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Costruzioni geometriche: perche gli origamibattono la riga ed il compasso.
Francesco Veneziano
5 agosto 2008
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.
Costruzione dei poligoni regolari
Costruire tutti i poligoni regolari.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.
Costruzione dei poligoni regolari
Costruire tutti i poligoni regolari.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.
Costruzione dei poligoni regolari
Costruire tutti i poligoni regolari.
I problemi classici della geometria euclidea
Quadratura del cerchio
Costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio assegnato.
Trisezione dell’angolo
Costruire un angolo avente ampiezza pari ad un terzo di quella diun angolo assegnato.
Duplicazione del cubo
Costruire un cubo avente volume doppio di quello di un cuboassegnato.
Costruzione dei poligoni regolari
Costruire tutti i poligoni regolari.
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.
• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.
• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.
• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni
• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.
La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.
• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.
• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.
• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni
• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.
La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.
Le regole del gioco
Il primo matematico a considerare valide solo le costruzioni conriga e compasso fu Oenopide (500-450 a.C.).
• Dati due punti possiamo tracciare la retta che li congiunge.
• Dati due punti possiamo tracciare la circonferenza che hacentro in uno di essi e passa per il secondo.
• Date due rette possiamo trovare la loro intersezione.
• Data una retta e una circonferenza possiamo trovare le lorointersezioni
• Date due circonferenze possiamo trovare le loro intersezioni.
La riga di Euclide non e graduata.Il compasso di Euclide non conserva le distanze tra un utilizzo ed ilsuccessivo.
Diversi punti di vista
Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica erainterpretata in senso geometrico.
Noi vogliamo impiegare l’algebra per investigare la geometria.
Diversi punti di vista
Per i greci la geometria era la “vera” matematica, e l’aritmetica erainterpretata in senso geometrico.
Noi vogliamo impiegare l’algebra per investigare la geometria.
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}
Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}
Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}
Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C
Punti costruibili e numeri costruibili
Un punto e costruibile se e ottenibile a partire da un segmentounitario con un numero finito di passi euclidei.
Un numero reale e costruibile se e ascissa di un punto costruibile.
C = {x ∈ R | il punto (x , 0) e costruibile}
Il punto (a, b) e costruibile ⇔ a, b ∈ C
Le proprieta algebriche dei punti costruibili
• 0 ∈ C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
• 1 ∈ C
• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C
• x ∈ C ⇒√
x ∈ C
Le proprieta algebriche dei punti costruibili
• 0 ∈ C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
• 1 ∈ C
• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C
• x ∈ C ⇒√
x ∈ C
Le proprieta algebriche dei punti costruibili
• 0 ∈ C
• x ∈ C ⇒ −x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ x + y ∈ C
• 1 ∈ C
• x ∈ C , x 6= 0⇒ 1x ∈ C
• x , y ∈ C ⇒ xy ∈ C
• x ∈ C ⇒√
x ∈ C
Non c’e altro
Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)
(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)
Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2
A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1
)
Non c’e altro
Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)
(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)
Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2
A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1
)
Non c’e altro
Retta per i punti (x1, y1) e (x2, y2)
(x − x1)(y2 − y1) = (y − y1)(x2 − x1)
Circonferenza con centro in (x1, y1) e raggio r
(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2
Intersezione delle rette A1x + B1y + C1 = 0 e A2x + B2y + C2 = 0(C2B1 − C1B2
A1B2 − A2B1,A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1
)
Non c’e altro
Intersezioni della retta Ax + By + C = 0 e della circonferenza(x − x1)2 + (y − y1)2 = r2(
B2x1 − ABy1 − AC ± B√
∆
A2 + B2,A2y1 − ABx1 − BC ∓ A
√∆
A2 + B2
)∆ = r2(A2 + B2)− (Ax1 + By1 + C )2
Non c’e altro
Intersezioni delle circonferenze (x − x1)2 + (y − y1)2 = r21 e
(x − x2)2 + (y − y2)2 = r22(
−(x1 − x2)(r21 − r2
2 − x21 + x2
2 ) + (x1 + x2)(y1 − y2)2 ± (y1 − y2)√
∆
2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2,
−(y1 − y2)(r21 − r2
2 − y21 + y2
2 ) + (y1 + y2)(x1 − x2)2 ∓ (x1 − x2)√
∆
2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2
)∆ = −[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 − r2)2][(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 + r2)2]
x ∈ C ⇔ x si puo scrivere usando i numeri razionali, le quattrooperazioni e la radice quadrata
Non c’e altro
Intersezioni delle circonferenze (x − x1)2 + (y − y1)2 = r21 e
(x − x2)2 + (y − y2)2 = r22(
−(x1 − x2)(r21 − r2
2 − x21 + x2
2 ) + (x1 + x2)(y1 − y2)2 ± (y1 − y2)√
∆
2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2,
−(y1 − y2)(r21 − r2
2 − y21 + y2
2 ) + (y1 + y2)(x1 − x2)2 ∓ (x1 − x2)√
∆
2(x1 − x2)2 + 2(y1 − y2)2
)∆ = −[(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 − r2)2][(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (r1 + r2)2]
x ∈ C ⇔ x si puo scrivere usando i numeri razionali, le quattrooperazioni e la radice quadrata
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.
x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico
x =
√√2 +√
3
x2 =√
2 +√
3
x4 = 2 + 2√
6 + 3
(x4 − 5)2 = 24
x8 − 10x4 + 1 = 0
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.
x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico
x =
√√2 +√
3
x2 =√
2 +√
3
x4 = 2 + 2√
6 + 3
(x4 − 5)2 = 24
x8 − 10x4 + 1 = 0
Una condizione necessaria
Diciamo che un numero e algebrico se e soluzione di un polinomioa coefficienti razionali.
x ∈ C ⇒ x e un numero algebrico
x =
√√2 +√
3
x2 =√
2 +√
3
x4 = 2 + 2√
6 + 3
(x4 − 5)2 = 24
x8 − 10x4 + 1 = 0
La quadratura del cerchio e impossibile
Il problema della quadratura del cerchio e risolvibile ⇔√π ∈ C
π e trascendente (Lindemann, 1882)
La quadratura del cerchio e impossibile
Il problema della quadratura del cerchio e risolvibile ⇔√π ∈ C
π e trascendente (Lindemann, 1882)
Il grado di un campo
Q(√
2) = {a + b√
2 | a, b ∈ Q}Q(√
2,√
3) = {a + b√
2 + c√
3 + d√
6 | a, b, c , d ∈ Q} ={a + b
√3 | a, b ∈ Q(
√2)}
Se F ⊇ K sono campi, il grado di F su K ([F : K ]) e “il minimonumero di paramentri” in K necessari per descrivere un elemento
di F (la dimensione di F come spazio vettoriale su K )
Se F ⊇ K ⊇ E allora [F : K ] · [K : E ] = [F : E ]
Il grado di un numero algebrico
Il grado di un numero algebrico α e il grado del polinomio di gradominimo di cui α e radice.
Se α e un numero algebrico di grado d ,Q(α) = {a0 + a1α + a2α
2 + · · ·+ ad−1αd−1 | a0, . . . , ad−1 ∈ Q} e
un campo, e [Q(α) : Q] = d
La duplicazione del cubo e impossibile
Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√
2 ∈ C
Il polinomio minimo di 3√
2 e x3 − 2
Il grado di 3√
2 e 3
La duplicazione del cubo e impossibile
Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√
2 ∈ C
Il polinomio minimo di 3√
2 e x3 − 2
Il grado di 3√
2 e 3
La duplicazione del cubo e impossibile
Il problema della duplicazione del cubo e risolvibile ⇔ 3√
2 ∈ C
Il polinomio minimo di 3√
2 e x3 − 2
Il grado di 3√
2 e 3
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e
costruibile
Un angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile
cos 2π3 = −1
2
cos 2π5 =
√5−14
cos 2π17 = − 1
16 +√
1716 + 1
16
√34− 2
√17 +
18
√17 + 3
√17−
√34− 2
√17− 2
√34 + 2
√17 (Gauss, 1796)
Qual e il grado di cos 2πn ?
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e
costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile
cos 2π3 = −1
2
cos 2π5 =
√5−14
cos 2π17 = − 1
16 +√
1716 + 1
16
√34− 2
√17 +
18
√17 + 3
√17−
√34− 2
√17− 2
√34 + 2
√17 (Gauss, 1796)
Qual e il grado di cos 2πn ?
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e
costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile
cos 2π3 = −1
2
cos 2π5 =
√5−14
cos 2π17 = − 1
16 +√
1716 + 1
16
√34− 2
√17 +
18
√17 + 3
√17−
√34− 2
√17− 2
√34 + 2
√17 (Gauss, 1796)
Qual e il grado di cos 2πn ?
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e
costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile
cos 2π3 = −1
2
cos 2π5 =
√5−14
cos 2π17 = − 1
16 +√
1716 + 1
16
√34− 2
√17 +
18
√17 + 3
√17−
√34− 2
√17− 2
√34 + 2
√17 (Gauss, 1796)
Qual e il grado di cos 2πn ?
Un nuovo poligono regolare
Il poligono regolare con n lati e costruibile ⇔ l’angolo 2πn e
costruibileUn angolo θ e costruibile ⇔ cos θ e costruibile
cos 2π3 = −1
2
cos 2π5 =
√5−14
cos 2π17 = − 1
16 +√
1716 + 1
16
√34− 2
√17 +
18
√17 + 3
√17−
√34− 2
√17− 2
√34 + 2
√17 (Gauss, 1796)
Qual e il grado di cos 2πn ?
I primi di Fermat
cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1
2j + 1 e primo ⇒ j = 2h
Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537
I primi di Fermat
cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1
2j + 1 e primo ⇒ j = 2h
Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537
I primi di Fermat
cos 2πn ha grado ϕ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | k ed n sono coprimi}|
L’n-agono regolare e costruibile ⇔ n = 2kp1, . . . , pr dovep1, . . . , pr sono numeri primi distinti della forma p = 2j + 1
2j + 1 e primo ⇒ j = 2h
Gli unici numeri primi di questa forma noti sono 3, 5, 17, 257,65537
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.
Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.
Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.
La trisezione dell’angolo
cos(3θ) = 4 cos3 θ − 3 cos θ
L’angolo α e trisecabile ⇔ e possibile esprimere le soluzionidell’equazione cosα = 4x3 − 3x usando solo il numero cosα, inumeri razionali, le quattro operazioni e la radice quadrata.
Alcuni angoli si possono trisecare, ma l’angolo “generico” no.
Senza mani!
Teorema di Poncelet-Steiner
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire conla sola riga, purche sia dato anche un cerchio col suo centro.
Data una circonferenza non e possibile trovare il suo centro con lasola riga.
Teorema di Mohr–Mascheroni
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire colsolo compasso.
Senza mani!
Teorema di Poncelet-Steiner
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire conla sola riga, purche sia dato anche un cerchio col suo centro.
Data una circonferenza non e possibile trovare il suo centro con lasola riga.
Teorema di Mohr–Mascheroni
Ogni costruzione eseguibile con riga e compasso si puo eseguire colsolo compasso.
Gli assiomi degli origami
1. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che passa perentrambi.
2. Dati due punti p1 e p2 esiste un’unica piega che porta p1 in p2
Gli assiomi degli origami
3 Date due linee l1 e l2 esiste una piega che porta l1 in l2
4 Dato un punto p1 e una linea l1 esiste un’unica piegaperpendicolare a l1 passante per p1
Gli assiomi degli origami5 Dati due punti p1 e p2 e una linea l1 esiste una piega che
porta p1 su l1 e passa per p2
7 Dato un punto p1 e due linee l1 e l2 esiste una piega che portap1 su l1 ed e perpendicolare a l2
Gli assiomi degli origami
6 Dati due punti p1 e p2 e due linee l1 e l2 esiste una piega cheporta p1 su l1 e p2 su l2
Questo assioma non e eseguibile con riga e compasso.
E equivalente a trovare la retta tangente simultaneamente a dueparabole.
E equivalente alla soluzione delle equazioni di terzo grado.