FUNCIONES · 2020-03-18 · cinemática y su relación con el estudio de las funciones lineales y cuadráticas. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar

9 Funciones

374Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

La unidad se centra en el concepto de función, es sin duda uno de los más importantes de este curso y no resulta ajeno a los alumnos dado que en cursos anteriores ya han trabajado la dependencia funcional entre variables.

La inclusión de nuevos conceptos como la tasa de variación, la concavidad y convexidad así como las operaciones con funciones pro-porcionará al alumno la capacidad de analizar con más profundidad muchas situaciones que se dan en la vida cotidiana.

Comenzamos la unidad recordando el concepto de dominio y recorrido de funciones, así como el significado de función creciente y decre-ciente para que comprendan el significado de la tasa de variación media. Continuamos introduciendo el concepto de curvatura de funcio-nes y recordaremos los conceptos de simetría y periodicidad.

La introducción de operaciones con funciones permitirá que manejen expresiones algebraicas. Será un buen momento para que los alum-nos resuelvan su posible confusión entre qué es una expresión algebraica, una ecuación y una función.

La metodología se ha diseñado para permitir al alumnado el desarrollo y adquisición de las competencias básicas o disciplinares así como del resto de las competencias transversales.

Comunicación lingüística (CL)Se desarrolla a lo largo de la unidad siendo la protagonista de la sección Matemáticas vivas y Funciones en los medios de comunicación.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para com-prender determinados contenidos y para exponer gráficamente resultados.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en situaciones que donde se calcula la tasa de variación y operaciones con funciones.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico y el pensamiento creativo. Valoraremos la dis-posición de modelizar situaciones que se presentan en diferentes problemas. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente en varias actividades y especialmente en la sección de Matemáticas vivas. Les permitirá desarrollar un juicio moral y razonar sobre la realidad social contribuyendo así a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de dos semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Reconocer funciones expresadas en sus diferentes formas y contextos.❚❚ Comprender el concepto de dominio, recorrido y determinar los puntos de corte con los ejes.❚❚ Identificar en una función el crecimiento, el decrecimiento y los extremos relativos.❚❚ Determinar la tasa de variación media como medida de variación de una función en un intervalo.

FUNCIONES9

375

9Funciones

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO

❚❚ Reconocer gráficamente la curvatura que presenta una función e identificar los puntos de inflexión.❚❚ Reconocer funciones simétricas y funciones periódicas.❚❚ Construir funciones a partir de otras, sumándolas, restándolas, multiplicándolas...❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el manejo de funciones.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando funciones.

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de funciones.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre las fun-ciones y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con funciones pueden acceder a la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Concepto de funciónDominio y recorrido. Puntos de corte con los ejes

1. Identificar relaciones que pueden modelizarse mediante una función y reconocer funciones.

2. Identificar en una función el dominio y el recorrido y determinar los puntos de corte con los ejes tanto gráfica como analíticamente.

1.1. Identifica funciones y las utiliza para representar relaciones de la vida cotidiana.

2.1. Determina el dominio y el recorrido de una función interpretándolos dentro de un contexto.

2.2. Calcula e interpreta adecuadamente los puntos de corte con los ejes.

1-440, 41

5, 642-46F1

5-847

CMCTCLCAACSCCSIEE

Crecimiento.Máximos y mínimos

3. Reconocer cuando una función es creciente y cuando es decreciente e identificar los extremos relativos.

3.1. Distingue cuando una función es creciente o decreciente en un intervalo y comprende el comportamiento de una función en cada caso.

3.2. Reconoce los máximos y los mínimos de una función y su relación con el crecimiento o el decrecimiento de la misma.

9Matemáticas vivas 2

10-1348-50F3

CCMCTCLCAACSCCSIEE

Tasa de variación

4. Reconocer la tasa de variación media como medida de la variación de una función en un intervalo.

4.1. Analiza la monotonía de una función mediante la tasa de variación media calculada a partir de la expresión algebraica de la función o de la propia gráfica.

14-2351-54Trabajo cooperativoF2

CMCTCDCLCAACSCCSIEE

Curvatura. Puntos de inflexión

5. Identificar funciones cóncavas y convexas en un intervalo y determinar las coordenadas de los puntos de inflexión en caso de que existan.

5.1. Distingue cuando una función es cóncava o convexa en un intervalo a partir de la gráfica y reconoce las coordenadas de los puntos de inflexión.

24-2755-57Matemáticas vivas 1 y 3

CMCTCDCLCSCCAA CSIEE

Simetrías y periodicidadSimetríasPeriodicidad

6. Reconocer si una función es simétrica.

7. Identificar funciones periódicas.

6.1. Analiza cuando una función es simétrica y las características que presenta.

7.1. Identifica funciones periódicas y calcula su período.

28-3058, 59

31-3360, 61

CMCTCLCSCCAA CSIEE

Operaciones con funciones

8. Determinar la suma, la resta, la multiplicación y la división de funciones.

8.1. Realiza operaciones con funciones, y las emplea para resolver problemas en situaciones de la vida cotidiana.

34-3962-67

CMCTCLCAACSCCSIEE

MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

¿Qué tienes que saber? • Dominio, recorrido y puntos de corte • Tasa de variación media • Monotonía y curvatura • Simetrías y periodicidad • Operaciones con funciones

AvanzaComposición de funciones

Funciones en los medios de comunicación

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB.❚Gaspard Monge

1. Concepto de función • Dominio y recorrido. Puntos de corte

con los ejes

2. Crecimiento. Máximos y mínimos

4. Curvatura. Puntos de inflexión GeoGebra. Tangentes de una función

3. Tasa de variación Vídeo. Tasa de variación media

5. Simetrías y periodicidad • Simetrías • Periodicidad

6. operaciones con funciones

Actividades finales Actividades interactivas

MisMates.es

Comprende y resuelve problemas

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Matemáticas vivasFuncionamiento del mercado: oferta y demanda • Análisis de las funciones

en la economía de mercado

Trabajo cooperativo Tarea cuya estrategia cooperativa es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson

Practica+

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 4.º ESO376

9 Funciones

377

9Funciones


Sugerencias didácticasEn esta unidad se formalizarán características generales cono-cidas por los alumnos y se introducirán los conceptos de tasa de variación, curvatura y operaciones con funciones.

Es importante destacar que la presentación de estos nuevos conceptos va a realizarse mediante ejemplos cotidianos.Antes de comenzar la unidad debemos repasar los conceptos de intervalos en la recta real, operaciones con polinomios, cál-culo de las raíces de un polinomio y la resolución de inecua-ciones.

Contenido WEB. LA CINEMÁTICA

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información relati-va a la unidad. En este caso se trata de una breve introducción a la cinemática y su relación con el estudio de las funciones lineales y cuadráticas. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, relacionando conceptos de distin-tas áreas, o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades1. Representa en la recta real los siguientes intervalos.

a) (2, 5] ∪ [4, 6] c) (2, 5] ∩ [4, 6] e) (−∞, 2)

b) (2, 5) ∪ (4, 6] d) (2, 5) ∩ (4, 6] f) [−1, +∞)

a) (2, 5] ∪ [4, 6] = (2, 6] c) (2, 5] ∩ [4, 6] = [4, 5] e) (−∞, 2)

2 6 4 5 2

b) (2, 5) ∪ (4, 6] = (2, 6] d) (2, 5) ∩ (4, 6] = (4, 5) f) [−1, +∞)

2 6 4 5 –1

2. Dados los polinomios P(x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6 y Q(x) = x2 − x, calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) − Q(x) c) 2P(x) − 3Q(x) d) P(x) · Q(x)

a) P(x) + Q(x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6 + x2 − x = x4 + x3 − 6x2 − 2x + 6

b) P(x) − Q(x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6 − (x2 − x) = x4 + x3 − 8x2 + 6

c) 2P(x) − 3Q(x) = 2x4 + 2x3 − 14x2 − 2x + 12 − (3x2 − 3x) = 2x4 + 2x3 − 17x2 + x + 12

d) P(x) · Q(x) = (x4 + x3 − 7x2 − x + 6) · (x2 − x) = x6 − x5 + x5 − x4 − 7x4+ 7x3 − x3 + x2 + 6x2 − 6x = = x6 − 8x4 + 6x3 +7x2 − 6x

3. Halla las raíces de estos polinomios.

a) P(x) = x2 − 1 c) P(x) = x2 + x − 6 e) P(x) = x3 − x

b) P(x) = 1 − x2 d) P(x) = x2 − x f) P(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1

REPASA LO QUE SABES1. Representa en la recta real los siguientes intervalos.

a) (2, 5] ∪ [4, 6] c) (2, 5] ∩ [4, 6] e) (−∞, 2)

b) (2, 5) ∪ (4, 6] d) (2, 5) ∩ (4, 6] f) [−1, +∞)

2. Dados los polinomios P(x) = x4 + x3 − 7x2 − x + 6 y Q(x) = x2 − x, calcula:

a) P(x) + Q(x) c) 2P(x) − 3Q(x)

b) P(x) − Q(x) d) P(x) ∙ Q(x)

3. Halla las raíces de estos polinomios.

a) P(x) = x2 − 1 c) P(x) = x2 + x − 6 e) P(x) = x3 − x

b) P(x) = 1 − x2 d) P(x) = x2 − x f) P(x) = 3x3 + x2 − 3x − 1

4. Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) x − 1 ≥ 0 c) 6x − 2 ≥ 0 e) x2 + 5x ≥ 0

b) 1 − x ≥ 0 d) x2 − 1 ≥ 0 f) x2 − 8x + 16 ≥ 0

197

9 FUNCIONES

Acontecimientos económicos, sociales, físicos y de la salud pueden ser modelizados y representados mediante funciones. Estas relacionan dos magnitudes.

Por ejemplo, el vuelo de un avión puede representarse matemáticamente mediante una gráfica que relacione el tiempo con la altura del trayecto.

Conocer e interpretar las propiedades de las funciones es fundamental para hacer predicciones que nos lleven a la toma de decisiones óptimas en nuestra vida cotidiana.

Acontecimientos económicos, sociales, físicos y de la salud pueden ser modelizados y representados mediante funciones. Estas relacionan dos magnitudes.

Por ejemplo, el vuelo de un avión puede representarse matemáticamente mediante una gráfica que relacione el tiempo con la altura del trayecto.

Conocer e interpretar las propiedades de las funciones es fundamental para hacer predicciones que nos lleven a la toma de decisiones óptimas en nuestra vida cotidiana.

IDEAS PREVIAS

❚ Intervalos.

❚ Operaciones con

polinomios.

❚ Raíces de un polinomio.

❚ Inecuaciones.

La cinemática es una rama de la física que estudia las leyes del movimiento relacionando el espacio recorrido y el tiempo empleado para hacerlo. Las relaciones entre estas magnitudes se describen mediante funciones.

Matemáticas en el día a día ][mac4e34

9 Funciones


a) x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x1 = 1

x2 = −1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

d) x2 − x = x(x − 1 ) = 0 → x1 = 0

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) 1 − x2 = 0 → x2 = 1 → x1 = 1

x2 = −1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

e) x3 − x = x(x2 − 1) = 0 →

x1 = 0

x2 = 1

x3 = −1

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

c) x2 + x − 6 = 0 → x =−1± 5

2→

x1 = 2

x2 = −3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f) 3x3 + x2 − 3x − 1 = 0 →

x1 = 1

x2 = −1

x3 = −1

3

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

4. Resuelve las siguientes inecuaciones.

a) x − 1 ≥ 0 c) 6x − 2 ≥ 0 e) x2 + 5x ≥ 0

b) 1 − x ≥ 0 d) x2 − 1 ≥ 0 f) x2 − 8x + 16 ≥ 0

a) x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1 → x ∈ [1, +∞)

b) 1 − x ≥ 0 → −x ≥ −1 → x ≤ 1 → x ∈ (−∞, 1]

c) 6x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2

6=

1

3→ x ∈

1

3, +∞

⎡

⎣⎢⎢

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

d) x2 − 1 ≥ 0 → (x + 1) (x − 1) ≥ 0

Estudiamos el signo de los factores:

(−∞,−1) (−1, 1) (1, +∞)

x + 1 − + +

x −1 − − +

Producto + − +

Se aceptan los extremos porque anulan el producto: x ∈ (−∞, −1]∪ [1, +∞)

e) x2 + 5x ≥ 0 → x (x + 5) ≥ 0


(−∞,−5) (−5, 0) (0, +∞)

x − − +

x + 5 − + +

Producto + − +

x ∈ (−∞,−5]∪ [0, +∞)

f) x2 − 8x + 16 ≥ 0 → (x − 4)(x − 4) ≥ 0


(−∞, 4 ) (4, +∞)

x − 4 − +

x − 4 − +

Producto + +

En x = 4 también se cumple la desigualdad.

x ∈

379

9Funciones


1. Concepto de función

Sugerencias didácticasEn este primer epígrafe conviene recordar la relación funcional entre magnitudes con ejemplos cercanos.

Es importante que reconozcan funciones dadas por enuncia-dos, tablas y gráficas.

Debemos prestar especial atención para que comprendan cómo se hallan los puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas y que escriban correctamente dichos puntos. Es frecuente que confundan el eje de abscisas con el de orde-nadas.

Soluciones de las actividades

1 Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones y, si lo son, señala las variables independiente y dependiente y escribe su expresión algebraica.

a) A cada medida del radio de una rueda se le asigna la longitud de la rueda.

b) A cada estatura de una persona le asociamos su peso.

c) A cada número le asignamos su valor absoluto.

a) Es función. La variable independiente es el radio, y la variable dependiente, la longitud de la rueda.

Su expresión algebraica es: L = 2πr

b) No es función, pues se pueden encontrar dos personas con la misma estatura y distintos pesos.

c) Es función. La variable independiente son los números reales, y la variable dependiente, su valor absoluto.

Su expresión algebraica es: f(x) = |x|

199

9Actividades9 Funciones

198

1. CONCEPTO DE FUNCIÓNEn muchas situaciones de la vida cotidiana encontramos magnitudes que están relacionadas. Por ejemplo, el número de horas que está encendida una bombilla led de 20 W y su consumo.

Número de horas 1 2 3 4

Consumo (W) 20 40 60 80

Observa que los valores del consumo dependen del número de horas y que para un número determinado de horas solo puede obtenerse un único valor de consumo. La expresión algebraica que relaciona ambas magnitudes es: f(x) = 20x

Una función es una relación entre dos magnitudes o variables numéricas, x e y, tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

❚ La magnitud cuyos valores se pueden elegir libremente se denomina variable independiente y se designa con la letra x.

❚ La magnitud cuyos valores se obtienen por la relación funcional es la variable dependiente, que se indica con la letra y.

La función, f, asocia a cada valor de x un valor de y. Escribimos:

f(x) = y

Dominio y recorrido. Puntos de corte con los ejesComo puedes ver en la gráfica, la duración media estimada de la vida de una bombilla led es de 50 000 h.

La variable independiente varía de 0 h a 50 000 h; así, el dominio es el intervalo [0, 50 000].

La variable dependiente toma valores entre 0 W y 1 000 000 W, por lo que el recorrido de la función es el intervalo [0, 1 000 000].

El punto de corte con los ejes es (0, 0).

❚ El dominio de una función es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente; se indica mediante Dom f.

❚ El recorrido de una función es el conjunto formado por los valores que toma la variable dependiente; se designa por Rec f.

❚ Los puntos de corte con los ejes son los puntos de intersección de la función con los ejes de coordenadas.

◗ Con el eje de abscisas son de la forma (x, 0), donde el valor de x se calcula resolviendo f(x) = 0.

◗ Con el eje de ordenadas es un punto de la forma (0, y) donde y se obtiene hallando f(0).

Aprenderás a… ● Reconocer una función expresada por un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula.

● Identificar en una función el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes.

En tu vida diaria

Una función se puede expresar de diferentes formas:

• Mediante un enunciado.• En una tabla de valores.• Con una expresión algebraica.• A través de una gráfica.Al representar la gráfica de una función, debemos tener en cuenta la escala elegida en los ejes.

Para indicar que un punto pertenece a la función, lo representamos con •, y con� cuando no pertenece.

Lenguaje matemático

} Indica los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función f(x) = x2 − 4. ¿Qué observas?

Solución

Con el eje de abscisas: f(x) = x2 − 4 = 0 → x2 = 4 → x = ±2 → Los puntos de corte son (2, 0) y (−2, 0).

Con el eje de ordenadas: f(0) = 02 − 4 = −4 → El punto de corte es (0, 4).

Una función puede cortar al eje X en varios puntos, pero solo puede tener un punto de corte con el eje Y.

EJERCICIO RESUELTO

Indica cuáles de las siguientes relaciones son funciones y, si lo son, señala las variables independiente y dependiente y escribe su expresión algebraica.

a) A cada medida del radio de una rueda se le asigna la longitud de la rueda.

b) A cada estatura de una persona le asociamos su peso.

c) A cada número le asignamos su valor absoluto.

Indica si las siguientes gráficas representan o no una función. Razona la respuesta.

a) b)

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

Halla:

a) La imagen de x = −2 mediante f(x) = −x − 1.

b) La imagen de x = −1 mediante f(x) = 2x2.

Estudia si las tablas se corresponden con una función y escribe, si es posible, su expresión algebraica.

a) x 0 1 2 c) x 2 2 2

y 0 1 4 y 1 4 9

b) x −1 0 −1 d) x −1 0 1

y −1 0 −1 y −0 2 4

1

2

3

4

Averigua el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones.

a) c)

O 2

2

X

Y

•

O 2

2

X

Y

•

b) d)

O 2

2

X

Y

O 2

2

X

Y•••

•

5

} Razona si las siguientes relaciones son funciones.

a) La que asigna a cada kilómetro recorrido por un coche el gasto de gasolina.

b) La que relaciona el año de nacimiento de los alumnos y el curso académico al que pertenecen.

Solución

a) Es una función porque para cada kilómetro solo hay un gasto de gasolina.

b) No es una función porque alumnos nacidos el mismo año pueden estar matriculados en cursos diferentes.

EJERCICIO RESUELTO

Halla algebraicamente el dominio de estas funciones.

a) f(x) = x e) f(x) = x2 − 1

b) f (x) =1

x f) f (x) =

x −1

x2 − x − 6

c) f (x) =1

x −1 g) f (x) = x − 2

d) f (x) =1

x2 −1 h) f (x) = −x

Calcula los puntos de corte con los ejes de:

a) y = 2x − 1 d) y = x2 + x − 6

b) y = x2 − 1 e) y = x3 − 4x

c) y = x2 + 3x f) y = x3 + 4x2 + x − 6

6

7

} Determina el dominio de las siguientes funciones.

a) f(x) = x2 + 1 b) g(x) =1

x + 2 c) h(x) = x

Solución

a) Para cualquier número real, x, podemos obtener una imagen al elevarlo al cuadrado y sumarle 1: Dom f =

b) Es posible calcular cualquier imagen siempre que el denominador sea distinto de 0, lo que ocurre si x ≠ −2: Dom g = −{−2}

c) Solo se puede hallar la imagen de aquellos valores que hacen el radicando positivo, es decir, si x ≥ 0: Dom h = [0, +∞)

EJERCICIO RESUELTO

¿En qué puntos cortan las funciones a los ejes de coordenadas? Ayúdate de GeoGebra para obtener el resultado.

a) f (x) =4

3x3 −

25

3x b) g(x) = 2x3 − 12x2 + 17x + 1

8

Investiga

O

C(W)

Horas

200 000

10 000

•

•

9 Funciones


2 Indica si las siguientes gráficas representan o no una función. Razona la respuesta.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) Es función, a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

b) No es función, los valores x ∈ (−4, 4) tienen dos imágenes.

3 Halla:

a) La imagen de x = −2 mediante f(x) = −x − 1.

b) La imagen de x = −1 mediante f(x) = 2x2.

a) f(−2) = −(−2) − 1 = 1 b) f(−1) = 2(−1)2 = 2

4 Estudia si las tablas se corresponden con una función y escribe, si es posible, su expresión algebraica.

a) x 0 1 2

y 0 1 4

b) x −1 0 1

y 1 0 −1

c) x 2 2 2

y 1 4 9

d) x −1 0 1

y 0 2 4

a) Es función: f ( x ) = x2 b) Es función: f ( x ) = −x c) No es función. d) Es función: f ( x ) = 2x + 2

5 Averigua el dominio, el recorrido y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones.

a)

O 2

2

X

Y

•

b)

O 2

2

X

Y c)

O 2

2

X

Y

•

d)

O 2

2

X

Y•••

•

a) Dom f = [0, +∞) Rec f = (−∞, 0] Corte con ambos ejes: (0, 0)

b) Dom f = ! Rec f = [−4, +∞) Cortes con eje X: (−2, 0) y (2, 0) Corte con eje Y: (0, −4)

c) Dom f = [−4, +∞) Rec f = [0, +∞) Corte con el eje X: (−4, 0) Corte con eje Y: (0, 2)

d) Dom f = (−4, 6] Rec f = [−4, 4] Corte con eje X: (4, 0) Corte con eje Y: (0, 2)

6 Halla algebraicamente el dominio de estas funciones.

a) f(x) = x c) f (x) =1

x −1 e) f(x) = x2 − 1 g) f (x) = x − 2

b) f (x) =1

x d) f (x) =

1

x2 −1 f) f (x) =

x −1

x2 − x − 6 h) f (x) = −x

a) Dom f = !

b) Dom f = !− {0}

c) Dom f = !− {1}

d) x2 − 1 = 0 cuando x = 1 y x = −1, por tanto: Dom f = !− {−1, 1}

e) Dom f = !

f) x2 − x − 6 = 0 → x =1± 1+ 24

2=

1± 5

2→

x1 = 3

x2 = −2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

, por tanto: Dom f = !− {−2, 3}

g) x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2, por tanto: Dom f = [2, +∞)

h) −x ≥ 0 → x ≤ 0, por tanto: Dom f = (−∞, 0]

381

9Funciones


7 Calcula los puntos de corte con los ejes de:

a) y = 2x − 1 c) y = x2 + 3x e) y = x3 − 4x

b) y = x2 − 1 d) y = x2 + x − 6 f) y = x3 + 4x2 + x − 6

a) Con eje X: 2x − 1 = 0 → x =1

2 → Corta en

1

2, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .

Con el eje Y: si x = 0 → Corta en (0, −1)

b) Con eje X: x2 − 1 = 0 → x = ±1 → Corta en (−1, 0) y en (1, 0).

Con el eje Y: si x = 0 → Corta en (0, −1).

c) Con eje X: x2 + 3x = 0 → x ( x + 3) = 0 → Corta en (0, 0) y en (−3, 0).

Con el eje Y: si x = 0 → Corta en (0, 0).

d) Con eje X: x2 + x − 6 = 0 → x =−1± 1+ 24

2=−1± 5

2 → Corta en (2, 0) y en (−3, 0).


e) Con eje X: x3 − 4x = 0 → x x 2 − 4( ) = 0 → x ( x + 2)( x − 2) = 0 → Corta en (0, 0), en (−2, 0) y en (2, 0).


f) Con eje X: x3 + 4x2 + x − 6 = 0

1 4 1 −6

1 1 5 6

1 5 6 0 x2 + 5 x + 6 = 0 → x =

−5 ± 25− 24

2=−5 ± 1

2

x1 = −2

x2 = −3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

f(x) = x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3) → Corta en (1, 0), en (−2, 0) y en (−3, 0).


Investiga

8 ¿En qué puntos cortan las funciones a los ejes de coordenadas? Ayúdate de GeoGebra para obtener el resultado.

a) f (x) =4

3x3 −

25

3x b) g(x) = 2x3 − 12x2 + 17x + 1

a) Con el eje X: 4

3x3 −

25

3x = 0

→ 1

3x 4 x 2 − 25( ) =

1

3x (2x + 5)(2x −5) = 0

→ Corta en (0, 0), en −5

2, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ y en

5

2, 0

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ .

Con el eje Y: si x = 0 → Corta en (0, 0)

Con el programa GeoGebra dibujamos la función. Para encontrar los puntos de corte de la curva con los ejes elegimos Intersección de objetos (Curva y ejes) y se obtienen las coordenadas de los puntos A(−2,5; 0), B(0, 0) y C(2,5; 0).

b) Con el programa GeoGebra dibujamos la función y, elegimos Intersec-ción de objetos. Los puntos de corte con los ejes son:

A(−0,06; 0), B(2,46; 0) y C(3,6; 0)

9 Funciones


2. Crecimiento. Máximos y mínimos


9 Observa las gráficas, que representan el proceso de llenado y vaciado de un bidón cilíndrico de agua.

a) Indica la capacidad que tiene el bidón.

b) ¿Es creciente o decreciente la función que representa el proceso de llenado?

c) Halla el tiempo que se ha tardado en vaciar el bidón.

d) Averigua la diferencia entre el tiempo empleado en llenar el bidón y el utili-zado en vaciarlo.

a) Capacidad del bidón = 20 L

b) Es creciente.

c) Tiempo = 8 min

d) Diferencia = 10 min − 8 min = 2 min

201


200

Observa las gráficas, que representan el proceso de llenado y vaciado de un bidón cilíndrico de agua.

a) Indica la capacidad que tiene el bidón.

b) ¿Es creciente o decreciente la función que representa el proceso de llenado?

c) Halla el tiempo que se ha tardado en vaciar el bidón.

d) Averigua la diferencia entre el tiempo empleado en llenar el bidón y el utilizado en vaciarlo.

Estudia la monotonía de estas funciones.

a) d)

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

b) e)

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

c) f)

1

1

X

Y

O

1

1

X

Y

O

Si una función es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞), ¿puede afirmarse que tiene un máximo en x = 0?

Justifica tu respuesta.

Dibuja las siguientes funciones cuadráticas e indica las coordenadas de sus extremos relativos.

a) f(x) = x2 − 6x + 5 b) f(x) = −x2 + 6x − 5 c) f(x) = x2 − 6x

9

10

11

12

2. CRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOSJaime ha consultado la predicción de las temperaturas, T, durante las 12 primeras horas del día 6 de marzo. Se prevé que la temperatura descenderá entre las 0 h y las 3 h y también entre las 6 h y las 7 h. Se mantendrá sin variaciones entre las 3 h y las 5 h y experimentará un aumento entre las 5 h y las6 h y otro a partir de las 7 h.

Esta función es creciente en los intervalos (5, 6) y (7, 12), decreciente en los intervalos (0, 3) y (6, 7) y constante en el intervalo (3, 5).

Creciente Decreciente Constante

O a b

f (x²)

x²

f (x¹)

x¹ X

Y

O Xa b

f (x²)

x²

f (x¹)

x¹

Y

O Xa bx²

f (x¹) = f (x²)

x¹

Y

x1 < x2 → f(x1) < f(x2) x1 < x2 → f(x1) > f(x2) x1 < x2 → f(x1) = f(x2)

❚ Una función es creciente en un intervalo abierto, (a, b), si al aumentar los valores de la variable independiente, x, también aumentan los valores de la variable dependiente, f(x).

❚ Una función es decreciente en un intervalo abierto, (a, b), si al aumentar los valores de la variable independiente, x, disminuyen los valores de la variable dependiente, f(x).

❚ Una función es constante en un intervalo abierto, (a, b), cuando no crece ni decrece en ese intervalo.

Observa que la función no presenta saltos ni interrupciones; decimos, entonces, que es una función continua.

A las 6 h alcanza la temperatura máxima, y a las 7 h, la mínima. Como la función es continua, el punto (6, 8) es un máximo y el punto (7, 6) es un mínimo.

❚ Un punto, (a, f(a)), de una función continua es un máximo relativo si en este punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente.

❚ Un punto, (a, f(a)), de una función continua es un mínimo relativo si en este punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Los puntos máximos y mínimos de una función son los extremos relativos.

❚ Una función es continua en un intervalo si su gráfica no presenta saltos o interrupciones en dicho intervalo.

❚ No todas las funciones son continuas en todo su dominio. Los puntos donde una función presenta saltos se llaman puntos de discontinuidad.

Recuerda

Aprenderás a… ● Reconocer en una función el crecimiento y el decrecimiento.

● Identificar los puntos máximos y mínimos.

} Fíjate en la función y estudia la monotonía.

Solución

❚ Es creciente en los intervalos (−2, 2) y (4, 5) y decreciente en (2, 4) y en (5, 8).

❚ Tiene un máximo en el punto (2, 4) y un mínimo en (4, 0).

❚ En x = 5, la función pasa de ser creciente a decreciente, pero no hay un punto máximo, porque la función presenta un salto. Es un punto de discontinuidad.

EJERCICIO RESUELTO

❚ Hallar los extremos relativos es determinar los puntos máximos y mínimos de una función.

❚ Estudiar la monotonía es decidir en qué intervalos es creciente o decreciente en su dominio y hallar sus extremos relativos.


Las funciones cuadráticas tienen por expresión algebraica:

f(x) = ax2 + bx + c

El valor de la abscisa del

vértice es: x = −b

2a

Recuerda

DESAFÍODibuja la gráfica de una función que verifique lo siguiente:

❚ Su dominio y su recorrido es .

❚ Corta al eje X en los puntos (−1, 0) y (2, 0) y al eje Y en el punto (0, −2).

❚ Sus extremos relativos son (−1, 0) y (1, −4).

13

•

O 1

1

X

Y

•

1

2

Tiempo (min)

Volumen (L)

O

Sugerencias didácticasLos conceptos de crecimiento y decrecimiento de funciones serán muy sencillos de entender si presentamos el ejercicio de introducción del epígrafe.

Es muy importante que analicen funciones que tienen máxi-mos y mínimos junto con funciones que no los tienen.

Podremos repasar cómo hallar y representar funciones cuadrá-ticas, donde identificarán los extremos relativos.

Es muy conveniente realizar el Desafío propuesto dado que relacionarán entre sí los conceptos aprendidos

1

2

Tiempo (min)

Volumen (L)

O

383

9Funciones


10 Estudia la monotonía de estas funciones.

a)

1

1

X

Y

O

c)

1

1

X

Y

O

e)

1

1

X

Y

O

b)

1

1

X

Y

O

d)

1

1

X

Y

O

f)

1

1

X

Y

O

a) Es decreciente en todo su dominio.

b) Es decreciente en (−∞, 0 ) y creciente en ( 0, +∞ ). Tiene un mínimo en (0, 0).

c) Es creciente en (−∞, 0 ), decreciente en ( 0, +∞ ). Tiene un máximo en (0, 2).

d) Es creciente en (−∞, −1 ) y ( 1, ∞ ) y decreciente en (−1, 1). Tiene un máximo en (−1, 3) y un mínimo en (1, −3).

e) Es creciente en su dominio, esto es en − { 0 }.

f) Es decreciente en (−∞, 1,25 ) y creciente en ( 1,25; +∞ ). Tiene un mínimo en (1,25; 0,38).

11 Si una función es creciente en (−∞, 0) y decreciente en (0, +∞), ¿puede afirmarse que tiene un máximo en x = 0? Justifica tu respuesta.No puede afirmarse que tenga un máximo en x = 0, puede que su dominio sea − { 0 }. Un ejemplo es la función f (x ) =

1

x 2.

12 Dibuja las siguientes funciones cuadráticas e indica las coordenadas de sus extremos relativos.

a) f(x) = x2 − 6x + 5 b) f(x) = −x2 + 6x − 5 c) f(x) = x2 − 6x

Comprobar que los alumnos dibujan correctamente cada función, teniendo en cuenta que su vértice es el indicado en cada caso.

a) La abscisa del vértice es: x = −(−6)

2= 3

V −b

2a, f −

b

2a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 3, f (3)( ) = (3,− 4) , es el mínimo de la función.

b) La abscisa del vértice es: x = −6

2(−1)= 3

V −b

2a, f −

b

2a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 3, f (3)( ) = (3, 4 ) , es el máximo de la función.

c) La abscisa del vértice es: x = −(−6)

2= 3

V −b

2a, f −

b

2a

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 3, f (3)( ) = (3,− 9) , es el mínimo de la función.

Desafío

13 Dibuja la gráfica de una función que verifique lo siguiente:

❚❚ Su dominio y su recorrido es .

❚❚ Corta al eje X en los puntos (−1, 0) y (2, 0) y al eje Y en el punto (0, −2).

❚❚ Sus extremos relativos son (−1, 0) y (1, −4).

Respuesta abierta. Por ejemplo, comprobar que los alumnos representan correctamente la siguiente función: f(x) = x3 − 3x − 2

9 Funciones


3. Tasa de variación


14 Observa la gráfica de la función y halla la tasa de variación media en cada uno de los intervalos.

O 1

1

X

Y

a) [0, 1]

b) [3, 5]

c) [5, 6]

a) TVM [0, 1] = f (1)− f (0)

1− 0=

2− (−3)

1= 5 c) TVM [5, 6] =

f (6)− f (5)

6−5=

0− 0

1= 0

b) TVM [3, 5] = f (5)− f (3)

5− 3=

0− 3

2=−3

2

203


202

3. TASA DE VARIACIÓNAna ha dibujado la gráfica que representa la distancia recorrida por el autobús del colegio.

Observa que durante los 6 primeros segundos, justo cuando se pone en marcha el autobús, la función que relaciona el tiempo transcurrido y los

metros recorridos viene dada por: f (x) =x2

4

La distancia en metros recorrida en el intervalo [0, 6] se llama tasa de variación y se calcula hallando la diferencia entre las imágenes de los extremos del intervalo:

f (6)− f (0) =62

4−

02

4= 9 m

La tasa de variación, TV, de una función continua en un intervalo [a, b] representa el aumento o disminución que se produce al aumentar la variable independiente del valor a al valor b. Se escribe: TV [a, b] = f(b) − f(a)

O a b

f (b)f (a)

X

Y

O a b

f (b)f (a)

X

Y

f (a) = f (b)

O a b X

Y

TV [a, b] > 0 TV [a, b] < 0 TV [a, b] = 0

La velocidad media del autobús se denomina tasa de variación media y se determina dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado:

f (6)− f (0)

6− 0=

9

6= 1,5 m/s

Ana comprueba que la velocidad media coincide con la pendiente de la recta que pasa por (0, 0) y (6, 9).

Geométricamente, la tasa de variación media en un intervalo es la pendiente de la recta que pasa por los extremos del intervalo.

La tasa de variación media, TVM, de una función continua en un intervalo, [a, b], mide la rapidez en el aumento o disminución que se produce al aumentar la variable independiente del valor a al valor b. Se escribe:

TVM [a, b] =variación de f (x)

variación de x=f (b )− f (a )

b− a

Aprenderás a… ● Determinar la tasa de variación media como medida de variación de una función en un intervalo.

Presta atención

La tasa de variación de una función indica la rapidez con la que crece o decrece en un intervalo.

Presta atención

La pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) es:

m =f (b )− f (a)

b− a

} Calcula la tasa de variación media de la función en estos intervalos. a) [−2, 0] b) [0, 4] c) [4, 6]

Solución

a) TVM [−2, 0] = f (0)− f (−2)

0− (−2)=

3− (−1)

2= 2

b) TVM [0, 4] = f (4 )− f (0)

4− 0=

3− 3

4= 0

c) TVM [4, 6] = f (6)− f (4 )

6− 4=−1− 3

2= −2

EJERCICIO RESUELTO

O 1

1

X

Y

•

•

O 1

2

Tiempo (s)

Dis

tanc

ia (m

)

•

•

O 1

2

Tiempo (s)

Dis

tanc

ia (m

)

Observa la gráfica de la función y halla la tasa de variación media en cada uno de los intervalos.

O 1

1

X

Y

a) [0, 1]

b) [3, 5]

c) [5, 6]

14 Sin hacer ningún cálculo, indica el signo que tendrá la tasa de variación media de la función.

•

• •

•O 1

1

X

Y

A

B C

D

a) Entre los puntos A y B.

b) Entre los puntos B y C.

c) Entre los puntos C y D.

Halla el valor de la tasa de variación media de la

función f(x) = 2

x en el intervalo [1, 3].

¿Por qué la tasa de variación media de la función f(x) = 2x + 1 en cualquier intervalo es siempre 2?

La distancia, en metros, recorrida por una motocicleta en los 8 primeros segundos de su trayecto viene dada por la función: f(t) = t2 − t.

a) Calcula la tasa de variación media en el intervalo [3, 7].

b) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos de la gráfica cuyas abscisas son x = 3 y x = 7?

c) Explica el significado físico de la tasa de variación media.

El espacio, en metros, que recorren dos aparatos de vuelo en función del tiempo, t, en segundos, durante los 10 primeros segundos viene dado por las funciones f(t) = t2 y g(t) = 2t, respectivamente.

a) Determina la velocidad media de cada aparato en los intervalos de tiempo [2, 3] y [4, 10].

b) Uno de los aparatos es una avioneta, y el otro, un avión; ¿qué función espacio-tiempo le corresponde a la primera?

18

19

20

21

22

Determina la tasa de variación en el intervalo [−2, −1] de la función f(x) = 1 − x e indica si la función es, en ese intervalo, creciente o decreciente.

Calcula la tasa de variación en el intervalo [−1, 3] de las siguientes funciones.

a) f(x) = x + 2

b) f(x) = −x2 + 2

c) f(x) = 2

¿Hay alguna que sea decreciente?

Averigua el valor de la tasa de variación media y describe la monotonía de la función f(x) = x2 − 1 en estos intervalos.

a) [−2, −1]

b) [1, 2]

15

16

17

} Halla la tasa de variación media de la función f(x) = 3x − 1 en el intervalo [1, 3]. Razona si la función es creciente o decreciente en este intervalo.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

mac4e35

DESAFÍOEncuentra el valor de a en la función f(x) = x2 + ax para que la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] sea 1.

23

Sugerencias didácticasSerá básico recordar el significado, y cómo se calcula, la pen-diente de una recta, concepto que estudiaron en la unidad anterior.

Reconocerán la utilidad del conocimiento de la tasa de varia-ción en un intervalo si les hacemos la presentación con ejem-plos cotidianos como el que se presenta al inicio del epígrafe.

Vídeo. TASA DE VARIACIÓN MEDIA

En el vídeo se resuelve el ejercicio del cálculo de la tasa de varia-ción media de una función, así cómo la relación de esta con su crecimiento y su decrecimiento. Puede utilizarse para explicarlo en la pizarra o como recurso para que los alumnos repasen.

385

9Funciones


15 Determina la tasa de variación en el intervalo [−2, −1] de la función f(x) = 1 − x e indica si la función es, en ese intervalo, cre-ciente o decreciente.

TVM [−2, −1] = f (−1) − f (−2)

−1− (−2)=

2− 3

1= −1 La función es decreciente en el intervalo.

16 Calcula la tasa de variación en el intervalo [−1, 3] de las siguientes funciones.

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = −x2 + 2 c) f(x) = 2

¿Hay alguna que sea decreciente?

a) TVM [−1, 3] = f (3)− f (−1)

3− (−1)=

5−1

4= 1

b) TVM [−1, 3] = f (3)− f (−1)

3− (−1)=−7−1

4= −2

c) TVM [−1, 3] = f (3)− f (−1)

3− (−1)=

2− 2

4= 0

Es decreciente la función: f ( x ) = −x2 + 2

17 Averigua el valor de la tasa de variación media y describe la monotonía de la función f(x) = x2 − 1 en estos intervalos.

a) [−2, −1] b) [1, 2]

a) TVM [−2, −1] = f (−1)− f (−2)

−1− (−2)=

0− 3

1= −3 b) TVM [2, 1] =

f (1)− f (2)

1− 2=

0− 3

−1= 3

La función es decreciente en el intervalo. La función es creciente en el intervalo.

18 Sin hacer ningún cálculo, indica el signo que tendrá la tasa de variación media de la función.

•

• •

•O 1

1

X

Y

A

B C

D

a) Entre los puntos A y B.

b) Entre los puntos B y C.

c) Entre los puntos C y D.

a) TVM [A, B] < 0

b) TVM [B, C] = 0

c) TVM [C, D] > 0

19 Halla el valor de la tasa de variación media de la función f(x) = 2

x en el intervalo [1, 3].

TVM [1, 3] = f (3)− f (1)

3−1=

2

3−

2

12

=−

4

32

= −2

3

20 ¿Por qué la tasa de variación media de la función f(x) = 2x + 1 en cualquier intervalo es siempre 2?

Porque la función es una recta que tiene pendiente 2.

21 La distancia, en metros, recorrida por una motocicleta en los 8 primeros segundos de su trayecto viene dada por la función: f (t ) = t2 − t.

a) Calcula la tasa de variación media en el intervalo [3, 7].

b) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos de la gráfica cuyas abscisas son x = 3 y x = 7?

c) Explica el significado físico de la tasa de variación media.

a) TVM [3, 7] = f (7)− f (3)

7− 3=

42− 6

4= 9

b) m = TVM [3, 7] = 9

c) La tasa de variación media representa la velocidad de la motocicleta en el intervalo [3, 7].

9 Funciones


22 El espacio, en metros, que recorren dos aparatos de vuelo en función del tiempo, t, en segundos, durante los 10 primeros se-gundos viene dado por las funciones f(t) = t2 y g(t) = 2t, respectivamente.

a) Determina la velocidad media de cada aparato en los intervalos de tiempo [2, 3] y [4, 10].

b) Uno de los aparatos es una avioneta, y el otro, un avión; ¿qué función espacio-tiempo le corresponde a la primera?

a) 1.er aparato: TVM [2, 3] = f (3)− f (2)

3− 2=

9− 4

1= 5 m/s TVM [4, 10] =

f (10)− f (4 )

10− 4=

100−16

6= 14 m/s

2.º aparato: TVM [2, 3] = f (3)− f (2)

3− 2=

8− 4

1= 4 m/s TVM [4, 10] =

f (10)− f (4 )

10− 4=

1024−16

6= 168 m/s

b) La función que le corresponde a la avioneta es: f(t) = t2

Desafío

23 Encuentra el valor de a en la función f(x) = x2 + ax para que la tasa de variación media en el intervalo [0, 2] sea 1.

TVM [0, 2] = f (2)− f (0)

2− 0=

4 + 2a− 0

2= 1→ 2a = −2 → a = −1

387

9Funciones


4. Curvatura. Puntos de inflexión


24 Crea una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones, dibújalas y estudia la curvatura en su dominio.

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x2 c) f(x) = x3 d) f (x) =1

x

a) f ( x ) = x + 2

x 0 1

f(x) 2 3

Y

XO 1

1

Es una función lineal, no tiene curvatura.

Sugerencias didácticasLa definición de la curvatura de una función en un punto tendrá como referencia la recta tangente a la función en ese punto.

Y si se trata de estudiar la curvatura en un intervalo conside-raremos la posición, respecto de la función, del segmento que une los puntos extremos del mismo.

A partir del análisis de la curvatura de una función los alumnos deberán determinar los puntos de inflexión de la misma, si existen.

205


204

Crea una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones, dibújalas y estudia la curvatura en su dominio.

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x2 c) f(x) = x3 d) f (x) =1

x

Estudia la curvatura de estas funciones e indica las coordenadas de los puntos de inflexión, en caso de que existan.

a) d)

1

1

X

Y

f (x) = —x²2

O

2

2

X

Y

f (x) = —2x

O

b) e)

1

1

X

Y

f (x) = x³ – 3x

O

2

2

X

Y

f (x) = – —2x

O

c) f)

1

1

X

Y

f (x) = √x – 2

O•

π—2

0,5

X

Y

O•

Observa las gráficas e indica las coordenadas de los puntos de inflexión, así como las de sus puntos máximos y mínimos.

a) b)

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

24

25

26

4. CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓNMario ha dibujado la gráfica de la función f(x) = x3 − 3x2 + 3 y, a continuación, algunas de las rectas tangentes a la función en diferentes puntos de los intervalos (−1, 1) y (1, 4).

mac4e36

Observa que en los puntos A y B las rectas dibujadas están por encima de la gráfica, mientras que en C, D y E las rectas tangentes se encuentran por debajo de ella.

En el intervalo (−1, 1), la gráfica queda por debajo de las rectas tangentes que se pueden trazar en cualquiera de sus puntos, y en (1, 4), por encima. Decimos que la función es convexa en el intervalo (−1, 1) y cóncava en el intervalo (1, 4).

En el punto B, la tangente corta a la función; es ahí precisamente donde la función cambia su curvatura. Decimos, entonces, que B es un punto de inflexión.

❚ Una función es convexa en un intervalo abierto, (a, b), si su gráfica queda por debajo de las rectas tangentes que se pueden trazar en cualquiera de sus puntos.

❚ Una función es cóncava en un intervalo abierto, (a, b), si su gráfica queda por encima de las rectas tangentes que se pueden trazar en cualquiera de sus puntos.

❚ Un punto de inflexión es aquel en el que la función cambia su curvatura.

Aprenderás a… ● Reconocer la curvatura de una función.

● Identificar los puntos de inflexión.

} Estudia la curvatura de las funciones en el intervalo (3, 4).

a) c) e)

O 1

1

X

Y

• O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

b) d) f)

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y

O 1

1

X

Y•

Solución

a) y b) Las funciones son lineales; no tienen curvatura.

c) y d) Son funciones cóncavas.

e) y f) Las dos funciones son convexas.

EJERCICIO RESUELTO

Con

vexa

Cón

cava

•

•

•• •

O

f (a)

a X

Y

❚ Una función, f(x), es convexa en un intervalo si, para cualquier par de puntos del intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la gráfica.

❚ Una función, f(x), es cóncava en un intervalo si, para cualquier par de puntos del intervalo, el segmento que los une queda por encima de la gráfica.

❚ El punto (a, f(a)) es el punto de inflexión ya que en él cambia su curvatura.


DESAFÍOContesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Una función creciente en un intervalo es cóncava en dicho intervalo.

b) Si la recta tangente a una función en un punto tiene su gráfica por encima de la función, la función es convexa en dicho punto.

c) Una función cuya curvatura cambia en el punto (a, f(a)) tiene necesariamente un punto máximo.

d) Hay funciones que son cóncavas en todo su dominio.

27

GeoGebra. TANGENTES DE UNA FUNCIÓN

Este recurso completa la explicación del libro. Los deslizadores que aparecen en ambos lados de la ventana pueden moverse para comprobar que en los valores de x inferiores a 1 la función es convexa y, por tanto, las rectas tangentes quedan por encima de la gráfica de la función; sin embargo, para los valores x mayores que 1, la función es cóncava y ocurre lo contrario.

9 Funciones


b) f ( x ) = x2

x −2 −1 0 1 2

f(x) 4 1 0 1 4

Y

XO 1

1

Es cóncava en todo su dominio.

c) f ( x ) = x3

x −2 −1 0 1 2

f(x) −8 −1 0 1 8

Y

XO 1

1

Es convexa en (−∞, 0 ) y cóncava en ( 0, +∞ ).

d) f ( x ) =1

x

x −2 −1 −1/2 1/2 1 2

f(x) −1/2 −1 −2 2 1 1/2

Y

XO 1

1 Es convexa en (−∞, 0 ) y cóncava en ( 0, +∞ ).

25 Estudia la curvatura de estas funciones e indica las coordenadas de los puntos de inflexión, en caso de que existan.

a)

1

1

X

Y

f (x) = —x²2

O

c)

1

1

X

Y

f (x) = √x – 2

O•

e)

2

2

X

Y

f (x) = – —2x

O

b)

1

1

X

Y

f (x) = x³ – 3x

O

d)

2

2

X

Y

f (x) = —2x

O

f)

π—2

0,5

X

Y

O•

a) La función f(x) =x2

2 es cóncava en su dominio.

b) La función f(x) = x3 − 3x es convexa en (−∞, 0 ), cóncava en ( 0, +∞ ) y tiene un punto de inflexión en (0, 0).

c) f(x) = x − 2 es convexa en su dominio.

d) f(x) =2

x es convexa en (−∞, 0 ) y cóncava en ( 0, +∞ ).

e) f(x) = −2

x es cóncava en (−∞, 0 ) y convexa ( 0, +∞ ).

f) La función es convexa en los intervalos (2k − 2)π, (2k −1)π( ) , y es cóncava en los intervalos (2k −1)π, 2kπ( ) para k = 1, 2, 3, …

Los puntos de inflexión son ( k π, 0 ), para k = 1, 2, 3…

389

9Funciones


26 Observa las gráficas e indica las coordenadas de los puntos de inflexión, así como las de sus puntos máximos y mínimos.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) Puntos de inflexión: (1; 1,5) y (2; 1,5)

Punto máximo: (1,5; 2)

Puntos mínimos: (0,5; 1) y (2,5; 1)

b) Punto de inflexión: (−1,5; 2,5)

Punto máximo: (−3, 5)

Punto mínimo: (0, 0)

Desafío

27 Contesta razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Una función creciente en un intervalo es cóncava en dicho intervalo.

b) Si la recta tangente a una función en un punto tiene su gráfica por encima de la función, la función es convexa en dicho punto.

c) Una función cuya curvatura cambia en el punto (a, f(a)) tiene necesariamente un punto máximo.

d) Hay funciones que son cóncavas en todo su dominio.

a) Falso. Por ejemplo, la función f(x) = −x2 es creciente y cónvexa en (−∞, 0 ). b) Cierto, es la propia definición de convexa.

c) Falso, tendría un punto de inflexión si estuviera definida en ( a, f (a) ).

d) Verdadero, por ejemplo: f(x) = x2

9 Funciones


5. Simetrías y periodicidad

Sugerencias didácticasPresentaremos la simetría de funciones mediante sus gráficas y reconociendo, en cada caso, lo que ocurre con las imágenes de valores opuestos de la variable independiente.

El alumno debe entender que no todas las funciones necesa-riamente tienen simetría par o impar.

El estudio de la simetría mediante las condiciones algebraicas puede presentar dificultades, conviene proponer la realiza-ción de ejercicios adecuados hasta asegurarnos de que han adquirido la destreza necesaria.

El alumno debe reconocer la existencia de funciones periódi-cas para modelizar situaciones de la vida cotidiana.

Como este tipo de funciones ya se estudiaron en el curso anterior será suficiente poner un ejemplo y sugerir que pro-pongan algunos más que reconozcan en su entorno.

Valoraremos el interés y rigor que tengan a la hora de hacer la representación gráfica de una función periódica dada por un enunciado contextualizado.

Será de gran utilidad la realización del Desafío propuesto.


28 A la vista de estas gráficas, decide qué tipo de simetría presenta cada una.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) Es una función simétrica respecto del eje de ordenadas, tiene simetría par.

b) Es una función simétrica respecto del origen de ordenadas, tiene simetría impar.

207


206

5. SIMETRÍAS Y PERIODICIDAD

SimetríasFíjate en estas funciones:

O 1

1

X

Y

x −3 −1 0 1 3

f(x) 4 −4 −5 −4 4

Cada dos valores opuestos tienen la misma imagen:

f(−1) = −4 = f(1)

f(−3) = 4 = f(3)

Se trata de una función par.

Una función tiene simetría par si es simétrica respecto del eje de ordenadas:

f(−x) = f(x)

O 1

1

X

Y

x −2 −1 0 1 2

f(x) −6 0 0 0 6

Las imágenes de cada par de valores opuestos son opuestas:

f(−1) = 0 = −f(1)

f(−2) = 6 = −f(2)

Es una función impar.

Una función tiene simetría impar si es simétrica respecto del origen de coordenadas:

f(−x) = −f(x)

PeriodicidadAlejandro se dispone a realizar la ruta Lisboa-Parque Natural de Sintra. En la agencia de viajes le han proporcionado el cartel con los horarios de salida y llegada de los autobuses.

La primera salida es a las 8 h, con lo que llegaría a Sintra a las 9 h; sin embargo, está considerando la posibilidad de salir a las 13 h e incluso a las 18 h.

En cualquier caso, dispone de dos horas para visitar el parque natural.

El trayecto de vuelta se realiza por la costa y en su recorrido se emplean 2 h.

Decimos que esta función es periódica porque se repite en intervalos iguales de 5 h. El valor 5 recibe el nombre de período de la función.

Una función es periódica de período T cuando el comportamiento de la función en el intervalo [a, a + T] se repite en intervalos sucesivos:

f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = …

Aprenderás a… ● Identificar funciones con simetría par o impar.

● Reconocer funciones periódicas.

En tu vida diaria

Hay numerosas situaciones en las que podemos encontrar funciones periódicas, por ejemplo al montar en una noria.

O 30 90 120 150

10

20

Tiempo (s)

Altu

ra (m

)

A la vista de estas gráficas, decide qué tipo de simetría presenta cada una.

a)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

28 Dadas las siguientes funciones, señala si son pares, impares o no presentan simetría.

a) f(x) = −x c) f (x) =x2

x2 − 4

b) f (x) =1

x2 d) f (x) =

x2 + x

x2 − 4

Fíjate en las gráficas e indica si son pares, impares o no presentan simetría.

a) b)

O 1

1

X

Y

Analiza las siguientes gráficas y averigua el valor del período en las funciones que sean periódicas.

a)

O 1

1

X

Y

b)

•

•

•

•

•

•

•

•

••

••O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

Las siguientes funciones son periódicas. Averigua sus respectivos períodos.

a) El movimiento de las agujas de un reloj.

b) La rotación de la Tierra sobre su eje.

29

30

O 1

1

X

Y

31

32

} Estudia la simetría de estas funciones.

a) f(x) = 2x4 − x2 c) f(x) = x2 − x

b) f(x) = x3 − x d) f (x) =x

x2 − 4Solución

a) f (-x ) = 2(-x )4 - (-x )2 = 2x4 - x2 = f ( x )

→ f (-x ) = f ( x )

La función es par.

b) f (-x ) = (-x )3 - (-x ) = -x3 + x

-f ( x ) = -( x3 - x ) = -x3 + x

→ f (-x )= -f ( x )

�

�

�

�

��

La función es impar.

c) f (−x ) = (−x )2 − (−x ) = x2 + x

−f ( x ) = −( x2 − x ) = −x2 + x

→ f (−x ) ≠ f ( x ) y f (−x ) ≠ −f ( x )

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

La función no es par ni impar.

d) f (-x ) =-x

(-x )2 - 4= -

x

x2 - 4

-f ( x ) = -x

x2 - 4→ f (-x ) = -f ( x )

�

�

�

�

��

La función es impar.

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍOLa noria de un parque de atracciones, que tiene un radio de 20 m, da una vuelta completa cada 50 segundos. Por otro lado, para montarte en una cabina, tienes que subir a una plataforma situada a 2 m del suelo.

Dibuja la gráfica de la función que proporciona la altura en función del tiempo.

33

391

9Funciones


29 Dadas las siguientes funciones, señala si son pares, impares o no presentan simetría.

a) f(x) = −x b) f (x) =1

x2 c) f (x) =

x2

x2 − 4 d) f (x) =

x2 + x

x2 − 4

a) f (−x ) = −(−x ) = x

−f ( x ) = −(−x ) = x

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪→ f (−x ) = −f ( x ) → La función es impar.

b) f (−x ) =1

(−x )2=

1

x2= f ( x ) → La función es par.

c) f (−x ) =(−x )2

(−x )2 − 4=

x2

x2 − 4= f ( x ) → La función es par.

d) f (−x ) =(−x )2 + (−x )

(−x )2 − 4=

x2 − x

x2 − 4

−f ( x ) = −x2 + x

x2 − 4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ f ( x ) ≠ f (−x ) ≠ −f ( x ) → La función no tiene simetría.

30 Fíjate en las gráficas e indica si son pares, impares o no presentan simetría.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y

a) Es una función simétrica respecto del origen de ordenadas, tiene simetría impar.

b) Es una función simétrica respecto del origen de ordenadas, tiene simetría impar.

31 Analiza las siguientes gráficas y averigua el valor del período en las funciones que sean periódicas.

a)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

b)

•

•

•

•

•

•

•

•

••

••O 1

1

X

Y

a) No es una función periódica.

b) Es periódica de período T = 3.

c) Es periódica de período T = 2π.

9 Funciones


32 Las siguientes funciones son periódicas. Averigua sus respectivos períodos.

a) El movimiento de las agujas de un reloj. b) La rotación de la Tierra sobre su eje.

a) T = 12 h b) T = 24 h

Desafío

33 La noria de un parque de atracciones, que tiene un radio de 20 m, da una vuelta completa cada 50 segundos. Por otro lado, para montarte en una cabina, tienes que subir a una plataforma situada a 2 m del suelo.

Dibuja la gráfica de la función que proporciona la altura en función del tiempo.

O 20 40 60 80 100

10

20

30

Tiempo (s)

Altura (m)

393

9Funciones


6. Operaciones con funciones


34 En una pizzería se producen y se venden x unidades al día. El precio por unidad es de 14 €, con lo que se obtienen unos ingre-sos diarios expresados mediante la función I (x) = 14x €. Los costes de los ingredientes necesarios vienen dados por la expresión C(x) = 3x, mientras que el gasto fijo diario de luz es de 50 €.

Averigua cuál es la función, B(x), que nos proporciona los beneficios obtenidos cada día.

La función que representa el beneficio es: B(x) = I (x) − C(x) − 50 = 14x − 3x − 50 = 11x − 50

35 Los costes fijos mensuales de una empresa que son independientes de la producción (luz, teléfono y alquiler) ascienden a 2 500 €. Por su parte, el coste por unidad de producción del bien es de 20 €.

Si el precio de venta del producto es de 30 € por unidad, halla la función de beneficio definida como B(x) = I (x) − C(x). ¿Cuántas unidades, como mínimo, será necesario vender para obtener algún beneficio?

El beneficio que obtiene la empresa sigue la función: B(x) = I (x) − C(x) = 30x − 20x − 2 500 = 10x − 2 500

Para obtener algún beneficio: B(x) = 10x − 2 500 > 0 → 10x > 2 500 → x > 250

Por tanto, obtendrán algún beneficio si venden a partir de 251 unidades.

Sugerencias didácticasMediante ejercicios contextualizados de la vida cotidiana será sencillo introducir los procedimientos de cálculo con operacio-nes entre funciones.

Las operaciones con funciones se reducen a operar con polino-mios y con fracciones algebraicas, lo que nos permitirá repasar y afianzar los conocimientos adquiridos por el alumnado en la unidad 3.

Valoraremos especialmente el rigor y la capacidad de modeli-zar funciones dadas de forma contextual.

Puede resultarles complicado las operaciones entre funciones cuya expresión algebraica sean cocientes de polinomios, para superar las posibles complicaciones, en las actividades, se pre-senta un ejercicio resuelto y se proponen ejercicios adecuados.

209


208

En una pizzería se producen y se venden x unidades al día. El precio por unidad es de 14 €, con lo que se obtienen unos ingresos diarios expresados mediante la función I(x) = 14x €. Los costes de los ingredientes necesarios vienen dados por la expresión C(x) = 3x, mientras que el gasto fijo diario de luz es de 50 €.

Averigua cuál es la función, B(x), que nos proporciona los beneficios obtenidos cada día.

Los costes fijos mensuales de una empresa que son independientes de la producción (luz, teléfono y alquiler) ascienden a 2 500 €. Por su parte, el coste por unidad de producción del bien es de 20 €.

Si el precio de venta del producto es de 30 € por unidad, halla la función de beneficio definida como B(x) = I(x) − C(x). ¿Cuántas unidades, como mínimo, será necesario vender para obtener algún beneficio?

Si f(x) = 2x3 − 3x y g(x) = x2 + x + 2, halla las siguientes funciones.

a) 5f(x) b) (f + g)(x) c) (f − g)(x) d) (f ⋅ g)(x)

34

35

36

Averigua las funciones (f + g)(x) y (f − g)(x) si f(x) = x

x − 2 y g(x) = 1

x + 2.

Calcula las funciones (f ⋅ g)(x) y f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) y sus respectivos dominios, teniendo en

cuenta que f(x) = x − 2

x y g(x) = 1

x + 2.

37

38

6. OPERACIONES CON FUNCIONESElena es ingeniera agrónoma y se dedica a la botánica. Está investigando cómo influyen dos nutrientes minerales en el desarrollo y crecimiento de las plantas.

Después de varios meses ha comprobado que, si proporciona a las plantas el nutriente A, el crecimiento, en centímetros, viene dado por la función f(x) = x2, mientras que, si les administra el nutriente B, crecen siguiendo la función g(x) = 2x, donde x es el número de meses transcurridos desde que empezó la investigación.

Si duplica la cantidad del nutriente A, el crecimiento de las plantas viene dado por la expresión:

(2 f)(x) = 2 ∙ f(x) = 2x2

Si suministra los nutrientes A y B simultáneamente, el crecimiento sigue la función:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 2x

x (meses) f(x) 2 ∙ f(x) g(x) (f + g)(x)

1 1 2 2 3

2 4 8 4 8

3 9 18 6 15

Tras tres meses de investigación, Elena concluye que resulta más efectivo suministrar el doble del nutriente A que proporcionar a las plantas los nutrientes A y B simultáneamente.

Algunas de las operaciones que podemos realizar con funciones son:

❚ Producto de un número real por una función: (kf)(x) = k ⋅ f(x)

❚ Suma de funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

❚ Resta de funciones: (f − g)(x) = f(x) − g(x)

❚ Multiplicación de funciones: (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

❚ División de funciones: f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) =

f (x)

g (x) si g(x) ≠ 0

Aprenderás a… ● Determinar la suma, la resta, la multiplicación y la división de funciones.

} Si f(x) = 4x2 + 2x y g(x) = 2x, halla las siguientes funciones.

a) (3f)(x) b) (f + g)(x) c) (f − g)(x) d) (f ⋅ g)(x) e) f

g(x)

Solución

a) (3f)(x) = 3(4x2 + 2x) = 12x2 + 6x

b) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 4x2 + 2x + 2x = 4x2 + 4x

c) (f − g)(x) = f(x) − g(x) = 4x2 + 2x − 2x = 4x2

d) (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) = (4x2 + 2x) ⋅ (2x) = 8x3 + 4x2

e) f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) =

f (x)

g (x)=

4 x2 + 2x

2x= 2x + 1

EJERCICIO RESUELTO

} Dadas las funciones f(x) = x + 1

x y g(x) =

x − 2

x2, calcula:

a) (f + g)(x) b) (f − g)(x) c) (f ⋅ g)(x) d) fg

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x)

Solución

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) =

=

x + 1

x+x − 2

x2=

x ⋅ ( x + 1)

x2+x − 2

x2=

x2 + x + x − 2

x2=

x2 + 2x − 2

x2

b) (f − g)(x) = f(x) − g(x) =

=

x + 1

x−

x − 2

x2=

x ⋅ ( x + 1)

x2−

x − 2

x2=

x2 + x − x + 2

x2=

x2 + 2

x2

c) (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) =

=

x + 1

x⋅x − 2

x2=

( x + 1) ⋅ ( x − 2)

x3=

x2 − x − 2

x3

d) f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) =

f (x)

g (x)=

x + 1

x:x − 2

x2=

( x + 1) ⋅ x2

x ⋅ ( x − 2)=

x3 + x2

x2 − 2x

EJERCICIO RESUELTO

Presta atención

Al sumar funciones cuya expresión algebraica es un cociente de polinomios, conviene calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Representa con GeoGebra las funciones f(x) = x y g (x) =x2

x. ¿Qué observas? Analiza el resultado y responde: si al

dividir dos funciones se obtiene una fracción susceptible de ser simplificada, ¿crees que dicha función simplificada es la misma que la que teníamos antes de la simplificación? Justifica tu respuesta.

39

Investiga

9 Funciones


36 Si f(x) = 2x3 − 3x y g(x) = x2 + x + 2, halla las siguientes funciones.

a) 5f(x) b) (f + g)(x) c) (f − g)(x) d) (f ⋅ g)(x)

a) 5f(x) = 10x3 − 15x

b) (f + g)(x) = 2x3 − 3x + x2 + x + 2 = 2x3 + x2 − 2x + 2

c) (f − g)(x) = 2x3 − 3x − (x2 + x + 2) = 2x3 − x2 − 4x − 2

d) (f · g)(x) = (2x3 − 3x)∙(x2 + x + 2) = 2x5 + 2x4 + 4x3 − 3x3 − 3x2 − 6x = 2x5 + 2x4 + x3 − 3x2 − 6x

37 Averigua las funciones (f + g)(x) y (f − g)(x) si f(x) = x

x − 2 y g(x) = 1

x + 2.

(f + g)(x) = x

x − 2+

1

x + 2=

x ( x + 2) + ( x − 2)

( x − 2)( x + 2)=

x2 + 3x − 2

x2 − 4

(f − g)(x) = x

x − 2−

1

x + 2=

x ( x + 2)− ( x − 2)

( x − 2)( x + 2)=

x2 + x + 2

x2 − 4

38 Calcula las funciones (f ⋅ g)(x) y f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) y sus respectivos dominios, teniendo en cuenta que f(x) = x − 2

x y g(x) = 1

x + 2.

(f · g)(x) = x − 2

x⋅

1

x + 2=

x − 2

x2 + 2xPara determinar el dominio, hallamos los valores que anulan al denominador, x2 + 2x = 0.

Cuando x(x + 2) = 0 → x = 0 y x = −2 → Dom (f · g) = − {−2, 0 }

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟( x ) =

x − 2

x:

1

x + 2=

(x − 2)(x + 2)

x=

x 2 − 4

x

Para determinar el dominio, hallamos los puntos donde el denominador se anula, esto es, en x = 0.

→ Dom f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − { 0 }

Investiga

39 Representa con GeoGebra las funciones f(x) = x y g (x) =x2

x. ¿Qué observas? Analiza el resultado y responde: si al dividir dos

funciones se obtiene una fracción susceptible de ser simplificada, ¿crees que dicha función simplificada es la misma que la que teníamos antes de la simplificación? Justifica tu respuesta.

Al representar con GeoGebra ambas funciones comprobamos que simplifica la función g(x) y obtenemos la función f(x), sin embargo, si calculamos sus dominios resulta:

Dom f = y Dom g = − { 0 }, tienen dominios distintos, y por tanto, son funciones diferentes.

Por lo que podemos afirmar que una función simplificada no es la misma que la que teníamos antes de la simplificación.

395

9Funciones


Actividades finalesSoluciones de las actividades

40 Encuentra entre las siguientes expresiones las que no se corresponden con una función. Razona tu respuesta.

a) y = −2x + 6 c) y = x2 − 2 e) x2 + y2 = 4

b) y2 = x d) x = 4 f) y = 1

No son funciones b) y2 = x, d) x = 4 y e) x2 + y2 = 4, para cada valor de la variable independiente la variable dependiente toma más de un valor.

41 Escribe la función que represente cada uno de los siguientes supuestos.

a) El número y es la tercera parte del número x menos 4 unidades.

b) Las imágenes de la función son siempre iguales al valor 5.

c) f(x) es el 40 % más que el número x.

d) Los valores de y son la mitad de los cuadrados de los valores de x.

¿Qué tienes que saber?

Sugerencias didácticasEn esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Hallar el dominio, el recorrido y los puntos de corte de una función.

❚❚ Calcular el valor de la tasa de variación media y relacionarla con el crecimiento o decrecimiento de la función.

❚❚ Reconocer la monotonía y la curvatura de una función.

❚❚ Averiguar de forma gráfica y algebraica si una función tiene simetría par o impar.

❚❚ Reconocer y dibujar funciones periódicas y calcular sus períodos.

❚❚ Realizar operaciones con funciones.

210 211

¿QUÉ9 tienes que saber? Actividades Finales 9

Indica el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f (x) = 2x − 2 c) f (x) = x2 − 9

b) f (x) = −x − 9 d) f (x) = x2 + 2x − 8

Determina el dominio de las siguientes funciones.

Halla los puntos de corte con los ejes de las funciones.

a) y = 2x − 8 d) y = x2 + 9x

b) y =x + 8

2 e) y = −x2 − x + 6

c) y = 5x2 − 25 f) y = (x − 2)(x + 1)(x − 4)

Estudia la monotonía de la función representada en esta gráfica. ¿Cuáles son los máximos y los mínimos de esta función?

O 1

1

X

Y

Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de estas funciones.

a)

O 1

1

X

Y

b)

•

•

•

•

O 1

1

X

Y

45

46

a) f (x) =− x c) f (x) = −x2−4 x +5

b) f (x) = x (x +2) d) f (x) =xx +2

47

48

49

Concepto de función

Encuentra entre las siguientes expresiones las que no se corresponden con una función. Razona tu respuesta.

a) y = −2x + 6 d) x = 4

b) y2 = x e) x2 + y2 = 4

c) y = x2 − 2 f) y = 1

Escribe la función que represente cada uno de los siguientes supuestos.

a) El número y es la tercera parte del número x menos 4 unidades.

b) Las imágenes de la función son siempre iguales al valor 5.

c) f(x) es el 40 % más que el número x.

d) Los valores de y son la mitad de los cuadrados de los valores de x.

Características de las funciones

Halla el dominio y el recorrido de estas funciones.

a) c)

••

• •O 1

1

X

Y

b) d)

••

•

•

O 1

1

X

Y

Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) f(x) = x − 1 c) f(x) = x2 − 1

b) f(x) = x2 − 9 d) f(x) = x2 − x − 12

Calcula razonadamente el dominio de cada función.

a) f (x) =x3 −1

2 d) f (x) =

x + 1

x2 + 2x − 8

b) f (x) =x

x + 3 e) f (x) =

x + 1

x3 + 2x2 − 8 x

c) f (x) =1

x2 − 9 f) f (x) =

x − 2

x3 − x2 − 9 x + 9

40

41

42

O 1

1

X

Y

•

•

•

•

O 1

1

X

Y

••

•

•

•

•

43

44

Compara la tasa de variación media de f(x) = −x2 + 5 en [Ð2, Ð1] y [1, 2].

TVM [- 2, -1] =f (-1)- f (-2)

-1- (-2)= 3

TVM [1, 2] =

f (2)- f (1)

2-1= -3

TVM [−2, −1] > 0 → Creciente en (−2, −1). TVM [1, 2] < 0 → Decreciente en (1, 2).

Tasa de variación mediaTen en cuenta

TVM a, b[ ] =f (b )− f (a)

b− a

Si f(x) = x2 − 1 y g(x) = x3 − x, calcula: 4f(x), (f + g)(x), (f − g)(x), (f ⋅ g)(x) y f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x)

4f(x) = 4x2 −4 (f + g)(x) = x3 +x2− x− 1 (f − g)(x) = −x3 +x2 + x− 1

(f ⋅ g)(x) = x5−2x3 + x f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) =

x2 −1

x3 − x

Operaciones con funcionesTen en cuenta

(kf)(x) = k ⋅ f(x)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟(x) =

f (x)

g(x)

Determina el dominio, el recorrido y los puntos de corte de la función.

Dominio: [−3, 5] Recorrido: [−1, 2]

❚ Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y (4, 0)

❚ Puntos de corte con el eje Y: (0, 1)

Dominio, recorrido y puntos de corteTen en cuenta ❚ El dominio es el conjunto de losvalores que toma la variable x.

❚ El recorrido es el conjunto de los valores que toma la variable y.

❚ Los puntos de corte con los ejes son de la forma: (x, 0) y (0, y) • •

O 1

1

X

Y

Estudia la monotonía y la curvatura de la función.

❚ Monotonía

Es creciente en el intervalo (−∞, −1) y en (1, +∞).

Es decreciente en el intervalo (−1, 1).

La función tiene un máximo en el punto (−1, 2), ya que en ese punto pasa de creciente a decreciente, y un mínimo en (1, −2), al pasar de decreciente a creciente.

❚ Curvatura

Es cóncava en (0, +∞) y convexa en (−∞, 0).

El punto de inflexión es el (0, 0).

Monotonía y curvaturaTen en cuenta ❚ Una función es creciente si, al aumentar x, se incrementa y.

❚ Una función es decreciente si, al aumentar x, disminuye y.

❚ Una función es convexa en (a, b) si su gráfica queda por debajo de las tangentes que se pueden trazar en cualquiera de sus puntos.

❚ Una función es cóncava en (a, b) si su gráfica queda por encima de las tangentes que se pueden trazar en cualquiera de sus puntos.

O 1

1

X

Y

Estudia la simetría de la función f(x) = x5 − x3.

f (−x ) = (−x )5 − (−x )3 = −x5 + x3

−f ( x ) = − x5 − x3( ) = −x5 + x3f (−x ) = −f ( x ) → Es una función impar.

¿Es periódica esta función?

La función es, en efecto, periódica.

Su período es T = 4.

Simetrías y periodicidadTen en cuentaFunción par

f(−x) = f(x)

Función impar

f(−x) = − f(x)

Una función es periódica si cumple que:

f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = …O 1

1

X

Y

•

9 Funciones


a) y =x

3− 4 c) f ( x ) = x +

40

100x =

140

100x = 1,4 x

b) y = 5 d) y =x2

2

42 Halla el dominio y el recorrido de estas funciones.

a)

••

• •O 1

1

X

Y b)

••

•

•

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

•

•

•

•

d)

O 1

1

X

Y

••

•

•

•

•

a) Dom f = [−2, 1] ∪ [2, 5], Rec f = [0, 4] c) Dom f = [−1, 2] ∪ (3, 5], Rec f = {−1} ∪ [0, 4]

b) Dom f = [−3, 1] ∪ [2, 4], Rec f = [0, 1) ∪ [2, 5] d) Dom f = [0, 5], Rec f = [−1, 5)

43 Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) f(x) = x − 1 b) f(x) = x2 − 9 c) f(x) = x2 − 1 d) f(x) = x2 − x − 12

a) Dom f = ; Rec f =

b) Dom f = . Es una parábola abierta hacia arriba con vértice en (0, −9), así, Rec f = [−9, +∞) .

c) Dom f = . Es una parábola abierta hacia arriba con vértice en el punto (0, −1), así, Rec f = [−1, ∞) .

d) Dom f = . Es una parábola abierta hacia arriba con vértice en: 1

2,

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−1

2−12

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟=

1

2,−

49

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Por tanto: Rec f = −49

4, +∞

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

44 Calcula razonadamente el dominio de cada función.

a) f (x) =x3 −1

2 c) f (x) =

1

x2 − 9 e) f (x) =

x + 1

x3 + 2x2 − 8 x

b) f (x) =x

x + 3 d) f (x) =

x + 1

x2 + 2x − 8 f) f (x) =

x − 2

x3 − x2 − 9 x + 9a) Dom f = !

b) El polinomio del denominador se anula en x = −3 → Dom f = !− {−3}

c) El polinomio del denominador se anula en x1 = −3 y x2 = 3 → Dom f = !− {−3, 3}

d) x2 + 2x − 8 = 0 → x =−2 ± 4 + 32

2=−2 ± 6

2 →

x1 = 2

x2 = −4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪ → Dom f = !− {−4, 2}

e) x 3 + 2x 2 − 8x = 0 → x x 2 + 2x − 8( ) = 0 → x1 = 0, x2 = 2 y x3 = −4 → Dom f = !− {−4, 0, 2}

f) x3 − x2 − 9 x + 9 = 0

1 −1 −9 9

1 1 0 −9

1 0 −9 0

Así x1 = 1, es solución de la ecuación y el polinomio x2 − 9 se anula si x2 = −3 y x3 = 3.

Por tanto: Dom f = !− {−3, 1, 3}

397

9Funciones


45 Indica el dominio y el recorrido de las funciones.

a) f (x) = 2x − 2 b) f (x) = −x − 9 c) f (x) = x2 − 9 d) f (x) = x2 + 2x − 8

El dominio de las funciones estará formado por los valores x que hacen que el radicando sea mayor que cero.

a) 2x − 2≥ 0 → 2x ≥ 2 → x ≥1, así: Dom f = [ 1, +∞ )

b) −x − 9 ≥ 0 → −x ≥ 9 → x ≤−9 , por tanto: Dom f = (−∞, −9 ]

c) x2 − 9 ≥ 0 → ( x + 3) ( x – 3)≥ 0


Se aceptan los extremos porque anulan el producto: Dom f = (−∞,− 3]∪ [3, +∞)

d) x2 + 2x − 8 ≥ 0

x =−2 ± 4 + 32

2=−2 ± 6

2→

x1 = 2

x2 = −4

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→ x2 + 2x − 8 = ( x + 4)( x − 2)



46 Determina el dominio de las siguientes funciones.

a) f (x) =− x c) f (x) = −x2−4 x +5

b) f (x) = x (x +2) d) f (x) =xx +2

a) Tiene que ser x ≥ 0, así, Dom f = [ 0, +∞ ).

b) x( x + 2) ≥ 0 , estudiamos el signo de los factores:


c) −x2 − 4 x + 5 ≥ 0

x =4 ± 16 + 20

−2=

4 ± 6

−2→

x1 = −5

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→ −x2 − 4 x + 5 = −( x + 5)( x −1)

−( x + 5)( x −1) ≥ 0 → ( x + 5)( x −1) ≤ 0


Se aceptan los extremos porque anulan el producto, así: Dom f = [−5, 1]

(−∞,− 3) (−3, 3) (3, +∞)

x + 3 − + +

x − 3 − − +

Producto + − +

(−∞,− 4) (−4, 2) (2, +∞)

x + 4 − + +

x − 2 − − +

Producto + − +

(−∞,− 2) (−2, 0) (0, +∞)

x + 2 − + +

x − − +

Producto + − +

(−∞,−5) (−5, 1) (1, +∞)

x + 5 − + +

x −1 − − +

Producto + − +

9 Funciones


d) No son del dominio los valores que anulan el denominador ni los que hacen que el radicando sea negativo. Para calcularlo hallamos los valores que hacen que el radicando sea estrictamente mayor que cero.x + 2> 0 → x >−2 , por tanto: Dom f = (−2, +∞)

47 Halla los puntos de corte con los ejes de las funciones.

a) y = 2x − 8 c) y = 5x2 − 25 e) y = −x2 − x + 6

b) y =x + 8

2 d) y = x2 + 9x f) y = (x − 2)(x + 1)(x − 4)

a) Con eje X: 2x − 8 = 0 → x = 4 → Corta en (4, 0).


b) Con eje X: x + 8

2= 0 → x = −8 → Corta en (−8, 0).


c) Con eje X: 5x2 − 25 = 0 → x2 = 5 → Corta en − 5 , 0( ) y en 5 , 0( ) .Con el eje Y: si x = 0 → Corta en (0, −25).

d) Con eje X: x2 + 9x = 0 → x ( x + 9) = 0 → Corta en (0, 0) y en (−9, 0).


e) Con eje X: −x2 − x + 6 = 0 → x =1± 1+ 24

−2=

1± 5

−2 → Corta en (−3, 0) y en (2, 0).


f) Con eje X: (x − 2)(x + 1)(x − 4) = 0 → Corta en (2, 0), (−1, 0) y en (4, 0).


48 Estudia la monotonía de la función representada en esta gráfica. ¿Cuáles son los máximos y los mínimos de esta función?

Es creciente en el intervalo (−∞,−1) y en (1, +∞) .

Es decreciente en el intervalo (−1, 1).

La función tiene un máximo en el punto (−1, 6), y un mínimo en (1, −2).

49 Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de estas funciones.

a)

O 1

1

X

Y b)

•

•

•

•

O 1

1

X

Y

a) Es creciente en el intervalo (−1, 1) y es decreciente en (−∞,−1) y en (1, +∞) .

La función tiene un máximo en el punto (1; 1,5), y un mínimo en (−1; −1,5).

b) Es creciente en los intervalos (1; 2,5) y (5,5; 7) y es decreciente en (0, 1) y (2,5; 5,5).

La función tiene un máximo en el punto (2,5; 5), y un mínimo en (5,5; −1).

O 1

1

X

Y

399

9Funciones


50 ¿En qué valor de la variable x alcanzará una función continua su punto máximo y su punto mínimo si es creciente en el intervalo (−∞, −3) , decreciente en (−3, 1) y creciente en (1, +∞)?

El punto máximo lo alcanza en x = −3, y el punto mínimo en x = 1.

51 Averigua el valor de la tasa de variación media de la función f(x) = −x2 + 2 e indica si es creciente o decreciente en cada uno de estos intervalos. a) [−2, −1] b) [1, 2]

a) TVM [−2, −1] = f (−1)− f (−2)

−1− (−2)=

1− (−2)

1= 3 → La función es creciente en [−2, −1].

b) TVM [1, 2] = f (2)− f (1)

2−1=−2−1

1= −3 → La función es decreciente en [1, 2].

52 Analiza si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Cuando la función es una recta, la tasa de variación media en cualquier intervalo es constante.

Es verdadera, la tasa de variación media, en cualquier intervalo, coincide con la pendiente de la recta.

53 Isabel ha descargado una aplicación para el teléfono móvil que le proporciona la distancia recorrida, el tiempo empleado y la ubicación en cada momento a través del GPS interno del terminal. En el gráfico puedes observar cómo ha sido su trayec-to durante una excursión en bicicleta.

a) Averigua cuál ha sido la velocidad media durante los 10 primeros minutos.

b) ¿Cuánto tiempo paró para descansar?

c) Calcula la velocidad media conseguida en los 35 min que duró su trayecto.

a) Velocidad media [0, 10] = TVM [0, 10] = f (10)− f (0)

10− 0=

10− 0

10= 1 km/min

b) Paró para descansar 5 min, entre el minuto 20 y el minuto 25.

c) Velocidad media [0, 35] = TVM [0, 35] = f (35)− f (0)

35− 0=

25− 0

35= 0,71 km/min

O 5

2

Tiempo (min)

Dis

tanc

ia (k

m)

•

212 213

9 Funciones Actividades Finales 9

Una noria de un parque de atracciones tiene 14 m de diámetro y tarda 1 min en dar una vuelta completa. Representa la función que exprese las diferentes alturas que alcanza una de las sillas durante tres vueltas. ¿Cuál es el período de la función?

Operaciones con funciones

Si f(x) = x3 − 3x y g(x) = x2 − x − 2, halla las siguientes funciones.

a) 3f(x) c) (f − g)(x)

b) (f + g)(x) d) (f ⋅ g)(x)

Si f(x) = x4 + 3x y g(x) = x3 − 2x + 1, calcula las siguientes funciones.

a) (2f + g)(x)

b) (2f − 3g)(x)

c) (2f ⋅ g)(x)

d) (−f ⋅ 3g)(x)

Determina en cada caso la función (f + g)(x) y su dominio.

a) f(x) = x3 − 2x2 − x, g (x) = x −1

b) f (x) =2x

x + 1, g (x) = −

2

x −1

Halla las funciones (f + g)(x) y (f − g)(x) y sus respectivos dominios, teniendo en cuenta que

f (x) =2

x y g (x) =

2− x

x + 2.

Calcula las funciones (f ⋅ g)(x) y f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x) en cada caso

e indica sus dominios.

a) f(x) = x3, g (x) =1

x −5

b) f (x) =x

x + 5, g (x) =

1

x −5

c) f (x) =x2

x + 5+ x , g (x) =

1

x −5− 2

d) f (x) = x , g (x) =−1

x −5

Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta.

a) El producto de dos funciones pares es una función par.

b) El producto de dos funciones impares es una función impar.

c) El producto de una función par por otra impar es una función impar.

d) La suma de dos funciones impares es una función par.

e) La suma de una función par con otra impar es una función impar.

61

62

63

64

65

66

67

Estudia la simetría de las funciones.

a)

O 1

1

X

Y

b)

O 1

1

X

Y

c)

O 1

1

X

Y

Averigua qué tipo de simetría tienen estas funciones.

a) f(x) = x4 − 3x2 c) f (x) = −1

x2 + x

b) f (x) = −x

x2 − 4 d) f (x) =

3x

x2 + 1

Describe todas las características de la función que representa el desnivel de una silla en un remonte de una estación de esquí que está abierto desde las9 h hasta las 16 h 30 min.Fíjate en lo que ocurre en las primeras horas.

•

•

•

•

• •

• •

•O 9 h 9 h 20 min 9 h 40 min 10 h

100

Des

nive

l (m

)Hora

58

59

60

Estudia la curvatura de esta función e indica las coordenadas del punto de inflexión.

O 1

1

X

Y

•

•

Describe la curvatura de la siguiente función en su dominio.

• •

O 1

0,5

X

Y

Las siguientes gráficas muestran cómo varía la altura al llenar un recipiente. Relaciona cada recipiente con su gráfica e indica qué tipo de curvatura presenta cada una.

a) c)

Volumen

Altu

ra

O•

b) d)

Volumen

Altu

ra

O•

55

56

57

Volumen

Altu

ra

O•

Volumen

Altu

ra

O•

¿En qué valor de la variable x alcanzará una función continua su punto máximo y su punto mínimo si es creciente en el intervalo (−∞, −3), decreciente en (−3, 1) y creciente en (1, +∞)?

Averigua el valor de la tasa de variación media de la función f(x) = −x2 + 2 e indica si es creciente o decreciente en cada uno de estos intervalos.

a) [−2, −1] b) [1, 2]

Analiza si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Cuando la función es una recta, la tasa de variación media en cualquier intervalo es constante.

Isabel ha descargado una aplicación para el teléfono móvil que le proporciona la distancia recorrida, el tiempo empleado y la ubicación en cada momento a través del GPS interno del terminal. En el gráfico puedes observar cómo ha sido su trayecto durante una excursión en bicicleta.

O 5

2

Tiempo (min)

Dis

tanc

ia (k

m)

•

a) Averigua cuál ha sido la velocidad media durante los 10 primeros minutos.

b) ¿Cuánto tiempo paró para descansar?

c) Calcula la velocidad media en los 35 min que duró su trayecto.

La ecuación que nos proporciona la altura a la que se encuentra un balón que dejamos caer desde el tejado de un edificio de 40 m de alto viene dada por la ecuación

f (t ) = 40−1

2gt2 , donde g es la aceleración de la

gravedad (g = 9,8 m/s²).

a) Halla la distancia recorrida por el balón en el primer segundo.

b) Calcula la distancia recorrida a los 2 s.

c) Compara las tasas de variación media en los intervalos [0, 1] y [1, 2]. ¿Crees que el balón acelera su caída con el tiempo? Justifica tu respuesta.

50

51

52

53

54

9 Funciones


54 La ecuación que nos proporciona la altura a la que se encuentra un balón que dejamos caer desde el tejado de un edificio de

40 m de alto viene dada por la ecuación f (t ) = 40−1

2gt2 , donde g es la aceleración de la gravedad (g = 9,8 m/s²).

a) Halla la distancia recorrida por el balón en el primer segundo.

b) Calcula la distancia recorrida a los 2 s.

c) Compara las tasas de variación media en los intervalos [0, 1] y [1, 2]. ¿Crees que el balón acelera su caída con el tiempo? Justifica tu respuesta.

a) La altura a la que se encuentra es: f (1) = 40−1

2(9, 8) ⋅12 = 35,1 m. Habrá recorrido 40 − 35,1 = 4,9 m.

b) f (2) = 40−1

2(9, 8) ⋅22 = 20,4 m. Habrá recorrido 40 − 20,4 = 19,6 m.

c) TVM [0, 1] = f (1)− f (0)

1− 0=

35,1− 40

1= −4,9 TVM [1, 2] =

f (2)− f (1)

2−1=

19,6− 35,1

1= −15,5

El balón acelera su caída con el tiempo porque la tasa de variación en el intervalo de tiempo [1, 2] es mucho más pequeña que en el intervalo [0, 1].

55 Estudia la curvatura de esta función e indica las coordenadas del punto de inflexión.

Es cóncava en (0, 2) y en (3, 4).

Es convexa en (2, 3) y en (4, 7).

Punto de inflexión: (3, 3)

56 Describe la curvatura de la siguiente función en su dominio.

Es cóncava en (1,5; 4,7) y en (7,9; 11).

Es convexa en (0; 1,5), en (4,7; 7,9) y en (11; 12,5).

57 Las siguientes gráficas muestran cómo varía la altura al llenar un recipiente. Relacio-na cada recipiente con su gráfica e indica qué tipo de curvatura presenta cada una.

a)

Volumen

Altu

ra

O•

b)

Volumen

Altu

ra

O•

c)

Volumen

Altu

ra

O•

d)

Volumen

Altu

ra

O•

a) I, cóncava. b) IV, convexa. c) II, no tiene curvatura. d) III, convexa hasta el llenado de la mitad del recipiente y cón-cava en el resto.

O 1

1

X

Y

•

•

• •

O 1

0,5

X

Y

401

9Funciones


58 Estudia la simetría de las funciones.

a)

O 1

1

X

Y b)

O 1

1

X

Y c)

O 1

1

X

Y

a) y b) son funciónes simétricas respecto del origen de coordenadas, tienen simetría impar.

c) Es una función simétrica respecto del eje de ordenadas, tiene simetría par.

59 Averigua qué tipo de simetría tienen estas funciones.

a) f(x) = x4 − 3x2 b) f (x) = −x

x2 − 4 c) f (x) = −

1

x2 + x d) f (x) =

3x

x2 + 1

a) f (−x ) = (−x )4 − 3(−x )2 = x4 − 3x2 = f ( x ) , la función es par.

b) f (−x ) =(−x )

(−x )2 − 4=−x

x2 − 4

−f ( x ) = −x

x2 − 4

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ f (−x ) = −f ( x ) , la función es impar.

c) f (−x ) =1

(−x )2 + (−x )=

1

x2 − x

−f ( x ) = −1

x2 + x

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

→ f ( x ) ≠ f (−x ) y f(−x ) ≠ −f ( x ) , la función no tiene simetría.

d) f (−x ) =3(−x )

(−x )2 + 1=−3x

x2 + 1

−f ( x ) = −3x

x2 + 1

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

→ f (−x ) = −f ( x ) , la función es impar.

60 Describe todas las características de la función que representa el desnivel de una silla en un remonte de una estación de esquí que está abierto desde la 9 h hasta las 16 h 30 min. Fíjate en lo que ocurre en las primeras horas.

•

•

•

•

• •

• •

•O 9 h 9 h 20 min 9 h 40 min 10 h

100

Des

nive

l (m

)

Hora

Esta función es periódica porque se repite a intervalos iguales de 20 min. El período es T = 20.

Cada silla tarda 10 minutos en alcanzar la cota máxima que está a un desnivel de 200 m de altitud de la estación.

La gráfica representa el desnivel alcanzado por la primera silla que sale de la estación.

Si n es el número de horas n = 9, 10, 11,... y k = 1, 2, ... :

Es creciente en los intervalos: (n horas (20k − 20) min; n horas (20k − 10) min)

Es decreciente en los intervalos: (n horas (20k − 10) min; n horas (20k − 20) min)

9 Funciones


Los puntos máximos los alcanza en los minutos 10, 30 y 50 de cada hora, esto es, (n h 10 min, 200), (n h 30 min, 200) y (n h 50 min, 200).

Los puntos mínimos los alcanza en los minutos 0, 20 y 40 de cada hora, excepto a las 9 h , siendo el primer mínimo el punto (9 h 20 min, 0), el segundo (9 h 40 min, 0) y el resto, para n = 10, 11, ... , (n h, 0), (n h 20 min, 0) y (n h 40 min, 0).

61 Una noria de un parque de atracciones tiene 14 m de diámetro y tarda 1 min en dar una vuelta completa. Representa la función que exprese las diferentes alturas que alcanza una de las sillas durante tres vueltas. ¿Cuál es el período de la función?

O 1 2 3

5

10

15

Tiempo (s)

Altura (m) El período es: T = 60 segundos = 1 minuto

62 Si f(x) = x3 − 3x y g(x) = x2 − x − 2, halla las siguientes funciones.

a) 3f(x) b) (f + g)(x) c) (f − g)(x) d) (f · g)(x)

a) 3f(x) = 3(x3 − 3x) = 3x3 − 9x

b) (f + g)(x) = (x3 − 3x) +(x2 − x − 2) = x3 + x2 − 4x − 2

c) (f − g)(x) = (x3 − 3x) −(x2 − x − 2) = x3 − x2 − 2x + 2

d) (f · g)(x) = (x3 − 3x) ∙ (x2 − x − 2) = x5 − x4 − 2x3 − 3x3 + 3x2 + 6x = x5 − x4 − 5x3 + 3x2 + 6x

63 Si f(x) = x4 + 3x y g(x) = x3 − 2x + 1, calcula las siguientes funciones.

a) (2f + g)(x) b) (2f − 3g)(x) c) (2f ∙g)(x) d) (−f ∙3g)(x)

a) (2f + g)(x) = 2(x4 + 3x) + x3 − 2x + 1 = 2x4+ x3 + 4x +1

b) (2f − 3g)(x) = 2(x4 + 3x) −3(x3 − 2x + 1) = 2x4 + 6x −3x3 +6x −3 = 2x4 − 3x3 + 12x − 3

c) (2f ∙ g)(x) = 2(x4 + 3x) ∙ (x3 − 2x + 1) = (2x4 + 6x) ∙ (x3 − 2x + 1) = 2x7− 4x5 + 2x4 + 6x4 − 12x2+ 6x == 2x7− 4x5 + 8x4 − 12x2+ 6x

d) (−f ∙ 3g)(x) = −(x4 + 3x) ∙ 3(x3 − 2x + 1) =

= (−x4 − 3x) ∙ (3x3 − 6x + 3) = −3x7 + 6x5 − 3x4 − 9x4 + 18x2 − 9x = −3x7 + 6x5 − 12x4 + 18x2 − 9x

64 Determina en cada caso la función (f + g)(x) y su dominio.

a) f(x) = x3 − 2x2 − x, g (x) = x −1

b) f (x) =2x

x + 1, g (x) = −

2

x −1

a) (f + g)(x) = x3 − 2x2 − x + x −1

El dominio está formado por los valores x tales que x −1≥ 0 → x ≥1 → Dom (f + g) = [ 1, +∞ )

b) (f + g)(x) = 2x

x + 1−

2

x −1=

2x ( x −1)− 2( x + 1)

( x + 1)( x −1)=

2x2 − 2x − 2x − 2

( x + 1)( x −1)=

2x2 − 4 x − 2

( x + 1)( x −1)

El dominio está formado por todos los números reales excepto los que anulen el denominador, esto es:

Dom (f + g) = !− {−1, 1}

65 Halla las funciones (f + g)(x) y (f − g)(x) y sus respectivos dominios, teniendo en cuenta que f (x) =2

x y g (x) =

2− x

x + 2.

a) (f + g)(x) = 2

x+

2− x

x + 2=

2( x + 2) + x (2− x )

x ( x + 2)=

2x + 4 + 2x − x2

x ( x + 2)=−x2 + 4 x + 4

x ( x + 2)

El denominador se anula en x = 0 y en x = −2 → Dom (f + g) = !− {0,− 2}

b) (f − g)(x) = 2

x−

2− x

x + 2=

2( x + 2)− x (2− x )

x ( x + 2)=

2x + 4− 2x + x2

x ( x + 2)=

x2 + 4

x ( x + 2)

El denominador se anula en x = 0 y en x = −2 → Dom (f + g) = !− {0,− 2}

403

9Funciones


66 Calcula las funciones (f · g)(x) y f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x)

en cada caso e indica sus dominios.

a) f(x) = x3, g (x) =1

x −5 c) f (x) =

x2

x + 5+ x , g (x) =

1

x −5− 2

b) f (x) =x

x + 5, g (x) =

1

x −5 d) f (x) = x , g (x) =

−1

x −5

a) (f · g)(x) = x3 ⋅1

x −5=

x3

x −5, Dom (f ∙ g) = !− {5}

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟( x ) = x3 :

1

x −5= x4 −5 x3 , Dom

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = !

b) (f · g)(x) = x

x + 5⋅

1

x −5=

x

( x + 5)( x −5), Dom (f ∙ g) = !− {−5, 5}

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x ) =

x

x + 5:

1

x −5=

x (x −5)

x + 5, Dom

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = !− {−5}

c) (f · g)(x) x 2

x + 5+ x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

1

x −5− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

x 2 + x 2 + 5x

x + 5⋅1− 2x + 10

x −5=

2x 2 + 5x( )(−2x + 11)

(x + 5)(x −5)

Dom (f ∙ g) = !− {−5, 5}

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟(x ) =

x 2

x + 5+ x

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ :

1

x −5− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2x 2 + 5x

x + 5:−2x + 11

x −5=

2x 2 + 5x( )(x −5)

(x + 5)(−2x + 11)

El denominador se anula en x = −5 y en x = 11

2 → Dom

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = !− −5,

11

2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

d) (f · g)(x) = −x

x −5, Dom (f ∙ g) = [0, 5) ∪ (5, +∞)

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟( x ) = x :

−1

x −5= −( x −5) x , Dom

f

g

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = [0, +∞)

67 Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones y justifica tu respuesta.

a) El producto de dos funciones pares es una función par.

b) El producto de dos funciones impares es una función impar.

c) El producto de una función par por otra impar es una función impar.

d) La suma de dos funciones impares es una función par.

e) La suma de una función par con otra impar es una función impar.

a) Sean f(x) y g(x) dos funciones pares, esto es f(x) = f(−x) y g(x) = g(−x), si h(x) = f(x) ∙ g(x):

h(−x) = f(−x) ∙ g(−x) = f(x) ∙ g(x) = h(x) → La afirmación es cierta.

b) Sean f(x) y g(x) dos funciones impares, esto es f(−x) = −f(x) y g(−x) = −g(x), si h(x) = f(x) ∙ g(x):

h(−x) = f(−x) ∙ g(−x) = (−f(x)) ∙ (−g(x)) = h(x) → La afirmación es falsa, la función producto de ambas es par.

c) Sean f(x) una función par y g(x) una función impar, esto es f(x) = f(−x) y g(−x) = −g(x), si h(x) = f(x) ∙ g(x):

h(−x) = f(−x) ∙ g(−x) = f(x) ∙ (−g(x)) = −f(x)∙g(x) = −h(x) → La afirmación es cierta.

d) Sean f(x) y g(x) dos funciones impares, esto es f(−x) = −f(x) y g(−x) = −g(x), si h(x) = f(x) + g(x):

h(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) − g(x) = −h(x) → La afirmación es falsa, la función suma de ambas es impar.

e) Sean f(x) una función par y g(x) una función impar, esto es f(x) = f(−x) y g(−x) = −g(x), si h(x) = f(x) + g(x):

h(−x) = f(−x) + g(−x) = f(x) − g(x) ≠ −h(x) → La afirmación es falsa, la función suma de ambas no es par ni impar, (salvo que f(x) o g(x) sean la función constante cero).

9 Funciones


Sugerencias didácticasEn esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta de forma elemental conceptos de economía de mercado en una situación cotidiana, en la que intervienen la curva de la oferta y la demanda.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competen-cias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Utiliza el lenguaje matemático, Resuelve, Piensa y razona, Argumenta, Comunica o Utiliza las TIC.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Parejas de ejercitación/revisión, de David y Roger Johnson.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos reflexionarán sobre el precio y la demanda de bienes complementarios y bienes sustitutos. Además, representarán las curvas de la oferta y la demanda de la venta de un tipo de pantalón en función de unos datos, y anali-zarán los resultados.

¿Cómo se realizará la tarea? Los alumnos resolverán las actividades individualmente y contrastarán los resultados con su compañero para cerrar una respuesta común. Después, compararán su respuesta con otra pareja de compañeros y consensuarán el resultado. El profesor recogerá el cuaderno de uno de los miembros del grupo para corregirlo. Si es correcto, los cuatro reciben la recompensa.

Matemáticas vivas. Funcionamiento del mercado: oferta y demanda

9 MATEMÁTICAS VIVAS 9Funcionamiento del mercado: oferta y demanda

214 215

Todos los días y en casi todas las partes del mundo se realizan miles de acuerdos que dan como resultado intercambios de bienes y servicios.

La actual economía de mercado resulta del proceso de desarrollo económico en el que la oferta y la demanda de los artículos de consumo definen las actitudes y los cambios. Analizando la demanda, su representación gráfica y sus características, es posible explicar cómo se comportan los consumidores ante un determinado producto. Al estudiar la oferta, podremos comprender cómo es el comportamiento de los empresarios y productores.

RELACIONA

Los consumidores quieren adquirir los ordenadores al precio más bajo posible, mientras que el empresario desea venderlo lo más caro que pueda. Lo ideal es encontrar un punto donde el precio convenza tanto al comprador como al empresario.

Al analizar de forma conjunta la oferta y la demanda de un producto, podemos conocer dónde está el equilibrio de mercado y así determinar la cantidad y el precio idóneo.

Fíjate en la gráfica; las dos funciones están representadas en los mismos ejes de coordenadas.

a. Si se incrementa el precio, ¿aumenta o disminuye la cantidad demandada?

b. Indica cuál es el motivo por el que la curva de la oferta es creciente.

Indica cuál es el motivo por el que la curva de la oferta es creciente.

PIENSA Y RAZONA

c. ¿Qué podemos argumentar sobre el punto donde se cortan ambas funciones?

2

COMUNICA

COMPRENDE

Estas gráficas se han creado a partir de unas tablas de valores obtenidos para realizar un estudio de mercado de los precios en las ventas de ordenadores.

Curva de demanda Curva de oferta

O 50

300400

Cantidad demandada

Prec

io p

or u

nida

d

O 50

400

Cantidad a producir

Prec

io p

or u

nida

d

500

La curva de la demanda relaciona la cantidad de ordenadores que compraremos los consumidores según su precio. La curva de la oferta indica la cantidad de ordenadores que una empresa está dispuesta a producir dependiendo del precio de venta que puedan alcanzar.

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

a. Fíjate en las dos gráficas, y halla el dominio de ambas funciones.

b. Averigua su recorrido.

c. Analiza la monotonía de las funciones.

d. Estudia la curvatura de la función de la demanda y de la función de la oferta.

e. Averigua y compara los valores de la tasa de variación media en el intervalo [0, 400] de ambas funciones. ¿Qué puedes deducir al comparar los valores?

1

RESUELVE

PIENSA Y RAZONA

ARGUMENTA

O 50

300400

Cantidad

Prec

io p

or u

nida

d

REFLEXIONA

Se ha realizado un estudio de mercado sobre la producción y venta de teléfonos móviles y se ha obtenido como resultado que la función que indica la oferta es f(p) = p + 50, mientras que la función que representa la demanda viene dada por g(p) = 550 − p. En ambas funciones, p representa el precio por unidad en euros.

a. Determina las cantidades ofrecidas y demandadas a precios de 200 €, 350 € y 550 €.

b. Se denomina precio de equilibrio a aquel en el que la cantidad demandada es igual a la cantidad ofertada; por su parte, se llama cantidad de equilibrio a la cantidad demandada y ofertada al precio de equilibrio. Calcula el precio y la cantidad de equilibrio.

c. Representa ambas funciones con el programa GeoGebra. (Es importante tener en cuenta que el precio, p, está representado en el eje vertical, al tiempo que las cantidades ofertadas o demandadas figuran en el eje horizontal).

3

RESUELVE

UTILIZA LAS TIC

TRABAJO

COOPERATIVOTAREA

– Bienes complementarios son aquellos que se utilizan conjuntamente; por ejemplo, un coche es un bien complementario a la gasolina. Bienes sustitutos son aquellos que cubren la misma necesidad que otro; así, la margarina es un bien sustituto de la mantequilla.

Si dos bienes son complementarios y el precio de uno aumenta, ¿se incrementa o disminuye la demanda del otro? ¿Y si dos bienes son sustitutos y el precio de uno disminuye?

– Representad las curvas de la oferta y la demanda en relación con la venta de pantalones vaqueros, utilizando estos datos.

Precio (€) Cantidad demandada Cantidad ofertadas100 40 120 80 60 100 60 80 80

– Analizad su crecimiento y estableced la relación con la tasa de variación.

405

9Funciones



Comprende

1 Estas gráficas se han creado a partir de unas tablas de valores obtenidos para realizar un estudio de mercado de los precios en las ventas de ordenadores.

Curva de demanda

O 50

300400

Cantidad demandada

Prec

io p

or u

nida

d Curva de oferta

O 50

400

Cantidad a producir

Prec

io p

or u

nida

d

500

La curva de la demanda relaciona la cantidad de ordenadores que compraremos los consumidores según su precio. La curva de la oferta nos indica la cantidad de ordenadores que una empresa está dispuesta a producir dependiendo del precio de venta que puedan alcanzar.

a) Fíjate en las dos gráficas y halla el dominio de ambas funciones.

b) Averigua su recorrido.

c) Analiza la monotonía de las funciones.

d) Estudia la curvatura de función de la demanda y de la función de la oferta

e) Averigua y compara los valores de la tasa de variación media en el intervalo [0, 400] de ambas funciones. ¿Qué puedes de-ducir al comparar los valores?

a) Curva de la demanda: Dom (demanda) = [0, 500]. Curva de la oferta: Dom (oferta) = [0, 425]

b) Curva de la demanda: Rec (demanda) = [300, 1 100]. Curva de la oferta: Rec (oferta) = [400, 1 200]

c) La curva de la demanda es decreciente, la curva de la oferta es creciente.

d) Ambas funciones son cónvavas.

e) Demanda: TVM [0, 400] = =f (400) − f (0)

400− 0=

350−1100

400=−750

400= −1,875

Oferta: TVM [0, 400] = f (400) − f (0)

400− 0=

1100− 400

400=

700

400= 1,75

La curva de la demanda decrece más rápidamente que lo que crece la curva de la oferta.

Las cantidades demandadas aumentan cuando se reduce el precio de venta.

Relaciona

2 Los consumidores quieren adquirir los ordenadores al precio más bajo posible, mientras que el empresario desea venderlo lo más caro que pueda. Lo ideal es encontrar un punto donde el precio convenza tanto al comprador como al empresario.

Al analizar de forma conjunta la oferta y la demanda de un producto, podemos conocer dónde está el equilibrio de mercado y así determinar la cantidad y el precio idóneo.

Fijate en la gráfica; las dos funciones están representadas en los mismos ejes de coorde-nadas.

a) Si se incrementa el precio ¿aumenta o disminuye la cantidad demandada?

b) Indica cuál es el motivo por el que la curva de la oferta es creciente.

c) ¿Qué podemos argumentar sobre el punto donde se cortan ambas funciones?

a) Al incrementar el precio disminuye la cantidad demandada y viceversa, la disminución del precio elevará la cantidad demandada.

b) La curva de la oferta es creciente porque cuando aumenta el precio, como los productores tratan de maximizar sus ganan-cias, aumentan su producción, así la cantidad ofrecida será mayor.

c) El punto donde se cortan ambas funciones indica el precio donde la cantidad demandada coincide con la cantidad ofrecida, esto es el precio idóneo de venta, donde tanto el productor como el comprador obtendrán buenos resultados.

O 50

300400

Cantidad

Prec

io p

or u

nida

d

9 Funciones


Reflexiona

3 Se ha realizado un estudio de mercado sobre la producción y venta de teléfonos móviles y se ha obtenido como resultado que la función que indica la oferta es f(p) = p + 50, mientras que la función que representa la demanda viene dada por g (p) = 550 − p. En ambas funciones, p representa el precio por unidad en euros.

a) Determina las cantidades ofrecidas y demandadas a precios de 200 €, 350 € y 550 €.

b) Se denomina precio de equilibrio a aquel en el que la cantidad demandada es igual la cantidad ofertada; por su parte, se llama cantidad de equilibrio a la cantidad demandada y ofertada al precio de equilibrio. Calcula el precio y la cantidad de equilibrio.

c) Representa ambas funciones con el programa GeoGebra (Es importante tener en cuenta que el precio, p, está representado en el eje vertical, al tiempo que las cantidades ofertadas o demandadas figuran en el eje horizontal).

a) f(200) = 250, f(350) = 400 y f(550) = 600 g(200) = 350, g(350) = 200 y g(550) = 0

b) f(p) = g(p) → p + 50 = 550 − p → 2p = 500 → p = 250, así (precio, cantidad de equilibrio) = (250, 300)

c) Las funciones son:

Trabajo cooperativo

❚ Si dos bienes son complementarios y el precio de uno aumenta, disminuye la demanda del otro.

Si dos bienes son sustitutos y el precio de uno aumenta, se incrementa la demanda del otro.

Si dos bienes son sustitutos y el precio de uno disminuye, también disminuye la demanda del otro.

❚ Las funciones de la oferta y la demanda son:

La función que expresa el precio en relación de la oferta es creciente:

Función oferta: TVM [80, 120] = f (120)− f (80)

80− 40=

100− 60

40= 1> 0

La función que representa el precio en base a la demanda es decreciente:

Función demanda: TVM [40, 80] = f (80) − f (40)

80− 40=

60−100

40= −1< 0

TAREA– Bienes complementarios son aquellos que se utilizan conjuntamente; por ejemplo, un coche es un bien

complementario a la gasolina. Bienes sustitutos son aquellos que cubren la misma necesidad que otro; así, la margarina es un bien sustituto de la mantequilla.

Si dos bienes son complementarios y el precio de uno aumenta, ¿se incrementa o disminuye la demanda del otro? ¿Y si dos bienes son sustitutos y el precio de uno disminuye?

– Representad las curvas de la oferta y la demanda en relación con la venta de pantalones vaqueros, utilizando estos datos.

Precio (€) Cantidad demandada Cantidad ofertadas100 40 120 80 60 100 60 80 80

– Analizad su crecimiento y estableced la relación con la tasa de variación.

O 20

20

Cantidad

Precio

•

OfertaDemanda

407

9Funciones


Sugerencias didácticasEn la sección Avanza de esta unidad se introduce la composi-ción de funciones.

Su aplicación y utilidad en la vida cotidiana se trabajará con mayor profundidad en cursos superiores. En las fichas de Acti-vidades de ampliación se proponen una colección de ejercicios para trabajar este contenido.


A1. Considera las siguientes funciones:

f(x) = x2 + 2 y g(x) = 4x − 1

Determina estas composiciones.

a) g ° f b) f ° g

a) g ° f = g (f(x)) = g (x2 + 2) = 4(x2 + 2) − 1 = 4x2 + 7

b) f ° g = f ( g(x)) = f (4x − 1) = (4x − 1)2 + 2 = = 16x2 − 8x + 1 + 2 = 16x2 − 8x + 3

A2. Considera las funciones: f(x) = x3 − 2 y g(x) = 4x − 1. Halla las funciones compuestas.

a) g ° f b) f ° g

a) g ° f = g(f(x)) = g(x3 − 2) = 4(x3 − 2) − 1 = 4x3 − 9

b) f ° g = f(g(x)) = f(4x − 1) = (4x − 1)3− 2 = 1 ⋅ ( 4 x )3 + 3 ⋅ ( 4 x )2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ ( 4 x )1 ⋅ (−1)2 + 1 ⋅ (−1)3 − 2 =

= 64 x3− 48 x2 + 12 x − 1 − 2 = 64 x3− 48 x2 + 12 x − 3

Funciones en los medios de comunicaciónSugerencias didácticas

Como cierre de la unidad podríamos plantear la actividad de esta sección como un reto periodístico. Los alumnos son los redactores de la noticia, tendrán que, a partir de la información que se proporciona y de las preguntas planteadas, elegir el titular de la noticia y ampliar la información. Es importante que el alumnado reconozca la importancia de tener una cultura matemática para entender y tratar aspectos del mundo empresarial.

Fíjate en la gráfica.


F1. ¿Qué recorrido tiene la función?

Rec f = [80, 140]

F2. ¿Cuál fue el aumento de precio medio anual que hubo en ese período de tiempo?

TVM [2010, 2015] =f (2015) − f (2010)

2015 − 2010=

135− 80

5= 11 cent

F3. ¿En qué años alcanzaron los precios valores máximos? Indica si hubo en algún momento un punto de inflexión en los precios.

Los precios alcanzaron valores máximos en los años 2011 y 2014.

En ningún momento hubo punto de inflexión en los precios.

•• •

•• •

O

2010

2011

2012

2013

2014

2015

40

80

120

Precio

Avanza. Composición de funciones

9 Funciones

216

AVANZA Composición de funciones

La operación composición de dos funciones consiste en aplicar una función a las imágenes obtenidas por la otra función.

La función g ° f es la que transformaría directamente valores iniciales en los transformados primero por la función f y luego por la función g.

La función f ° g es la que transformaría directamente valores iniciales en los transformados primero por la función g y luego por la función f.

Observa las transformaciones:

A1. Considera las siguientes funciones:

f(x) = x2 + 2 y g(x) = 4x − 1

Determina estas composiciones.

a) g ° f b) f ° g

A2. Considera las funciones:

f(x) = x3 − 2 y g(x) = 4x − 1

Halla las funciones compuestas.

a) g ° f b) f ° g

El Brent es un tipo de petróleo que se utiliza para la producción de gasolina y se extrae principalmente del Mar del Norte.

El barril de Brent contiene 42 galones estadounidenses, lo que equivale a unos 159 L, y es su precio el que marca la referencia en los mercados europeos. Actualmente, el precio del barril es aproximadamente de 63 $.

Después de incluir impuestos, el precio medio de los carburantes en España es, a día de hoy (noviembre de 2015), inferior a la media de la UE, donde el precio de venta al público del litro de gasolina se sitúa en 1,43 €, y en 1,44 € en la eurozona debido a la menor presión fiscal sobre los carburantes.

En el gráfico se puede observar la evolución del precio, en CENT, del litro de gasolina entre los años 2010 y 2015.

•• •

•• •

O

2010

2011

2012

2013

2014

2015

40

80

120

Precio Fíjate en la gráfi ca.

F1. ¿Qué recorrido tiene la función?

F2. ¿Cuál fue el aumento de precio medio anual que hubo en ese período de tiempo?

F3. ¿En qué años alcanzaron los precios valores máximos? Indica si hubo en algún momento un punto de infl exión en los precios.

FUNCIONES EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

f(x) = x2 g(x) = 3x

−1 1 3

0 0 0

1 1 3

2 4 12

x f(x) g(f(x))

g ° f = g(f(x)) = g(x2) = 3x2

g(x) = 3x f(x) = x2

−1 −3 9

0 0 0

1 3 9

2 6 36

x g(x) f(g(x))

f ° g = f(g(x)) = f(3x) = (3x)2 = 9x2

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