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Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 1
Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge
eines Temperaturgradienten.
4.1 Vertikale Platte
wenn bekannt, dann Ansatz wie überströmte Plattew
Q
W
w
x
w
Wärmeabgabe einer senkrechten beheizten Platte
hydraulische
Grenzschichtdicke
Thermische
Grenzschichtdicke
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 2
gePlattenlänLLgEVolumenEnergieePotentiell Wpot ˆ/
2
2
1/ wEVolumenEnergieKinetische kin
wenn vollständig umgesetzt:
2
2
1wLg
in der Realität ist die Umsetzung nicht vollständig, Wirkungsgrad :
2
2
1wLg
durch Erweiterung
2
22
2
3
2
LwLg W
Gr ReL2
2
2
Lmit
= 2,5
(experimentell)
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 3
!Konvektionfreierbeiimmer,ZahlGrashofˆGr
5,2Re
Grqa
Damit können Gleichungen für erzwungene Konvektion verwendet werden,
indem oder durch ersetzt wird.LRe
äqRedRe
33,05,0 PrRe664,0 LlamNu
z.B. gilt für überströmte Platte (laminar):
5,22
: W
Messungenaus
(Pohlhausen)
528,0
5,2
664,04/1
Näherung
33,025,0 Pr528,0 Llam GrNu
und für natürliche Konvektion (laminar):
Näherungsgleichung
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 4
oder mit Pohlhausen - Gleichung für turbulente Strömung und Pr 1
4,0026,0 Lturb GrNu
8,0Re037,0 LNu
5,2Re
Grqa und
Beste Ergebnisse: Korrelation von Churchill und Chu (VDI-Wärmeatlas)
Typisch: - laminare freie Konvektion: 𝑵𝒖~𝑹𝒂𝟏/𝟒
- turbulente freie Konvektion: 𝑵𝒖~𝑹𝒂𝟏/𝟑
Näherungsgleichung
𝑵𝒖𝑳 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟖𝟕 𝑹𝒂𝑳 𝒇𝟏(𝑷𝒓)𝟏𝟔
𝟐
mit 𝒇𝟏(𝑷𝒓) = 𝟏 +𝟎,𝟒𝟗𝟐
𝑷𝒓
𝟗
𝟏𝟔
−𝟏𝟔
𝟗
, 𝑹𝒂𝑳 = 𝑮𝒓𝑳 𝑷𝒓: Rayleigh-Zahl
Großer Gültigkeitsbereich: 0,1 < 𝑅𝑎𝐿 < 1012 (laminar und turbulent), 0,001 < 𝑃𝑟 < ∞
Übergang laminar turbulent :910xGr Besser: Rakrit = 2.109
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 5
Vertikale Platte: Grenzschichtgleichungen für freie Konvektion
Impuls: 𝑤𝑥𝜕𝑤𝑥
𝜕𝑥+ 𝑤𝑦
𝜕𝑤𝑥
𝜕𝑦= 𝜈
𝜕2𝑤𝑥
𝜕𝑦2+ 𝛽0 𝑔 𝜗 − 𝜗0
Masse:𝜕𝑤𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝑤𝑦
𝜕𝑦= 0
Energie: 𝑤𝑥𝜕𝜗
𝜕𝑥+ 𝑤𝑦
𝜕𝜗
𝜕𝑦= 𝑎0
𝜕2𝜗
𝜕𝑦2
Auftriebsterm:
Boussinesq-Approximation:
Dichteänderung (ausschließlich
durch Temperaturänderung)
erzeugt Auftriebsströmung
Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode:
Idee (von Karman und Pohlhausen 1921): Bestimmung 𝜹,𝒘𝒙
1.) keine exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen, sondern
Näherungslösung durch Integration über Grenzschichtdicke 𝜹
2.) Vorgabe von Verläufen für 𝒘 und 𝝑
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 6
Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode
Annahmen:
- 𝑷𝒓 = 𝟏: 𝜹𝒉 = 𝜹𝒕𝒉- laminare Strömung
- Ansatz für Temperaturverlauf: 𝝑 𝒙, 𝒚 = 𝝑𝒘 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 𝟏 −𝒚
𝜹 𝒙
𝟐+ 𝝑𝒂𝒎𝒃
- Ansatz für Geschwindigkeitsverlauf: 𝒘𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒘𝟏(𝒙)𝒚
𝜹(𝒙)𝟏 −
𝒚
𝜹 𝒙
𝟐
mit 𝒘𝟏 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒙𝒎 und 𝜹 𝒙 = 𝑪𝟐 𝒙
𝒏
hydraulische
Grenzschichtdicke
Thermische
Grenzschichtdicke
𝝑 𝒙, 𝒚𝒘𝒙 𝒙, 𝒚
𝝑𝒘
𝝑𝒂𝒎𝒃
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 7
Als Ergebnis erhält man eine Gleichung für die örtliche Grenzschichtdicke
𝜹 𝒙
𝒙= 𝟑, 𝟗𝟑 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙
−𝟏/𝟒𝑷𝒓−𝟏/𝟐
Wärmestrom von Wand an Fluid durch Fourier‘sches Gesetz: Verwendung des Ansatzes für
Temperaturverlauf 𝝑 𝒙, 𝒚 = 𝝑𝒘 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 𝟏 −𝒚
𝜹 𝒙
𝟐+ 𝝑𝒂𝒎𝒃
𝒒(𝒙) = −𝝀𝝏𝝑
𝝏𝒚 𝒚=𝟎= 𝟐 𝝀
𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃
𝜹 𝒙= 𝟐 𝝀
𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃
𝟑,𝟗𝟑 𝟎,𝟗𝟓𝟐+𝑷𝒓 𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙−𝟏/𝟒
𝑷𝒓−𝟏/𝟐 𝒙
Mit 𝜶 𝒙 = 𝒒 𝒙
𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃kann eine Gleichung für die Nusseltzahl berechnet werden
𝑵𝒖𝒙 =𝜶 𝒙 𝒙
𝝀= 𝟎, 𝟓𝟎𝟖 𝐏𝐫𝟏/𝟐 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙
𝟏/𝟒
𝑵𝒖𝒎 =𝜶𝒎 𝑳
𝝀= 𝟎, 𝟔𝟕𝟗 𝐏𝐫𝟏/𝟐 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝑳
𝟏/𝟒
Für Luft: 𝑷𝒓 = 𝟎, 𝟕:
𝑵𝒖𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟖 𝑮𝒓𝒙𝟏/𝟒
𝑵𝒖𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟒 𝑮𝒓𝑳𝟏/𝟒
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 8
𝒘𝒙 𝒙, 𝒚
Geschwindigkeitsverlauf
𝐰𝐱 𝐱, 𝐲 = 𝐰𝟏𝒚
𝜹(𝒙)𝟏 −
𝒚
𝜹 𝒙
𝟐
= 𝟓, 𝟏𝟕 𝝂 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟐 𝑮𝒓𝒙𝟏/𝟐
𝒙−𝟏𝒚
𝜹(𝒙)𝟏 −
𝒚
𝜹 𝒙
𝟐
Maximale Geschwindigkeit 𝐰𝐱,𝒎𝒂𝒙 durch Extremstellensuche: 𝝏𝐰𝐱
𝝏𝒚= 𝟎: Ergebnis
𝐰𝐱,𝒎𝒂𝒙 =𝟒
𝟐𝟕𝒘𝟏(𝒙) an der Stelle 𝒚 =
𝟏
𝟑𝜹(𝒙)
mittlere Geschwindigkeit an der Stelle 𝒙 :
𝒘𝒙 =𝟏
𝜹 𝒚=𝟎𝜹
𝒘𝒙 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 =𝟏
𝟏𝟐𝒘𝟏(𝒙)
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 9
Für andere Geometrien: Berechnung der charakteristischen Länge 𝑳∗
ZahlRayleighRaGr ˆPr
Für die obigen Gleichungen wird benötigt.W
Für Luft (ideales Gasgesetz):TR
p
vTRvp
i
i 1
ˆ
ˆ
*
U
A
U
AL
Ri = individuelle Gaskonstante
Wärmeübertragungsfläche
Umfang der Projektion in Strömungsrichtung
4.2 andere Geometrien
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 10
Für andere Gase oder für Flüssigkeiten gilt
T
1β = thermischer Ausdehnungskoeffizient [𝑲−𝟏]
TTWW
und2
3)(
LTTgGr W
Für ideale Gase erhält man
TT
TRp
TRp
i
i
11
Gr = _____________________Auftriebskraft
Zähigkeitskraft
Alle anderen Stoffwerte
bei mittlerer Filmtemperatur (𝝑𝒘 + 𝝑∞) / 2Besser:
aus Stoffwerttabelle bei 𝝑∞
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 11
Benard Konvektion
Von unten beheizter, horizontaler Spalt:
- für Ra < 1700 reine Wärmeleitung durch den Spalt
1uN
- für Ra > 1700 bilden sich Konvektionszellen
074,033,0 Pr069,0 RauN
Charakteristische Länge
= Dicke der Fluidschicht s
s
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 12
𝒘∞ ≈ 𝟎 𝒘∞ 𝒘∞
Freie Konvektion
dominant
Überlagerung freie +
Erzwungene Konvektion
Erzwungene Konvektion
dominant
Richardson-Zahl 𝑹𝒊 =𝑮𝒓
𝑹𝒆𝟐: - für 𝑹𝒊 ≪ 𝟏: erzwungene Konvektion dominant
- für 𝑹𝒊 ≫ 𝟏: freie Konvektion dominant
4.3 Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion: Mischkonvektion
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 13
Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion
.erzww
freiw
22
. ReReRe freierzwres
5,2ReRe 2
.
Grerzwres
2
.
2
..min turblam NuNuNuNu
verwende Reres in:
freiw
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 14
Ein waagerecht frei verlegtes Rohr von 250 mm Außendurchmesser wird
von heißem Wasser durchströmt. Die äußere Rohroberfläche habe dabei
eine Temperatur von o = 90 °C.
Berechnen Sie den Verlustwärmestrom pro m Rohrleitung (ohne
Strahlungsverlust).
a) bei ruhender Umgebungsluft
b) bei Windgeschwindigkeiten von 1, 2, 5, 10, 20 m/s und einer
Umgebungstemperatur der Luft von 10 °C.
Stoffwerte: Luft
b = 50 °C m = 18·10-6 m²/s
Pr = 0,69 λm = 0,028 W/mK
𝝑𝒃 =𝝑𝟎 + 𝝑∞
𝟐
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 15
oao dl
A
l
Q
Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten:
Pr,ReLLNuL
(überströmter Einzelkörper)
Überströmlänge:
Charakteristische Länge ächeSchattenflderUmfang
cheragungsfläWärmeübert
U
AL
s
für den waagrechten Zylinder:
(quer angeströmt) aa
aa
a ddLddL
LdL
22/1
1
2
Wärmestrom je Meter Rohrlänge 𝒍:
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 16
Allgemein bei freier und erzwungener Strömung:
2
,
2
,
2
,
min
5,2ReRe
turbLlamLLL
erzwungenLL
NuNuNuNu
Gr
1PrRe443,21
PrRe037,0
RePr664,0
)(3,0min
3/21,0
8,0
,
2/13/1
,
L
LturbL
LlamL
L
Nu
Nu
ZylinderNu
oLg
Gr2
3
für ideale Gase:T
1
o
ooo
T
TT
T
TT
/1
/1/1
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 17
8
26
3
2
3
1018,53631018
802/25,081,92/
Gr
T
TTdgGr
o
oa
28
,
296,2110073,2Re
2/Re
w
dwwL
L
aerzwL
Grundlagen der Wärmeübertragung
4 Freie Konvektion 18
w / (m/s) 0 1 2 5 10 20
ReL/ 104 1,44 2,61 4,59 11,00 21,86 43,65
NuL/lam 70,4 94,8 125,7 194,6 274,33 387,7
NuL,turb 68,2 108,1 167,6 331,0 565,9 978,9
NuL 98,3 144,1 209,8 384,3 629,2 1046,7
0,44 0,64 0,94 1,72 2,82 4,69
Vorsicht:
Der zusätzliche Wärmeverlust durch Strahlung beträgt hier
(bei 𝜺∗ ≈ 𝟎, 𝟖, Tm = 363 K) etwa gerade soviel wie der durch freien
Auftrieb.
Q/l kW/m