FRPのモデリング・シミュレーション（1...1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について・代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴 3. 均質化法の適用事例

FRPのモデリング・シミュレーション（1）

ーFRPとその力学への導入および均質化法の適用事例ー

不確かさのモデリング・シミュレーション法に関する研究会

2015. 9.10

慶應義塾大学矢上キャンパス

筑波大学大学院システム情報工学研究科

松田哲也

豊村仁，伊藤祐，岩下結城，久保凱，佐藤仁彦

本日の内容

1. FRP（ Fiber-reinforced plastics）について・代表的なFRP

・ FRPの構造的特徴

3. 均質化法の適用事例

2. FRPの力学と解析手法・複合則・ Halpin-Tsai則

・等価介在物法・シアラグモデル

・ CFPR積層板

・平織積層板

弾-粘塑性解析，クリープ解析，ミクロ層間応力解析負のポアソン比，熱弾-粘塑性ツースケール解析

損傷解析，弾-粘塑性トリプルスケール解析

代表的なFRP ～CFRP積層板～

炭素繊維をポリマーで固める

さらに積層する

CFRP積層板（Carbon Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

100μm

CFRP積層板

最も代表的な複合材料

高比強度，高比剛性，高耐食性


2 3Al O /Al(whisker)

4B C (whisker) /Al

Boron/Resin

2 3Al O /Ni(whisker)

S-Glass/Resin

Boron/Al

Carbon/Resin

Boron/Ni

St, Ti

Al

610 m

410 m

2 3 4 5 10 20 30 40

3

4

5

10

比剛性

比強度

比強度･･･単位重量あたりの強度

比剛性･･･単位重量あたりの剛性

軽くて強い！

出典：複合材料（機械システム入門シリーズ）

三木，元木，福田，北条，（1997）


CFRP積層板（Carbon Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

代表的なFRP ～織物積層板～

繊維束

ポリマー

平織FRP積層板

（Plain-Woven Fiber-Reinforced Plastics Laminates）

高比強度，高比剛性，高耐食性，良成形性


平織GFRP積層板

平織CFRP積層板

平織FRP積層板



LEXUS LFA

平織FRP積層板


ミクロレベル構造物レベル

○繊維の力学挙動・弾性・損傷／破断・熱特性 …etc ○母材の力学挙動

・弾性・粘弾性・塑性

・粘塑性・クリープ

・損傷・熱特性 …etc

繊維・母材の特性

フリーエッジラミナ層間

繊維／母材界面

FRPのマルチスケール構造

CFRP積層板の全体挙動

材料特性レベル

ミクロ構造

○繊維／母材 ○積層構造 ○織構造

・弾性・塑性・クリープ・熱特性

・粘弾性・粘塑性・損傷／破断 …etc

本日の内容






・ CFPR積層板

・平織積層板



FRP（複合材料）に対する解析手法

・複合則

・Halpin-Tsai則

・シアラグモデル

・等価介在物法

・セルフコンシステント法

・積層理論

・Aboudiのセル法

・有限要素法

・均質化法

代表的なFRP（複合材料）に対する解析手法

複合則（Voight近似）

複合材料（機械システム入門シリーズ），三木，元木，福田，北条

複合則（Reuss近似）


複合則により計算されたヤング率


Halpin-Tsai則（経験的手法）

それ以外⇒


シアラグモデル（短繊維の場合）


シアラグモデル（短繊維の場合）

1

2


等価介在物法

S ：Eshelbyテンソル

Eshelbyの楕円体介在物（1957）

Muraらによる体系化

Mori-Tanakaの平均場理論（1973）

今日における

「マイクロメカニクス」

の基礎

複合材料の力学モデルと変形・損傷・破壊解析への応用，東郷敬一郎

数値解析手法の有用性

これまでの方法は，マクロ特性を求めるにあたっては有効であったが，ミクロ挙動を見ることには必ずしも適さなかった．

近年の計算機性能の向上．

数値解析的なアプローチの有用性

マルチスケール解析

数値的な均質化手法，有限要素法（FEM）

本日の内容






・ CFPR積層板

・平織積層板



均質化法について

Microscopic

◆ユニットセル問題◆

, ikli ：特性関数

,

,

( )

( )

kl

pij ijpq pk ql q kl

ijkl kl lk

c E

c

◆微視的発展式◆

Macroscopic

,

,

( )

( )

kl

pij ijpq pk ql q kl

ijkl kl lk

c E

c

◆巨視的関係式◆

〈〉：体積平均

CFRP積層板

CFRP積層板のマルチスケールモデリング

ラミナの応力変化

( ) ( ),kl

i i

A E R

特性関数

（均質化法）積層構成

（積層理論）

微視的応力変化

巨視的構成式

(a) Laminate (b) Lamina (c) Unit Cell

N

1X

2X

3X

( )f

( )

1y

( )

2y

( )

3y

( )Y ( )

1x

( )

2 2( )x X

( )

3x ( )

1X

2X

3X

12

0.01 0.02

50

100

150

0

Macroscopic strain E33

Mac

rosc

op

ic s

tres

s

33

[MP

a]

Experimental

= 10 -3

s-1

= 10 -5

s-1

= 10 -7

s-1

E33

.

Simulated

0.01 0.02

50

100

150

0


Mac

rosc

op

ic s

tres

s

33

[MP

a]

Experimental

= 10 -3

s-1

= 10 -5

s-1

= 10 -7

s-1

E33

.

Simulated

弾-粘塑性解析

4

1 12

5

3 31

4

31

3

5

0

0.165

MPa mm/mm s, ,

1.55 10 0.49

2.40 10 0.28

2.47 10

3.5 10 0.35

10 35

( ) 141.8( ) 10

f f

f f

f

m m

p

p p

E

E

G

E

n

g

（応力）（ひずみ）（時間）

　炭素繊維

エポキシ

ユニットセルモデル

1y

2yY

母材

繊維

Y

一方向CFRP積層板

クロスプライCFRP積層板

材料定数

45°

45°

弾-粘塑性解析

0.01 0.02

200

400

600

800

0

Experimental

= 0° = 10° = 20° = 30°


Mac

rosc

op

ic s

tres

s

33

[MP

a]

fractured

Predicted

0.01 0.02

100

200

300

400

500

0

10°

20°

30° 45°

= 0°

Experimental

Mac

rosc

op

ic s

tres

s

33

[MP

a]


Predicted

0.01 0.02

100

200

300

400

500

0

Experimental

= 0°1 = 45° = 10° = 60° = 20° = 90° = 30°

Predicted

Mac

rosc

op

ic s

tres

s

33

[MP

a]


解析結果

実験結果を精度良く予測している

一方向クロスプライ

擬似等方

0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.00

1.0

2.0

Creep time tc[h]

Mac

rosc

op

ic s

trai

n E

33[%

]

, ,

クリープ解析

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

2.0

0

Creep time [h]

Mac

rosc

op

ic s

trai

n E

33

c = 84 MPa

= 63 MPa

= 44 MPa

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

2.0

0

Creep time tc [h]

Mac

rosc

op

ic s

trai

n E

33

c = 84 MPa

= 63 MPa

= 44 MPa

0.01

0.02

0

[ 30 ]

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

1.0

2.0

0

Creep time tc[h]

Mac

rosc

op

ic s

trai

n E

33[%

] c = 84 MPa

= 63 MPa

= 44 MPa[ 45 ] [ 60 ]

解析結果実験結果

0.01 0.02

50

100

150

0

Macroscopic strain E45°

Mac

rosc

op

ic s

trai

n E

0°

実験結果

= 10 -3

s-1

= 10 -5

s-1

= 10 -7

s-1

E45°

解析結果

解析条件

4

1 12

5

3 31

4

31

3

5

0

0.165

MPa mm/mm s, ,

1.55 10 0.49

2.40 10 0.28

2.47 10

3.5 10 0.35

10 35

( ) 141.8( ) 10

f f

f f

f

m m

p

p p

E

E

G

E

n

g

（応力）（ひずみ）（時間）

　炭素繊維

エポキシ

材料定数

温度: 100 C[ ]

積層構成:

30 45 60

183, 77, 28 [MPa ]

クリープ応力:

アングルプライ積層板

実験結果を概ね良く予測している

負のポアソン比

+θ -θ

負のポアソン比

巨視的ポアソン比およびミクロ応力分布 T

積層方向ポアソン比-ひずみ関係

繊維垂直方向応力分布

-154 -90.2 -26.6 37.1 101 [MPa]

[±30] [±45] [±60]

y1

y2

y3

y1

T L

y1

T

L

y1

T L

TY

16 fibers 16 fibers

+θ -lamina −θ -lamina

...

.

.. ...

.

.. ...

.

.. ...

.

..

ミクロ層間応力解析

ミクロ層間応力解析

解析モデルおよび層間せん断応力分布

2y

3y

[MPa]

8.997E+00 8.097E+00 7.197E+00 6.298E+00 5.398E+00 4.498E+00 3.599E+00 2.699E+00 1.799E+00 8.997E-01 0.000E+00

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00 0.000E+00

繊維本数：16

繊維本数：16

0°プライ 90°プライ

8A 2A 1A

2y3y

1y

0.5%E

熱弾-粘塑性ツースケール解析


0, qij p x ij j i

U d n U d

0

0 0 0 0

, ,

, ,

q j

j j

ijpq p x i x ij j i

ijkl kl i x ijkl kl i x

c U U d n U d

c U d T c U d

マクロ応力の釣合式マクロ構成式

0 0 0

ij ijkl kl kl klc E T

マクロ境界値問題

マクロスケール

ミクロスケール 0

ijklc

0

kl

0

kl

T

：均質化された弾性剛性テンソル

：均質化された粘塑性関数

：均質化された線膨張係数

：温度変化率

3x

2x

1x

1y

2y

3y

T


単位： [mm]

1x

3x

2x

300 30 2 0. モデル寸法

マクロモデル

ミクロモデル

材料定数

温度履歴

2

6

0 25

RTM6

MPa 0 0179 6 4939 2344 5

0 38

0 1939 92 677

10 K 0 069 52 774

0 3486 233 38 0 0546 32.

. . .

.

. .

. .

. . . .

m

m

m

p p

E T T

n T

T

g T T

エポキシの材料定数

ヤング率

ポアソン比

線膨張係数

硬化関数 046

6

6

HTA

GPa 235 GPa 19 1

0 28 0 33

GPa 7 2

10 K 0 4

10 10 K

LL

TT

LL

TT

LT

LL

TT

E

E

G

.

.

.

.

.

炭素繊維の材料定数

ヤング率

ヤング率

ポアソン比

ポアソン比

せん断剛性率

線膨張率

線膨張率

クロスプライ非対称積層板

0 0 90 90/ / /

0 2000 4000 6000 8000

50

100

150

200

Time [s]

Tem

per

atu

re

Case1

Case2

0 プライ

90 プライ

1y

3y

2y0 0

MPa

0

1y

3y

2y

0 MPa

0 0

0 プライ

90 プライ

1y

3y

2y

1y

3y

2y

0 0 [%]

0

0 0 0 [%]


1x

3x

2x

ミクロ相当応力σeq分布相当粘塑性ひずみ分布 p

MPa

0 0 0

0 2000 4000 6000 8000

50

100

150

200

Time [s]

Tem

per

ature

Case1 Case2

解析結果（熱応力・ひずみ分布）

0 プライ

90 プライ

1y

3y

2y

1y

3y

2y

0.12 0.06 [%]

0

0.13 0.06 0 [%]


0 プライ

90 プライ

1y

3y

2y44.2 1.64

MPa

22.9

1y

3y

2y

45.5 MPa

23.7 1.91

p

1x

3x

2x

MPa

27.7 0 13.8

ミクロ相当応力σeq分布相当粘塑性ひずみ分布 p

0 2000 4000 6000 8000

50

100

150

200

Time [s]

Tem

per

ature

Case1 Case2

解析結果（熱応力・ひずみ分布）

平織積層板

積層ずれを有する平織積層板の損傷解析

基本セルA

,

kl

ij ijkl pk ql p q klc E

マクロ構成式

,( , ) kl

ij ijkl pk ql p q klt c E y

微視的応力の発展式

Hoffman則

2 2

1 2

2

3 4 5

2 2 2

6 7 8 9

T Z Z L

L T L T

Z TZ ZL LT

F C C

C C C

C C C C

0 0.01 0.020

100

200(0,0)

(0,l/4)

(0,l/2)

(0.3l/4)

(0,l)

(l/4,0)

(l/4,l/4)

(l/4,l/2)

(l/4,3l/4)

(l/2,0)

(l/2,l/4)

(l/2,l/2)

(l/2,3l/4)

(3l/4,0)

(3l/4,l/4)

(3l/4,l/2)

Mac

rosc

opic

Str

ess

33[M

Pa]

Macroscopic Strain E33[-]

積層ずれを有する平織積層板の損傷解析

■:損傷要素(モードL(L軸引張)) ■:損傷要素(モードT(T軸引張))

■:損傷要素(モードLT(LTせん断)) ■:損傷要素(モードZ (Z軸引張))

■:損傷要素(モードZL(ZLせん断)) ■:損傷要素(モードTZ(TZせん断))

■:非損傷要素

巨視的負荷方向応力-ひずみ関係

0, 0

2y

3y

1y

3, 0

4

l

0 0.01 0.020

100

200(0,0)

(0,l/4)

(0,l/2)

(0.3l/4)

(0,l)

(l/4,0)

(l/4,l/4)

(l/4,l/2)

(l/4,3l/4)

(l/2,0)

(l/2,l/4)

(l/2,l/2)

(l/2,3l/4)

(3l/4,0)

(3l/4,l/4)

(3l/4,l/2)

Mac

rosc

opic

Str

ess

33[M

Pa]

Macroscopic Strain E33[-]

弾-粘塑性トリプルスケール解析

繊維束

母材

繊維母材

マクロスケールメゾスケールミクロスケール

ユニットセル

基本セル

半ユニットセル

局所化局所化

均質化均質化

弾-粘塑性トリプルスケール解析

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FRPのモデリング・シミュレーション（1...1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について ・ 代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴 3. 均質化法の適用事例

FRPのモデリング・シミュレーション（1...1. FRP（Fiber-reinforced plastics）について・代表的なFRP ・ FRPの構造的特徴 3. 均質化法の適用事例