FUNÇÃO EXPONENCIAL

DEFINIÇÃO: Chama-se função exponencial qualquer função f: R→R dada por uma lei da forma f(x) =ax, em que a é

um número real dado, a>0 e a≠1.

Exemplos: y = 2x ; f(x)=(1/3)x; f(x) = (1 + x)1/x

Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente variável.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Esse gráfico representa uma função exponencial crescente onde a > 1.

Esse gráfico representa uma função exponencial decrescente onde 0 < a < 1.

Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes:

1) O gráfico (curva) de uma função exponencial nunca irá interceptar o eixo x, pois esta função não possui raiz.

2) O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores de y sempre serão

positivos.

3) O domínio natural de cada função exponencial é (-∞, + ∞) e a imagem de f(x) = ax é (0, + ∞) , admitindo por

suposição que o gráfico de y = ax seja uma curva sem quebras, lacunas ou buracos.

A função exponencial natural (ex) é utilizada para modelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Sua

base é número e, que é 2,718281828 para nove casas decimais.

A função exponencial mais simples é a função . Cada ponto do gráfico é da forma pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função é e a imagem é o conjunto .

PROBLEMAS:

1) Duas populações, designadas por F e G, têm os respectivos crescimentos expressos por f(t) = 36 + t2 e g(t) =

10(2t), sendo t o número não negativo que representa o tempo em meses. Então analise as seguintes afirmações:

a) A população G duplica a cada mês.

b) g(51) – g(50) = g(50)

c) Quando t=1 a população F é menor do que a população G.

d) Em nenhum tempo a população F será igual à população G.

2) (Uneb-BA) A expressão P(t) = k . 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função

do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha 300 000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente,

ela possuia no ano 2 000?

a) 352 200 b) 401 000 c) 423 000 d) 439 000 e) 441 000

3) (UFPA) Uma reserva florestal possui 10 000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores

estará reduzida à oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é y(t) = 10 000 . 2-t.

4) Esboce o gráfico de e de , comparando-os com o gráfico de .

5) Esboce o gráfico da função .

6) Resolva as equações exponenciais:

a)

b)

7) Determine o conjunto solução da desigualdade

LOGARITMOS e FUNÇÃO LOGARÍTMICA Do grego: logos (razão) + arithmos (número)

Definição Sejam a e b dois números reais. O logaritmo de a na base b é o expoente a que b deve ser elevado para que o resultado seja a. Em símbolos:

Dizemos que b é a base e a é o logaritmando. É importante, contudo, definir algumas restrições à base e ao logaritmando:

i) A base deve ser positiva. Determinar, por exemplo, o logaritmo de 2 na base -10 é impossível no universo dos números reais, já que apenas as potências de expoentes inteiros estão definidas para bases negativas.

ii) A base deve ser diferente de um. Como 1 elevado a qualquer número dá 1, o único logaritmando possível (com base 1) seria 1.

iii) O logaritmando deve ser positivo. Nenhum número real positivo tem potências negativas.

CCOONNSSEEQQUUEENNCCIIAASS - O logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0.

log a 1 = 0, pois a0 = 1 - O logaritmo da base, qualquer que seja ela é igual a 1.

log a a = 1, pois a1 = a

- A potência de base a e expoente log a b é igual a b. a log a b = b

Pois o logaritmo de b na base a é justamente o expoente que se deve dar à base a para que a potência fique igual a b.

- Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também são iguais.

log a b = log a c ⇒ b = c

EEXXEEMMPPLLOOSS log 2 4 log 3 81 log 2 1/8 log 7 7 log 5 1 log 1/5 125 8 log

8 5

log 5 (2x+1) = log 5 (x+3) log 16 0,25 log 2 5 = 2,32 log 5 = 0,699 O logaritmo mais importante nas aplicações é o de base e, que é chamado logaritmo natural, já que a função é a inversa da função exponencial natural ex. É comum denotar o logaritmo natural de x por ln x. Assim: ln 1 = 0 ln e = 1 ln 1/e = -1 ln (e²) = 2 ln(ex) = x ou e ln x = x PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS LLOOGGAARRIITTMMOOSS

LOGARITMO DO PRODUTO: Em qualquer base, o logaritmo do produto de dois números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos dos números.

log a (b. c) = log a b + log a c LOGARITMO DO QUOCIENTE: Em qualquer base, o logaritmo do quociente de dois

números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

log a b/c = log a b - log a c LOGARITMO DA POTÊNCIA: Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real

e positiva é igual ao produto dos expoentes pelo logaritmo da base da potência. log a br = r. log a b

PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS LLOOGGAARRIITTMMOOSS

1) log 2 (3. 4) = log 2 3 + log 2 4 2) log 210 3) log 2 ¾ 4) log 6/5 5) log 2 37 6) log 3 1/16

MMUUDDAANNÇÇAA DDEE BBAASSEE: Converter um logaritmo de certa base para outra base. log a b = log c b/ log c a

FFUUNNÇÇÃÃOO LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA Dado um número real a (com 0<a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base a a função de dada pela lei:

f(x) = log a x. Exemplos: y = log 2 x, y = log 10 x e y = log e x.

Principais Características

Função logarítmica

0 < a < 1

Função logarítmica

a > 1

g: lR+ lR

x loga x

● Domínio = lR+

● Contradomínio = lR

● g(x) = 0 <=> x = 1

● A função é estritamente decrescente.

● x = 0 é assíntota vertical

g: lR+ lR

x loga x

● Domínio = lR+

● Contradomínio = lR

● g(x) = 0 <=> x = 1

● A função é estritamente crescente.

● x = 0 é assíntota vertical

A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa.

O domínio da função ln é e a imagem é o conjunto .

O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função.

FFUUNNÇÇÃÃOO LLOOGGAARRÍÍTTMMIICCAA -- aapplliiccaaççããoo

LLEEII DDOO RREESSFFRRIIAAMMEENNTTOO DDEE NNEEWWTTOONN A temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T = T0 + ke-ct

Nesta relação, T é a medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas.

PPRROOBBLLEEMMAASS 1) Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100º C, colocada numa sala de temperatura 20º C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC. Calcule a temperatura do café 50 minutos depois após a xícara ter sido colocada na sala. Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

2) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é o que o

número de doses produzidas dobre a cada ano, após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o

inicial? (Use log 2= 0,30)

a) 1 ano e 8 meses b) 2 anos 3 meses c) 2 anos e 6 meses d) 3 anos e 2 meses e) 3 anos e 4 meses

3) A expressão N(t) = 1500 . 20,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao completar t horas do início de sua observação (t=0). Após quantas horas da primeira observação haverá 250 000 bactérias nessa cultura? Dados: log 2 = 0,30; log 3 = 0,48.

4) Na escala Richter, a violência de um terremoto de intensidade I é dada por

.

(a) Determine a intensidade do terremoto de 1908 em San Francisco, que atingiu 8,3 na escala Ritchter.

(b) Quantas vezes mais intenso foi o terremoto de 1908 em San Francisco que o terremoto de 1995 em Kobe, no Japão, que atingiu 7,1 na escala Richter.

5) Encontre x tal que:

a) b) ln(x+1)=5 c) 5x = 7

6) Resolva

para x.

7) Use as propriedades dos logaritmos para reescrever a expressão em termos de r, s e t onde

a) b)

c)

d)

8) Resolva para x:

a) e) ln 4x – 3 ln (x²) = ln 2

b) f) 3x = 2

c) ln ( x²) = 4 g) 5-2x = 3

d) h) =7

9) Esboce o gráfico de y=2. ln x e o gráfico de

10) No sistema cartesiano abaixo, estão representadas as funções y = 3, onde a é número real

diferente de zero. Determine o valor de a.