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Función de transferencia de procesos muestreados
Transformada z
El muestreador ideal está definido como un muestreador que abre y cierra de manera instantánea, en tiempo cero cada T segundos. En donde la señal de pulsos unitarios que representa la acción del muestreador es sustituida por un tren de impulsos unitarios que modela mejor el comportamiento del muestreador.
Transformada z
Dicho tren de impulsos se define como
La salida del muestreador ideal es
comenzando el muestreo en t=0.
0
)()(k
T kTtt
0
* )()()()()(k
T ttfkTtkTftf
Transformada z
La transformada de Laplace de la señal muestreada es
Las gráficas muestran las señales de entrada y salida de un muestreador ideal.
0
* )()(k
kTsekTfsF
Transformada z
La transformada de Laplace no es una función de transferencia racional de ‘s’. Cuando aparecen términos de la forma que no son únicamente factores multiplicativos, es probable que surjan dificultades al tratar de determinar la transformada inversa de Laplace. Por lo tanto, es deseable transformar la función irracional F*(s) en una racional F(z).
Tse
Transformada z
Para poder llevar acabo esta representación, se transforma la variable compleja ‘s’ en otra que denominaremos variable compleja ‘z’. Una selección obvia para esta transformación es
Tsez
0
* )()(ln1
k
kzkTfzFzT
sF
Transformada z
En donde F(z) se conoce como la transformada z de f*(t)
)()( * tfzF Z
Transformada z
A continuación se muestra la relación de los planos s y z.
Transformada z
• Todos los puntos que están en el semi-plano izquierdo del plano s corresponden a puntos dentro del circulo unitario del plano z.
• Todos los puntos en el semi-plano derecho del plano s corresponden a puntos fuera del circulo unitario del plano z.
• Todos los puntos sobre el eje imaginario del plano s, corresponden a puntos sobre el circulo unitario |z|=1 del plano z.
Transformada z
Transformada z de una función escalón
11
1)(
1)1()(
)()(
)()(
1
21
0
*
z
z
zzF
zzzzF
kTukTf
tutf
k
k
Transformada z
Transformada z de una función exponencial
aTaT
aTaT
k
kaT
k
kakT
akT
at
ez
z
zezF
zezezezezF
etf
etf
1
21
0
1
0
*
1
1)(
)()(1)()()(
)(
)(
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Linealidad
)()()}({)}({
)}({)}({)}()({
2211*
22*
11
*22
*11
*22
*11
zFazFatfatfa
tfatfatfatfa
ZZ
ZZZ
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Corrimiento a la derecha (retraso en el tiempo de n periodos de muestreo)
Se observa que la variable (1/z) corresponde a un retraso de un periodo de muestreo en el dominio del tiempo; por lo tanto (1/z) se considera como un operador de retraso en los sistemas de control digital.
)()}({ zFznTtf nZ
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Corrimiento a la izquierda (adelanto en el tiempo de n periodos de muestreo)
1
0
* )()()}({n
k
kn zkTfzFznTtfZ
Transformada z
Ejemplo:
• Función escalón atrasada un periodo
• Función escalón adelantada un periodo
1
11
)( 1
zzz
zTtuZ
1
11
)( 1
zz
zz
zTtuZ
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Traslación compleja
)()(* aTakT zeFkTfe Z
Transformada z
Ejemplo:
Obtener la transformada z de
De las tablas de transformadas se obtiene la transformada z de f(t)
)()(
)()(
tsintf
tfetg at
21
1
)cos(21
)()(
zTz
TsinzzF
Transformada z
Usando la propiedad de la traslación compleja
)()()( atat zeFtsineZzG
aTaT
aT
ezTez
TsinezzG
221
1
)cos(21
)()(
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Valor inicial
Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(z) cuando z tiende a infinito, entonces
)()0( zFz
limf
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Valor final
Si la transformada en z de f(t) es F(z) y existe el límite de F(kT) cuando k tiende a infinito, entonces
)()1(1
)( zFzzlim
kTfk
lim
Transformada z
Ejemplo:
Encontrar la transformada z, el valor inicial y el valor final de la siguiente función del tiempo
tetf 1)(
Transformada z
Su transformada z:
))(1()1(
11
11
11)(
11 T
T
T
tt
ezzze
ezz
eezF
ZZZ
Transformada z
Su valor inicial:
Su valor final:
0)1)(1(
)1()0( 11
1
zezze
zlim
f T
T
1)1)(1(
)1()1(
1)(
11
1
1
1
zez
ze
z
z
z
limf
T
T
Transformada z
Propiedades de la transformada z
• Convolución
)()()(*)( 2121 zFzFtftfZ
Transformada z
Cálculo algebraico de la transformada z
En el análisis de sistemas lineales es común que la función de transferencia F(s) ya esté dada, y lo que tenga que determinarse sea la transformada z, F(z). Por lo que a continuación se presenta un desarrollo para obtener F(z) directamente de F(s) sin pasar por f(t).
Transformada z
La transformada z se obtiene de la siguiente ecuación
Polo simple:
)(_
11)(
sFdePolosip
ipsTsi
ze
rzF
ipsii sFpsr
)(
Transformada z
• Polo múltiple:
ipsTs
mim
m
i ezsF
psdsd
mr 11
1
1)(
)()!1(
1
)(_
)(
sFdePolosip
irzF
Transformada z
Ejemplo:
Presenta dos polos simples
jsjsssFtsintf
22)()()(
jp
jp
2
1
Transformada z
jjsjs
jsr
jjsjs
jsr
js
js
2
1
))(()(
2
1
))(()(
2
1
2
11
)cos(21
)()(
1
1
2
1
1
1
2
1)(
zTz
TzsinzF
ezjezjzF
TjTj
Transformada z
Ejemplo:
Polo de multiplicidad 2
2)(1
)(as
sF
21
1
21
11
1
1
22
)12(
)12(
1)(
)1())(1()0)(1(
11
1)(
1)(
)!12(1
)(
aT
aT
as
Ts
TsTs
asTs
as
Ts
ez
TezzF
ezTezez
ezdsd
ezas
as
dsd
zF
Transformada z inversa
Transformada en z inversa
• Potencias crecientes de
• División directa
• Fracciones parciales
• Método de la formula de inversión
1z
Transformada z inversa
• Potencias crecientes de
De la definición de transformada z
En general tenemos que
1z
0
)()(k
kzkTfzF
nn
mm
zazazbzbb
zDzN
zF
11
110
1
1
1)()(
)(
Transformada z inversa
Igualando términos tenemos:
11
11
10
0
11
)()0(1
)()()(
zTffzazazbzbb
zkTfzDzN
nn
mm
k
k
31
2
32
21
1
33
22
11
)2()2(
)()()(
)0()0()0()0(
zTfazTf
zTfazTfazTf
zfazfazfaf
Transformada z inversa
Igualando los coeficientes de las potencias crecientes de
De los resultados anteriores se deduce que
1z
)2()()0()3(
)()0()2()2()()0(
)0()()()0(
)0(
1233
122212
1111
0
TfaTfafabTf
TfafabTfbTfTfafa
fabTfbTffa
bf
k
iik TikfabkTf
1
))(()(
Transformada z inversa
Ejemplo:
aplicando la formula:
2;3
0;1;0231
)(
21
210
21
1
aa
bbbzz
zzf
15)4(
7)3(
3)2(
1)(
0)0(
Tf
Tf
Tf
Tf
f
Transformada z inversa
• División directa
Se realiza directamente la división y se encuentra una serie de potencias de cuyos coeficientes corresponden a f(kT).
nn
mm
k
k
zazaza
zbzbzbbzkTfzF
2
21
1
22
110
0 1)()(
1z
Transformada z inversa
Ejemplo:
3212 73
23)( zzz
zzz
zF
Transformada z inversa
• Fracciones parciales
Usualmente se expande F(z)/z
Cuando F(z) tiene polos
diferentes
n
ii
mmm
nn
mm
pz
bzbzb
zaza
zbzbbzF
1
110
11
110
)(1
)(
n
n
pz
A
pzA
pzA
zzF
2
2
1
1)(
ipzii z
zFpzA
)(
)(
Transformada z inversa
Ejemplo:
)5.0()1()5.0)(1()(
5.05.1)(
21
2
2
zA
zA
zzz
zzF
zzz
zF
11
25.0
2
12
11
z
z
zz
A
zz
A
Transformada z inversa
k
kTf
z
zz
zzF
21
2)(
211
2)(
Transformada z inversa
Cuando F(z) tiene polos repetidos
2321
2
2
111)1)(1()(
z
AzA
zA
zzz
zzX
232
12
2
1)1(
1)1(
)1)(1()1()(
)1(
z
Az
zA
zAzz
zzzzX
z
41
)1(1
2
2
1
z
zz
A
Transformada z inversa
Aislando A3
2321
2
2
111)1)(1()(
z
AzA
zA
zzz
zzX
3212
22 )1(
1)1(
)1()(
)1( AAzzA
zzz
zzX
z
21
)1(1
2
3
z
zz
A
Transformada z inversa
Aislando A2
2
1
3212
1
2
)1(1
)1()1(
AAAzzA
zdzd
zz
dzd
zz
43
)1(1
2
2
z
zz
dzd
A
Transformada z inversa
• Método de la formula de inversión
De la teoría de variable compleja:
Esta es una integral de contorno sobre una trayectoria cerrada C que encierra el origen y todos los polos de F(z).
C
k dzzzFj
kTf 1)(21
)(
Transformada z inversa
donde pi son los polos de
• Polo simple
• Polo múltiple
ip
kzzFderesiduoskTf 1)(__)(
1)( kzzF
ipz
kii zzFpzr
1)(
ipz
kmim
m
i zzFpzdzd
mr
1)1(
)1(
)1(
)()!1(
1
Transformada z inversa
Ejemplo:
k
z
k
z
k
kTf
zz
zz
kTfzz
zzF
21)(
12)(
)2)(1()(
21
Transformada z inversa
Ejemplo:
un polo simple en
un polo en
Para el polo simple
)()1()(
)()1()( 2
11
2
2
aT
kk
aT ezzz
zzFezz
zzF
aTez
1z
2
)1(
2
)1(
2
1
)1(
)1()()1()(
aT
Tka
aT
Tka
ez
aT
kaT
ee
ee
ezzz
ezaT
Transformada z inversa
Para el polo múltiple
2
1
1
12
12
)()(
)()()1()1(
)!12(1
aT
aT
aT
zaT
k
zaT
k
ez
e
ez
k
ez
zdzd
ezz
zz
dzd
2
22
)1(
)1(
)1(
)1()1()1()(
aT
akTaT
aT
aT
aT
aTaT
akTaT
e
ee
eT
kT
ee
eTkT
eee
kTf
Transformada z modificada
La transformada z modificada
Los comportamientos entre los puntos de muestreo pueden ser investigados usando la transformada z modificada. Esta es la transformada z ordinaria, solamente retrasada mT segundos, lo cual es una fracción del periodo de muestreo, ya que
0 < m < 1
Transformada z modificada
La transformada z modificada
aplicando la propiedad de corrimiento
0
)(),(k
kzmTTkTfmzF
0
1 )(),(k
kzmTkTfzmzF
Transformada z modificada
Obtener la transformada z modificada de
0;)( tetf at
aT
amT
aTamT
k
kaTamT
k
kmTkTa
eze
ezz
ezmzF
zeezzezmzF
1
0
1
0
)(1
),(
),(
Transformada z modificada
Transformada z modificada inversa
La mayor ventaja de la transformada z modificada es que proporciona información sobre una función del tiempo entre los instantes de muestreo. La transformada inversa de F(z,m) da los valores de f(t) entre los instantes de muestreo para cierto valor de m.
Transformada z modificada
La función F(z,m) se puede desarrollar en una serie de potencias en mediante la división directa
Retomando el ejemplo anterior, el desarrollo de F(z,m) es el siguiente
El coeficiente del termino en la serie infinita representa el valor de f(t) entre los
1z
kzmTTkTfzmTTfzmTfmzF )()()(),( 21
)1()(2)1(1),( kTkmaTmaamT zezezemzFkz
Transformada z modificada
instantes de muestreo t=(k-1)T y t=kT, donde k=1,2,... y 0<m<1. Durante el primer periodo de muestreo, la función f(t) está descrita por el coeficiente . Cuando m=0 se obtiene el valor de f(0); cuando m=1 se obtiene el valor de f(T). De manera similar, para el k-ésimo periodo de muestreo, k=1,2,...,
amTe
Transformada z modificada
m=0
m=1
En general, la respuesta entre dos instantes de muestreos consecutivos se obtiene asignando valores a m entre 0 y 1
TkaekTfTkf )1()0,(])1[(
akTekTfkTf )1,(][
Realizar tareas 1 y 2
