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1
FRACTALES (et ondelettes)
Pierre-Olivier Amblard
Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083
Groupe Non Lineaire
CENTRE NATIONAL
DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
2
Fractales, 2eme
des signaux fractals, 2eme
� des signaux comme points fixes d’operateurs
� extension aux signaux aleatoires, operateurs aleatoires
� mouvements Browniens fractionnaires
3
IFS pour les signaux
idee : H est un espace fonctionnel, metrique et complet.
Forme des operateurs ? IFS de R2 dont l’attracteur est le graphe d’une
fonction.
wnr =
an 0
cn dn
r +
en
fn
x0,y0
xn,yn
xn-1,yn-1 xN,yN
wn
4
Principe
(Tf)(x) =N
∑
i=1
ϕi
(
f(w−1i (x)), w−1
i (x))
1wi(X)(x)
T 1
1W (X)
X
W (X) W (X)2 3
T3
2T
5
N applications contractantes wi de facteurs de contraction ci definis par
ci = sup(x,y)∈[0,1]2
d(wi(x), wi(y))
d(x, y)
et qui realisent une partition de [0, 1], c’est-a-dire
[0, 1] =
N⋃
i=1
wi([0, 1])
µ(wi([0, 1])⋂
wj([0, 1])) = 0, ∀i 6= j
N fonctions ϕi(t, s) uniformement lipschitz en leur premiere variable,
c’est-a-dire |ϕi(t1, s) − ϕi(t2, s)| ≤ Ki|t1 − t2|, ou Ki est une constante
6
positive. On definit alors l’operateur T suivant par
T : Lp([0, 1]) −→ Lp([0, 1])
f 7−→ Tf =N
∑
i=1
Tif
(Tif)(x) = ϕi
(
f(w−1i (x)), w−1
i (x))
1wi(X)(x)
7
Espaces de travail
Lp([0, 1]) =
{
f : [0, 1] −→ R/
∫ 1
0
|f(t)|p dt < +∞
}
La distance adoptee est alors la distance classique
dp(f, g) =
{∫ 1
0
|f(t) − g(t)|p dt
}1/p
8
Premier resultat : T est contractant dans (Lp(X), dp) sous la condition∑
i ciKpi < 1.
Deuxieme resultat : La suite T nf0 converge vers une limite f?, avec une
vitesse exponentielle.
9
Conditions de continuite
Soient α et β les points fixes respectifs de ϕ1 (x, a0) et ϕN (x, aN ).
Alors f? est continue si
ϕi (β, aN ) = ϕi+1 (α, a0)
10
Exemple
Soit a ∈]1, +∞[. On utilise
w1(x) =x
aϕ1(x, y) = s1x + λ1(y)
w2(x) =a − 1
ax +
1
aϕ2(x, y) = s2x + λ2(y)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a=2, s=3/4, λ1(y)=y3,λ
2(y)=1−y2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
a=3, s=3/4, λ1(y)=y3,λ
2(y)=1−y2
11
Rendre aleatoire la construction?
Repose sur l’interpretation Tf? = f? qui doit s’entendre en distribution. . .
On verra cela tout a l’heure, apres d’autres modeles de fonction aleatoires
fractales...
12
Mouvement Brownien (Fractionnaire)
Brown(1850), Einstein, Levy, Wiener (1900→) . . . Mandelbrot et Van Ness
1968
Mouvement Brownien : processus limite de
1. x(0) = 0,
2. x(n.dt) = x((n − 1)dt) + an, ou an prend les valeurs ±η
equiprobablement independamment des intervalles precedents. Pour
les temps negatifs, la marche est definie de meme.
Principales proprietes :
� gaussien, non stationnaire
� autosimilaire : B(at)d= a1/2B(t)
� accroissements independants et stationnaires.
13
Mouvement Brownien : illustrons. . .
0 200 400 600 800 1000−25
−20
−15
−10
−5
0
5une r�alisation du Brownien
0 200 400 600 800 1000
−5
0
5
incr�ment de taille 10
0 200 400 600 800 1000
−5
0
5
incr�ment de taille 20
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−60
−40
−20
0
20
40
60non stationnaire, variance en t
14
Mouvements browniens fractionnaires
le brownien : seul processus gaussien auto-similaire a accroissements
independants stationnaires.
D’autres processus gaussiens auto-similaires ?
Un fBm d’index H ∈]0, 1[ est defini par
BH(0) = 0
BH(t) =1
Γ(H + 1/2)
[∫ 0
−∞
(
|t − τ |H−1/2 − |τ |H−1/2)
dB(τ)
+
∫ t
0
|t − τ |H−1/2dB(τ)
]
Moyenne mobile qui conserve l’autosimilarite et la stationnarite des
increments. . .
15
Traces fractales
Les realisations du mouvement brownien fractionnaire ont
presque-surement une dimension de Hausdorff
D = 2 − H
16
Mouvement brownien fractionnaire : illustrons. . .H=0.2
H=0.4
H=0.5
H=0.6
H=0.8
17
Proprietes
� structure de correlation
� processus gaussien non stationnaire
� autosimilaire d’index H : BH(t)d= λ−HBH(λt)
� continuite et derivabilite des traces, coefficient de Holder
� increments, longue dependance
18
Structure a l’ordre 2
processus evidemment centre, de fonction de correlation :
E[BH(t1)BH(t2)] =VH
2
(
|t1|2H + |t2|
2H − |t1 − t2|2H
)
car la variance des increments Bδ(t) = BH(t + δ) − BH(t)
E[Bδ(t)2] = VH |δ|2H
ou
VH = Var[BH(1)] = σ2Γ(1 − 2H) cos(πH)/(πH)
19
Gaussianite et non stationnarite
calcul de la fonction de correlation =⇒ processus non stationnaire
Comme transformee lineaire d’un processus gaussien =⇒ gaussien :
PBH(t)(x; t) ∼ N(
0, VH |t|2H)
et a deux dates
N
0,VH
2
2|t1|2H |t1|2H + |t2|2H − |t1 − t2|2H
|t1|2H + |t2|
2H − |t1 − t2|2H 2|t2|
2H
20
Autosimilarite
A l’aide des densites de probabilites on montre facilement
BH(t)d= λ−HBH(λt), ∀λ > 0
21
Continuite et derivabilite
Les traces du fBm sont presque surement continu, mais non derivable (dur
a montrer).
Limitons nous a la moyenne quadratique.
limδ→0
E[(BH(t + δ) − BH(t))2]
δ2= ∞
le fBm n’est donc pas derivable en MQ. Mais
limδ→0
E[(BH(t + δ) − BH(t))2]
δ2α=
0 si α < H
∞ si α > H
C si α = H
un signal aleatoire x(t) a un exposant de Holder H < 1 si
supα
{
limδ→0
E[(x(t + δ) − x(t))2]
δ2α< +∞
}
= H
22
Increments, notion de longue dependance
Pour regulariser le fBm, on l’integre selon
BH(t, δ) = δ−1
∫ t+δ
t
BH(s)ds =
∫
BH(s)ϕ(t − s)ds
ou ϕ(t) = δ−11[0,δ](t). Si ϕ est choisie plus douce, on entre dans la theorie
des distributions ! Le processus BH(t, δ) est derivable et l’on obtient
B′
H(t, δ) = δ−1(BH(t + δ) − BH(t))
bruit gaussien fractionnaire. . . de correlation
CH(τ, δ) = E[B′
H(t, δ)B′
H(t + τ, δ)] =VHδ−2
2
(
|τ + δ|2H + |τ − δ|2H − 2|τ |2H)
23
Le comportement de la fonction de correlation du fGn depend de H et du
comportement de τ/δ. En ecrivant
CH(τ, δ) =VHδ2H−2
2
(
|τ
δ+ 1|2H + |
τ
δ+ 1|2H − 2|
τ
δ|2H
)
on montre en effectuant un developpement limite que
1. si |τ |/δ � 1 :
CH(τ, δ) ≈ VHH(2H − 1)|τ |2H−2
2. si |τ |/δ � 1 :
CH(τ, δ) ≈ CH(0, δ) + VHδ−2|τ |2H
24
Comportement asymptotique
Quand |τ | → +∞, |τ |/δ � 1 et
1. H > 1/2 : La correlation est positive, et en +∞, elle decroıt vers zero
comme τ2H−2 et 2H − 2 ∈] − 1, 0[. La decroissance de la fonction de
correlation est donc plus lente que 1/τ de sorte que la correlation n’est
pas sommable!
dependance ou memoire longue
2. H < 1/2 : La correlation est negative pour τ suffisament grand. On
peut alors montrer que la somme de la correlation est nulle, de sorte
que l’on se trouve dans un cas plus classique, bien que la decroissance
a l’infini soit lente.
25
Comportement spectral
heuristique :
γH(ν, δ) =
∫ +∞
|τ |2H−2e−2iπντdτ
=1
|ν|2H−1
∫ +∞
|u|2H−2e−2iπudu
γH(ν, δ) −→C(H)
|ν|2H−1quand ν −→ 0
26
Illustrons. . .
0 1 2 3 4 5 6−10
−9.5
−9
−8.5
−8
−7.5
−7H=0.3
log(ν)
log(
S H)
0 1 2 3 4 5 6−17
−16.5
−16
−15.5
−15
−14.5
−14H=0.7
log(ν)
log(
S H)
27
et pour le fBm?
la notion de spectre n’a pas de sens, mais, approche temps-frequence :
“spectre” de Wigner-Ville
WB(t, ν) =
∫
rB(t −τ
2, t +
τ
2)e−2iπντdτ
= (1 − 21−2H cos(4πνt))1
|2πν|2H+1
1
T
∫ T
0
WB(t, ν)dt =1
|2πν|2H+1si T = k/4ν.
28
Illustrons. . .
0 1 2 3 4 5 6−10
−5
0
5H=0.3
log(ν)
log(
S H)
0 1 2 3 4 5 6−20
−15
−10
−5
0
5
log(ν)
log(
S H)
H=0.7
29
IFS aleatoires
A? = W (A?)
s’interprete comme
1. sequentiellement : on calcule la suite W n(A0)
2. recursivement : W n(A0) = ∪Ni=1Wi(W
n−1(A0))
30
w1,2 : contraction, reflexion, rotation
31
Passage au cas aleatoire pour les fonctions
(T nf0) =∑N
i=1(Ti(Tn−1f0)) , T = {Ti}i=1,...,N aleatoire
Ti est une application Lipschitzienne aleatoire, les wi etant deterministes
elles sont tirees a chaque iteration suivant une meme loi, independamment
les unes des autres :
1. iteration 1 : T 1f0 =∑
i1Ti1f0 ou les Ti1 tires suivant la loi des Ti=1...N
2. iteration 1 : T 2f0 =∑
i1,i2Ti1 ◦ T i1
i2f0 ou les T i1
i2(i1,2 = 1 . . . N) tires
suivant la loi des Ti=1...N , independamment des Ti1 , et T ii2
independant de T ji2
si i 6= j
3. iteration n : T nf0 =∑
i1,i2,...,inTi1 ◦ T i1
i2◦ . . . ◦ T
i1,i2,...,in−1
inf0 ou les
Ti1,i2,...,in−1
intires suivant la loi des Ti=1...N , independamment des
iterations precedentes. De plus, Ti1,i2,...,in−1
inet T
j1,j2,...,jn−1
in
independants si i 6= j.
32
f0 f0
T 111 T 11
2
i3
f0 f0
T 121 T 12
2
i3
T 11 T 1
2
i2
f0 f0
T 211 T 21
2
i3
f0 f0
T 221 T 22
2
i3
T 21 T 2
2
i2
T1 T2
i1
33
Alors
Soient {(ϕi(x)}i=1,...,N ) N fonctions aleatoires lipschitziennes, avec les
constantes (aleatoires) ri; soient N fonctions contractantes wi qui forment
une partition de X = [0, 1], avec les facteurs de contraction pi ; supposons
que λp = E[∑
i pirpi ] < 1 et E[
∑
pi|ϕi(0)|p] < ∞ pour 1 < p < ∞. Alors,
∀f0 ∈ Lp(X)
E1/p[dpp(T
nf0, f?)] ≤λ
n/pp
1 − λ1/pp
E1/p[dpp(f0, T f0)] −→ 0
quand n → ∞.
De plus, en distribution, f? est un point fixe de T .
34
Exemple
Soit a ∈]1, +∞[. Soit ε = ±1 avec probabilite 1/2
w1(x) =x
aϕ1(x, y) = s1x + ελ1(y)
w2(x) =a − 1
ax +
1
aϕ2(x, y) = s2x + ελ2(y)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
1
2
3
a=2, s=3/4, λ1(y)=y,λ
2(y)=1−y2, DETERMINISTE
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2
0
2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2
0
2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2
0
2
3 r�alisations du point fixe al�atoire
35
et les statistiques sont des IFS deterministes. . .
Cumn[f?(x)] = Cumn[ε]+∞∑
ν=1
sn(ν−1)λnqν
(w−1q (x))
36
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2A snapshot of the random fixed point
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−0.6
−0.4
−0.2
0Mean of the random fixed point
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Variance, true, estimated and difference
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−0.6
−0.4
−0.2
0Zoom on the mean : DSI
37