KOCAELİ ÜNİVERSİTESİKOCAELİ ÜNİVERSİTESİELEKTRONİK VE HABERLEŞME ELEKTRONİK VE HABERLEŞME

MÜHENDİSLİĞİMÜHENDİSLİĞİ

BİLGİSAYAR İLE SAYISAL ÇÖZÜMLEME DERSİ

KONU: FOURİER ANALİZİHAZIRLAYANLAR:060207007 MEHMET ZEKİ KONYAR050207009 MURAT ÇELEBİ

BÖLÜM 10.BÖLÜM 10.FOURİER ANALİZİFOURİER ANALİZİ

• Mühendisler çoğu zaman salınlım veya titreşim hareketi yapan sistemlerle ilgilenirler. Beklenildiği gibi trigonometrik fonksiyonlar bu tür problemlerin modellenmesinde önemli bir rol oynar.Fourirer yaklaştırması bu amaçla kullanılan trigonometrik seriler için sistematik bir çerçeve oluşturur.

• Karakteristik fonksiyonlar, Fourier Dönüşümlerinin genel teorisinin özel bir durumudur.Moment çıkaran fonksiyonu bulunamayan bir dağılış fonksiyonunun bir sabit farkıyla Ters Fourier Dönüşümünü bulmak işlemidir.(Chapra S. Literatür yay.)

• Fourier analizi, ele alınan işaretin frekans davranışını

irdeler. Frekans analizinde temel bağıntı

Zaman ×Band Genişliği = Sabit şeklindedir.

Yani,

• zamanda sonsuz süreli işaretin (örn. sin(ωt))

enerjisi tek frekansta yoğunlaşır.• Zamanda anlık işaretlerin (dürtü yada kısa

darbe) enerjisi hemen tüm frekans eksenine yayılır.

• Darbe şeklindeki işaretler geniş bandlıdır ve darbe süresi kısaldıkça frekans bandı genişler.

• Darbesel bir işaret sonsuz sayıda sinüs işaretinin toplamından oluşmaktadır.

(SEVGİ L. Endüstriyel & Otomasyon 2005)

• İlk olarak matematiksel olarak fourier dönüşümlerinden bahsedelim :

•

f(x

• Matematiksel olarak tanımlanan ve

frekans analizinde kullanılan bu dönüşüm incelendiğinde şu noktaların altını çizmek gerekir:

• Bir işaretin frekans analizini yapabilmek için tüm zamanlarda gözlenmesi (sonsuz gözlem süresi) gerekir.

• Bu koşullar altında verilen bir S(t) işaretinin bütün frekans davranışı (1), Fourier dönüşümü ile bire bir belirlenir.

• Matematiksel olarak istenen her frekansta ve frekans sıklığında çözüm elde edilebilir.

Fourier Analizinin Mühendislik

Uygulamalarını görelim:

1. Sinüsoidal fonksiyonlarla eğri uydurma Periyodik fonksiyonlarda f(t)=f(t+T) formülü geçerlidir.Burada T periyodu gösterir.Bu ifadeye uygun en yaygın örnekler kare

dalga, testere dişi dalga ve sinüsoidal dalgalardır.

• Bir örnek verirsek;• f(t)=A0+ C1 cos(w0t+θ) (10.1) Bu dört parametre bir sinüsoidi

tanımlamaktadır.A0 : apsisten itibaren ortalama yüksekliği

gösterirC1 : dalganın genliğini W0 :açısal frekansı θ: dalganın yatay eksende ne kadar

kaydığını yani faz açısını göstermektedir.

• Fonksiyonun bazı değerlerler için grafik örneği:

• π/2 ve - π/2 ‘lik faz farkları için grafikleri

şöyledir.

• Dikkat ederseniz açısal frekans(radyan/zaman) ile frekans(çevrim/zaman) arasında aşağıdaki bağıntı vardır

• ω0= 2πf• Frekans ise periyot T(zaman biriminde) ile ilişkilidir. f=1/T• bu grafiklerdeki faz farklarını aşağıdaki formül yardımıylagiderebiliriz.• (10.2)

bu eşitlik ana formülümüzde yerine konulursa şu sonuç elde edilir.(10.3)

• Burada

• Dolayısıyla burada elde edilen formül ana formülümüzün(10.1) alternatifidir.

• Bir sinüsoidin en küçük kareler eğri uydurması

• Eşitlik (10.1) bir doğrusal en küçük kareler modeli olarak göz önüne alınabilir.

• (10.4)

Bu ise aşağıdaki genel modelin sadece bir örneğidir. (10.5)

Burada, olup diğer tüm z’ler 0’dır.Bu nedenle,bizim amacımız aşağıdaki denklemi minumum yapan katsayıları belirlemektir.

Burada minimizasyonu sağlayan normal denklemler aşağıdaki gibi matris formunda yazılabilirler.

SÜREKLİ FOURİER SERİLERİSÜREKLİ FOURİER SERİLERİ

Yüksekliği 2 ve periyodu T=2Yüksekliği 2 ve periyodu T=2ππ/ / ωω0 olan bir kare dalga şekli0 olan bir kare dalga şekli

Şekildeki kare formundaki dalga için Fourier yaklaştırması. Çizilen eğriler serisi Şekildeki kare formundaki dalga için Fourier yaklaştırması. Çizilen eğriler serisi hem birinci(a), ikinci(b) ve üçüncü(c) terimleri hemde ilgili toplamları hem birinci(a), ikinci(b) ve üçüncü(c) terimleri hemde ilgili toplamları

göstermektedir göstermektedir

• Tablo 1: Bir kare dalgayı sonlu sayıda terimli Fourier serisine açan Matlab kodu• ===================================================• clear; fprintf('N = ?, M = ?'); N=input(' '); M=input(' ');• wo = pi; % Ana açısal frekans (rad/s)• c0 = 0; % DC değeri• t = -1:0.01:2; % zaman değerleri dizisi• clf; % tüm şekilleri sil• figure(1) % birinci şekli kullan• % N terimli trigonometrik seriyi kullanarak yt’yi hesapla;• yt = 0.0;• for n = 1:2:N, % n-dongüsü (N eleman için)• cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Seri katsayıları• yt = yt + 2*abs(cn)*cos(n*wo*t+angle(cn)); % Fourier Serisi hesabı• end• subplot(2,1,1)• hold; plot(t,yt); grid; ylabel('Y(t)');• ttle = ['N terimli Trigonometrik Fourier Serisi = ', num2str(N)];• title(ttle); hold• % N terimli trigonometrik seriyi kullanarak yt’yi hesapla;• yt = 0.0;• for n = 1:2:M, % n-döngüsü (M eleman için)• cn = 2/(j*n*wo); % Fourier Seri katsayıları• yt = yt + 2*abs(cn)*cos(n*wo*t+angle(cn)); % Fourier Seri hesabı• end• subplot(2,1,2)• hold; plot(t,yt); grid; xlabel('time [Sec]'); ylabel('Y(t)');• ttle = ['M terimli Trigonometrik Fourier Serisi = ', num2str(M)];• title(ttle); hold• %==================== PROGRAM SONU ====================

% Tarih : Kasım 2004 Yazar : L. Sevgi

Kare dalganın 1 ve 5 terimli Fourier serisi gösterilimleri

Kare dalganın 11 ve 500 terimli Fourier serisi gösterilimleri

KAYNAKLARKAYNAKLAR• SEVGİ L. Endüstriyel & Otomasyon,

Haziran 2005• Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA.S ,

Literatür Yayınları• Yrd. Doç. Dr. Serhat YILMAZ-Ders

Notları KOU Yayınları Kocaeli 2005

• Dinlediğiniz için teşekkürler ;-))

Mehmet Zeki KONYARMurat ÇELEBİ