Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile Facultad de Matem´ aticas Departamento de Matem´ atica Primer Semestre 2014 MAT1492 - ´ Algebra e introducci´on al c´ alculo Ayudant´ ıa 7 - Ejercicios pendientes Profesora : Beatriz Flores Ayudante : Genaro Olave 1. Determine condiciones sobre las constantes a, b y c ∈ R tal que g(x)= x(ax 2 + bx + c) |x| +1 sea una funci´ on impar en todo R. Soluci´ on: Para que la funci´ on sea impar, debe cumplirse que g(x)= -g(-x). Luego, for- zando la igualdad, se tiene que: g(x) = -g(-x) x(ax 2 + bx + c) |x| +1 = - (-x)(a(-x) 2 + b(-x)+ c) |(-x)| +1 x(ax 2 + bx + c) |x| +1 = - -x(ax 2 - bx + c) |x| +1 x(ax 2 + bx + c) |x| +1 = x(ax 2 - bx + c) |x| +1 ax 3 + bx 2 + cx |x| +1 = ax 3 - bx 2 + cx |x| +1 ax 3 + bx 2 + cx - (ax 3 - bx 2 + cx) |x| +1 = 0 2bx 2 |x| +1 = 0 Luego, si x = 0, entonces no es necesario poner condiciones sobre a, b y c (Esto es posible verlo en el primer paso). Luego, si x 6= 0, entonces b tiene que ser 0 para que se cumpla la igualdad. Luego, para que la imparidad se cumpla para todo x, la ´ unica condici´ on es que b = 0. a y c pueden tomar cualquier valor. 1
Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de
MatematicasDepartamento de MatematicaPrimer Semestre 2014
MAT1492 - Algebra e introduccion al calculoAyudanta 7 -
Ejercicios pendientes
Profesora : Beatriz FloresAyudante : Genaro Olave
1. Determine condiciones sobre las constantes a, b y c R tal
que
g(x) =x(ax2 + bx + c)
|x|+ 1
sea una funcion impar en todo R.
Solucion: Para que la funcion sea impar, debe cumplirse que g(x)
= g(x). Luego, for-zando la igualdad, se tiene que:
g(x) = g(x)x(ax2 + bx + c)
|x|+ 1= (x)(a(x)
2 + b(x) + c)|(x)|+ 1
x(ax2 + bx + c)
|x|+ 1= x(ax
2 bx + c)|x|+ 1
x(ax2 + bx + c)
|x|+ 1=
x(ax2 bx + c)|x|+ 1
ax3 + bx2 + cx
|x|+ 1=
ax3 bx2 + cx|x|+ 1
ax3 + bx2 + cx (ax3 bx2 + cx)|x|+ 1
= 0
2bx2
|x|+ 1= 0
Luego, si x = 0, entonces no es necesario poner condiciones
sobre a, b y c (Esto es posibleverlo en el primer paso). Luego, si
x 6= 0, entonces b tiene que ser 0 para que se cumpla laigualdad.
Luego, para que la imparidad se cumpla para todo x, la unica
condicion es queb = 0. a y c pueden tomar cualquier valor.
1
2. Demuestre que f(x) =x
1 + x2es creciente en el intervalo [1, 1] y decreciente en ]
,1[ ]1,[.
Solucion: Veamos primero el caso en que x [1, 1]. Sean x1 x2 [1,
1]. Luego, bastademostrar que f(x1) f(x2), o de otro modo, f(x1)
f(x2) 0. En efecto, se tiene que
f(x1) f(x2) =x1
1 + x21 x2
1 + x22
=x1 + x1x
22 x2 x2x21
(1 + x21)(1 + x22)
=x1 x2 + x1x22 x2x21
(1 + x21)(1 + x22)
=(x1 x2) + x1x2(x2 x1)
(1 + x21)(1 + x22)
=(x1 x2) x1x2(x1 x2)
(1 + x21)(1 + x22)
=(x1 x2)(1 x1x2)
(1 + x21)(1 + x22)
Es claro que el denominador es positivo, por lo que basta solo
con analizar en numerador.Por definicion x1 x2, por lo que se tiene
x1 x2 0. Por otro lado la expresion 1 x1x2es no negativa en [1, 1],
puesto que el coeficiente x1x2 es a lo mas 1. Luego, como se
tieneun producto de un positivo y un negativo, entonces la
expresion es negativa, por lo tanto,f(x1) f(x2) < 0, y por lo
tanto, la funcion es creciente en [1, 1].
Para los otros casos el analisis es identico, con la salvedad de
que 1 x1x2 sera negativo,por lo que el producto sera positivo y por
lo tanto f(x) sera decreciente en esos intervalos(Cualquier duda,
consultar en la ayudanta).
