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haroldo-nascimento
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Exercícios Resolvidos
1) Calcular os zeros das seguintes funções:
a) f(x) = x2 3x 10
b) f(x) = x2 + x 20
c) f(x) = x2 x + 12
d) f(x) = x2 + 4x 4
e) f(x) = 36x2 + 12x + 1
f) f(x) = (2x + 3).(x 2)
a) f(x) = x2 3x 10 a = 1 ; b = 3 ; c = 10
Equação do 2º grau!
As raízes da equação são x1 = 2 e x2 = 5
Os zeros da função são x1 = 2 e x2 = 5
b) f(x) = x2 + x 20 a = 1 ; b = 1;
c = 20
Equação do 2º grau!
As raízes da equação são x1 = 5 e x2 = 4
Os zeros da função são x1 = 5 e x2 = 4
c) f(x) = x2 x + 12 a = 1 ; b = 1
; c = 12
Equação do 2º grau!
A função continua inalterada, mas a equação foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o cálculo das raízes.
Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e
As raízes da equação são x1 = 4 e x2 = 3
Os zeros da função f(x) = x2 x + 12 são x1 = 4 e x2 = 3
d) f(x) = x2 + 4x 4 a = 1 ; b = 4 ; c = 4
Equação do 2º grau!
A função continua inalterada, mas a equação foi multiplicada por 1, apenas para facilitar o cálculo das raízes.
Para efeito de cálculos, consideraremos agora ; e
A equação tem duas raízes reais e iguais a 2
A função f(x) = x2 + 4x 4
e) f(x) = 36x2 + 12x + 1 a = 36; b = 12 ; c = 1
A equação tem duas raízes reais e iguais a
A função f(x) = 36x2 + 12x + 1
f) f(x) = (2x + 3).(x 2)
Equação do 2º grau!
Se o produto é igual a zero, podemos ter certeza que um dos fatores, ou , é nulo.
Daí... 1º) Se (1ª raiz)
2º) Se (2ª raiz)
As raízes da equação são x1 = 3/2 e x2 = 2
Os zeros da função f(x) = (2x + 3).(x 2) são x1 = 3/2 e x2 = 2
2) Calcular m para que: a) a função f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 seja côncava para cima. b) a função f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 seja côncava para baixo. c) a função f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 seja quadrática.
a) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola com a concavidade voltada para cima (CVC), é necessário que o coeficiente do x2 seja positivo:
f(x) = (m 3)x2 + 4x 7 f(x) = (m 3)x2 + 4x 7
b) Para que o gráfico de uma função quadrática, ou do 2º Grau, seja uma parábola com a concavidade voltada para baixo (CVB), é necessário que o coeficiente do x2
seja negativo:
f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1 f(x) = (2m + 8)x2 2x + 1
c) Para que uma função seja quadrática, ou do 2º Grau, é necessário que o coeficiente do x2 não seja nulo:
f(x) = (m2 4)x2 4x + 3 f(x) = (m2 4)x2 4x + 3
3) Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 4x + 3
b) f(x) = x2 x + 2
c) f(x) = 4x4 + 4x + 1
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;
c = 3
Abscissa do vértice:
Ordenada do vértice:
Coordenadas do vértice:
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;
c = 3
Abscissa do vértice:
Ordenada do vértice: (cálculo alternativo)
a) f(x) = x2 4x + 3 a = 1 ; b = 4;
c = 3
2
1 Valor mínimo da função ou yMIN = 1
V
Resposta: O vértice da função f(x) = x2 4x + 3 é no ponto ( 2 , 1 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um valor MÍNIMO, no caso, yV = 1
b) f(x) = x2 x + 2a = 1 ; b = 1;
c = 2
Abscissa do vértice:
Ordenada do vértice:
Coordenadas do vértice:
9/4
1
Valor máximo da função ou yMAX = 9/4
V
Resposta: O vértice da função f(x) = x2 x + 2 é no ponto ( 1 , 9/4 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para BAIXO, a função admite um valor MÁXIMO, no caso, yV = 9/4
b) f(x) = x2 x + 2a = 1 ; b = 1;
c = 2
c) f(x) = 4x4 + 4x + 1 a = 4 ; b = 4;
c = 1
Resposta: O vértice da função f(x) = 4x4 + 4x + 1 é no ponto ( 1/2 , 0 ) e, sendo seu gráfico uma parábola com a concavidade voltada para CIMA, a função admite um valor MÍNIMO, no caso, yV = 0
4) Em cada função mostrada, calcule a concavidade, os zeros, as coordenadas do vértice, crescimento e decaimento, valor máximo, ou mínimo, e faça o esboço do gráfico.
a) f(x) = x2 4x + 3
b) f(x) = x2 + 4x 4
c) f(x) = x2 + 3x + 4
d) f(x) = x2 + 2x 4
a) f(x) = x2 4x + 3
Raízes:
Vértice:
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:
Pontos onde a curva intercepta o eixo Ox:
e
Para valores de x, menores que 2, a função
é decrescente
Para valores de x, maiores que 2, a função
é crescente
A função tem seu valor mínimo y = 1
b) f(x) = x2 + 4x 4
Raízes:
Ox em apenas um ponto, aqui, ( 2 , 0 )
ATENÇÃO: Neste caso, sempre que tivermos , a raiz é também a abscissa do vértice e, consequentemente, a ordenada do vértice será igual a zero!
Vértice:
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:
A parábola, côncava para baixo, vai tangenciar o eixo Ox no vértice V = ( 2 , 0 )
Para valores de x, menores que 2, a função
é crescente
Para valores de x, maiores que 2, a função
é decrescente
A função tem seu valor máximo y = 0
c) f(x) = x2 + 3x + 4
Raízes:
intercepta o eixo Ox
Vértice:
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:
Para valores de x, menores que 1.5, a função é decrescente
Para valores de x, maiores que 1.5, a função é
crescente
A função tem seu valor mínimo y = 1.75
d) f(x) = x2 + 2x 4
Raízes:
intercepta o eixo Ox
Vértice:
Ponto onde a curva intercepta o eixo Oy:
Para valores de x, menores que 1, a função
é crescente
Para valores de x, maiores que 1, a função
é decrescente
A função tem seu valor máximo y = 3
5) Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vértice da parábola de equação y = x2 + 4.
Função afim:
Resposta: A lei de formação da função afim é
6) Responda: entre todos os pares de números reais x e y, tais que x y = 10 determine aqueles para os quais a soma de seus quadrados seja mínima.
Soma dos quadrados:
Os pontos ou
A expressão da soma dos quadrados está escrita agora, apenas em função da variável x, logo, é uma f(x)
Função do 2º grau com , logo, representada por uma parábola côncava para cima que tem seu valor mínimo no vértice
Resposta: Par
Como
7) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Quais as medidas dos lados menor e maior?
Área:
Função do 2º Grau CVB, ou seja, admite valor MÁXIMO no vértice
Resposta: Lado menor = 100 m e lado maior = 200 m
Como
8) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo
b) a altura máxima atingida pela bola
Para termos uma boa visão geral da situação, vamos fazer o gráfico (mesmo que isso não esteja sendo pedido na questão)
Raízes:
ou
Abscissa do vértice:
Ordenada do vértice:
a) o instante em que a bola retornará ao solo:
b) a altura máxima atingida pela bola:
9) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada. Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima.
ou
Função quadrática CVC que admite MÍNIMO no vértice
Resposta: O lado do quadrado deverá medir 1 cm
10) Uma empresa trabalha com placas de publicidade retangulares, de lados iguais a (x + 3) e (2x 4) metros.
a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12m2 a 28m2.
b) Determine as medidas dos lados da placa de 28m2.
a)
a) 1ª parte:
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU!
Cálculo das raízes:
Temos que encontrar dois números que, somados dêem 1 e multiplicados resultem em 12
Sem muito sacrifício, encontramos 4 e 3 (Verifique!)
Sabemos que a expressão seria representada, como gráfico de uma função, por uma parábola com a concavidade voltada para cima.
Calculamos, de cabeça, que os zeros dessa função seriam 4 e 3 e daí não é difícil visualizar o esboço desse gráfico.
Para x = 4 e para x = 3 temos
Para x < 4 ou para x > 3 temos
Para 4 < x < 3 temos
Queremos que então devemos ter ou
a) 2ª parte:
Cálculo das raízes:
Temos que encontrar dois números que, novamente, somados dêem 1, mas agora, que multiplicados resultem em 20
Rapidamente encontramos 5 e 4 (Fácil!)
Queremos que então devemos ter
Para x = 5 e para x = 4 temos
Para x < 5 ou para x > 4 temos
Para 5 < x < 4 temos
ou e
A solução deste sistema de inequações seria . Como nessa questão há uma aplicação no cálculo de áreas, x não pode ser negativo e daí a resposta será: x poderá variar de 3 m a 4 m.
b)
Essa equação nós já resolvemos e, lembrando que , temos apenas
Sendo assim, as medidas dos lados para que a área seja igual a 28 m2 serão:
e