

2

n 12

n 1 SQ ~ !

!= "

#

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a proporção (p)

Estatística de teste:

( )( )

P̂ pZ ~ N 0,1

p 1 p

n

!=

! ou

( )( )

P̂ pZ ~ N 0,1

ˆ ˆP 1 P

n

!=

! ou

!

Z =

Yn( ) "p

Y n"Y( )n3

~ N(0,1)

com Y

P̂n

= , sendo Y – nº de sucessos numa amostra aleatória.

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para o quociente de variâncias ( )2 2

1 2! !

Estatística de teste:

1 2

2 2

1 1

n 1 , n 12 2

2 2

S~ F

S! !

"

"

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses a diferença de médias (µ1-µ2)

Estatística de teste:

( ) ( )( )1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

X XZ ~ N 0,1

n n

! ! µ ! µ=

" "+

ou ( ) ( )

( )1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

X XZ ~ N 0,1

S S

n n

! ! µ ! µ=

+

ou

( ) ( )( )1 2 1 2

1 2

X XZ ~ N 0,1

1 1Sn n

! ! µ ! µ=

+

com ( ) ( )2 2

1 1 2 2

1 2

n 1 S n 1 SS

n n 2

! + !=

+ ! ($)

( )1 2X e X independentes

Estatística de teste:

( ) ( )1 2 1 2

gl

1 2

X XT ~ t

1 1Sn n

! ! µ ! µ=

+

com 1 2gl n n 2= + ! e S dado por ($) ou

( ) ( )1 2 1 2

gl2 21 2

1 2

X XT ~ t

S S

n n

! ! µ ! µ=

+

com ( ) ( )

22 21 2

1 2

2 22 21 1 2 2

1 2

S S

n ngl

S n S n

n 1 n 1

! "# + $# $% &

=

+' '

( )1 2X e X independentes

Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses para a diferença de proporções (p1-p2)

Estatística de teste:

( ) ( )

( ) ( )( )

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆP P p pZ ~ N 0,1

p 1 p p 1 p

n n

! ! !=

! !+

ou ( ) ( )

( ) ( )( )

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆP P p pZ ~ N 0,1

ˆ ˆ ˆ ˆP 1 P P 1 P

n n

! ! !=

! !+

com i

i

YP̂

n= , sendo Yi – nº de sucessos na amostra aleatória i.

( )1 2Y e Y independentes