Forslag til ny eksamensordning med kommentarer 2012 Matematikk R2 bokmal.pdf · Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen per tid er proporsjonal med forskjellen mellom rommets

Forslag til ny eksamensordning

med kommentarer 2012

REA3024 Matematikk R2

Bokmål

Forslag til ny eksamens-ordning fra våren 2015: Del 1: 3 timer Del 2: 2 timer Nye minstekrav til digitale verktøy på datamaskin Graftegner

CAS

Forslag til ny eksamensordning fra våren 2015 REA3024 Matematikk R2 Side 2 av 79

Bokmål

Eksamensinformasjon

Eksamenstid: 5 timer:

Del 1 skal leveres inn etter 3 timer.

Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Hjelpemidler på Del 1: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og

vinkelmåler.

Hjelpemidler på Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy

som tillater kommunikasjon.

Når en oppgave er merket med «CAS» eller «GRAFTEGNER», skal du

bruke datamaskin med dette digitale verktøyet for å løse oppgaven.

Når en oppgave ikke er merket, kan du selv velge metode og

verktøy.

Framgangsmåte: Bruk blå eller svart penn når du skriver for hånd.

Del 1 skal føres på papir. Du kan ikke bruke datamaskin.

Del 2 kan føres på papir. Dersom du velger å skrive besvarelsen av

Del 2 for hånd, skal utskrifter fra CAS og graftegner følge med,

merkes som vedlegg og refereres til i besvarelsen. Du kan også

velge å bare bruke datamaskin, samle alle løsninger i ett dokument

og levere hele Del 2 som utskrift.

Del 2 kan gjennomføres som IKT-basert eksamen. Alle løsninger

skal da samles i én fil og leveres digitalt.

Veiledning om vurderingen: Poeng i Del 1 og Del 2 er bare veiledende i vurderingen. Karakteren

blir fastsatt etter en samlet vurdering. Det betyr at sensor vurderer i

hvilken grad du

viser regneferdigheter og matematisk forståelse

gjennomfører logiske resonnementer

ser sammenhenger i faget, er oppfinnsom og kan ta i bruk

fagkunnskap i nye situasjoner

kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler

vurderer om svar er rimelige

forklarer framgangsmåter og begrunner svar

skriver oversiktlig og er nøyaktig med utregninger,

benevninger, tabeller og grafiske framstillinger


DEL 1: 3 timer. 36 poeng Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler

Oppgave 1 (3 poeng)

Deriver funksjonene

a)

b) cos xg x e

c) ( ) sin2h x x x

Oppgave 2 (4 poeng)

Bestem integralene

a) 2

2

0

3 1 dxx x

b)

c)

Oppgave 3 (4 poeng)

En funksjon f er gitt ved

3 2

( ) 3 1f x x x , fD

a) Bruk derivasjon til å vise at grafen til f har et bunnpunkt, et toppunkt og et vendepunkt.

b) Bestem likningen til vendetangenten til f.

)1ln()( xxf

dxexx)(

dxx 4

42


Oppgave 4 (2 poeng)

Grafen til en funksjon f er gitt nedenfor. Bestem 3

0

df x x

Oppgave 5 (3 poeng)

a) En aritmetisk rekke med og 3d er gitt. Bestem

Første rad i en kinosal har 30 plasser. Radene bak øker med 2 seter per rad. Rad 20 er den

bakerste raden i kinosalen.

b) Bruk relevante formler, og bestem hvor mange seter det er på den bakerste raden, og hvor

mange seter det er i salen totalt.

Oppgave 6 (3 poeng)

a) En geometrisk rekke med og 2k er gitt. Bestem 10

a .

De to første leddene i en uendelig geometrisk rekke er og 22a .

b) Påvis at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

21 a 15a

21 a

31 a


Oppgave 7 (3 poeng)

Vi har gitt punktene , , og

Punktene danner en pyramide med toppunkt i D og med ABC som grunnflate.

a) Bestem AB AC .

b) Bestem arealet av grunnflaten og volumet av pyramiden.

Oppgave 8 (2 poeng)

Vi har gitt likningen 4 der y 0 5y y .

Løs likningen som en separabel differensiallikning.

Oppgave 9 (3 poeng)

a) Vi har gitt differensiallikningen 2 6 der y 0 8y y . Løs likningen.

b) Grafen til funksjonen y ovenfor har en tangent i punktet (0, 8) .

Bestem likningen til denne tangenten.

Oppgave 10 (3 poeng)

Funksjonene og er gitt ved

2( ) 2f x x x og ( ) 2g x x

a) Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom og

b) Et område blir avgrenset av grafene til og . Bestem dette arealet.

)0,0,1(A )2,2,0(B )2,1,1(C )3,1,4( D

f g

f g

f g



Figuren viser grafen til en trigonometrisk funksjon av typen

Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrykket for denne funksjonen.


Funksjonen er slik at grafen til f går gjennom punktene og .

Bestem tallene a og b.


Bevis formelen nedenfor ved induksjon

( ) sin cf x a x d

( )f x

abxxf )( )1,2(A )27,6(B

3

1441641

1

nn


A

DEL 2: 2 timer. 24 poeng Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett

og andre verktøy som tillater kommunikasjon

Oppgave 1 (2 poeng)

Når grafen til funksjonen 2

40 , 40, 40250

xy x

dreies 360 om x-aksen, får vi en

tønne som omdreiningslegeme.

Bestem volumet av tønna.

Oppgave 2 (4 poeng)

Ut fra et kvadrat med side A skal vi skjære ut overflaten til en pyramide for å få størst volum i

pyramiden. Overflaten til pyramiden har en kvadratisk grunnflate med side s og fire likebeinte

trekanter. (Se figuren nedenfor.)

Vi skal bestemme hvor mye vi må skjære ut av kvadratet, x, for å få størst volum i pyramiden.

Det kan vises at 22

As x , og at høyden h i pyramiden er

a) Vis at volumet av pyramiden kan skrives som

b) Bestem eksakt verdi for x uttrykt ved A slik at volumet av pyramiden blir størst mulig.

Ah x

21( ) (A 2 ) A

6V x x x

A

x

x

s

s

CAS

CAS


Oppgave 3 (3 poeng)

Grafen til er gitt nedenfor:

Bestem eksakt verdi for a slik at y-koordinaten til bunnpunktet A ligger på linjen

Oppgave 4 (4 poeng)

En kule med sentrum i er gitt ved

En rett linje l gjennom sentrum er gitt ved

a) Bestem skjæringspunktene mellom og kula.

b) Bestem likningen til hvert av planene som tangerer kula i skjæringspunktene.

),()1()(2

axxxf 1a

xy 4

2, 3, 32 2 2

4 6 6 14 0x x y y z z

2 2

: 3 4

3 4

x t

l y t

z t

l

A

O 1

CAS

CAS

x

y


Oppgave 5 (2 poeng)

Lufttemperaturen (målt i grader celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved

der x er tiden målt i timer etter midnatt.

Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet.

På hvilke tidspunkter inntreffer disse temperaturene?

Oppgave 6 (3 poeng)

Vi har gitt rekken 1

1 3 6 10 152

n n

Bestem nS . Hvor mange ledd må du ta med for at summen av rekken skal bli større enn

100 000?

g

π π

22 5sin 5cos12 12

g x x x

0, 24x

GRAFTEGNER

CAS


Kild

e:

ww

w.e

vit

am

ins.c

om

(2

6.0

9.2

01

1)

Oppgave 7 (6 poeng)

I denne oppgaven skal vi se på hvordan temperaturen (målt i grader celsius) på te avtar

avhengig av tiden t målt i minutter.

En fylt tekopp står i et rom med jevn temperatur 19 CrT .

Ved tiden , er temperaturen av teen og tekoppen .

a) Forklar at

b) Gitt at 0,06k . Vis at utviklingen av teens temperatur kan beskrives med

funksjonen gitt ved

c) Tegn grafen til T, og bestem når temperaturen passerer 55 .

( )T t

0t (0) 80 CT

( ) ( ( ))r

T t k T T t

( )T t

0,06( ) 19 61e

tT t

C

CAS og GRAFTEGNER

Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen per tid er proporsjonal med

forskjellen mellom rommets temperatur og teens temperatur


Læreplandekning for eksempeloppgave for REA3024 Matematikk R2

Kompetansemål R21 Del 1 Del 2

Hovedområde: Geometri

1 utføre beregninger med tredimensjonale vektorer som er representert både geometrisk

og på koordinatform

7

2 bruke og tolke skalar- og vektorproduktet i beregning av avstander, vinkler, areal og

volum

7

3 bruke vektorregning til å finne liknings- og parameterframstillinger til linjer, plan og

kuleflater

4

4 beregne lengder, vinkler og arealer i legemer avgrenset av plan og kuleflater 4

Hovedområde: Algebra

5 finne og analysere rekursive og eksplisitte formler for tallmønstre med og uten digitale

hjelpemidler, og gjennomføre og presentere enkle bevis knyttet til disse formlene

6

6 gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis 13

7

summere endelige rekker med og uten digitale hjelpemidler, utlede og bruke formlene for

summen av de n første leddene i aritmetiske og geometriske rekker, og bruke dette til å

løse praktiske problemer

5 6

8 regne med uendelige geometriske rekker med konstante og variable kvotienter,

bestemme konvergensområdet for disse rekkene og presentere resultatene

6

Hovedområde: Funksjoner

9 forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke

sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene

10 derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike

funksjoner

1, 3, 9,

10

2, 3, 5

11 omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx , og bruke dem til å

modellere periodiske fenomener

11 5

12 gjøre rede for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt

integral som antiderivert

13 beregne integraler av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av

variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere og ved delvis integrasjon

2

14 tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å

beregne arealer av plane områder og volumer av omdreiningslegemer

4, 10 1

15 formulere en matematisk modell ved hjelp av sentrale funksjoner på grunnlag av

observerte data, bearbeide modellen og drøfte resultat og framgangsmåte

11, 12 2, 3, 5

Hovedområde: Differensiallikninger

16 modellere praktiske situasjoner ved å omforme problemstillingen til en differensiallikning,

løse den og tolke resultatet

7

17 løse lineære første ordens og separable differensiallikninger ved regning og gjøre rede for

noen viktige bruksområder

8, 9 7

18 løse andre ordens homogene differensiallikninger og bruke Newtons andre lov til å

beskrive frie svingninger ved periodiske funksjoner

19 løse differensiallikninger og tegne retningsdiagrammer og integralkurver, og tolke dem

ved å bruke digitale hjelpemidler

8, 9

1 http://www.udir.no/grep/Lareplan/?laereplanid=168732 (18.02.2011)

http://www.udir.no/grep/Lareplan/?laereplanid=168732


Formelark for REA3024 Matematikk R2

Formler som skal være kjent ved

Del 1 av eksamen i REA3024 Matematikk R2

(Formelarket kan ikke brukes på Del 1 av eksamen.)

Aritmetiske rekker

Geometriske rekker

når

Uendelige

geometriske rekker

når

Bestemme konvergensområdet for rekker med variable kvotienter

Induksjonsbevis Gjennomføre og gjøre rede for induksjonsbevis

Derivasjon

Kunne derivere polynomfunksjoner, potensfunksjoner, rasjonale

funksjoner, logaritmefunksjoner og eksponentialfunksjoner og bruke

(sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = = 1 + tan2 x

Kunne derivere sammensetninger av funksjoner

Ubestemt integral

betyr at

når r –1

Integrasjonsmetoder

, k er en konstant

Integrasjon ved variabelskifte, substitusjon Delvis integrasjon Integrasjon ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere

Bestemt integral

der

Tolke det bestemte integralet i praktiske situasjoner Formel for volum av omdreiningslegemer

1 1( )na a n d

1

2

nn

a as n

1

1-n

na a k

1 1

1

( )n

na k

sk

1k

1

1

as

k

1 1k

2

1

cos x

( ) ( ) dF x f x x ( ) ( )F x f x

11

1

d

r rx x x C

r

1d lnx x C

x

e d ex x

x C 1

dln

x xa x a C

a

2

2

cos d sin

sin d cos

i absolutt vinkelmål(1 tan ) d tan

1d tan

cos

x x x C

x x x C

xx x x C

x x Cx

( ( ) ( )) d ( ) d ( ) du x v x x u x x v x x ( ) d ( ) dk u x x k u x x

( ) d ( ) ( )

b

a

f x x F b F a ( ) ( )F x f x


Vektorregning

Regning med vektorer geometrisk som piler i rommet

fra til

Definisjonen av vektorproduktet

Kunne regne ut vektorproduktet på koordinatform

Arealet av trekant:

Volum av tetraeder:

Linjer, plan og kuleflater

er punkt i planet,

er normalvektor

er sentrum i kula,

r er radius i kula Avstand fra punkt til linje Avstand fra punkt til plan

Differensiallikninger

Kunne løse første ordens differensiallikninger Kunne løse separable differensiallikninger Kunne løse andre ordens homogene differensiallikninger med konstante

koeffisienter

Trigonometri

Definisjonen av absolutt vinkelmål Kunne regne om mellom grader og absolutt vinkelmål Kunne den generelle definisjonen av sinus, cosinus og tangens

Kunne omforme trigonometriske uttrykk av typen , og

bruke det til å modellere periodiske fenomener Kunne løse trigonometriske likninger

[ , , ] x y zx y z xe ye ze

[ ] [ ]t x, y, z = tx, ty, tz

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ] [ , , ]x y z x y z x x y y z z

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ]x y z x y z x x y y z z

2 2 2|[ , , ]|x y z x y z

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2[ , , ] [ , , ] og ogx y z x y z x x y y z z

2 1 2 1 2 1[ , , ]AB x x y y z z

1 1 1( , , )A x y z 2 2 2( , , )B x y z

a b

a b1

2a b

1( )

6a b c

0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

0 0 0( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z 0 0 0 0( , , )P x y z

[ , , ]n a b c

2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r 0 0 0( , , )S x y z

sin cosa kx b kx

Eksamensoppgavene lages ut fra kompetansemålene i læreplanen, og utvalget av

formler ovenfor angir derfor ikke begrensninger av kompetansemål som kan prøves

i Del 1.

Dersom oppgavetemaet krever det, kan mer kompliserte formler bli oppgitt som en

del av oppgaveteksten i Del 1.

Det forutsettes at eleven behersker grunnleggende formler og framgangsmåter fra

tidligere kurs .

og skolegang

er et punkt på linjen

er parallell med linjen


Kommentarer til eksempeloppgaven

REA3024 Matematikk R2 etter ny modell

I disse kommentarene til eksempeloppgaven etter ny modell i REA3024 Matematikk R2 finner

du informasjon om struktur, innhold og digitale verktøy. Forslaget innebærer viktige endringer.

Sentralt gitt skriftlig eksamen i REA3024 Matematikk R2 er todelt og varer i 5 timer.

1. Del 1 av eksamen

1.1 Struktur i Del 1 av eksamen

Del 1 varer i 3 timer.

Oppgavene i Del 1 av eksamen nummereres fortløpende som «Oppgave 1», «Oppgave 2» og så

videre. Hver oppgave kan inneholde 1–3 delspørsmål.

1.2 Hjelpemidler på Del 1 av eksamen

Tillatte hjelpemidler er vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler.

Det er ikke tillatt å bruke datamaskin under Del 1 av eksamen.

1.3 Innhold i Del 1 av eksamen

I Del 1 vil det legges vekt på kunnskaper og kompetanse om fagets metoder, symbol- og

formalismekompetanse, algoritmer, matematiske ferdigheter, utledninger, bevis,

argumentasjon, drøfting, resonnement og så videre, i henhold til kompetansemålene i

læreplanen.

Oppgavene i Del 1 av eksamen vil samlet prøve alle hovedområdene i læreplanen:

Geometri

Algebra

Funksjoner


Del 1 vil inneholde oppgaver med ulik vanskegrad.

Det forutsettes at eksamenskandidatene er kjent med og kan formlene, setningene og så

videre som er gitt på «Formelark for REA3024 Matematikk R2».

1.4 Besvarelse av Del 1 av eksamen

Del 1 er papirbasert. Besvarelsen skal føres med penn på skolens eksamenspapir. Det skal

ikke brukes datamaskin under Del 1 av eksamen. Besvarelsen av Del 1 skal leveres inn

nøyaktig 2 timer etter eksamensstart. Besvarelsen av Del 1 må ikke leveres ut igjen til

eksamenskandidaten etter at den er levert inn. Besvarelsen av Del 1 skal føres på egne ark,

slik at den kan skilles fra besvarelsen av Del 2. Besvarelsen av Del 1 kan skannes og sendes til

sensor som IKT-basert eksamen sammen med Del 2 av eksamen, forutsatt at besvarelsen er

tydelig å lese for sensor.


2. Del 2 av eksamen

2.1 Struktur i Del 2 av eksamen

Del 2 varer i 2 timer.

Oppgavene i Del 2 av eksamen nummereres fortløpende som ”Oppgave 1”, ”Oppgave 2” og så

videre. Hver oppgave kan inneholde 1–3 delspørsmål.

2.2 Hjelpemidler på Del 2 av eksamen

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater

kommunikasjon. Eksamenskandidatene kan når som helst starte med besvarelsen av Del 2,

men de får ikke tilgang til hjelpemidlene før det har gått tre timer og besvarelsen av Del 1 er

levert inn.

2.3 Minstekrav til digitale verktøy på Del 2 av eksamen

Oppgavene i Del 2 forutsetter at alle elever og privatister i REA3024 Matematikk R2 er kjent

med og kan bruke datamaskin med følgende digitale verktøy (programvare):

Graftegner

CAS

Oppgavene i Del 2 blir utformet med tanke på at de skal løses ved hjelp av digitale verktøy.

Når en oppgave er merket med «GRAFTEGNER» eller «CAS», er det obligatorisk å bruke dette

digitale verktøyet for å løse oppgaven. Når en oppgave ikke er merket, kan

eksamenskandidaten selv velge metode og verktøy.

Dersom eksamenskandidaten velger et annet verktøy / en annen løsningsmetode enn det

oppgaven krever, vil dette kunne gi noe uttelling.

2.4 Innhold i Del 2 av eksamen

I Del 2 vil det legges vekt på matematisk forståelse og evne til å løse sammensatte

matematiske problemstillinger.

Oppgavene i Del 2 av eksamen vil samlet prøve alle hovedområdene i læreplanen:

Geometri

Algebra

Funksjoner


Del 2 vil inneholde oppgaver med ulik vanskegrad.

I Del 2 prøves også eksamenskandidatenes evne til å bruke digitale verktøy for å løse

matematiske problemstillinger og presentere løsninger.

2.5 Besvarelse av Del 2 av eksamen

Del 2 av eksamen er enten papirbasert (utskrifter og bruk av penn) eller IKT-basert.

Papirbasert eksamen

Under Del 2 av eksamen må eksamenskandidatene ha tilgang til datamaskin der den

programvaren som skal brukes, er installert. Kandidatene må også ha tilgang til skriver under

hele Del 2 av eksamen.


Dersom en kandidat velger å skrive besvarelsen sin for hånd, skal utskrifter fra regneark og

graftegner følge med, merkes som vedlegg og refereres til i besvarelsen.

Det er viktig med tydelige referanser til vedlegg og en oversiktlig struktur i besvarelsen.

Kandidatene kan også velge å samle alle løsninger i ett dokument og levere hele Del 2 som

utskrift.

IKT-basert eksamen

Del 2 kan også besvares som IKT-basert eksamen, jf. kapittel 6. Alle løsningene skal da samles

og leveres digitalt i én fil.

3. Annet

3.1 Særskilt tilrettelegging av eksamen

For særskilt tilrettelegging av eksamen, se rundskriv Udir-4-2010. Rundskrivet er publisert på

Utdanningsdirektoratets nettsider, www.udir.no.

3.2 Kommunikasjon

Under eksamen har elevene ikke anledning til å kommunisere med hverandre eller

utenforstående. Det betyr at Internett, mobiltelefoner og alle andre innretninger som tillater

kommunikasjon, ikke er tillatt under eksamen.


4. Digitale verktøy ved eksamen for REA3024 Matematikk R2

Digitale verktøy åpner for nye muligheter når vi skal arbeide med og presentere matematikk.

Verktøyene kan hjelpe oss å forbinde ulike representasjoner og dermed gjøre det lettere å se

sammenhenger og forstå.

I dag er digitale matematiske verktøy kraftigere og lettere tilgjengelige enn tidligere. Verktøyene

støtter numeriske, statistiske, grafiske, symbolske, geometriske og tekstlige funksjonaliteter.

Disse kan brukes hver for seg eller sammen. Ved å bruke digitale verktøy kan elevene utforske

flere aspekter ved numeriske, grafiske, geometriske og algebraiske sammenhenger. Denne

tilnærmingen gjør at elevene kan fokusere på bruk, overføringsverdi og sammenhenger.

Digitale verktøy kan gjøre tidligere vanskelig tilgjengelig matematikk lettere tilgjengelig, og gi

læreren mulighet for å gjøre matematikken mer interessant for elevene.

For å kunne velge hensiktsmessige digitale verktøy, bruke verktøyene og vurdere resultatene

de gir, er det avgjørende at elevene har grunnleggende matematiske ferdigheter og

kunnskaper og behersker metoder.

Det forutsettes at elevene er kjent med og kan bruke både CAS og graftegner. Det blir opp til

skoler/faglærere/elever/privatister å velge hensiktsmessige varianter av disse digitale

verktøyene.

Vi forutsetter at alle som skal ta eksamen i REA3024 Matematikk R2, har tilgang til

datamaskin med disse digitale verktøyene under Del 2 av eksamen, er kjent med bruken av

verktøyene og har tilgang til skriver.

Graftegner (programvare på datamaskin)

Med en graftegner mener vi her en digital graftegner som kandidatene kan bruke til å tegne

grafer digitalt og skrive ut grafene på papir. Det forutsettes at kandidatene er kjent med en slik

graftegner ved alle sentralt gitte skriftlige eksamener i matematikk både i grunnskolen og i den

videregående skolen. I Del 2 av eksamen vil det innenfor hovedområdet «Funksjoner» være

aktuelt å gi oppgaver der kandidatene skal tegne en graf digitalt og deretter skrive ut grafen.

CAS (programvare på datamaskin)

CAS = Computer Algebra System er en typebetegnelse på kalkulatorer som beregner

«symbolsk» i tillegg til «numerisk». Dette er altså avanserte, kraftige symbolbehandlende

kalkulatorer, enten på plattformer eller som frittstående programvare. Eksamenskandidatene

må kunne skrive ut eller levere løsninger fra CAS-verktøy digitalt.

Formeleditor (programvare på datamaskin), særlig aktuell ved IKT-basert eksamen

Med dette digitale verktøyet kan kandidaten skrive og redigere matematiske formler, uttrykk,

symboler og så videre. Dette kan være et nyttig verktøy når man skal gjennomføre Del 2 av

eksamen som IKT-basert eksamen.

NB! Nødvendig programvare må være lastet ned og installert på datamaskinen før eksamen.

Kandidatene skal ikke ha tilgang til Internett for å gjøre dette under eksamen.


5. Hva forventer vi at elevene behersker i de ulike digitale verktøyene i

REA3024 Matematikk R2?

Oversikten nedenfor er ikke nødvendigvis uttømmende. Formålet med den er å vise eksempler

på det som er viktig å mestre i de ulike digitale verktøyene for å kunne gjøre det best mulig på

sentralt gitt skriftlig eksamen. Det er først og fremst matematisk kompetanse som skal

vurderes, ikke teknisk kunnskap.

Graftegner

tegne grafer med definisjonsmengde

tegne grafer til

o lineære funksjoner (proporsjonale og ikke proporsjonale)

o andregradsfunksjoner (kvadratiske)

o omvendt proporsjonale funksjoner

o polynomfunksjoner

o rasjonale funksjoner

o eksponentialfunksjoner

o potensfunksjoner

o trigonometriske funksjoner

finne nullpunkter, bunn-, topp- og vendepunkter

finne linje mellom to punkter

finne skjæringspunkter mellom grafer og mellom en graf og koordinataksene

finne grafisk løsning av likningssett

finne x- og y-verdier på grafen. Navngi et punkt på grafer.

finne stigningstall, momentan vekstfart og gjennomsnittlig vekstfart

finne tangentlikning

finne vertikale og horisontale asymptoter

bruke lineær, polynom-, eksponential-, potens- og sinusregresjon

finne grafisk løsning av eksponentiallikninger

finne grafisk løsning av logaritmelikninger

finne grafiske løsninger på optimaliseringsproblemer

tegne kurver gitt ved parameterframstilling. finne skjæringspunkter mellom slike kurver

og mellom en kurve og koordinataksene

tegne integralkurver og retningsdiagram

finne areal under grafer

kopiere graftegning til tekstbehandlingsdokument og eventuelt ta utskrift

ta utskrift av grafen direkte fra program

CAS (Computer Algebra System)

bruke CAS til å regne både numerisk og symbolsk (algebraisk)

løse (også trigonometriske) likninger og ulikheter, omforme uttrykk

løse enkle eksponential- og logaritmelikninger

løse likningssystemer

løse differensiallikninger og tegne retningsdiagram

forenkle og regne ut algebraiske uttrykk

faktorisere algebraiske uttrykk

regne med geometriske og aritmetiske rekker

polynomdivisjon

løse likninger med hensyn på parametre i ulike problemstillinger og optimalisering

derivere ulike funksjoner (første- og andrederivert)


beregne bestemte og ubestemte integraler

vektorregning, skalarprodukt, vektorprodukt, vinkler, lengder, areal og volum

bruke CAS til å regne med trigonometriske definisjoner og setninger i ulike

problemstillinger

kopiere beregninger fra CAS til et tekstbehandlingsdokument og eventuelt ta utskrift


6. IKT-basert eksamen i matematikk (Del 2 av eksamen)

Skolene kan velge å gjennomføre Del 2 av eksamen i matematikk som «IKT-basert eksamen».

Mens Del 1 skal besvares ved at kandidatene skriver for hånd på papir og skolen sender

besvarelsene per post til sensorene, skal en IKT-basert eksamen av Del 2 besvares ved hjelp

av datamaskin. Løsningene skal samles i ett dokument som lastes opp i PGS-A og gjøres

tilgjengelig for sensorene i PAS.

Dersom skolen velger IKT-basert eksamen, er det viktig å sette seg grundig inn i hvordan dette

gjøres, og hvilke system- og formatkrav som gjelder. Informasjon om IKT-basert eksamen finner

du her: http://www.udir.no/Vurdering/Eksamen-videregaende/Gjennomfore-eksamen/.

IKT-basert eksamen gjennomføres slik:

1) Kandidaten logger seg inn på Utdanningsdirektoratets prøvegjennomføringssystem

(PGS) med tildelt brukernavn og passord når Del 2 av eksamen begynner.

2) Kandidaten laster ned eksamensoppgaven fra Utdanningsdirektoratets

prøvegjennomføringssystem PGS-A.

3) Kandidaten besvarer eksamensoppgaven ved hjelp av datamaskin og digital

programvare, og lagrer besvarelsen.

4) Kandidaten laster opp besvarelsen til PGS-A.

5) Sensorene henter besvarelsen i prøveadministrasjonssystemet PAS, der også

karakterene blir satt ved fellessensuren.

Se http://www.udir.no/Vurdering/Eksamen-videregaende/Gjennomfore-eksamen/ for

oppdaterte brukerveiledninger for skoler, elever/privatister og sensorer.

Her tar vi i tillegg med noen punkter som viser hvordan elever/privatister som skal besvare Del

2 som IKT-basert eksamen, bør gå fram, og hvilke krav som gjelder:

Du må ha en datamaskin med de digitale verktøyene du trenger for å besvare

eksamensoppgavene.

Du må samle alle løsningene i ett dokument. Du bør ha et tekstbehandlingsdokument

som basisdokument.

Det er nyttig å ha, og kunne bruke, en formeleditor for å kunne skrive og redigere

matematiske formler, uttrykk, symboler og så videre.

Husk å lage en topp- eller bunntekst i basisdokumentet, der du skriver skolens navn og

kandidatnummeret ditt.

Husk å nummerere oppgavene. Ta med utregninger og kommentarer. Kopier inn

grafiske framstillinger, figurer og beregninger. Skriv utfyllende kommentarer til hver

oppgave, slik at du besvarer oppgaven best mulig. Nedenfor finner du eksempler på

hvordan du kan gjøre dette:

http://www.udir.no/Vurdering/Eksamen-videregaende/Gjennomfore-eksamen/

http://www.udir.no/Vurdering/Eksamen-videregaende/Gjennomfore-eksamen/


Oppgave 1

Funksjonen til en rett linje er gitt ved

2 2

9, 0

9 9

ay x a

a a

Den rette linjen tangerer en halvsirkel i punktet P. A er grafens skjæringspunkt med x-aksen,

B er grafens skjæringspunkt med y-aksen. Punktene A, B og P kan variere.

a) Forklar hvilke verdier a kan ha. Bestem koordinatene til punktene A og B.

b) Bestem et uttrykk for arealet av OAB

c) Bestem verdien av a slik at arealet av OAB blir størst mulig. Bestem dette arealet.

x

y

P

a O A

B

CAS


Løsningsforslag 1 Digitale verktøy: TI-nspire 3.1

2

0 og 9 0 0 3a a a


Løsningsforslag 2 Digitale verktøy: MathType 6.7 og wxMaxima

a)

20 og 9 0 0 3a a a

I punktet A er 0y 2 2

90

9 9

ax

a a

Vi løser denne likningen med hensyn på x i CAS:

Vi har at 9

, 0Aa

I punktet B er 0x 2 2

90

9 9

ay

a a

Vi har at

2

90,

9B

a

b) Arealet av OAB :

2 2

1 9 9 81( )

2 2 9 2 9

g hF a

a a a a

c) Vi må derivere ( )F a og løse ( ) 0F a

Siden 0 3a gir 3

2a størst areal for OAB

Størst areal er eksakt 9 (arealenheter).


Løsningsforslag 3 Digitale verktøy: MathTYpe 6.7 og GeoGebra 4.2 (beta)

a) 20 og 9 0 0 3a a a

Definerer funksjonen i GeoGebra:

Finner x-koordinaten til A (som blir grunnlinjen i trekanten):

Finner deretter y-koordinaten til B (som blir høyden i trekanten):

Altså er 9

,0Aa

og 2

90,

9B

a

.

b) Arealet av trekanten OAB er da gitt ved:


c) Finner det største arealet der den deriverte til uttrykket for arealet med hensyn på a er null:

Siden 0 3a , gir 3

2a størst areal for OAB . Dette arealet er:

Størst areal er eksakt 9 (arealenheter).

Når du er ferdig, må du huske å lagre og laste opp besvarelsen din i PGS-A.

Det finnes mange ulike typer digitale verktøy i matematikk, og mange filformater. PGS

godtar ikke alle filformater. Det kan være en fordel å bruke et

tekstbehandlingsdokument som basisdokument og så kopiere fra andre digitale verktøy

og inn i dette dokumentet, som vist ovenfor. NB! Alle eksamensbesvarelser i

matematikk bør lagres i PDF-format.

Følgende filformater kan benyttes i forbindelse med IKT-basert eksamen: doc, pdf, rtf,

xls, ods, odt, xlsx, docx, sxc, sxw, html, txt.

Det er lagt inn en kontroll i PGS-A som gjør at andre typer filformater blir avvist.

Besvarelsen kan være på maksimalt 10 MB. Dersom filen er større, må den pakkes

(«zippes»). Følgende formater kan benyttes til slik pakking: tar, 7z, z, gz, rar, tar, zip

Ved IKT-basert eksamen i matematikk må HELE besvarelsen leveres som IKT-basert

eksamen, ikke bare delvis. Elevene/privatistene kan altså ikke levere Del 2 delvis på

papir og delvis som IKT-basert eksamen.


7. Hvordan kan kandidatene dokumentere matematisk kompetanse

ved hjelp av digitale verktøy?

Det er viktig at kandidatene dokumenterer og begrunner løsningsmetoder og svar også ved

bruk av digitale verktøy. De siste årene har det skjedd en omfattende utvikling av digitale

matematiske verktøy for bruk i skolen, og det er derfor nødvendig å revurdere hva vi mener

med å dokumentere og begrunne matematisk kompetanse ved bruk av slike verktøy.

Kravene til eksamenskandidatenes kunnskaper og ferdigheter er i det store og hele de samme

som tidligere. Det er fortsatt kandidatenes evne til å forstå, analysere og dokumentere

løsninger av matematiske problemer som skal vurderes. Men «veien» fram til løsningene» har

endret seg.

Verden, både i og utenfor skolen, har i større grad blitt digital. Dette må få konsekvenser også

for matematikkfaget. Og – forhåpentlig vil konsekvensene være positive! For – kan det være

riktig at det bare er regning på papir som er en intellektuell aktivitet, mens regning på en

datamaskin ikke er annet enn tankeløs tastetrykking? Eller er det kanskje slik at vi ved å bruke

datamaskin og programvare på en hensiktsmessig måte kan se og forstå matematiske

sammenhenger bedre? Når vi «matematiserer», gjelder det først å stille de riktige spørsmålene.

Videre formulerer vi matematiske problemer fra en virkelig verden (konseptualisering). Så

utfører vi beregninger og bruker matematiske metoder. Til slutt overfører vi de matematiske

formuleringene og resultatene tilbake til den virkelige verden for å verifisere matematikken.

Kanskje må vi justere den matematiske modellen, eller lage en ny. I denne prosessen vil det

ofte være hensiktsmessig å bruke digitale verktøy. Den sentralt gitte, skriftlige eksamen

forsøker å ta hensyn til dette så langt det er mulig innenfor rammene som er gitt.

I dag er de digitale matematiske verktøyene kraftigere, bedre, mer brukervennlige og mer

tilgjengelige enn tidligere. Verktøyene støtter numeriske, statistiske, grafiske, symbolske og

geometriske funksjonaliteter. Disse kan brukes hver for seg eller sammen. Dermed kan vi

utforske flere aspekter ved numeriske, grafiske, geometriske og algebraiske sammenhenger.

Denne tilnærmingen gjør at elevene kan fokusere på bruk, overføringsverdi og sammenhenger.

De digitale verktøyene kan gjøre tidligere vanskelig tilgjengelig matematikk lettere tilgjengelig,

og gir læreren bedre muligheter for å gjøre matematikken interessant for elevene og bruke

realistiske data og eksempler. Det er derfor en naturlig utvikling at eksamen i større grad

forutsetter at digitale verktøy er kjent for eksamenskandidatene.

Beregningene, matematikkens «maskineri», er midler på veien til målet, men ikke et mål i seg

selv. De siste årene har vi fått stadig kraftigere digitale verktøy som kan utføre selve

beregningene for oss. Ved å bruke disse verktøyene kan flere få ta del i matematikken og se at

matematikk er mer enn bare beregninger.

I Del 2 av eksamen er det viktig at kandidatene viser matematisk forståelse og kompetanse

ved å analysere problemer, redegjøre for den løsningsmetoden som er brukt, og tolke, vurdere

og presentere resultatene. Det finnes digitale verktøy som kan løse algebraiske problemer

«trinn for trinn». Dette er en av flere grunner til å ikke kreve slike «trinn for trinn»-løsninger i Del

2 av eksamen. I forbindelse med vurderingen av eksamensbesvarelsen av Del 2 vil det være

viktigere å gi uttelling for analysen, framgangsmåten og dokumentasjonen i problemløsningen

enn for algebraiske «trinn for trinn»-løsninger. Algebraiske «trinn for trinn»-løsninger prøves i Del

1 av eksamen.


Oppgavene i Del 2 er formulert så presist som mulig, slik at selve problemet kommer klart

fram. Disse oppgavene inneholder ikke lenger formuleringer som «Regn ut …» eller «Bestem

ved regning …», men heller for eksempel «Tegn …» eller «Bestem …» sammen med et eventuelt

krav til hvilket digitalt verktøy som skal benyttes. Dersom en oppgave i Del 2 er merket med

«GRAFTEGNER», skal kandidatene løse oppgaven «grafisk». Dersom en oppgave er merket med

«CAS», må kandidatene bruke et CAS og løse oppgaven «algebraisk». Når en oppgave ikke er

merket, må kandidatene selv avgjøre hvilken løsningsmetode og hvilket verktøy det er mest

hensiktsmessig å bruke.

Ved bruk av digitale verktøy må den matematiske forståelsen dokumenteres. I en god

besvarelse bør disse kravene være oppfylt:

1) Det matematiske problemet er tilstrekkelig analysert

Før selve problemløsningen bør kandidatene vurdere hvilke metoder det er hensiktsmessig å

benytte. Resultatet av disse vurderingene kan være en løsningsmodell i form av en likning eller

et likningssystem, en funksjon, et integral og så videre. Kandidatene bør deretter vurdere

løsningsmetoden med hensyn til det forventede antall løsninger til likningen/likningssystemet,

definisjonsmengde for funksjonen, valg av integrasjonsgrenser og så videre.

2) Bruk av løsningsmetodene framgår tydelig av besvarelsen

Kandidatene bør beskrive de enkelte trinnene i løsningsprosessen med ord eller skisser som

understøtter beregningene. I besvarelsen bør kandidatene ta med utfyllende kommentarer slik

at eventuelle regne- og inntastingsfeil ikke framstår som forståelsesfeil.

3) Resultatet er korrekt og formulert slik at sensor ikke er i tvil om hva som menes

Svaret på det matematiske problemet må ikke kunne leses eller tolkes feil, og kandidatene bør

angi korrekt matematisk notasjon. I mange oppgaver er det naturlig å komme med en

konklusjon som direkte svarer på spørsmålene i oppgaven. Det at resultatet skal være korrekt,

er naturligvis en selvfølge. Mindre regnefeil bør ikke trekke mye ned, med mindre feilen fører til

et usannsynlig resultat. Kandidatene bør derfor alltid vurdere de svarene og resultatene de får,

og eventuelt kommentere disse ut fra forventet svar/resultat.

Når kandidatene skal tegne grafer i et koordinatsystem, forventes det at de som minimum tar

med skala og navn på akser, og at de tegner grafen innenfor et fornuftig område eller i henhold

til definisjonsmengden. Kandidatene kan fritt bruke kommandoer i programvaren for å

analysere grafen, for eksempel finne skjæringspunkter eller topp- og bunnpunkter. Det er da

viktig at kandidatene beskriver og kommenterer det de gjør.

Digitale verktøy har ofte sin egen notasjonsform. Det er naturligvis tillatt å bruke denne i

problemløsningen dersom den matematiske tankegangen kommer klart fram. Men i

konklusjonen bør kandidatene «oversette» notasjonen fra det digitale verktøyet og for

eksempel skrive i stedet for x^2, i stedet for sqrt(2) og så videre. I sensuren bør sensor

likevel være raus dersom kandidatene har brukt notasjonen fra de digitale verktøyene.

Nedenfor gir vi noen eksempler på hvilke krav til framgangsmåte og dokumentasjon av

løsningene som stilles til eksamenskandidatene når de skal løse oppgaver i Del 2 av eksamen.

Vi har gitt kommentarer i klammeparantes […].

Løsningene nedenfor er eksempler på hvordan løsningene av oppgavene kan dokumenteres,

og er ikke en entydig tolkning av begrepet «dokumentasjon».

2x 2


Oppgave 1

Sirklene nedenfor ligger på en rett linje som tangerer hverandre. Diameteren i hver sirkel er en

del av den rette linjen. Diameterne i sirklene utgjør en uendelig rekke der diameteren i den

største sirkelen er 64, den andre 32, den tredje 16, og så videre i det uendelige.

a) Bestem summen av alle radiene i sirklene.

b) Bestem summen av alle omkretsene til sirklene.

CAS


Løsningsforslag, Oppgave 1

Digitale verktøy: MathType 6.7 og wxMaxima

a) Radiene i sirklene utgjør en uendelig geometrisk rekke gitt ved

der og

Vi summerer eller og får:

eller

Summen av alle radiene i sirklene er 64.

b) Omkretsene i sirklene utgjør også en uendelig geometrisk rekke gitt ved

Vi summerer og får:

Summen av alle omkretsene til sirklene er

32 16 8 132a

1

2k

0

32 0,5k

k

5

0

2 k

k

64 32 16 (64 32 16 )

6

0

2k

k

128


Oppgave 2

Punktene danner en pyramide ABCT som

har som grunnflate og toppunkt T.

a) Bestem .

b) Bestem volumet av pyramiden ABCT.



a) For å finne finner vi og :

og

Deretter bruker jeg CAS til å bestemme :

Konklusjon:

(0, 1, 4), (2, 0, 2), (1, 1, 2) og ( 2, 1, 3)A B C T

ABC

BAC

BAC AB AC

2, 1, 2AB 1 2, 2AC

BAC

27,3BAC

CAS


b) Volumet av pyramiden ABCT er gitt med formelen

Vi finner først :

Deretter finner vi skalarproduktet :

Volumet av pyramiden ABCT er derfor 7

6 (volumenheter).

1

6V AB AC AT

AB AC

AB AC AT


Oppgave 3

Temperaturen T, som en funksjon av tiden t, til en gjenstand som varmes opp i en ovn med

konstant temperatur A, oppfyller differensiallikningen gitt ved

( ) ( )T t k A T

Her er k en konstant som er avhengig av hva slags gjenstand det er, hvilken form den har, og

hva den er laget av. I denne oppgaven er temperaturen T gitt i grader celsius ( ) og tiden t

i minutter.

En oksesteik, med temperatur 20 , settes ved i en ovn med temperaturen

. For denne steiken regner vi at .

a) Bestem temperaturen til steiken for .

b) Bestem hvor mange minutter steiken skal stå i ovnen når den er ferdig ved 65 .



a) Vi bruker CAS til å finne :

C

C 0t

250 CA 0,005k

( )T t 0t

C

( )T t

CAS


Dermed får vi at

b) Vi må løse likningen . Vi bruker CAS.

Det tar altså ca. 43,5 min før steiken er ferdig.

0,005( ) 250 230e

tT t

( ) 65T t


Oppgave 4

Dersom vi dreier grafen til funksjonen gitt ved

om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme.

a) Tegn grafen til f. Bestem den største diameteren til omdreiningslegemet.

b) Bestem volumet av omdreiningslegemet.


Digitale verktøy: MathType 6.7, GeoGebra og wxMaxima

a) Vi tegner grafen til f:

Omdreiningslegemet har størst diameter ved toppunktet på grafen.

Vi bruker CAS til å finne når :

3( ) 2 , 0, 4

x

f x x e x

360

( ) 0f x

GRAFTEGNER og CAS


Største diameter for omdreiningslegemet er dermed 2,97.

b) Volumet av omdreiningslegemet:

Volumet av omdreiningslegemet er dermed omtrent 21,1 (volumenheter).


Oppgave 5

Funksjonen er gitt ved

,

a) Tegn grafen til . Les av amplituden og perioden til .

Lufttemperaturen (målt i grader celsius) gjennom et sommerdøgn er gitt ved

der x er tiden målt i timer etter midnatt.

b) Bestem høyeste og laveste temperatur dette døgnet. På hvilke tidspunkter inntreffer disse

temperaturene?

f

π π( ) 5sin 5cos

12 12f x x x

0, 24x

f f

g

22 ( )g x f x 0, 24x

GRAFTEGNER



Digitale verktøy: GeoGebra og MathType 6.7

Vi avgrenser grafen til oppgitt definisjonsområde ved å bruke kommandoen Funksjon, og

skrive:

Funksjon[-5*sin(( /12)*x)-5*cos(( /12)*x),0,24]

a) Vi tegner grafen og markerer amplitude og periode grafisk:

b) Grafen til g er flyttet 22 enheter opp i forhold til grafen til f.

Høyeste temperatur vil være: . Denne inntreffer kl. 15.00.

Laveste temperatur vil være: . Denne inntreffer kl. 03.00.

(22 7,07) C 29 C

(22 7,07) C 15 C


Oppgave 6

a) Tegn et retningsdiagram for differensiallikningen og integralkurven

gjennom punktet .

b) Bestem funksjonsuttrykket til integralkurven, og bestem stigningstallet for tangenten til

integralkurven i P.


Digitale verktøy: wxMaxima og MathType 6.7

a) Vi bruker CAS, og får følgende retningsdiagram med integralkurve:

0,5' e 4

xy x

(0, 4)P

CAS


b) Vi bruker CAS til å bestemme likningen til integralkurven:


Vi får at integralkurven er gitt ved

Stigningstallet til tangenten i er:

Oppgave 3 (3 poeng)

Grafen til er gitt nedenfor:

Bestem eksakt verdi for a slik at y-koordinaten til bunnpunktet A ligger på linjen

0,5 22 2 2

xy e x

(0, 4)P0,5 0

'(0) 4 0 1y e

),()1()(2

axxxf 1a

xy 4

A

O 1

CAS

x

y


Problemet kan framstå som utfordrende for mange kandidater. Problemet krever at man ser

flere sammenhenger innenfor funksjonsanalysen og gir en klar framstilling av løsning og

konklusjon:

Forståelse og analyse

o Hva består problemet av, hvordan tolke det?

o Hvilke betingelser er gitt?

Metodevalg

o Hvordan kan vi løse problemet?

o Hvilke løsningsstrategier kan føre fram?

o Hvordan bruke CAS?

Konklusjon

o Har vi en konklusjon som svarer på problemet?

o Hvordan vurderer/sjekker vi om svaret er rimelig?

Kommunikasjon

o Har vi dokumentert og presentert løsningen på problemet tydelig nok?

o Kommer tankegangen vår og resonnementet vårt klart fram?



1

0

0

0 0

f

For har grafen til f et lokalt toppunkt.

Vi har et lokalt bunnpunkt for

y-koordinatene for lokalt bunnpunkt og tangentpunkt må være like:

2( ) ( 1) ( ) , 1f x x x a a

2( ) 2 ( 1) ( ) ( 1) 1f x x x a x

( ) 0 ( 1) 2 ( ) ( 1) 0

( 1) (2 2 1) 0

( 1) (3 2 1) 0

1 0 3 2 1 0

2 11

3

f x x x a x

x x a x

x x a

x x a

ax x

2 1

3

a

( 1)x

(3 2 1)x a

( )f x

1x

2 1

3

ax

( ) 4f x x

Løsning av problemet ved tradisjonell «trinn for trinn-metode»

NB! Det er ikke et krav i Del 2, og det er heller ikke ønskelig eller nødvendig.


Vi må vise at er delelig med :

2 1 2 14

3 3

a af

22 1 2 1

1 ( ) 43 3

a ax a

2

2

2

2

2 3 2

3 2

3 2

2

2 2 1 4(2 1)

3 3 3

(2 2) 1 4 (2 1)27

9 3 3

(2 2) (1 ) 36 (2 1)

(4 8 4) (1 ) 72 36

4 4 8 8 4 4 72 36 0

4 12 60 40 0

4( 3 15 10) 0

4( 2)( 5

a aa

a a a

a a a

a a a a

a a a a a a

a a a

a a a

a a a

10) 0

3 23 15 10a a a ( 2)a

3 2 2

3 2

2

2

3 15 10 : ( 2) 5 5

( 2 )

5 15

( 5 10 )

5 10

( 5 10)

0

a a a a a a

a a

a a

a a

a

a


Siden , løser vi

Derfor er eksakt verdi:

Problemet løst ved hjelp av wxMaxima (CAS):

Siden , har vi at

1a

2

2

5 5 0

( 5) ( 5) 4 1 ( 5)

2 1

5 4545 9 5 9 5 3 5

2

5 3 5

2

a a

a

5 3 5

2a

1a

5 3 5

2a


Problemet løst ved hjelp av GeoGebra ver. 4.2 (CAS-versjon):

Siden , har vi at

Kommentar:

Tradisjonelle «trinn for trinn-løsninger» prøves altså under Del 1 av eksamen, og det er derfor

uhensiktsmessig å prøve eksamenskandidatene i dette enda en gang under Del 2 av eksamen.

Under Del 2 av eksamen legger vi altså vekt på å prøve kandidatene i hvordan de

forstår og analyserer problemet

velger riktige og relevante metode

tolker, forklarer, vurderer og konkludere

presenterer og kommuniserer løsningen sin ved hjelp av digitale verktøy

1a

5 3 5

2a

Problemet har mange algebraiske beregninger som kan være svært tidkrevende. Slike trinn

for trinn-løsninger er ikke et krav i Del 2 av eksamen. Disse er ofte både tid- og arbeids-

krevende beregninger, som for eksempel derivasjon, finne topp- og bunnpunkter ved drøfting,

løse andregradslikninger og utføre polynomdivisjon, og kan overlates til CAS i Del 2.

Her brukes CAS som en «stige» for å unngå de tidkrevende beregningene.


Oppgave 8 (variant 1) En kule med konstant radius r er innskrevet i en regulær firkantet pyramide med variabel

høyde x. Kula tangerer pyramidens bunn og fire sideflater. Lengdene y og z er hjelpestørrelser

som du kan få bruk for i utregningene. Se skissene nedenfor.

Figur1: Kule og pyramide i rommet Figur 2: Tverrsnitt av kule og pyramide


2 2

4

3 2

r xV

x r

, 2x r (Tips: Bruk blant annet Pytagoras-setningen og formlikhet)

b) Vis at det minste volumet av pyramiden er 332

.3

r Vis at da er høyden x i pyramiden lik 4 .r

En setning sier at når volumet av pyramiden ovenfor er minst mulig, er også den samlede

overflaten av pyramiden minst mulig.

c) Bruk dette til å bestemme den minste overflaten pyramiden kan ha.

CAS

O A B

S

r

x

z

T

y

C



Digitale verktøy: wxMaxima og MathType 6.7

a)

I figuren er OBT CST .

Kombinerer forhold og Pytagoras:

x r z

r y

2 2 2x y z

Vi får 2 2

2 2

2

( )x r yx y

r

Uttrykker y ved x og r :

Volumet av pyramiden:

b)

Deriverer V, og finner kritiske punkter:


Sjekker at (4 ) 0V r (minimum for denne verdien):

Bestemmer minste volum 3

min

32

3V r når 4x r :


c)

Siden 4x r gir minst volum, må samme høyde gi minst overflate.

Bestemmer først y og z når 4x r :

Minste overflate består av kvadratisk bunn og 4 sideflater

= 2 2(2 ) 4

2

y zy

Minste overflate er 2

32r når høyden er 4x r

Oppgave 27 og oppgave 28 i ekstraoppgavene for Del 2 nedenfor finnes

som varianter av denne oppgaven.


8. Eksempler på andre typer oppgaver i REA3024 Matematikk R2

etter ny modell

Del 1

Oppgave 1

Bestem y uttrykt ved x når

Oppgave 2

Vi har gitt punktene

a) Bestem

b) Vis ved regning at og

Oppgave 3

Avgjør om likningen nedenfor er likningen for en kuleflate, og bestem eventuelt sentrum og

radius i kula:

Oppgave 4

Et plan er gitt ved parameterframstillingen

går gjennom punktet og og

a) Vis at en normalvektor til er

b) Vis at planet kan skrives på likningsformen

2ln( 4) 1x y

(1, 0, 1) , (2, 1, 3) og (7, 3, 5)A B C

AB AC

AB AC AB AB AC AC

2 2 24 2 6 11 0x x y y z z

2

: 3

1 2

x s t

y s t

z s t

(2, 0, 1)P 1, 3, 1u 1, 1, 2v

5, 3, 4n u v

: 5 3 4 6 0x y z


Oppgave 5

Et tetraeder har hjørnene ,

, og

Bestem volumet av dette tetraederet.

Oppgave 6

a) Skriv opp de fem første leddene i tallfølgen

b) Lag en rekursiv formel for i tallfølgen

Oppgave 7

Bruk induksjon til å bevise at

for alle naturlige tall n.

(1, 1, 2)A

(4, 1, 6)B (2, 2, 2)C (3, 0, 2)D

1 13 , 10

n na a a

na

1, 2, 4, 7, 11, ...

21 3 5 ... (2 1)n n

C


Oppgave 8

Bestem summen av de 10 første leddene i rekkene

a)

b) 2 4 8 16

Oppgave 9

a) En rekke er gitt ved

Avgjør om rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

b) En rekke er gitt ved

2 3

1 1 1

x x x 0x

Bestem sum og konvergensområdet for rekken.

Oppgave 10

En funksjon er gitt ved

3 21( ) 2 ,

3f x x x x

Bruk ( )f x og til å avgjøre om grafen til f eventuelt har bunn-, topp- og vendepunkt.

Hvilken verdi for x øker raskest? Hva er vekstfarten da?

Oppgave 11

Dersom vi dreier grafen til funksjonen om x-aksen, framkommer

et omdreiningslegeme.

Vis at volumet av dette omdreiningslegemet er

2 4 6 8 ...

2 3

1 1 11

e e e

( )f x

( )f x

1( ) , 1, 3f x x

x 360

2

3V


Oppgave 12

En funksjon er gitt ved 2( ) 2f x x x

Vi vil regne ut arealet mellom grafen til f og

x-aksen mellom 0x og 4x .

Til høyre ser du grafen til f og dette

(fargelagte) arealet.

a) Forklar kort at ikke er

en korrekt utregning av det fargelagte arealet.

b) Bestem arealet av det fargelagte arealet.

Oppgave 13

Bruk metoden med integrerende faktor, og løs differensiallikningen

når

Oppgave 14

Løs likningen

4

0

16( )

3f x dx

4x

3 4y y (0) 2y

22cos sin 2 , 0, 2x x x

x

y


Oppgave 15

Kontroller om funksjonen y gitt ved er en løsning på differensiallikningen

Oppgave 16

Bestem antall løsninger i likningen

sin cos 2 , 0, 8x x x

Oppgave 17

Deriver funksjonene

a) 4

( )2 3

f xx

b) 3 2

( )1

xg x

x

c)

cos( )

xh x e

Oppgave 18

Bestem integralene

a) 2

2xdx

x

b) 2 3xe dx

c) 2

2

1

1x dx

x

23e 4

xy

3 4y y


Oppgave 19

a) En aritmetisk rekke med og er gitt. Bestem .

b) De to første leddene i en uendelig geometrisk rekke er og

Bestem summen av rekken.

Oppgave 20

Gitt punktene , , og

a) Bestem AB AC . Vis at arealet av er

b) Bestem volumet av pyramiden ABCD.

c) Bestem likningen for planet som går gjennom punktene A, B og C.

Oppgave 21

Gjør radianer om til grader, og gjør om til radianer.

Oppgave 22

En geometrisk rekke har seks reelle, positive ledd. Videre har vi at

3

1 6 5 12

8, , 3

4

xa a a a

x

a) Bestem eksakt verdi for x.

b) Vis at 6

77( 2 1)

2 1S

21 a 2d 15a

31 a3

12 a

)0,0,1(A )2,2,0(B )2,1,1(C )3,1,4( D

ABCΔ2

3

π4

3120


Oppgave 23

Skriv så enkelt som mulig

a) 27 12 75 18 6

b) ( 2 3) ( 2 3)

Oppgave 24

Bevis påstanden P ved induksjon

1

2 3 1( ) : 1 , 1

1

nn x

P n x x x x xx

Oppgave 25

En formel er gitt ved

2

cos 2 1 2sinv v

Bruk denne formelen til å bestemme eksakt verdi av cos36 , gitt at 1

sin 18 ( 5 1)4

Oppgave 26

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd kan tilnærmet beskrives ved et

funksjonsuttrykk ( )f t . Funksjonsverdiene er målt i tonn, og t er antall timer etter begynnelsen

av utbruddet.

Du får vite at: (0) 300, (10) 0 og 10 10f f f

Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?


Oppgave 27

Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik 1.

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme

12

1

1 dx x

Forklar hvordan du tenker.

Oppgave 28

Et området er avgrenset av y-aksen og funksjonene f x x( ) og y k . Området dreies

360 om y-aksen slik at et omdreiningslegeme framkommer.

Forklar at volumet av omdreiningslegemet kan regnes ut ved

k

V y dy2

0

.

Bestem volumet av omdreiningslegemet.

x

y

f


Kild

e:

ww

w.lis

tem

an

ia.n

o/2

00

9/0

9/vit

en

sk

ap

/ (

26

.09

.20

11

)

Del 2

Oppgave 1

Tegn grafen til funksjonen gitt ved

1( 1)

2( ) 4 ex

f x

Bestem definisjonsmengden og verdimengden

Oppgave 2

Tore har i flere år røykt 800 sigaretter per måned. Nyttårsaften 2010 bestemte han seg for å

redusere antall sigaretter med 50 per måned, fra og med januar 2010, til han til slutt ble

røykfri.

a) Forklar hva slags rekke forbruket av sigaretter per måned danner.

b) Når ble Tore røykfri?

c) Hvor mange sigaretter røykte Tore fra og med januar 2010?

fD

fV

GRAFTEGNER

CAS


Oppgave 3


Bestem to eksakte verdier for 2, 2c slik at

Oppgave 4

Dersom vi legger tverrsnittet av et spesielt Cola-glass i et koordinatsystem,

kan innvendig radius beskrives omtrent med funksjonen r gitt ved

der både r og x oppgis i centimeter.

a) Tegn grafen til r , og bestem minste og største innvendige radius

i Cola-glasset.

b) Bestem volumet av mengden Cola som kan fylles i glasset.

c) Bestem hvor høyt 250 Cola står i glasset.

3( ) 2 6 2 , 2, 2f x x x x

(2) ( 2)( )

2 ( 2)

f ff c

3 2( ) 0,0029 0,069 0,33 2,9 , 0, 14,5r x x x x x

3cm

Middelverdisetningen

Hvis f er en kontinuerlig funksjon i og deriverbar i ,

da finnes det minst ett tall slik at

CAS

Kild

e:

Utd

an

nin

gsd

ire

kto

rate

t

GRAFTEGNER og CAS


Oppgave 5

En sirkel med sentrum i origo O er gitt ved

2 2 2x y r

Hvis vi dreier øvre halvdel av sirkelen 360 om x-aksen, kalles omdreiningslegemet en kule.

a) Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av kula er π 34

3r

En såkalt ellipse med sentrum i origo O er gitt ved

2 2

1x y

a b

Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen 360 om x-aksen, kalles omdreiningslegemet en

ellipsoide.

b) Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er π 24

3ab

CAS

x

y

r

r

O

x

y

b

a


Oppgave 6

En akvariebutikk ønsker å dekorere butikken med en figur med form som en fisk.

Figuren avgrenses av linjen og grafen til funksjonene f og g gitt ved

der alle mål oppgis i centimeter.

Bestem arealet av figuren.

30x

3 2

3 2

( ) 0,001 0,15 3 18 , 0

( ) 0,0005 0,15 3 18 , 0

f x x x x x

g x x x x x

f

g

x (cm)

y (cm)

CAS


Kild

e:

ww

w.e

vit

am

ins.c

om

(2

6.0

9.2

01

1)

Oppgave 7


a) Bestem likningen for tangenten 1t på grafen til funksjonen f i ( 3 , ( 3))f .

b) Bestem likningen for en annen tangent 2t på grafen til f slik at 1 2t t

Oppgave 8 (variant 2)

I denne oppgaven skal vi se på hvordan temperaturen på te avtar avhengig av tiden t.

En fylt tekopp står i et rom med jevn temperatur .

Ved tiden min, er temperaturen av teen og tekoppen

a) Forklar at

b) Løs differensiallikningen, og bestem et uttrykk for teens temperatur når

Teen smaker ikke godt når temperaturen kommer under 55 .

c) Bestem dette tidspunktet.

3( ) 2 6 2 , 2, 2f x x x x

( )T t

19 Cr

T

0t (0) 80 CT

( ) ( ( ))r

T t k T T t

( )T t 0,06k

C

CAS

CAS




Kild

e:

ww

w.e

vit

am

ins.c

om

(2

6.0

9.2

01

1)


I denne oppgaven skal vi se på hvordan temperaturen på te avtar avhengig av tiden t.

En fylt tekopp står i et rom med jevn temperatur .

Ved tiden min, er temperaturen av teen og tekoppen

a) Still opp en differensiallikning ved å bruke Newtons avkjølingslov.

b) Vis at utviklingen av teens temperatur kan beskrives med funksjonen gitt ved

når

Teen smaker ikke godt når temperaturen kommer under 55 .

c) Bestem dette tidspunktet.

Oppgave 9

En kule har sentrum i , og punktet ligger på kula.

a) Bestem en likning for kula, og bestem en likning for kulas tangentplan i P.

Et annet tangentplan til kula er gitt ved

b) Bestem koordinatene til berøringspunktet Q mellom kula og .

( )T t

19 Cr

T

0t (0) 80 CT

( )T t

0,06( ) 19 61e

tT t

0,06k

C

(0, 0, 5)S (2, 1, 3)P

: 3 6 6 3 0x y z

CAS

CAS




Oppgave 10

I en modell for utviklingen av en bestemt type kreftceller er antallet kreftceller en funksjon av

tiden, som oppfyller differensiallikningen

( ) 0,82 0,88t

N t N

der N er antallet kreftceller (målt i millioner) ved tidspunktet t (målt i døgn). Videre er

.

a) Bestem vekstfarten ved tidspunktet . Forklar hva dette svaret betyr i praksis.

b) Bestem et uttrykk for .

Oppgave 11

En båt veier 4 t og holder en jevn fart på 15 m/s. Motoren stanser plutselig, og vannet

bremser båten med en kraft som er proporsjonal med den farten båten har. Proporsjonalitets-

faktoren er 400 kg/s.

a) Forklar at differensiallikningen , der v er farten til båten ved tiden t, kan

beskrive denne situasjonen. Forklar også at differensiallikningen , der s er

posisjonen til båten ved tiden t, også kan beskrive situasjonen.

b) Bestem farten til båten 3 s etter at motoren stanset, og hvor langt båten kommer i løpet

av denne tiden.

c) Bestem hvor langt båten kommer før den stopper helt.

Oppgave 12

a) Tegn et retningsdiagram for differensiallikningen og integralkurven

gjennom punktet .

b) Bestem funksjonsuttrykket til integralkurven, og bestem stigningstallet for tangenten til

integralkurven i P.

(10) 266N

10t

( )N t

10

vv

10

ss

0,5' e 4

xy x

(0, 4)P

CAS

CAS

GRAFTEGNER eller CAS


Oppgave 13

Hvis en person blir liggende i vann med temperatur på , kan endringen i kropps-

temperaturen under visse betingelser kunne beskrives med følgende differensiallikning

der t er målt i minutter.

En isfisker faller i vannet, og vi antar at kroppstemperaturen synker etter modellen ovenfor.

a) Bestem hvor lang tid det tar for kroppstemperaturen å synke fra til (antatt

grense for å overleve).

b) Bestem hvor fort kroppstemperaturen endrer seg 5 min etter at isfiskeren faller i vannet.

Oppgave 14

Figuren ovenfor viser et rektangel som er innskrevet i en halvsirkel med radius 1.

a) Forklar at arealet av rektangelet er gitt ved

b) Bestem eksakt vinkel v slik at arealet av rektangelet blir størst mulig. Bestem arealet av

det største rektangelet.

0 C

Cy

( ) 0,012 ( )y t y t

37 C 25 C

( ) 2sin cosA v v v

v

Skisse

CAS

CAS


Oppgave 15

I en bilmotor kan avstanden fra sentrum i veivakselen til toppen av et av motorens stempler

beskrives som en funksjon s av tiden t. Avstanden er målt i centimeter og tiden i sekunder.

a) Tegn grafen til s for , og merk av amplitude, likevektslinje og periode.

b) Bestem den største farten v til stempelet, målt i m/s, når

c) Bestem den største akselerasjonen a til stempelet, målt i 2m/s , når

Oppgave 16

Funksjonen f er gitt ved

a) Tegn grafen til f, og bestem null-, topp-, bunn- og vendepunkt til f.

Funksjonsuttrykket til f kan skrives på formen

b) Bestem konstantene K og .

Funksjonen er en løsning av differensiallikningen

c) Bestem konstantene a og b.

( ) 3,5 sin(210 4,7) 17,5s t t

0, 0,06t

( ) ( )v t s t

( ) ( )a t s t

0,2( ) 4 e (4sin(2 ) 3cos(2 )) , 0, 5

xf x x x x

0,2( ) e sin(2 )

xf x K x

( )y f x

0y ay by

GRAFTEGNER

GRAFTEGNER og CAS


Oppgave 17

Grafene til funksjonene

er gitt nedenfor.

Vis at for alle

3 2( ) 3 , 0f x x x kx k

2( ) 3g x x

1 2A A 0k

f

g

CAS


Oppgave 18

En oljetank framkommer ved at vi dreier grafene til funksjonene

om x-aksen. Se skissen nedenfor. Alle mål i centimeter er innvendige mål i tanken.

Bestem hvor mange liter oljetanken kan romme.

2

2

( ) 1600 16 , 10, 0

( ) 1600 16( 80) , 80, 90

( ) 40 , 0, 80

f x x x

g x x x

h x x

360

CAS


Oppgave 19

En rett kjegle skal ha overflate (sideflate og grunnflate) på 2 2m .

Bestem radius og høyde i kjeglen slik at volumet av kjeglen blir størst mulig.

CAS eller GRAFTEGNER

r

r

Sideflate:

Bunn:


Oppgave 20

I en planlagt operasjon fra MI6 skal James Bond først kjøre en vannscooter med

gjennomsnittsfart på 95 km/h. Deretter skal han kjøre en motorsykkel med gjennomsnittsfart

på 160 km/h.

Bond må beregne hvor han skal plassere motorsykkelen i punktet P slik at han kan komme

seg raskest mulig fra punkt A til bilen i punkt C.

a) Forklar at funksjonen f gitt ved

2

25 11( )

95 160

x xf x

beskriver tiden som James Bond vil bruke på vannscooteren og motorsykkelen.

b) Bestem x og dermed punktet P slik at James Bond bruker minst mulig tid fra

punkt A til punkt C.

A

B C P

5 km

x

11 km

CAS eller GRAFTEGNER


Oppgave 21

Grafen nedenfor viser snittflaten av en skateboardrampe. Alle mål er oppgitt i meter.

Kurven til skateboardrampen kan beskrives ved funksjonen

2 2cos2

xy

a) Hva er det høyeste punktet på skateboardrampen?

b) Vis at stigningen på skateboardrampen alltid er mindre eller lik 1 eller alltid større eller

lik 1

c) Bestem arealet av snittflaten av skateboardrampen (fargelagt område under grafen).

Bakkenivå

CAS

x

y


Oppgave 22

Grafen til funksjonen 2

( )f x b ax er innskrevet i et rektangel, begrenset av linjene y b ,

bx

a ,

bx

a og x-aksen.

Vis at Areal under parabel 2

Areal av rektangel 3

CAS

f


Oppgave 23

Et kulesegment framkommer ved at vi dreier en del av en sirkel 360 om x-aksen. Se skissene

nedenfor. Sirkelen er gitt ved 2 2 2

x y r .

Vis at volumet av kulesegmentet er gitt ved 2

3

hV h r

CAS

y y

x x

r r


Oppgave 24

I en regulær sekskant (heksagon) med side a innskriver vi en annen regulær sekskant slik at

hjørnene faller midt på sidene i den første. I den andre sekskanten innskrives en tredje

sekskant, og så videre.

1 1A B er en side i første sekskant. 2

A er midtpunktet på 1 1A B . 2 2

A B er en side i den andre

sekskanten. 3A er midtpunkt på 2 2

A B . Slik oppstår uendelig mange punkter 1 2 3 4, , , , ...A A A A

Se figuren nedenfor. Alle sekskantene har indre vinkel på 120 . Vi ønsker å finne lengden på

den brukne linjen 1 2 3 4 ...A A A A

a) Vis at 1 2

1

2A A a ,

2 3

3

4A A a ,

3 4

3

8A A a og

4 5

3 3

16A A a

b) Forklar at 1 2 2 3 3 4 4 5A A A A A A A A er en uendelig geometrisk rekke.

c) Vis at rekken har sum lik (2 3)a

CAS


Oppgave 25

En pyramide ABCDT med kvadratisk grunnflate er slik at 10TA TB TC TD m.

De fire sideflatene i pyramiden er likesidede, kongruente trekanter. Vinkelen x i disse

trekantene er slik at 4 2

x . Pyramiden ABCDT og en sideflate ABT er vist på figurene

nedenfor.

a) Bestem AB og TM uttrykt ved x.

b) Vis at det totale overflatearealet av pyramiden (inkludert grunnflaten), målt i kvadratmeter,

er gitt ved

2

( ) 400(cos cos sin )O x x x x

c) Vis at høyden i pyramiden er gitt ved 2 210 sin cosTN x x

Vis at volumet av pyramiden, målt i kubikkmeter, er gitt ved

4 64000( ) cos 2cos

3V x x x

Bestem grafisk x slik at volumet av pyramiden blir størst mulig. Bestem volumet av

pyramiden da.

CAS og GRAFTEGNER

A B

T

x x A B

C D

T

M M

N


Oppgave 26 En funksjon f er gitt ved

31( ) (2 1) (6 3 ) 1 ,

27f x x x x

a) Tegn grafen til f , og bestem x-koordinatene til grafens vendepunkt og toppunkt.

Funksjonen g er gitt ved

31( ) ( 1) ( 3 ) 1 ,

27g x ax b x a og b er reelle konstanter.

b) Skriv ved hjelp av a og b mulige x-verdier for eventuelle vendepunkter og

toppunkter.

c) Hvilken verdi for a gir ingen vendepunkt eller toppunkt på grafen til g?

GRAFTEGNER og CAS



En kule med konstant radius r er innskrevet i en regulær firkantet pyramide med variabel

høyde x. Kula tangerer pyramidens bunn og fire sideflater. Lengdene y og z er

hjelpestørrelser som du kan få bruk for i utregningene. Se skissene nedenfor.

Figur 1: Kule og pyramide i rommet Figur 2: Tverrsnitt av kule og pyramide


2 2

4

3 2

r xV

x r



.3


En setning sier at når volumet av pyramiden ovenfor er minst mulig, er også den samlede

overflaten av pyramiden minst mulig.

c) Bruk dette til å bestemme den minste overflaten pyramiden kan ha.

Vis at 3

O rV

(Denne formelen gjelder alltid når en romfigur – for eksempel prisme, pyramide, sylinder,

kjegle – er omskrevet om en kule.)

CAS

O A B

S

r

x

z

T

y

C


Oppgave 28 (variant 3) En kule med konstant radius r er innskrevet i en regulær firkantet pyramide med variabel

høyde x. Kula tangerer pyramidens bunn og fire sideflater. Lengdene y og z er

hjelpestørrelser som du kan få bruk for i utregningene. Se skissene nedenfor.

Figur 1: Kule og pyramide i rommet Figur 2: Tverrsnitt av kule og pyramide


2 2

4

3 2

r xV

x r



.3


c) Vis at uttrykket for overflaten av pyramiden er gitt ved

2

4( )

2

rxO x

x r

Bestem høyden x som minste overflate av pyramiden. Vis at da er 3

O rV

CAS

O A B

S

r

x

z

T

y

C


Oppgave 29 En person står og ser på et bilde på en vegg. Vi ønsker å bestemme hvor langt fra veggen han

må stå for at synsvinkelen skal bli størst mulig. Synsvinkelen varierer med avstanden

AB x

På figuren nedenfor er DAC , ogDAB u CAB v . BD b og BC a

Vi setter ( ) tan tanf x u v

a) Vis at 2

( ) ( )x

f x b ax ab

ved å bruke at tan tan

tan1 tan tan

u vu v

u v

Vi ønsker å bestemme avstanden x slik at synsvinkelen blir størst mulig.

b) Vis at x ab gir ( )maks

f x

Vi viser ellers til tidligere publiserte eksempeloppgaver og eksamensoppgaver.

A

B

C

D

x m

CAS

Documents

Forslag til ny eksamensordning med kommentarer 2012 Matematikk R2 bokmal.pdf · Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen per tid er proporsjonal med forskjellen mellom rommets