Upload
ngothuan
View
250
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
FOURIER SERIES(PENGANTAR TRANSFORMASI FOURIER )
RANGKAIAN ELEKTRIK
PRODI TEKNIK ELEKTRO 2017
By : Gutama Indra
电子工程学院
TUJUAN PERKULIAHAN
Mahasiswa mampu melakukan rekonstruksi sinyal gelombang dengan menggunakanteorema deret Fourier
Jika diketahui sebuah sinyal dengan fungsi 𝑓 𝑡 , bagaimana cara kita membentuk ulang
(merekonstruksi dengan pendekatan) sinyal yang tersebut dengan menggunakan pendekatan
“material” penjumlahan sinus dan cosinus ?
FOURIER GO EMBEDDED
Teorema Fourier sangat populer
digunakan pada perangkat embedded
system.
Pada umumnya digunakan untuk
keperluan Digital Signal Processing
(DSP).
Benchmarking table
FOURIER SERIES ?Deret fourier menguraikan sebuah sinyal periodik yang dihasilkan dari sebuah fungsimenjadi penjumlahan sinyal sinus dan cosinus.
Sebuah deret Fourier dengan period sebesar 𝑇 adalah penjumlahan tak hingga darisebuah fungsi sinusoid (sinus dan cosinus), dengan besar frekuensi masing-masing
kelipatan dari1
𝑇
𝑓 𝑥 =1
2𝑎0 +
𝑚=1
∞
𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +
𝑛=1
∞
𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥
=
𝑚=0
∞
𝑎𝑚𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +
𝑛=1
∞
𝑏𝑛sin 𝑛𝑥
Konstanta 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛 disebut dengan koefisien deret fourier
KOEFISIEN FOURIER
𝑔 𝑡 =1
2𝒂𝟎 +
𝑚=1
∞
𝒂𝒎 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 +
𝑛=1
∞
𝒃𝒏𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥
𝑎0 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏𝑛 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑡𝑎𝑚 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑡
Dimana 𝑎0, 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛 adalah koefisien fourier. Koefisien – koefisien ini adalah “pengendali”
utama dalam merekontruksi sebuah sinyal.
Untuk menentukan 𝑎0, 𝑎𝑚 dan 𝑏𝑛digunakan formula berikut ini:
Untuk menetukan jenis “pengendali” mana yang dipakai untuk merekonstruksi gelombang, maka harus
dilakukan klasifikasi sinyal berdasarkan sifat simetrisnya.
SIFAT SIMETRI GELOMBANGSimetri Genap
Simetri genap direpresentasikan oleh fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥)
Jika sinyal gelombang yang akan direkontruksi
mempunyai sifat simetri genap, maka harus
direkonstruksi dengan menggunakan deret
fourier Cosinus.
𝑎𝑚 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑡
𝑓 𝑥 =1
2𝑎0 +
𝑚=1
∞
𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
Dengan nilai 𝑎𝑚
SIFAT SIMETRI GELOMBANG
Simetri Ganjil
Simetri ganjil direpresentasikan oleh fungsi 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥)
Jika sinyal gelombang yang akan direkontruksi
mempunyai sifat simetri genap, maka harus
direkonstruksi dengan menggunakan deret
fourier Sinus.
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑏𝑛𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥
𝑏𝑛 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑡
Dengan nilai 𝑏𝑛
CONTOH REKONSTRUKSI GELOMBANG
Diketahui fungsi gelombang kotakberikut ini:
Carilah koefisien fourier darigelombang tersebut kemudian lakukanrekonstruksi!
𝑓 𝑥 = 1, 0 < 𝑥 < 𝜋
−1, −𝜋 < 𝑥 < 0(𝑥)
Gelombang kotak tersebut adalah gelombang ganjil (odd), maka representasi dari deret fouriernya adalah
sebagai beirkut ini:
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 sin (𝑛𝑥)
𝑏𝑛 =1
𝜋 −𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 sin(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 , 𝑛 = 1,2,3, …
𝑓 𝑥 = 1, 0 < 𝑥 < 𝜋
−1, −𝜋 < 𝑥 < 0
𝑏𝑛 =1
𝜋
−𝜋
𝜋
𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑏𝑛 =1
𝜋 −𝜋
0
−1 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 − 2 0
𝜋
1 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑏𝑛 =1
𝑛𝜋cos 𝑛𝑥
0
−𝜋−
1
𝑛𝜋𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
𝜋
0=
1
𝑛𝜋1 + 1 −
1
𝑛𝜋(−1 − 1)
𝑏𝑛 =4
𝑛𝜋
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
∞4
𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)
(𝑥)
CONTOH REKONSTRUKSI GELOMBANG
deret_fourier.m
Proses pada saat iterasi Hasil Akhir
FENOMENA GIBBS
Fenomena gibbs adalah efek riak yang terjadi pada bagian pojok padagelombang kotak (berlingkaran merah).
Karena deret fourier bersifat infinite atautak hingga dan kita harus berhenti di jumlah perulangan tertentu maka terjadiefek osilasi (karena belum tuntas).
Efek gibbs dapat diminimalisasi denganmenambahkan jumlah iterasi atauperulangan.
FENOMENA GIBBS
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
2004
𝑛𝜋sin(𝑛𝑥) 𝑓 𝑥 =
𝑛=1
5004
𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)
FENOMENA GIBBS
𝑓 𝑥 =
𝑛=1
20004
𝑛𝜋sin(𝑛𝑥)
• Efek gibbs menghasilkan riak yang membuat
rekonstruksi sinyal menjadi kurang sempurna.
• Untuk mengatasi efek gibss dapat
meningkatkan jumlah iterasi.
• Menaikan jumlah iterasi berefek
memperlambat system komputasi.
Bentuk yang paling mendekati setelah 2000 iterasi
再见 - SEKIAN