FUNCIONES

1º Bto. Sociales.

CONCEPTO DE FUNCIÓN

f es una función de en si a cada número real,

le hace corresponder un único número real, f (x)� � ( )x Dom∈ f

( )

( )

Dom

x x

f

f

�

es el dominio de definición de la función, que es el

conjunto de valores para los que la función está definida.( )Dom f

Imagen de f o recorrido, es el conjunto de todos los valores

reales que son imagen de algún valor del dominio.

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

2a) y x 2= − El dominio de una función polinómica es:

( )Dom y = �

1b) y

x 3=

+El dominio de un cociente son todos menos los

que anulen el denominador:

( ) { }1

y x 3 0 x 3 Dom y 3x 3

= → + ≠ → ≠ − → = − −+

�

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

( ) ( )

− + ≥

− ⋅ − ≥

x x

x x

2 5 6 0

2 3 0c y x x= +

2) -5 6

( )2x −

( )3x −

2 5 6x x− +

2

− + +

− − +

− ++

3

( ) ] ] [ [Dom y , 2 3,= −∞ +∞∪

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

( ) ( )

− + >

− ⋅ − >

x x

x x

2 5 6 0

2 3 0( )d y x x= +

2) log -5 6

( )2x −

( )3x −

2 5 6x x− +

2

− + +

− − +

− ++

3

( ) ] [ ] [Dom y , 2 3,= −∞ +∞∪

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

e) El volumen de un cubo de lado l.

V = l3

( ) ] [Dom V 0,= +∞

>l 0

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

( ) [ ]Dom y 1, 4=

[ ]f y x x= + ∈) 2 5, 1,4

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones lineales. y ax b= +

Profundidad 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Presión 1.51 2.03 2.55 3.07 3.58 4.10 4.62

Presión 1 1,033 Profundidad= + ⋅

Presión a distintas profundidades en el mar.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones cuadráticas. 2y ax bx c= + +

Velocidad 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Distancia 1.51 2.03 2.55 3.07 3.58 4.10 4.62

2d 0,0074v 0, 21v= +

Distancia recorrida por un coche desde que se aprecia el

peligro hasta que el coche se para por completo.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones raíz. y k x= ⋅

T 2= l

Período de un péndulo T en función de su longitud l.

TIPOS DE FUNCIONES

Funciones de proporcionalidad inversa.k

yx

=

5A

5 d=

−

Aumento A producido por una lupa en función de la distancia

d al objeto.

TIPOS DE FUNCIONES

Otros tipos de funciones.- Funciones logarítmicas, trigonométricas y exponenciales que

se verán al final del tema.

- Funciones que no siguen un modelo fijo.

Velocidad 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Distancia 720 580 425 485 555

0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

400

500

600

700

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOSUna compañía de telefonía propone a los nuevos clientes la

siguiente oferta para SMS: los diez primeros mensajes del

mes son gratis, puedes mandar hasta 100 pagando 10€ y si

envías más de 100 cada uno costará 10 céntimos.

( )

0 si 0 x 10

f x 10 si 10 x 100

0 '10x si 100 x

< ≤

= < < ≤

Representa: ( )

2x 2x 1 si x 0

f x 1 si 0 x 4

x 3 si x 4

+ + ≤

= ≤ < − ≥

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

DOS FUNCIONES INTERESANTES

Función Parte Entera.

Se llama parte entera de un número x al mayor número entero

menor o igual a x. Se denomina Ent(x).

Ent(7,5) = 7

Ent(– 4) = –4

Ent(–5,3) = –6

Ent(6,48) = 6

Ent(–3,9) = –4

Ent(2,8) = 2

DOS FUNCIONES INTERESANTES

Función Parte Decimal.

Se llama parte decimal o mantisa de un número x a

Mant(x) = x – Ent(x).

Mant(4,68) = 0,68

Mant(– 4) = 0

Mant(–3,68) = 0,32

Mant(3,791) = 0,791

Mant(–3,9) = 0,1

Mant(2) = 0

VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.

La función valor absoluto de x se define como:

si 0y

si 0

− <= =

≥

x xx

x x

En general el valor absoluto de una función se define así:

VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.

( )( ) ( )

( ) ( )

si 0y

si 0

− <= =

≥

f x f xf x

f x f x

Representar gráficamente la función:

VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.

( ) 2 5 4= − +f x x x

12

2

15 4 0

4

=− + = →

=

xx x

x( )

b 5V V V 2'5, 2 '25

2a 2

−= → = → = −

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

y = f (x) + k y = f (x) – k a partir de y = f (x)

( )f x 4+

( )f x 2−

( )f x

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

y = –f (x) a partir de y = f (x)

( )f x−

( )f x

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

y = kf (x) a partir de y = f (x)

( )2f x

( )f x

( )1

f x3

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

y = f (x – a) y = f (x + a) a partir de y = f (x)

( )f x 5−

( )f x

( )f x 3+

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.

y = f (–x) a partir de y = f (x)

( )f x−

( )f x

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES.6

y 4x 5

= − +−

Representar gráficamente la función:

6 6 6 6y y y y 4

x x 5 x 5 x 5= → = → = − → = − +

− − −

6y

x=

6y

x 5=

−

6y

x 5= −

−

6y 4

x 5= − +

−

Función compuesta de f y g:

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

( )( ) ( )g f x g f x= �

( )

( )

2f x x 1

g x 2x

= +

=

( )( ) ( ) ( )2 2 2g f x g f x g x 1 2 x 1 2x 2 = = + = + = + �

( )( ) ( ) [ ] ( )2 2f g x f g x f 2x 2x 1 4x 1= = = + = + �

( )2

x 2x 2x 1+fg

f g�

Dos funciones son recíprocas o inversas si se cumple que:

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

( )( ) ( )( ) 1g f x f g x x g(x) f (x)−= = → =� �

( )

( )

f x 5x 3

x 3g x

5

= + −

=

( )( ) ( ) [ ]( )5x 3 3

g f x g f x g 5x 3 x5

+ −= = + = = �

( )( ) ( )x 3 x 3

f g x f g x f 5 3 x5 5

− − = = = + =

�

Halla la función inversa de f(x) = 3x – 1

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

( ) ( )1y 1 x 1f x 3x 1 y 3x 1 x f x

3 3

−+ += − → = − → = → =

( )f x y x=

( )1f x−

FUNCIONES RECÍPROCAS O INVERSAS

( ) ( )2 2 1f x x y x x y f x x No es función−= → = → = ± → = ± →

FUNCIONES EXPONENCIALES

( ) xf x 2=

FUNCIONES EXPONENCIALES

( )x

1f x

2

=

FUNCIONES EXPONENCIALES

( ) xf x e=

FUNCIONES EXPONENCIALES

x2

x3

x4

x5

FUNCIONES EXPONENCIALES

x1

2

x1

3

x1

4

x1

5

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

( ) 2f x log x=x2

2log x

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

( ) 2f x log x=xe

ln x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( )f x sen x=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( )f x cos x=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( )f x tg x=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( ) [ ]f x arcsen x : 1,1 ,2 2

π π = − → −

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( ) [ ] [ ]f x arccos x : 1,1 0,= − → π

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

( )f x arc tg x : ,2 2

π π = → −

�

FUNCIONES DADAS POR TABLAS

En cualquier investigación realizada hay que recoger datos

experimentales. Es muy común presentarlos en una tabla.

Tiempo de uso (h) 1 2 4 6 8

Precio (€) 5 7 11 15 19

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

Interpolar es calcular el valor aproximado de una función

para un valor de x que no aparece y está dentro de la tabla.

Ejemplo: Hallar el consumo eléctrico a las 7 de la tarde.

Parece que el consumo eléctrico a las 7 de la tarde es de 34 mil MW

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

Extrapolar es calcular el valor aproximado de una función

para un valor de x que no aparece y está fuera de la tabla.

Ejemplo: Calcular el beneficio funcionando 7 horas.

Parece que el beneficio funcionando 7 horas es de 6500€

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL

En la gráfica se ha detallado el consumo eléctrico en miles de

MW desde las 12 a las 22 horas. Para estimar el consumo a

las 19 horas:

La recta pasa por los puntos (18,32) y (20,36)

La recta es de ecuación y = mx + n.

Sustituyendo:

18m n 32m 2 ; n 4 y 2x 4

20m n 36

+ = → = = − → = −

+ =

Por lo tanto el consumo estimado es la

imagen de 19:

y 2x 4 y 2 19 4 34= − → = ⋅ − =

El consumo a las 19 horas es de 34 mil MW.

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

Si se quiere interpolar un valor intermedio a partir de tres datos, lo más

indicado es buscar un polinomio de grado 2 que pase por los tres puntos.

Los puntos no están alineados. La función tiene la forma: ( ) 2y f x ax bx c= = + +

2 Por pasar por el punto A, f (1) 2 a 1 b 1 c 2− = → ⋅ + ⋅ + =

Ejemplo: Calcular la función cuadrática que pase por A(1,2), B(3,6) y C(4,11)

2 Por pasar por el punto B, f (3) 6 a 3 b 3 c 6− = → ⋅ + ⋅ + =2 Por pasar por el punto C, f (4) 11 a 4 b 4 c 11− = → ⋅ + ⋅ + =

a b c 2 a 1

Por tanto, 9a 3b c 6 b 2

16a 4b c 11 c 3

+ + = =

+ + = → = − + + = =

La función cuadrática es 2y x 2x 3= − +