Fractus Fracta Fractal Fractales Laberintos Espejos

7/29/2019 Fractus Fracta Fractal Fractales Laberintos Espejos

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Fractus, Fracta, Fractal, Fractales, de Laberintos y Espejos

Fractus, Fracta, Fractal,

Fractales, de Laberintos yEspejos

F R A C T U S , F R A C T A , F R A C T A L .F R A C T A L E S , D E L A B E R I N T O S Y E S P E J O S

Autor: VICENTE TALANQUER

COMITÉ DE SELECCIÓNEDICIONESAGRADECIMIENTOSI. PARA EMPEZARII. NUEVAS REGLAS, NUEVAS GEOMETRÍASIII. EN EL PAÍS DE LAS MARAVILLASIV. UN MUNDO DE IMÁGENESV. JUEGOS NATURALESVI. HUELLAS EN EL TIEMPOVII. TIEMPO FRACTAL, PARA ACABARVIII. PARA LA COMPUTADORABIBLIOGRAFÍACONTRAPORTADA



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C O M I T É D E S E L E C C I Ó N

Dr. Antonio Alonso

Dr. Jorge Flores

Dr. Leopoldo García-Colín Scherer

Dr. Tomás Garza

Dr. Gonzalo Halffter

Dr. Guillermo Haro †

Dr. Jaime Martuscelli

Dr. Héctor Nava Jaimes

Dr. Manuel Peimbert

Dr. Emilio Rosenblueth †

Dr. Juan José Rivaud

Dr. José Sarukhán

Dr. Guillermo Soberón

Coordinadora fundadora:

Física Alejandra Jaidar †

Coordinadora:

María del Carmen Farías



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E D I C I O N E S

Primera edición, 1996

La Ciencia desde México es proyecto ypropiedad del Fondo de Cultura Económica,al que pertenecen también sus derechos.

Se publica con los auspicios de laSubsecretaría de Educación e InvestigciónCientífica de la SEP y del Consejo de Cienciay Tecnología.

D. R. © 1996, FONDO DE CULTURA ECONÓMICA

Carretera Picacho-Ajusco 227; 14200México, D. F.

ISBN 968-16-4372-0

Impreso en México

A G R A D E C I M I E N T O S

Terminar este libro hubiera sido imposiblesin la estrecha colaboración de GlindaIrazoque y todos los estudiantes queparticiparon en el proyecto "Para Saber,Experimentar y Simular" apoyado por laDGAPA y la Facultad de Química de la UNAM.

Gracias al Instituto Escuela y a susalumnos de bachillerato por prestarse a



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demostrar que con los fractales sí sepuede; a Ana Martínez por la lectura va, lalectura viene, y a Ivonne López Pla por elnegocio mal pagado de las fotografías.

I . P A R A E M P E Z A R

CUANDO enfrentamos un problema porprimera vez, cuando queremos comprendercómo funciona una cosa, normalmentehacemos simplificaciones. Es tan sencillocomo considerar que, si estudiamos elmovimiento de un cuerpo, convienedespreciar la fricción; que si la Tierra sedesplaza alrededor del Sol, ojalá que sutrayectoria forme un círculo. Recordemospor un instante el primer dibujo quehicimos de un atardecer en la playa: el Sol,

redondo como plato; las montañas,triángulos; las gaviotas, dos arcoscirculares.

Esta forma de comenzar a entenderse conel mundo que nos rodea es muy útil tantosi se hace ciencia como en la vidacotidiana; para qué complicarse más lascosas. Sin embargo, no siempre quedaclaro cuál sea el mejor camino paralograrlo. Por ejemplo, empeñarse en

reproducir con todo detalle un paisajeboscoso utilizando tan sólo elementos de lageometría clásica (círculos, triángulos,esferas, etc.) es una tarea ardua y muchasveces improductiva. Cuando se estáinteresado en descubrir cómo surgieron lasformas y estructuras tan diversas ycomplejas que encontramos en lanaturaleza, uno se pregunta si no habráotras maneras de representarlas.



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Las figuras comunes de la geometríaclásica o euclidiana no son las másadecuadas para generar formas complejascomo la hoja de un helecho o el perfil deuna montaña. Su limitación se debe a que

tienden a perder su estructura cuando sonampliadas; un arco de círculo setransforma poco a poco en una recta; lasuperficie de una esfera se hace cada vezmás plana. Esto no es precisamente lo quesucede con las formas naturales; porejemplo, la superficie rugosa de una rocamantiene prácticamente la mismacomplejidad a varios niveles deamplificación con el microscopio. Sianalizamos una parte de la roca, y dentro

de ella otra más pequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerácada vez más lisa.

De la misma manera que con la roca,podríamos fijar la atención en el ramaje deun arbusto: de una rama salen muchasramas y en cada una de ellas se repite elmismo esquema. La ampliación de unaparte del original es muy similar al originalmismo.

Si así son las cosas, ¿por qué no imaginarobjetos geométricos que posean la mismapropiedad pero llevada al extremo?Cuerpos que mantengan prácticamente lamisma estructura en cada parte, así comoen las partes de todas sus partes. En estascondiciones, al ampliarlos quizá no seconserven exactamente iguales, a lo mejorsu ampliación resulta ser una versión

distorsionada del original pero el esquemabásico permanecerá, independientementede cuántas veces se amplíen.

Es claro que tales objetos son máscomplicados que un círculo, un cono o unaesfera; sin embargo, podemos servirnos deellos para simplificar nuestros intentos dereproducir la realidad. Basta hacer a unlado la dificultad de la figura y buscar lafacilidad en el método de trabajo; quizá así descubramos que detrás del nacimiento ola formación de un cuerpo complejo no



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necesariamente se esconde un mecanismomuy elaborado.

A este tipo de formas geométricas que,entre otras propiedades, contienen unaimagen de sí mismas en cada una de suspartes, se le llama ahora fractales, y haceya más de una década que inundaron elmundo científico con un conjunto denuevas reglas para enfrentarse con el retode conocer y describir la naturaleza. Sulenguaje se permeó a camposincreíblemente diversos de las cienciasnaturales y sociales, y ha hecho de lasmatemáticas un instrumento novedosopara las artes.

Las herramientas de la geometría fractalson, hoy día, elementos insustituibles en eltrabajo de muchos físicos, químicos,biólogos, fisiólogos, economistas, etc.,pues les han permitido reformular viejosproblemas en términos novedosos, y tratarproblemas complejos de forma muysimplificada. Las formas fractales, quedurante mucho tiempo se consideraron

meras "monstruosidades" geométricas einaplicables divertimentos matemáticos,subyacen en fenómenos y estructuras tanvariadas como la distribución de lasestrellas del Universo, la ramificaciónalveolar en los pulmones, la frontera difusade una nube, las fluctuaciones de preciosen un mercado, y aun en la frecuencia derepetición de las palabras de este texto.

Hay fractales en los depósitos y agregadoselectroquímicos, y en la trayectoria de laspartículas de polvo suspendidas en el aire.Fractales escondidos en la dinámica decrecimiento poblacional de colonias debacterias, y detrás de todo flujo turbulento.Fractales en todas partes; fractales en unalista interminable de objetos reales que sontestigos mudos de una enfermiza obsesiónde la naturaleza.

Como entidades geométricas, los fractalestienen características peculiares. Imaginar



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curvas de longitud infinita que no seextienden en todo el espacio, o concebir unobjeto con dimensión fraccional es el tipode cosas que debemos estar dispuestos aenfrentar. Si la realidad es así, lo que

debería asustarnos es lo que durante tantotiempo concebimos como normal.

La geometría fractal ha generado su propiolenguaje con representaciones mudas deenorme contenido visual. En realidad, setrata de operaciones geométricas pararotar, trasladar, escalar y deformarcualquier figura a nuestro antojo. ¿Cómofuncionan? ¿Qué nos permiten hacer? ¿Quése necesita para lograrlo?, son algunas delas preguntas que debemos responder:después ya será más fácil servirse de ellascon fines prácticos.

Los fractales han revolucionado latecnología de la generación y reproducciónde imágenes. Hoy día no sólo se les utilizapara almacenar o trasmitir señalesvisuales, sino también para simularpaisajes. Hojas fractales para un árbol

fractal en un bosque, un planeta, unagalaxia digna de la más refinada película deciencia ficción.

La transcripción del dialecto de losfractales, el tránsito de las fórmulas a lasimágenes, requieren muchas veces deayuda computacional. Los procedimientosque hay que seguir son muy sencillos y losresultados obtenidos pagan con creces elesfuerzo que conllevan. Quien se intereseen ello podrá encontrar en el últimocapítulo de este libro, "Para lacomputadora", las instrucciones necesariaspara viajar con mas libertad a través deluniverso fractal; los ejemplos que sepresentan se manejan en lenguaje deprogramación BASIC y se requiere deconocimientos mínimos del mismo paracomprenderlos y manejarlos. Si se valepedir, solicitaríamos que no se renuncie ala posibilidad de tener con ellos unaexperiencia inolvidable.



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Los fractales parecen encontrarse en esafrontera difusa que existe en este mundoentre el caos y el orden; están ahí donde laimaginación apenas llega. Ojalá que el libropueda contagiar el pasmo aún perdurable

en que se sumergió el autor aldescubrirlos. Era como aprender a concebirla realidad de otra forma; se multiplicabanlos espejos, se generaban infinitoslaberintos. Era como la imaginación deBorges y Lewis Carroll; el Aleph y susespejos. Bien dicen, como soñarsoñándose.

I I . N U E V A S R E G L A S ,N U E V A S G E O M E T R Í A S

NUESTRO mundo está constituido pormontañas, costas, mares, nubes, plantas,animales, etc.; sin duda alguna es el reinode la forma. Si quisiéramos describirlo, unvistazo rápido podría desalentar todointento de realizar simplificaciones; másque el reflejo de la perfecta armonía de unmundo sencillo y ordenado, parece ser eldominio de la irregularidad y el caos.

Cuerpos amorfos desde rocas hastaplanetas, flujos turbulentos desde ríos atornados, patrones asimétricos quesobrepasan con mucho el número decuerpos regulares con los que el hombre seha obsesionado desde el inicio de lostiempos. Azar y desorden en un Universoaparentemente estructurado.

Sin embargo, en este mar de caos, una

observación más cuidadosa de lanaturaleza muestra que aun dentro de su



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enorme complejidad existen ciertospatrones que la caracterizan.

Una roca es similar a la montaña de la queforma parte; una rama tiene la mismaestructura que la del tronco del que nace;como si la decisión hubiera sido repetir lamisma forma a diferentes escalas dentrode un mismo objeto, asegurando lapreservación de una copia del original acualquier nivel de amplificación; como si sepensara en generar el máximo nivel dedetalle con el mínimo costo en el diseño.

Un helecho cuerno de ciervo (Figura 1), un

brócoli o una coliflor (Figura 2) sonmuestras vivas de este juego de lanaturaleza en el que el mismo patrón decrecimiento se manifiesta a diferentesescalas, y aunque es verdad que larealidad pone límites a la imaginación,nada nos impide especular sobre laspropiedades de helechos "imaginarios" queaun a nivel microscópico exhibancaracterísticas geométricas semejantes alas de la planta completa. Objetos que en

sus detalles se repiten a sí mismos,siguiendo una idea semejante a laplasmada en las famosas muñecas de losartesanos rusos.



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Figura 1. Fotografía de un helecho cuerno de ciervo. Larepetición del mismo patrón de crecimineto se presentaa varias escalas. (Fotos: Guillermo Sosa.)



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Figura 2. Los diferentes pedazos de la coliflor tienen unaestructura muy similar a la de la cabeza completa. Conel brócoli sucede lo mismo. (Fotos: Guillermo Sosa).

Estructuras como éstas se conocen desdehace mucho tiempo en el campo de lasmatemáticas. Quizá uno de los ejemplosmás representativos sea la curvaconstruida por la matemática sueca Helgevon Koch en 1904 (Peterson, 1988). Paradibujarla basta tomar un triánguloequilátero como figura inicial (Figura 3(a))y añadir en el centro de cada uno de suslados un nuevo triángulo equilátero tresveces más pequeño que el original (Figura3(b)). Repitiendo indefinidamente esteproceso (Figura 3(c) y 3(d)) se obtiene lacurva o copo de nieve de Koch.



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Figura 3. Éstas son las primeras cuatro etapas delproceso de iteración que da lugar a la curva de Koch.

Triángulo sobre triángulo hasta el límite decualquier imaginación, la curva así

construida resulta indibujable, pues laforma del contorno se repite a todos losniveles. Cada punto sobre ella, si loexploráramos con una lupa, nos revelaríasiempre los mismos secretos; triángulosobre triángulo, indefinidamente.

A entidades como ésta se les denominaautosimilares, pues cada una de sus parteses igual al total (su apariencia es la misma

a cualquier escala) y desde el punto devista matemático poseen ciertaspropiedades peculiares que las distinguen(Briggs, 1990).

LA PATOLOGÍA DE LO QUELLAMAREMOS FRACTALES

¿Cuál es la longitud de la curva de Koch?Es claro que la respuesta depende del tipo

de regla que se utilice para medirla. Sinuestro instrumento de medida es pocoflexible y sus divisiones no son muy finas,el valor obtenido será inexacto y sólo unburdo reflejo de la extensión de la curvareal. La regla no puede penetrar yconsiderar todos los detalles de la figura.

Si para delinear mejor las sinuosidades dela ruta decidiéramos recorrer la curva

ajustando un hilo sobre su perímetro, unmomento de reflexión nos permitiría verque la presencia de detalle a toda escalahace imposible nuestra tarea si nocontamos con un filamento inmensamentelargo; sólo así podríamos visitar todos losrecovecos del contorno. La curva esgenerada en un proceso de repetición queañade más y más detalle a cada paso,extendiendo su longitud sin límite alguno.Si la cortamos en un punto y la estiramos,podemos generar con ella una recta delongitud infinita, pensemos que siemprehabrá un pico que desdoblar, y dentro de



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éste otro, y luego otro, y otro, y así hastael cansancio.

El resultado es sorprendente; nosencontramos con un objeto que a pesar deestar definido sobre una región finita delespacio posee una frontera de extensiónilimitada. La curva de Koch envuelve unárea que no es mucho mayor que la quetiene el primer triángulo del que se parte,de hecho, se puede demostrar que es sólo1.6 veces más grande.

El contorno del copo de nieve de Koch estan irregular que entre dos puntos

cualquiera sobre él existe una distanciainfinita y un número incontable de quiebresy zigzags. Esto último hace que seaimposible dibujar una tangente (recta quetoque, sin cortar, a la curva en un solopunto) en algún lugar a lo largo de superímetro. En esta curva, todo punto es unpunto de quiebre al que no se puedeajustar una recta tangente con inclinaciónúnica (Figura 4(a)); esto la distingue de lascurvas suaves con las que estamos más

acostumbrados a tratar, en las que en cadapunto se puede hacer pasar una tangente(Figura 4(b)); sólo para caracterizar estehecho diremos que la curva no esdiferenciable.



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Figura 4. (a) En una curva como ésta no es posible

asociar una tangente única a los puntos de quiebre y elcopo de nieve de Koch los tiene en todas partes. (b) Enuna curva suave, a cada punto le corresponde unatangente con inclinación bien definida.

Las propiedades particulares de"monstruos" matemáticos como éste hacenque sea difícil establecer un mecanismosistemático para compararlos y clasificarlos(Gardner, 1976); si tienen una longitudinfinita, ¿cómo distinguirlos? El primer

intento para lograrlo se basa en las ideasdel matemático alemán Félix Hausdorff,quien en 1919 introdujo el concepto dedimensión que hoy permite caracterizarlos(Gould, 1988).

Establecer la dimensión de un objetoregular "a ojo" parece ser cosa fácil yrequiere tan sólo de un poco de sentidocomún. Así decimos que un trozo de hilo esaproximadamente unidimensional y queuna hoja de papel es un buen ejemplo deuna forma en dos dimensiones. Sinembargo, si se nos pide definir unmecanismo práctico para verificarlo nosencontraremos en aprietos. Además, ¿es lomismo una hoja lisa que una arrugada?; siel hilo es de longitud infinita, ¿nopodríamos cubrir con él todo el plano? Enfin, es mejor intentar generar un métodoque nos permita obtener respuestas sindejar lugar a las dudas.



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Tomemos primero el hilo, el cualrepresentaremos como una recta delongitud L= 1 m , por ejemplo, ydividámoslo en tres pedazos iguales de l =1/3 m de extensión. En este caso, el

número de particiones que se generan (N)se obtiene determinando cuántas vecescabe una parte l en el total L: N = L/l =(L/l )1=3:

Si repetimos este proceso sobre la hoja depapel a la que consideraremos como uncuadrado de lado L= 1 m, al queseccionamos en cuadrados más pequeñosde lado l = l/2m y área l ²=1/4 m², elnúmero de particiones resulta ahoraN=L²/l ² = (L/l )²=4:

La extensión directa de los resultadosanteriores al caso tridimensional nosllevaría a suponer que aquí debe cumplirse

que N= (L/l )³ (parece que basta elevar L/l a una potencia igual a la dimensión de lafigura), lo que se verifica con el cubo quedibujamos a continuación:



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Al dividir cada lado a la mitad, l = L/2, segeneran N=L³/l ³=8 pequeños cubos devolumen l ³.

Si generalizamos las relaciones obtenidaspodemos decir que en un proceso dedivisión como el descrito, el número desecciones generadas está dado porN=(L/l)df , donde df es lo quedenominaremos la dimensión de Hausdorff del objeto; hay que notar que la mismarelación debe cumplirse tanto si decidimosseccionar el objeto total como cualquierade sus partes.

Encontramos así una estrategia paracuantificar la dimensión de cualquier formageométrica, pues si N= (L/l)df , despejando:

df = log(N)/log(L/l)

Por ejemplo, al tomar un triánguloequilátero de lado L=1 y dividirlo ensecciones de la mitad de extensión (l =1/2;L/l =2):

se obtienen cuatro particiones idénticas(N=4); de donde se deduce que como df

=log(4)/log(2)=2, tratamos con un objetobidimensional.

Apliquemos entonces nuestro resultado a lacurva de Koch. En este caso, y a todaescala sobre la figura, una recta delongitud L es dividida en secciones de un

tercio de extensión, l =L/3, y en el proceso



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se generan cuatro particiones de tamañosimilar (N=4, pues generamos un pico):

Así tenemos df = log(4)/log(3)= 1.2619,¡un objeto con dimensión fraccional! Elresultado es desconcertante peroindiscutible, y es una evidencia más de la

singularidad de la forma geométrica queestudiamos. La dimensión de Hausdorff definida de esta manera es una medida dela complejidad y rugosidad del cuerpo, ynos da una idea de su extensión real en elespacio. El copo de nieve de Koch cubremás espacio que una recta (df =1), peromucho menos que un plano (df =2).

Otros "monstruos" como la curva de Kochexhiben dimensiones fraccionales distintas

y cada uno de ellos tiene una dimensión deHausdorff que lo caracteriza. Tal es el caso,por ejemplo, de las figuras de Sierpinski(Figura 5).



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Figura 5. (a) Triángulo y (b) carpeta de Sierpinski.

El triángulo de Sierpinski es el resultado deseccionar a toda escala un triánguloequilátero en cuatro particiones similarescuyos lados son tan sólo la mitad de los dela figura original (L/l =2). Una vez hechoesto se extrae la sección central, de formaque queden las tres partes de los vértices(N=3), y sobre éstas se actúa de la mismamanera:

Este proceso se repite en cada una de las

partes restantes y así se procede ad infinitum; el resultado es similar al que



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aparece en la figura 5(a), aunque no haypluma que permita dibujar la estructuracon todo detalle. La dimensión deHausdorff de la figura se obtieneconsiderando que cada vez que la longitud

del triángulo se reduce a la mitad,aparecen tres triángulos más, por tanto, ¡df =log(3) /log(2) =1.584!

De forma análoga puede construirse lacarpeta de la figura 5(b) si la iteración(repetición de la misma operación otransformación a toda escala) consiste endividir a todos los niveles un cuadrado ensecciones de un noveno de área (L/l =3),eliminando la participación del centro:

Finalmente se tiene una forma geométricacuya dimensión también es fraccional: df =log(8) /log (3) =1.893.

Comparando los resultados obtenidos paralas tres figuras estudiadas se hace evidenteque la dimensión de Hausdorff cuantificahasta qué punto el objeto cubre el espacioen el que se encuentra inscrito: mientras lacurva de Koch malcubre el plano df =1.263,

la carpeta de Sierpinski, df =1.893, lo logracasi completamente. También hay formasde quedarse a la mitad del camino,¿podríamos imaginar la estructura final quese obtendría de seguir reproduciendo atoda escala la greca de la figura siguiente?¿Cuál sería la dimensión del objetogenerado?



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¿Y qué decir de la figura 6? ¿Podríamosidentificar la operación que fue repetidavarias veces sobre el cuadrado que sirvióde base?

Figura 6. ¿Qué dimensión tiene este fractal? ¿Cómo laobtenemos?

Si este esquema, de repetir el mismopatrón en todas partes dentro de unafigura, se extiende a objetos definidos en elespacio de tres dimensiones, es claro queel número de "monstruos" que se puedenconstruir resulta ilimitado. Ahora bien,¿tiene todo esto algo que ver con larealidad del mundo que nos rodea?

FRACTALES EN TODAS PARTES



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En 1975 Benoit Mandelbrot denominófractates (del latín fractus, irregular) alconjunto de formas que, generadasnormalmente por un proceso de repetición,se caracterizan por poseer detalle a toda

escala, por tener longitud infinita, por noser diferenciables y por exhibir dimensiónfraccional. Adicionalmente, construyó conellas un conjunto de nuevas reglas paraexplorar la geometría de la naturaleza, ylas reconoció como herramientaspotencialmente útiles para analizar un grannúmero de fenómenos físicos (Peitgen,1986).

El interés de Mandelbrot en los fractalesnació de su certeza de que "las nubes noson esferas, las montañas no son conos,las costas no son círculos, como la cortezade un árbol no es plana ni un rayo viaja enlínea recta... La naturaleza no solamenteexhibe un grado mayor sino también unnivel diferente de complejidad"(Mandelbrot, 1984).

Hoy día se han identificado innumerables

manifestaciones naturales de estructurasfractales. Se sabe que su geometría estápresente en depósitos y agregadoscoloidales (como los generados por el polvoy el esmog), poliméricos y electroquímicos(Sander, 1987); en aparatos y sistemas delos seres vivos, como los vasos capilares,tubos intestinales, biliares y bronquiales, yen las redes neuronales (Goldberger,1990). De manera similar, hay evidenciade que la localización geográfica de

epicentros en temblores exhibe un patrónfractal (Bak, 1991), y en la actualidad ladimensión fraccional (dimensión fractal) dela superficie irregular de una falla en unmaterial ya se utiliza como medidaindirecta de su resistencia y dureza(Peterson, 1988).

Los fractales mostraron su utilidad porprimera vez cuando se generó con ellos unmodelo simple para la aprición de ruido enciertas líneas de transmisión en sistemasde comunicación digital (Peterson, 1988);



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esto es, la presencia de brevesinterrupciones eléctricas que confunden ydificultan la comunicación (del tipo de lasque estamos acostumbrados a oír cuandohablamos por teléfono o escuchamos el

radio). El análisis de las señales demostróque las interrupciones aparecían como porpaquetes, pero dentro de estos paquetesse distinguía una estructura intermitente, ydentro de ésta... ya podemos imaginar lahistoria. Un registro gráfico de lasinterrupciones dio lugar a un patrón fractalsimilar al que se obtiene a través delsiguiente procedimiento. Tomamos unarecta de longitud L y la seccionamos entres partes idénticas (l =L/3), extrayendo

después la sección central (nos quedaN=2):

Cuando el procedimiento se repite a todaescala;

se obtiene el fractal conocido comoconjunto de Cantor (Peitgen, 1992) enhonor a su creador, el matemático alemánGeorg Cantor; famoso por su desarrollo dela teoría de conjuntos. Este "monstruo" fuepresentado al público por primera vez en1883, y cien años después decidió aparecerpor todas partes.

El conjunto o polvo de Cantor tiene unadimensión de Hausdorff menor que la



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unidad, pues cada vez que la longitud deun segmento se reduce a su tercera parte,sólo aparecen dos trozos más, df =log(N)/log(L/l )= log(2)/log(3)= 0.6309.En otras palabras, ¡es más que una

colección de puntos, pero menos que unalínea! Es uno de los fractales más famosos,a pesar de no ser tan atractivovisualmente. Su estructura está detrás devarias cosas en el mundo real y así se hautilizado como modelo para representardesde la distribución nada homogénea delos anillos de Saturno (Davies, 1987) y lasfluctuaciones en el precio del algodón apartir del siglo pasado, hasta lasvariaciones que el nivel de las aguas del río

Nilo ha experimentado desde hace 2 000años. Más aún, cuando la idea que subyaceen la construcción de este conjunto seextiende a tres dimensiones, el patrón quese genera coincide sorprendentemente conla distribución de estrellas y galaxias en eluniverso. Esto es más que suficiente comopara quedarse anonadado.

En general, parece ser que dondequieraque un proceso irregular y caótico ha dado

forma al ambiente (erosión acuosa yatmosférica, vientos, fallas geológicas) sehan generado geometrías fractales (costas,ríos, montañas, nubes, rocas) que por suredundancia y falta de regularidad poseenpropiedades estructurales particulares.

Así, para los geógrafos modernos,preguntas como "¿qué tan larga es la costade Inglaterra?" Comienzan a carecer de

sentido; pues ¿qué tan larga? depende dela escala y el detalle con el que se mida. Sise le cuantifica a partir de la informacióncontenida en un globo terráqueo, un mapade Europa, o una carta de navegación de laGran Bretaña, la respuesta será distinta.¿Cuál será la longitud para un viajero quedecida recorrer todos los cabos y bahías?Para efectos prácticos, ilimitada. Elproblema es muy similar al queencontramos al intentar determinar la

longitud de la curva de Koch; de hecho,fractales como éste resultan modelos másadecuados para representar el perfil de la



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costa que el trazo de una líneazigzagueante. En particular se ha calculadoque la dimensión de Hausdorff de lascostas terrestres se encuentra entre ¡1.15y 1.35!; de nuevo entre la línea y el plano,

pero ni una ni otro.

Es importante señalar que los fractales queexisten en la naturaleza tienden a serirregulares y son autosimilares sólo ensentido estadístico; esto es, si tomamos unconjunto suficientemente grande deobjetos de la misma clase y amplificamosuna porción de alguno de ellos, es posibleque no sea idéntico al original, peroseguramente sí será similar a algún otromiembro de la colección. Su dimensión esfraccional pero se obtiene realizandopromedios sobre sus valores en muchasregiones y para muchos cuerpos del mismotipo. Cuando se amplifica una de las partesde un fractal natural, la propiedad degenerar la misma figura, o alguna similar,tiene límites inferiores y superiores. Porejemplo, al observar el perfil de unamontaña, el tamaño de los objetos másgrandes está determinado por la fuerza de

gravedad, mientras que la menor escala deobservación a la cual todavía se detectanlos mismos detalles depende de la acciónde la erosión y, por supuesto, del tamañode los átomos. Los fractales son, en esesentido, sólo una buena aproximación de laestructura de las formas naturales.

El mundo de los fractales está en plenodesarrollo en la actualidad. Así como la

naturaleza parece haberlos elegido paragenerar formas complejas y únicas a travésde un mecanismo de repetición muysimple, los seres humanos se sirven deellos para almacenar y reproducir imágenes(Dewdney, 1990; Jürgens, 1990), hacermodelos teóricos y experimentales decuerpos irregulares (Peterson, 1988),analizar las características de pulsoscardiacos y nerviosos (Goldberger; 1990),desenmarañar la estructura de procesos

dinámicos caóticos (Ford, 1989; Rietman,1989), etcétera.



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Para construir un fractal pueden seguirseprocedimientos matemáticos, geométricos,físicos y químicos, y vale la pena dedicarun poco de tiempo a analizar los principiosen que se basa cada uno de ellos. El

interés de generar objetos fractales, comoya hemos visto, es muy diverso:representar imágenes, hacer modelos,analizar patrones, identificar estructuras.Pero este trabajo no es sólo un asunto decuriosidad científica o utilidad prácticainmediata; en él se esconde mucho deplacer y de sorpresa, dos elementos que,como se verá, son inevitables.

I I I . E N E L P A Í S D E L A SM A R A V I L L A S

CUANDO Benoit Mandelbrot publicó en 1975

su primer ensayo sobre fractales no seatrevió realmente a dar una definiciónmatemática formal que caracterizara aestos objetos; decidió simplemente utilizarel término para denominar las formas quecompartían la característica común de ser ala vez rugosas y autosimilares. Mandelbrotbuscaba otorgarles una categoríaintermedia entre los cuerpos euclidianosregulares y lisos que nos son comunes(círculo, triángulo, esfera, etcétera), y lasfiguras que hoy día se denominangeométricamente caóticas y cuyaapariencia es rugosa, pero sin exhibirningún patrón geométrico regular.

Hacia 1977, el matemático se vio forzado adar una definición formal que permitieradistinguir con más claridad una entidadfractal. Para hacerlo recurrió al antiguoconcepto de dimensión de Hausdorff y enrespuesta al pragmatismo definió, en

general, todos los fractales como elconjunto de formas con dimensión



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fraccional. Mandelbrot era perfectamenteconsciente de que esta definición, si bienestablecía una frontera bien delimitada conla geometría euclidiana de los conos y lasesferas (en la que los cuerpos tienen una

dimensión de Hausdorff entera), dejabauna puerta abierta hacia la región del caosgeométrico. Sin embargo, a la espera demejores definiciones, inició el trabajo quecon hechos y con el lenguaje de lasimágenes le mostraría al mundo elverdadero significado del término fractal. Sus resultados abrieron la puerta de unmundo impresionante donde habita elverdadero sentido de la palabra obsesión,donde las matemáticas se confunden con el

arte, y la ciencia ha encontrado nuevasrespuestas. Veamos en qué consistió su juego.

DE BÚSQUEDAS E ITERACIONES

A finales de los años setenta BenoitMandelbrot incursionó en un área de lasmatemáticas que lo llevó a construiralgunos de los objetos geométricos más

complejos y hermosos que se conocen. Loincreíble es que el procedimiento queutilizó para hacerlo es muy sencillo: sólohay que repetir y repetir una operación unsinnúmero de veces.

La idea se basa en tomar un número sobreel que se hace una operación, repetir lomismo con el resultado y continuarhaciéndolo indefinidamente en lossiguientes resultados obtenidos.Formalmente se dice que se hace unaiteración y se representa de manerageneral como:

xn+1=f(xn).

Para comprenderlo mejor, imaginemos quela operación por repetir consiste en elevarun número al cuadrado. Entonces la

iteración se simbolizaría así:



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xn+1=x2n

Al aplicarla sobre un valor inicialcualquiera, por ejemplo, xo=2, el primer

cálculo nos daría x1=(2)

2

=4; despuésx2=(4)2 =16, y x3=(16)2=256, y así seguimos. La secuencia de números que segenera:

2⇒ 4⇒ 16⇒ 256⇒ 65536⇒ ...⇒ ∞

se denomina la órbita de la iteración, y elpunto al que se tiende a llegar (infinito, ∞,en este caso) se le llama su atractor. Si elvalor inicial elegido es distinto, x=0.5, porejemplo, la órbita será:

0.5⇒ 0.25⇒ 0.0625⇒ 0.00390625⇒ ...⇒ 0,

y el atractor es el número 0.

Si x0=1, las cosas son un poco distintas,

pues el resultado siempre es 1, y no haymanera de salir de ahí; la órbita estáconstituida por un solo punto al que se lellama punto fijo. En la iteración queescogimos, los números x=0 y x⇒ ∞ también son puntos fijos, pues al elevarlosal cuadrado no producen ningún resultadodistinto.

Al trabajar con una iteración resulta

interesante estudiar las características delas órbitas, atractores y puntos fijos que seobtienen después de hacer las operacionessobre un gran conjunto de puntos. Aquí esdonde está la segunda parte del problema,pues una vez elegida la operación, hay quedecidir con qué tipo de números trabajar:¿los enteros positivos?, ¿todos los númerosde la recta numérica (a los que llamamosnúmeros reales)? Las posibilidades sonmuchas, pero Mandelbrot seleccionó a losdenominados números complejos.



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ALGO SOBRE NÚMEROS COMPLEJOS

Los números reales constituyen unamanera de etiquetar cada punto situadosobre la recta numérica de forma única einequívoca; el 1 está antes que el 2, y el1.5 se localiza entre ellos; a cada númerole corresponde un punto y cada punto tienesu etiqueta numérica. Hay reglas parasumarlos y multiplicarlos que todosconocemos bien: 2 + 2 = 4, 3 x 4 = 12,etcétera.

Los números complejos funcionan demanera similar, ya que también permiten

caracterizar puntos, pero éstos no estánsobre una línea, sino sobre un plano al quellamamos plano complejo.

Todo número complejo, al que siempresimbolizaremos con la letra z, consta dedos partes que por razones históricas sedenominan real e imaginaria. Hay variasformas de representarlos y una de ellas escomo si se tratara de coordenadas. Porejemplo:

z=(3, -2)

es un número complejo en el que la partereal (que siempre se escribe primero) vale3, y la parte imaginaria vale -2. De maneramás general diríamos que los númeroscomplejos se representan de la manerasiguiente:

z= (a, b),

donde a y b son la parte real e imaginaria,respectivamente, y pueden ser númerosenteros o con decimales, positivos onegativos.

Para localizarlos en el plano se construye

un sistema coordenado en el que el eje "x"se utiliza para señalar el valor de la parte



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real (eje real), y el eje "y" para la parteimaginaria (eje imaginario). Cuando sehace esto es posible construir unarepresentación gráfica muy sencilla como lade la figura 7, donde como ilustración se

localizan los números complejos: z= (4,0), z=(0, 2) y z=(-3, -3).

Figura 7. Representación gráfica del plano complejo. Ladistancia R a la que está cada número complejo del

origen es una medida de su tamaño.

Definir un nuevo conjunto de números esentretenido, pero poco útil si no loacompañamos de reglas que permitantrabajar con ellos, por lo menos sumarlos ymultiplicarlos. Para los números complejosesto ya está establecido y resultarelativamente fácil.

Si queremos hacer la suma de dosnúmeros complejos, z1= (a, b) y z2= (c,d), basta sumar por separado sus partesreales e imaginarias:

z1 + z2 = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).

Por ejemplo, si z1 = (2, 1) y z2 = (4,3), su suma nos da:

z1 + z2=(2,1) + (4,3) =(2+4,1+3) = (6,4),



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en donde el resultado z = (6, 4) tambiénes un número complejo.

Para la multiplicación la regla es un poco

más complicada, pero basta seguir lareceta:

z1 + z2= (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + cb),

donde para obtener la parte real se toma elproducto de los términos reales menos elproducto de los imaginarios, y para la parteimaginaria se suma el producto de lostérminos cruzados (real por imaginario).

Así, si z1 = (2, 1), y z2 = (4, 3), almultiplicarlos se obtiene el númerocomplejo:

z1 + z2 = (2, 1) (4, 3) = ((2 x 4) - (1 x 3), (2 x3) + (1 x (5, 10).

Ahora tenemos ya todo listo: un conjuntode números y reglas para sumarlos ymultiplicarlos, ¿por qué no usarlosentonces para jugar con sus iteraciones?Hacerlo constituye una de las posibles víaspara generar fractales, y quizá sea la rutaque lleve a resultados más sorprendentes.Veamos cómo lograrlo.

PRIMERA SORPRESA, LOS CONJUNTOSDE JULIA

El trabajo pionero en el juego de haceriteraciones con números complejos fuedesarrollado por dos matemáticosfranceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, aprincipios de nuestro siglo. Sus resultadosfueron la base sobre la que se construyó larevolución fractal de los ochenta. Enparticular, Benoit Mandelbrot recuperó suanálisis sobre el comportamiento de los

números complejos cuando la iteraciónconsiste en elevarlos al cuadrado y sumar



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una constante al resultado.Simbólicamente diríamos:

Zn + 1 = Z2n + c,

donde c es la constante y también es unnúmero complejo. Esta iteración dicesimplemente: toma un número y elévalo alcuadrado (multiplícalo por sí mismo),súmale la constante c que elegiste, y repitelo mismo una y otra vez sobre tusresultados. Las órbitas que ahora segeneran son secuencias de númeroscomplejos y sus características dependenfundamentalmente de los valores del punto

inicial zo del que se parte y la constante cseleccionada.

Por ejemplo, si el punto inicial es zo = (1,0) y la constante c = (0, 1), al hacer laiteración tenemos:

Z1 = z02 + c = (1,0) (1,0) + (0,1) = (1,1)

Z2 = z12 + c = (1,1) (1,1) + (0,1) = (0,3)

Z3 = z22 + c = (0,3) (0,3) + (0,1) = (-9,1)Z4 = z3

2 + c = (-9,1) (-9,1) + (0,1) = (80,-17)

y así podemos seguir hasta detectar lanaturaleza del atractor. En este caso,cuando se representa la órbita sobre elplano complejo se ve que la iteración nosaleja cada vez más del origen (0,0) sinacercarse a ningún número complejodeterminado. Decimos entonces que el

atractor es el infinito y lo representamosdiciendo que z =>∞.

Desde 1906, Fatou había demostrado quepara cada valor de c, la aplicación de estaiteración sobre todos los puntos del planocomplejo genera órbitas que en su mayoríaterminan en z =>∞, salvo para unconjunto bien definido de puntos. En estoscasos, la iteración detecta puntos fijos;

órbitas periódicas donde se repite la mismasecuencia de números después de cierto



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número de iteraciones, o puntos queescapan hacia atractores finitos. A este tipode puntos cuya iteración NO escapa ainfinito, podríamos llamarlos prisioneros, mientras los otros son escapistas.

Todos los puntos prisioneros pertenecen alo que llamaremos el cuerpo de unconjunto de Julia. El conjunto, en sí, sóloestá constituido por la curva que separa alos prisioneros de los escapistas; los puntosdel conjunto de Julia también sonprisioneros.

Para localizar los puntos que conforman el

conjunto de Julia para una c dada, hay querecorrer el plano complejo buscando lafrontera donde se pasa de tener órbitasque se disparan a infinito, a la regióndonde esto ya no sucede. El recorrido seconvierte en un viaje inolvidable por el paísde las maravillas.

En la actualidad, el viaje puede hacersefácilmente si se tiene una computadora

personal (Dewdney, 1987), y las figurasque se obtienen se ven extraordinariascuando se reproducen en un monitor decolor (ver las imágenes a color). Para losinteresados, en el capítulo "Para lacomputadora" se explica la manera dehacer el recorrido, y en las figuras 8 y 9 seilustra el tipo de resultados que segeneran.



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Figura 8. Conjuntos de Julia asociados a la iteración zn+1 = z2

n+c. a) c = (0.12, 0.57); b) c= (-0.12, 0.66); c) c=

(0.12, 0.74); d) c= (-0.25, 0.74); e) c= (-0.194,0.6557); f) c= (0.75, 0.11).



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Figura 9. Conjuntos de Julia asociados a la iteración zn+1 = z2

n+c. (a) c= (0.745, 0.113); (b) c= (1.25, 0); (c) c=(-0.1565, 1.0322); (d) c= (0.32 0.043); (e) detalle de la

figura 8(c) en una amplificación del orden de 1/0.0001;(f) detalle de la figura 8 (c) en una amplificación delorden de 1/0.25.

Una observación cuidadosa del borde deestas figuras, donde los prisioneros estánde negro y los escapistas de blanco, revelaun hecho fundamental: la frontera oconjunto de Julia es un fractal y la curvatotal puede ser regenerada por cualquiertrozo que de ella se elija. Esto es, el detalle

del contorno se conserva a cualquier escalay de nuevo nos encontramos con unaestructura autosimilar. Muestra de esto sonlas ampliaciones de los detallesarbitrariamente seleccionados de lasfiguras 8(c) y 8(e) que se presentan en lasfiguras 9(e) y 9(f), respectivamente. Comopuede verse, la estructura de la frontera serepite a cualquier nivel de ampliación, ytoda la información sobre la geometría delconjunto está codificada en el trazo de un

solo punto sobre el papel: en la figura 9(f)hay un factor de aumento del orden de 4 y



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en la 9(e), de ¡10000! Viajar a lo largo delcontorno de cualquiera de estas formas esperderse en el laberinto de un mundoinfinitamente repetido, que de nuevo tienelongitud infinita y dimensión fraccional.

La increíble belleza de la representacióngráfica de los conjuntos de Julia fue puestaen evidencia hace no más de 15 años porJ. H. Hubbard, quien para hacerlo se sirvióde los grandes adelantos computacionalesde nuestra época. El trabajo de Hubbard yMandelbrot mostró la enorme riqueza decomportamientos que pueden generarse, yla marcada susceptibilidad de la estructuradel conjunto ante ligeras variaciones delparámetro complejo c (Figuras 8(f) y9(a)).

Ante un mundo de posibilidades como éste,lo primero que se nos puede ocurrir esintentar hacer una clasificación. Pero,¿cómo organizar formas que tienen tantodetalle?, en qué propiedad común podemosbasarnos? Además, hay que considerar quecada valor de c da lugar a un conjunto deJulia distinto, ¿cómo clasificar entonces un

número infinito de formas? La respuesta aestas preguntas fue dada en 1980 porBenoit Mandelbrot y las conclusiones queobtuvo son otra muestra clara de suenorme intuición visual.

EL FAMOSO CONJUNTO DEMANDELBROT

Del análisis de las figuras 8 y 9 se hace

evidente que existen dos clases principalesde conjuntos de Julia: aquellos para loscuales el cuerpo está formado por una solapieza (el área del cuerpo se dice que esconexa, figuras 8(a)-(c) y 9(a)-(d), y otrosen los que el cuerpo está desmembrado eninfinitas colecciones de puntos más omenos aisladas (el área del cuerpo esdisconexa, figuras 8(d)-(f). A estos últimostambién se les llama conjuntos de Cantor opolvos de Fatou.



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Esta distinción geométrica da pie a laposibilidad de separar los valores delparámetro complejo c en dos conjuntosbien diferenciados: los que en la iteraciónZn+1 = Z2

n+ c dan lugar a figuras conexas,

y disconexas.

En principio, el trabajo de construirlospuede parecer una locura, pues senecesitaría analizar las posibilidades de unnúmero infinito de sistemas. Sin embargo,para hacerlo, Mandelbrot aprovechó unteorema probado de manera independientepor Julia y Fatou alrededor de 1919.

ATENCIÓN: Es posible demostrar que todoslos valores de c que dan lugar a conjuntosde Julia conexos (áreas de una sola pieza)comparten la propiedad común de producirórbitas que NO se disparan a infinito cuandose aplica la iteración sobre el punto z0 (0,0); esto es, el punto zo = (0,0) esprisionero. Si z0 = (0, 0) se comporta comoescapista, la forma producida esnecesariamente disconexa.

Las implicaciones del teorema sonsorprendentes; basta aplicar la iteración enun solo punto, el z0 = (0, 0), paradeterminar la naturaleza del conjunto deJulia que se obtendrá cuando la iteraciónse aplique a todo el plano complejo.

Benoit Mandelbrot fue el primero enaprovechar esta propiedad de la iteracióncuadrática y se dedicó a localizar los

valores de la constante c que dan lugar aconjuntos de Julia conexos. Al hacerlo seencontró con que esta colección de valoresde c, que en su honor tiene el nombre deconjunto de Mandelbrot, también tenía unaestructura sorprendente cuando serepresentaba en el plano complejo. Denuevo, en el capítulo "Para lacomputadora" se describe cómo generarpor medio de la computadora larepresentación gráfica del conjunto de

Mandelbrot y sus detalles, que se ilustran



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en las figuras 10 y 11.

Figura 10. a) Conjunto de Mandelbrot. Se indican sobrela figura las regiones cuyo detalle se amplifica en lasfiguras 11 (a) y 11(b). (b) Contorno del conjunto deMandelbrot. Se señala la localización de los valores delparámetro c que dan lugar a los conjuntos de Julia delas figuras 8 y 9. Los puntos 8(f) y 9(a) se encuentranen el denominado Valle de los hipocampos.



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Figura 11. Detalles de la frontera del conjunto deMandelbrot. Las figuras 11(d) y 11(f) sonamplificaciones de regiones contenidas en el cuadro queles antecede.

Hay dos maneras de comenzar a describirla estructura geométrica del conjunto deMandelbrot (Figura 10); una informal, quese refiere a él como la representación deun muñeco de nieve recostado ycompletamente infestado de granos; laotra, más purista, que considera que elcuerpo principal puede pensarse como unaforma cardioide (de corazón) tangente a undisco circular de menor extensión, de loscuales brotan una infinidad de estructurasque se ajustan a la misma descripción. Esdifícil decir que se trata de una figura cuya

frontera es endiabladamente complicada,pues a toda escala aparecen formasgeométricas semejantes a la original,conectadas a través de filamentos quesiguen patrones muy poco regulares. Y así,aunque a simple vista el borde parezcaestar salpicado de puntos aislados, puededemostrarse que el conjunto total esconexo (de una sola pieza), ya que siemprepuede hallarse, a cierta escala, unfilamento que cubra la ruta entre dos

puntos aparentemente separados.



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El conjunto de Mandelbrot parece ser unfractal en el sentido que hasta ahorahemos manejado. La ampliación de undetalle de su frontera (Figura 11(a)) dalugar a una forma muy similar a la del

conjunto completo, y tal parece que estose repetirá a cualquier escala. Sinembargo, las cosas no sucedenexactamente de esta manera. los retoñosde nuestro hombre de nieve resultan sermas peludos y están más despeinados quesu padre, y en plena lucha generacional lascosas se agravan con cada nuevodescendiente (Figura 11(b)). Comoveremos más adelante, a entidades comoésta se les sigue clasificando como

fractales, pero se les agrupa dentro de unaclase particular denominada fractales nolineales; en ellos se pierde la autosimilituden sentido estricto, pues cada cambio deescala introduce rasgos peculiares.

Quizá el propósito principal de construir elconjunto de Mandelbrot reside endesentrañar de qué manera se relacionanla posición de un valor del parámetro cdentro de él y la estructura del conjunto de

Julia que se generará cuando se le utilicepara aplicar la misma iteración a todo elplano complejo. Hoy se sabe que elconjunto de Mandelbrot es mucho más queuna tabla de clasificación para distinguirentre formas conexas y disconexas. Enrealidad, contiene toda la informaciónsobre las propiedades geométricas de cadaconjunto de Julia, pero codificada como enun jéroglífico. En sí mismo es el recipientede una colección completa de versiones

reducidas y deformadas de cada uno deellos.

Así, por ejemplo, todo valor de c que caedentro del cuerpo del principal en elconjunto de Mandelbrot da lugar a unaforma de Julia con apariencia de círculoarrugado (Figura 8(a)). Si el valor elegidose encuentra dentro de uno de susprimeros retoños, los círculos se

multiplican (Figura 8(c)), y si se ledesplaza hacia uno de los filamentos quesurgen de él, las estructuras se adelgazan



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hasta generar una forma dendrítica (Figura9(c)).

Un reto a nuestra capacidad de asombroconsiste en hacer una visita a la región delconjunto de Mandelbrot conocida como elvalle de los hipocampos (Figura 10(b)). Losvalores de c comprendidos en esta regióndan lugar a conjuntos de Julia como los dela figura 9(a). Estructuras como éstainundan el valle con formas geométricasque simulan caballos marinos enlazados demúltiples maneras (Figuras 11(c) ® 11(f));un verdadero paraíso de Neptuno a escalasdiversas.

El contorno del conjunto de Mandelbrot essin duda alguna su secreto másapasionante. Es ahí donde se define todo elfuturo del reino habitado por los conjuntosde Julia. Si tomáramos una ruta que nosllevara desde el interior del conjunto deMandelbrot y, cruzando a través de lafrontera, nos depositara en su parteexterna, seríamos testigos del equivalentea una verdadera "transición de fases"

geométrica. Un análisis de los conjuntos deJulia visitados nos mostraría cómo éstoscomienzan a desgajarse., desmoronarse, yfinalmente son víctimas de una explosiónviolenta que los desmenuza en mil pedazosal atravesar la frontera. Como ejemplotenemos las figuras de la 8(a) a la 8(d) quecorresponden a la ruta trazada sobre elconjunto de Mandelbrot de la figura 10(b),y que nos lleva del interior al exterior delconjunto.

Los detalles de la estructura del contornodel conjunto de Mandelbrot se hacen másevidentes cuando se utilizan colores paradistinguir las características de la órbita deiteración que le corresponde a cada valorde la constante c. Al hacerlo se producenimágenes de enorme belleza (véanse lasláminas) dignas de ser consideradas comoverdaderas obras de arte, las cosas hanllegado tan lejos que hay quien consideraque tienen poderes relajantes sobre aquelque las observa con detenimiento.



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La creación de un universo extraordinariopoblado de hipocampos, dragones,hombres de nieve, flores y caracoles deextrema complejidad de diseño, no es unaparticularidad única de la iteración

cuadrática que hemos estudiado. Existennumerosos casos de relacionesmatemáticas que son capaces de construirsu propio mundo fractal (Peitgen, 1986). Elanálisis y clasificación del zoológico de susformas ha mostrado a los seres humanosuna nueva forma de generar, almacenar ytranscribir información. El juego coniteraciones de números complejos es unmecanismo sencillo para generarestructuras altamente organizadas,

utilizando una sola clave. Ilustra conmucha claridad cómo la presencia de unaestructura compleja no necesariamenteimplica un mecanismo de formaciónigualmente complicado. Esto hace pensarque, para nuestra sorpresa, la gransimilitud con el comportamiento de lanaturaleza, en el que la lectura de un solocódigo puebla nuestro mundo de formasdiversas, puede ser más que meracoincidencia.

I V . U N M U N D O D EI M Á G E N E S

LOS fractales son, sin duda alguna, muchomás que interesantes curiosidadesmatemáticas con las cuales alimentarnuestra fantasía. En ellos reside la esenciadel vastísimo lenguaje de una nuevageometría que permite describir objetos yformaciones a través de expresionesextraordinariamente compactas.

Sin embargo, a diferencia de la geometríaeuclidiana, en donde los elementos básicos



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pueden generarse de manera directa(líneas, círculos, planos, etcétera), en lageometría fractal las formas primarias sonconjuntos de procedimientos matemáticos(algoritmos) que se encargan de rotar,

trasladar, reescalar o deformar figuras deuna manera particular.

En este sentido, podemos decir que lageometría fractal está constituida por unainfinidad de elementos, cada uno de loscuales representa una transformacióngeométrica completa y única. Como lossímbolos gráficos del chino y el japonés,cada algoritmo fractal funciona como unideograma que transmite un mensajeglobal característico.

Los códigos matemáticos que subyacen entoda estructura fractal son parte de unconcepto que los matemáticos denominantransformaciones generales de afinidad enel plano. Éstas no son más que reglas paraescalar, rotar, desplazar y, en ocasionesdistorsionar un objeto geométricamente. Loque se puede hacer con ellas es

impresionante: la hoja de un helecho, laplanta completa, el bosque dondecolocarla, las montañas que lo rodean, omejor, todo el planeta. La creación yrecreación de paisajes, la codificación,reproducción y transmisión de imágenes,todo está al alcance de la mano del queesté dispuesto a intentarlo.

TRANSFORMANDO

La naturaleza de cualquier transformaciónde afinidad permite clasificar a ésta dentrode dos grandes grupos: lineales y nolineales. La diferencia fundamental entreellas reside en que las primeras respetanlas líneas rectas que constituyen la formageométrica sobre la que se aplican,mientras que las segundas no, y por tantoactúan sobre ellas alterando algo más quesu posición, orientación y tamaño.



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En ambos lenguajes, lineal o no lineal, elnúmero de algoritmos básicos que puedeconstruirse es infinito, pero mientras lasreglas del primer dialecto son mucho mássencillas, la riqueza de posibilidades del

segundo lo hacen especialmente atractivo.

Para ayudar a que todo esto cobre sentido,veamos, poco a poco, cómo generar laestructura global de una transformación deafinida lineal (Peitgen, 1992).

Tomemos como figura geométrica inicial uncuadrado de lado L y situémoslo en unsistema de referencia arbitrario, de forma

tal que su vértice inferior izquierdo coincidacon el origen (Figura 12(a)). Cada punto enla frontera o dentro del cuadrado puede así caracterizarse por un par de coordenadas(x, y), donde "x" y "y" representannúmeros que siempre son mayores que 0pero menores que L.



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Figura 12. Se ilustra el resultado de aplicar diversas

transformaciones sobre la figura de base representadaen (a). (b) Transformación de similitud con un factor deescala r = 0.5. c) Transformación de afinidad con r= 0.8y s= 0.5. d) Desplazamiento xn = x + h, yn = y + k.

¿Cómo construir una transformacióngeométrica que aplicada sobre cada puntode este cuadrado dé lugar a una formasimilar; pero de la mitad de tamaño que laoriginal?

El problema se resuelve fácilmente siconsideramos que las coordenadas de todopunto en la nueva figura, que llamaremos(xn, yn) para distinguirlas, puedengenerarse a partir de las de la primera (x,y) siguiendo una regla que reduzca todo ala mitad, tanto en la dirección x como en lay:

Xn = 0.5*xXy = 0.5*y.

Para ilustrarlo basta, por ejemplo, aplicarla receta anterior a las coordenadas de loscuatro vértices del cuadrado inicial:

(0,0)---> (0.5*0, 0.5*0)---> (0, 0)(0, L)---> (0.5*0, 0.5*L)---> (0, L/2)(L, 0)---> (0.5*L, 0.5*0)---> (L/2, 0)

(L, L)---> (0.5*L, 0.5*L)---> (L/2, L/2)



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con lo que se obtiene el pequeño cuadradode la figura 12(b). En un caso como éste sedice que la transformación ha introducidoun factor de escala r=0.5.

Debe ser claro, entonces, que paraaumentar o disminuir el tamaño de unafigura por un factor de escala r arbitrario,se requiere simplemente aplicar latransformación

Xn = r*xYn = r*y

a cada uno de los puntos que laconstituyen. La forma así generada essimilar a la original, pero más grande queella si r es mayor que 1 o más chica si r esmenor que 1. Como la figura no ha sidodeformada se dice que se ha hecho unatransformación de similitud.

Si para ampliar el número de posibilidadesse utilizan parámetros de escala distintos

para cada coordenada, "x" y "y", demanera que:

Xn = r*x.Yn = s*y,

el resultado de la transformacióngeométrica ya no es un cuadrado regular.Por ejemplo, si r=0.8 y s=0.5, lo queobtendremos es un rectángulo más largoque ancho, como el de la figura 12(c); sinembargo, se vale decir que sigue siendouna forma geométrica "afín" a la inicial(Figura 12(a)). Esta transformación decarácter más general se conoce comotransformación de afinidad.

La estructura de reglas geométricas comoéstas se enriquece si además de reescalarla figura permiten trasladarla a otro sitio o

rotarla. Analicemos cómo lograrlo.



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Para desplazar nuestro cuadrado de lado La cualquier región del espacio esimportante notar que todo cambio en laposición de una figura puededescomponerse en desplazamientos

simples paralelos a cada uno de los ejesdel sistema de referencia elegido: primerola movemos horizontalmente y luegoverticalmente, o al revés. Sin embargo,para asegurar que la forma mantiene suestructura durante el proceso, es necesarioque todos los puntos en ella se trasladende la misma manera. Por ejemplo, siqueremos mover la figura 12(a) unaunidad en la dirección x y otra unidad en ladirección y, deberemos sumar un uno a

todas las coordenadas del cuadrado:

Xn = x+1Yn = y+l.

Si generalizamos esto para cualquiertraslación que mueva la figura h unidadesen x, y k unidades en y, tendremos:

Xn = x+hYn = y+k,

como se representa en la figura 12(d).

Ahora, siendo más ambiciosos, ¿qué hacerpara trasladar y reescalar simultáneamentela forma geométrica? Pues como cada cosase puede hacer de manera independiente,

basta ponerlo todo junto:

Xn = r*x + h Yn = s*y + k

y aplicar la misma transformación a todoslos puntos de la figura que nos interese.Que quede claro, lo que multiplica,reescala; lo que se suma, traslada.



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Para completar estas ideas debemos ahoraconsiderar los efectos de una rotación, conlo que tendremos la posibilidad de hacerprácticamente lo que queramos. En estepunto solicitaremos del lector un acto de

fe, que más que ahorrarnos lágrimas nosevitará presentar una explicacióndemasiado larga.

Cuando se desea rotar una figura cuyospuntos se designan con las coordenadas (x,y), basta aplicar sobre todos ellos lasiguiente transformación para obtener lascoordenadas (Xn, Yn) de la nueva figura:

Xn = x*cos (A) - y*sen(B)Yn = x*sen(A) + y*cos(B).

Aquí hay que calcular el coseno y el senode A y B, que son los ángulos en que serotan los lados horizontales y verticales dela figura original, medidos con respecto alos ejes "x" y "y", respectivamente. Porejemplo, si rotamos el cuadrado de lafigura 12(a) un ángulo A, pero B = 0, sólo

rotarán los lados horizontales (Figura13(a)); si por el contrario, A = 0 pero Btiene cierto valor, rotarán los ladosverticales (Figura 13(b)). La figura 13(c)muestra el resultado de combinar ambosefectos. Es importante señalar que A y Bson positivos si se miden, a partir de su ejede referencia, en sentido contrario a lasmanecillas del reloj; en el otro caso seconsideran negativos.



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Figura 13. (a) Efecto de la rotación de un ángulo A delos lados horizontales de la figura de base que serepresenta con líneas discontinuas. (b) Efecto de larotación de un ángulo B de los lados verticales. c)Rotación general obtenida por la combinación de las dosanteriores. d) Efecto de la aplicación de latransformación de afinidad lineal descrita en el texto.

Con estos antecedentes podemos ya

presentar la estructura global de unatransformación de afinidad lineal que seacapaz de modificar el tamaño, posición yorientación espacial de una formageométrica cualquiera. En este camino,

si r y s son parámetros de escala para lascoordenadas "x" y "y" respectivamente, h y k son una medida de los desplazamientoshonzontal y vertical y A y B son los ángulosque determinan la naturaleza de larotación, tenemos:



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Xn = r* x* cos (A) - s* y* sen(B) + hYn = r* x* sen (A) + s* y* cos(B) + k,

la cara completa de la transformación que

buscábamos (Peterson, 1988).

Para ilustrar los efectos generales queresultan de realizar una transformación deafinidad lineal como ésta sobre una figuracualquiera, consideremos el caso descritoen la siguiente tabla:

r s h k A B3/4 1/2 1/2 1/4 -30º -45º

y apliquémosla a nuestro ya famosocuadrado de longitud L.

En estas circunstancias, los vérticesoriginales de la figura se desplazan a lasposiciones

(0,0)--->(1/2, 1/4)(L,0)---> (0.65*L + 1/2, -0.375*L + 1/4)(0,L)---> (0.35*L + 1/2, 0.35*L + 1/4)(L,L)---> (1.0*L + 1/2, -0.02*L + 1/4)

y la forma resultante, reducida, rotada ytrasladada (pero aún con fronteras rectas),toma la estructura que se indica en lafigura 13(d). Así vemos que una definiciónde tablas de transformación como la

anterior nos permite producirprácticamente la deformación que sea,siempre y cuando nos conformemos conmantener las líneas rectas, "rectas". Lomás importante es que el nuevo dialecto delos fractales lineales se basacompletamente en ellas.

Todo fractal lineal puede construirseaplicando reiteradamente un conjunto

determinado de transformaciones deafinidad lineales sobre cierta región del



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espacio. En ese sentido, todo el detalle deuna forma fractal puede quedaralmacenado en un conjunto de tablas detransformación como la descrita. Estamanera de concebir las cosas es útil en la

medida que tengamos acceso a un métodoque permita extraer la imagen codificadaen ellas. Como la técnica existe, nuestroproblema está solucionado.

PING-PONG FRACTAL

En la década pasada, M. Barnsley y suscolaboradores desarrollaron una estrategiade trabajo que permite reproducir

prácticamente cualquier fractal. La ideabásica es desde el principio artística yentretenida: hágase primero un collage para después jugar sobre él un ping- pongfractal.

En el método de Barnsley el trabajo seinicia buscando un conjunto detransformaciones de afinidad, que alaplicarse sobre una figura de base

arbitraria (como nuestro cuadrado de ladoL), dé lugar a nuevas formas que,acomodadas o superpuestas como en uncollage, reproduzcan algo que se parezca ala imagen del fractal que se quiereconstruir.

Por ejemplo, en la reproducción deltriángulo de Sierpinski de la figura 14(c)bastaría tomar como base inicial untriángulo y generar tres transformaciones

de afinidad que además de reducirlo a lamitad, trasladen los resultados hacia cadauno de sus vértices (Figura 14(a)). Lastransformaciones correspondientes puedencondensarse en una tabla como lasiguiente:

r s h k A B 1 0.5 0.5 0 0 0 02 0.5 0.5 0.5 0 0 03 0.5 0.5 0.25 0.5 0 0



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Cuando los resultados de las trestransformaciones se dibujan juntos (sehace el collage), se ve que representan elesqueleto del triángulo de Sierpinski(Figura 14(b)).

Figura 14 (a) Representación de las trestransformaciones de afinidad necesarias para generar eltriángulo de Sierpinski. b) Collage obtenido de lasuperposición de las formas generadas al aplicar lastransformaciones anteriores. c) Resultado de jugarping-pong fractal sobre el collage de la figura (b).

Una vez que se ha identificado el númeromínimo de transformaciones que permiten



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generar el esqueleto del fractal, puedeiniciarse el juego con un ping-pong muyespecial.

Si analizamos la estructura geométrica deltriángulo de Sierpinski podemos darnoscuenta de que un mecanismo simple parareconstruirlo podría basarse en laaplicación sucesiva de las anteriorestransformaciones de afinidad sobre cadauna de las tres regiones triangularesgeneradas. De esta forma, repitiendo elproceso a toda escala produciríamos laimagen del fractal (Figura 14(c)). Sinembargo, poner en práctica esteprocedimiento puede ser muy engorroso,pues es necesario transformar una grancantidad de puntos en un orden biendeterminado.

Barnsley y su grupo lograron demostrarque el mismo objetivo podría alcanzarsesiguiendo un camino distinto, el cual, almenos desde el punto de vista de laoperación por computadora, resulta menoscostoso.

Imaginemos una mesa de ping-pong paratres jugadores formada por canchastriangulares, dispuestas tal y como seindica en la figura 14(b). Para iniciar el

juego, el juez del partido lanza una pelotaentintada sobre alguna de las canchas ygrita un número arbitrariamente elegidoentre 1 y 3 (correspondiente a algunatransformación de afinidad). En estascircunstancias, el jugador que recibe lapelota deberá dejarla botar en su cancha,localizar su posición dentro de ella (lapelota dejará una marca en el punto (x,y)), y lanzarla al punto que corresponda,(Xn, Yn), después de aplicar latransformación de afinidad voceada por el

juez. Si el jugador acierta el tiro (y siemprelo hace), el árbitro deberá elegir otronúmero al azar (entre 1 y 3) para quequien tenga la pelota en su cancha,registre de nuevo la posición del bote yconteste buscando atinar a la coordenadaresultante de aplicar la transformación que



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ahora le corresponde. Continuando de estaforma con el juego y confiando en lahabilidad de los deportistas, podemospreguntarnos después de un tiemporazonable, qué figura se ha formado sobre

la cancha después de tanto rebote. Larespuesta quizá parezca sorprendente,pero el campo de juego completoreproducirá la imagen de nuestro fractaltriangular (Figura 14(c)).

La propuesta de principio es entoncesgenial. Basta, para construir el fractal,elegir de modo arbitrario un punto inicial ya partir de él aplicar reiteradamente lastransformaciones de afinidad en un ordenseleccionado al azar. Si se dibuja sobre unplano la órbita de la iteración así generada,la figura obtenida reproducirá la estructuradel fractal cuyo esqueleto esté descrito porel conjunto de transformaciones deafinidad con el que se preparó el collage original.

Bajo este principio podríamospreguntarnos, ¿cómo reproducir la carpeta

de Sierpinski de la figura 5(b)? En estecaso, la forma de partida puede ser uncuadrado o rectángulo al que hay queaplicar ocho transformaciones de afinidad.Cada una de ellas se encargará de producirun nuevo cuadrado o rectángulo tres vecesmás pequeño que el original, trasladado amanera de generar un collage como elsiguiente:



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Ahora tan sólo nos queda jugar con él alping-pong fractal.

En estos dos ejemplos todas lastransformaciones de afinidad utilizadasgeneran formas básicas de área similar.Cuando esto no sucede es necesariomodificar un poco las reglas del juego, conel fin de asegurar que cada cancha serávisitada un número de veces proporcional asu extensión en el espacio.

Para ilustrarlo apliquemos las siguientescuatro transformaciones de afinidad sobreuna figura inicial de forma rectangular:

r s h k A B 1 0.0 0.16 0.0 0.0 0.0 0.02 0.3 0.37 0.0 0.44 135 -40

3 0.3 0.34 0.0 1.6 45 45

4 0.85 0.85 0.0 1.6 -1.5 -1.5

La superposición de los resultados da lugar

a un esqueleto como el de la figura 15 (a),donde el polígono resultante de aplicar laúltima transformación de afinidad es el demayor área.

Al jugar ping-pong fractal sobre estecollage, asegurando que la probabilidad devisita de cada región espacial (p1) seaproporcional a su área:

P1=0.005 p2=0.0975 p3=0.0975p4=0.8

el resultado es una increíble hoja dehelecho con estructura fractal (Figura15(b)), en la que cualquiera de sus parteses similar al total. ¡Una imagen tancompleja contenida en sólo cuatroformaciones de afinidad! Una imagen que,para los interesados, puede reconstruirse

con increíble facilidad (véase el capítulo"Para la computadora").



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Figura 15. (a) Collage que sirve de base para laconstrucción de la hoja de helecho fractal del inciso b).

Utilizar en forma práctica el método deBarnsley para la construcción de fractalesrequiere en gran medida de una interacciónestrecha entre el observador y la

computadora. Sólo así puede encontrarseel conjunto mínimo de transformaciones deafinidad que permitirá reproducir la imagendeseada. Procediendo de esta maneraexiste la posibilidad de desarrollar nuestroespíritu creativo y diseñar desde pequeñosarbustos (Figura 16) hasta los máscomplejos paisajes fractales. ¿Por qué noprobar y construir su catálogo personal deimágenes fractales? Todo se vale.



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Figura 16. a) Superposición de las formas obtenidas alaplicar las siguientes transformaciones de afinidad

sobre una figura rectangular:

r s h k A B 1 0.47 0.12 0.77 0.77 80 -502 0.49 0.66 0.42 0.75 60.5 47.83 0.53 0.55 0.9 1.3 -20.6 -48.94 0.53 0.76 0.6 0.1 -10 -2

b) Fractal generado al jugar ping-pong sobre elcollage anterior (p1 =0.05, p2= 0.3, p3 = 0.3,

p4=0.35).

Y TODAVÍA HAY MÁS

La riqueza de los diseños finales que seobtienen puede incrementarsenotablemente si se incopora el uso de

tranformaciones de afinidad no lineales.Como ya lo mencionamos, en este caso la



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aplicación de un algoritmo deforma laslíneas rectas de la figura original, dandolugar a nuevas estructuras cuya aparienciatiene poco que ver cxon la de aquella.

Para poner un ejemplo, baste decir que sonsuficientes dos transformaciones deafinidad no lineales (Jürgens, 1990) pararecuperar las intrincadas formas de losconjuntos de Julia presentados en elcapítulo anterior. Jugando ping-pongfractal con ellas se obtienen resultadoscomo los que se muestran en la figura 17.

Figura 17. Formas de Julia obtenidas jugando ping-pongfractal con dos transformaciones de afinidad no lineales.a) c=(-0.12, 0.74); b) c=(0.1565, 0.322); c) c=(1.25,0); d) c=(0.32, 0.043).

¿Qué más se puede pedir? Con un poco depaciencia y cierta dosis de creatividadpodemos generar prácticamente lo que

queramos, con un nivel de detalle que enmuchas ocasiones resulta inimaginable.

Todo esto, por supuesto, sólo es unamuestra de la enorme potencialidadpráctica de la geometría de los fractales.En la actualidad su uso ha permitidoreducir significativamente la cantidad dedatos necesarios para transmitir almacenaro simular casi cualquier imagen. Hoy día,

de manera sistemática, la escena deinterés (fotografía o video) es trasladada a



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la computadora, donde se analiza ysecciona en trozos de diversos tamaños,asegurando que el color o tono dentro deellos se mantenga relativamente constante.Elegidas así las piezas del collage, se inicia

la búsqueda sobre una enorme variedad detransformaciones de afinidad (existencatálogos para formas estándar) delconjunto de algoritmos necesarios parareproducirlas. La imagen queda entoncescodificada como un sistema de funcionesque se almacena o transmite con facilidad.Posteriormente, si se quiere recrear laescena original, sólo es necesario seguir lasreglas del ping-pong fractal; y aún más, lareconstrucción puede hacerse de manera

secuencial con el fin de generar imágenesanimadas en las que es posible incluirhasta treinta figuras distintas en cadasegundo.

La técnica de Barnsley (o másformalmente, el método de sistemas defunciones iteradas) no es el único caminoque se conoce para obtener fractales quesimulan la estructura de objetos naturales.En particular, las características de

fractales clasificados como aleatorios hansido fuertemente explotadas en esteterreno.

Un fractal se considera aleatorio cuando ensu construcción intervienen elementoscondicionados por el azar. Por ejemplo,imaginemos que queremos reproducir elperfil de una montaña partiendo de unafigura regular como un triángulo (Figura

18(a)). Iniciemos el trabajo localizando lospuntos medios de cada lado, ydesplacémoslos verticalmente a unadistancia di determinada por algo queproduzca números aleatorios. Si unimoscon líneas los puntos desplazados (Figura18(b)), la forma resultante estaráconstituida por cuatro triángulos máspequeños, que a diferencia de losobtenidos por el método de Barnsley parala carpeta de Sierpinski, no son

necesariamente iguales. Si sobre cada unade estas nuevas partes se repite el mismoprocedimiento (Figura 18(c)), y se continúa



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haciéndolo sobre las figuras resultantes(Figura 18(d)) hasta que sea imposibledistinguir los lados de cada triángulo, elresultado será una estructura poligonalmuy rugosa y compleja que con un manejo

adecuado de tintes, luces y sombras puedeconvertirse en una excelente reproducciónde una montaña.

Figura 18. Construcción gráfica de una fractal aleatorio.La estructura final simula una montaña.

Aplicando el mismo procedimiento sobrefiguras poligonales diferentes a nuestrotriángulo, pueden generarse paisajesmontañosos que exhiben tanto detallecomo el de una verdadera fotografía.

En la recreación de un paisaje fractal lamayoría del tiempo y esfuerzo que seemplea no se gasta en el trabajomatemático de construir las diferentesestructuras geométricas que formarán lacomposición, sino en los detalles artísticosde selección de colores, texturas ysombras. Los investigadores y los artistastrabajan juntos estudiando lascaracterísticas del reflejo de la luz sobrediversas superficies, o los mecanismospara hacer resaltar una estructuraparticular. El resultado es una obra de arteen todos los sentidos.



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Otros métodos de simulación de imágenesdesarrollados por B. Mandelbrot y suscolaboradores recurren al uso de lospatrones generados en caminatasaleatorias o señales de ruido de

radiofrecuencia, para generar los contornosde costas, nubes o macizos rocosos. Eneste caso, aunque las escenas obtenidaspueden ser muy realistas, existen seriasdesventajas asociadas al hecho de que latécnica no es sistemática y requiere de unlargo periodo de prueba y error.

Las diversas rutas que pueden seguirsepara crear entidades fractales semejantesa objetos reales, junto con el métododescrito para "comprimir" escenas yautomatizar la reproducción de paisajes,abren las puertas a un mundo de increíblesposibilidades. La transmisión de fotografíase incluso de películas por vía telefónica, así como la recreación de universosimaginarios que sirvan de escenografía alcine de ciencia ficción de los próximos añosson sólo dos ejemplos de los muchosproyectos que están en desarrollo.

Los fractales que se obtienen por métodosmatemáticos o geométricos como los hastaahora descritos son en ocasionesdemasiado regulares y perfectos como paraservir de modelo para patrones naturales.Esto ha llevado a tratar de incluir en losalgoritmos matemáticos las característicasconocidas sobre los procesos decrecimiento y formación de objetos reales.De esta manera, y poco a poco, los

fractales aparecen como herramientasfundamentales en el trabajo de no pocosfísicos, químicos y biólogos.

El conocimiento de las reglas básicas de lageometría de los fractales estárevolucionando nuestras concepcionessobre las formas y su imagen, su gestacióny crecimiento, dotándonos de nuevasarmas para descifrar algunas de las clavesque rigen los astutos juegos de lanaturaleza.



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V . J U E G O S N A T U R A L E S

HEMOS insistido hasta el cansancio que losfractales están por todas partes y que lascaracterísticas de su estructura los hacenparticularmente adecuados para describirla geometría de una infinidad de formasnaturales. Ahora surgen las preguntas

inevitables: ¿Por qué? ¿Qué tipo demecanismo o proceso de crecimiento losproduce? ¿Qué se esconde detrás de laformación de un fractal en el mundo real?

Para contestar estas preguntas lo primeroque hay que hacer es tratar de ser lo máshonestos posible. Por principio de cuentas,si bien es cierto que los fractales son enmuchos casos buenas aproximaciones de la

realidad, la verdad es que no hayestructura real que soporte ser ampliadarepetidamente un número infinito de vecesy siga mostrando la misma cara; para todohay límites. A nivel microscópico llegará elmomento en que la figura se desdibuje ynos encontremos con los átomos y lasmoléculas; a nivel macroscópico siemprehay una frontera en la que el objeto realcambia de un tipo de patrón a otro.

Por otra parte, como las estructurasfractales han aparecido en áreas tandistintas como la distribución de galaxiasen el Universo y la propagación deenfermedades infecciosas, es todavía muypronto para decir si se trata de problemasdiferentes que requieren de una explicaciónparticular, o si hay un principio generalúnico que permite explicarlo todo.

Han surgido así diversos modelos queconsideran las características físicas,



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químicas o biológicas del sistema deinterés y proponen mecanismos decrecimiento que dan lugar a estructurasfractales muy semejantes al objeto real.Las distintas propuestas contienen

ingredientes comunes que hacen pensar enla presencia de principios universales, perono todo es claro y pocos se atreven aaventurarse.

Hay maneras muy sencillas de generarestructuras fractales en un laboratorio, oaun en la casa, si se tiene el equipoadecuado. El análisis de su crecimientopermite obtener pistas sobre losmecanismos que se han encargado deinundar la naturaleza con formas fractales.Algunos de los ejemplos más ilustrativoslos encontramos al realizar experimentosen electroquímica o sobre flujo de fluidos;detengámonos un poco en ellos paracomprenderlos.

AGREGADOS FRACTALES

Cuando uno se pregunta cómo se formauna roca, un diamante o un cristal decuarzo, las respuestas que se obtienen sonmuy distintas. Un cristal perfecto, porejemplo, se forma normalmente encondiciones de equilibrio donde laspartículas que lo constituyen se agreganmuy lentamente y pueden cambiar deposición un sinnúmero de veces. Sinembargo, en la mayoría de los casos nohay tiempo para tantos lujos; la formaciónde objetos naturales, desde montañashasta seres vivos, se da en condicionesmuy alejadas de la situación de equilibrio ya través de procesos irreversibles (Sander,1987).

Tal es el caso de una categoría especial deobjetos fractales que durante los últimosaños ha merecido la atención de muchoscientíficos: los denominados agregadosfractales (Matsushita, 1984). Se trata de

sistemas en los que una gran cantidad departículas se agrupan para generar un



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cuerpo con estructura irregular y son muyfamiliares a los químicos, pues se lesobtiene en procesos de sedimentación,electrodeposición, floculación y agregaciónde coloides, aerosoles, polvos, etcétera. En

particular, la formación de agregadosfractales metálicos que se depositanelectroquímicamente sobre superficies quetienen geometrías diversas, ha impulsadoun nuevo campo de investigación que rindefrutos importantes en el área de tecnologíade pilas y baterías.

Para entender mejor qué es y cómo seforma un agregado fractal porelectrodeposición electroquímica hastahacer el siguiente experimento (Talanquer,1991):

El material necesario consiste en dospedazos de vidrio de ventana en forma dedisco circular de 15 cm de diámetro, dostrozos de alambre de cobre de 1 mm dediámetro transversal, una pila de 1.5 ó 5V,masking-tape, una jeringa y disoluciones desulfato de cinc (ZnS04) a diversasconcentraciones (por ejemplo, 1 g de ZnS04

en 100 ml de agua u 8 de la sal en 100 mlde agua).Con el alambre de cobre se construyen loselectrodos: uno de ellos, con forma decírculo de 10 cm de diámetro, se colocaentre las placas de vidrio, centrándolo conrespecto a una pequeña perforación hechaen la placa superior; para el otro se corta untrozo recto de alambre que se introduce enel agujero central (Figura 19).

Para mantener los discos de vidrio juntosbasta colocar en el borde unas tiras demasking-tape, y la disolución de sulfato decinc se inyecta con una jeringa a través dela perforación, asegurando que cubrauniformemente la región entre el orificio y elelectrodo circular.El experimento comienza cuando el polonegativo de la pila se conecta al electrodocentral (cátodo) y el positivo al electrodocircular (ánodo).



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Figura 19. Esquema de la celda electroquímica para el

crecimiento de un agregado fractal.

La diferencia de potencial aplicada entre loselectrodos hace que los iones cinc migrenhacia el electrodo central y se depositensobre él. Al cabo de unos cuantos minutosse ve la formación de un agregado metálicoque comienza a ramificarse en todasdirecciones y que alcanza un diámetroconsiderable ( 6 cm) después de unahora de crecimiento.

La estructura final del agregado dependetanto de la concentración de la sal comodel voltaje aplicado (Argould, 1988;Kahanda, 1989). Se han identificado así almenos cuatro tipos de patrones distintos(Grier; 1986; Sawada, 1986): fractales yhomogéneos (Figuras 20 (a) y (b)),dendríticos y filiformes (Figuras 20(c) y(d)). Los primeros dos son agregados

desordenados que crecen lentamente y,como veremos, tienen dimensiónfraccional; los segundos tienen estructuracristalina y se forman con más rapidez. Dehecho, es posible construir una especie dediagrama de fases donde se localiza laconcentración y el voltaje, en la queaparece cada una de estas estructuras(Figura 21). El experimento que hemospropuesto asegura la formación defractales si se trabaja con una pila de 1.5 V

y permite obtener también dendritas si la



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pila es de 5 V (para la disolución menosconcentrada).

Figura 20. Depósitos de cinc en una celda circular. (a)fractal; (b) homogéneo; (c) dendrítico; (d) filiforme

(Fotos: Guillermo Sosa).

Figura 21. Diagrama de fase para los depósitos de cinc.Las estructuras tipo fractal crecen a valores bajos de

voltaje (V). La concentración (c) está medida en molesde sulfato de cinc por litro de solución (1 mol de ZnSO 4 tiene una masa de 161.4 g)



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El que se forme una estructura fractal o undepósito cristalino está condicionado pormuchos factores: las características deltransporte de iones en disolución, losmecanismos de transferencia de carga en

los electrodos y las propiedadesparticulares del sólido formado (Voss,1985); el papel que desempeña cada unode ellos no es del todo claro. El tipo de salcon el que se trabaja es también de granimportancia: las sales de cobre y cadmiosólo permiten obtener estructuras fractalesy homogéneas, mientras que las sales deplata dan lugar a hermosas formas detodos los tipos (véanse las imágenes acolor).

Cosas tan simples como la geometría de lacelda de electrodeposición pueden influirsobre los diferentes regímenes decrecimiento; no es lo mismo trabajar conuna celda circular que con una rectangular.Cuando el experimento que antesdescribimos se repite en una celdarectangular se genera un pequeño mundoartificial poblado de arbustos, hongos,flores y árboles enanos (Figura 22). De

nuevo, ¿cómo explicamos todo esto?



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Figura 22. Depósitos de cinc en una celda rectangular.(a) fractal; (b) homogéneo, (c) dendrítico (Fotos:

Guillermo Sosa).

AL AZAR Y DE UNO EN UNO

Alrededor de 1981, L. M. Sander y T. A.Witten (Witten, 1981, 1983) propusieronun mecanismo para explicar el crecimientode agregados fractales y lo denominaronagregación limitada por difusión (o DLA, por sus siglas en inglés). La idea centralconsiste en reconocer que la difusión departículas en el medio es el factor másimportante que condiciona y limita laformación del agregado.

En este modelo, el proceso de crecimientose inicia suponiendo la presencia de unapartícula o un conjunto de ellas (cúmulo)que actúa como semilla para el desarrolloposterior. Adicionalmente, se considera queuna gran cantidad de partículas sedifunden hacia el cúmulo siguiendo unacaminata al azar; una ruta en la que eltamaño y la dirección de los pasos se elige

aleatoriamente. Cuando una partícula entraen contacto con el cúmulo se adhiere a élde manera permanente, y así el agregadocrece a través de un mecanismoirreversible.

Las características de este modelo, en elque se repite siempre el mismo esquema:partículas que se difunden siguiendo unaruta aleatoria y se pegan al agregado alentrar en contacto con él, hacen que sea

fácil utilizar a la computadora para simularel crecimiento (véase el capítulo "Para la



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computadora"). El resultado que se obtieneaun después de depositar pocas partículas( 900) es similar al que se muestra en lafigura 23, donde vemos el caso de unacelda circular (A) y una rectangular (B). El

parecido con las formas fractalesproducidas a través del experimento deelectrodeposición electroquímica (Figuras20 (a) y 22(a)) es sorprendente, y se hacemás obvio cuando se comparan con lasimulación de un depósito que contiene unnúmero mucho mayor de partículas(véanse las láminas ).

Figura 23. La simulación computacional por el método

DLA genera estructuras fractales como éstas. (a) celdacircular; (b) celda rectangular.



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La estructura final está repleta de salientesy entrantes que son resultado de lapresencia de lo que se denominainestabilidades ante crecimiento. Cuandoen el cúmulo se forma una protuberancia

por azar, ésta crece más rápidamente queel resto del sistema pues la probabilidad deque las partículas se encuentren con ella esmayor; las partículas se pegan a la salientey no alcanzan las regiones internas que yano pueden rellenarse. Sobre laprotuberancia en crecimiento se generanotras, y sobre éstas otras, y sobre lasnuevas... hasta terminar con un objetomuy ramificado.

Estos fractales son autosimilares sólo en unsentido estadístico, ya que la ampliación deuna de sus partes quizá no se parezca a laforma original, pero sí a algún otroagregado obtenido al repetir de nuevo elproceso de crecimiento. Para calcular sudimensión y verificar si es fraccional sesigue un procedimiento distinto al queanalizamos en detalle casi al comienzo deeste libro.

Cuando una estructura es muy irregular yno es formalmente autosimilar, sudimensión fractal se calcula normalmentepor el método de la caja. El resultado quese obtiene también nos da una idea de lacapacidad real del objeto para cubrir elespacio en el que está embebido. Lamanera de proceder es muy sencilla:

Se toma la estructura de interés y secoloca en una caja de lado L, sobre la quese construye una red regular en la quecada segmento tiene una longitud l (Figura24(a)). Se cuenta el número de cajas quecontienen alguna parte de la estructura, loque da un número N. Ahora se repite elprocedimiento utilizando redes cada vezmás finas (l más pequeña, (Figuras 24(b) y24(c)) registrando en cada caso la N queles corresponda. Cuando hacemos estosobre una figura como la que aquí nosinteresa es posible construir una tablacomo la siguiente, en la que se registra el



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número de cajas que caben a lo largo delsegmento L (L/l ) y, del total de cajas entoda la red, sólo cuántas de ellas (N)atraviesan la figura:

L/l 5 10 20

-------------------------------------------------------------------------

N 18 52 148

Si se toma el logaritmo de ambascantidades y se grafica log (N) vs log (L/l (Figura 24(d)), es posible ajustar sobre los

datos una línea recta cuya pendiente es ladimensión fractal dc de la figura. Enrealidad, esto nos indica que existe unarelación del tipo:

N = (L/l )dc

entre las dos variables, muy similar a laque ya describimos al hablar de ladimensión de Hausdorff.



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Figura 24. Cálculo de la dimensión fractal del agregadoDLA por el método de la caja. En este caso L=10 cm y (a)L/l =5, N=18; (b) L/l =10, N= 52; (c) L/l = 20, N=148. Lapendiente de la recta en (d) en una medida de ladimensión fractal dc.

El método de la caja es uno de los másutilizados en ciencias para obtener ladimensión de un objeto, pues ofrece uncamino sistemático aplicable a una grandiversidad de formas naturales. También seusa para estudiar figuras que seencuentran en un espacio de tresdimensiones, y se utiliza para hacer lasprimeras estimaciones sobre la dimensión

de objetos tales como costas, nubes,fronteras, sistemas arteriales, etcétera.

Para el agregado fractal que genera lacomputadora, la dimensión fractal,siguiendo el método de la caja, resultacercana a 1.5, y es independiente de losdetalles del proceso de agregación. Suvalor es similar al que se ha obtenido paramuestras experimentales (Matsushita,1984; Argould, 1988) a pesar de la granidealización del modelo de agregaciónlimitada por difusión. La coincidencia enverdad es sorprendente; sólo pensemosque mientras en la simulación se depositanunos cuantos miles de partículas, en elexperimento real se trabaja con miles demillones de átomos.

Cuando la simulación computacional semodifica para permitir que las partículas

que chocan con el agregado puedan"rebotar" antes de adherirse, la estructura



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final es más compacta y simula un depósitohomogéneo. Su dimensión sigue siendofraccional, pero ya es muy cercana a 2.

El modelo de agregación limitada pordifusión no es sólo de utilidad para analizarla estructura de depósitos electroquímicos.Parece ser que cuando se aplica unadiferencia de potencial sobre una emulsiónfotográfica o en la superficie de un aislante,se genera una descarga eléctrica cuyopatrón, llamado figura de Lichtenberg, esmuy similar al fractal DLA. El caso se repiteal estudiar el comportamiento de líquidosinmiscibles que son forzados a fluir uno através del otro.

DEDOS VISCOSOS

Cuando un fluido como el agua o el aire sedesplaza a través de un líquido másviscoso, la interfase entre ellos puededeformarse y generar dedos o estructurasmás complejas. Este hecho no es nuevopara los ingenieros petroleros, químicos o

geólogos que trabajan en procesos deextracción en mantos petrolíferos. Porejemplo, en algunas ocasiones el materialpor recuperar queda atrapado en elsubsuelo poroso y no puede ser extraído demanera directa; para desplazarlo es comúnbombear agua desde la superficie. Si en lascondiciones de trabajo se forman dedos oconos de un líquido dentro del otro, laeficiencia de la extracción de reduceconsiderablemente pues el agua sedispersa en el petróleo.

Este fenómeno puede reproducirse apequeña escala haciendo uso de undispositivo muy simple desarrolladoalrededor de 1898 por Henry Hele-Shaw(Walker, 1987):

Se toman dos placas de vidrio o acrílico de1.5 cm de espesor, y 40 x 40 cm² de área.Se colocan horizontalmente una sobre otra y

se sostienen con pinzas y soportes a unos30 cm de la mesa de trabajo (Figura 25).



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Sobre la placa superior se practica unaperforación central de aproximadamente 0.2cm de diámetro, a través de la cual seinyectarán los líquidos de interés. Laseparación entre las placas se controla

utilizando tiras de masking-tape superpuestas y situadas en el contorno de laplaca inferior; el propio peso de la placasuperior y la presión ejercida por las pinzasde sostén, aseguran que su valor semantiene constante a lo largo delexperimento (entre 0.03 y 0.08 cm). Con elfin de mejorar la visualización de lospatrones de flujo resulta convenienteintroducir una lámpara de luz difusa entrelas placas y la base.

En este experimento el líquido más viscoso ofluido por desplazar se inyecta o esparceentre las placas, generando una capahomogénea, y el líquido desplazante (aguanormalmente) se inyecta por el orificiocentral.

Figura 25. Esquema de la celda de Hele-Shaw utilizadapara estudiar patrones de flujo.

Cuando el fluido por desplazar es unmaterial viscoso como salsa catsup, lechede magnesia, jarabe para la tos o miel deabeja (Córdoba, 1993) y el líquido

inyectado es tinta azul o negra, lospatrones de flujo adquieren formas



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diversas (Figura 26) que de nuevo separecen a los electrodepósitos fractales yhomogéneos. ¿Qué está sucediendo ahora?

a b

c d

Figura 26. Patrones de flujo al inyectar tinta azul enmedios viscosos distintos. (a) Salsa catsup; (b) jarabepara la tos; (c) miel de abeja; (d) leche de magnesia

(Fotos : Guillermo Sosa).

También en este caso existeninestabilidades ante crecimiento. Paracomprenderlo mejor imaginemos una celdade Hele-Shaw en la que los fluidospresentes exhiben una interfase idealmenteplana. Si en estas circunstancias se aplicauna presión constante y uniforme sobre elfluido menos viscoso, la interfase sedesplazará sin deformarse. Sin embargo, la

presencia de cualquier perturbación quecurve la superficie dará lugar a unadiferencia de presiones y se incrementarála velocidad de flujo en esa zona (Figura27). Si se mueve más rápido, se deformamás, si se deforma más, se mueve másrápido, y así de nuevo se generanprotuberancias que crecen y se ramifican,pues cualquier protuberancia dentro deotra se mueve más rápido y ramifica, y...



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Figura 27. Cualquier perturbación de la interfase entreambos líquidos puede generar un dedo viscoso.

La evolución del patrón depende de variosfactores, entre los que sobresalen(Robinson, 1985): la separación entre lasplacas, las viscosidades de los fluidos y latensión interfacial. La influencia de esteúltimo parámetro es particularmenteimportante pues su presencia tiende a

estabilizar y aplanar la interfase(recordemos que la tensión interfacial esuna medida del costo energético deformación de la misma).

El trabajo teórico y experimental sobre lospatrones de flujo en la celda de Hele-Shawha demostrado que la formación deestructuras fractales tipo DLA se favorecesi:

—se incrementa la diferencia deviscosidades entre los fluidos,

—se disminuye la separación entre lasplacas o

—se reduce la tensión superficial.

En todo caso, siempre hay que buscar quelos efectos de cualquier perturbación en la



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interfase dominen sobre las tendenciasestabilizadoras del sistema.

Las estructuras que aparecen en una celdade Hele-Shaw también se generan a travésde simulaciones computacionales basadasen el modelo de agregación limitada pordifusión (DLA). Los resultados que seobtienen directamente con un programacomo el que hemos utilizado para laelectrodeposición coinciden muy bien con elcaso en el que la tensión interfacial entrelos líquidos es prácticamente cero. Cuandoesto no es así, hay que incluir la posibilidadde que las partículas reboten con el cúmuloantes de adherirse a él. Esto suaviza lasestructuras y permite generar patronesmenos ramificados y verdaderos dedosviscosos (Tang, 1985; Liang, 1986).

El estudio de fenómenos como éstos es degran utilidad para comprender en quécircunstancias se favorece la aparición deformas fractales, y es parte del inicio paradesentrañar el misterio de la aparición demuchas formas naturales. Sin embargo,

falta mucho por hacer e investigar; hoy díano es fácil predecir cuál será la geometríade un objeto, a pesar de haber identificadolos mecanismos de crecimiento que logeneran. Hay quien juzga que conocer lasreglas de la geometría fractal resultará degran utilidad para simplificar este trabajo;hay quien piensa lo contrario, que basta de

juegos. ¿Se nos está acabando laimaginación o soñamos demasiado?¿Seguimos la pista correcta o nos perdimos

en el laberinto?

Fractales



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Figura 1. Figura 2.

Figura 3. Figura 4.

Figura 5.



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Figura 6.

Figura 7.Figura 8.

Figura 9.

V I . H U E L L A S E N E L T I E M P O

LOS fractales no son solamente útiles paradescribir la geometría de las formasnaturales, también nos proveen de nuevasherramientas para analizar sus propiedadesdinámicas, la manera en que se desarrollany evolucionan, o cómo interaccionan entresí para competir u organizarse. Losfractales son sin duda alguna parte

fundamental del nuevo lenguaje de lacomplejidad y el caos, y uno estaríatentado a decir que habitan en esa frontera



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tan sutil entre el orden y el desorden. Hayquien dice que están dentro del espejo quesepara al reino del caos del dominio de laorganización y la estructura (Briggs,1990); aparentemente están ahí, sus

reflejos se multiplican.

EN EL REINO DE CAOS

Los seres humanos siempre nos hemospreocupado por buscar las leyes que rigenla evolución del mundo que nos rodea. Seha establecido así un conjunto derelaciones que nos permiten predecir elfuturo de un sistema si se tiene

información confiable sobre su estadopresente o pasado. Estas reglas que leseñalan a cada sistema el camino a seguir,se denominan deterministas y pueden sersimples o complejas; de ellas, en principio,se espera siempre una fidelidad absoluta,una capacidad predictiva sin límite.

Sin embargo, en los últimos años, graciasal desarrollo de las computadoras y de

mejores métodos numéricos para resolverlos problemas, se ha encontrado queexisten sistemas que,

IMPORTANTE:a pesar de estar gobernados por relaciones precisas y bien conocidas (susecuaciones determintstas), presentan uncomportamiento absolutamente¡IMPREDECIBLE! (Crutchfield, 1986).

Esta característica es una propiedadintrínseca del sistema que no se evitaacumulando más información y,sorprendentemente, su presencia es másuna regla que la excepción. El fenómeno yase ha observado en el estudio demovimientos planetarios, la predicción delclima, el crecimiento de cristales, laevolución de sistemas fisiológicos, algunasreacciones químicas, etcétera.



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Perder la capacidad de predecir el futuro alargo plazo es un verdadero desastre, es elCAOS, y el problema fundamental radica enla estructura de las ecuacionesdeterministas que le corresponden a cada

sistema. Cuando un sistema físico secomporta de manera continua y regular, detal forma que su respuesta a cualquierperturbación es siempre proporcional a laintensidad de la misma (poco -> poco;mucho -> mucho), se dice que es unsistema lineal pues la representacióngráfica de su comportamiento dará lugar auna línea recta. Si esto no es así, elsistema resulta no lineal y las cosaspueden complicarse.

Muchos sistemas no lineales exhiben uncomportamiento caótico porque son muysensibles a las influencias externas. Sususceptibilidad en ocasiones raya en lahisteria: si, por ejemplo, quisiéramospredecir la trayectoria de una bola de billarque choca con otras en su camino, bastaríaignorar el efecto gravitacional de unelectrón situado en la frontera de nuestragalaxia para comenzar a obtener

resultados erróneos después de un minutode haberla lanzado. Es también famoso eldenominado efecto mariposa en lapredicción del clima: en algunos modelosutilizados en climatología, no considerar elsimple aleteo de una mariposa puede tenerconsecuencias desastrosas sobre lapredicción del comportamientoatmosférico.

Un sistema caótico resulta impredecibleporque es extraordinariamente sensible ala especificación de las condiciones inicialesa partir de las cuales se quiere estudiar suevolución (Dresden, 1992); cualquierpequeño cambio en el estado inicial tienedramáticos efectos sobre elcomportamiento futuro. Para predecir elfenómeno se necesitaría conocer los datosiniciales con precisión infinita, así como uncontrol extremo del proceso; esto es

imposible, independientemente de quétanto logremos mejorar nuestros aparatos



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de medición y control, y de qué tan bienconozcamos las relaciones matemáticasque rigen su comportamiento.

Muchos sistemas son capaces de tener uncomportamiento regular o caótico, deacuerdo con las condiciones a las que esténsujetos; desgraciadamente, no existenreglas generales que permitan decidir a priori si exhibirán o no una dinámicacaótica. El tránsito entre el orden y el caospuede darse de manera brusca o gradual yesto cambia de sistema a sistema. Sinembargo, cuando se da, el resultado esincreíble.

Ahora, ¿qué tienen que ver el caos y losfractales? Como muestra basta un ejemplo.

DE NUEVO LAS ITERACIONES

Imaginemos que estamos decididos aestudiar el comportamiento de unapoblación de insectos en una isla y paraello desarrollamos el siguiente modelo

(Davies, 1987):

La evolución de la población de insectosdepende del ritmo de nacimientos ymuertes que se presenten en sucomunidad. Si suponemos que estosanimales tienen un periodo de reproducciónanual y la población en el año i era Ni, esde esperar que la población al añosiguiente Ni+1 sea proporcional a la que

había el año anterior. Esto es:

Ni+1 = aNi,

donde a es una constante deproporcionalidad que mide la capacidadreproductiva de la especie.

En la relación anterior no hemos tomado

todavía en cuenta el efecto de la muerte delos insectos. Como primera aproximación



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podríamos decir que el mayor número dedecesos se da por competencia entreindividuos: compiten por el alimento, por lapareja, por territorio, etcétera; digamosque muy pocos se mueren de viejos. Entre

más insectos haya, más difícil será quesobreviva cada uno, de ahí que no seadescabellado pensar que la probabilidad deque muera un individuo es proporcional ala población total de ese año: Ni. Como estose vale para cada uno de ellos, el ritmo dedecesos para toda la población seráproporcional a Ni x Ni = N2

i, o:

Ni+1 = b N21.

Si combinamos ambos efectos (nacimientosmenos muertes) resulta la ley decrecimiento poblacional que esperamos:

Ni+1 = a Ni - b N = N2i (a bNi).

Esta relación es muy útil, pues si damosvalores a las constantes a y b, y elegimos

una población inicial No, con ello se calculala población al año siguiente N1. Con elresultado se genera N2, que a su vez noslleva a obtener N3 y así sucesivamente.Este proceso es de nuevo una iteración quenos permite analizar la evolución de lapoblación año con año. El modelo decrecimiento poblacional es muy sencillopero en él ya está presente un elementoque puede conducirnos a resultadosinesperados. La iteración contiene un

término en el que la variable Ni estáelevada al cuadrado y esto quiere decir quetratamos con un sistema no lineal (lagráfica de la relación (aN - bN²) comofunción de N no es una línea recta).

Para facilitarnos un poco las cosas resultaconveniente suponer que las constantes a yb son iguales y que la población N i estámedida con respecto a una poblaciónmáxima de referencia, por lo que su valorestá siempre entre 0 y 1. Esto no altera lasconclusiones finales pero facilita los



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cálculos que, por cierto, pueden hacersedirectamente en una computadora (véaseel capítulo "Para la computadora").

Cuando se analiza el valor de la poblacióncomo función del tiempo que predice laiteración simplificada:

Ni+1 = a Ni (1 - Ni)

para diferentes valores del parámetro decrecimiento a, es posible distinguir varioscasos:

a) Para valores de a menores que 1 la tasade nacimientos es tan baja que lapoblación decrece año con año y terminapor extinguirse (Figura 28 (a)). Estosucede siempre independientemente decuál sea la población inicial.

b) En el intervalo de a entre 1 y 3, lapoblación se estabiliza en un valorconstante diferente de cero que no

depende de la No de la cual se parte(Figura 28 (b)). El balance de nacimientosy muertes asegura que la población nuncacambie.

c) A partir de a>3, las cosas se complican.En cuanto el parámetro de crecimiento esun poco mayor que tres, la poblacióncomienza a oscilar entre dos valoresdistintos (Figura 28(c))y se acostumbra

decir que la solución antes estable sebifurca, se generan dos posibilidades quese visitan alternadamente en el transcursode los años. Esta situación se mantienehasta a 3.4495, donde cada rama denuevo se bifurca y la población oscila entrecuatro valores diferentes (Figura 28 (d)) Siseguimos aumentando el valor de a, elmismo esquema de duplicación sereproduce en cada rama y el periodo deoscilación aumenta a 8,16, 32 (Figura 28

(e))..., hasta que en a 3.5699 el ciclotiene una duración infinita. A partir de aquí,



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poco o nada es predecible; elcomportamiento se torna caótico (Figura28 (f)) y la evolución temporal es muysusceptible a la población inicial elegida.Por ejemplo, cuando a 4, una diferencia

de 0.000001 entre dos datos iniciales haceque los resultados sean completamentedistintos después de 50 iteraciones. En laregión del caos la población cambia añocon año de una manera que desafía almejor adivino.



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Figura 28. Evolución de la población de insectos paravarios valores del parámetro a. (a) a= 1.00; (b) a= 2.00;(c) a= 3.30; (d) a= 3.50; (e) a= 3.569; (f) a= 4.00.

La transición hacia el caos se ve más

claramente cuando se grafica el valor ovalores que alcanza la población a tiemposmuy largos, como función del parámetro decrecimiento a. La gráfica que se genera seconoce como diagrama de bifurcaciones yse presenta en la figura 29 (a) (véase elcapítulo «Para la computadora" si hayinterés en reproducirla). El diagramamuestra con claridad los valores depoblación que se visitan para cada valor dea: cuando es pequeño se tiene una sola

rama (población constante), después dos(oscilación entre dos valores) y así seguimos hasta alcanzar la región caóticaque tiene una estructura muy compleja.

En la zona del caos hay muchos valores dea para los que la población evoluciona sinseguir un orden determinado; sin embargo,también está repleta de secciones en lasque se recupera el comportamiento

periódico. Estas regiones aparecen comofranjas más blancas y cuando hacemos unaampliación para analizarlas (Figuras 29(b)y 29 (c), nos deparan la tan esperadasorpresa. Dentro de ellas se repite elmismo esquema de bifurcaciones que en eldiagrama general, y así ad infinitum, elcaos y el orden se entremezclan siguiendolas reglas de la geometría fractal.



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Figura 29. a) Diagrama de bifurcaciones para la

dinámica poblacional N1+1= a*Ni(1-Ni). En (b) y (c) sepresentan ampliaciones de la zona central en la franjablanca más ancha en la figura que las precede.

Es importante señalar que este últimohecho no es una casualidad. Elcomportamiento general de nuestradinámica poblacional es muy similar al quese encuentra cuando se analizan lasecuaciones que describen sistemasdiversos: circuitos eléctricos, reacciones

oscilantes, láseres o fluidos-turbulentos. Enalgunos de ellos la evolución temporal serepresenta en diagramas que graficansimultáneamente la posición y velocidad delas partículas que los constituyen. laestructura de las figuras que se generandepende de la condiciones de trabajo, perosi se identifica que su geometría es fractal,se tiene una señal indudable de que elsistema está comportándose caóticamente.

Los fractales parecen ser herramientasparticularmente útiles para desentrañar los



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misterios del caos; es como si en sulenguaje la aparente extrañeza eirregularidad del comportamiento caóticofuera el estado natural. Quizás, de hecho,debíamos haber esperado su presencia. Ya

hemos visto que muchos fractales sonproducto de realizar la iteraciónmatemática de una función no lineal (z²,por ejemplo); las leyes dinámicas quedescriben el comportamiento de diversossistemas fisicos muchas veces no son másque eso. De ahí que los fractales aparezcancomo sus huellas, únicas, indelebles,inconfundibles.

AUTORGANIZÁNDOSE

Los fractales son el prototipo de lo que unoestaría dispuesto a llamar un objetocomplejo. No en el sentido de difícil ocomplicado, pues normalmente se generana través de procedimientos sencillos, sinopor el hecho de presentar detalle a todaescala, de guardar información a muydiferentes niveles. Nuestro Universo estáplagado de objetos complejos, y él mismo,

como los fractales, presenta estructurasorganizadas a diversas escalas: cúmulos degalaxias, galaxias, estrellas, planetas, y porlo menos en nuestro planeta, nubes,montañas, organismos vivos. ¿De dóndesalió todo esto?

Uno siempre se pregunta cómo surgió elUniverso, pero con menos frecuencia secuestiona cómo llegó a convertirse en loque hoy conocemos. Si al principio de lostiempos, o mejor dicho, nuestros tiempos,el universo naciente carecía de forma ycontenido, ¿qué lo llevó a organizarse?¿Cómo lo hizo? En los últimos años estoscuestionamientos han comenzado aaclararse gracias al estudio de sistemasque, en condiciones adecuadas, tienen lacapacidad de autorganizarse. Todos elloscomparten características comunes entrelas que destacan: su habilidad paragenerar estructuras macroscópicascomplejas y organizadas, su extremasusceptibilidad a las perturbaciones



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externas, y su increíble capacidad paraautorregularse y funcionar como unaentidad única que responde creativamentey se adapta a las condiciones del medio(Nicolis, 1989).

Los sistemas que se autorganizan siemprese encuentran en condiciones que losmantienen muy alejados de su estado deequilibrio; son entidades que están encontacto con el medio externo y utilizan laenergía que éste les proporciona paraorganizarse y formar estructurascomplejas. Es por ello que también se lesdenomina estructuras disipativas.

Un ejemplo típico de autorganización sepresenta cuando una capa horizontal dealgún fluido se somete a una diferencia detemperaturas. Para lograrlo basta calentarel líquido en su parte inferior o, aún másfácil, trabajar con un líquido volátilpermitiendo que se evapore. Esto enfriarála superficie y provocará la diferencia detemperatura deseada. El fenómeno sepresenta a gran escala cuando el Sol

calienta la superficie terrestre y laatmósfera se toma como fluido de trabajo.

En este experimento, el líquido máscaliente cercano a la base es menos densoy tratará de ascender; el más frío cercanoa la superficie es más denso y tratará dedescender. Si la diferencia de temperaturases pequeña, la viscosidad del fluidoimpedirá su movimiento, pero si se siguecalentando se alcanza una condición críticaen la que repentinamente el líquidocomienza a desplazarse y se organiza enceldas de flujo convectivo a las que sedenomina celdas de Bénard (Figura 30 (a).



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Figura 30. (a) Esquema de la estructura de las celdas deBénard en un corte lateral del fluido. (b) Estructura enla superficie de la acetona después de la formación delas celdas. (Foto: Guillemro Sosa).

El experimento es fácil de hacer(Talanquer, 1991):

En un recipiente de fondo plano (como unacaja de Petri) se coloca acetona hastaformar una capa de aproximadamente 0.3cm de ancho. Se espolvorea sobre ella unpoco de aluminio en polvo que sirve parahacer visible el movimiento de las partículasdel fluido. Cuando se sopla sobre lasuperficie para acelerar la evaporación, es

increíble ver cómo el sistema se autorganizaformando una multitud de celdas deconvección (Figura 30(b)).

Cuando aparecen las celdas de Bénard, elsistema que era originalmente homogéneoadquiere una verdadera estructura. Encada una de las celdas hay del orden de1021 moléculas que se desplazan demanera concertada, a pesar de sumovimiento térmico azaroso. Esto quieredecir que de alguna forma se haestablecido comunicación entre ellas.



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La aparición de los patrones de Bénard enun fluido es un fenómeno completamentereproducible. Si se aseguran las mismascondiciones de trabajo, las celdas sepresentarán al alcanzar la misma diferencia

de temperatura. Sin embargo, su posicióno el sentido en el que rota el líquido dentrode ellas es algo impredecible eincontrolable. Sólo el azar determina cómoserá el patrón en cada caso.

Esta posibilidad de elegir entre muchasopciones y de que el azar decida cuál seselecciona es típica de sistemas que seautorganizan. Se acostumbra decir que elsistema es arrastrado hasta un punto en elque repentinamente se le presentanmuchos caminos, pero es imposiblepredecir cuál seguirá. El resultado de laselección puede conducirlo a un nuevoestado más complejo y organizado, perotambién puede perderlo en el reino delcaos. Loque es indudable es que se tratade un mecanismo muy efectivo paraexplotar la creatividad del sistema,generando formas complejas muyparecidas pero no idénticas.

Otros ejemplos de sistemas con capacidadde autorganizarse se presentan en casostan distintos como la producción de rayosláser, la aparición de flujos turbulentos, lasreacciones químicas oscilantes o laformación de ondas químicas (Talanquer,1992). Al igual que en el caso de las celdasde Bénard, la descripción de sucomportamiento incluye términos como

selección, coherencia, creatividad,organización, adaptación. Esto ha abiertolas puertas hacia el campo de la biología, yhoy resulta que modelos muy semejantesse utilizan para estudiar el desarrolloembrionario, los procesos de diferenciacióny localización celular, la propagación deimpulsos nerviosos o la formación deórganos multicelulares.

Los modelos propuestos para estudiarestos fenómenos son de diversos tipos,pero dentro de ellos existe una familia que



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ha resultado particularmente útil y su usose ha generalizado. Se les llama autómatascelulares y es aquí donde, de nuevo, nosinvaden los fractales.

COMO UN JUEGO

Los autómatas celulares fueron utilizadospor primera vez por los matemáticos Johnvon Neumann y Stanislaw Ulam en 1948para representar la reproducción enalgunos sistemas biológicos.Posteriormente, su uso se extendió adiversos campos y hoy día sus aplicacionesson muy variadas.

Para construirlos basta tomar un arreglo desitios o celdas, cada una de las cuales seencuentra en un estado que se caracterizapor la asignación de un valor numérico. Porejemplo, si sólo hay dos estados posibles:vivo-muerto, vacío-lleno, etcétera, puedenelegirse los números 0 y 1 paradistinguirlos.

Una vez elegido un estado inicial para todoel sistema se procede a estudiar cómoevoluciona en el tiempo. Para ello sedefinen reglas que establecen cómo cambiael estado de cada celda, considerando susituación y la de sus vecinos más cercanosen la etapa anterior.

Un caso sencillo se presenta cuandoconsideramos un autómata celular

unidimensional en el que cada celda puedeestar ocupada por un organismo vivo (1) oestar vacía (0). Si la distribución inicial esal azar; una representación esquemáticadel sistema se vería de la siguientemanera:



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Las reglas de evolución temporal quepodemos proponer son múltiples. Porejemplo:

Cada organismo vivo sobrevivirá para lasiguiente etapa si y sólo si no lo rodean porambos lados otros organismos vivos (estopodría representar la competencia). En unsitio vacío aparece un organismo vivo(nacimiento) si al menos un vecino es unorganismo vivo.

En términos numéricos esta regla deevolución podría esquematizarseconsiderando la suma de los númerosasignados a cada celda y sus dos vecinosmás cercanos. La suma tomaría valoresentre 0 (todos vacíos) y 3 (todos llenos), yel estado para la siguiente etapa seobtendría consultando una tabla como lasiguiente:

Si la suma da Nuevoestado

0 →→→→ 0

1 →→→→ 1

2 →→→→ 1

3 →→→→ 0

Cuando la regla se aplica a cada celda delsistema inicial se genera la población de lasiguiente etapa. Después el procedimientose repite una y otra vez, y para fines deanálisis resulta conveniente dibujar unotras otro los resultados que se obtienen:



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En la práctica este trabajo puede hacerlosistemáticamente una computadora (véaseel capítulo "Para la computadora") y elesquema de evolución después de 100etapas, por ejemplo, es como el que semuestra en la figura 31 (a). En esta figurase distinguen los sitios llenos de los vacíospor la asignación de color blanco o negro.

Figura 31. Patrones de evolución de una autómatacelular. (a) y (b) corresponden a la regla de crecimiento

descrita en el texto; (c) y (d) muestran el resultado parareglas distintas.



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De nuevo, el resultado es fascinante. Apesar de haber partido de una situaciónazarosa y de que la regla de evoluciónactúa muy localizadamente (sobre unacelda y sus dos primeros vecinos), el

autómata celular es capaz de generarespontáneamente un patrón complejo quepresenta organización y estructura a todaescala. Esto es, el sistema se autorganiza.

Las características del patrón que se formase distinguen más claramente cuando serepite el cálculo suponiendo queinicialmente sólo había un organismo vivosituado en una celda central. El resultadode la evolución del autómata (Figura 31(b))es nada más y nada menos que unaestructura muy similar al ¡triángulo deSierpinski! La autorganización del sistemaconduce a la formación de una estructuracompleja, autosimilar y con dimensiónfraccional. Fractales, fractales, fractales.

Si la regla de evolución se modifica, laestructura del patrón puede cambiardrásticamente (Figuras 31(c) y 31(d)),

pero en general sólo se identifican unoscuantos tipos generales. Hay reglas queconducen a patrones fractales o aestructuras periódicas; otras no llevan anada o generan estructuras de tamañofinito. Las condiciones iniciales puedenmodificar ciertos detalles pero no la esenciadel resultado.

El ejemplo que hemos presentado es uncaso sencillo y quizá poco realista sipretendemos representar elcomportamiento de un sistema fisico. Sinembargo, las ideas generales puedenextenderse para generar autómatas en dosy tres dimensiones que reproducennotablemente bien las propiedades demuchos sistemas complejos. El reto alutilizarlos consiste en capturar la esenciadel fenómeno y traducirla al lenguaje delautómata. Considerando un mayor númerode estados para cada celda y diferentesreglas de evolución, los autómatascelulares efectúan la mimesis de la



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formación de ondas químicas, el flujo defluidos a través de obstáculos, o elcrecimiento de copos de nieve. Cuando seintroducen ciertos elementos aleatorios enlas reglas que rigen su comportamiento,

son modelos adecuados para fenómenostales como la propagación deenfermedades infecciosas o de incendios enun bosque, la difusión de líquidos a travésde medios porosos o la distribución decierta especie de plantas en una selva(Peterson, 1988).

Detrás de muchos de los resultadosobtenidos siguen apareciendo los fractalescomo la elección más eficiente paragenerar estructuras complejas, como laalternativa más creativa, como obsesióninevitable.

V I I . T I E M P O F R A C T A L ,

P A R A A C A B A R

CUANDO hablamos de fractales pensamos deinmediato en formas geométricas u objetosque ocupan el espacio siguiendo patronesmuy particulares. Tan es así que suspropiedades básicas: longitud infinita,dimensión fraccional o detalle a toda

escala, hacen referencia a conceptosespaciales que de alguna forma u otrasomos capaces de visualizar. Sin embargo,imaginar algo como un tiempo fractal parece rayar en los límites de la locura.

Primer intento. Si toda sucesión de eventosen el tiempo tuviera estructura fractal,nuestra vida podría ser un verdaderoinfierno. Cada instante contendría todo

pasado y futuro y vivíriamosconstantemente nuestra muerte, pero esto



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es exagerar. Si toda distribución demateria en el espacio siguiera las reglas dela geometría fractal, estaríamos en todaspartes, seríamos el universo entero.

A un nivel más modesto se nos abre otraposibilidad.

Segundo intento. Podríamos imaginar unfenómeno en el que los eventos que locaracterizan no ocurrieran en intervalosigualmente espaciados de tiempo, sino porpaquetes, y dentro de estosencontraríamos eventos similaresdistribuidos también en paquetes, y dentro

de cada uno de ellos, más paquetes, y así hasta que la escala de tiempos se nosacabe.

Por ejemplo, detectamos una señal que seproduce a lo largo de un mes varias vecesal año. Al analizar su comportamiento enun mes vemos que realmente aparece a lolargo de un día varias veces al mes. Elregistro de la señal en esos días demuestra

que se le detecta en algunas horas a lolargo del día, o mejor dicho, en algunosminutos a lo largo de la hora, o en algunossegundos a lo largo de cada minuto,etcétera. Una gráfica anual de la señalsería semejante a la siguiente:

La pregunta es, ¿tenemos derecho o no adecir que un fenómeno como éste se da enun tiempo fractal? De alguna forma, ya noshabíamos enfrentado a un problema similarcuando señalamos la utilidad del fractal deCantor para modelar la aparición de ruidoen la transmisión de información ensistemas de comunicación digital. La ideaes, en esencia, la misma y aparentemente

no es el único caso al que se aplica.



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En un material amorfo como el vidrio, elhule o los plásticos, los átomos o moléculasque lo constituyen se encuentrandistribuidos en posiciones aleatorias, y noordenadamente, como en un cristal. Esto

hace que el sistema esté lleno de defectosen donde los enlaces entre partículas seencuentran distorsionados y bajo tensión.

Cuando un material amorfo se sujeta a laacción de algún esfuerzo que lo deforma yluego se le libera, los defectos que hay enél se desplazan a lo largo del sistema y sedice que el material se relaja. Ahora bien,el asunto no es así de fácil pues cadadefecto, para movilizarse, necesita tenerenergía suficiente para vencer la barreraque siempre se opone a ello. El tamaño deesta barrera de energía no es el mismopara todos los defectos y normalmentedepende de su posición en el material y desu naturaleza.

Cuando la relajación se inicia, los defectoscuya barrera energética es pequeña sedesplazan sin problema. Otros tardan más

tiempo, y otros mucho más. El hecho esque la relajación se da en tiempo fractal,pues mientras algunos movimientos tardanaños en darse, en ese intervalo ya seprodujeron relajamientos en todas lasescalas de tiempo (desde picosegundos enadelante).

Esta manera de concebir el problema haresultado muy útil para comprender cómo"envejecen" algunos materiales amorfoscomo los plásticos que inundan nuestravida cotidiana, o cómo responden a laacción de esfuerzos externos, por qué sefracturan o quiebran las botas de hule opor qué algunas fibras sintéticas con lasque se fabrica la ropa se deforman más dela cuenta. El suponer la presencia derelajamientos que se dan a toda escala enel tiempo, ha permitido generar modeloscomunes para todos estos fenómenos ysimplificar su análisis. Todo esto con sólopensar en la posibilidad de estamultiplicación interminable de tiempos.



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El camino que ahora nos toca seguir estáprácticamente trazado: espacio fractal ytiempo fractal, ¿cuál es el resultado deimaginar un fenómeno que se dé a todaescala, tanto desde el punto de vista

espacial como temporal?

La respuesta está en el aire, aunque ya sehan desarrollado algunas teorías y modelosque, aunque muy discutidos, han llamadola atención de muchos científicos. Estasnuevas ideas en las que se escondenconceptos como criticalidad autorganizada,señalan que estos fractales espaciales ytemporales quizá se encuentran enfenómenos tan comunes como lasavalanchas y los temblores. En general, setrata de sistemas que viven al borde delcolapso, pero muestran una enormecapacidad de recuperación después decada catástrofe.

La idea de una avalancha fractal no es tancomplicada; pensemos tan sólo en un granderrumbe dentro del cual se producenmuchos pequeños derrumbes, y dentro de

éstos, otros, y así sin límite. Esto sucedetambién desde el punto de vista temporal:algunas de las avalanchas dentro de otrasavalanchas se darán en segundos, otras enminutos, otras en horas, etcétera.

¿Es todo esto producto de la casualidad onos hemos empeñado en ver algo que nohay? ¿Es tan atractiva la idea que nos haseducido hasta perder todo contacto con larealidad? ¿Están ahí o no están?

V I I I . P A R A L AC O M P U T A D O R A



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LA CONSTRUCCIÓN de un fractal, laposibilidad de utilizarlo para producir,almacenar, analizar o transmitir unaimagen se simplifica considerablementehaciendo uso de la computadora. De

hecho, el efecto y la utilidad que hademostrado tener la geometría fractal nose hubieran manifestado sin las facilidadesde cálculo y representación gráfica queproporciona el trabajo en computadora;parecen estar hechos el uno para el otro.Los fractales se generan a través deprocesos en los que una misma operaciónse repite un sinnúmero de veces, y eso esprecisamente lo que una computadora sabehacer mejor.

La calidad de la visualización de unaestructura fractal en el monitor de unacomputadora depende de la resolución dela pantalla aunque, en un sentido estricto,

jamás obtendremos una representaciónexacta que reproduzca el detalle de lafigura a toda escala. Sin embargo, latecnología moderna ya permite generarimágenes cuya resolución va más allá de loque podemos distinguir con nuestros ojos.

La mayoría de los métodos desarrolladospara construir imágenes fractales se basanen procedimientos muy sencillos que encualquier lenguaje computacional seexpresan en unos cuantos renglones; deahí la sorpresa que provoca observar lacomplejidad de la imagen que hacen surgiren la pantalla.

Sin duda alguna, la manera más fácil deentender qué es un fractal y convencersede su enorme utilidad, es aceptar el reto deconstruirlo. Por ello hemos incluido en estecapítulo un conjunto de instrucciones yprogramas para la computadora quepermiten generar la mayoría de las figurasde este libro. Si se sabe BASIC, el caminoestá prácticamente andado, si no,recomendamos copiar directamente losprogramas y trabajar con ellos. Estamosdispuestos a apostar que no habrá nadieque se arrepienta.



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EN EL PAÍS DE LAS MARAVILIAS

Conjuntos de Julia

El conjunto de Julia correspondiente a unvalor determinado de la constante c segenera computacionalmente a través de laaplicación de la iteración zn+1 = zn

2+c acada uno de los puntos de una red definidaen una región adecuada del planocomplejo. Para hacerlo es necesarioescribir la operación de interés en términosde sus partes real e imaginaria. Esto es:

zn+1= (an+1,bn+1) zn=(an, bn)c=(Cr, Ci),

donde utilizamos la representación tipocoordenadas para cada término de laiteración. Al sustituir resulta:

zn+1=zn2 + c= (an, bn) (an, bn) + (Cr, Ci) = (an+1,

bn+1)

y si multiplicamos y sumamos:

(an+1,bn+1)= (an2- bn

2 + Cr, 2an bn+ Ci).

Cuando se igualan dos números complejos,necesariamente se cumple que sus partesreales y sus partes imaginarias son igualesentre sí, es decir:

Real an+1 = an2- b2

n+ Cr

Imaginaria bn+1 = 2an bn + Ci



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Con esto se logra convertir la iteración denúmeros complejos zn+1 = zn

2 + c, en dositeraciones de números reales que son másfáciles de manejar.

Para iniciar la búsqueda de prisioneros yescapistas es necesario dar los valores deCr y Ci que se quieran, y seleccionar unpunto (ao, bo) para hacer la prueba.Aplicando la iteración sobre él se analizanlas características de la órbita paradeterminar la naturaleza del atractor al quese dirige. Es evidente que si el atractorestá en el infinito, jamás podremosalcanzarlo. Afortunadamente, puede

demostrarse (Peitgen, 1984) que si elresultado de una iteración es un númerocomplejo cuya distancia al origen r esmayor que dos, la órbita se escapará haciainfinito; la distancia r se calcula a travésdel teorema de Pitágoras, r= a² + b²(Figura 32). Esto permite distinguir entrepuntos prisioneros y escapistas.

Figura 32. La distancia R es una medida del tamaño delnúmero complejo z= (a,b) . Por el teorema de Pitágoras,

R²=a²+b².

En forma práctica: se aplica el mapeo; seanaliza el valor de r, para el numeroobtenido; si r>2, el punto no se pinta en lapantalla y se selecciona un nuevo valorinicial; si r<2 se aplica de nuevo el mapeo

sobre el resultado y se repite el análisisanterior. Si después de un número N de



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iteraciones (por ejemplo, 100) la distanciaal origen de la órbita (r) sigue siendomenor que dos, se considera que el puntoes prisionero (pertenece al cuerpo delconjunto de Julia) y se le grafica con un

color que lo distinga. En un lenguajecomputacional como el BASIC, el siguienteprograma genera en la pantalla de unmonitor monocromático el cuerpo delconjunto de Julia asociado a la constantecompleja c=(Cr, Ci) que se seleccione:

REM "Conjuntos de Julia"

KEY 0FF: CLS

INPUT "Dame la constante compleja c ", Cr,Ci

CLS: SCREEN 1

WINDOW (-2, -2)-(2, 2)

LINE (-2, -2)-(2, 2), , B

Paso = 200: N =100

Delta = 4/Paso

ao = -2: bo = -2

REM "Se construye una red en el planocomplejo"

FOR J = 1 TO Paso

FOR K = 1 TO Paso



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a = ao + J * Delta

B = bo + K * Delta

i= 0: RR = O

REM "Se hace la iteración en cada punto"

WHILE (i < N AND RR < 4)

an = a * a - B * B + Cr

B = 2 * a * B + Ci

a = an

RR = a * a + B * B

i = i+1

WEND

REM "Se dibujan los prisioneros"

IF i < N THEN 10

PSET (ao + J * Delta, bo + K * Delta) 10

NEXT K



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10 NEXT J

END

El detalle de la frontera (conjunto de Julia)de las figuras obtenidas con este programa(Figuras 8 y 9) mejora al incrementar elnúmero de puntos sobre el que se aplica elmapeo (variable Paso), así como utilizandomonitores con más alta resolución(SCREEN).

Si se cuenta con una paleta de color; elprograma puede modificarse para asignardistintos colores a regiones del planocomplejo, fuera del cuerpo del conjunto deJulia, cuyas órbitas presenten diferenterapidez de escape medida como N-i(valores pequeños de i implican que el

límite r=2 se rebasa con rapidez al aplicarla iteración). En la siguiente tabla sepresentan algunos de los muchos valoresde c para los que el conjunto de Juliamuestra características interesantes(Peitgen, 1986)

La lista, por supuesto, no agota el númerode posibilidades, y es tan sólo un reto allector que desee adentrarse en este reinode fantasía:

c Figura

(-0.12,0.57)

(0.12,0.66)

8(a)

8(b)



105

(0.12,0.74)

(-0.25,0.74)

(-0.194+0.6557)

(-0.75 + 011)

(-0.745+0.1130)

(-1.25 0)

(-01565+1.0322)

(0.32,0.043)

8(c)

8(d)

8(e)

8(f)

9(a)

9(b)

9(c)

9(d)

El conjunto de Mandelbrot puede generarsecon relativa facilidad si se toman en cuentados principios básicos:

a) Todo valor de c que pertenece alconjunto genera una órbita que no sedispara a infinito al aplicar la iteraciónzn+1=zn

2 +c al punto z0(0,0).

b) Toda órbita de iteración cuya distanciaal origen r exceda de dos, escapará ainfinito.

Con base en esto, basta analizar elcomportamiento de la iteración cuadráticaaplicada al punto zo= (0,0) para distintosvalores de c, y graficar sobre el planocomplejo aquellas c en las que el origen se

comporta como prisionero. Esto puedehacerse sistemáticamente a través de un



106

programa de cómputo sencillo, cuyaestructura en BASIC sea como la siguiente:

REM "Conjunto de Mandelbrot"

KEY 0FF: CLS

SCREEN 1

WINDOW (-2.4, -1.25)-(0.8, 1.25)

LINE (-2.4, 0)-(0.8, 0): LINE (0, -1.25)-(0,1.25)

LINE (-2.4, -1.25)-(0.8, 1.25), , B

Paso = 200: N = 100

Deltr = 3.2/Paso: Delti = 2.5/Paso

REM "Se seleccionan las constantes c avisitar"

Cr = -2.4

FOR J = 1 TO Paso

Cr = Cr + Deltr

Ci = -1.25

FOR K= 1 TO Paso

Ci = Ci + Delti



107

ao = O

bo = O

i= O: RR = O

REM "Se hace la iteración en zo = (0, 0)"

WHILE (i < N AND RR < 4)

an = ao * ao - bo * bo + Cr

bo = 2 * ao * bo + Ci

ao = an

RR = ao * ao + bo * bo

i=i+1

WEND

REM "Se dibujan los puntos del conjunto"

IF i < N THEN 10

PSET (Cr, Ci)

NEXT K

NEXT 3



108

END

En este programa se recorre el intervalo devalores de la constante c comprendidoentre -2.4 y 0.8 en su parte real, y de -1.25 a 1.25 en su parte imaginaria. Todovalor de c que pertenece al conjunto deMandelbrot se dibuja en el plano complejorepresentado en la pantalla. La estructuradel conjunto se muestra en la figura 10. Denuevo es importante señalar que los

detalles del conjunto se hacen másnotorios al incrementar el valor de lavariable. Paso (número de valores de cvisitados) o la resolución del monitor. Lasilustraciones más famosas del conjunto deMandelbrot se han realizado en monitoresde color de alta resolución, asignandodiferentes colores a valores de c fuera delconjunto, de acuerdo con la rapidez dedivergencia o escape a infinito de susórbitas (controlado por la variable i; ver las

láminas).

A diferencia de los conjuntos de Julia, delos cuales existe uno para cada valor delparámetro complejo c, el conjunto deMandelbrot es único. Sin embargo, en élestá contenida toda la complejidad decualquier conjunto de Julia imaginable. Porello, analizar los detalles de su contornopuede ser una experiencia inolvidable. Parademostrarlo, recomendamos aquí algunaszonas dignas de exploración, e invitamos allector a hacer sus propios descubrimientosen este mundo fascinante (Peitgen, 1986).

WINDOW Figura (-0.670,0.47) - (-0.365,0.69) 11 (a)

(-0.575,0.585) - (-0.505,0.635) 11(b)(-0.750,0.105) - (-0.740,0115) 11(c)

(-0.7459,0.1119) - (-0.7444,0.1134) 11(d)

(-0.745538,0.11288) - (-0.745054,0.113236) 11(e)



109

(-0.7454356,0.1130037) - (-0.7454215,0.1130139) 11(f)

En estos casos es necesario modificar unpoco el programa anterior para considerar

los nuevos límites del WINDOW, los valoresde inicio de Cr y Ci que correspondan, así como el tamaño del intervalo por recorreren el eje real y en el eje imaginario(indicados en las variables Deltr y Delti).En la medida que el WINDOW es máspequeño resulta recomendable tomar cadavez valores mayores de N.

UN MUNDO DE IMÁGENES

Ping-pong fractal

Los principios en los que se basa el métododel ping-pong fractal son realmentesencillos. Para utilizarlo sólo es necesarioconstruir la tabla del conjunto detransformaciones de afinidad que generanel collage de la figura de base sobre la quese desea trabajar. El resto consiste en

establecer un mecanismo de selecciónazarosa de cada uno de los algoritmoscorrespondientes, para aplicarlositeradamente a partir de un puntoarbitrario inicial. En un lenguaje simplecomo BASIC estas ideas pueden plasmarseen un programa corto como el que se listaa continuación, escrito para el casoparticular de la hoja de helecho fractal(Figura 15 (b)), cuya tabla detransformaciones se encuentra en el

capitulo "Un mundo de imágenes":

REM "Imagen de una hoja de helecho fractal"

CLS: SCREEN 1

WINDOW (-3, 0)-(3.5, 11)



110

1

2

3

4

pl = 0.005: p2 = 0.0975:

f = 3.1416/180

x = 0: y = O

d = RND

x = r * COS(A * f) * x - s * SIN (B * f) * y + h

y = r * SIN(A * f) * x + s * COS (B * f) * y + k

PSET(x, y)

n=n+1

IF n > 20000 THEN 5

REM "Se selecciona al azar cada transformación"

IF d < p1 THEN 2

IF d > p1 AND d < p1 + p2 THEN 3

IF d > p1 + p2 AND d < p1 + p2 + p3 THEN 4

r = 0.85: 5 = 0.85: h = 0

k = 1.6: A = -1.5: B = -1.5

GOTO 1



111

5

r = 0: s = 0.16: h = 0

k = 0: A = 0: B = 0

GOTO 1

r = 0.3: s = 0.37:h =0

k = 0.44: A = 135:B = -40

GOTO 1

r = 0.3: 5 = 0.34:h =0

k = 1.6: A = 45: B= 45

GOTO 1

END

Como puede verse, la elección de cadatransformación de afinidad se hace deacuerdo con el valor aleatorio de la variabled, considerando la probabilidad de visita decada área pi. Las características dellenguaje de programación utilizado, obligana manejar las variables angulares A y B enradianes, por lo que se introduce el factorde transformación f. La nitidez de la figuraobtenida puede mejorarse ya sea utilizando

un monitor de alta resolución oincrementando el número total deiteraciones que en nuestro caso se halimitado a 20 000.

En caso de contar con una paleta de color,la imagen puede enriquecerse por laasignación de colores o tonos distintos deacuerdo con la frecuencia de incidencia encierta región de la pantalla.



112

Debe ser claro que el fractal generado en lacomputadora no es, en el estricto sentidomatemático, un verdadero fractal. Laposibilidad de tener detalle a toda escalaestá restringida por el tamaño de los

puntos desplegados en el monitor, demanera que hay un límite en la repeticiónde la forma original. Aun así, el método esmuy útil para construir excelentesrepresentaciones del caso ideal.

La estructura de este programa puedeservir para reproducir el fractal que sedesee, con tal de cambiar los valores de r,s, h, k, A y B que correspondan a cadatransformación, las probabilidades de visitapi , y cuando se requiera, incluir lastransformaciones de afinidad adicionalesque sean necesarias.

JUEGOS NATURALES

Agregación limitada por difusión

Para simular el crecimiento de un agregado

fractal por el método de agregaciónlimitada por difusión (DLA), lo primero quehay que hacer es elegir el tipo de celda conla que se va a trabajar. Si la celda escircular; hay que colocar una partículasemilla en el origen de una malla regular;si la celda es rectangular, que es el casoque aquí ilustraremos, se coloca una líneade semillas en la base de la malla pararepresentar al electrodo.

El cálculo se inicia añadiendo una partículaen una posición aleatoria alejada de labase, y se permite que inicie sumovimiento siguiendo una caminata alazar. Si al hacer su recorrido casualmentevisita un sitio adyacente a alguna semilla,pasa a formar parte del cúmulo y unanueva partícula se introduce al sistema.Esta recorre su camino azarosamente hastatoparse y adherirse al agregado en

crecimiento. El proceso se repite con unnúmero N de partículas, estableciendo



113

condiciones a la frontera que aseguran elreemplazo de toda partícula que en sutrayectoria aleatoria rebase los límitesimpuestos al sistema.

El siguiente programa en BASIC permitecrecer un agregado fractal en una celdarectangular donde se depositan 900partículas:

REM "DLA para una celda rectangular"

KEY 0FF: RANDOMIZE TIMER CLS: SCREEN 1

WINDOW (-40, -36)-(40, 36)

LINE (-35, -35)-(35, 35), , B

LINE (-30.5, -28.3)-(30.5, -27.7), 3, BF

REM "Condiciones iniciales"

N = 900: Con = 0

WHILE Con <= U

REM "Definición de posición aleatoria"



114

x = -30 + INT(61 * RND): y = 28

LINE (x - 0.4, y - 0.4)-(x + 0.4, y + 0.4), , BF

C=0

REM "Análisis del estado de sitios vecinos"

10

IF (POINT(x + 1, y) <> 0 OR POINT(x - 1, y) <> 0 OR

POINT(x, y + 1) <> 0 OR POINT(x, y - 1) <>0) THEN

C = 1 ELSE C = O

IF C = 1 THEN 30

LINE (x - 0.4, y - 0.4)-(x + 0.4, y + 0.4), 0, BF

REM "Cálculo de nueva posición al azar"

Sel = RND

IF (Sel <= 1/3 AND POINT(x+1, y) = 0) TEENx = x + 1

IF (Sel >= 1/3 AND Sel <=2/3 AND

POINT(x - 1, y) = 0) THEN x = x - 1



115

IF (Sel >= 2/3 AND POINT(x, y-1) = 0) THENy = y - 1

LINE (x - 0.4, y - 0.4)-(x + 0.4, y + 0.4), , BF

REM "Condición a la frontera"

IF (x < -33 OR x > 33 OR y < -33 OR y > 33 )THEN 20

GOTO 10

20 LINE (x - .4, y - .4)-(x + .4, y + .4), 0, BF

GOTO 40

30 Con = Con + 1

40 WEND

END

La agregación por DLA es un procesorelativamente lento, por lo que no hay quedesesperar antes de ver completo eldepósito (Figura 23(b)). El programaanterior puede modificarse con relativafacilidad para trabajar en una celda circularo incluir la posibilidad de que las partículasreboten antes de adherirse (Talanquer,1991). Esto es de utilidad para analizarcómo cambia la estructura y su dimensiónfractal.



116

HUELLAS EN EL TIEMPO

Sobrepoblaciones

El comportamiento temporal de la dinámicapoblacional que corresponde a la relación:

Ni+1= aNi (1-Ni )

puede generarse fácilmente en lacomputadora. Para ello hay que construirun programa en el que, dados los valoresdel parámetro a y la población inicial N0,

se calculen las poblaciones sucesivas N1,N2, N3,..., y se grafiquen como función deltiempo. En BASIC (Cortés, 1992):

REM "Comportamiento temporal de lapoblación"

INPUT "Dame el parámetro de crecimiento a

(0-4)", a

INPUT "Dame la población inicial No (0-1)",No

CLS: SCREEN 2

WINDOW (-5, -0.1)-(105, 1.1)

LINE (0, 0)-(0,1): LOCATE 2, 2: ?"N"

LINE (100, 0)-(0,0): LOCATE 22, 75:?"t"

REM "Cálculo del comportamiento temporal"

FOR i=0 TO 100



117

LINE -(i, No)

No = a * No * (i - No)

NEXT i

END

Las gráficas que se generan son como lasde la figura 28 y corresponden a un análisisen el que se realizan 100 iteraciones. Paraobtener el diagrama de bifurcaciones(Figura 29), la iteración debe hacerse paravarios valores sucesivos de a, graficandopara cada uno de ellos los distintos valoresque alcanza la población en las últimasiteraciones (si se hacen 100 por ejemplo,basta tomar las últimas 25):

REM "Diagrama de bifurcaciones"

INPUT "Dame la población inicial No (0-1)",No

CLS: SCREEN 2

WINDOW (2.75, -0.1)-(4.1, 1.1)

LINE (2.8, 0)-(4, 1)9 , B

LOCATE 2, 2: PRINT "N": LOCATE 23, 77:PRINT "a"

REM "Cálculo y representación gráfica"



118

FOR a = 2.8 TO 4 STEP 0.002

FOR i = 1 TO 100

No = a * No * (1 - No)

IF i > 75 THEN PSET (a, No)

NEXT i

NEXT a

END

Si se desea utilizar la computadora comomicroscopio y hacer ampliaciones, bastacambiar los límites de la instrucciónWINDOW, y el intervalo de valores a que serecorre.

AUTÓMATA CELULAR

Recordemos que el autómata celular cuyo

comportamiento nos interesa investigarestá definido en una malla unidimensionalen la que cada celda puede tomar uno dedos valores posibles: 0 o 1. La regla deevolución temporal que se ha elegido seresume en una tabla como la siguiente, enla que se establece cuál será el nuevoestado de cada celda, como función de lasuma de los valores que tenían ella y susdos primeros vecinos en la etapa anterior:

SUMA 0 1 2 3



119

NUEVO ESTADO 0 1 1 0

El programa de computadora por construirdebe entonces analizar cuánto vale la suma

en cada una de las celdas, y con base enello cambiar su estado. Después deactualizar a todo el sistema se elige uncódigo de color: 1-negro, 0-blanco, porejemplo, y se dibuja el resultado. Elproceso se repite tantas veces como sequiera, desplegando en la pantalla, unatras otra, la estructura que se tiene encada etapa:

REM "Autómata celular"

DIM Vieja(105),Nueva(105)

CLS: SCREEN 2

WINDOW (0, -100)-(100,

0)

j = -1

REM "Condiciones inicialesal azar"

FOR i = 1 TO 100

Vieja(i) = IIT (2 * RND)

IF Vieja(i) = 1 THEN

LINE (i, j)-(i + 1, j + 1), ,

BF



120

10

NEXT i

REM "Nuevos estados"

FOR i = 2 TO 99

Sum = Vieja(i) + Vieja(i +1) + Vieja(i - 1)

IF Sum = 0 THEN Nueva(i)

= 0

IF Sum = 1 THEN Nueva(i)= 1

IF Sum = 2 THEN Nueva(i)= 1

IF Sum = 3 THEN Nueva(i)

= 0

NEXT i

Nueva(1) = Nueva(99)

Nueva(100) = Nueva(2)

j = j - 1

REM "Actualización"

FOR i = 1 TO 100



121

IF Nueva(i) = 1 THEN

LINE (i, j)-(i + 1, j + 1), ,BF

Vieja(i) = Mueva(i)

NEXT i

IF j >= -100 THEN 10

END

Es interesante modificar el programa

anterior para alterar las condicionesiniciales o la regla de evolución delautómata. Algunos de los patrones quecaracterizan al sistema se presentan en lafigura 31 y muestran la estructuraalcanzada después de 100 etapas.

B I B L I O G R A F Í A

De todos los posibles, los siguientes librosy artículos fueron fundamentales en la

elaboración de este libro:



122

Argoul, F., et al. "Self-Similarity of Diffusion-Limited Aggregates andElectrodeposition Clusters", Phys. Rev.Lett. 61(22) 2558 (1988).

Bak, P. y K Chen. "Self-OrganizedCriticality", Scientific American 264 (1) 26(1991).

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CONACYT, México, 1986.

Briggs, J. y F. D. Peat. Turbulent Mirror,

Harper and Row, Nueva York, 1990.

Córdoba, J., V. Talanquer y G. Irazoque."Patrones de flujo", Eduq. quím. 4(1) 32(1993).

Cortés, F., A. Gamboa, Y. Talanquer y G.Irazoque, "Caoticidades", Eduq. quím. 3 (4)xxx (1992).

Crutchfield, J. P., J. Doyne Farmer, N. H.Packard y R. S. Sahw, "Chaos", Scientific American, 256 (6) 46(1986).

Davies, P., The Cosmic Blueprint. Heinemann, Londres, 1987.

Dewdney, A. K "Computer Recreations",Scientific American, 253 (2) 16 (1985);

255 (6) 14 (1986): 257 (1) 108 (1987);257 (5)140 (1987); 262 (5) 90 (1990).

Dresden, M., "Chaos: A New ScientificParadigm or Science by Public Relations?",The Physics Teacher; 30, 11 (1992); 30, 75 (1992).

Feder, J. Fractals, Plenum Press, EUA, 1989.



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Gardner, M., "Mathematical Games",Scientific American, 235 (6)124 (1976).

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Gould, H. y J. Tobochnik, An Introduction

to Computer Simulation Methods. Applications to Physical Systems, parte 1 y2, Addison Wesley, EUA, 1988.

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Language of Fractals", Scientific American263 (2) 40 (1990).

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Liang, S. "Random-walk Simulations of Flow in the Hele-Shaw Celis", Phys. Rev. A

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_____, B., "An Interview", Omni, 5 febrero1984.

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Nicolis, G. "Physics of far-from-equilibriumSystems and self-organization", en TheNew Physics, Paul Davies (compilador.),Cambridge University Press, Inglaterra,1989.

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Prigogine, I. el. Stengers, Order out of Chaos, Bantam, EUA, 1989.

Rietman, E., Exploring the Geometry of Nature, Windcrest Books. EUA, 1989.

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Sawada, Y., A Dougherty y J. P. Gollub."Dendritic and Fractal Patterns inElectrolytic Metal Deposits", Phys. Rev.Lett. 56 (12)1260 (1986).

Talanquer, V. y G. Irazoque. "Fractales". Eduq. quím. 2 (3)114 (1991); ¿ Qué esautorganización? I. El problema de laconvección, 2 (4) 166 (1991): ¿Qué esautorganización? II. Reacciones oscilantes,3(1) 36 (1992); ¿Qué es autorganización?III. Ondas químicas, 3 (2) 89" (1992).

Tang, C. "Diffusion-limited Aggregation anddie Saffman-Taylor Problem", Phys. Rev. A31, 1977 (1985).

Voss, R. F. y M. Tomkiewicz. "ComputerSimulation of Dendritic Electrodeposition", J Electrochem. Soc. 132 (2) 371(1985).

Walker, J., "The Amateur Scientist. Fluidinterfaces, including fractal lows can bestudied in a Hele-Shaw cell", Scientific American 57 (5)134 (1987).

Witten, T. A. y L. M. Sander. "Diflusion-Limited Aggregation, a Kinetic CriticalPhenomenon", Phys. Rev. Lett. 47 (19)1400 (1981); "Diffusion-LimitedAggregation", Phys. Rev. B. 27 (9) 5686(1983).

C O L O F Ó N

Este libro se terminó de imprimir yencuadernar en el mes de noviembre de



126

1996 en la Impresora y EncuadernadoraProgreso, S.A. de C.V. (IEPSA) Calzada deSan Lorenzo, 244; 09830 México, D.F. Laformación y tipografía se hicieron en elTaller de Composición del FCE y estuvieron

a cargo de Angelina Peña Urquieta. Setiraron 7 000 ejemplares. La Ciencia desdeMéxico es coordinada editorialmente porMARCO ANTONIO PULIDO y MARÍA DEL CARMENFARÍAS.

C O N T R A P O R T A D A

Hace unos 15 años se acuñó el términofractal para describir ciertas formasgeométricas cuya estructura se repite encada una de sus partes, y en las partes desus partes. Hoy en día aparecen en ladistribución de las estrellas de nuestra

galaxia, en las irregularidades de una costay en el latir de un corazón. Se ramifican ennuestro cuerpo en alvéolos y redesneuronales. Se dibujan en la evolución delos sistemas caóticos y constituyen lahuella de fallas y fracturas. Una marcafractal señala la distribución de losepicentros de los temblores, la repeticiónde las palabras de un texto e incluso lasfluctuaciones de precios en un mercado.Las reglas de la geometría fractal se

emplean para crear, reproducir; almacenary transmitir imágenes. Así hanrevolucionado en todos sentidos la maneraen la que captamos la imagen del universo.

Pero, ¿qué es realmente un fractal?,¿cuáles sus propiedades?, ¿cómo y dóndepodemos identificarlo o constituirlo? Éstasson algunas preguntas que VicenteTalanquer responde en este textoutilizando ejemplos sencillos de las áreas

de la física, la química y las matemáticas.El libro no sólo pretende que el lector



127

descubra el mundo de los fractales, sinotambién que aprenda a recrearlo. Alrespecto se han incluido algunosexperimentos sencillos y la descripción deprogramas de computadora (en BASIC) que

permiten reproducir la mayoría de lasilustraciones del texto. Con un ligeroesfuerzo el libro servirá de guía para que ellector cree sus propios fractales.

Los fractales ofrecen una perspectivadistinta para describir y estudiar formas ysistemas complejos en la naturaleza. Así,resultan de gran interés para los físicos,biólogos, médicos y economistas. Ellenguaje de la geometría fractal hapermeado el quehacer científico moderno yel libro intenta introducir el diccionariobásico que necesitamos paracomprenderlo.

Vicente Talanquer estudió química en laUNAM, donde también obtuvo el doctoradoen fisicoquímica. Actualmente es profesorde tiempo completo en la facultad deQuímica de la UNAM y miembro del Sistema

Nacional de Investigadores. Su trabajo deinvestigación se concentra en el estudio delas propiedades, microscópicas de sistemascomplejos, el cual combina con su labordocente y de difusión científica.

Documents

Fractus Fracta Fractal Fractales Laberintos Espejos