Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat04-2017.pdf · nakon toga obi cno naziva postklasi cnim. die R omer im Laufe des 2. und 1. Jh

Euklid Aristarh Eratosten Apolonije Arhimed

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2018.

Helenizam

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Helenizam

Helenizam zapocinje s dobom Aleksandra Makedonskog (356–323pr. Kr.). Nakon njegove smrti carstvo se raspalo na manja carstvanjegovih dijadoha, sva s jakim utjecajem grcke kulture.Aleksandar je 331 pr. Kr. osnovao Aleksandriju. Ona je do krajaantike ostala glavni centar znanosti. Posebice se to odnosi namuseion, vrstu sveucilista koje je sadrzavalo znamenitualeksandrijsku knjiznicu, ciji sadrzaj je vecim dijelom unisten upozaru pri rimskoj opsadi 48. pr. Kr.Nakon sto su Rimljani tijekom 2. i 1. st. pr. Kr. osvojili sve grcketeritorije doslo je do jakog pada znanstvene djelatnosti te se periodnakon toga obicno naziva postklasicnim. die Romer im Laufe des2. und 1. Jh. v. Chr. griechische Lander erobert hatten,Prvi znacajni matematicar koji je djelovao u museionu bio je Euklid.Vec smo rekli: Dio sadrzaja Euklidovih Elemenata pripisuje sepitagorejcima, npr. EEX29. Posebno se to odnosi na tri knjige kojesadrze rezultate iz teorije brojeva: VII, VIII, IX.


Povijest matematike

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html#lemma2


Euklid Aleksandrijski (ca. 330. - 275.)

O Euklidovom se zivotu gotovo nista pouzdano ne zna.Najznacajnije Euklidovo djelo su njegovi Elementi, u originaluΣτoιχεια.Od drugih Euklidovih matematickih djela vrijedi spomenuti Data(odredivanje elemenata geometrijskih likova iz zadanih), Odijeljenju figura (u zadanom omjeru), Optika (perspektiva) ,Phaenomena (uvod u matematicku astronomiju), . . .No, Elementi su djelo koje je zauvijek promijenilo matematiku . . .


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

Euklidovi Elementi

sinteza tad poznate matematike u 13 knjiga velicine poglavlja(u kasnijem razdoblju tim su knjigama pridodane jos dvije,nebitne, knjige);

EE su znacajni zbog stila pisanja: teoremi (propozicije) sulogicki poredani tako da svaki slijedi iskljucivo iz vecdokazanih ili pak iz osnovnih tvrdnji danih na pocetku, azakljucci se izvode strogo deduktivno;ideja je izvesti svu matematiku (geometriju) iz malog brojapocetnih pretpostavki: aksioma i postulata (aksiomi su viseopcematematicke, a postulati geometrijske pretpostavke);do 20. st. EE su bili apsolutni uzor matematickog djela;vecina sadrzaja pripisuje se pitagorejcima i jonskom periodu(I, II, VI–IX, XI), Hipokratu (III, IV), Eudoksu (V, XII) teTeetetu (X, XIII).


Povijest matematike

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html


Euklidovi Elementi

Definicije

Imade ih 23 na pocetku i onda jos na pocetcima vecine knjiga.Prva definicija glasi: Tocka je ono sto nema dijela. Dalje se u tih23 definicije iz EEI definiraju duzine, pravci, razne vrste likova,kutovi, krugovi, te naposlijetku

Definicija (Paralelni pravci)

Paraleni pravci su pravci u istoj ravnini koji, koji se, ako ih u obasmjera produljimo u beskonacnost, nikad ne susrecu.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

Pet Euklidovih aksioma

1 Dvije stvari koje su jednake trecoj su i medusobno jednake.

2 Ako jednakom dodamo jednako, dobit cemo jednako.

3 Ako jednakom oduzmemo jednako, dobit cemo jednako.

4 Ono sto se podudara je jednako.

5 Cjelina je veca od dijela.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

Pet Euklidovih postulata

1 Od jedne tocke k drugoj povuci duzinu.

2 Proizvoljno produljiti duzinu.

3 Oko proizvoljne tocke nacrtati kruznicu proizvoljnogpolumjera.

4 Svi pravi kutovi su jednaki.

5 Ako pravac sijece dva pravca tako da je zbroj unutrasnjihkuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dvapravca (ako se dovoljno produze) na toj strani sijeku.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi








Povijest matematike


Euklidovi Elementi








Povijest matematike


Euklidovi Elementi








Povijest matematike


Euklidovi Elementi

EEI

U EEI dani su rezultati (48 propozicija) elementarne planimetrije,primjerice teoremi o sukladnosti trokuta.

Propozicija ( EEI1 )

Konstrukcija jednakostranicnog trokuta zadane duljine stranice.


Konstrukcija paralelograma zadanog kuta jednakog zadanomtrokutu.

A

B CD

α

E

F G


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI1.html



Euklidovi Elementi


Konstrukcija paralelograma zadanog kuta jednakog zadanomtrokutu i zadane duljine stranice.

α

F G

CD

E a

H

IJ K


Konstrukcija paralelograma zadanog kuta jednakog zadanommnogokutu.


Povijest matematike




Euklidovi Elementi

EEII

EEII sadri 2 definicije i 14 propozicija geometrijske algebre.

Propozicija ( EEII4 , EEII5 )

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2, xy =( x+y

2

)2 −( x−y

2

)2

a2

b2ab

ba

a b

b

a

x

xy

y

y y2

x+y2

x+y2

(x−y2

)2

x+y2


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propII4.html



Euklidovi Elementi

EEII11: konstrukcija dijeljenja duzine u omjeru zlatnog reza

EEII12 i EEII13: kosinusov poucak bez trigonometrije — tamogdje bismo mi pisali umnozak jedne stranice s kosinusom kuta,Euklid koristi povrsinu pravokutnika odredenog tom stranicom injenom projekcijom na drugu, tom kutu susjednu stranicu

Propozicija ( EEII14 )

Kvadratura proizvoljnog mnogokuta.

A B

CD

E

F


Povijest matematike



Euklidovi Elementi

EEII11: konstrukcija dijeljenja duzine u omjeru zlatnog rezaEEII12 i EEII13: kosinusov poucak bez trigonometrije — tamogdje bismo mi pisali umnozak jedne stranice s kosinusom kuta,Euklid koristi povrsinu pravokutnika odredenog tom stranicom injenom projekcijom na drugu, tom kutu susjednu stranicu



A B

CD

E

F


Povijest matematike



Euklidovi Elementi

EEII11: konstrukcija dijeljenja duzine u omjeru zlatnog rezaEEII12 i EEII13: kosinusov poucak bez trigonometrije — tamogdje bismo mi pisali umnozak jedne stranice s kosinusom kuta,Euklid koristi povrsinu pravokutnika odredenog tom stranicom injenom projekcijom na drugu, tom kutu susjednu stranicu



A B

CD

E

F


Povijest matematike



Euklidovi Elementi

EEIII

EEIII sadrzi 11 definicija i 37 propozicija iz planimetrije kruznice ikruga.

Propozicija ( EEIII1 )

Odredivanje sredista zadane kruznice.

A B

C

D

MM PQ

S2

S1

Propozicija ( EEIII17 )

Konstrukcija tangente na kruznicu iz tocke izvan kruznice.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propIII1.html



Euklidovi Elementi

Propozicija ( EEIII35 , EEIII36 )

Ako je k kruznica i P tocka koja ne lezi na k, onda je za svakipravac p kroz P |PA| · |PB| konstantno, ako su A i B sjecista p i k.

kP

k

P


Povijest matematike




Euklidovi Elementi

EEIV

EEIV opisuje konstrukcije konstrukcije pravilnih mnogokuta (7 definicija i16 propozicija) upisanih i opisanih kruznicama. Euklidova

konstrukcija pravilnog peterokuta kompliciranija je od danas uobicajene

(H. W. Richmond, 1893). Najzanimljivija je ovdje propozicija

Propozicija ( EEIV16 )

Konstrukcija pravilnog 15-erokuta upisanog kruznici.

Ona je vrhunac u konstrukcijama pravilnih poligona do Gaussa, koji je1796. otkrio konstrukciju pravilnog 17-erokuta.


Povijest matematike

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIV/propIV11.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propIV16.html


Euklidovi Elementi

EEV i EEVI

EEV smo vec opisali: Ona sadrzi 18 definicija i 23 propozicijaEudoksove opce teorije omjera i razmjera, koja pak u EEVIpoprima geometrijski oblik. U EEVI obraduje se slicnost igeometrijski omjeri (4 definicije i 33 propozicije).

EEVI, def. 1

Dva uglata lika zovemo slicnima ako su im odgovarajuci unutrasnjikutovi jednaki i odgovarajuce stranice razmjerne.

Propozicija ( EEVI9 )

Kako podijeliti duzinu na odredeni broj jednakih dijelova?

Propozicija ( EEVI12 , EEVI13 )

Kako za zadane duljine a, b i c konstruirati x sa svojstvoma : b = c : x odnosno. a : x = x : b.

a b

c

x

a b

x


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propVI9.html




Euklidovi Elementi

Descartes je u 17. st. uocio da se ove propozicije mogu koristiti zamnozenje, dijeljenje i korjenovanje duzina (tako da rezultat operbude duzina). Drugim rijecima: Nakon Descartesa je poznato dase iz zadanih duljina a i b mogu ravnalom i sestarom konstruiratiduljine a + b, a− b, ab, a/b i

√a.

Propozicija (Generalizirani Pitagorin poucak, EEVI31 )

U pravokutnim je trokutima lik nad hipotenuzom jednak zbrojutom liku slicnih likova nad katetama.


Povijest matematike



Euklidovi Elementi

EEVII

Prva od tri knjige koje se bave teorijskom aritmetikom i teorijombrojeva. Ova sadrzi 22 definicije i 39 propozicija o djeljivosti uskupu prirodnih brojeva.

EEVII, (def. 11, 12 i 13)

Prost broj je broj koji se moze izmjeriti samo jedinicom.Dva broja su relativno prosta ako je jedinica jedina njihovazajednicka mjera.Slozen broj je broj koji se moze izmjeriti drugim brojem.

Od propozicija, najzanimljivija je EEVII2, koja opisuje Euklidovalgoritam za odredivanje najvece zajednicke mjere dva broja. Kaokorolar Euklid iskazuje: Ako neki broj mjeri dva broja, onda mjeri injihov zajednicki djelitelj. U EEVII34 je pak opisano odredivanjenajmanjeg zajednickog visekratnika dva broja.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

EEVIII

Ova knjiga sadrzi 27 propozicija o kvadratnim i kubnim brojevimate geometrijskim nizovima (produljenim razmjerima).

Propozicija (Generalizirani Pitagorin poucak, EEVIII7 )

Ako prvi broj mjeri zadnji broj konacnog geometrijskog niza, ondadijeli i drugi.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propVIII7.html


Euklidovi Elementi

EEVIX

Ovdje nalazimo jos 36 propozicija iz teorije brojeva, posebnopitagorejske teorije parnih i neparnih brojeva (spomenuli smo vec ipropoziciju o parnim savrsenim brojevima), od kojih jenajpoznatija:

Propozicija (Euklidov teorem, EEIX20 )

Prostih brojeva ima vise nego u bilo kojem zadanom skupu(nabrojanih) prostih brojeva.

Zanimljiv je i djelomicni osnovni teorem aritmetike:

Propozicija ( EEIX14 )

Ako je neki broj najmanji takav da ga mjere neki prosti brojevi,onda ga ne mjeri nikoji drugi prost broj osim njih.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propIX20.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propIX14.html


Euklidovi Elementi

EEX

Ova knjiga sadrzi klasifikaciju kvadratnih iracionalnosti (16definicija i 115 propozicija).EEX1 je temelj Eudoksove metode ekshaustije i ne koristi se daljeu ovoj knjizi, a spomenuli smo i lemu u kojoj je dana Euklidova

”formula” za primitivne pitagorejske trojke. No, te propozicije

bitno odudaraju od ostatka. Ugrubo receno, ova se knjiga bavipreoblikovanjem kvadratnih iracionalnosti koristeci pravilo kojedanas pisemo kao

√√a±√

b =

√√a +√

a− b

2±

√√a−√

a− b

2.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

Definicija (EEX, prve 4 definicije)

Dvije su velicine sumjerljive ako posjeduju zajednicku mjeru, inacesu nesumjerljive.Dvije duljine su kvadratno sumjerljive ako su im kvadratisumjerljivi.Ako je zadana jedinicna duljina, sve duljine koje su s njomsumjerljive ili kvadratno sumjerljive zovu se racionalne, a ostaleiracionalne.Ako je zadan jedinicni kvadrat, sve njemu sumjerljive povrsine zovuse racionalne, a ostale iracionalne.

U EEX2 karakterizirane su nesumjerljive velicine: Ako dvijevelicine nisu sumjerljive, onda u Euklidovom algoritmu nijedandobiveni ostatak ne dijeli manju (tj. onu s kojom se u doticnomkoraku dijeli).


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX2.html


Euklidovi Elementi

Mnoge propozicije sadrze dodatne definicije.

Definicija (EEX21, EEX36)

Ako su dvije duljine samo kvadratno sumjerljive, one odredujuiracionalni pravokutnik, a stranica njemu jednakog kvadrata jeiracionalna duzina koja se zove medijalnom u odnosu na polaznedvije. Njihov zbroj je takoder iracionalan i zove se binomijal.Moderno iskazano: ako za a, b ∈ Q

√a i√

b nisu racionalni, onda

je√√

ab = 4√

ab medijalna, a√

a +√

b binomijal.


Povijest matematike


Euklidovi Elementi

EEXI

Ova knjiga obraduje elementarnu steoremetriju (28 + 39).Zanimljiva je definicija sfere (def. 14) kao rotacione plohe kojanastaje rotacijom polukruznice oko promjera.EEXI11,12 : Konstrukcija okomice na ravninu.

EEXI21 : Prostorni kut se moze dobiti samo iz ravninskih kutovaciji zbroj je manji od cetiri prava kut.aEEXI32 : Volumeni paralelepipeda iste visine odnose se kao

njihove visine.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXI11.html




Euklidovi Elementi

EEXII

Ovdje se EEX1 primjenjuje na stereometriju (0 + 18).

EEXII2 : Krugovi se odnose kao kvadrati njihovih promjera.

EEXII6 : Piramide istih visina se odnose kao njihove baze.

EEXII7 : Trokutastu prizmu mozemo podijeliti na tri trokutastepiramide istih volumena.EEXII10 : Stozac je trecina valjka iste baze i visine.

EEXII18 : Kugle se medusobno odnose kao trostruki omjerinjihovih dijametara.


Povijest matematike

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXI/propXII2.html






Euklidovi Elementi

EEXIII

Zadnja knjiga EE obraduje pravilne poliedre (0 + 18).

A C BD

EF

G

H

I J

K

D′

F ′

L

Slika: Konstrukcija bridova 5 Platonovih tijela u istoj sferi (tetraedarcrveno, kocka zeleno, oktaedar sivo, dodekaedar ljubicasto, ikozaedarplavo). Tocka D dijeli promjer AB u omjeru 1 : 2. Tocke D i D ′, odnosnoI i J su simetricne obzirom na CE , a L dijeli F ′B u omjeru zlatnog reza.


Povijest matematike


Aristarh sa Samosa (ca. 310.–250. pr. Kr.)

Plutarh: Aristarh je predlagao hipotezu da se Zemlja krece okoSunca po kruznici i istovremeno rotira oko svoje osi (Kopernikje znao za Aristarha i pozivao se na njega).

Usporedba velicine Zemlje i Mjeseca: omjer promjera Zemlje iMjeseca priblizno 7 (tocniji rezultat bi bio ca. 4).

Izracun udaljenosti Zemlje do Sunca : Udaljenost Zemlje doSunca priblizno 19-struka udaljenost Zemlje do Mjeseca(tocnije: 400 umjesto 19; uzrok: greska u mjerenju kuta priZemlji). Nema trigonometrije, ali koristi argumente koji bi sedanas sveli na trigonometrijske.


Povijest matematike

http://www.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/aristarchus.htm


Eratosten iz Kirene (ca. 275–195. pr. Kr.)

Bio je glavni knjiznicar u Aleksandriji. Osim matematikom ifilozofijom, bavio se poezijom, povijesti, zemljopisom,astronomijom i filologijom.Poznat je po tri doprinosa:

Eratostenovom situ, mehanizmu zaduplikaciju kocke i odredivanju opsega zemlje.

O

SA

α ≈ 1

50· 2π ≈ 7, 2◦

O = 50dA,S = 50 · 5000 stadija = 250000 stadija


Povijest matematike


Eratosten iz Kirene (ca. 275–195. pr. Kr.)

Bio je glavni knjiznicar u Aleksandriji. Osim matematikom ifilozofijom, bavio se poezijom, povijesti, zemljopisom,astronomijom i filologijom.Poznat je po tri doprinosa: Eratostenovom situ, mehanizmu zaduplikaciju kocke i odredivanju opsega zemlje.

O

SA

α ≈ 1

50· 2π ≈ 7, 2◦

O = 50dA,S = 50 · 5000 stadija = 250000 stadijaFranka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Mezolabij

Problem: postojalo je vise verzija stadija i ovisno o tome koju jeEratosten koristio, njegovih 250000 stadija odgovara gresci izmedu1% i 16% (s egipatskim stadijem od oko 157,5 m dobije se 39690km, a atickim stadijem od 185 m Eratostenov je opseg 46620 km)do danas poznate vrijednosti opsega Zemlje, 40075 km okoEkvatora i 40008 km oko polova.Eratostenov mezolabij je jedno je od najpoznatijih mehanickihrjesenja problema duplikacije kocke.|DK | : |IL| = |IL| : |FM| = |FM| : (2|DK |)).

A B

C D

E

F

G H

I

J

K

L

M


Povijest matematike


Apolonije iz Perge (ca. 262.–190. pr. Kr.)

Matematicar i astronom, jedno vrijeme je boravio (”studirao”) u

Aleksandriji. Najvazniji mu je doprinos potpuna teorija konika.

Apolonije ne promatra samo presjeke uspravnog stosca, nego ikosih stozaca, i to proizvoljnom ravninom (dok je Menehmopromatrao samo normalne presjeke uspravnih stozaca, tj. presjekeravninama okomitim na izvodnice i tako dobio tri tipa presjekaovisno o kutu pri vrhu stosca).Apolonije tako dobiva sva tri tipa konika presijecanjem samojednog stosca.Apolonijeve Konike: 8 knjiga (4 sacuvane na grckom jeziku, 3 uarapskom prijevodu, zadnja izgubljena). Apolonije u tim knjigamastarije rezultate (Menehmove, Aristejeve, Euklidove) nadopunjavavlastitim.Kod Apolonija se prvi put pojavljuju nazivi elipsa, hiperbola iparabola.U prvoj se knjizi opisuje nastanak konika i njihova osnovnasvojstva, u drugoj osi, tangente i asimptote, u trecoj fokusi, pol ipolara, u cetvrtoj presjeci dvije konike, u petoj normale i sredistazakrivljenosti, u sestoj slicnost konika t eu sedmoj svojstvakonjugiranih promjera.


Povijest matematike


Apolonije iz Perge (ca. 262.–190. pr. Kr.)

Matematicar i astronom, jedno vrijeme je boravio (”studirao”) u

Aleksandriji. Najvazniji mu je doprinos potpuna teorija konika.Apolonije ne promatra samo presjeke uspravnog stosca, nego ikosih stozaca, i to proizvoljnom ravninom (dok je Menehmopromatrao samo normalne presjeke uspravnih stozaca, tj. presjekeravninama okomitim na izvodnice i tako dobio tri tipa presjekaovisno o kutu pri vrhu stosca).Apolonije tako dobiva sva tri tipa konika presijecanjem samojednog stosca.Apolonijeve Konike: 8 knjiga (4 sacuvane na grckom jeziku, 3 uarapskom prijevodu, zadnja izgubljena). Apolonije u tim knjigamastarije rezultate (Menehmove, Aristejeve, Euklidove) nadopunjavavlastitim.Kod Apolonija se prvi put pojavljuju nazivi elipsa, hiperbola iparabola.U prvoj se knjizi opisuje nastanak konika i njihova osnovnasvojstva, u drugoj osi, tangente i asimptote, u trecoj fokusi, pol ipolara, u cetvrtoj presjeci dvije konike, u petoj normale i sredistazakrivljenosti, u sestoj slicnost konika t eu sedmoj svojstvakonjugiranih promjera.


Povijest matematike


Nema analiticke geometrije za opis, vec koristi geometrijskualgebru, koja se svodi na vrstu kosokutnog koordinantnog sustava.Neka su P i P ′ sjecista ravnine s dvjema nasuprotnim izvodnicamaAB i AC (za slucaj parabole imamo samo P) te M sjeciste ravnines promjerom osnovice BC . Za proizvoljnu tocku Q na konici nekaje V njena ortogonalna projekcija na os PM. Na okomici na PMkoja prolazi kroz P odredi se L cija udaljenost do P zadovoljavaodredenu proporciju. Za slucaj elipse i hiperbole dodatno se odredisjeciste R pravaca QV i P ′L. Ako je povrsina kvadrata nad QVjednaka povrsini pravokutnika sa stranicama |PV | i |PL|, konika jeparabola, ako je kvadrat veci ili manjiod pravokutnika sastranicama |PV | i |PR| imamo hiperbolu odnosno elipsu.

A

B C M

P ′

P

V

P P ′

R

QL

V


Povijest matematike


Apolonijev problem

Ovaj je problem iskazan u izgubljenom Apolonijevom tekstu Ododirima;Za tri kruznice u ravnini (dozvoljeni su polumjeri 0 i ∞!) trebakonstruirati kruznice koje ih sve tri diraju.

Imamo 10 mogucih slucajeva. Najjednostavnija dva (kruznica kroztri tocke odnosno kruznica koja dira tri pravca) rijesio je Euklid. Zaslucaj

”pravih” kruznica rjesenja se cesto nazivaju Apolonijevim

kruznicama.


Povijest matematike


Drugo znacenje pojma Apolonijeve kruznice odnosi se na:

Teorem (Apolonije)

Ako su dane dvije tocke A i B u ravnini, onda je geometrijskomjesto svih tocaka T u toj ravnini za koje je omjer |AP| : |BP|konstantan kruznica sa sredistem na pravcu AB.

Trece znacenje pojma Apolonijevih kruznica se odnosi na dvijefamilije kruznica: Ako promatramo familiju svih kruznica kojenastaju kad uzimamo razlicite omjere udaljenosti od dviju cvrstihtocaka A i B, postoji druga familija kruznica ortogonalnih nakruznice prve familije. U toj drugoj familiji su kruznice koje sesastoje od tocaka T s konstantnim obodnim kutom ∠ATBbestehen.


Povijest matematike


Drugo znacenje pojma Apolonijeve kruznice odnosi se na:

Teorem (Apolonije)

Ako su dane dvije tocke A i B u ravnini, onda je geometrijskomjesto svih tocaka T u toj ravnini za koje je omjer |AP| : |BP|konstantan kruznica sa sredistem na pravcu AB.

Trece znacenje pojma Apolonijevih kruznica se odnosi na dvijefamilije kruznica: Ako promatramo familiju svih kruznica kojenastaju kad uzimamo razlicite omjere udaljenosti od dviju cvrstihtocaka A i B, postoji druga familija kruznica ortogonalnih nakruznice prve familije. U toj drugoj familiji su kruznice koje sesastoje od tocaka T s konstantnim obodnim kutom ∠ATBbestehen.


Povijest matematike


Arhimed iz Sirakuze (287.–212. pr. Kr.)

Smatra ga se najznacajnijim primijenjenim matematicarem i fizicaremprije Newtona. Za njega su vezane mnoge anegdote:

Heureka!

Ne dirajte moje krugove!

Dajte mi oslonac i dovoljno dugacku polugu i pomaknut cu Zemlju!

Jedno je vrijeme boravio u Aleksandriji i tamo upoznao Eratostena, skojim se kasnije nastavio dopisivati. Za vrijeme rimske opsade Sirakuzekonstruirao je obrambena sredstva.

Mnoga njegova djela sacuvana su bilo u grckom originalu, bilo u

arapskom prijevodu. Jeste li culi za Arhimedov Palimpsest ?

1906. otkrivena je Arhimedova Metoda ispod srednjevjekovnog crkvenog

teksta. Iz tog teksta saznajemo kako je Arhimed dolazio do svojih

rezultata: Arhimed je prvo svoje teoreme naslutio

fizikalno-eksperimentalnim pristupom, a zatim ih matematicki dokazivao.


Povijest matematike

http://www.archimedespalimpsest.org/




Heureka!









fizikalno-eksperimentalnim pristupom, a zatim ih matematicki dokazivao.


Povijest matematike





Heureka!









fizikalno-eksperimentalnim pristupom, a zatim ih matematicki dokazivao.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike



Pjescanik, slagalica i goveda

U Pjescaniku, Arhimed je opisao imenovanje velikih prirodnihbrojeva. Brojevi do 104 (mirijade) u njegovo su doba imalistandarne nazive. On je prosirio imenovanje sve do(

(108)(108))(108)

= 108·1064

. Brojeve do P = (108)(108) zove

brojevima prve periode, a P je jedinica druge periode.

Arhimedova je i najpoznatija matematicka slagalica nakontangrama: stomahion , opisan u rukopisu koji je dio ArhimedovogPalimpsesta. Arhimeda je zanimalo na koliko se nacina dijelovislagalice mogu sloziti u kvadrat (2003.: 536 ako ignoriramozrcaljenja i rotacije).Problema bovinium se takoder pripisuje Arhimedu. Radi se oproblemu iz teorije brojeva formuliranom kao odredivanje brojagoveda u stadu:


Povijest matematike

http://www.math.cornell.edu/~mec/GeometricDissections/1.2%20Archimedes%20Stomachion.html




(108)(108))(108)

= 108·1064


brojevima prve periode, a P je jedinica druge periode.Arhimedova je i najpoznatija matematicka slagalica nakontangrama: stomahion , opisan u rukopisu koji je dio ArhimedovogPalimpsesta. Arhimeda je zanimalo na koliko se nacina dijelovislagalice mogu sloziti u kvadrat (2003.: 536 ako ignoriramozrcaljenja i rotacije).

Problema bovinium se takoder pripisuje Arhimedu. Radi se oproblemu iz teorije brojeva formuliranom kao odredivanje brojagoveda u stadu:


Povijest matematike





(108)(108))(108)

= 108·1064


brojevima prve periode, a P je jedinica druge periode.Arhimedova je i najpoznatija matematicka slagalica nakontangrama: stomahion , opisan u rukopisu koji je dio ArhimedovogPalimpsesta. Arhimeda je zanimalo na koliko se nacina dijelovislagalice mogu sloziti u kvadrat (2003.: 536 ako ignoriramozrcaljenja i rotacije).Problema bovinium se takoder pripisuje Arhimedu. Radi se oproblemu iz teorije brojeva formuliranom kao odredivanje brojagoveda u stadu:


Povijest matematike



Odredi broj goveda, koja su raspodijeljena u 4 stada raznih boja:bijela, crna, sarena i zuta. U svakom stadu je mnogo bikova ikrava:

Bijelih bikova je bilo koliko 12 + 1

3 crnih i zutih zajedno.

Crnih bikova je bilo koliko 14 + 1

5 sarenih i zutih zajedno.

Sarenih bikova je bilo koliko 16 + 1

7 bijelih i zutih zajedno.

Bijelih krava je bilo koliko 13 + 1

4 cijelog crnog stada.

Crnih krava je bilo koliko 14 + 1

5 cijelog sarenog stada.

Sarenih krava je bilo koliko 15 + 1

6 cijelog zutog stada.

Zutih krava je bilo koliko 16 + 1

7 cijelog bijelog stada.

Dodatno se zahtijeva da ukupni broj bijelih i crnih bikova budekvadratni broj te da je ukupni broj zutih i sarenih bikova trokutnibroj.Ovaj se problem svodi na Pellovu jednadzbu x2 − 4729494y2 = 1,s najmanjim rjesenjem reda velicine 105.


Povijest matematike


Arhimed i geometrija

Po Arhimedu se zovu i Arhimedova tijela . Prema Papusu, Arhimed je

napisao tekst u kojem je opisao svih 13 tipova tih polupravilnih tijela. Tajtekst nije sacuvan i Arhimedova su tijela kasnije zaboravljena, sve dorenesanse kad ih je ponovno otkrio Kepler, nabrojavo sve i primijetio da

definiciju zadovoljavaju i pravilne prizme i antiprizme .

Arhimed je osmislio i jednu od najpoznatiji mehanickih metoda trisekcijekuta:

BA

C

D

E

α α/3

Zadan: α = ∠ABC . Produlji AB i nacrtaj polukruznicu oko B. Naravnalu njen polumjer kao DE i nadi poziciju ravnala u kom ta duzinajednim krajem lezi na AB, drugim na polukruznici, a pritom pravac DEprolazi kroz C . Tad je ∠AED = α/3.


Povijest matematike

http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html

http://mathworld.wolfram.com/Antiprism.html


Arhimed i geometrija

Po Arhimedu se zovu i Arhimedova tijela . Prema Papusu, Arhimed je

napisao tekst u kojem je opisao svih 13 tipova tih polupravilnih tijela. Tajtekst nije sacuvan i Arhimedova su tijela kasnije zaboravljena, sve dorenesanse kad ih je ponovno otkrio Kepler, nabrojavo sve i primijetio da

definiciju zadovoljavaju i pravilne prizme i antiprizme .

Arhimed je osmislio i jednu od najpoznatiji mehanickih metoda trisekcijekuta:

BA

C

D

E

α α/3

Zadan: α = ∠ABC . Produlji AB i nacrtaj polukruznicu oko B. Naravnalu njen polumjer kao DE i nadi poziciju ravnala u kom ta duzinajednim krajem lezi na AB, drugim na polukruznici, a pritom pravac DEprolazi kroz C . Tad je ∠AED = α/3.


Povijest matematike

http://mathworld.wolfram.com/ArchimedeanSolid.html

http://mathworld.wolfram.com/Antiprism.html


Najpoznatiji Arhimedovi matematicki tekstovi su O ravnoteziravnih likova, O kugli i valjku, O spiralama, O konoidi i sferoidi, Omjerenju kruga te O kvadraturi parabole.Arhimedovi dokazi vecinom koriste metodu ekshaustije.Najpoznatiji njegovi rezultati dobiveni tom metodom su:

procjena odnosa opsega i promjera kruga: taj je omjer izmedu31071 i 31

7 ;

povrsina kruga jednaka je povrsini pravokutnog trokutakojemu je jedna kateta opseg, a druga polumjer tog kruga: π;

odnos volumena kugle prema volumenu valjka i stosca;

teziste trokuta je sjeciste tezisnica;

tangenta na Arhimedovu spiralu i odnos povrsine jednogokreta te spirale prema povrsini kruga;

kvadratura segmenta parabole.


Povijest matematike




7 ;







Povijest matematike




7 ;







Povijest matematike




7 ;







Povijest matematike

Documents

Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat04-2017.pdf · nakon toga obi cno naziva postklasi cnim. die R omer im Laufe des 2. und 1. Jh