Analiza signala i sistema u frekventnom domenu Frekventni odziv LTI sistema Teorija signala i sistema I

doc.dr. Nermin Suljanović

Uvod

est – svojstvena funkcija LTI sistema. x(t)=est y(t)=H(s) est

Ako uzmemo s=j: x(t)=ejt y(t)=H(j) ejt

x(t)=e-jt y(t)=H(-j) e-jt

2cost H(j) ejt + H(-j) e-jt=2Re{H(j) ejt} ....(*) H(j) možemo izraziti u polarnom obliku:

pa izraz (*) postaje:

jejHjH )()(

)cos()()cos( tjHt

Prema tome, odziv LTI sistema na sinusni signal:

Sinusni ulaz inicira sinusni odziv iste frekvencije. Ako dovedemo proizvoljan signal x(t) na ulaz sistema čiji je impulsni

odziv h(t):

odnosno Fourierova transformacija izlaza je:

)cos()()( tjjHty

)(*)()( thtxty

)()()( jHjXjY

)()()( jejHjH

Frekventni odziv

Amplitudna karakteristika

(amplitudni odziv)

Fazna karakteristika(fazni odziv)

P.p. da je na ulazu harmonijski signal:

čija je Fourierova transformacija:

Spektar signala na izlazu je:

odnosno izlagni signal:

tjetx 0)(

)(2)( 0 jX

)()(2)( 00 jHjY

tjejHty 0)()( 0

Ako je ulazni signal periodičan i može se predstaviti Fourierovim redom:

tada je izlazni signal takođe periodičan i može se predstaviti Fourierovim redom:

Ako je x(t) aperiodičan signal, tada vrijedi relacija:

k

tjkkeatx 0)(

k

tjkk ejkHaty 0)()( 0

dejXtx tj

)(2

1)(

dejXjHty tj

)()(2

1)(

Očigledno je da vrijedi:

Prenos signala bez izobličenja znači da oblik signala na izlazu bude identičan obliku signala na ulazu.

Signal može biti skaliran nekom realnom konstantom i može kasniti:

Ako potražimo Fourierovu transformaciju obje strane jednakosti:

Prenos bez izobličenja zahtijeva karakteristike sistema:

)()()( jXjHjY

))(arg())(arg())(arg( jXjHjY

)()( dttKxty

)()( jXKejY dtj

dtjj KeejHjH )()()( KjH )( dtj )(

Amplitudni odziv Amplitudni odziv konstantan sa promjenom konstantan sa promjenom

frekvencije!frekvencije! Fazni odziv se linearno Fazni odziv se linearno mijenja sa frekvencijom!mijenja sa frekvencijom!

Kada amplitudna karakteristika sistema nije konstantna unutar frekventnog opsega u kojem se signal prenosi, frekventne komponente u ulaznom signalu se prenose sa različitim pojačanjem (ili slabljenjem). Amplitudsko izobličenje.

Fazna karakterstika nelinearna pojedine frekventne komponente putuju različitim brzinama i dolazi do izobličenja signala. Fazno izobličenje.

Amplitudna karakteristika utiče na energiju signala.

Fazna karakteristika ne utiče na energiju signala.

Logaritam amplitudne karakteristike

)( jH)(tx )(ty

)()()( jXjHjY

)(log)(log)(log jXjHjY

)(1 jH )(2 jH

)(log)(log)(log 21 jHjHjH

Decibeli

)(log20)(log102

10 jHjH snaga amplituda

dBjH 01)(

dBjH 2010)(

dBjH 32)(

dBjH 62)(

dBjH 40100)(

20 dB

=10 x pojačanje amplitude

=100 x pojačanje snage

Veza između Laplaceove transformacije i Fourierove transformacije

dtetxjX tj )()(

dtetxsX st)()(

Fourierova transformacija

bilateralna Laplaceova transformacija

)()( txFsX js

js dteetxdtetxjX tjttj

)()()( )(

tetxFjX )()(

Ako je x(t) apsolutno integrabilna funkcija, Fourierova transformacija signala x(t) se može Ako je x(t) apsolutno integrabilna funkcija, Fourierova transformacija signala x(t) se može odrediti iz Laplaceove transformacije uzimajući odrediti iz Laplaceove transformacije uzimajući s=js=j..

Literatura

Oppenheim, Willsky, Signals and Systems, Prentice-Hall, Second edition.

MIT OpenCourseWare, Signals and Systems, Oppenheim, Lecture notes, www.ocw.mit.edu.