Prcticas de Matemticas con Mathematica . Matemticas I .
Ingeniera Tcnica Industrial Mecnica.Prctica n 2. Funciones
inversas.Departamento deMatemtica Aplicada.Ejemplo1: Calcule la
funcin inversa de f[x_] := 2xx2Es necesario conocer el dominio de
f[x]:Reduce[2x0 &&x 20, {x}, Reals]2x2Primero estudiaremos
la inyectividad de f[x]. Imponemos que f[x]=f[y], de donde debemos
obtener que y=x.La ecuacin f[x]=f[y] despus de elevar al cuadrado
dos veces se transforma en (2x)^2 (2y)(2y)^2 (2x) //
Simplify2x22y2x 2y2O bien, escrito en otra forma: Expand[(2x)^2
(2y)(2y)^2 (2x)0]12 x2 x2 12 yx2y2 y2 x y2 0Como y=x debe ser
solucin de la ecuacin anterior, factorizando obtenemos que y-x es
uno de los factores.Factor]12 x2 x2 12 yx2y2 y2 x y2xy 122 x2 yx
yAs que y=x es una solucin. La cuestin que se presenta ahora es si
el otro factor puede ser cero. La repuestaes que no, pues dentro
del dominio def[x], -2 < x2,slo se da la igualdad 2 x + 2 y + x
y=12cuando x=y=2, que es un caso de la solucin anterior. As pues 2
x + 2 y + x y-120 para xy, y la funcin es inyectiva.El siguiente
paso es determinar la expresin de la funcin inversa.Para ello, en
la ecuacin x = 2yy2despejamos el valor de y:Solve_x2yy 2, y_y 124x4
x216x4, y 124x4 x216x4
Obtenemos dos posibilidades. Para ver cual puede ser la correcta
evaluamos f en un valor a, y el valor de lainversa en el valor
obtenido deber ser de nuevo a:f[x_] :
Sqrt[(2x)/Sqrt[2x]]a00f[a]214fInv1[x_] :124x4 x216x4;fInv2[x_]
:124x4 x216x4{fInv1[f[a]], fInv2[f[a]]}0,6Observamos que el valor
correcto es el que corresponde al signo negativo, es decir,fInv[x_]
:124x4 x216x4dib1Plot[f[x], {x,2, 2}]2 1 1
20.51.01.52.02.53.03.52Prcticas
30-9-2010(2-inversas).nbdib2Plot[fInv[x], {x, 0, 5}, PlotStyleRed]1
2 3 4 52112Comprobamos que las grficas de f y de su inversa son
simtricas respecto de la diagonal.Show[dib2, dib1, PlotRange{{2,
4}, {2, 4}},AspectRatioAutomatic, EpilogLine[{{2,2}, {4, 4}}]]2 1 1
2 3 4211234Comprobemos ahora que la composicin en ambos sentidos
resulta ser la funcin identidad. Es importanteobservar que la
composicin debe estar definida en el dominio adecuado. f[fInv[x]]
est definida en [0,), mientrasquefInv[ f[x]]est definida en
(-2,2].Grficamente obtenemos el resultado correcto pues se tiene
que las grficas de ambas composiciones son la funciny=x en el
dominio correspondiente. Prcticas 30-9-2010(2-inversas).nb
3Plot[f[fInv[x]], {x, 0, 5},AspectRatioAutomatic]1 2 3 4
512345Plot[fInv[f[x]], {x,2, 2},AspectRatioAutomatic]2 1 1
22112Pero la operacin algebraica para el Mathematicaresulta ms
complicada. f[fInv[x]] // FullSimplifyx2x2 16x48x4x216x4214Lo
hacemos paso a paso. Cogemos la expresin dentro de la raz cuadrada
y multiplicamos por las expre-siones conjugadas4Prcticas
30-9-2010(2-inversas).nbx2]x2 16x4 ]x2 16x4]8x4 x216x4 ]8x4 x216x4
// Simplify2 x2Y luego dividimos por las expresiones conjugadas,
resultando que la expresin dentro de la raiz cuadradaqueda reducida
a2 x28x4 x216x4 x2 16x4^2 // Simplify2 x2Finalmente simplificamos
teniendo en cuenta que x 0:Simplify_2 x221/4, x0_xPara la otra
composicin se hace algo parecidofInv[f[x]]124 2x22x
2x 16 2x22x2xCon la orden Together obtenemos una nica
fraccin:Together[fInv[f[x]]] // Simplify12 2x46x22x x22x 6x22x2
2x32Seguidamente agrupamos trminos,y simplificamos resultando que
la composicin tambin nos da lafuncin identidad:[12x2| 2x[x2
4|(6x)22x2 (2x) 2x[12x2| 2x[x2 4| (6x)2x2 (2x) 2xPrcticas
30-9-2010(2-inversas).nb 5[12x2| (2x)[x2 4| (6x)2 (2x) (2x)//
SimplifyxPor tanto, la funcin inversa que determinamos
anteriormente era la correcta. Ejemplo 2 (propuesto): Calcule la
funcin inversa de f[x_]:x31x4 en el intervalo (-,-1]6Prcticas
30-9-2010(2-inversas).nb
