Clase 19Clase 19Clase 19Clase 19

Función de Respuesta en frecuencia H(jw).Función de Respuesta en frecuencia H(jw).Función de Respuesta en frecuencia H(jw).Función de Respuesta en frecuencia H(jw).

Como se vio el capítulo donde se estudió el ámbito del dominio del tiempo para señales y

sistemas lineales utilizamos la entidad matemática denominada impulso unitario δ(t)

(para tiempo continuo) o muestra unitaria δ[n] (para tiempo discreto) para excitar

sistemas donde expusimos que la respuesta de un sistema a esta entrada determinaba el

sistema en el dominio del tiempo a dicha respuesta le denominamos respuesta al impulso

unitario para sistemas continuos h(t) y la respuesta a la muestra unitaria h[ n ]

respectivamente. Este concepto es valioso para predecir el comportamiento de los

sistemas LTI en el dominio del tiempo a través de la operación de convolución. En este

capítulo se estudia la representación de las señales de energía (área finita) y el

comportamiento de los sistemas lineales en el dominio de la frecuencia veremos como la

operación de convolución en el dominio del tiempo se vuelve una operación de

multiplicación en el dominio de la frecuencia facilitando la comprensión de cómo una

señal de entrada que se propagarse por un sistema se transforma.

En primer lugar resulta matemáticamente conveniente representar una señal continua

arbitraria como una suma ponderada de estas funciones (exponencial compleja) ya que

muchas de las operaciones que se realizan sobre dicha señal se simplifican. En segundo

lugar la respuesta de estado estable de un sistema LTI a una componente de entrada

sinusoidal o exponencial compleja es a su vez una sinusoide o exponencial compleja con la

misma frecuencia que la entrada pero, en general, con amplitud y fase diferentes.

La descripción de un sistema en términos de sus efectos de amplitud y fase de componentes

de entrada sinusoidal o exponenciales complejas se denomina modelo de respuesta en

frecuencia.

Se sabe que la respuesta y(t) de un sistema LTI a una entrada x(t) en el dominio del

tiempo esta dada por la integral de convolución:

( ) ( ) ( )∫∞

∞−−= τττ dtxhty

(7.1)

donde ( )τh es la respuesta al impulso unitario del sistema y ( )τ−tx es la entrada

desplazada.

Supongamos que la entrada x(t) es la componente exponencial compleja

( )tje ω, entonces

( )τ−tx es igual

( )τω −tje , o

ωτω jtj ee −, por lo que la integral de convolución queda :

( ) ( )∫∞

∞−

−= ττ ωτω deehty jtj

(7.2)

puesto que el término

( )tje ω es independiente de la variable de integración τ , no

contribuye al valor de la integral y, por consiguiente, puede salir de ésta. La respuesta

a la componente exponencial de entrada, es por tanto,

( ) ( )∫∞

∞−

−= ττ ωτω dehety jtj

(7.3)

Este resultado proporciona toda la información necesaria para determinar el efecto que el

sistema tiene sobre una componente de entrada sinusoidal o exponencial compleja de

cualquier frecuencia .

Observe que la respuesta y(t) se expresa como el producto de dos términos: una exponencial

compleja

( )tje ω y una integral. La integral se define como la función de respuesta en

frecuencia del sistema y es un modelo en el dominio de la frecuencia del sistema ( )ωjH , a

esta también se le conoce como función de transferencia de estado estable.

( )ωjH= ( )∫

∞

∞−

− ττ ωτ deh j (7.4)

por lo que la respuesta del sistema esta dada por

( ) ( )ωω jHety tj= (7.5)

a cualquier frecuencia 0ωω = , ( )ωjH es en general un número complejo con una magnitud

( )0ωjH y una fase ( )oωθ , donde

( )0ωjH= ( ) e wjjH )0(

0θω (7.6)

Teorema de respuesta en Frecuencia: LTeorema de respuesta en Frecuencia: LTeorema de respuesta en Frecuencia: LTeorema de respuesta en Frecuencia: La respuesta de un sistema LTI a una entrada

sinusoidal da como resultado una sinusoide con la misma frecuencia que la entrada, la

amplitud y la fase de la respuesta están determinadas por la entrada y el valor de la

función de respuesta del sistema a la frecuencia de entrada.

tjAetx 0)( ω=

))((0 00)()( ωθωω += tjAejHty

Fig. No.7.1 Respuesta de estado estable de un sistema LTI a una componente de entrada Fig. No.7.1 Respuesta de estado estable de un sistema LTI a una componente de entrada Fig. No.7.1 Respuesta de estado estable de un sistema LTI a una componente de entrada Fig. No.7.1 Respuesta de estado estable de un sistema LTI a una componente de entrada

sinusoidal o exponencial compleja.sinusoidal o exponencial compleja.sinusoidal o exponencial compleja.sinusoidal o exponencial compleja.

Observe que la respuesta y(t) se expresa como el producto de dos términos: una exponencial

compleja

( )tje ω y una integral. La integral se define como la función de respuesta en

frecuencia del sistema y es un modelo en el dominio de la frecuencia del sistema ( )ωjH , a

esta también se le conoce como función de transferencia de estado estable.

( )ωjH= ( )∫

∞

∞−

− ττ ωτ deh j

por lo que la respuesta del sistema esta dada por

( ) ( )ωω jHety tj=

a cualquier frecuencia 0ωω = , ( )ωjH es en general un número complejo número complejo número complejo número complejo con una magnitud

( )0ωjH y una fase ( )oωθ , donde

( ) ( ) e ojjHjH

)(

0 0ωθωω =

Usando el principio de superposición podemos determinar el efecto de un sistema en una

sinusoide de entrada:

( ) tjtjeAeAtAtx 00 2/2/cos)( 0

ωωω −+==

La respuesta del sistema a cada componente de entrada se puede escribir por separado:

( ) ( )[ ]o

tjtjejHAeA ωθωω

ω +→ 00 02/2/

( ) ( )[ ]o

tjtjejHAeA ωθωω

ω +−−→ 00 02/2/

Así la respuesta a x(t) es una suma de las respuestas a las componentes individuales

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

+= +−+oo

tjtj eejHAty ωθωωθωω 0002/

( ) ( ) ( )[ ]000 cos ωθωω += tjHAty

Para un sistema físico, el valor de ( )ωjH se puede obtener a cualquier frecuencia

particular 0ωω = aplicando una onda sinusoide de la frecuencia 0ω y midiendo la amplitud

y la fase, con respecto a la entrada, de la respuesta sinusoidal resultante.

( )entradaamplitudde

salidaamplituddejH ==

00 ωωω y la fase de ( )ωjH esta determinada por:

( ) ==0

ωωωθ fase de salida - fase de entrada

Se sugiere que para reafirmar este concepto el alumno realice la ACTIVIDAD 6.l de la

segunda parte.

7.27.27.27.2 Relación entreRelación entreRelación entreRelación entre h(t) y h(t) y h(t) y h(t) y ( )ωjH

La respuesta al impulso unitario h(t) y la función de respuesta en frecuencia ( )ωjH ,

son, respectivamente, modelos en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia de

un sistema. El vínculo importante entre ellas está dado por la integral:

( ) ( )∫∞

∞−

−= dtethjH tjωω (7.7)

Esta integral define la transformada de Fourier ( )ωjH de la respuesta al impulso h(t).

La integral de Fourier se puede calcular siempre y cuando la función h(t) satisfaga la

condición:

( ) ⟨∞∫∞

∞−dtth

En la práctica esta condición se satisface se h (t) es una

función en forma de pulso que finalmente regresa a cero después de cierto tiempo se dice

que la integral converge (o que la función es absolutamente integrable) en estas

condiciones o que la función tiene área absolutamente finita.

Ejemplo7.1Ejemplo7.1Ejemplo7.1Ejemplo7.1

Sea una red eléctrica que está caracterizada por su respuesta al impulso

ℎ��� = 5 × 10�� ,����� ≥ 0

La constante de tiempo del sistema � =�

�, ����1�� determinar la salida a una entrada de

una sinuside modelada por ���� = 3�����2 200��

Solución la Transformada de la respuesta al impulso !�"#� =$%%%

�%%&'(

A frecuencia de 200 Hz.=400pi rad/s )�*� =+,,,

-,,&./,,0=

+

-&.-.23= 4. -;

6�7� = −9:;<-�-. 23� = −,. =>:?@ABACDEF:BA;9A − +2°

Por lo tanto la salida esta dada por el teorema de respuesta en frecuencia

H�9� = �4��4. -�*A;@�/,,09 − ,. =�

Ejemplo 7.2 Ejemplo 7.2 Ejemplo 7.2 Ejemplo 7.2 Una red RC tiene una respuesta al impulso de forma en pulso exponencial

decreciente definida por:

h(t)=

et

RCα−1

para t ≥0

0 para t<0

Usando la transformada de Fourier, se puede calcular la función de respuesta en frecuencia

correspondiente al sistema:

Para facilitar el desarrollo suponga que el valor de la constante de tiempo de la res

tau =RC= 1, de R=1Ω y el valor de C=1 F .

dtdtjwH eee jtjt∫∫∞

+−−∞ − ==

0

)(0

)( ωαωα

Realizando la integración, se tiene:

ωαωαω

ωα

jjjH e j

+=

−−=

∞+−

1

)()(

0

)( Esta expresión es la transformada de Fourier de la respuesta

al impulso h(t) que tiene forma de pulso exponencial decreciente. Se trata de una función

compleja de la frecuencia ω y contiene la información de magnitud y fase del sistema:

ωαωαω

22

11)(

+=

+=

jjH

)()( tan1

αωωθ −−=

Al graficar la magnitud y la fase de H(jw) con tau = R*C =1 por tanto alfa =1/tau=1:

α1

Fig. 7.2 Espectros de Magnitud y fase de un sistema cuya respuesta en el dominio del

tiempo se caracteriza por e

-αt

u(t).

En el ejemplo anterior debe observarse algunos puntos importantes:

Observaciones a las graficas de las figura 7.2

1.- La respuesta en frecuencia de magnitud de la red disminuye conforme la frecuencia

aumenta, esto significa que la red RC transmitirá componentes de entrada de frecuencias

bajas con un cambio de amplitud relativamente pequeño, pero reducirá considerablemente la

amplitud de componentes de entrada de frecuencia alta.

2.- También se muestran las características de fase de la red que cambian con la

frecuencia. A frecuencias bajas, el defase es relativamente pequeño por otra parte

componentes de frecuencia alta en la entrada tendrán un defase mayor, provocando defases

de hasta 90909090

0000

o pi/2 (rad)o pi/2 (rad)o pi/2 (rad)o pi/2 (rad) a frecuencias muy altas.

3.- Por lo tanto el comportamiento global de esta red RC, es la de un filtro pasa

bajas.

4.- En el dominio del tiempo para esta red la respuesta al impulso decrece

exponencialmente se caracteriza por su constante de tiempo tau=

α1

Las graficas de magnitud y fase muestran que existe una relación simple entre la

constante de tiempo y la frecuencia en w = α , a esta frecuencia la magnitud de H(jw)

disminuye 1/√2(

α1) o 0.7071(

α1) de su valor a frecuencia cero (

α1), esta frecuencia es

tan importante que se le da el nombre de frecuencia de corte o frecuencia de -3 dB porque

| H(jw)| dB = 20 log10| H(jw)| =20 log 0.7071(

α1) = -3(

α1)dB. (*Averigua que esAverigua que esAverigua que esAverigua que es un un un un

decibeldecibeldecibeldecibel) El defase del sistema a esta frecuencia es igual a –45

0

=- pi/2 rad (en

frecuencia positiva). La frecuencia w =α se usa como punto de referencia para

distinguir la respuesta del sistema a frecuencias altas y bajas. Las frecuencias bajas

corresponden desde w =0 a w = α y las altas

w > α.

Obtención de la Obtención de la Obtención de la Obtención de la gráficagráficagráficagráfica de Bde Bde Bde Bode con matlab ode con matlab ode con matlab ode con matlab

Ejemplo 7.3 Ejemplo 7.3 Ejemplo 7.3 Ejemplo 7.3

La respuesta al impulso de una red eléctrica se modela por medio

de un pulso con decrecimiento exponencial

h(t) = 1000e

-1000t

, para t ≥0 y o, para t<0.

Determine la función de respuesta en frecuencia del sistema H(jw) y grafique su amplitud y

fase , para w =1 rad/s.

Las escalas que se acostumbran son en ****decibles vs. la frecuencia en rad/s o en hz.

Dada la amplitud en una cantidad numérica (CN) se convierte en decibeles mediante la

relación:

CNCNCNCNdBdBdBdB= 20 log= 20 log= 20 log= 20 log

10101010 CN.CN.CN.CN.

Las escalas acostumbradas de la FASE son en grados o radianes vs. la frecuencia en rad/s

o en hz.

De la relación entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia :

T.F.

h(t) ↔ H(jW)

)(tuAe tα− ↔ αωα α

wA

j

A

wtan 1

22,

(

−−+

=+

Sustituyendo los valores del ejemplo en cuestión:

H(Jw) = 1000/1000+jw ; sea w= 1rad /s

│H(jw) │w=1 = 1000/√1000

2

+ 1

2

=1; a esa frecuencia.

La magnitud en decibeles es:

│H(jw) │dB =20 log(1) = 0 dB.

El valor de la fase a esa frecuencia es:

Ө(w) = -tan

-1

w/α = -tan

-1

1/1000 =-45° ; a esa frecuencia.

Con el ayudad del programa matlab podemos graficar la magnitud y fase en fuñón de la

frecuencia (grafica de BODE) da la función de respuesta en frecuencia H(jw) fig, 7.3.

Código en matlab:Código en matlab:Código en matlab:Código en matlab:

w=logspace(-1,4,100); % la frecuencia equiespaciada logarítmicamente entre las

frecuencias 10

-1

y 10

4

rad/s.

num=1000; % coeficiente del numerador.

den=[1,1000]; % coeficientes del denominador.

[ mag, fase,w]=bode(num, den, w); % comando BODE.

subplot(2,1,1),semilogx(w,20*log10(mag)),grid,... % comando de graficación.

subplot(2,1,2),plot(w,fase),grid

Fig. 7.3 Grafica de magnitud y fase en función de la frecuencia (grafica de BODE) de

un sistema caracterizado por su función respuesta en frecuencia H(jw) , en el dominio de

la frecuencia. . . .

*¿Qué es un decibel?

El decibel (dB) es una unidad relativa de una señal (la variación en el tiempo de una

magnitud física que porta información del sistema con el que esta relacionada) muy

utilizada al momento de comparar y calcular niveles de señales . Los logaritmos son muy

usados debido a que la señal en decibeles (dB) puede ser fácilmente sumada o restada y

también por que el oído humano responde en forma natural a niveles de señal que se

aproximan a la de los logaritmos.

¿Pero que es un decibel?, ¿Qué ventaja de rendimiento ofrece realmente un margen de unos

cuantos decibeles? Un decibel es la manera adecuada en que los ingenieros en

comunicaciones y electrónica describen las relaciones de potencia o voltajes entre la

entrada la entrada y salida de un sistema (por ejemplo en un amplificador de audio) .

Ventajas:

Los decibeles sirven para describir el desempeño de un sistema, por ejemplo si el

sistema representa una ganancia (la salida es mayor que la entrada) los decibeles

son positivos y se presenta una atenuación los decibeles serían negativos (la salida

menor que la entrada). Cuando el valor en decibeles es cero, se entendería que el

sistema no “gana ni se atenúa”, lo que implica que la señal de salida tiene el

mismo nivel que la entrada.

7.3 Condiciones para la existencia Transformadas de señales.

No solo podemos aplicar la Transformada de Fourier a la respuesta al impulso h(t) para

obtener la Función de respuesta en frecuencia del sistema si no también a las señales de

energía para obtener su distribución de componentes de frecuencia.

( ) ( )∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω => Definición de la Transformada de Fourier directa de una señal

(2.8)

∫∞

∞−= ω

πω dejwXtx tj)(

2

1)( => Definición de la Transformad inversa de Fourier de una señal

(2.9)

Se dice que la señal x(t) tiene transformada de Fourier si la integral que define la

transformada de Fourier directa(1) converge es decir existe veamos:

etj

txtyω−= )()(

dttxdttydtty etj

∫∫∫−=≤ ω

)()()( Se sabe que 1=− jwte

Por lo que se deduce que la integral de la ecuación anterior existe si:

1.- ���� es absolutamente integrable (tiene área absolutamente finita).

2.- ���� no presenta “comportamientos anómalos” en otras palabras su variación esta

acotada o también no contiene máximos y mínimos infinitos o discontinuidades infinitas.

La primera condición significa que ⟨∞∫∞

∞−dttx )( , (7.10)

Que la señal sea absolutamente integrable o tenga área finita.

Una clase de señales que satisface la ecuación (3) son las señales de energía finita o

señales en forma de pulso, señales aperiódicas.

La transición de una señal periódica a una no periódica haciendo que el periodo T se

alargue sin límite, también representa una transición de una señal de potencia a una señal

de energía.

Las señales de Potencia media finita (señales con contenido de energía infinita, pero

potencia media finita) también tienen transformada de Fourier, pero contienen impulsos.

Tarea 19Tarea 19Tarea 19Tarea 19

Sea un sistema LTI caracterizado por su función de respuesta en frecuencia H�s� =K%

K&LM

Cuya entrada se modela mediante una señal sinusoidal ���� = 6O������2 �200��� se desea

obtener la respuesta de dicho sistema y(t) a partir del teorema de respuesta en

frecuencia.