Fourier-Reihen - People blatter/complex_5.pdf  126 5 Fourier-Reihen Da das Diï¬erenzieren auf einen

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  • 5 Fourier-Reihen

    Fourier-Theorie handelt von Funktionen f : X → C, deren Definitionsbereich X translationssymmetrisch ist. In diesem Buch werden drei Typen behandelt:

    — Periodische Funktionen f : R/2π → C ; — Zeitsignale f : R→ C ; — (periodische) diskrete Datensätze; gemeint sind Funktionen

    y. : Z/N → C , k 7→ yk .

    Grundfunktionen der Theorie sind jene Funktionen, die die Translationssym- metrie von X gewissermassen verinnerlicht haben. Bezeichnet man für einen Moment die Translation von Funktionsgraphen “um h nach rechts” mit Th:

    f 7→ Thf , Thf(x) := f(x− h) ,

    so stellt man folgendes fest: Unter allen Funktionen haben die Exponential- funktionen

    eω : R→ C , x 7→ eiωx (ω ∈ R) die besondere Eigenschaft, dass sie sich unter Translationen Th mit einem konstanten Faktor multiplizieren (und ausserdem den konstanten Betrag 1 haben):

    eiω(x−h) ≡ e−iωh eiωx (x ∈ R) , d.h. Theω = e−iωh eω .

  • 126 5 Fourier-Reihen

    Da das Differenzieren auf einen Vergleich von T−hf mit f für h → 0 hin- ausläuft, multiplizieren sich diese Funktionen auch unter dem Ableitungs- operator D : f 7→ f ′ mit einer Konstanten: Bekanntlich gilt

    d

    dx eiωx = iω eiωx , d.h. Deω = iω eω .

    Ist X = R/2π, so können wir nicht jedes ω ∈ R gebrauchen, da die Grund- funktionen selbst natürlich auch 2π-periodisch sein müssen. Aus der Bedin- gung eiω(x+2π) ≡ eiωx folgt für ω die Bedingung e2πiω = 1, d.h. ω ∈ Z . Die Grundfunktionen dieses Kapitels sind demnach die Funktionen

    ek : t 7→ eikt (k ∈ Z) , (1)

    wobei wir wahlweise R oder R/2π als Definitionsbereich ansehen können.

    Das zentrale Problem ist in allen drei der oben angeführten Bereiche das- selbe: eine “beliebige” Funktion f : X → C als Linearkombination der je- weiligen Grundfunktionen darzustellen. Dass das in allen drei Fällen geht, ist eigentlich ein Wunder: Man musste ja damit rechnen, dass mit Hilfe der eω nur die “harmonischen Anteile” eines gegebenen f dargestellt wer- den können und dann immer noch ein “unharmonischer Rest” übrigbleibt. In Wirklichkeit hängt alles zusammen: Die sogenannte abstrakte harmoni- sche Analysis ermöglicht, den Inhalt der Kapitel 5–7 (und mehr) unter einem einheitlichen Gesichtspunkt darzustellen.

    5.1 Definitionen

    Eine endliche Linearkombination

    N∑

    k=−N cke

    ikt bzw. a0 2

    +

    N∑

    k=1

    ( ak cos(kt) + bk sin(kt)

    ) (2)

    der Funktionen (1) heisst ein trigonometrisches Polynom vom Grad ≤ N , und eine formale Reihe

    ∞∑

    k=−∞ cke

    ikt bzw. a0 2

    + ∞∑

    k=1

    ( ak cos(kt) + bk sin(kt)

    ) (3)

  • 5.1 Definitionen 127

    heisst eine trigonometrische Reihe. In diesem Kapitel geht es darum, be- liebige (gegebene oder gesuchte) 2π-periodische Funktionen

    f : R→ C , f(t+ 2π) ≡ f(t) ,

    durch trigonometrische Polynome zu approximieren bzw. durch eine trigono- metrische Reihe tatsächlich darzustellen. Hiermit ist folgendes gemeint: Für fast alle t ∈ R gilt

    f(t) = ∞∑

    k=−∞ cke

    ikt := lim N→∞

    N∑

    k=−N cke

    ikt . (4)

    Das “fast” bezieht sich auf den folgenden Sachverhalt: Wir möchten auch Funktionen mit Sprungstellen (vielleicht sogar mit logarithmischen Spitzen) in dieser Weise darstellen. In derartigen Ausnahmepunkten ist die korrekte Wiedergabe des Funktionswerts nicht gewährleistet. Wir werden uns das weiter unten im einzelnen ansehen.

    In (2) und (3) wurde sowohl eine komplexe wie eine reelle Schreibweise der “Fourier-Objekte” angeboten. Damit hat es folgende Bewandtnis: Für theo- retische Betrachtungen ist die komplexe Schreibweise unbedingt vorzuziehen. In konkreten Beispielen jedoch geht es meistens um reellwertige Funktionen, häufig noch mit Symmetrien (gerade, ungerade, u.a.), und da erweist sich die reelle Schreibweise als vorteilhafter, da sie die in f vorhandenen Symmetrien reproduziert: Ist f reellwertig, so sind auch alle ak und alle bk reell; ist f gerade, so treten nur Cosinusterme auf, und ist f ungerade, so treten nur Sinusterme auf (s.u.).

    Um die ck (k ∈ Z) und die ak, bk (k ∈ N) ineinander umzurechnen, betrach- ten wir ein festes k > 0. Aus eiτ = cos τ + i sin τ folgt

    cke ikt + c−ke

    −ikt ≡ ak cos(kt) + bk sin(kt)

    mit ak = ck + c−k , bk = i(ck − c−k) (k > 0) , (5)

    und hieraus ergibt sich umgekehrt

    ck = 1

    2 (ak − ibk) , c−k =

    1

    2 (ak + ibk) (k > 0) . (6)

    Ferner erweist es sich als zweckmässig, a0 := 2c0 und b0 := 0 zu setzen; damit treffen (5) und (6) auch noch für k = 0 zu.

  • 128 5 Fourier-Reihen

    Dass sich jede “vernünftige” Funktion f : R/2π → C in der Form (4) dar- stellen lässt, ist ein fundamentaler Existenzsatz, der nicht leicht zu beweisen ist; davon unten mehr. Überraschend einfach ist es jedoch, Formeln für die Koeffizienten ck bzw. ak, bk einer derartigen Darstellung anzugeben.

    (5.1) In der Darstellung

    f(t) =

    ∞∑

    k=−∞ cke

    ikt bzw . f(t) = a0 2

    +

    ∞∑

    k=1

    ( ak cos(kt) + bk sin(kt)

    )

    einer Funktion f : R/2π → C sind die Koeffizienten ck bzw. ak, bk durch folgende Formeln gegeben:

    ck = 1

    ∫ π

    −π f(t) e−ikt dt (k ∈ Z) , (7)

    ak = 1

    π

    ∫ π

    −π f(t) cos(kt) dt (k ≥ 0) ,

    bk = 1

    π

    ∫ π

    −π f(t) sin(kt) dt (k ≥ 1) .

    Dabei darf auch über ein anderes Intervall der Länge 2π integriert werden.

    Der Zusatz am Schluss ist ziemlich klar; er beruht darauf, dass wir den “Kreis” R/2π an einer beliebigen Stelle aufschneiden können, um ein pas- sendes Integrationsintervall zu erhalten. Auf diesen Punkt werden wir im weiteren nicht jedesmal hinweisen.

    Für den Beweis von (5.1) benötigen wir ein Instrument, das wir aus der Geo- metrie bzw. aus der linearen Algebra entlehnen, nämlich ein Skalarprodukt für 2π-periodische Funktionen. Sind f und g zwei derartige Funktionen, so ist ihr Skalarprodukt, eine komplexe Zahl, definiert durch

    〈f, g〉 := 1 2π

    ∫ π

    −π f(t)g(t) dt

    und entsprechend die Norm ‖f‖ ≥ 0 von f (auch 2-Norm genannt) durch

    ‖f‖2 = 〈f, f〉 = 1 2π

    ∫ π

    −π |f(t)|2 dt .

  • 5.1 Definitionen 129

    Dieses Skalarprodukt besitzt die aus der linearen Algebra bekannten Eigen- schaften (Bilinearität, Schwarzsche Ungleichung, usw.); wir verzichten da- rauf, sie im einzelnen aufzuführen. Gilt 〈f, g〉 = 0, so heissen f und g zueinander orthogonal. Für unsere Grundfunktionen bestehen die folgenden Orthogonalitätsrelationen:

    (5.2) (a) Für die Funktionen ek : t 7→ eikt gilt

    〈ek, el〉 = δkl := {

    1 (k = l) 0 (k 6= l) .

    (b) ∫ π

    −π cos(kt) cos(lt) dt =

    ∫ π

    −π sin(kt) sin(lt) dt = π δkl

    ( (k, l) 6= (0, 0)

    ) ,

    ∫ π

    −π cos(kt) sin(lt) dt = 0 ∀k, ∀l .

    Wir beweisen nur (a):

    〈ek, el〉 = 1

    ∫ 2π

    0

    eikteilt dt = 1

    ∫ 2π

    0

    ei(k−l)t dt

    =

      

    1

    2π · 2π = 1 (k = l)

    1

    1

    i(k − l)e i(k−l)t

    ∣∣∣ 2π

    0 = 0 (k 6= l)

    Damit kommen wir zum Beweis der Koeffizientenformeln (5.1). Es genügt, über die ck zu argumentieren; die Formeln für die ak und die bk ergeben sich dann unmittelbar aus (5).

    Wir schreiben die Darstellung f(t) = ∑ k cke

    ikt in der Form

    f = ∞∑

    k=−∞ ck ek

    und multiplizieren auf beiden Seiten skalar mit en, n ∈ Z beliebig. Es ergibt sich

    〈f, en〉 = ∞∑

    k=−∞ ck 〈ek, en〉 = cn , (8)

  • 130 5 Fourier-Reihen

    denn alle Skalarprodukte 〈ek, en〉 mit k 6= n sind 0, und 〈en, en〉 = 1. Lesen wir (8) von rechts nach links, so erhalten wir nach Definition des Skalarpro- dukts

    cn = 〈f, en〉 = 1

    ∫ π

    −π f(t)e−int dt ,

    wie behauptet.

    Wir sind nun einen Schritt weiter: Ist eine beliebige 2π-periodische Funktion f : R → C gegeben, so definieren die Formeln (7) einen Koeffizientenvektor( ck ∣∣ k ∈ Z

    ) . Mit den ck lässt sich jedenfalls die formale Reihe

    ∑ k cke

    ikt

    bilden. Diese Reihe heisst Fourier-Reihe von f und ist der einzig mögliche Kandidat für eine Darstellung (4). Um auszudrücken, dass die ck mit Hilfe von (7) aus f erhalten wurden, schreibt man gelegentlich

    f(t) Ã ∞∑

    k=−∞ ck e

    ikt . (9)

    Wir hoffen natürlich, dass der à unter möglichst schwachen Voraussetzun- gen durch = ersetzt werden kann. Bevor wir dazu kommen, noch drei Ergänzungen:

    1. Man kann den Koeffizientenvektor ( ck ∣∣ k ∈ Z

    ) als Funktion

    f̂ : Z→ C , k 7→ f̂(k) := 〈f, ek〉

    auffassen; diese Funktion wird Fourier-Transformierte der Ausgangsfunktion f genannt. Die Schreibweise f̂ ist manchmal praktischer, da sie die Herkunft von f ausweist, was bei den ck nicht der Fall ist.

    2. Durch Inspektion der Koeffizientenformeln (5.1) bestätigt man ohne wei- teres die folgenden Rechenregeln, die z.T. schon weiter oben erwähnt worden sind:

    (5.3) (a) Die Fourier-Transform