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CAPITULO VIII Campo magnético y fuerza
magnética
8.1 Polos magnéticos y líneas de campo
La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de
hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales. Uno de los imanes naturales más importante es la tierra
cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el polo norte verdadero del norte geográfico y
determinar los denominados polos de un imán.
A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:
Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde aparentemente se concentra la actividad magnética.
Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión
Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S).
En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El
polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se
le denomina polo sur del imán.
La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la
distancia que los separa.
Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 2a y
2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la figura
2c y 2d.
Figura 2. (a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción
repulsiva entre polos de igual nominación
Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente
eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 3a). Sin embargo, si por alambre
circula una corriente hacia arriba (figura 3b) o hacia abajo (figura 3c), la brújula experimenta una orientación. Esta
situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.
(a) (b) (c)
Figura 3. (a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta
orientación, (b) la brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba
experimenta una orientación, (c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en
dirección opuesta
En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales
como se muestra en la figura 4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos
magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes . Por lo tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.
Figura 4. El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n
imanes.
Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la
aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 5a. El vector campo magnético (B)
conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se
muestra en la figura 5b.
(a) (b)
Figura 5. Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula,
(b) el campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético
El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera:
a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético.
b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección
transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético. c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán.
d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur.
En la Figura 6a, 6b y 6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.
(a) (b) (c)
Figura 6. (a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una
bobina que transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo
magnético uniforme
8.2. Fuerza magnética y campo magnético.
Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad , en el espacio
en donde existe un campo magnético , experimenta una fuerza de origen magnético como se muestra en la figura 7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características.
a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético ,
así como al vector velocidad , de la partícula.
b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de , a la magnitud de la
velocidad de la partícula y a la carga q que lleva la partícula.
c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad
de la carga y al vector campo magnético . d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil.
Todas estas características se resumen en la ecuación matemática
)( BxvqFm
(1)
Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema
internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:
BxvqFm
(2)
La magnitud de la fuerza magnética se expresa
qvBsenF (3)
La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 7c.
(a) (b) (c)
Figura 7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano
derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética
De la figura 7a, se observa que si la carga q se mueve con una velocidad que está formando un ángulo θ con el
campo magnético , la fuerza magnética siempre es perpendicular al plano formado por y , entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral.
Por otro lado la ecuación (3) también indica que:
La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero.
La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético (figura 8a)
La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo
magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8c. Este valor está dado por:
qvBFmax (4)
La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es
B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2
Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss.
1 Tesla = 104 Gauss.
Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza
resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma
RF qE qvxB
(5)
A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.
(a) (b) (c)
Figura 8. (a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b)
la fuerza magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la
fuerza magnética es máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares.
Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al
campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes.
En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.
. ( ).( ) ( ). 0mdW F ds q vxB vdt q vxv Bdt
(6)
Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos
posteriormente
8.3 Flujo magnético
Se define al flujo magnético Φm a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo
magnético perpendicular a la superficie, sobre el área dada.
Para determinar el valor de Φm consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8, y
dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético no es constante ni en magnitud ni en
dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético determina el valor local del campo magnético en el punto P.
Figura 9. Flujo magnético a través de una superficie.
La componente de normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la dirección del vector unitario normal n a la superficie, esto es
cos .nB B B n
(7)
El elemento de flujo dΦm a través del área dA será
dAnBdABd nm
. (8)
Para calcular el flujo total Φm que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),
. .m
S S
B dA B ndA
(9)
Si el campo magnético es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es
plana, la cantidad nB
. también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe
. cosm
S
B n dA BA
(10)
Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie θ = 0º, la
expresión anterior se reduce a
BAm (11)
Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber.
8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.
Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley
de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los
mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss
para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se
hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico
S
mKqdAnB 4.
(12)
La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de
la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir
r
m er
qKB
2
(13)
Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos
magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para
qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe
S
dAnB 0.
(14)
Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte(N)
y terminan en el polo sur(S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (14) se satisface en la medida de
que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea
puede comenzar o terminar dentro de la superficie.
8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.
Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza
lateral como se muestra en la Fig. 05, si sobre ella actúa un campo magnético . Dicha fuerza es proporcional a la corriente y a la inducción magnética y perpendicular a ambas cantidades.
Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos. El campo magnético se
encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas (x). Podemos demostrar rápidamente que
cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 10a) el alambre se mantiene recto. Sin embargo, si a través del
alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 10b) el alambre sufre una deflexión hacia la izquierda,
mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia abajo el alambre experimenta una deflexión hacia
la derechas como se muestra en la figura 10c.
(a) (b) (c)
Figura 10. Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente
Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético , la intensidad de corriente I y la
fuerza magnética , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura11a. El campo magnético se encuentra entrando a la
página.
Figura 11. (a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento
diferencial de corriente
La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio . Debido a que la cantidad de carga total en este
segmento es , donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre
el segmento es
( )( )m tot d d dF Q v xB q nAl v xB nqAv lxB
( )mF I lxB
(15)
Donde: y es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica
Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos
diferenciales de longitud , sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura 11b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento
La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por
AdldV (16)
El desplazamiento de la carga es , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad se expresa
dt
ldv
(17)
El elemento de fuerza , sobre la carga dq será
BxvdqFd
(18)
Remplazando la ecuación (17), en la ecuación (18), se tiene
Bxdt
lddqFd
(19)
Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma
AdldVdq (20)
Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será
Bxlddt
dlABx
dt
ldAdlFd
(21)
Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe
BxldAvFd
(22)
Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como
vAJAI (23)
La ecuación (20) se escribe
BxldIFd
(24)
La ecuación (24), nos permite determinar el elemento de fuerza , que actúa sobre la carga dq dentro de un
segmento de conductor de longitud . La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se
obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor
xBldIBxldIF
(25)
En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica
continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es
( )C
F I dlxB
(26)
Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención:
a) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito , entonces la expresión (26), se escribe (véase figura 12a)
BxlIBxldIF AB
B
A
(27)
b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se
tiene (véase figura 12b)
0BxldIF
(28)
En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud , es igual a cero porque ellos forman un polígono cerrado.
(a) (b)
Figura 12. (a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se
encuentra dentro de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor
cerrado que lleva una corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme
Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 13). El campo
magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a
la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda
según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de
sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional
a la amplitud de la corriente en la bobina.
Figura 13. Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la
bobina de voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono
acoplado a la bobina oscila a la misma frecuencia.
8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.
Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético
uniforme , se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman
vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o
momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 13a, de modo que su
superficie resulte perpendicular a la inducción magnética .
Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente constante I como se muestra en la Figura 13b. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo
magnético uniforme paralelo al plano de la espira.
Figura 13. (a) espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) Fuerza y Momento (torque)
magnético sobre una espira de corriente
Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán:
Fuerza sobre AB
1 1( ) 0ABF I l j xBj F
(29)
Fuerza sobre el alambre BC
2 2( )BCF I l k xBj F IaBi
(30)
Fuerza sobre el conductor CD
3 3( ) 0CDF I l j xBj F
(31)
Fuerza sobre el conductor DA
4 4( )DAF I l k xBj F IaBi
(32)
Analizando las ecuaciones (29), (30), (31) y (32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son nulas y
que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos fuerzas
una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a cualquier
punto es diferente de cero.
El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es
kabIBiIaBxjb
FxrM
2
1222
2 (33)
El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es
kabIBiIaBxjb
FxrM
2
1444
2 (34)
El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será
kabIBM
kabIBkabIBM
MMMMM
T
T
T
)(
)(0)(02
1
2
1
4321
(35)
Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa
kIBAMT
(36)
El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B.
Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z.
Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario
normal al plano de la espira forme un ángulo θ con el campo magnético , y los lados de la espira son perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 14.
(a) (b)
Figura 14. Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es
cero pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es
máximo cuando la normal a la espira es perpendicular al campo magnético
Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son:
Fuerza sobre el conductor AB
kbIBF
jBiBsenxilIF AB
cos
cos)(
1
1 (37)
Fuerza sobre el conductor CD
kbIBF
jBiBsenxilIF CD
cos
cos)(
3
3 (38)
Fuerza sobre el conductor BC
jseniaIBF
jBiBsenxklIF BC
cos
cos)(
2
2 (39)
Fuerza sobre el conductor DA
jseniaIBF
jBiBsenxklIF DA
cos
cos)(
4
4 (40)
Las ec. (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos ahora que
sucede con los momentos respecto al punto O.
Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
0
cos
1
2
1111
M
kbIBxkaFxrM
(41)
Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O
0
cos
3
2
1333
M
kbIBxkaFxrM
(42)
Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O
12 2 2 2
12 2
cosM r xF bi x aIB i sen j
M ab IBsen k
(43)
Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O
14 4 4 2
14 2
cosM r xF bi x aIB i sen j
M ab IBsen k
(44)
El momento total respecto al punto O será:
1 2 3 4
1 12 2
0 ( ) 0 ( )
(45)
T
T
T
M M M M M
M IB ab sen k IB ab sen k
M IBAsen k
La magnitud del momento será
(46) TM IBAsen
Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será
BsenNIAM (47)
Se define al momento dipolar magnético como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está
expresado mediante la ecuación
NIAn
(48)
Entonces la ecuación (41) se escribe
M Bsen (49)
Ecuación que en forma vectorial se escribe
M xB
(46)
Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico , externo sobre un
dipolo eléctricoEM xE
. Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético es el de avance
del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido
también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 15. Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2)
Figura 13. Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular
que transporta una corriente en sentido antihorario.
Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra
un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo negativo mediante un agente externo para
cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía
potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el
dipolo magnético desde un ángulo θ0 a un ángulo θ está dado por
0 00 0(cos cos )ext m mW U U Md p Bsen d p B (50)
Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será
cos .m mU p B p B
(51)
La configuración es de equilibrio estable cuando se encuentra alineado paralelamente con , siendo U un mínimo con
. Por otro lado, cuando y son anti-paralelos la energía potencial es un máximo , en estas condiciones el sistema es inestable.
8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético.
En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético)
localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un
campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea
diferente de cero.
Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar es localizado a lo largo
del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en al figura 14,
El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es
uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera ejercida por
un agente externo para mover al dipolo una distancia hacia la derecha está dada por
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]exF x U B x x B x B x x B x (52)
Figura 14. Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra
Para desplazamientos pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma
[ ( ) ( )]ex
B x x B x dBF
x dx (53)
La cual es una cantidad positiva ya que , es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la distancia x. esta es
precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma
( . )m
dB dF B
dx dx
(54)
Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe
( . )mF B
(55)
8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético.
Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un
campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la
fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de
dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud,
En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se
muestra en la figura 15, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular.
Para encontrar una relación entre el campo magnético , la velocidad , el radio del círculo r, se aplica la segunda ley de Newton en dirección normal, esto es:
r
mvqvBF
maF
m
nn
2
De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada
mv
rqB
(56)
De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por
/
v v qB
r mv qB m (57)
Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo
depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está dad por
q
Bm
(58)
El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción
magnético.
Figura 15. Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme.
Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la
carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 16a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56),
donde v es ahora la componente perpendicular al campo .
El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La
figura 16b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta
región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética
suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella
magnética. En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes
del sol en regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura
Figura 16. (a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela
al campo magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella
magnética En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en
regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 17. Estas regiones se
denomina cinturones de radiación Van Allen
(a) (b)
Figura 17. (a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el
movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético.
8.9 El motor de corriente continua.
Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado
generalmente por las siguientes partes.
8.9.1. Partes principales
Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las arrollan
son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.
Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético
alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.
Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor que
sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas. Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión
eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido.
Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido correspondiente a
cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en la figura 18.
Figura 18. Estructura básica de un motor de corriente contínua.
8.9.2. Funcionamiento.
El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre
un elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza
cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo
sea paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor M que se origina es . En la figura 19, cada uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un
circuito externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del
rotor y salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido
anti horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 19a).
En la figura 19b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el
conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto,
aquí no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y
el momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una
vez más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 19c. Pero ahora la corriente
entra por el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 19a. En tanto
que el sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la
figura 19 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este
modo el momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor.
Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la
potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente
nulo, debe existir siempre una diferencia de potencial para que P sea diferente de cero. Veremos más
adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contraelectromotriz
Figura 19 Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en
torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del
conmutador están aislados unos de otros.
8.10 El efecto Hall.
E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético
perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto
se denomina efecto Hall.
Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la
figura. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e. Cuando se
aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se encuentran
sometidos a la fuerza magnética expresada por
m eF e v xB
m eF e v ixBj
(59)
(a) (b)
Figura 20. (a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones
experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior
de la placa
La ecuación (59) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los electrones
son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta es cargado negativamente. Por lo tanto, el lado inferior
resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado aparece de esto aparece un
campo eléctrico paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será EeFe
dirigida hacia abajo,
llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el
equilibrio (véase la figura 21a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de potencial
es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los electrones se
encuentran en equilibrio, esto es
0BxveEeF
FFF me
De donde se obtiene
BxvE eH
(49)
m eF e v Bk
La magnitud del campo eléctrico será
BvsenBvE eeH º90. (50)
Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por
dEV HH (51)
Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta
H eV v Bd (52)
A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una
corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad
de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por
dnevJ
La velocidad de los portadores es
ne
Jve (53)
Al sustituir la ec. (53) en la ec (52), da como resultado
Bden
JVH
. (54)
Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe
Aen
IBdVH
.. (55)
De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por
VeA
IBdn (56)*
Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con
la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de
portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 21b)
Figura 20. (a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se
encuentra a un potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde
superior se carga positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado
inferior
8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos.
En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector
leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores.
8.11.1 Selector de velocidades.
Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las
partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma
rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 21a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico y
un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se observa
una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y atraviesa una
ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q experimenta
una fuerza eléctrica , hacia abajo y una fuerza magnética , hacia arriba. Si se escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula. Entoces
aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 21b), se tiene
0yF qvB qE
Ev
B
(57)
Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin
desviarse.
Figura 21. (a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los
campos cruzados.
8.12. MMMMM
8.13 PROBLEMAS RESUELTOS.
1. Un electrón es lanzado dentro de un campo
magnético dado por T. Determine la expresión vectorial de la fuerza
magnética sobre dicho electrón si se mueve con
una velocidad m/s.
Solución
5
x y z
x y z
19 5
14
i j ki j k
v v v 0 3,7.10 0
1,4 2,1 0B B B
1,6.10 [ 1,4(3,7.10 )]
(8,3.10 )
F qvxB
F k
F k N
2. Un protón se está moviendo con una velocidad
m/s en una región del espacio en
donde el campo magnético viene expresado por la
ecuación T. ¿Cuál es la
magnitud de la aceleración en este instante?.
Solución
196
27
i j k1,6.10
( ) 6.10 0 01,67.10
3 -1,5 2
B p
p
F ma q vxB
qa vxB
m
8 6 6
14 2
14 2
0,958.10 (12.10 9.10 )
(11.496 8,622 ).10 /
14,37.10 /
a i k
a i k m s
a m s
3. Una partícula alfa (m = 3,3.10
-27 kg, ) es
acelerada desde el reposo a través de una diferencia
de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa
en una región donde existe un campo magnético
, perpendicular a la dirección de su
movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe la partícula alfa?.
Solución
El trabajo que realiza el campo eléctrico en la
región donde existe una diferencia de potencial
sobre la partícula alfa es
( )W q V (1)
Por otro lado el trabajo es igual a la variación de
energía cinética, es decir
kW E (2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene
21( )
2mv q V (3)
La velocidad de la partícula será
2 ( )q Vv
m
Debido a que la partícula describe un movimiento
circular, la fuerza magnética siempre se dirige al
centro de la trayectoria. Entonces se tiene 2
2 ( )
2 ( )1
n n
vF ma qvB m
r
q Vmv mr
q B q B m
mq Vr
B q
27
19
2
1 2(3,3,10 )(1000 )
0,2 2(1,6.10 )
2,27.10
kg Vr
T C
r m
4. Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene
una masa de 15 g. La varilla se encuentra
suspendida en un plano vertical por un par de
alambres flexibles dentro de un campo magnético
B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página
tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente
debe fluir a través de la varilla para que la tensión
en los alambres soportantes sea igual a cero?
Solución Para que las tensiones en los alambres verticales
sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar
dirigida hacia arriba para que equilibre al peso.
Entonces aplicando la regla de la mano derecha so
obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia
la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra
en el DCL de la varilla
La fuerza magnética se expresa mediante la
ecuación
( )B
B QP
B QP
F I dlxB I dli x Bk
F Il Bj
F Il B
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
2
0
0,015 (9,8 / )
0,72 (0,54 )
378
y B
QP
QP
F F W mg
Il B mg
mg kg m sI
l B m T
I mA
5. Un imán en forma de barra con su polo norte arriba
es localizado simétricamente en el eje y debajo de
un anillo conductor de radio r el cual transporta una
corriente I en sentido horario como se muestra en la
figura. En la localización del anillo, el campo
magnético forma un ángulo θ con la vertical.
¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza
resultante sobre el anillo?
Solución
Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se
divide a éste en elementos diferenciales de
corriente pequeños , como se muestra en la figura. La fuerza sobre el elemento será
dF IdlxB
Usando coordenadas cilíndricas tenemos
( ) ( cos )r zdF I dle x Bsen e B e
cosz rdF IBdlsen e IBdl e
Debido a la simetria que presenta la figura, las
componentes radiale se cancelan mutuamente ya
que existe una componente idéntica en el lado
izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z
La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo
será
z z
C C
F dF IBdlsen e IBsen e dl
2
2
zF IBsen e
F IBsen
La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya
que está dirigida hacia arriba en la dirección +z.
6. Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada
sobre dos rieles paralelos de longitud l separados
por una distancia d, como se muestra en la figura.la varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo
largo de los rieles los cuales están ubicados en un
campo magnético uniforme dirigido verticalmente hacia abajo. Si la barra está
inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad
cuando abandona los rieles.
Solución
Par resolver el ejemplo se utiliza el sistema de
referencia mostrado en la figura
La fuerza magnética que actúa sobre la barra
cilíndrica será
( )
( )
F I dlxB I dli x Bk
F IBd j
El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre
la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la
región es
0. ( ).
f f l
i fi i
i f
W F ds IBd j dxj IBd dx
W IBld
Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se
tiene
, , , ,( ) ( )i f k k tras k rot f k tras k rot iW E E E E E
Debido a que la barra parte del reposo, entonces su
energía cinética de traslación y rotación unciales
serán nulas, entonces se tiene
2 21 1
2 2IBld mv I
Puesto que el momento de inercia de la barra es
, y cuando la barra rueda sin deslizar se
cumple que , la ecuación anterior se escribe en la forma
2 2 21 1 3
2 4 4
4
3
IBld mv mv mv
IlBdv
m
7. Mmmm
8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Un protón viaja con una velocidad de 3.106 m/s a
un ángulo de 37° en la dirección del campo
magnético con un valor de 0,3 T en la dirección de
las y positiva. Determine: (a) La magnitud de la fuerza magnética sobre el protón y (b) su
aceleración
2. Un protón se mueve perpendicularmente a un
campo magnético uniforme B a una velocidad de
1.107 m/s y experimenta una aceleración de 2.1013
m/s2 en la dirección positiva de las x cuando su
velocidad está en la dirección positiva de las z.
determine la magnitud y dirección del campo
magnético.
3. Una partícula con una carga de +8,4 μC y una velocidad de 45 m/s entra en una región donde
existe un campo magnético uniforme de 0,3 T. Para
los casos mostrados en la figura, encuentre la
magnitud y la dirección de la fuerza magnética
sobre la partícula.
4. Un conductor suspendido por dos alambres
flexibles, como se muestra en la figura tiene una
masa por unidad de longitud igual a 0,040kg/m.
determine la corriente que debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres de
soporte sea igual a cero cuando el campo
magnético tiene un valor de 3 Tesla dirigido hacia
la página. ¿Cuál es la dirección de I? .
5. Un alambre doblado en forma de semicírculo, de
radio R = 0,25 m, forma un circuito cerrado y
conduce una corriente I = 3 A. el alambre está en el
plano xy y con un campo magnético uniforme está
dirigido a lo largo del eje positivo de las y como se
muestra. Si la magnitud del campo es B = 0,25 T.
Determine la magnitud y dirección de la fuerza
magnética sobre la porción recta y curva del alambre
6. Una varilla con 0,72 kg de masa y un radio de 6.00
cm descansa sobre dos rieles paralelos como se
muestra en la figura que están separados por una
distancia d = 12, cm y tienen una longitud L = 45
cm de largo. La varilla conduce una corriente I =
48 A (en la dirección que se muestra) y rueda por
los rieles sin deslizar. Perpendicularmente a la
varilla y a los rieles existe un campo magnético
uniforme de magnitud 0,24 T. Si la varilla parte
del reposo, determine la velocidad de la varilla
cuando abandona los rieles.
7. En la figura el cubo tiene aristas de 40 cm. Cuatro segmentos recttos de alambre , ab, bc, cd, y da
forman un lazo cerrado por el que fluye una
corriente I = 5 A en la dirección indicada. En la
dirección positiva de las y existe un campo
magnético uniforme de magnitud B = 0,02 T.
determine la magnitud y la dirección de la fuerza
magnética que se ejerce sobre cada segmento.
8. Una bobina de N = 100 vueltas muy apretadas tiene
las dimensiones a = 0,4 m y b = 0,5 m. Si la bobina se encuentra en un campo magnético B = 0,8 T.
Determine: (a) la magnitud del torque sobre la
espira cuando por esta fluye una corriente I = 1,2
A. (b) El sentido de la rotación de la espira
9. Una partícula A con una carga q y masa mA y una
partícula B con carga 2q y masa mB son aceleradas
desde el reposo mediante una diferencia de
potencial ΔV y subsecuentemente deflectadas por
un campo magnético uniforme en trayectorias
semicirculares. Los radios de las trayectorias de las
partículas A y B son R y 2R, respectivamente. La
dirección del campo magnético es perpendicular a
la velocidad de las partículas. Determine la razón
entre sus masas.
10. Un lazo de corriente consiste de un semicírculo de
radio R y dos segmentos rectos de longitud l con un
ángulo θ entre ellos. El lazo es entonces localizado
en un campo magnético uniforme representado por
los puntos en la figura mostrada. Determine: (a) La
fuerza neta sobre el lazo de corriente, (b) El momento dipolar magnético y (c) El torque
magnético sobre el lazo de corriente.
11. Un lazo cuadrado de alambre, de longitud l = 0,1 m
por lado, tiene una masa de 50 g y pivota sobre el
eje AA’ que corresponde a un lado horizontal,
como se muestra en la figura. Un campo magnético
uniforme de 500 G, directamente vertical y hacia abajo llena completamente la región en la vecindad
del lazo. El lazo lleva una corriente I tal que su
posición de equilibrio se alcanza cuando θ = 20°.
(a) Considere la fuerza sobre cada segmento
separadamente y encuentre la dirección de la
corriente en el lazo para mantener el ángulo en 20°.
(b) Calcule el torque alrededor del eje debido a
estas fuerzas. (c) Encuentre la corriente en el lazo
que se requiere para que la suma de todos los
torques (alrededor del eje sea cero. Considere el
efecto de la gravedad sobre cada uno de los cuatro segmentos del alambre separadamente y (d) Repita
el paso (b) pero ahora use la definición de
momento dipolar magnético para calcular el torque
magnético sobre el lazo debido al campo
magnético.
12. Una varilla metálica con una masa por longitud
unitaria λ Transporta una corriente I. La varilla está
suspendida de alambres verticales en un campo
magnético vertical uniforme, como se muestra en la
figura. Si los alambres forman un ángulo θ con la
vertical cuando están en equilibrio- determine la
magnitud del campo magnético.
13. El circuito de la figura está formado de alambres en
su parte superior e inferior y de resortes metálicos
idénticos en los lados derecho e izquierdo. La
porción superior del circuito se encuentra fija. El
alambre inferior tiene una masa de 10 gramos y una
longitud de 5 cm. Los resortes se estiran 0,5 cm
bajo la acción del peso del alambre y el circuito presenta una resistencia total de 12 Ω. Cuando el
campo magnético se encuentra operando hacia el
exterior de la página, los resortes se estiran 0,3 cm
adicionales. Determine la magnitud del campo
magnético.
14. Una barra metálica de masa M está apoyada sobre
un par de varillas conductoras horizontales
separadas una distancia L y unidas a un dispositivo
que suministra una corriente constante I al circuito,
según se ve en la figura. Se establece un campo
magnético B del modo indicado. (a) Si no existe
rozamiento y la barra parte del reposo cuando t = 0,
determine la velocidad de la barra en cualquier
instante. (b) ¿En qué sentido se mueve?. (c) Si el
coeficiente de rozamiento estático es μS, halle el
valor mínimo del campo B necesario para hacer que se ponga en movimiento.
15. La espira rectangular de alambre de la figura tiene
una masa de 0,19 g por centímetro de longitud y
está fija en el lado ab a un eje de rotación sin
fricción. La corriente en el cable es de 6,8 A en la dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la
dirección del campo magnético paralelo al eje y
que ocasionará que la espira se balancee hasta que
su plano forme un ángulo de 30º con el plano yz
16. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,15 T está dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un
positrón que se mueve a 5.106 m/s entra en el
campo siguiendo una dirección que forma un
ángulo de 85° con el eje de las x como se muestra n
la figura. Se espera que el movimiento de la
partícula sea helicoidal. Determine: (a) el paso de
hélice p y el radio r de la trayectoria.
17. Un área circular con un radio de 6,5 cm yace en el
plano xy . ¿Cuál es la magnitud del flujo magnético
a través de éste círculo debido a un campo
magnético uniforme B = 0,23 T. (a) en la dirección
+z, (b) a un ángulo de 53,1° respecto al eje +z y (c)
e la dirección +y.
18. Una partícula cargada entra en un campo magnético uniforme B y sigue la trayectoria
circular mostrada en el diagrama. (a) ¿La partícula
está cargada positivamente o negativamente?, (b)
La velocidad de la partícula es 140 m/s, la
magnitud del campo magnético es de 0,48 T, y el
radio de la trayectoria descrita es 960 m. Determine
la masa de la partícula dado que su carga es 820
μC.
19. Dos rieles conductores se encuentran fijos sobre un
plano inclinado 30° con la horizontal. Si en la
región del espacio existe un campo magnético cuya
magnitud es de 0,05 T. ¿ Cuál será la intensidad de
corriente que debe fluir por la barra de aluminio de
0,27 kg para que ésta deslice sin fricción a una
velocidad constante.
20. Un haz de protones se mueve a través de un campo
magnético uniforme de magnitud 2,00 T, dirigido a
lo largo del eje positivo de las z. los protones tiene
una velocidad de 3.106 m7s en el plano xz a un
ángulo de 30° con el eje +z. Encuentre: (a) La fuerza sobre el protón y (b) su aceleración
21 En la figura se muestra una espira cuadrada de
alambre que se encuentra en el plano xy. La espira
tiene lados de longitud L y por ella circula una
corriente constante I en el sentido horario. El
campo magnético está dado por
kLyBjLzBB
)/()/( 00 , con B0 una
constante positiva. (a) Encuentre la magnitud y la
dirección de la fuerza magnética ejercida sobre
cada alambre, (b) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta sobre la
espira.
22 Un protón se está moviendo a 1500 m/s en el
campo de 135 T mostrado en la figura. ¿Cuál es el
radio de la trayectoria descrita por el protón?.
23 El lazo triangular de alambre mostrado en la figura
lleva una intensidad de corriente I = 4,70 A. Un
campo magnético uniforme está dirigido
paralelamente al lado AB del triángulo y tiene un
magnitud de 1,8 T. (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre cada uno de
los lados del triángulo, (b) determine la magnitud
de la fuerza neta ejercida sobre el alambre, (c)
encuentre la magnitud y dirección del momento
dipolar eléctrico y (c) la torsión sobre el alambre
24 Un electrón que se halla en el punto A de la
figura tiene una rapidez v0 = 1,41.106 m/s.
Determine: (a) la magnitud y dirección del campo
magnético que obliga al electrón a seguir la
trayectoria semicircular de A a B; (b) el tiempo
necesario para que el electrón se traslade de A a B.
25 La barra AC de la figura tiene 40 cm de longitud
y una masa de 40 g, y se desliza libremente sobre
las tiras metálicas en los bordes de un plano
inclinado. Una corriente I fluye a través de estas
tiras y la barra, y existe un campo magnético By
= 0,2 tela en la dirección opuesta al eje Y. (a)
¿De qué magnitud debe ser I para que la barra
permanezca en reposo?. (b) Si la corriente que
fluye en el conductor es realmente 2,5 A ¿Cuál es la aceleración de la barra a lo largo del plano
inclinado?.
26. A un alambre conductor se le da la forma de una
M con las dimensiones que se muestran en la
figura y se le hace conducir una corriente de 15 A.
Un campo magnético externo B = 2,5 Tesla está
dirigido como se muestra y está a través de toda la
región ocupada por el conductor. Calcule la
magnitud y dirección de la fuerza total ejercida
sobre el conductor por el campo magnético.
27. Un campo magnético no uniforme ejerce una
fuerza neta sobre un dipolo magnético. Un imán
de gran intensidad se pone bajo un anillo
conductor horizontal de radio r que conduce una
corriente I, como se muestra en la figura. Si el
campo magnético B forma un ángulo θ con la vertical en la posición del anillo. ¿Cuáles son la
magnitud y la dirección de la fuerza resultante
sobre el anillo?.
28. Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados
de 6 y 8 cm y transporta una corriente de 1,75 A.
está orientada como indica la figura y pivota alrededor del eje Z. (a) Si el alambre situado en el
plano XY forma un ángulo θ = 37º con el eje Y
como se indica, ¿qué ángulo forma el vector
unitario normal n con el eje X; (b) Expresar n en
función de los vectores i y j; (c) ¿Cuál es el
momento magnético de la bobina?; (d) Determine
el momento magnético del par que actúa sobre la
bobina cuando se sitúa en un campo magnético
uniforme B = (1,5 j) Tesla.
29. Una espira de alambre está formada por dos
semicilindros conectados por dos segmentos
rectos. Los radios interiores y exteriores son 0,3 m
y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una
corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el
semicírculo exterior. Determine el momento
magnético de esta espira de corriente?.
30.
.
