FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Marcela Monteiro

INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático

escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo

inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos

deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os

cálculos excessivamente trabalhosos para a época,

principalmente na área da astronomia, entre outras. Através

dos logaritmos, pode-se transformar as operações de

multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras

transformações possíveis, facilitando sobremaneira os

cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e

pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação

para expoente, conforme veremos a seguir.

LOGARITMO

Dados os números reais b (positivo e diferente de

1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx =

N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto

é expresso simbolicamente da seguinte forma:

logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do

sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou

antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:

152 = 225, logo: log15225 = 2

63 = 216, logo: log6216 = 3

54 = 625, logo: log5625 = 4

70 = 1, logo: log71 = 0

NOTAS

1) Quando a base do sistema de logaritmos é igual a

10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na

representação simbólica escrevemos somente logN

ao invés de log10N. Assim é que quando

escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que

foi exposto, que 10x = N.

Ex: a) log100 = 2 porque 102 = 100.

b) log1000 = 3 porque 103 = 1000

2) Existe também um sistema de logaritmos

chamado neperiano (em homenagem a John

Napier - matemático escocês do século XVI,

inventor dos logaritmos), cuja base é o número

irracional e = 2,7183... e indicamos este

logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M.

Este sistema de logaritmos, também conhecido

como sistema de logaritmos naturais, tem grande

aplicação no estudo de diversos fenômenos da

natureza.

Ex: a) ln e = 1

b) ln 7 = loge7

CONSEQÜÊNCIAS

1) logb1 = 0

Ex: a) log21 = 0; b) log1ooo1 = 0;

2) logbb = 1

Ex: a) log1o10 = 1, b) log55 = 1

3) logaam = m

Ex: a) log225 = 5; b) log100010003 = 3

4) alogab = b

Ex: a) 5log52 = 2; b)6log63 = 3

5) logab = logac ↔ b = c

Ex: a) log2x = log25 ↔ x= 5

b)log23= log2x ↔ x= 3

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

1)logb(A.B) = logbA+ logbB

Ex: log20 =log(2.10) = log2 + log10

2) logb(A/B) = logbA – logbB

Ex: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100

3)logbAn = n.logbA

Ex: log5256 = 6.log525

4) logba= logc a / logc b

Ex: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)

(UPE) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, então:

a) log 14,4 = 1,1582 b) log 14,4 = 1,1882

c) log 14,4 = 1,4781 d) log 14,4 = 1,3071

e) log 14,4 = 1,1761

(COVEST) Sejam a e b números reias

positivos, tais que:

log2a – 2log2b = 2 Determine o valor da razão

√ a/ b²

(UNIRIO) O valor de 4log2

9 é:

a) 81 b) 64 c) 48 d) 36 e) 9

(PUC) se log 5 = x e log 3 = y, então log 375 é:

a) y + 3x b) y + 5x c) y – x + 3 d) y – 3x + 3

e) 3(y + x)

(UNIFOR) Se log52 = a e log35 = b, o valor

delog56 é:

(ITA) Aumentando 16 unidades a um número,

seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades.

Esse número é:

FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Є R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos porR+

* , poderemos escrever a função exponencial como segue:f: R ® R+

* ; y = ax , 0 < a ≠ 1Esta função é bijetora, pois:a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Vamos determinar a função inversa da função y =

ax , onde 0 < a ≠ 1.

Permutando x por y, vem:

x = ay \ y = logaxPortanto, a função logarítmica é

então:

f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.Mostramos a seguir,

os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e

logarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 <

a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os

seus gráficos são curvas simétricas em relação à

bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja,

simétricos em relação à reta y = x.

GRÁFICO

Para a > 1

Para 0 < a < 1

EQUAÇÕES

Equações logarítmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de um símbolo log.

Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral. Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logarítmica, é a seguinte:

Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, a fim de verificar as condições de existência.

As soluções que não satisfizerem as condições de existência devem ser DESCARTADAS!

a) log4(5x2 – 14x + 1) = log4(4x2 – 4x – 20)

b) log(x – 2)(2x2 – 11x + 16) = 2

c) 2(log2x)2 - 5 log2x + 2 = 0

(COVEST ) Considerando f(x) = 2x e g(x) = log2x, analise as afirmações:

I II

0 0 f(x + y) = f(x) . f(y) para quaisquer x, y reais.

1 1 f(x)y = f(xy) para quaisquer x, y reais.

2 2 g(xy) = g(x) + g(y) se x, y são reais positivos.

3 3 g(x/y) = g(x) – g(y) se x e y são reaispositivos.

4 4 g(f(x)) = x para todo x real.

Sejam as funções f(x) = x² – x – 2 e g(x) = ex,

sendo e a base do sistema neperiano de

logaritmos. Então, se f(g(x)) = 0, podemos

afirmar que x é igual a:

a) 0 b) e² c) e d) 1 e)ln2

(UFRN) As soluções da equação 3x + 1 + 34 – x –

36 = 0 são a e b, sendo a < b. Encontre o valor da

expressão:log3(a + b) + log3(b – a).

Indique quantos dígitos possuí o número 264

(quando expresso no sistema de numeração

decimal). Use a aproximação: log 2 ≈ 0,30.

Sejam p, k e m números reais maiores que 1. Se a e b são raízes da equação x² – px + km = 0, então logka

a + logkbb + logka

b + logkba é igual a:

a) m b) p c) mp d) -mp e) m/p

INEQUAÇÕES

a) log2x2 > log2(x + 2)

b) log2 (x +5) > 4

c) 3(log4x2) + 5(log4x) – 2 ≤ 0

Todos os dias Deus nos dá um momento em que é

possível mudar tudo que nos deixa infelizes. O

instante mágico é o momento que um SIM ou um

NÃO pode mudar toda a nossa existência."

(Paulo Coelho)