Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger - MP2 · 2013. 11. 2. · Bilag 3: ourieranalyseF af lyd fra guitar ... En tone er i virkeligheden en lydbølge, der gentager sig. 1 Se

Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger

Mathias Kærlev

Fourieranalyse af en periodisk funktion

Vejledere: Poul Hedegaard, Kristian Svendsen

Mathias Kærlev Fourieranalyse 21-12-2012

Abstract

For this paper, the usage of real-valued Fourier series with sound waves, speci�cally a guitar

string's sound, is examined and some of the applications for both Fourier-synthesis and Fourier-

analysis are explored. The foundation of the Fourier-analysis, the Fourier-coe�cients, are

deduced through the Fourier series, and the analysis of both periodic functions and actual data

are accounted for. The guitar string's sound is recorded and an audio-analysis is performed

where both the frequency spectrum and the Fourier-coe�cients are derived. Additionally,

video-analysis is also made to examine the movement of the vibrating string. To test the

empirical data, a guitar string's sound can be determined in theory through Fourier-analysis of

a function that represents the guitar string. From this, the resulting frequency spectrums in the

audio-analysis are found to largely correspond with the expected amplitudes and frequencies.

However, the video-analysis was not able to depict a great range of harmonics, but did show

the presence of standing waves. It can be concluded that Fourier-analysis can be used to

determine the frequency-spectrum and Fourier-spectrum of a guitar string with large precision.

Furthermore, Fourier-synthesis of the string's Fourier-spectrum yields a sound wave identical to

the source to a great extent, which gives Fourier-synthesis several use-cases for e.g. lightweight

electronic instruments that reproduce the sound of real instruments.

2/41


Indhold

Indledning 4

Fourieranalyse 5

Periodiske funktioner og lyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Lige/ulige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Fourierrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Ortogonalitetsrelationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Bestemmelse af fourierkoe�cienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Regneeksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Ulige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Lige funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Eksperimenter 16

Fourieranalyse med datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Guitaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Analyse af lyd fra guitar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Analyse af video fra vibrerende guitarstreng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Fouriersyntese 27

Konklusion 29

Litteraturliste 30

Bilag 31

Bilag 1: Graf til regneeksempler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Bilag 2: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på midten (Datalyse) . . . . . . . . 32

Bilag 3: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på 13(Datalyse) . . . . . . . . . . . 33

Bilag 4: Programkode til fourieranalyse (Python) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Bilag 5: Data for videoanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Bilag 6: Data for videoanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Bilag 7: Fourieranalyse af video - Datalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Bilag 8: Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bilag 9: Programkode til fouriersyntese (Python) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Bilag 10: Billede af udtræk fra lyddata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3/41


Indledning

Jean Baptiste Joseph Fourier var en fransk matematiker, der gennem sit arbejde kom frem til

det, som vi kender som fourierrækker. Fourier antog, at alle funktioner kan skrives op som en

uendeligt antal led af sinus- og cosinusfunktioner, og ud fra den antagelse kunne han �nde frem

til nogle konstanter, de såkaldte fourierkoe�cienter, som funktioner ville bestå af. På dette

tidspunkt var det en banebrydende og kontroversiel idé, der skulle vise sig at have mange an-

vendelser inden for matematikken og fysikken. I dette projekt er det især analyse af lydsignaler,

som fourierrækkerne kan bruges til, og fourieranalysen består så af at �nde fourierkoe�cien-

terne, der kan bruges til at lave et frekvensspektrum.

Formålet med dette projekt er, at bestemme en guitars frekvensspektrum gennem fouriera-

nalyse. Dette kan så gøres enten gennem FFT eller fourierkoe�cienterne, men begge vil der

kigges på. Desuden vil teorien bag guitarens svingninger undersøges med fourieropløsning, og

en fouriersyntese af guitarens fourierspektrum vil forsøges og diskuteres.

Opdelingen er sådan, at baggrunden for fourieranalysen er beskrevet først. Der er redegjort

for de matematiske principper, der er nødvendige for at bevise sammenhængen for fourierkoef-

�cienterne. Heri indgår en introduktion til periodiske funktioner, som også hænger sammen med

vores forståelse af lydbølger, ortogonalitetsrelationerne mellem sinus og cosinus, regneregler for

lige/ulige funktioner og afsluttende fourierrækker. Der vil også indgå nogle regneeksempler, der

illustrativt viser, hvordan fourieranalysen kan bruges til at �nde fourier- og frekvensspektret

for en kendt funktion.

Herefter beskrives den eksperimentelle og praktiske del af opgaven, hvor fourieranalysen bru-

ges til at analysere en guitarstrengs tone og overtoner. De fysiske årsager til guitarstrengens

grundtone og overtone vil først blive forsøgt forklaret gennem teori med fourieropløsning, og

så testet gennem empiri. Her vil indgå både en analyse af video og lyd fra guitarstrengen, da

både strengens bevægelse og resulterende lyd kan undersøges ved hjælp af fourieranalyse.

Afslutningsvist vil fouriersyntese med samme fourierkoe�cienter fra de første eksperimenter un-

dersøges. Hvad er mulighederne for at gå �den anden vej� med et fourierspektrum? En vurdering

af fouriersyntesens muligheder vil diskuteres, altså i hvor stort et omfang man kan genskabe

instrumenters tone ud fra en fourieranalyse.

I denne projektopgave bruges der fourierrækker på reel form, og der vil altså derfor ikke indgå

beregninger med komplekse tal.

4/41


Fourieranalyse

Overordnet er fourieranalysen et redskab til at bestemme de harmoniske svingninger, der indgår

i en periodisk funktion. Ved approksimation af areal kan man også lave fourieranalyse på et

datasæt, men det vil uddybes i eksperiment-afsnittet. Når man ved hvilken sammensætning

af bølger et datasæt eller funktion består af, kan man se, hvilken frekvens og amplitude (dvs.

styrke) bølgerne har. Det er fourierkoe�cienterne, der indeholder denne information, men før

vi kan begynde at �nde dem, er der nogle matematiske begreber vi skal kende til.

Periodiske funktioner og lyd

En tone er i virkeligheden en lydbølge, der gentager sig.1 Se følgende �gur, der viser en lydop-

tagelse af en anslået guitar fra eksperiment-afsnittet:

Selv om der er en del støj, der kan gøre det svært at gennemskue, er det altså tydeligt, at lyden

�gentager� sig.

Vi kan selv modellere funktioner, der svarer til lydbølger, ved at gøre dem periodiske. Peri-

odiske funktioner er funktioner, der gentager sig efter en periode T . Når den konstante periode

T adderes til den variable, vil funktionsværdierne gentage sig. Det vil sige at der gælder, at

f(x + T ) = f(x), hvor T er det mindste tal, der opfylder ligningen. Normalt de�nerer vi kun

periodiske funktioner inden for et interval. Til vores formål sætter vi intervallet til [−T2; T2],

sådan så vores funktioners halve periode er delt mellem y-aksen. Desuden kan det hænde, at vi

de�nerer en funktion stykkevist, hvilket betyder, at vi de�nerer funktionsværdierne gennem ét

eller �ere intervaller. Et eksempel kunne være

f(x) =

x, for x ≥ 0

−x, for x < 0

i intervallet [−T2; T2]. Funktionen er altså de�neret over hele intervallet [−T

2; T2], men med for-

skellige funktionsudtryk for x ≥ 0 og x < 0.

Lige/ulige funktioner

Til vores formål er det hensigtsmæssigt at se, at funktioner kan være �lige�, hvor der desu-

den gælder for funktionen, at f(x) = f(−x). Funktionen vil rent gra�sk være spejlet omkring

y-aksen. For ulige funktioner gælder der, at −f(x) = f(−x). Funktionsværdierne vil på den

1N. Hartling C. Claussen E. Both. Spektrum - Fysik II. 1. udg. Gyldendal, 2004. isbn: 10-87-02-00685-5, s.40

5/41


ene side af y-aksen være det samme som på den anden side af y-aksen, men med negativt fortegn.

Et eksempel på en ulige funktion kunne være f(x) = x. Indsætter vi i de�nitionen, ser vi,

at udtrykket er sandt:

−f(x) = f(−x)

−x = −x

Et eksempel på en lige funktion kunne være f(x) = |x|. Indsætter vi i de�nitionen, ser vi

igen, at udtrykket er sandt:

f(x) = f(−x)

|x| = | − x|

|x| = |x|

Desuden har beregninger med lige/ulige funktioner nogle interessante egenskaber:

1) Produktet mellem to lige funktioner er en lige funktion

Har vi en ulige funktion f(x), gælder der, at f(−x) = −f(x)⇔ f(x) = −f(−x). Har vi så en

lige funktion, g(x), gælder der, at g(x) = g(−x). Vi sætter h(x) til produktet af f og g:

h(x) = f(x) · g(x) = g(−x) · f(−x)

= (f · g)(x) = (f · g)(−x)

= h(x) = h(−x)

h(x) = h(−x), så h(x) er lig vores de�nition på en lige funktion, og sætning 2 er bevist.

2) Produktet mellem to ulige funktioner er en lige funktion

Et lignende bevis kan laves for denne sætning, hvis f(x) er en ulige funktion og g(x) er en lige

funktion:

h(x) = f(x) · g(x) = −g(−x) · −f(−x)

= (f · g)(x) = (f · g)(−x)

= h(x) = h(−x)

h(x) = h(−x), så h(x) er igen lig vores de�nition på en lige funktion, og sætning 2 er bevist.

3) Produktet mellem en lige og en ulige funktion er en ulige funktion

6/41


h(x) = f(x) · g(x) = g(−x) · −f(−x)

= (f · g)(x) = −(f · g)(−x)

= h(x) = −h(−x)

m

h(−x) = −h(x)

h(−x) = −h(x), så h(x) er lig vores de�nition på en ulige funktion, og sætning 3 er altså bevist.

4) Integration fra −A til A af en ulige funktion er 0

Arealet under grafen for x < 0 vil svare til arealet under grafen for x > 0, bare med negativt

fortegn. Kigger vi på f(x) = x og integralet´ 2−2(f(x))dx, er det helt tydeligt:

Som det ses, så er´ 2−2(f(x))dx =

´ 0−2(f(x))dx +

´ 2

0(f(x))dx = −2 + 2 = 0. Dette vil også

vise sig at være vigtigt til beviset om ortogonalitetsrelationerne og når sammenhængen mellem

fourierkoe�cienterne og lige/ulige funktioner skal vises.

Det skal nævnes, at sinus er en ulige og cosinus er en lige funktion.

Graf for sinus og cosinus

Det vil vise sig, at vi kan bruge disse egenskaber for cosinus og sinus til vores beviser.

De ovenstående regneregler vil vise sig at være betydelige ved bestemmelse af fourierkoe�cien-

terne.

Fourierrækker

En periodisk funktion f(x) med perioden T kan tilnærmes med en konstant plus en sum af

harmoniske funktioner2:2Niels Christian Jensen. Fourieranalyse. 2004. url: http://www.emu.dk/gym/tvaers/sciencegym/

matematik-materialer/fourier.doc, s. 1

7/41


f(x) =1

2a0 +

M∑n=1

(an · cos(2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx))

dvs.

f(x) =1

2a0 + a1 · cos(

2π

Tx) + b1 · sin(

2π

Tx) + ...+ an · cos(

2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx)

Dette kaldes fourierrækken, hvor an og bn er de såkaldte fourierkoe�cienter, der siger noget om

amplituden for det enkelte led. a0-ledet kaldes også for DC-ledet.3 Når man har bestemt fouri-

erspektret for en funktion eller datasæt, har man altså bestemt fourierkoe�cienterne. Beviset

for, at periodiske funktioner overhovedet kan tilnærmes fourierrækken vil ikke forsøges, men

fourierrækken er udgangspunktet for vores andre beviser. I princippet vil funktionen kunne

bestå af uendeligt mange led, så i teorien burde M , den øvre grænse for summeringen, være

lig ∞. Jo større værdi af M , jo tættere på den oprindelige funktion vil fourierrækken være.

Meningen med den12-koe�cient for a0 vil vise sig senere.

Til dette projekt vil det være oplagt at �nde frekvensspektret for nogle simple funktioner,

mest for at forklare princippet til de praktiske forsøg. Et frekvensspektrum viser fordelingen

mellem frekvens og amplitude, men hvordan kan vores fourierkoe�cienter sige noget om det?

Hvis vi kender vores periode T , kan vi �nde frekvensen for cosinus/sinus-ledene ved f = 1T· n.

Det skyldes, at cosinus/sinus har en periode 2π, og at division med T vil ændre perioden til

T , og derfor får vi 2πT. Dette kaldes også vinkelfrekvensen ω, der har værdien 2π

T, men til vores

formål bruger vi bare dens værdi. Faktoren n siger noget om, hvor hurtigt de harmoniske funk-

tioner svinger i forhold til det første led ved n = 1. For eksempel vil n = 2 få vinkelfrekvensen

til at være dobbelt så stor, og derfor svinger funktionen altså også dobbelt så hurtigt.

Skal vi se fourierrækken i forhold til toner, vil det sige, at leddene for n = 1 siger noget

om grundtonen, altså tonen med laveste frekvens. n = 2 siger så noget om 1. overtone, n = 3

om 2. overtone, og så videre. anog bn-koe�cienterne er bølgernes amplitude, da cosinus/sinus

har funktionsværdier i intervallet [1;−1]. Den samlede amplitude for an og bn er de�neret som

A =√a2n + b2n.

Hvis f skal være i Hz, altså SI-enheden for frekvens, kræver det, at perioden T er i sekun-

der. Til regneeksemplerne sættes T ikke til sekunder, og derfor vil frekvensen være enhedsløs,

men det viser princippet i udregningen.

3Mogens Oddershede Larsen. Fourieranalyse. 2. udg. (Besøgt d. 20.12.2012). 2007. url: http://www.larsen-net.dk/files/Fourieranalyse.pdf, s. 1

8/41


Ortogonalitetsrelationer

Før vi kan bestemme værdierne af fourierkoe�cienterne, må vi først vide noget om ortogonali-

tetsrelationerne for cosinus og sinus. Ved ortogonalitetsrelationerne forstås, at

ˆ T/2

−T/2(1 · cos(2π

T· nx))dx = 0 ∧ n 6= 0 (1)

ˆ T/2

−T/2(1 · sin(2π

T· nx))dx = 0 (2)

ˆ T/2

−T/2(sin(

2π

T· nx) · cos(2π

T·mx))dx = 0 (3)

ˆ T/2

−T/2(sin(

2π

T· nx) · sin(2π

T·mx))dx =

T2

form = n 6= 0

0 for n 6= m(4)

ˆ T/2

−T/2(cos(

2π

T· nx) · cos(2π

T·mx))dx =

T2

form = n 6= 0

0 for n 6= m(5)

hvor der gælder, at n ∈ Z ∧ m ∈ Z, og at n ≥ 0 ∧ m ≥ 0.4 Der gælder også nogle andre

ortogonalitetsrelationer, men disse er de eneste, der bruges til beviset for fourierkoe�cienterne.

Grunden til navnet �ortogonalitetsrelationer� skyldes, at funktioner kan opfattes som vektorer,

og hvis skalarproduktet f · g =´ baf(x)g(x)dx er lig 0 med passende grænser for a og b, siges

funktionerne at være ortogonale.5

Skal disse relationer bevises, kan vi starte med (1) for n 6= 0:

ˆ T/2

−T/2(1 · cos(2π

T· nx))dx =

sin(n · π) · Tn · π

= 0

Da n ∈ Z (n er et heltal) må sin(n ·π) altid give 0, da det vil svare til n ·180◦. sin(1 ·180◦) = 0,

sin(2 · 180◦) = 0, sin(3 · 180◦) = 0, og så videre, og derfor vil ligningen ovenover altid give 0

hvis n 6= 0.

Vi fortsætter med (2):

ˆ T/2

−T/2(1 · sin(2π

T· nx))dx =

ˆ T/2

0

(sin(2π

T· nx))dx−

ˆ T/2

0

(sin(2π

T· nx))dx = 0

Integralet af en ulige funktion (her sinus) med grænser, hvis størrelse er lig hinanden, vil altid

være lig 0, som vi så i afsnittet om lige/ulige funktioner.

4MT2111 Linear Partial Di�erential Equations. (Orthogonality Relations og The Fourier Coe�cients) (Be-søgt d. 20.12.2012). url: http://www.maths.manchester.ac.uk/DeptWeb/UGCourses/Syllabus/Level2/MT2111Lecture10_2004.pdf.

5Steen Albrechtsen. Fourieranalyse. Werks O�set Århus, 1991. isbn: 87-983931-0-3, s. 11

9/41


Vi fortsætter med (3). Ser vi på produktet sin(2πT·nx) ·cos(2π

T·mx), er det jo et produkt mellem

en lige og ulige funktion, hvilket vil give en ulige funktion. Integrerer vi en ulige funktion fra

−T/2 til T/2, får vi 0, og det er altså bevist.

Ved (4) har vi produktet sin(2πT· nx) · sin(2π

T· mx). Ved m = n > 0 er det vigtigt at se,

at vi kan bruge følgende trigonometriske formel6:

sin(u) · sin(v) = 1

2(cos(u− v)− cos(u+ v))

Vi indsætter parameteren 2πT· nx for både u og v i formlen (da m = n):

sin(2π

T· nx)2 = 1

2(cos(

2π

T· nx− 2π

T· nx)− cos(2π

T· nx+ 2π

T· nx)) = 1

2(1− cos(2 · 2π

T· nx))

Integrerer vi det udtryk, og bruger vi sætning 1, får vi:

ˆ T/2

−T/2(1

2(1− cos(2 · 2π

T· nx)))dx =

ˆ T/2

−T/2(1

2)dx =

T

2

Det er bevist.

Ved n 6= m kan vi indsætte 2πT· nx for u og 2π

T·mx for v:

sin(2π

T· nx) · sin(2π

T·mx) = 1

2(cos(

2π

T· nx− 2π

T·mx)− cos(2π

T· nx+ 2π

T·mx))

=1

2cos(

2πx

T· (n−m))− 1

2cos(

2πx

T· (n+m))

Vi integrerer udtrykket:

=1

2

ˆ T/2

−T/2cos(

2πx

T· (n−m))dx− 1

2

ˆ T/2

−T/2cos(

2πx

T· (n+m))dx

Af sætning 1 vil både det højre og venstre led gå ud, da n 6= m, hvilket også vil sige, at

n−m 6= 0 og n+m 6= 0.

Lignende bevis gælder for (5). Hvis m = n 6= 0 kan vi bruge en trigonometriske formel og

gentage beviset:

cos(u) · cos(v) = 1

2(cos(u+ v) + cos(u=v))

cos(2π

T· nx)2 = 1

2(cos(

2π

T· nx+ 2π

T· nx) + cos(

2π

T· nx− 2π

T· nx)) = 1

2(1 + cos(2 · 2π

T· nx))

ˆ T/2

−T/2(1

2(1 + cos(2 · 2π

T· nx)))dx =

ˆ T/2

−T/2(1

2)dx =

T

2

Igen, for m 6= n:

cos(2π

T· nx) · cos(2π

T·mx) = 1

2(cos(

2π

T· (n+m)) + cos(

2π

T· (n−m)))

6Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 15

10/41


Vi integrerer:

1

2

ˆ T/2

−T/2cos(

2π

T· (n+m))dx+

1

2

ˆ T/2

−T/2cos(

2π

T· (n−m))dx

Af sætning 1 følger igen, at ovenstående bliver 0. Det er bevist.

Med disse relationer kan vi nu bestemme værdier for fourierkoe�cienterne.

Bestemmelse af fourierkoe�cienter

Tager vi udgangspunkt i de�nitionen for fourierrækken, kan vi integrere fra −T2til T

2og eliminere

nogle led:

f(x) =1

2a0 +

∞∑n=1

(an · cos(2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx))

mˆ T/2

−T/2f(x)dx =

ˆ T/2

−T/2

1

2a0dx =

a0 · T2

m

a0 =2

T

ˆ T/2

−T/2f(x)dx

Vi har nu fundet frem til a0. Ledene fra summen går altså ud, hvilket kan ses ved:

∞∑n=1

(an ·ˆ T/2

−T/2(cos(

2π

Tnx))dx) + bn ·

ˆ T/2

−T/2(sin(

2π

Tnx))dx))

Vi bruger ortogonalitetsrelationerne (1) og (2):∞∑n=1

(an · 0 + bn · 0) = 0

Skal vi fortolke værdien 12a0, så er det den gennemsnitlige værdi for perioden.

´ T/2−T/2 f(x)dx er

jo lig arealet for hele perioden, og faktoren 2Tvil så give os det dobbelte af den gennemsnitlige

højde/funktionsværdi.

Vi fortsætter med at �nde an. Vi kan gange et cos(2πTnx)-led ind, og bagefter integrere fra −T

2

til T2. I stedet for n bruger vi k for summeringen da vi kan bruge én af ortogonalitetsreglerne

til at slippe af med summeringen:

11/41


ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(2π

Tnx))dx =

ˆ T/2

−T/2(1

2a0 · cos(

2π

Tnx) +

∞∑k=1

(ak · cos(2π

Tkx) · cos(2π

Tnx) + bk · sin(

2π

Tkx) · cos(2π

Tnx)))dx

Vi bruger ortogonalitetsrelationerne (2) og (3):

=

ˆ T/2

−T/2(∞∑k=1

(ak · cos(2π

Tnx) · cos(2π

Tkx)))dx

Vi bruger ortogonalitetsrelationen (5), og slipper af med summerigen, da integralet af de led,

hvor n 6= k, er 0:

=an · T2

m

an =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(2π

Tnx))dx

Beviset for bn følger i lignende stil, men denne gang ganger vi et sin(2πTnx)-led ind:

ˆ T/2

−T/2(f(x) · sin(2π

Tnx))dx =

ˆ T/2

−T/2(1

2a0 · sin(

2π

Tnx) +

∞∑k=1

(an · sin(2π

Tkx) · cos(2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx) · sin(2π

Tkx)))dx

Vi bruger ortogonalitetsrelationerne (1) og (3):

=

ˆ T/2

−T/2(∞∑k=1

(bn · sin(2π

Tnx) · sin(2π

Tkx)))dx

Vi bruger ortogonalitetsrelationen (4), og slipper af med summerigen, da integralet af de led,

hvor n 6= k, er 0:

=bn · T2

m

bn =2

T

ˆ T/2

−T/2(f(x) · sin(2π

Tnx))dx

Det viser sig så, at a0 vil svare til an ved n = 0 (og det var netop grunden for den 12-koe�cient):

12/41


a0 =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(2π

T· 0 · x))dx =

2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(0))dx

Da cos(0) = 1:

a0 =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x))dx

Vores sammenhæng for an gælder altså også for n = 0!

Men hvad så med bn ved n = 0? Lad os regne:

b0 =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · sin(2π

T· 0 · x))dx =

2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · sin(0))dx

Da sin(0) = 0:

b0 =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · 0)dx =

2

T·ˆ T/2

−T/2(0)dx = 0

b0 er lig 0. Der gælder altså for an, at n ∈ {0,1,2,...}, og for bn, at n ∈ {1,2,3,...}.

Regneeksempler

Ulige funktioner

Vi vælger en ulige, periodisk funktion, f.eks. f(x) = x på intervallet [−π; π], dvs. med periode

T = 2π. Det giver en såkaldt �savtaks�-funktion.

Vi �nder først a0: a0 = 2T

´ T/2−T/2 f(x)dx = 1

π

´ π−π f(x)dx = 0

Vi �nder nu an og bn fra 1 ≤ n ≤ 4:

a1 =1

π·ˆ π

−π(f(x) · cos(1 · x))dx = 0

a2 =1

π·ˆ π

−π(f(x) · cos(2 · x))dx = 0

a3 =1

π·ˆ π

−π(f(x) · cos(3 · x))dx = 0

a4 =1

π·ˆ π

−π(f(x) · cos(4 · x))dx = 0

b1 =1

π

ˆ π

−π(f(x) · sin(1 · x))dx = 2

b2 =1

π

ˆ π

−π(f(x) · sin(2 · x))dx = −1

b3 =1

π

ˆ π

−π(f(x) · sin(3 · x))dx =

2

3

b4 =1

π

ˆ π

−π(f(x) · sin(4 · x))dx =

−12

13/41


Da vi nu har fundet alle vores ønskede koe�cienter, kan vi nu bestemme fourierrækken for

funktionen:

f(x) =1

2a0 +

4∑n=1

(an · cos(2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx)) = 2sin(x)− sin(2x) + 2

3sin(3x)− 1

2sin(4x)

Det ses helt klart hvordan fourierrækken kommer tættere og tættere på den oprindelige funktion,

jo �ere led vi sætter på:

Graf for fourierrækken ved et stigende antal fourierkoe�cienter (se bilag 1)

Alligevel burde der nok medtages �ere led for at få en pænere approksimation.

Hvorfor er det kun sinus-leddene, der bliver tilbage? Sinus er jo også en ulige funktion. Ta-

ger vi udgangspunkt i beviset for an, kan vi se, at cosinus ganges ind i integralet for f(x):

ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(2π

Tnx))dx

En lige funktion ganget med en ulige funktion må give en ulige funktion, og integrerer vi en

ulige funktion fra −T/2 til T/2, får vi altid værdien 0, som vi så tidligere i afsnittet om lige og

ulige funktioner. Går vi tilbage til an, ser vi så, at

an =2

T·ˆ T/2

−T/2(f(x) · cos(2π

Tnx))dx =

2

T·ˆ T/2

−T/2h(x)dx =

2

T· 0 = 0

an-koe�cienterne vil så altid være 0 for en ulige funktion.

Frekvensspektret kan vi også bestemme, idet fn = 1T·n = n

2πog An =

√a2n + b2n =

√02 + b2n =

|bn|. Da vi til regneeksemplerne ikke bruger enheder, vil resultatet ikke være i Hz, men det viser

stadig princippet i udregningen.

14/41


f 12π

1π

32π

2π

A 2 2 23

12

Lige funktioner

Vi vælger en lige, periodisk funktion, f.eks. f(x) =

−x for x ≤ 0

x for x > 0med periode T = 2π på

intervallet [−π; π]. Det giver en såkaldt triangle-funktion:

Vi �nder først a0:

a0 =2

T

ˆ T/2

−T/2f(x)dx =

1

π

ˆ π

−πf(x)dx = π

Vi �nder nu an og bn fra 1 ≤ n ≤ 4. Fordi f(x) er en lige funktion, vil bn-leddene gå ud,

så udregningerne for dem tages ikke med (beviset kommer senere). Til an bliver vi nødt til

at integrere vores funktion stykkevist, da funktionen selv er de�neret stykkevist, dvs. først i

intervallet [−π; 0], og bagefter i intervallet [0; π]:

a1 =1

π

ˆ π

−π(f(x) · cos(1 · x))dx =

1

π(

ˆ π

0

(f(x) · cos(1 · x))dx+ˆ 0

−π(f(x) · cos(1 · x))dx) = − 4

π

a2 =1

π(

ˆ π

0

(f(x) · cos(2 · x))dx+ˆ 0

−π(f(x) · cos(2 · x))dx) = 0

a3 =1

π(

ˆ π

0

(f(x) · cos(3 · x))dx+ˆ 0

−π(f(x) · cos(3 · x))dx) = − 4

9π

a4 =1

π(

ˆ π

0

(f(x) · cos(4 · x))dx+ˆ 0

−π(f(x) · cos(4 · x))dx) = 0

Da vi nu har fundet alle vores ønskede koe�cienter, kan vi nu bestemme fourierrækken for

funktionen:

f(x) =1

2a0 +

4∑n=1

(an · cos(2π

Tnx) + bn · sin(

2π

Tnx)) =

π

2− 4

πcos(x)− 4

9πcos(3x)

15/41


Med 4 led er det en rimelig approksimation. Alligevel er de skarpe kanter blevet langt blødere,

så måske burde vi havde forsøgt os med nogle �ere led.

På samme måde som før kan vi bevise, at bn-leddene går ud, da f(x) er en lige og sin(x) er

ulige funktion, og f(x) · sin(x) er derfor også en ulige funktion. Integralet´ T/2−T/2 f(x) · sin(

2πTnx) er så altid lig 0, og bn-leddene er derfor 0.

Vi laver igen et frekvensspektrum for vores funktion, idet An =√a2n + b2n =

√a2n + 02 = |an|:

f 12π

32π

A π4

9π4

Eksperimenter

Nyquists kritiske frekvens

Til vores forsøg er det vigtigt at vide, at antallet af målinger vi laver, og hvor hurtigt vi

kan lave dem, har en afgørende betydning. Nyquists kritiske frekvens siger, at den maksimale

frekvens, der kan optages, er den halve af samplingsfrekvensen. Det vil sige fmax = 12fs hvor fs er

samplingsfrekvensen, dvs. målinger pr. sekund. Hvis vi f.eks. optager med en samplingsfrekvens

på 1000Hz, vil den største frekvens, vi kan lave fourieranalyse på, være 12·1000Hz = 500Hz. Vi

kan også fortolke Nyquists kritiske frekvens på en anden måde, hvis vi gerne vil kende grænsen

forM .7 Tager vi udgangspunkt i fn = 1T·n, kan vi jo sætte fn til det halve af samplingsfrekvensen

og isolere n. Hvis T = N ·4t (altså antallet af målinger ganget med tiden mellem målingerne),

får vi, at: 12· fs = 1

T· n⇔ n = 1

2· fs · T = 1

2· fs ·N · 1

fs= 1

2N . Den største værdi, M bør have,

er altså det halve af antallet af målinger.

7Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 33

16/41


Fourieranalyse med datasæt

Her kommer den praktiske anvendelse af fourieranalysen ind i billedet. Problemet med fouri-

eranalysen er, at der er mange integraler og beregninger, der skal indgå, når man forsøger

at bestemme frekvensspektret. Her er FFT, Fast Fourier Transform, en algoritme, som gør

beregningen meget hurtigere. Programmer som LoggerPro og Datalyse kan lave FFT for os,

men i stedet for reelle fourierkoe�cienter får vi et frekvensspektrum beregnet og præsenteret.

Princippet bag fourieranalysen er stadig bevaret (selv om FFT bruger komplekse værdier til

udregningen, men det er sådan set sekundært).

I stedet for FFT kunne man dog også kigge på data for én periode og foretage nogle beregninger

derudfra. Normalt kender vi ikke en funktion for vores lydbølge, men kun nogle samples, altså

nogle punkter på grafen for vores lydsignal, og vi skal derudfra beregne vores integraler. Tager

vi udgangspunkt i an og bn, skal vi altså �nde arealet under grafen for de periodiske funktioner

f(tk) · cos(2πT nx) og f(tk) · sin(2πT nx), hvor f(tk) vil svare til vores måling til tiden tk, dvs.

måling k (hvor k = 0 er første måling). Hvis vi lader N være antal målinger i en periode og hvis

4t er tiden mellem de enkelte målinger, så får vi en periode T = N · 4t. Ved approksimation

kan vi bestemme arealet af f(x), hvis vi antager, at arealet under grafen for hver måling er et

rektangel med bredde 4t og længde f(x).

Eksempeldata, der viser princippet bag beregningen med rektangler

Ved summering vil det svare til´ T/2−T/2 f(tk)dt =

N−1∑k=0

(4t · f(tk)) = 4t ·N−1∑k=0

(f(tk)). Grænsen for

summeringen vil være N − 1, da vores k-indeks starter ved 0, og k = N ville altså gå ud over

vores måledata. Vi kan nu �nde an ved at gange et cos(2πTnx) ind:

ˆ T/2

−T/2f(tk) · cos(

2π

Tnx)dt = 4t ·

N−1∑k=0

(f(tk) · cos(2π

Tn · tk))

an =2

T

ˆ T/2

−T/2f(tk) · cos(

2π

Tn · tk)dt =

2

T4t ·

N−1∑k=0

(f(tk) · cos(2π

Tn · tk))

Da T = N · 4t og tk = k · 4t, kan vi reducere udtrykket yderligere:

17/41


an =2

N · 4t· 4t(

N−1∑k=0

f(k · 4t) · cos( 2π

N · 4tn · k · 4t)) = 2

N· (N−1∑k=0

f(k · 4t) · cos(2πNn · k))

På samme måde kan vi �nde et udtryk for bn, dvs. bn =2

N· (N−1∑k=0

f(k · 4t) · cos(2πNn · k))

Beviset kunne også være ført ved brug af trapezreglen8, men resultatet er det samme.

For at illustrere hvordan man kan bruge vores nye udtryk sammen med reelle data, kan vi lave

et simpelt datasæt:

t/s 0 1 2 3

A 0 1 0 -1

Ifølge Nyquists kritiske frekvens, vil n over N2indeholde for stor en fejl, at disse led ikke bør

medtages.

Vi �nder derfor kun fourierkoe�cienterne for 0 ≤ n ≤ 42. N = 4, da vi har 4 målinger, og

4t = 1s:

a0 =2

4· (

3∑k=0

f(k · 1s) · cos(2π4· 0 · k)) =0 b1 =

2

4· (

3∑k=0

f(k · 1s) · cos(2π41 · k)) = 1

a1 =2

4· (

3∑k=0

f(k · 1s) · cos(2π4· 1 · k)) =0 b2 =

2

4· (

3∑k=0

f(k · 1s) · cos(2π42 · k)) = 0

a2 =2

4· (

3∑k=0

f(k · 1s) · cos(2π4· 2 · k)) =0

Det vil så svare til følgende fourierrække:

f(t) = b1 · sin(2π

N · 4tnt) = sin(

2π

4 · 1s· 1 · t) = sin(

2π

4s· t)

Sammenligner vi de oprindelige værdier, passer det endda eksakt:

t/s 0 1 2 3

f(t) 0 1 0 -1

Vi kan nu lave et frekvensspektrum for vores datasæt (de eneste led, der er relevante, er a1og b1):

f/Hz 0,25

A 1

f =1

Tn =

1

4s· 1 = 0,25Hz

A =√a21 + b21 =

√02 + 12 = 1

8Bevis ved trapezregel, Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 31

18/41


Det er selvfølgelig et simpelt eksempel, men vi har nu bestemt frekvensspektret uden nogen

kendt funktion. Til de følgende eksperimenter vil Datalyse bruges til at lave frekvensspektret,

og bilag 4 til at �nde fourierkoe�cienter i det første forsøg.

Hvad hvis man ikke kender lydbølgens periode, men kun har nogle vilkårlige måledata? Det er

jo netop det, som Datalyse og LoggerPro kan gøre for os. I det tilfælde kunne man sætte sin

periode til T = N · 4t, altså antallet af målinger multipliceret med tiden mellem målingerne,

og så bestemme amplituderne for frekvenserne ved f = 1T· n. I det tilfælde har man jo ikke

grundtonen ved n = 1 og overtonerne ved n > 1, men i stedet det, man kalder spektrale fre-

kvenser og spektrale amplituder.9 Vi får altså ikke styrken af grundtonen og overtonerne, men

styrken af alle frekvenserne i dataene (til det punkt hvor det er muligt). Ud fra det resulteren-

de frekvensspektrum kan vi alligevel tolke på, hvilke frekvenser og amplituder grundtonen og

overtonerne har, ved at se efter frekvenser, der er særdeles stærke, de såkaldte �peaks�.

Guitaren

Guitaren som instrument er karakteriseret ved, at den har 6 strenge, der kan slås an. Til

forsøgene vil vi bruge den streng, der har den mindste frekvens, dvs. den nederste streng, der

har tonen E2 og frekvens omkring 80Hz. Dette skyldes, at frekvensen bør være så lav så mulig,

sådan så vi er sikre på, at vi ikke når op over Nyquists frekvens for vores overtoner. Der er

�ere måder at spille en guitar på, men til vores formål vil vi strække strengen ud og lade den

svinge. Da strengen er udspændt i to ender, vil der opstå stående bølger. Der vil så dannes lyd

når strengen skubber til luften, og med de frekvenser, som vi kan forvente fra stående bølger.10 Hvis vi skal se, hvilke frekvenser vi kan forvente i vores lydoptagelse, kan vi så bruge formlen

v = λ · f ⇔ f = vλ. Hvis strengen har længden L, har de stående bølger bølgelængden λn = 2L

n,

hvor n = 1 er grundtonen og n > 1 er overtonerne.11

Bølgelængder for forskellige værdier af n

Indsætter vi λn i formlen for frekvensen, får vi fn = v2Ln

= n·v2·L . Uden værdier for udbredelses-

hastigheden og båndlængden, kan vi stadig se på forholdet mellem overtonerne og grundtonen:fnf1

= n ⇔ fn = n · f1. Går vi f.eks. tilbage til vores E-streng, ved vi, at f1 = 80Hz, og vi kan

forvente, at overtonerne vil være f2 = 2 · 80Hz = 160Hz, f3 = 3 · 80Hz = 240Hz, og så videre.

Afhænger amplituden for de forskellige overtoner af, hvor og hvordan guitarstrengen slås an?

9Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 5310C. Claussen, Spektrum - Fysik II, s. 4211Jensen, Fourieranalyse, s. 6

19/41


Hvilke amplituder for frekvenserne kan vi forvente i en idealiseret situation, dvs. uden nogen

modstand og anden påvirkning? Med fourieranalyse kan vi kigge på to forskellige begyndelses-

kon�gurationer: hvis vi strækker strengen ud på midten og hvis vi strækker strengen ud 13fra

enden. Hvis guitarstrengens længde er L, og hvis vi strækker guitarens streng afstanden d ud i

midten, kan vi opstille en funktion for dette12:

f(x) =

2dLx for 0 ≤ x ≤ L

2

−2dL(x− L) for L

2≤ x ≤ L

Graf for f(x)

Umiddelbart vil strengen fortsætte med at svinge på denne måde. Vi kan gøre funktionen perio-

disk i intervallet [−L;L]med periode 2L ved at forlænge den, så den også svinger under x-aksen:

g(x) = f(x)− f(−x)

Graf for g(x)

Vi kan nu foretage en fourieranalyse på g(x). Vi medtager op til 6 koe�cienter, dvs. op til 6

overtoner. Vi behøver kun at regne bn-koe�cienterne, da g(x) er en ulige funktion (mellemreg-

ningerne tages ikke med, men regnes i et CAS-værktøj):

bn =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(π

Lnx)dx b1 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(π

Lx)dx =

8d

π2

b2 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(2π

Lx)dx = 0 b3 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(3π

Lx)dx =

−8d9π2

b4 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(4π

Lx)dx = 0 b5 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(5π

Lx)dx =

8d

25π2

b6 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(5π

Lx)dx = 0

Overtonerne med lige n går altså ud. Vi kan nu lave et frekvensspektrum:

f f1 2f1 3f1 4f1 5f1 6f1

A A1 0 19· A1 0 1

250

A1 = |8d

π2| = 8d

π2

A3 = |−8d9π2| = 8d

9π2=

1

9· A1

A5 = |8d

25π2| = 8d

25π2=

1

25· A1

12Jensen, Fourieranalyse, s. 4

20/41


Selv om vi ikke kan �nde værdier for frekvenserne og amplituderne, er det forholdet imellem

dem, der er interessant. Ifølge vores beregninger burde der komme 2 overtoner, 3f1 og 5f1. Den

3. overtones amplitude er 19af grundtonens, og 5. overtones amplitude er 1

25af grundtonen,

mens 2. og 4. overtone helt forsvinder.

Ser vi på det andet udfald, hvor vi trækker guitarstrengen op 13fra enden, kan vi gentage

vores beregninger:

f(x) =

3dLx for 0 ≤ x ≤ L

3

− 3d2L(x− L) for L

3≤ x ≤ L

Graf for f(x)

g(x) = f(x)− f(−x)

Graf for g(x)

bn =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(π

Lnx)dx b1 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(π

Lx)dx =

9d ·√3

2π2

b2 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(2π

Lx)dx =

9d ·√3

8π2b3 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(3π

Lx)dx = 0

b4 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(4π

Lx)dx =

−9d ·√3

32π2b5 =

1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(5π

Lx)dx =

−9d ·√3

50π2

b6 =1

L

ˆ L

−Lg(x) · sin(5π

Lx)dx = 0

f f1 2f1 3f1 4f1 5f1 6f1

A A114· A1 0 1

16· A1

125· A1 0

A1 = |9d ·√3

2π2| = 9d ·

√3

2π2

A2 = |9d ·√3

8π2| = 9d ·

√3

8π2=

1

4· A1

A4 = |−9d ·

√3

32π2| = 9d ·

√3

32π2=

1

16· A1

A5 = |−9d ·

√3

50π2| = 9d ·

√3

50π2=

1

25· A1

I dette tilfælde forsvinder hver 3. overtone helt.

Disse to begyndelseskon�gurationer vil bruges til især det første eksperiment for at se, om

vi tilnærmelsesvis kan se samme forhold for overtonerne. I dette tilfælde er det ufatteligt svært

at genskabe en ideal situation, så en egentlig afvigelses-værdi for amplituderne vil ikke forsøges.

21/41


Analyse af lyd fra guitar

Formål

En guitarstrengs frekvensspektrum forsøges bestemt gennem fourieranalyse af lyd. Sammen-

hængen mellem det punkt, hvor strengen slås an, og amplituderne for overtonerne, sammenlig-

nes med teori-afsnittet. Desuden ønskes fourierspektret bestemt gennem udvælgelse af en enkelt

periode fra lyddataene.

Apparatur

Mikrofon, akustisk guitar, PC med Datalyse, Audacity og Python 2.7

Forsøgsopstilling

Guitaren lægges �adt på et bord, og en mikrofon sættes op sådan, at den kan optage tæt på

guitarens lydhul.

Forsøgets udførelse

Mikrofonen sættes til at optage lyddata i programmet Datalyse, hvorefter guitarens E-streng

slås an med et plekter på midten. Ved brug af Datalyses �fourieranalyse�-funktion �ndes fre-

kvensspektret for optagelsen med en blokstørrelse på 8192. Forsøget gentages, men i stedet for

midten slås E-strengen an 13inde på strengen.

Forsøgsresultater

Vi starter med resultaterne for midten af strengen.

Frekvensspektrum for optagelsen

22/41


Se bilag 2 for det resulterende frekvensspektrum, beregnet af Datalyse. Ved a�æsning af grafen

ses, at der er nogle helt tydelige �peaks�, altså nogle toppe på grafen. Skal vi fortolke disse

peaks kan vi se, at lydsignalets grundtone er 81Hz med amplitude 100, svarende til tonen E2,

1. overtone er 161Hz med amplitude 23, 2. overtone er 237Hz med amplitude 50, og så videre.

Vi laver et skema over de forskellige peaks (op til 5. overtone):

f/Hz 81 161 237 318 399 481

A 100 23 50 20 42 19

Ifølge guitar-afsnittet passer det godt med vores forventninger. Vi havde jo regnet med, at

grundtonen ville være E2, og at overtonerne ville være n · f1. Overtonerne følger ikke helt voresforudsigelse, da alle de �lige� overtoner burde gå helt væk. Der er sikkert nogle fejlkilder behæf-

tet med forsøget, der kan forklare det. Alligevel kan vi se, at de lige overtoner ikke er nær så

stærke som de ulige overtoner, så på den måde er det et acceptabelt resultat.

Lad os fortsætte med dataene fra strengen, der blev slået an 13inde på strengen. Vi �nder

et frekvensspektrum gennem Datalyse.

Frekvensspektrum for optagelsen (bilag 3)

Skema over de forskellige peaks:

f/Hz 81 161 - 319 398 480

A 100 57 - 34 22 4

Skal vi sammenligne med teorien, er 2. overtone ved ≈ 240Hz også gået helt væk! Det var

også det vi forventede. De andre overtoner falder i amplitude, jo længere vi kommer væk fra

grundtonen, så det svarer også overens med teorien.

Præcisionen af vores frekvensspektre skal måske undersøges. Da vi har en blokstørrelse på

8192 (dvs. det antal målinger, der undersøges), vil det sige, at vi har en T -værdi på N · 4t =8192 · 1

44100Hz≈ 0,1858s. Vi antager her, at Datalyse har en samplingsfrekvens ved optagelser på

44100Hz. f1 er så 1 · 1T≈ 5Hz, f2 ≈ 11Hz, f3 ≈ 16Hz. Det vil altså sige, at vi kan bestemme

vores frekvenser med en usikkerhed på ±3Hz.

23/41


Som sagt kunne vi også kigge på en enkelt periode og �nde både frekvensspektret og fourier-

spektret på den måde. Med programmet Audacity udvælges følgende periode, der �ndes lige

efter strengen er slået an ved dataene for optagelse 2:

Billede af lydbølge (bilag 10)

For at gøre beregningerne lidt mere overkommelige, bruges programmet i bilag 4 til at

beregne fourierkoe�cienterne. Programmet kræver, at Python 2.7 er installeret, men ellers er

princippet bag programmet allerede blevet forklaret i starten af dette afsnit (dvs. det

beregner koe�cienterne ved approksimation af arealet for f(x)). Med en 4t-værdi på 125µs

(en �sampling rate� på 8000Hz), må ovenstående bølge have en periode på

T = N · 4t = 100 · 125µs = 125 · 10−4s. Ved brug af de resulterende data fra bilag 4 laves et

frekvensspektrum:

Frekvensspektret ser ikke ud til at svare til det, vi fandt ved Datalyse. Det må skyldes, at

Datalyse kigger på mange �ere perioder, hvor amplituderne kunne have ændret sig, mens vi

kun har valgt en enkelt periode her. Alligevel er resultatet passende med vores teori om, at 2.

overtone burde være meget lavere end resten af overtonerne. Overtonernes amplitude falder

også trinvist, efterhånden som n stiger, hvilket vi havde forventet. 4. overtone er en anomali i

forhold til vores teori, men der er igen nogle fejlkilder, der måske kan forklare det.

Fejlkilder

I forhold til fejlkilder er det svært at lave en optagelse helt uden støj fra omgivelserne. Alligevel

er støjens styrke så lille, at den i det resulterende frekvensspektrum er ubetydelig. Desuden

optager vi jo ikke kun den lyd, som strengen laver. Lyden resonerer med guitarens krop, så i

virkeligheden er det hele guitarens lyd, som vi optager. På den måde er vores idealiserede teori

om, at det kun er strengen, der laver lyd, måske ikke opfyldt på �ere måder. Afhængigt af, om

guitaren f.eks. er holdt op eller spændt fast kan også gøre, at lyden vil ændre sig. Desuden var

24/41


rummet, hvor forsøgene blev gjort, ikke lyddødt. Støj er allerede nævnt, men lyden fra guitaren

kan være re�ekteret af vægge eller andre over�ader i rummet, hvilket kunne have resoneret med

strengen eller guitarens krop. Optageudstyret burde der også kigges på, da det kunne være,

at PC'en eller mikrofonen behandler lyden på en uhensigtsmæssig måde, eller at mikrofonens

optageposition kunne gøre en forskel.

Konklusion

Gennem fourieranalyse i Datalyse har vi fundet en guitarstrengs toner og overtoner, samt

dens fourierspektrum. Ud fra teorien om, at der opstår stående bølger på strengen, passer

forsøgets resultater meget godt. Det ligner også, at sammenhængen mellem det punkt, hvor

strengen strækkes ud, og mange af de overtoner vi får, passer med teoriafsnittet, selv om der

for nogle overtoner er nogle uoverensstemmelser. Skal metoden kommenteres, er fourieranalyse

i dette tilfælde med en usikkerhed på ±3Hz et godt værktøj til analyse af frekvensspektrer.

Analyse af video fra vibrerende guitarstreng

Formål

En guitarstrengs frekvensspektrum forsøges bestemt gennem videoanalyse i et punkt og fouri-

eranalyse.

Apparatur

Akustisk guitar, high-speed kamera (f.eks. Casio EX-ZR100), halogenlampe, PC med Datalyse

Forsøgsopstilling

En guitar sættes oprejst på et bord med en støtte i enden. Kameraet hæves op sådan, at den kan

optage guitarens dybe E-streng ved lydhullet. Da lyset fra omgivelserne ikke er tilstrækkeligt,

bruges i stedet en halogenlampe til at belyse optageområdet. Guitarens E-streng prikkes med

sort tusch, sådan så det bliver nemmere at �nde et referencepunkt på optagelsen.

Forsøgets udførelse

Ved brug af et high-speed kamera (i dette tilfælde et Casio EX-ZR100) kan der optages med

1000Hz, altså 1000 billeder pr. sekund (4t = 11000Hz

= 10−3s). Kameraet bør sættes til indstil-

lingen �Super Macro�, da optageafstanden vil være meget lille. Strengen slås an med et plekter13inde på strengen, mens kameraet optager.

25/41


Billeder fra optagelsen, der viser svingningen

Billede for billede �ndes prikkens y-koordinat i video-optagelsen og noteres ned på et regneark.

Da FFT-algoritmen i Datalyse kræver, at antallet af målinger skal være potenser af 2, dvs. 2x,

laver vi 128 målinger (27 = 128). Resultaterne for forsøget kan �ndes i bilag 5.

Forsøgsresultater

Graf over forsøgsresultaterne (bilag 6)

Dataene importeres manuelt til Datalyse gennem en CSV �l. Ved fourieranalyse i Datalyse

�ndes frekvensspektret for vores data med blokstørrelse 128 (se bilag 7). Igen har vi nogle

�peaks�, som vi kan tolke på.

Frekvensspektrum af data

Ved 78Hz har vi vores grundtone med amplitude 100, svarende til tonen E2. Kigger vi på

vores data ligner det da også, at svingningen har en periode, der svarer til 12 målinger, dvs.

f = 1T= 1

N ·4t =1

12·10−3s≈ 83Hz. Ved 156Hz har vi vores 1. overtone med amplitude 39. Selv

om det er svært at se, har vi ved 242Hz vores 2. overtone med amplitude 7.

Vi har altså en grundtone og 2 overtoner. I forhold til lydanalysen ligner det, at frekvens-

spektret er mindre præcist, da afstanden mellem linjepunkterne for frekvenserne i grafen er

større. Det skyldes, at vi kun har 128 målinger, hvilket vil svare til en T -værdi på N · 4t =

26/41


128 · 11000Hz

= 0,128s. f1 er så 1 · 1T≈ 8Hz, f2 ≈ 16Hz, f3 ≈ 23Hz, og så videre, så i virkelig-

heden kan vi kun bestemme vores toners frekvenser med en usikkerhed på ±4Hz.

Igen passer det godt overens med vores forventninger om, at der opstår stående bølger på

strengen, og at overtonerne vil være lig fn = n · f1. Alligevel er det besynderligt, at vi kun får

3-4 overtoner. Det er der nok nogle årsager til.

Fejlkilder

Af fejlkilder kan nævnes, at strengen imellem yderpunkterne er utydelig, og ser ud til at være

til stede mellem et større interval. I dette tilfælde blev midtpunktet valgt, men det er ikke

nødvendigvis korrekt. Referencepunktets horisontale position har også afgørende betydning

for, hvilke overtoner der kommer med. I teorien kunne vi jo optage ved ét af knudepunkterne

for en af de stående bølger, og på den måde ville vi ikke få noget udsving for den bølge. Dette

er nok tilfældet for de højere overtoner, der tilmed også har svage amplituder i forhold til

grundtonen. Opløsningen af optagelsen er desuden begrænset til 224x64, så i virkeligheden kan

y-koordinatet højst bestemmes med omkring 32 pixels nøjagtighed, altså mellem de pixels,

hvor strengen svinger. I teorien burde vi ikke være nået op over Nyquists kritiske frekvens, idet

fmax =12· 1000Hz = 500Hz. Det ligner heller ikke, at overtonerne over 500Hz ville have nogen

betydning, da overtonerne forsvinder meget tidligere.

For en mindre usikkerhed på vores frekvenser kunne vi have fundet nogle �ere punkter for

svingningen, sådan så T -værdien ville være større. Det ville kræve, at vi havde lavet 28 = 256

eller �ere målinger, hvilket måske havde været lidt for meget arbejde til vores formål.

Konklusion

Ved videoanalyse, fourieranalyse og det resulterende frekvensspektrum har vi set, at der må

have opstået stående bølger på guitarstrengen. I forhold til en analyse af lyd er præcisionen

af vores måleresultater meget mindre, da vi ikke kan optage med så stor en hastighed, som en

mikrofon kan, og at antallet af målinger nødvendigvis er langt mindre. Med vores video-analyse

har vi ikke kunnet se mange overtoner, men de overtoner, der kom frem, var af de forventede

frekvenser.

Fouriersyntese

Med fouriersyntese forstås, at man kan lave et periodisk signal med de fourierkoe�cienter,

altså den grundtone og de overtoner, man ønsker. I afsnittet med eksperimenter bestemte vi

frekvensspektret og fourierkoe�cienterne for en guitarstreng. Ud fra frekvensspektret er det

umiddelbart ikke muligt at genskabe det oprindelige lydsignal, da vi kun kender en amplitude

og en frekvens, hvilket ikke er nok. I princippet skal vi kende til an og bn-koe�cienterne, altså

fourierspektret, før vi kan genskabe tonens periodiske signal. Tager vi 15 fourierkoe�cient-par

27/41


fra afsnittet om lydanalyse, kan vi prøve at genskabe lydbølgen fra guitaren i et CAS-værktøj.

Vi indsætter dataene i et regneark (med navnene antabel og bntabel), og laver en funktion

f(x) =1

2· antabel[1] +

15∑n=1

(antabel[n+ 1] · cos(2πTnx) + bntabel[n+ 1] · sin(2π

Tnx))

Vi kan nu tegne grafen for funktionen (funktionen er forskudt ned ad y-aksen, sådan så funk-

tionen svinger omkring x-aksen):

Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj (bilag 8)

Sammenligner vi med �guren fra Analyse af lyd fra en guitar, dvs. bilag 10, er lydbølgens

struktur særdeles godt konserveret. Ved at lave en lyd�l for fourierrækken, kan vi prøve at sam-

menligne lyden med den fra guitaren. Bilag 9 er et program, der laver fouriersyntese og gemmer

en lyd�l med en varighed på 5 sekunder. Princippet er det samme som for CAS-værktøjet, men

i dette tilfælde gemmes der til en lyd�l i stedet.

Lyd�len lyder noget �tør�. I virkeligheden gentager en lydbølge sig jo heller ikke uden at nog-

le parametre ændrer sig. Amplituden for de forskellige overtoner og grundtonen vil nok blive

mindre efterhånden som guitarstrengens svingning aftager. Vi kunne undersøge, hvordan koef-

�cienterne ændrer sig over tid, og ændre vores model, sådan så koe�cienternes værdier aftager.

Det var i hvert fald én måde at gøre det resulterende signal mere virkelighedsnært på.

Som vi så ovenover, så er fouriersyntese et godt redskab til at genskabe en tone. Hvad hvis

vi vil syntetisere alle tonerne for guitaren? Hvis vi havde ændret båndlængden på vores guitar-

streng, havde vi selvfølgelig fået en anden grundtone. Antager vi, at den nye tone havde opført

sig ligesom den gamle tone, altså med samme an og bn-værdier, kunne vi i vores fouriersyn-

tese ændre vores T -værdi, sådan så grundtonen passer med den nye tone. Hvis vi antager, at

det gælder for en arbitrær tone på strengen, ville vi kunne syntetisere alle tonerne på den streng.

Havde vi samlet et fourierspektrum for hver streng (eller tone), kunne vi genskabe hver tone på

guitaren. I princippet får vi ved fouriersyntese af disse fourierspektre et elektronisk instrument,

der genskaber instrumentets lyd! Det helt specielle ved de forskellige instrumenter er jo deres

klang, altså sammensætningen af overtoner.13Kunne man genskabe deres klang for forskellige

toner, har man sig altså et elektronisk instrument. Man kunne også have lavet lydoptagelser

13C. Claussen, Spektrum - Fysik II, s. 41

28/41


for hver tone og streng, men det ville føre til langt mere data, der skal gemmes. Som vi så, så

behøver vi ikke mere end 15 fourierkoe�cienter for at få genskabt tonen, der overordnet ligner

det oprindelige signal. Den største ulempe ved fouriersyntese er dog, at fourierspektret ikke

indeholder nogen information om, hvordan lydsignalet ændrer sig over �ere perioder. Hvis man

ønsker at lave en funktion fra et lydsignal med en enkelt periode er fourieranalyse- og syntese

en ideal løsning, men til et signal, der varierer over tid, må man altså gøre noget mere ved det

syntetiserede lydsignal eller bruge lydoptagelser i stedet.

Fouriersyntese er på den måde en god løsning til at genskabe instrumenters klang. Det skaber

muligheder for f.eks. simple, elektroniske instrumenter, der ikke kan være særlig virkelighedsnæ-

re pga. hukommelsesbegrænsninger, eller hvor en realistisk lyd ikke er vigtig.

Konklusion

I denne opgave blev frekvens- og fourierspektret for en guitarstreng både gennem teori og em-

piri bestemt ved brug af fourieranalyse. Selve fourieranalyse og dens udregning blev bevist

med afsæt i fourierrækken og illustreret gennem regneeksempler med periodiske funktioner.

Med udgangspunkt i fourieranalysen kunne guitarstrengens svingning i en idealiseret situation

forudsiges ved fourieropløsning af forskellige funktioner, der repræsenterede guitarstrengens

begyndelseskon�guration. Dette kunne efterprøves i praksis, og til lydanalysen kunne sammen-

hængen mellem teori og forsøgsresultater spores, idet overtonernes amplitude opførte sig tæt

på det forventede. Videoanalysen viste sig at være begrænset i forhold til de overtoner, der

kunne �ndes, men alligevel bekræftede det de stående bølger på strengen. En enkelt periode fra

lyddataene blev genskabt gennem fouriersyntese, og den resulterende funktion viste sig at være

en god tilnærmelse til originalen. Fouriersyntesen kunne altså genskabe en klang, og til f.eks.

simple elektroniske instrumenter ville fouriersyntese være et lettere alternativ til lydoptagelser

eller samples, når man prøver at reproducere en instruments lyd.

29/41


Litteraturliste

Albrechtsen, Steen. Fourieranalyse. Werks O�set Århus, 1991. isbn: 87-983931-0-3.

C. Claussen E. Both, N. Hartling. Spektrum - Fysik II. 1. udg. Gyldendal, 2004. isbn: 10-87-

02-00685-5.

Jensen, Niels Christian. Fourieranalyse. 2004. url: http : / / www . emu . dk / gym / tvaers /

sciencegym/matematik-materialer/fourier.doc.

Larsen, Mogens Oddershede. Fourieranalyse. 2. udg. (Besøgt d. 20.12.2012). 2007. url: http:

//www.larsen-net.dk/files/Fourieranalyse.pdf.

Maor, Eli. Trigonometric Delights. (Besøgt d. 20.12.2012). Princeton University Press, 1998,

198�210 (Fourier Theorem). isbn: 9780691095417. url: http://press.princeton.edu/

books/maor/chapter_15.pdf.

MT2111 Linear Partial Di�erential Equations. (Orthogonality Relations og The Fourier Coef-

�cients) (Besøgt d. 20.12.2012). url: http://www.maths.manchester.ac.uk/DeptWeb/

UGCourses/Syllabus/Level2/MT2111Lecture10_2004.pdf.

30/41


Bilag

Bilag 1: Graf til regneeksempler

31/41


Bilag 2: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på midten (Datalyse)

32/41


Bilag 3: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på 13 (Datalyse)

33/41


Bilag 4: Programkode til fourieranalyse (Python)

Data er taget fra en 8000Hz lyd�l, dvs. 4t = 18000Hz

= 125µs med 100 punkter, N = 100.14

import math

data = [

0 , 18 , 21 , 40 , 55 , 76 , 94 , 108 , 125 , 136 , 147 , 152 , 159 , 170 , 175 ,

179 , 182 , 178 , 175 , 174 , 174 , 181 , 188 , 190 , 182 , 157 , 130 , 109 , 92 ,

88 , 99 , 113 , 127 , 136 , 142 , 150 , 163 , 174 , 180 , 190 , 196 , 200 , 198 ,

183 , 164 , 145 , 124 , 107 , 104 , 103 , 108 , 116 , 124 , 137 , 144 , 145 , 145 ,

149 , 153 , 160 , 168 , 169 , 171 , 168 , 158 , 150 , 148 , 148 , 159 , 171 , 173 ,

178 , 175 , 159 , 147 , 136 , 124 , 120 , 118 , 112 , 105 , 94 , 84 , 80 , 80 , 83 ,

93 , 99 , 98 , 99 , 99 , 97 , 90 , 81 , 60 , 45 , 30 , 23 , 15 , 7

]

N = l e n ( data )

M = N / 2

pr int ' n\ tan \ tbn \tAn '

for n in x range (M+1):

an = 0

bn = 0

for k in x range (N) :

an += data [ k ] * math . cos ( (2 * math . p i ) * ( f l o a t ( n*k ) / N) )

bn += data [ k ] * math . s i n ( (2 * math . p i ) * ( f l o a t ( n*k ) / N) )

an *= 2.0 / N

bn *= 2.0 / N

i f n == 0 :

pr int ' \ t%s ' % an

continue

An = math . s q r t ( an**2 + bn **2)

pr int '%s \ t%s \ t%s \ t%s ' % (n , an , bn , An)

14Inspireret af Albrechtsens FOURIER.pas, Fourieranalyse s. 83

34/41


Output:

n f an bn An

0 253,58

1 80 -39,17 13,9 41,56

2 160 -29,5 18,51 34,83

3 240 -13,64 7,96 15,79

4 320 -21,51 -20,34 29,6

5 400 4,58 -3,79 5,94

6 480 -17,54 8,19 19,35

7 560 0,24 -3,44 3,45

8 640 1,39 -0,72 1,56

9 720 2,55 1,35 2,89

10 800 -0,35 5,42 5,44

11 880 1,11 -7,69 7,77

12 960 1,75 -0,53 1,82

13 1040 2,35 3,31 4,06

14 1120 0,82 0,3 0,88

15 1200 0,84 -1,46 1,69

16 1280 1,83 -1,06 2,12

17 1360 0,43 -0,02 0,43

18 1440 0,57 -0,7 0,91

19 1520 0,82 0,25 0,86

20 1600 0,67 -0,26 0,72

21 1680 0,81 0,09 0,82

22 1760 1,23 0,57 1,36

23 1840 0,31 -0,02 0,31

24 1920 1,15 -0,13 1,16

25 2000 0,85 -0,02 0,85

n f an bn An

26 2080 0,84 -0,19 0,86

27 2160 0,59 -0,05 0,59

28 2240 1,19 -0,06 1,19

29 2320 1,35 0 1,35

30 2400 1,13 -0,08 1,14

31 2480 0,89 0,02 0,89

32 2560 1,24 -0,2 1,25

33 2640 1,19 -0,42 1,26

34 2720 0,1 -0,17 0,2

35 2800 1,45 0,05 1,45

36 2880 1,3 -0,11 1,31

37 2960 1,06 -0,04 1,07

38 3040 0,86 0,15 0,88

39 3120 1,06 -0,3 1,1

40 3200 1,13 -0,29 1,17

41 3280 1,18 -0,25 1,21

42 3360 1,21 -0,27 1,24

43 3440 1,51 -0,33 1,55

44 3520 1,26 -0,25 1,28

45 3600 1,62 -0,33 1,65

46 3680 1,36 -0,26 1,39

47 3760 1,34 -0,23 1,36

48 3840 1,29 -0,18 1,3

49 3920 1,23 -0,09 1,23

50 4000 1,21 0,01 1,21

35/41


Bilag 5: Data for videoanalyse

n t/s y

0 0,000 128

1 0,001 130

2 0,002 134

3 0,003 144

4 0,004 160

5 0,005 209

6 0,006 252

7 0,007 240

8 0,008 200

9 0,009 151

10 0,010 123

11 0,011 124

12 0,012 128

13 0,013 129

14 0,014 134

15 0,015 142

16 0,016 148

17 0,017 181

18 0,018 234

19 0,019 251

20 0,020 223

21 0,021 174

22 0,022 132

23 0,023 122

24 0,024 124

25 0,025 129

26 0,026 130

27 0,027 137

28 0,028 145

29 0,029 161

n t/s y

30 0,030 208

31 0,031 249

32 0,032 240

33 0,033 200

34 0,034 150

35 0,035 123

36 0,036 123

37 0,037 124

38 0,038 132

39 0,039 134

40 0,040 139

41 0,041 152

42 0,042 184

43 0,043 227

44 0,044 250

45 0,045 226

46 0,046 175

47 0,047 133

48 0,048 122

49 0,049 124

50 0,050 132

51 0,051 131

52 0,052 140

53 0,053 148

54 0,054 161

55 0,055 205

56 0,056 250

57 0,057 237

58 0,058 200

59 0,059 151

n t/s y

59 0,059 151

60 0,060 126

61 0,061 121

62 0,062 130

63 0,063 130

64 0,064 134

65 0,065 143

66 0,066 153

67 0,067 183

68 0,068 229

69 0,069 248

70 0,070 224

71 0,071 177

72 0,072 134

73 0,073 118

74 0,074 125

75 0,075 129

76 0,076 135

77 0,077 137

78 0,078 149

79 0,079 164

80 0,080 206

81 0,081 245

82 0,082 241

83 0,083 203

84 0,084 157

85 0,085 124

86 0,086 121

87 0,087 126

88 0,088 132

n t/s y

90 0,090 146

91 0,091 156

92 0,092 183

93 0,093 226

94 0,094 246

95 0,095 225

96 0,096 177

97 0,097 139

98 0,098 121

99 0,099 125

100 0,100 130

101 0,101 136

102 0,102 144

103 0,103 154

104 0,104 166

105 0,105 201

106 0,106 245

107 0,107 240

108 0,108 204

109 0,109 156

110 0,110 125

111 0,111 121

112 0,112 125

113 0,113 126

114 0,114 127

115 0,115 136

116 0,116 142

117 0,117 147

118 0,118 182

119 0,119 233

n t/s y

120 0,120 249

121 0,121 225

122 0,122 174

123 0,123 133

124 0,124 122

125 0,125 126

126 0,126 128

127 0,127 131

36/41


Bilag 6: Data for videoanalyse

37/41


Bilag 7: Fourieranalyse af video - Datalyse

38/41


Bilag 8: Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj

39/41


Bilag 9: Programkode til fouriersyntese (Python)

Tabeldata taget fra bilag 3. Programmet gemmer en 44100Hz signed 16bit PCM WAV lyd�l

med navnet �syntese.wav�, der er 5 sekunder lang.

import wave

import math

import s t r u c t

an_tabe l = [

253 .58 , −39.17 , −29.50 , −13.64 , −21.51 , 4 . 58 , −17.54 , 0 . 24 , 1 . 39 , 2 . 55 ,

−0.35 , 1 . 11 , 1 . 75 , 2 .35

]

bn_tabel = [

0 , 13 .90 , 18 .51 , 7 . 96 , −20.34 , −3.79 , 8 . 19 , −3.44 , −0.72 , 1 . 35 , 5 . 42 ,

−7.69 , −0.53 , 3 .31

]

T = 1 / 81 .0 # 81 Hz

FRAMERATE = 44100.0 # 44100 Hz

TOTAL_TID = 5 # 5 sekunde r

def f ( x ) :

v = 0 .0

f o r k , an i n enumerate ( an_tabe l ) :

v += an * math . cos ( (2 * math . p i ) / T * k * x )

f o r k , bn i n enumerate ( bn_tabel ) :

v += bn * math . s i n ( (2 * math . p i ) / T * k * x )

re tu rn v

data = [ ]

max_value = None

min_value = None

f o r x i n x range ( i n t (FRAMERATE * TOTAL_TID) ) :

v = f ( x / FRAMERATE)

i f x == 0 :

max_value = min_value = v

e l s e :

max_value = max( v , max_value )

min_value = min ( v , min_value )

data . append ( v )

fp = wave . open ( ' s y n t e s e . wav ' , 'wb ' )

fp . se tpa rams ( ( 1 , 2 , FRAMERATE, l e n ( data ) , 'NONE ' , None ) )

f o r s i n data :

s = ( s − min_value ) / f l o a t ( max_value − min_value )

s = ( s − 0 . 5 ) * 2

fp . w r i t e f r ame s ( s t r u c t . pack ( ' h ' , i n t ( s * 0x7FFF ) ) )

fp . c l o s e ( )

40/41


Bilag 10: Billede af udtræk fra lyddata

41/41

Documents

Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger - MP2 · 2013. 11. 2. · Bilag 3: ourieranalyseF af lyd fra guitar ... En tone er i virkeligheden en lydbølge, der gentager sig. 1 Se