Embed Size (px)
Citation preview
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 1
FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO
Consideriamo per semplicità un campo magnetico uniforme, le linee di forza sono parallele ed
equidistanti. Si osserva una forza di origine magnetica F
, esercitata sul filo immerso nel campo
magnetico per un tratto di lunghezza l percorso dalla corrente i, che nel dispositivo sperimentale è
equilibrata dalla forza elastica di facile misura.
Sperimentalmente si verifica che l’intensità della forza risulta direttamente proporzionale alla
lunghezza del tratto di filo immerso nel campo magnetico (l), all’intensità di corrente (i) ed è
dipendente dall’angolo () formato tra la direzione della corrente e le linee di forza del campo
magnetico. La constante di proporzionalità (B), dipendente solo dal corpo magnetico, è detta induzione
magnetica. L’intensità della forza risulta : senliBF .
Situazioni particolari:
=0 → 0F Il filo è disposto nella direzione delle linee di forza.
=/2 → liBF La forza è massima se il filo risulta disposto
perpendicolarmente alle linee di forza.
La costante di proporzionalità B dipende solo dal campo magnetico. In presenza di campi magnetici
varianti essa varia da punto a punto ed è l’intensità della grandezza vettoriale “Vettore induzione
magnetica” che descrive le caratteristiche del campo magnetico.
Il Vettore induzione magnetica B
presenta:
Direzione : tangente alle linee di forza
Verso: concorde con il verso di percorrenza delle linee di forza
Intensità: ricavabile considerando la forza agente su di un tratto di filo disposta
perpendicolarmente alle linee di forza li
FB
Dispositivo sperimentale
0
N S
i
l
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 2
o Unità di misura N / A ∙ m = J∙ s / C m2 = Volt ∙ s / m2 = Tesla
( 1 Gauss = 10-4 Tesla) ( essendo 1 Volt ∙ s = 1 Weber → 1 Volt ∙ s / m2 = 1 Weber / m2)
o Formula dimensionale [ B ] = [ m ∙ t-2 ∙ i-1]
Considerando la grandezza vettoriale B
ed indicando con l un vettore avente per direzione e verso
quello della corrente ed intensità uguale alla lunghezza del conduttore immerso nel campo
magnetico,possiamo esprimere la forza F
mediante il seguente prodotto vettoriale : BliF
.
La forza F
presenta:
Modulo : senliBF
Direzione : perpendicolare al piano individuato da l
e B
Verso : definito mediante la regola della mano sinistra.
N.B : REGOLA DELLA MANO SINISTRA
1° vettore l
: medio
2° vettore B
: indice
Si ha che F
è rappresentato dal pollice
MOMENTO MECCANICO AGENTE SU DI UNA SPIRA
Consideriamo una spira rettangolare di lato:
aCDAB e bBCAD disposta tra due poli magnetici che generano un campo magnetico uniforme: B = Cost La normale alla spira ( n
) forma un angolo con le linee di forza del campo ( B
)
B
C
A
D
α
→ B
→ n
→ n
i
→
l
→
B
→
F
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 3
Rappresentiamo le forze agenti sui tratti rettilinei di filo, tenendo presente la relazione vettoriale
della forza BliF
Analizziamo nel dettaglio le forze:
2F
è perpendicolare al piano individuato dal segmento AD e dal vettore B
4F
è perpendicolare al piano individuato dal segmento BC e dal vettore B
2F
e 4F
presentano la stessa intensità BbiF e risultano disposte sulla stessa retta d’azione, giacente sul piano della spira, il verso delle due forze è opposto in quanto le correnti che circolano nei tratti CB e DA presentano verso opposto. Pertanto la risultante delle 2F
ed 4F
ed il loro momento risultante sono entrambi nulli.
La forza agente sull tratto CD risulta: BaiF 1
La forza agente sull tratto AB risulta: BaiF 3
1F
ed 3F
presentato stessa intensità 31 FFF , agiscono su rette parallele ed hanno verso opposto.
Si è in presenza di una coppia di forza il cui momento, diverso da zero, pone in rotazione la spira.
N S
→
F1
D=C
A=B
α
→
B
→ n
→
F4
→
F2
→
F3
→
F1
→
B
B
C
D
A
→
F3
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 4
bBC ed il braccio della coppia di forze risulta : senbd
Il momento scalare di tale coppia di forza risulta :
senBbaiFdM
essendo la superficie della spira S = ab, si ha: senBSiM
Situazioni particolari:
α = 0 M = 0
Il momento torcente è nullo si ha quindi una posizione di equilibrio stabile.
α = 90° M = i S B
Il momento torcente è massimo la spira ruota verso la posizione di equilibrio stabile.
α = 180° M = 0
Si ha una posizione di equilibrio instabile ovvero se sottoponiamo la spira a piccoli spostamenti
essa tende ad abbandonare la posizione di equilibrio instabile ruotando verso la posizione di
equilibrio stabile.
Per angoli α ≠ 0 ed α ≠ 180° la spira ruota tendendo a posizionarsi perpendicolarmente alle linee di
forza in modo che il vettore B
risulti disposto nel verso in cui avanza una vite destrorsa che si avviti
nel verso della corrente.
La formula senBSiM , ricavata nel caso precedente di una spira rettangolare, ha validità
generale per spire di qualsiasi forma.
MOMENTO MAGNETICO DI UNA SPIRA PERCORSA DA CORRENTE
Il momento magnetico di una spira è una grandezza vettoriale, avente:
Modulo : Sims , con S la superficie della spira
Direzione : perpendicolarmente al piano della spira
Verso : coincidente con quello della normale al piano della spira;
ovvero quello nel quale avanza una vite destrorsa quando gira nel
verso della corrente. Si ha quindi : nSims
(n è il versore normale al piano della spira)
Possiamo quindi esprimere il modulo del momento meccanico
senBSiM nel seguente modo: senBmM s .
L’espressione vettoriale del momento meccanico risulta: BmM s
.
→
F1
α
α
d
B
C
→
B
→
i
→
F3
M
sm
i
B
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 5
MOMENTO MECCANICO AGENTE SU UN MAGNETE
Ad ogni magnete è associato un momento magnetico sm
, avente la direzione Nord-Sud ed il verso che
va dal polo Sud al polo Nord del magnete.
Il momento meccanico risulta: o
BmM
Il magnete tende a disporsi lungo le linee di forza, tale che il vettore B
sia entrante nel polo Sud ed
uscente nel polo Nord.
TEOREMA DI EQUIVALENZA DI AMPERE
Una spira di momento magnetico Sims (sezione S e corrente elettrica i) è equivalente ad un
magnete il cui momento magnetico è 0 smm e si ha che:
un campo magnetico esterno esercita sulla spira e sul magnete una stessa azione meccanica,
poiché si ha un identico momento meccanico.
il campo magnetico prodotto dalla spira e quello prodotto dal magnete, in punti
sufficientemente lontani, sono identici.
MOMENTO MAGNETICO ORBITALE
Ogni elettrone ruota intorno al proprio nucleo e si comporta come una microspira percorsa da corrente
(corrente elementare) la quale ha evidentemente verso opposto a quella del moto dell’elettrone e
determina un momento magnetico orbitale μorb. Il momento magnetico orbitale è quantizzato, cioè non
può assumere qualsiasi valore, ma soltanto valori multipli interi di una quantità elementare detta
«magnetone di Bohr », pari a o = 9,3 10-24 A∙m2.
In considerazione del fatto che l’elettrone ruota anche su se stesso (spin elettronico), esso possiede un
«momento magnetico proprio». Possiamo concludere che ogni elettrone possiede un momento magnetico
totale che è la risultante di quello orbitale e di quello proprio.
Indicando con μs il momento magnetico proprio dell’elettrone dovuto alla rotazione su se stesso (spin
elettronico) e con μB il momento magnetico orbitale si ha che ogni elettrone possiede un momento
magnetico totale μT = μB + μS
Il momento magnetico atomico è dato dalla somma dei momenti orbitali e di spin relativi a tutte le
particelle cariche (elettroni e protoni) costituenti l’atomo.
La corretta trattazione del momento magnetico proprio, relativo ad un elettrone giacente entro un
atomo, e del conseguente momento magnetico atomico necessita dell’apporto della fisica quantistica in
cui il momento magnetico di spin risulta μS=o ed il momento magnetico orbitale risulta μorb=ml ∙o ,
dove o è il magnetone di Bohr ed ml =0,1, 2...... è il numero quantico magnetico.
S
N
B
N S
2F
1F
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 6
Determiniamo solo a titolo d’esempio, con considerazioni di fisica classica, il momento
magnetico di un elettrone in un’orbita circolare di raggio r avente velocità v. Il periodo di
rotazione T è dato dal rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la velocità: T=2r/v.
L’elettrone in rotazione si comporta come una microspira percorsa da corrente i=e/T la
quale ha evidentemente verso opposto a quella del moto dell’elettrone. Il momento
magnetico risulta: T
eriS 2
IPOTESI D’AMPERE SULLA NATURA DEL MAGNETISMO
Alcune esperienze condotte dal fisico e matematico francese Ampere, non appena gli giunse la notizia
della scoperta di H.C. Oersted di campi magnetici creati dalle correnti elettriche, rivelarono
l’equivalenza tra i magneti permanenti e i circuiti elettrici tanto da indurlo a ipotizzare che anche il
magnetismo dei magneti permanenti fosse dovuto al movimento delle cariche elettriche contenute nei
magneti stessi. Ampere suppose che ogni molecola di una sostanza magnetica sia percorsa interamente
da una corrente elettrica, che la rende simile ad un microscopico magnete. Quando il materiale non è
magnetizzato, ciò significa che questi minuscoli elettromagneti molecolari sono disposti
disordinatamente, in modo che le
loro azioni si annullano a vicenda
Se invece il materiale è
magnetizzato, essi sono
orientati in una sola direzione.
Si hanno le corrente elementari
di Ampere, che danno luogo ad
un magnetismo complessivo.
Pertanto in presenza di un campo
magnetico esterno, le «microspire» tendono ad orientarsi generando a loro volta un campo magnetico
che va a sovrapporsi al campo magnetico esterno. Nei magneti naturali le correnti elementari di Ampere
non sono orientate casualmente: i loro momenti magnetici hanno una direzione preferenziale che origina
il campo magnetico.
Questa teoria magnetica di Ampere ha un’importanza storica in quanto precede l’idea stessa di atomo
che si affermerà molto più tardi. La teoria Amperiana è comunque accettata dai fisici moderni, che
sulla base della struttura atomica (modello atomico di Rutheford) attribuiscono le proprietà
magnetiche della materia al moto orbitale degli elettroni ed alla rotazione su se stessi (spin
elettronico). MAGNETISMO NELLA MATERIA Il campo magnetico nel vuoto generato da un circuito percorso da corrente è descritto dal vettore
induzione magnetica nel vuoto: 0B
. In presenza di un mezzo materiale si ha un differente vettore induzione magnetica che differisce da
0B
per un fattore r
0BB r
r è una costate adimensionale ed è detta permeabilità magnetica relativa. Si definisce permeabilità magnetica assoluta il prodotto tra la permeabilità magnetica del vuoto e la permeabilità magnetica relativa r 0 . Le relazioni individuate per il magnetismo nel vuoto sono d’immediata trasformazione in presenza di un mezzo materiale mediante la semplice sostituzione di al posto di 0 . Le proprietà magnetiche delle diverse sostanze sono dunque descritte dalla permeabilità magnetica o, equivalentemente, dalla suscettività magnetica m (grandezza adimensionale) che risulta:
1 rm
μ
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 7
→ →
INTENSITA’ MAGNETICA H E INTENSITA’ DI MAGNETIZZAZIONE M
Nello studio del campo magnetico generato da un elettromagnete occorre considerare sia le correnti
circuitali che le correnti elementari di Ampere.
Indichiamo con
i la corrente di conduzione ( solenoide )
mi la corrente di magnetizzazione (amperiane ) espressa per unità di lunghezza, la sua unità di
misura è AMPERE / m
Il campo magnetico complessivo è descritto dal vettore induzione magnetica B
.
Introduciamo due nuove grandezze: Il vettore intensità magnetica H
dipendente solo dalla corrente di conduzione.
o Direzione : tangente alle linee di forza o Verso: concorde con il verso di percorrenza delle linee di forza o Intensità: inH → unità di misura (AMPERE / m)
Il vettore intensità di magnetizzazione M
dipendete solo dalle correnti di magnetizzazione.
M
è dipendente dalla natura magnetica della materia e quindi dalla suscettività magnetica 1 rm . Si ha:
HM m
o equivalentemente H)(M r
1
Il vettore d’induzione magnetica B
è dipendente sia dalle correnti di conduzione che dalla corrente di magnetizzazione e risulta:
)MH(B
0
Sostituendo H)(M r
1
si ha: HB r
0 HB
Analizziamo le differenze esistenti tra il vettore induzione magnetica B
ed il vettore campo magnetico
H
considerando un solenoide percorso da una corrente i .
Nel vuoto (assenza di mezzo materiale) all’interno del solenoide si ha:
inB 00 e inH 0
In presenza di una sostanza magnetica interna al solenoide si ha :
00 BinB rr e 0HinH
Le relazioni evidenziano che l’induzione magnetica B assume valori differenti nei due casi mentre per
l’intensità magnetica H è valida la stessa relazione sia nel vuoto che in presenza di un mezzo materiale.
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 8
PROPRIETA’ MAGNETICHE DELLA MATERIA
Analizziamo gli effetti prodotto da un campo magnetico sulla materia ed al tempo stesso le variazioni
del campo magnetico in presenza di un mezzo materiale.
La materia può essere suddivisa in sostanze diamagnetiche, sostanze paramagnetiche e sostanze
ferromagnetiche.
SOSTANZE DIAMAGNETICHE
hanno generalmente un numero pari di elettroni e non
hanno un momento magnetico proprio;
le molecole risultano magnetizzate per deformazione
(precessione di LARMOR) e la sostanza acquista una
debole magnetizzazione opposta al campo e le
correnti di magnetizzazione sono opposte alle
correnti elettroniche.
permeabilità magnetica relativa μr < 1
B = μr B0 → B < B0
SOSTANZE PARAMAGNETICHE
hanno generalmente un numero dispari di elettroni e
hanno un debole momento magnetico proprio
le molecole risultano magnetizzate per orientamento
e la sostanza acquista una magnetizzazione nella
direzione del campo e le correnti di magnetizzazione
sono concordi alle correnti elettroniche.
permeabilità magnetica relativa μr > 1
B = μr B0 → B > B0
SOSTANZE FERROMAGNETICHE
Esistono zone dette domini ferromagnetici (domini di Weiss) nelle quali i momenti magnetici
degli atomi, anche in assenza di campo magnetico esterno, sono già paralleli tra loro
Nella sostanza ferromagnetica non magnetizzata i domini si annullano reciprocamente
Immergendo una sostanza ferromagnetica in un campo magnetico, anche se debole, i domini già
orientati concordemente con il campo crescono a spese degli altri
Aumentando l’intensità del corpo magnetico esterno,
tutti i domini tendono a disporsi secondo la direzione
ed il verso del campo stesso, fino a raggiungere la
saturazione magnetica
La magnetizzazione persiste anche all’annullarsi del
campo magnetico esterno
μr >> 1 è dipendente dall’intensità del campo
magnetico applicata per provocare la magnetizzazione
e dipende dalla temperatura
a temperature superiori al punto di CURIE
(dipendente dalla sostanza) le sostanze
ferromagnetiche diventano paramagnetiche in quanto
l’aumentata agitazione termica impedisce
l’allineamento dei momenti magnetici degli atomi.
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 9
CICLO D’ISTERESI
Le proprietà delle sostanze ferromagnetiche sono descritte dal ciclo d’isteresi, che consiste in un
diagramma di stato, in cui è riportato, in funzione del campo H, il campo magnetico B presente
all’interno del materiale ferromagnetico.
Il ciclo di isteresi si crea misurando l’induzione magnetica (B) come conseguenza delle variazioni
imposte al campo magnetico applicato (H).
Consideriamo il dispositivo schematizzato in figura.
Da tale schema si vede come possiamo variare il valore della corrente i spostando i due cursori del
potenziometro e possiamo variare anche il verso della corrente i, lasciando fisso il numero di spire n.
Possiamo calcolare H dalla formula inH
Con un altro strumento siamo in grado di misurare il valore della induzione magnetica B che si ha tra i
poli magnetici dell’elettromagnete per effetto della variazione di H.
Lo stato iniziale è quello in cui non si ha corrente elettrica e la sostanza è smagnetizzata.
Facendo variare la corrente elettrica varia il valore del campo H ed otteniamo il ciclo d’isteresi che è un
diagramma del tipo:
Analizziamo nel dettaglio il ciclo d’isteresi:
Stato iniziale: Sostanza smagnetizzata ( i = 0 , H = i n = 0 )
La posizione nel diagramma è l’origine O
Tratto 0Bs : all’aumentare della corrente i si ha l’aumento dell’intensità dei vettori H = i n e B.
Si osserva che il vettore B non aumenta linearmente.
Si giunge alla saturazione magnetica (Bs) in cui l’aumento ulteriore di i e quindi di H non causa
variazione del vettore B. (Bs è l’induzione magnetica di saturazione)
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 10
Tratto BsBr : al diminuire della corrente i si ha che l’intensità dei vettori H e B diminuiscono.
Si osserva che quando si arriva ad avere i = 0 non si ha B = 0 in quanto la sostanza rimane
magnetizzata e si ha un magnetismo residuo Br ≠ 0
Tratto Br (-Hc)
Si osserva che per avere un magnetismo nullo B = 0 accorre annullare il magnetismo residuo e
bisogna quindi invertire il verso della corrente fino a raggiungere una intensità magnetica –Hc
che è detta forza coercitiva.
Tratto (- Hc) (-Bs)
Si osserva che aumentando l’intensità di corrente, di verso negativo, si giunge alla situazione di
saturazione opposta –Bs.
Il tratto –Bs a Bs presenta caratteristiche equivalenti alla trattazione precedente.
L’area del ciclo d’isteresi fornisce una misura del lavoro speso per magnetizzare il provino, lavoro che si
trasforma in energia termica, in quanto, durante il processo il campione si riscalda.
Magneti temporanei: materiali ferromagnetici che presentano una magnetizzazione residua molto
piccola ( ferro dolce) .
Magneti permanenti: materiali ferromagnetici che presentano una elevata magnetizzazione residua
(acciaio = lega di ferro e carbone)
Per smagnetizzare un magnete possiamo procedere in modi differenti.
innalzando la temperatura al di sopra della temperatura di Curie (dipendente dalla sostanza ) il
materiale presenta caratteristiche paramagnetiche
sottoponendo il corpo a ripetute sollecitazioni esterne, come esempio una successione di
martellate
Memorie magnetiche
Elettromagneti
Relè elettromagnetici
FORZA DI LORENTZ
Consideriamo un filo percorso da una corrente elettrica i, immerso in un campo magnetico B
.
L’intensità di corrente (i = Q/ ∆t) che attraversa un conduttore di sezione S è dipendente dalla velocità
di deriva dv degli elettroni che ha verso opposto rispetto a quello della corrente elettrica.
Poiché occorre operare con grandezze vettoriali, è opportuno predefinire il verso positivo, tra i dei
possibili, nella direzione del filo percorso da corrente. Consideriamo come verso positivo quello della
velocità di deriva dv
, rispetto al quale hanno verso opposto la corrente elettrica i ed il vettore l
,
avente lo stesso verso di i ed intensità uguale alla lunghezza del filo percorso da corrente.
In questo caso occorre inserire un segno negativo nella relazione della forza che il campo magnetico
esercita sul filo rettilineo percorso da corrente e si ha : BliF
Detto N il numero di elettroni contenuti nel cilindretto di sezione S ed altezza tvl d , la carica
elettrica che fluisce attraverso la sezione S risulta:
S
tvl d
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 11
NeQ con C,e 191961
Essendo dv
lt si ha che intensità di corrente risulta:
l
vNe
t
Qi d
e la forza BliF
che il campo magnetico esercita sul filo rettilineo percorso da corrente risulta:
Bll
vNeF d
poiché dv
ed l
hanno stessa direzione e verso opposto possiamo scrivere:
Bvl
lNeF d
ovvero )Bve(NF d
Considerata Bvef d
la forza esercitata dal campo magnetico su ogni elettrone si ha: fNF
.
Possiamo, quindi, affermare che la forza agente sul conduttore è la somma di tante piccole forze agenti
sui singoli elettroni.
La forza di origine magnetica esercitata sulle cariche in moto in un campo magnetico è detta forza di
Lorentz e per un elettrone si ha: Bvef d
, dove C,e 191961 è la carica dell’elettrone.
Nel caso di una qualsiasi carica elettrica q in moto in un campo magnetico B
con la velocità v
la forza
di Lorentz agente sulla carica q risulta: Bvqf
La forza di Lorentz ha:
Intensità : senBvqf dove è l’angolo
formato tra il vettore velocità v
ed il vettore
induzione magnetica B
;
Direzione : perpendicolare al piano su cui giacciono
il vettore v
e B
Verso : definito mediante la regola della mano
sinistra.
Situazioni particolari:
α = 0 f=0
La forza di Lorentz è nulla se il moto della carica avviene lungo una linea di forza
α = π/2 f = q v B
La forza di Lorentz presenta intensità massima.
La forza di Lorentz f
è sempre perpendicolare alla velocità v
pertanto essa non compie lavoro, non si ha alcuna variazione di
energia cinetica ( L = ∆Ecinetica ) e la velocità si mantiene costante in
modulo. Essa è una forza di natura solo deflettente e l’accelerazione
acquisita dalla carica risulta perpendicolare alla velocità, cioè è
centripeta.
→
B
→
v
v
B
f
90
v
B
f
A.S.2010/11 prof. Giuseppe Suprano Pagina 12
Moto di una carica immessa in un campo magnetico con velocità V perpendicolare a B
Consideriamo una carica q in moto in un campo magnetico con velocità perpendicolari alle linee di forza. La forza di Lorentz ( Bvqf ) è perpendicolare alla traiettoria e quindi il moto della carica sarà circolare uniforme.
Il moto circolare uniforme è caratterizzato dalla forza centripeta che risulta: r
vmf
2
.
Uguagliando quest’ultima relazione alla forza di Lorentz si ha r
vmBvq
2
m
rBqv
Da cui possiamo ricavare:
il raggio della traiettoria circolare Bq
vmr
la frequenza del moto r
vf
22 risulta
m
Bqf
2
f è indipendente dalla velocità.
Nel caso in cui la velocità v
della carica immersa nel corpo magnetico, presenta sia componente
perpendicolare alle linee di forza V che una componente V nella direzione del vettore B, il moto
risulta essere di tipo elicoidale.
La componente V perpendicolare a B
origina un moto
rotatorio circolare sul piano perpendicolare a B
.
La componente V parallelo a B
non viene
modificata ed origina un moto traslatorio nella
direzione del campo magnetico, la componente del
moto nella direzione delle linee di forza è rettilineo
uniforme. La composizione delle due componenti
origina il moto elicoidale.
Forza agente su di una carica elettrica soggetta sia ad un campo magnetico che a un
campo elettrico La risultante delle forze di natura elettrica e di natura magnetica risulta: BvqEqf
Se la velocità v
è nulla oppure è parallelo a B
si ha la sola forza di natura elettrica Eqf
→
f
→
v
→
B
f = q v B
